2023年九年级中考数学专题练习——二次函数与特殊的四边形(附答案)

中考专题练习——二次函数与特殊的四边形1．如图，已知点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标．2．如图，已知直线y=﹣12x+2与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=﹣212x+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A．（1）求该抛物线的表达式；（2）点M是线段BC上一点，过点M作直线l∥y轴交该抛物线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时，求它的面积；（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足∠DBA=∠CAO，求点D的坐标．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，过点A的直线与抛物线交于点E，与y轴交于点F，且点B的坐标为（3，0），点E的坐标为（2，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点G为抛物线对称轴上的一个动点，H为x轴上一点，当以点C、G、H、F四点所围成的四边形的周长最小时，求出这个最小值及点G、H的坐标；（3）设直线AE与抛物线对称轴的交点为P，M为直线AE上的任意一点，过点M作MN∥PD 交抛物线于点N，以P、D、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求点M的坐标；若不能，请说明理由．6．如图，抛物线y═﹣1x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，30），点C的坐标为（0，5）．有一宽度为1，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x轴于点E和点F．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠10Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，是否存在以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线与x轴交两点A（﹣1，0），B（3，0），过点A作直线AC与抛物线交于C 点，它的坐标为（2，﹣3）．（1）求抛物线及直线AC的解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，（不与A，C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于E 点，点E与点A、C围成三角形，求出△ACE面积的最大值；（3）点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，如果不存在，请说明理由．8．如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），交y轴于点C，且S△ABC=16．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的解析式及其对称轴；（3）若正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），求S正方形DEFG．9．如图，抛物线y=nx2﹣3nx﹣4n（n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），且抛物线与y轴交于点A．（1）点B的坐标为，点C的坐标为；（2）若∠BAC=90°，求抛物线的解析式．（3）点M是（2）中抛物线上的动点，点N是其对称轴上的动点，是否存在这样的点M、N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA 匀速运动，同时动点Q从点A2/cm s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为他t(s)．（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？（2）是否存在某一时刻t，使APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．11．如图①，直线y＝kx+2与坐标轴交于A、B两点，OA＝4，点C是x轴正半轴上的点，且OC＝OB，过点C作AB的垂线，交y轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．（1）求抛物线函数关系式；（2）如图②，点P是射线BA上一动点（不与点B重合），连接OP，过点O作OP的垂线交直线CD于点Q．求证：OP＝OQ；（3）如图③，在（2）的条件下，分别过P、Q两点作x轴的垂线，分别交x轴于点E、F，交抛物线于点M、N，是否存在点P的位置，使以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交A（﹣1，0），B两点，与y 轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为点E．(1)求抛物线的解析式；(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当点P运动到点E时，求△PCD的面积；(3)点N在抛物线对称轴上，点M在x轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣4ax+c与直线y=kx+1（k≠0）交于y轴上一点A和第一象限内一点B，该抛物线顶点H的纵坐标为5．（1）求抛物线的解析式；，求k的值；（2）连接AH、BH，抛物线的对称轴与直线y=kx+1（k≠0）交于点K，若S△AHB=214（3）在（2）的条件下，点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（如图2），连接PA．当∠PAB=45°时，ⅰ）求点P的坐标；ⅱ）已知点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，当四边形PBMN 为平行四边形时，请求出点M 的坐标．15．如图，已知抛物线21322y x x n =--（n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．（1）如图1，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；（2）如图1，在（1）的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以BC 为边，以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ，交y 轴交于点E ，若AE:ED ＝1:4，求n 的值.16．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PF=3PE ，求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C（1）求抛物线的解析式；AB向点B运动，点Q从点C出（2）点P从点A发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．18．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．19．抛物线2y ax bx c=++经过点A（-1,0）、B（4,0），与y轴交于点C（0,4）.(1)求抛物线的表达式；(2)点P为直线BC上方抛物线的一点，分别连接PB、PC，若直线BC恰好平分四边形COBP 的面积，求P点坐标；(3)在（2）的条件下，是否在该抛物线上存在一点Q,该抛物线对称轴上存在一点N，使得以A、P、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1x2+bx+c的图象与x轴交于点A（2，0）、B（﹣24，0），与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BD，点P在抛物线的对称轴上，以Q为平面内一点，四边形PBQD能否成为矩形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由；（3）在抛物线上有一点M，过点M、A的直线MA交y轴于点C，连接BC，若∠MBO=∠BCO，请直接写出点M的坐标．参考答案：1．（1）y=﹣38x2+34x+3；D（1，278）；（2）P（3，158）．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），将点C（0，3）代入可求得a的值，将a的值代入可求得抛物线的解析式，配方可得顶点D的坐标；（2）画图，先根据点B和C的坐标确定直线BC的解析式，设P（m，-38m2+34m+3），则F（m，-34m+3），表示PF的长，根据四边形DEFP为平行四边形，由DE=PF列方程可得m的值，从而得P的坐标．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），将点C（0，3）代入得：﹣8a=3，解得：a=﹣38，y=﹣38x2+34x+3=﹣38（x﹣1）2+278，∴抛物线的解析式为y=﹣38x2+34x+3，且顶点D（1，278）；（2）∵B（4，0），C（0，3），∴BC的解析式为：y=﹣34x+3，∵D（1，278），当x=1时，y=﹣34+3=94，∴E（1，94），∴DE=278-94=98，设P（m，﹣38m2+34m+3），则F（m，﹣34m+3），∵四边形DEFP是平行四边形，且DE∥FP，∴DE=FP，即（﹣38m2+34m+3）﹣（﹣34m+3）=98，解得：m1=1（舍），m2=3，∴P（3，158）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，利用方程思想列等式求点的坐标，难度适中．2．（1）213222y x x =++；（2）4；（3）（﹣5，﹣18）或（3，2）． 【分析】（1）根据直线解析式求出点B 、C 的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可； （2）设M （m ，-12m+2），则N （m ，-12m 2+32m+2），则MN=（-12m 2+32m+2）-（-12m+2）=-12m 2+2m ，根据MN=OC=2列方程可得M 的横坐标，根据平行四边形的面积公式可得结论；（3）分两种情况：①当D 在x 轴的下方：根据AC ∥BD ，直线解析式k 相等可设直线BD 的解析式为：y=2x+b ，把B （4，0）代入得直线BD 的解析式为：y=2x-8，联立方程可得D 的坐标；②当D 在x 轴的上方，根据对称可得M 的坐标，利用待定系数法求直线BM 的解析式，与二次函数的交点，联立方程可得D 的坐标．【解析】（1）当x=0时，y=2，∴C （0，2），当y=0时，﹣12x+2=0，x=4，∴B （4，0），把C （0，2）和B （4，0）代入抛物线y=﹣212x +bx+c 中得：22{14402c b c =-⨯++=， 解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴该抛物线的表达式：y=213222x x -++； （2）如图1，∵C （0，2），∴OC=2，设M （m ，﹣12m+2），则N （m ，213222m m -++）， ∴MN=（21322m m -++2）﹣（﹣12m+2）=﹣12m 2+2m ， ∵MN ∥y 轴，当四边形OMNC 是平行四边形时，MN=OC ， 即﹣12m 2+2m=2， 解得：m 1=m 2=2，∴S ▱OCMN =OC×2=2×2=4；（3）分两种情况：当y=0时，﹣21322x x ++2=0， 解得：x 1=4，x 2=﹣1，∴A （﹣1，0），易得直线AC 的解析式为：y=2x+2，①当D 在x 轴的下方时，如图2，∵AC ∥BD ，∴设直线BD 的解析式为：y=2x+b ，把B （4，0）代入得：0=2×4+b ，b=﹣8，∴直线BD 的解析式为：y=2x ﹣8，则2x ﹣8=21322x x -++2，解得：x 1=﹣5，x 2=4（舍）， ∴D （﹣5，﹣18）；②当D 在x 轴的上方时，如图3，作抛物线的对称轴交直线BD 于M ，将BE （图2中的点D ）于N ，对称轴是：x=﹣3212()2⨯-=32， ∵∠CAO=∠ABE=∠DAB ，∴M 与N 关于x 轴对称，直线BE 的解析式：y=2x ﹣8，当x=32时，y=﹣5， ∴N （32，﹣5），M （32，5）， 直线BM 的解析式为：y=﹣2x+8，﹣2x+8=﹣21322x x ++2，解得：x 1=3，x 2=4（舍）， ∴D （3，2），综上所述，点D 的坐标为：（﹣5，﹣18）或（3，2）．【点评】本题是对二次函数的综合考查，主要有直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求二次函数和一次函数解析式，两直线平行的关系，对称性等知识，（3）题有难度，采用分类讨论的思想解决问题．3．（1）（1，4）；（2）①点M 坐标（﹣12，74）或（﹣32，﹣94）；②m 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①根据tan∠MBA=2233m mMGBG m-++=-，tan∠BDE=BEDE=12，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可解决问题；②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题．【解析】解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得到9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得23bc，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D坐标（1，4）；（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，∴tan∠MBA=2233m mMGBG m-++=-，∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，∵B（3，0），∴BE=2，∴tan∠BDE=BEDE=12，∵∠MBA=∠BDE，∴2233m mm-++-=12，当点M在x轴上方时，2233m mm-++-=12，解得m=﹣12或3（舍弃），∴M（﹣12，74），当点M在x轴下方时，2233m mm---=12，解得m=﹣32或m=3（舍弃），∴点M（﹣32，﹣94），综上所述，满足条件的点M坐标（﹣12，74）或（﹣32，﹣94）；②如图中，∵MN∥x轴，∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ是正方形，∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，当﹣m2+2m+3=1﹣m时，解得m，当﹣m2+2m+3=m﹣1时，解得m∴满足条件的m．【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．4．（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q；（3）M（1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．【分析】(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.【解析】（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，∴A（﹣1，0），B（5，0）．（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，∴55-，∴Q55．（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．∵此时点M的横坐标为1，∴y=8，∴M（1，8），N（2，13），②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.5．（1）抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）G（1，1），H（12，0），四边形CFHG的周长最小值5（3）M的坐标为：M（0，1117-317-117+317+．【分析】(1)根据抛物线上的两点列方程组求抛物线y=﹣x2+bx+c中的系数b和c，(2)根据题目的提示可以画出简图，然后表示出以点C、G、H、F四点所围成的四边形的周长，在根据表示出的线段就可以求出最短的周长，对应的点G、H的坐标也可得出；（3）根据题意可以分两种情况讨论，点N在点M的上方或者下方，然后设出点M，根据题目给出的条件是否能将P、D、M、N为顶点的四边形组成平行四边形，可以根据平行四边形对边相等来入手.【解析】（1）∵y=﹣x2+bx+c经过（3，0）和（2，3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3，∴y=﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为x=1．当y=0时，﹣x2+2x+3=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0）．当x=0时，y=3，∴C（0，3）∴CE=2．OC=3如图，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F点I关于x轴对称，在x轴上取点H，连接HF、HI、HG、GC、GE、则HF=HI．∵抛物线的对称轴为x=1，∴点C点E关于对称轴x=1对称，∴CG=EG．设直线AE的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线AE的解析式为y=x+1．当x=0时，y=1，∴F（0，1），∴OF=1，CF=2．∵点F与点I关于x轴对称，∴I（0，﹣1），∴OI=1，CI=4．在Rt△CIE中，由勾股定理，得EI==2．∵要使四边形CFHG的周长最小，而CF是定值，∴只要使CG+GH+HF最小即可．∵CG+GH+HF=EG+GH+HI，∴只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小．设EI的解析式为y=k1x+b1，由题意，得，解得：，∴直线EI的解析式为：y=2x﹣1，∵当x=1时，y=1，∴G（1，1）．∵当y=0时，x，∴H（，0），∴四边形CFHG的周长最小值=CF+CG+GH=CF+EI=2+2；（3）∵y=﹣x2+2x+3，∴y=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）∴直线AE的解析式为y=x+1．∴x=1时，y=2，∴P（1，2），∴PD=2．∵四边形DPMN是平行四边形，∴PD=MN=2．∵点M在AE上，设M（x，x+1），①当点M在线段AE上时，点N点M的上方，则N（x，x+3），∵N点在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，解得：x=0或x=1（舍去）∴M（0，1）．②当点M在线段AE或EA的延长线上时，点N在M的下方，则N（x，x﹣1）．∵N点在抛物线上，∴x﹣1=﹣x2+2x+3，解得：x=或x=，∴M （，）或（，）．∴M 的坐标为：M （0，1）或（，）或（，）．【点评】本题是一道比较综合的解析几何题，涉及到了抛物线方程的求解和在动点的情况下对四边形周长的表示进行求最小周长，第三问考察了学生对动点问题的分类讨论能力，灵活运用平行四边形对边相等这个条件入手解题.6．（1）y=﹣13x2﹣23x +5，点A 的坐标是（﹣5，0）；（2）点Q 坐标（﹣4，73）；（3）以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，点M 的坐标为（﹣2，3）或（﹣23）或（﹣2，3）．【分析】(1)把点B 、C 的坐标代入函数解析式求出b 、c 的值，进而求出点A 的坐标即可;(2) 作FG ⊥AC 于G , 设点F 坐标（m ，0），根据sin ∠AMF=FG FM =; (3)分两种情况讨论①当MN 是对角线时；②当MN 为边时；解答即可.【解析】（1）∵抛物线上的点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，5）∴将其代入y═﹣13x 2+bx+c ，得 130{5b c c -++== ，解得b=﹣23，c=5．∴抛物线的解析式为y=﹣13x2﹣23x+5．∴点A的坐标是（﹣5，0）．（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），则AF=m+5，AE=EM=m+6，2m+5），2221(6)EF EM m+++∵sin∠10∴=10 FG FGFM FM==225)21(6)mm+++10整理得到2m2+19m+44=0，∴（m+4）（2m+11）=0，∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），∴点Q坐标（﹣4，73）．（3）①当MN是对角线时，点M在y轴的右侧，设点F（m，0），∵直线AC解析式为y=x+5，∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），∵QN=PM，∴﹣13m2﹣23m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣13（m+1）2﹣23（m+1）+5]，解得m=﹣3+6或﹣3﹣6（舍弃），此时M （﹣，，当MN 是对角线时，点N 在点A 的左侧时，设点F （m ，0）．∴m+5﹣（﹣13m 2﹣23m+5）=[﹣13（m+1）2﹣23（m+1）+5]﹣（m+6），解得m=﹣3，此时M （﹣2，3）②当MN 为边时，设点Q （m ，﹣13m 2﹣23m+5）则点P （m+1，﹣13m 2﹣23m+6）， ∵NQ=PM ，∴﹣13m 2﹣23m+6=﹣13（m+1）2﹣23（m+1）+5， 解得m=﹣3．∴点M 坐标（﹣2，3），综上所述以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，点M 的坐标为（﹣2，3）或（﹣3+23）． 【点评】本题考查了二次函数的综合题、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是会用待定系数法求解二次函数的解析式，会用分类讨论及方程的思想解决问题.7．（1）直线AC 的函数解析式是y=﹣x ﹣1；（2）S △ACE =278；（3）存在4个符合条件的F 点． 【分析】（1）将A 、B 坐标代入y=x 2+bx+c ，利用待定系数法可求得二次函数解析式，设直线AC 的解析式为：y=mx+n ，将A 、C 坐标代入，利用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；（2）设点P 的横坐标为x （﹣1≤x≤2），则P （x ，﹣x ﹣1），E （x ，x 2﹣2x ﹣3），由S △ACE =12PE•|x C ﹣x A |，而|x C ﹣x A |的值是确定的，因此只要求得PE 的最大值即可；（3）分CG 与AF 平行、CF 与AG 平行，分别画出符合题意的图形，分别进行求解即可得.【解析】（1）将A （﹣1，0），B （3，0）代入y=x 2+bx+c ， 得01093b c b c =-+⎧⎨=++⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴y=x 2﹣2x ﹣3，设直线AC 的解析式为：y=mx+n ，将A 、C 坐标代入得032m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，解得：11m n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的函数解析式是y=﹣x ﹣1；（2）设点P 的横坐标为x （﹣1≤x≤2），则P （x ，﹣x ﹣1），E （x ，x 2﹣2x ﹣3），∵点P在点E的上方，∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣12）2+94，∴当x=12时，PE的最大值为94，∴S△ACE=12PE•|x C﹣x A|=12×94×3=278；（3）①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，∵C（2，﹣3），G（0，﹣3）∴CG∥X轴，此时AF=CG=2，∴F点的坐标是（﹣3，0）；②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1±73），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将G 点代入后可得出直线的解析式为y=﹣7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（7，0）；④如图，同③可求出F的坐标为（4，0）；综合四种情况可得出，存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（0），F4（4，0）．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质等，综合性较强，熟练掌握待定系数法是解题的关键.8．（1）（0，8）；（2）y=23x2﹣163x+8，其对称轴为直线x=4；（3）4【分析】（1）由S△ABC＝12×AB×OC求出OC的长度，进而确定C点坐标；（2）因为抛物线经过点A（2，0），B（6，0），故可以设二次函数的交点式，即y＝a（x﹣2）（x﹣6），再将C点坐标代入即可求得解析式,进一步得到对称轴；（3）设正方形DEFG的边长为m，再根据题中的条件列出正确的D、E坐标，再将E点坐标代入二次函数求出边长m，进一步求得正方形DEFG的面积.【解析】（1）∵A（2，0），B（6，0），∴AB＝6﹣2＝4．∵S△ABC＝16，∴12×4•OC＝16，∴OC＝8，∴点C的坐标为（0，8）；（2）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣6），将C（0，8）代入，得8＝12a，解得a＝23，∴y＝23（x﹣2）（x﹣6）＝23x2﹣163x＋8，故抛物线的解析式为y＝23x2﹣163x＋8，其对称轴为直线x＝4；（3）设正方形DEFG的边长为m，则m＞0，∵正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），∴D（4﹣12m，﹣m），E（4＋12m，﹣m）．将E（4＋12m，﹣m）代入y＝23x2﹣163x＋8，得﹣m＝23×（4＋12m）2﹣163×（4＋12m）＋8，整理得，m2＋6m﹣16＝0，解得m1＝2，m2＝﹣8（不合题意舍去），∴正方形DEFG的边长为2，∴S正方形DEFG＝22＝4．【点评】本题考查了三角形的面积、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、正方形的性质，注意灵活运用知识点，另外利用面积求出点C坐标、根据二次函数与正方形的性质正确表示D、E的坐标是解答此题的关键.9．（1）（﹣1，0），（4，0）；（2）y=﹣12x2+32x+2；（3）点M的坐标分别为：（﹣52，﹣398）或（112，﹣398）或（52，218）．【分析】（1）利用x轴上点的坐标特点即可得出结论；（2）判断出△AOB∽△COA，建立方程求出OA，进而得出点A坐标，最后用待定系数法即可的结论；（3）设出点M，N的坐标，分三种情况，利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论．【解析】（1）令y=0，∴nx2-3nx-4n=0，∵n＜0，∴x2-2x-4=0,∴x=-1或x=4,∴B(-1,0),C(4,0)；（2）∵∠BAC=90°，AO⊥BC，易证△AOB ～△COA ， ∴OA BO CO AO =，14OA AO=， ∴OA=2，故A （0，2），则设抛物线的解析式为：y=a(x-x1)( x-x2),把A （0，2）、B （-1，0）、C （4，0）代入上式得，-4a=2， ∴12a =-， ∴()()2113142222y x x x x =-+-=-++， ∴对称轴直线为32x =， ∴设N （32，b ），M （m ，213222m m --+）， 以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴①当AC 为对角线时，()11304222m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴52m =. ∴M （52，218）. ②当AM 为对角线时，()11304222m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴112m =. ∴M （112，-398）. ③当AN 为对角线时，()13104222m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴52m =-. ∴M （52-，-398）. 即：抛物线上存在这样的点M ，点M 的坐标分别为：M （52，218）或（112，-398）或（52-，-398）. 【点评】二次函数综合题，主要考查了待定系数法，x 轴上点的坐标特点，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，求出OA 的是解本题的关键．10．（1）(843t s =- （2）存在，43s 或2s （3）()204s t t =<< 【分析】（1）连接PB ，由点B 在线段PQ 的垂直平分线上，推出BP=BQ ，由此构建方程即可解决问题；（2）分两种情形分别构建方程求解即可；（3）如图4中，连接QC ，作QE ⊥AC 于E ，作QF ⊥BC 于F ．则QE=AE ，QF EC =，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．根据S=1122QNC PCQ SS CN QF PC QE +=⋅+⋅，计算即可； 【解析】（1）如图1中，连接BP ．在Rt ΔACB 中，AC BC 4==，C 90∠=︒，AB 42∴=点B 在线段PQ 的垂直平分线上，BP BQ ∴=，AQ 2t =，CP t =，BQ 422t ∴=，222PB 4t =+，()22422t 16t ∴=+， 解得t 843=-843+，(t 843s ∴=-时，点B 在线段PQ 的垂直平分线上． （2）①如图2中，当PQ QA =时，易知ΔAPQ 是等腰直角三角形，AQP 90∠=︒．则有PA 2AQ =，4t 2?2t ∴-=，解得4t 3=． ②如图3中，当AP PQ =时，易知ΔAPQ 是等腰直角三角形，APQ 90∠=︒．则有：AQ =，∴)4t -，解得t 2=， 综上所述：4t s 3=或2s 时，ΔAPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形． （3）如图4中，连接QC ，作QE AC ⊥于E ，作QF BC ⊥于F ．则QE AE =，QF EC =，可得QE QF AE EC AC 4+=+==．()ΔQNC ΔPCQ 111S S S ?CN?QF ?PC?QE t QE QF 2t(0t 4)222=+=+=+=<<． 【点评】本题考查了四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．11．(1) y ＝﹣14x 2﹣12x +2; (2)见解析;(3)见解析. 【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系可得A 、B 点坐标，再根据OB ＝OC 可得C 点坐标，进而根据待定系数法可得抛物线解析式；（2）根据题意易得∠BAO ＝∠ODC ，然后根据“ASA”证得△AOB ≌△COD ，进而可得OA ＝OD ，∠OAD ＝∠ODQ ，再根据∠POQ ＝∠AOD ＝90°得到∠AOP ＝∠DOQ ，因此可证△AOP≌△DOQ，即可证OP＝OQ；（3）设点P横坐标为n，则点P坐标为（n，12n+2），点M的坐标为（n，1 4﹣n2﹣12n+2），通过证△OPE≌△OQF（AAS）确定Q，N的坐标，由题意可得PM∥QN，故当PM ＝QN时，以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形，分P在M点上方以及P在M点下方两种情况进行讨论，根据PM＝QN求出点P坐标即可.【解析】解：（1）∵OA＝4∴点A（﹣4，0）∵直线y＝kx+2与坐标轴交于A、B两点，∴点B（0，2），0＝﹣4k+2∴OB＝2，k＝12∴直线解析式y＝12x+2∵OC＝OB＝2∴点C（2，0）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．∴20164042ca b ca b c⎧⎪⎨⎪⎩＝＝－＋＝＋＋，解得：a＝﹣14，b＝﹣12，c＝2∴抛物线解析式：y＝﹣14x2﹣12x+2;（2）∵CD⊥AB∴∠BAO+∠DCO＝90°又∵∠ODC+∠DCO＝90°∴∠BAO＝∠ODC且OB＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°∴△AOB≌△COD（ASA）∴OA＝OD，∠OAB＝∠ODC∴∠OAP＝∠ODQ∵∠POQ＝90°，∠AOD＝90°∴∠AOP＝∠DOQ且OA＝OD，∠OAP＝∠ODQ∴△AOP≌△DOQ（ASA）∴OP＝OQ（3）设点P横坐标为n，则点P坐标为（n，12n+2），点M的坐标为（n，14﹣n2﹣12n+2）∵QF⊥x轴，∴∠FQO+∠QOF＝90°，且∠QOF+∠POE＝90°∴∠FQO＝∠EOP又∵∠OEP＝∠QFO＝90°，OP＝OQ∴△OPE≌△OQF（AAS）∴OE＝QF，PE＝OF∴点Q的坐标为（12n+2，﹣n），点N坐标（12n+2，﹣116n2﹣34n）．由题意可得PM∥QN当PM＝QN时，以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形当点P位于点M上方时：如图：∴PM＝（12n+2）﹣（14﹣n2﹣12n+2）＝14n2+nQN＝（﹣n）﹣（﹣116n2﹣34n）＝116n2﹣14n∴116n2﹣14n＝14n2+n解得：n＝0（不合题意舍去），n＝﹣20 3∴12×（﹣203）+2＝﹣43∴点P坐标为（﹣203，﹣43）当点P位于点M下方时，如图：∴PM ＝（14﹣n 2﹣12n +2）﹣（12n +2）＝﹣14n 2﹣n QN ＝（﹣n ）﹣（﹣116n 2﹣34n ）＝116n 2﹣14n ∴﹣14n 2﹣n ＝116n 2﹣14n 解得：n ＝0（不合题意舍去），n ＝﹣125， ∴12×（﹣125）+2＝45 ∴点P 的坐标为（﹣125，45） 综上所述：点P 坐标（﹣203，﹣43），（﹣125，45） 【点评】本题考查了一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，弄清题意，综合运用所学知识，掌握数形结合的思想是解答的关键.12．(1) y=﹣x²+2x+3；(2)1;(3)见解析.【分析】（1）由点 A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 B 的坐标，利用配方法可求出顶点 E 的坐标，由点 B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式， 利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 D 的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出当点 P 运动到点 E 时△PCD 的面积；(3)设点 M 的坐标为（m ，0），点 N 的坐标为（1，n ），分四边形 CBMN 为平行四边形、四边形 CMNB 为平行四边形及四边形 CMBN 为平行四边形三种情况，利用平行四边形的性质找出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】（1）将 A （﹣1，0），C （0，3）代入 y=ax 2+2x+c ，得：203a c c -+=⎧⎨=⎩，解得：13a c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为 y=﹣x 2+2x+3．（2）当 y=0 时，有﹣x 2+2x+3=0， 解得：x 1=﹣1，x 2=3，∴点 B 的坐标为（3，0）．∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴点E 的坐标为（1，4）．设过B，C 两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入y=kx+b，得：303k bb+=⎧⎨=⎩,解得：13kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y=﹣x+3．∵点D 是直线与抛物线对称轴的交点，∴点D 的坐标为（1，2），∴DE=2，∴当点P 运动到点E 时，△PCD 的面积=12×2×1=1．（3）设点M 的坐标为（m，0），点N 的坐标为（1，n）．分三种情况考虑：①当四边形CBMN 为平行四边形时，有1﹣0=m﹣3，解得：m=4，∴此时点M 的坐标为（4，0）；②当四边形CMNB 为平行四边形时，有m﹣1=0﹣3，解得：m=﹣2，∴此时点M 的坐标为（﹣2，0）；③当四边形CMBN 为平行四边形时，有0﹣1=m﹣3，解得：m=2，∴此时点M 的坐标为（2，0）．综上所述：存在这样的点M 与点N，使以M，N，C，B 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征及配方法，求出点D，E 的坐标；（3）分四边形CBMN 为平行四边形、四边形CMNB为平行四边形及四边形CMBN 为平行四边形三种情况求出点M 的坐标．13．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）M（﹣35，﹣65）；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（173）或（17，3）或（2，﹣3）．【分析】（1）把A，B，C的坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值即可；（2）由题意得到直线BC与直线AM垂直，求出直线BC解析式，确定出直线AM中k的值，利用待定系数法求出直线AM解析式，联立求出M坐标即可；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可．【解析】（1）把A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：9303a b ca b cc++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得：123abc=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，则该抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）设直线BC解析式为y=kx﹣3，把B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即k=﹣3，∴直线BC解析式为y=﹣3x﹣3，∴直线AM解析式为y=13x+m，把A（3，0）代入得：1+m=0，即m=﹣1，∴直线AM解析式为y=13x﹣1，联立得：33113y xy x=--⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：3565xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M（﹣35，﹣65）；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况考虑：设Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），当四边形BCQP为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），根据平移规律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，解得：m=1±7x=2±7当7m2﹣2m﹣7﹣2﹣7﹣3=3，即P（73）；。