二次函数专题提优》。特殊四边形存在性问题

二次函数专题提优》。

特殊四边形存在性
问题
二次函数专题提优：特殊四边形存在性问题
一、平行四边形存在性原理：
1.实验与探究：
给出平行四边形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标，并
归纳发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a，b)，B(c，d)，C(m，n)，D(e，f)时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为（不必证明）。

2.运用与推广：
在同一直角坐标系中有抛物线和三个点G，S，H，且c＞0.求当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，
P为顶点的四边形是平行四边形，并求出所有符合条件的P点坐标。

二、平行四边形的存在性问题：
1.已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=1，经过(-2,-5)和(5,-12)两点。

1）求此抛物线的解析式。

2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是线段BC上一点（不与点B、C 重合）。

若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标。

3）点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标。

2.如图，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于点A(-3,0)、点
B(1,0)，交y轴于点E(0,-3)，点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行，直线
y=-x+m过点C，交y轴于点D。

1）求抛物线的函数表达式。

2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直
线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值。

3、在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使得以点A、
C、M、N为顶点的四边形是平行四边形。

求点N的坐标。

解析：根据题意，可以得到以下条件：
1.点A在抛物线上，坐标为（0，c）；
2.点C在直线l上，坐标为（0，b）；
3.点M在直线l上，坐标为（x，kx+b）；
4.点N在抛物线上，坐标为（y，ay^2+by+c）。

由于四边形是平行四边形，所以AC和MN平行，即它们的斜率相等，即
frac{c-b}{0-0}=\frac{ay^2+by+c-b}{y-0}$$
化简得
ay^2+(b-c)y-b=0$$
根据题意，点N在抛物线上，因此满足抛物线的解析式，即
y=ax^2+bx+c$$
将其代入上式，得到二次方程
a^2x^2+(ab-2a)y+(b-c)=0$$
因为四边形是平行四边形，所以AM和CN平行，即它们的斜率相等，即
frac{kx+b-c}{x-0}=\frac{ay^2+by+c-b}{y-0}$$
化简得
ay^2+(b-c-a^2)x-c-ab=0$$
由于四边形是平行四边形，所以AM和CN长度相等，即它们的距离相等，即
frac{|kx+b-c|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|ay^2+by+c-
b|}{\sqrt{1+a^2}}$$
综上所述，我们可以列出以下方程组：
begin{cases}ay^2+(b-c)y-b=0\\a^2x^2+(ab-2a)y+(b-c)=0\\\frac{|kx+b-c|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|ay^2+by+c-b|}{\sqrt{1+a^2}}\end{cases}$$
解出y即可得到点N的坐标。