2022年全国乙卷数学(文科)高考真题(答案)
2022年全国乙卷高考文科数学试卷及答案解析
2022年全国乙卷高考文科数学试卷及答案解析2022全国乙卷高考文科数学试题及答案高考数学答题技巧一、三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。
二、数列题1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。
利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。
三、立体几何题1、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2、求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;3、注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。
四、导数、极值、最值、不等式恒成立(或逆用求参)问题1、先求函数的定义域，正确求出导数，特别是复合函数的导数，单调区间一般不能并，用“和”或“，”隔开(知函数求单调区间，不带等号;知单调性，求参数范围，带等号);2、注意最后一问有应用前面结论的意识;3、注意分论讨论的思想;4、不等式问题有构造函数的意识;5、恒成立问题(分离常数法、利用函数图像与根的分布法、求函数最值法);6、整体思路上保6分，争10分，想14分。
五、概率问题1、搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;2、搞清是什么概率模型，套用哪个公式;3、记准均值、方差、标准差公式;4、求概率时，正难则反(根据p1+p2+。
全国各地2022年数学高考真题及答案-(辽宁文)含详解
全国各地2022年数学高考真题及答案-(辽宁文)含详解2022年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第Ⅰ卷（选择题共60分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V=43πR3n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径Pn(k)=CknPk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合M=｛某|-3＜某＜1|,N={某|某≤-3},则M=N(A)(B){某|某≥-3}(C){某|某≥1}(D){某|某＜1|(2)若函数y=(某+1)(某-a)为偶函数，则a=(A)-2(B)-2(C)1(D)2(3)圆某2+y2=1与直线y=k某+2没有公共点的充要条件是(A)2,2(-∈k)(B)3,3(-∈k)(C)k),2()2,(+∞--∞∈(D)k),3()3,(+∞--∞∈(4)已知0＜a＜1,某=loga2loga3,y=,5log21az=loga3,则(A)某＞y＞z(B)z＞y＞某(C)y＞某＞z(D)z＞某＞y(5)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且2=,则顶点D的坐标为(A)(2,27)(B)(2,－21)(C)(3,2)(D)(1,3)(6)设P为曲线C:y=某2+2某+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为4,0π，则点P横坐标的取值范围为(A)--21,1(B)[-1,0](C)[0,1](D)1,21(7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(A)31(B)21(C)32(D)43(8)将函数y=2某+1的图象按向量a平移得到函数y=2某+1的图象，则(A)a=(-1,-1)(B)a=(1,-1)(C)a=(1,1)(D)a=(-1,1)(9)已知变量某、y满足约束条件≥+-≤--≤-+,01,013,01某y某y某y则z＝2某+y的最大值为第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）函数23()某ye某+=-∞+∞的反函数是.（14）在体积为的球的表面上有A、B、C三点，AB=1,BCA、C两点的球面距离为3π，则球心到平面ABC的距离为.（15）3621(1)()某某某++展开式中的常数项为.（16）设(0,)2某π∈，则函数22in1in2某y 某+=的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B,C，对边的边长分别是a,b,c.已知2,3cCπ== .（Ⅰ）若△ABCa,b;（Ⅱ）若in2inBA=，求△ABC的面积.（18）（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求（i）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率;（ii）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率.（19）（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′.（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直;（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值;（Ⅲ）若12b=，求D′E与平面PQEF所成角的正弦值.（20）（本小题满分12分）已知数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列，设(N某)nnnbcna=∈.（Ⅰ）数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论;（Ⅱ）设数列{tnan},{lnbn}的前n项和分别为Sn,Tn.若12,,21nnSnaTn==+求数列{cn}的前n项和.(21)（本小题满分12分）在平面直角坐标系某Oy中，点P到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.(Ⅰ)写出C的方程；(Ⅱ)设直线y=k某+1与C交于A、B两点.k为何值时OBOA⊥此时||的值是多少？(22)（本小题满分14分）设函数f(某)=a某3+b某2－3a2某+1(a、b∈R)在某=某1，某=某2处取得极值，且|某1－某2|=2.(Ⅰ)若a=1，求b的值，并求f(某)的单调区间；(Ⅱ)若a＞0，求b的取值范围.2022年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB+=+2如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB=球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VR=n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率(012)kknknnPkCPpkn-=-=，，，，其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}31M某某=-<<，{}3N某某=-≤，则MN=（D）A．B．{}3某某-≥C．{}1某某≥D．{}1某某<解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。
2023年高考全国乙卷文科数学+答案解析
2023年高考试全国乙卷文科数学+答案解析（试题部分）一、选择题1.232i 2i ++=（）A.1 B.2C.D.52.设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A.{}0,2,4,6,8 B.{}0,1,4,6,8 C.{}1,2,4,6,8 D.U3.如图，网格纸上绘制的是个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积（）A.24B.26C.28D.304.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A.10π B.5π C.310π D.25π5.已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数，则=a （）A.2- B.1- C.1 D.26.正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A.B.3C.D.57.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y x y ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A.18B.16 C.14D.128.函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）A.(),2-∞- B.(),3-∞- C.()4,1-- D.()3,0-9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A.56B.23C.12 D.1310.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.3211.已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（） A.3212+B.4C.1+D.712.设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1 B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为.14.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=．15.若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为.16.已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =．三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．19.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =，PB PC ==，,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥-P ABC 的体积．20.已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程．（2）若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求a 的取值范围．21.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是53，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+-（1）求不等式()6x f x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ⎧≤⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．2023年高考试全国乙卷文科数学+答案解析（答案解析）1.C【解析】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则232i 2i 12i ++=-==.故选：C.2.A【解析】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.3.D【解析】如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D -去掉长方体11ONIC LMHB -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=.故选：D.4.C【解析】由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+，整理可得sin cos 0B A =，由于()0,πB ∈，故sin 0B >，据此可得πcos 0,2A A ==，则ππ3πππ2510B AC =--=--=.故选：C.5.D 【解析】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.6.B【解析】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：2ED EC CD ===，在CDE中，由余弦定理可得2223cos 25DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅，所以3cos 35EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.7.C【解析】因为区域(){}22,|14x y x y ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=，结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.故选：C.8.B【解析】3()2f x x ax =++，则2()3f x x a '=+，若()f x 要存在3个零点，则()f x 要存在极大值和极小值，则a<0，令2()30f x x a '=+=，解得3a x -=3a-，且当,,33a ax ⎛⎫--∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当x ⎛∈ ⎝，()0f x '<，故()f x 的极大值为f ⎛ ⎝，极小值为f ，若()f x 要存在3个零点，则00f f ⎧⎛>⎪ ⎪⎝⎨⎪<⎪⎩，即2020-+><，解得3a <-，故选：B.9.A【解析】甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6636⨯=种，若甲、乙抽到的主题不同，则共有26A 30=种，则其概率为305366=，故选：A.10.D【解析】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5π3sin 1232f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.11.C【解析】法一：令x y k -=，则x k y =+，代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=，因为存在实数y ，则0∆≥，即()()222642440k k k --⨯--≥，化简得22170k k --≤，解得11k -≤≤+故x y -的最大值是1+，法二：224240x y x y +---=，整理得()()22219x y -+-=，令3cos 2x θ=+，3sin 1y θ=+，其中[]0,2πθ∈，则π3cos 3sin 114x y θθθ⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭，[]0,2θπ∈ ，所以ππ9π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2π4θ+=，即74πθ=时，x y -取得最大值1+，法三：由224240x y x y +---=可得22(2)(1)9x y -+-=，设x y k -=，则圆心到直线x y k -=的距离3d =≤，解得11k -≤≤+故选：C.12.D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x=由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D.13.【答案】94【解析】由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.14.【答案】55-【解析】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5sin 5θ=或5sin 5θ=-（舍去），所以5sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：5-.15.【答案】8【解析】作出可行域如下图所示：2z x y =-，移项得2y x z =-，联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8z =，故答案为：8.16.【答案】2【解析】设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则2sin 32AB r ACB ==∠，可得r =，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，连接1,OA OO ，则112,2OA OO SA ==，因为22211OA OO O A =+，即21434SA =+，解得2SA =.故答案为：2.17.【答案】（1）11z =，261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【小问1详解】545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==，536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==，552.3541.311z x y =-=-=，i i i z x y =-的值分别为:9,6,8,8,15,11,19,18,20,12-，故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s -+-+-+--+-++-+-+-+-==【小问2详解】由（1）知:11z =，==z ≥所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.【答案】（1）152n a n=-（2）2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩【解析】【小问1详解】设等差数列的公差为d ，由题意可得211011*********a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，即1111298a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1132a d =⎧⎨=-⎩，所以()1321152n a n n =--=-，【小问2详解】因为()213152142n n n S n n +-==-，令1520n a n =->，解得152n <，且*n ∈N ，当7n ≤时，则0n a >，可得2121214n n n n T a a a a a a S n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==-；当8n ≥时，则0n a <，可得()()121278n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+()()()222777221477141498n n S S S S S n n n n =--=-=⨯---=-+；综上所述：2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩.19.【答案】（1）证明见解析（2）263【解析】【小问1详解】连接,DE OF ，设AF tAC =，则(1)BF BA AF t BA tBC =+=-+ ，12AO BA BC =-+ ，BF AO ⊥，则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=-+⋅-+=-+=-+= ，解得12t =，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，//,EF DO EF DO =，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，所以//EF 平面ADO .【小问2详解】过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ，因为,PB PC O =是BC 中点，所以PO BC ⊥，在Rt PBO △中，12PB BO BC ===，所以2PO ==，因为,//AB BC OF AB ⊥，所以OF BC ⊥，又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ，所以BC ⊥平面POF ，又PM ⊂平面POF ，所以BC PM ⊥，又BC FM O = ，,BC FM ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，即三棱锥-P ABC 的高为PM ，因为120POF ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以sin 6022PM PO =︒=⨯=，又11222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△所以1126333P ABC ABC V S PM -=⋅=⨯=△.20.【答案】（1）()ln 2ln 20x y +-=；（2）1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【解析】【小问1详解】当1a =-时，()()()11ln 11f x x x x ⎛⎫=-+>- ⎪⎝⎭，则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=-⨯++-⨯ ⎪+⎝⎭，据此可得()()10,1ln 2f f '==-，所以函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x -=--，即()ln 2ln 20x y +-=.【小问2详解】由函数的解析式可得()()()2111=ln 111f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'-+++⨯>- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，满足题意时()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立.令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax -++++≥，令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，原问题等价于()0g x ≥在区间()0,∞+上恒成立，则()()2ln 1g x ax x '=-+，当0a ≤时，由于()20,ln 10ax x ≤+>，故()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，不合题意;令()()()2ln 1h x g x ax x '==-+，则()121h x a x -'=+，当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()0,h x h x '>在区间()0,∞+上单调递增，即()g x '在区间()0,∞+上单调递增，所以()()>00g x g ''=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，满足题意.当102a <<时，由()1201h x a x =-=+'可得1=12x a-，当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '<在区间10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，即()g x '单调递减，注意到()00g '=，故当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()00g x g ''<=，()g x 单调递减，由于()00g =，故当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不合题意.综上可知：实数a 得取值范围是1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.21.【答案】（1）22194y x +=（2）证明见详解【解析】【小问1详解】由题意可得222253b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280k k k k k k =+-++=->，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,同理可得2220,2yN x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k kk k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.22.【答案】（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),02,-∞+∞【解析】【小问1详解】因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.【小问2详解】因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),0-∞+∞.23.【答案】（1）[2,2]-；（2）6.【解析】【小问1详解】依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩，不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]-【小问2详解】作出不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩,解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--= .。
2023年全国乙卷文科高考数学试卷附详解
2023年高考数学试卷(全国乙卷文科）一、选择题1. 232i 2i ++=（ ）A. 1B. 2C.D. 52. 设全集{}0,1,2,4,6,8U =.集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==.则N C M U （ ） A. {}0,2,4,6,8B. {}0,1,4,6,8C. {}1,2,4,6,8D. U3. 如图.网格纸上绘制的一个零件的三视图.网格小正方形的边长为1.则该零件的表面积为（ ）A. 24B. 26C. 28D. 304. 在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .若cos cos a B b A c -=.且5C π=.则B ∠=（ ）A.10π B.5π C.310π D.25π 5. 已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数.则=a （ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 26. 正方形ABCD 的边长是2.E 是AB 的中点.则EC ED ⋅=（ ）A.B. 3C. D. 57. 设O 为平面坐标系的坐标原点.在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A .则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ）A.18B.16C.14D.128. 函数()32f x x ax =++存在3个零点,则a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞-B. (),3-∞-C. ()4,1--D. ()3,0-9. 某学校举办作文比赛.共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A.56B.23C.12D.1310. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴,则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. B. 12-C.12D.211. 已知实数,x y 满足224240x y x y +---=.则x y -的最大值是（ ）A. 12+B. 4C. 1+D. 712. 设A .B 为双曲线2219y x -=上两点.下列四个点中,可为线段AB 中点的是（ ）A. ()1,1B.1,2 C. ()1,3 D. ()1,4--二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上,则A 到C 的准线的距离为______. 14. 若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ.则sin cos θθ-=________．15. 若x .y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩.则2z x y =-的最大值为______.16. 已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上.ABC ∆是边长为3的等边三角形.SA ⊥平面ABC .则SA =________．三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应.进行10次配对试验.每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品.随机地选其中一个用甲工艺处理.另一个用乙工艺处理.测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x .()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅.记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z .样本方差为2s ． （1）求z .2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.否则不认为有显著提高）18. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知21011,40a S ==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．19. 如图.在三棱锥-P ABC 中,AB BC ⊥.2AB =.BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ,点F 在AC 上,BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒.求三棱锥-P ABC 的体积． 20. 已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭． （1）当1a =-时.求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程． （2）若函数()f x 在()0,∞+单调递增.求a 的取值范围．21. 已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程； （2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点,直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N .证明：线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）22. 在直角坐标系xOy 中.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭.曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数,2απ<<π）. （1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点.也与2C 没有公共点.求m 的取值范围．【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+-（1）求不等式()6x f x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中.求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．2023年高考数学试卷年全国乙年文科年解析一、选择题1. C2. A3. D解：如图所示.在长方体1111ABCD A B C D -中.2AB BC ==.13AA =点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点.,,,O L M N 为所在棱的中点. 则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D -去掉长方体11ONIC LMHB -之后所得的几何体.该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形. 其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=. 故选：D. 4. C解：由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=. 即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+. 整理可得sin cos 0B A =.由于()0,πB ∈.故sin 0B >. 据此可得πcos 0,2A A ==. 则ππ3πππ2510B AC =--=--=.故选：C. 5. D解：因为()e e 1xax x f x =-为偶函数.则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax ax x x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---. 又因为x 不恒为0.可得()1e e 0a x x --=.即()1e e a x x -=. 则()1x a x =-.即11a =-.解得2a =. 故选：D. 6. B解：由题意可得：2ED EC CD ===.在CDE ∆中.由余弦定理可得2223cos 25DE CE DC DEC DE CE +-∠===⋅. 所以35355cos =⨯⨯=∠⋅=⋅→→→→DEC ED EC ED EC . 故选：B.7. C 解：因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心.外圆半径2R =.内圆半径1r =的圆环.则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示.在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=. 结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==. 故选：C.8. B解：3()2f x x ax =++.则2()3f x x a '=+.若()f x 要存在3个零点.则()f x 要存在极大值和极小值.则a<0. 令2()30f x x a '=+=.解得x =且当,,3ax ⎛⎛⎫-∈-∞+∞⎪ ⎪⎝⎝⎭时.()0f x '>.当x ⎛∈ ⎝.()0f x '<.故()f x 的极大值为f ⎛ ⎝.极小值为f. 若()f x 要存在3个零点.则00f f ⎧⎛>⎪⎪⎝⎨⎪<⎪⎩.即2020><.解得3a <-.故选：B. 9. A解：甲有6种选择.乙也有6种选择.故总数共有6636⨯=种.若甲、乙抽到的主题不同.则共有26A 30=种.则其概率为305366=. 故选：A. 10. D解：因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增. 所以2πππ2362T =-=.且0ω>.则πT =.2π2w T==. 当π6x =时.()f x 取得最小值.则ππ22π62k ϕ⋅+=-.Z k ∈.则5π2π6k ϕ=-.Z k ∈.不妨取0k =.则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.则5π5πsin 123f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：D. 11. C解：令x y k -=.则x k y =+.代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=.因为存在实数y .则0∆≥.即()()222642440k k k --⨯--≥.化简得22170k k --≤.解得11k -≤+ 故x y -的最大值是1. 故选：C. 12. D解：设()()1122,,,A x y B x y .则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭. 可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+.因为,A B 在双曲线上.则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.两式相减得()2222121209y y x x ---=. 所以221222129AB y y k k x x -⋅==-. 对于选项A ： 可得1,9AB k k ==.则:98AB y x =-.联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩.消去y 得272272730x x -⨯+=.此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<. 所以直线AB 与双曲线没有交点.故A 错误； 对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-.则95:22AB y x =--. 联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.消去y 得245245610x x +⨯+=. 此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<. 所以直线AB 与双曲线没有交点.故B 错误； 对于选项C ：可得3,3AB k k ==.则:3AB y x =由双曲线方程可得1,3a b ==.则:3AB y x =为双曲线的渐近线. 所以直线AB 与双曲线没有交点.故C 错误； 对于选项D ：94,4AB k k ==.则97:44AB y x =-. 联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.消去y 得2631261930x x +-=. 此时21264631930∆=+⨯⨯>.故直线AB 与双曲线有交两个交点.故D 正确； 故选：D.二、填空题13.94解：由题意可得：221p =⨯.则25p =.抛物线的方程为25y x =.准线方程为54x =-.点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭. 故答案为：94.14.解：因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则sin 0,cos 0θθ>>. 又因为sin 1tan cos 2θθθ==.则cos 2sin θθ=.且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ.解得sin θ=或sin θ=（舍去）.所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ故答案为：5- 15. 8解：作出可行域如下图所示：2z x y =-.移项得2y x z =-.联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩.解得52x y =⎧⎨=⎩.设()5,2A .显然平移直线2y x =使其经过点A .此时截距z -最小.则z 最大. 代入得8z =. 故答案为：8. 16. 2解：如图.将三棱锥S ABC -转化为直三棱柱SMN ABC .设ABC ∆的外接圆圆心为1O ,半径为r .则2sin AB r ACB ===∠可得r =. 设三棱锥S ABC -的外接球球心为O .连接1,OA OO .则112,2OA OO SA ==. 因为22211OA OO O A =+.即21434SA =+.解得2SA =. 故答案为：2.三、解答题17.（1）11z =.261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【小问1详解】545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==.536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==.552.3541.311z x y =-=-=.i i i z x y =- 的值分别为: 9,6,8,8,15,11,19,18,20,12-.故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s -+-+-+--+-++-+-+-+-==【小问2详解】由（1）知:11z =.==故有z ≥ 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.（1）152n a n =-（2）2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩【小问1详解】 设等差数列的公差为d .由题意可得211011110910402a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩.即1111298a d a d +=⎧⎨+=⎩.解得1132a d =⎧⎨=-⎩. 所以()1321152n a n n =--=-. 【小问2详解】 因为()213152142n n n S n n +-==-.令1520n a n =->.解得152n <.且*n ∈N . 当7n ≤时.则0n a >.可得2121214n n n n T a a a a a a S n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==-；当8n ≥时.则0n a <.可得()()121278n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+()()()222777221477141498n n S S S S S n n n n =--=-=⨯---=-+；综上所述：2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩. 19. （1）证明见解析（2）3【小问1详解】连接,DE OF .设AF tAC =.则(1)BF BA AF t BA tBC =+=-+.12AO BA BC =-+.BF AO ⊥. 则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=-+⋅-+=-+=-+=.解得12t =.则F 为AC 的中点.由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点. 于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==.即,//DE OF DE OF =.则四边形ODEF 为平行四边形.//,EF DO EF DO =.又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO .所以//EF 平面ADO . 【小问2详解】过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M . 因为,PB PC O =是BC 中点.所以PO BC ⊥.在Rt PBO △中.12PB BO BC ===所以2PO ==.因为,//AB BC OF AB ⊥.所以OF BC ⊥.又PO OF O ⋂=.,PO OF ⊂平面POF . 所以BC ⊥平面POF .又PM ⊂平面POF . 所以BC PM ⊥.又BC FM O =.,BC FM ⊂平面ABC .所以PM ⊥平面ABC .即三棱锥-P ABC 的高为PM .因为120POF ∠=︒.所以60POM ∠=︒.所以sin 6022PM PO =︒=⨯=又11222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△所以11333P ABC ABC V S PM -=⋅=⨯=△.20. （1）()ln 2ln 20x y +-=； （2）1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 【小问1详解】 当1a =-时.()()()11ln 11f x x x x ⎛⎫=-+>-⎪⎝⎭. 则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=-⨯++-⨯ ⎪+⎝⎭. 据此可得()()10,1ln 2f f '==-.所以函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x -=--. 即()ln 2ln 20x y +-=. 【小问2详解】由函数的解析式可得()()()2111=ln 111f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'-+++⨯>- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. 满足题意时()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立.令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭.则()()()21ln 10x x x ax -++++≥. 令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++.原问题等价于()0g x ≥在区间()0,∞+上恒成立. 则()()2ln 1g x ax x '=-+.当0a ≤时.由于()20,ln 10ax x ≤+>. 故()0g x '<.()g x 在区间()0,∞+上单调递减.此时()()00g x g <=.不合题意; 令()()()2ln 1h x g x ax x '==-+. 则()121h x a x -'=+. 当12a ≥.21a ≥时.由于111x <+. 所以()()0,h x h x '>在区间()0,∞+上单调递增. 即()g x '在区间()0,∞+上单调递增.所以()()>00g x g ''=.()g x 在区间()0,∞+上单调递增.()()00g x g >=.满足题意.当102a <<时.由()1201h x a x =-=+'可得1=12x a-. 当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时.()()0,h x h x '<在区间10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.即()g x '单调递减. 注意到()00g '=.故当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时.()()00g x g ''<=.()g x 单调递减.由于()00g =.故当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时.()()00g x g <=.不合题意. 综上可知：实数a 得取值范围是1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.21.（1）22194y x +=（2）证明见详解 【小问1详解】由题意可得2222b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩.解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩. 所以椭圆方程为22194y x +=.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在.设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++.联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩.消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=.则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->.解得0k <.可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++. 因为()2,0A -.则直线()11:22y AP y x x =++. 令0x =.解得1122y y x =+. 即1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.同理可得2220,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭.则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++. 所以线段PQ 的中点是定点()0,3.【选修4-4】（10分）22.（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),022,-∞+∞【小问1详解】因为2sin ρθ=.即22sin ρρθ=.可得222x y y +=. 整理得()2211x y +-=.表示以()0,1为圆心.半径为1的圆.又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ.且ππ42θ≤≤.则π2π2≤≤θ. 则[][]sin 20,1,1cos21,2x y =∈=-∈θθ.故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈. 【小问2详解】 因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数.ππ2α<<）.整理得224x y +=.表示圆心为()0,0O ,半径为2.且位于第二象限的圆弧. 如图所示.若直线y x m =+过()1,1.则11m =+. 解得0m =；若直线y x m =+.即0x y m -+=与2C 相切.则20m =>⎩.解得m =.若直线y x m =+与12,C C 均没有公共点.则m >0m <. 即实数m 的取值范围()(),022,-∞+∞.【选修4-5】（10分）23. （1）[2,2]-； （2）6. 【小问1详解】依题意.32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩.不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩.解2326x x x>⎧⎨-≤-⎩.得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩.得02x ≤≤.解0326x x x<⎧⎨-+≤-⎩.得20x -≤<.因此22x -≤≤.所以原不等式的解集为：[2,2]- 【小问2详解】 作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域.如图中阴影ABC ∆.由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩.解得(2,8)A -.由26y x x y =+⎧⎨+=⎩. 解得(2,4)C . 又(0,2),(0,6)B D所以ABC ∆的面积11|||62||2(2)|822ABCC A S BD x x =⨯-=-⨯--=.。
2022年12月高三全国大联考(全国乙卷)文科数学试卷及答案
参考数据： ， ， ， .
参考公式：相关系数 ，回归直线方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
， .
19．如图，正三棱柱 的底面边长为2，高为3， 在棱 上， ， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
20．已知函数 ， ， 为常数， 的图象在点 处的切线方程为 .
故选：D
8．C
【分析】先判断函数 的奇偶性与单调性，再解不等式，求不等式成立的一个充分不必要条件是求其一个真子集.
【详解】函数 定义域为R，
因为 ，所以 是一个奇函数.
因为 ，所以 在R上单调递增.
因为 ，又 是一个奇函数，
所以 ，
又 在R上单调递增，
所以 ，解得 .
不等式 成立的一个充分不必要条件是集合 的真子集，所以选项C正确.
【详解】由抛物线 ： ，可知 ，焦点 ，
因为 过焦点 ，所以 ，
设 ，
联立 ，消元得 ，
则 ，
由抛物线定义知 .
故选：A
7．D
【分析】根据图像变换求得 的解析式，再求得 的对称中心.
【详解】函数 的图像向右平移 个单位长度，得到函数 ，所以 ，
令 ，即 的对称中心为 ，
令 ，求得 的一个对称中心为 .
A． B． C． D．3
12．已知各项不等于0的数列 满足 ， ， .设函数 ， 为函数 的导函数.令 ，则 （）
A． B．36C． D．54
二、填空题
13．已知平面向量 ， ，则平面向量 与 的夹角为______.
14．已知圆 ： ，且圆外有一点 ，过点 作圆 的两条切线，且切点分别为 ， ，则 ______.
2022年江西省高考数学试卷及答案(文科)(乙卷)
绝密★启用前2022年江西省高考数学试卷及答案（文科）（乙卷）副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 集合M ={2,4,6,8,10}，N ={x|−1<x <6}，则M ∩N =( )A. {2,4}B. {2,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,4,6,8,10}2. 设(1+2i)a +b =2i ，其中a ，b 为实数，则( )A. a =1，b =−1B. a =1，b =1C. a =−1，b =1D. a =−1，b =−13. 已知向量a ⃗=(2,1)，b ⃗⃗=(−2,4)，则|a ⃗⃗−b ⃗⃗|=( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：ℎ)，得如图茎叶图：则下列结论中错误的是( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C. 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥2,x +2y ≤4,y ≥0,则z =2x −y 的最大值是( )A. −2B. 4C. 8D. 126. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，点A 在C 上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=( )A. 2B. 2√2C. 3D. 3√27. 执行如图的程序框图，输出的n =( )A. 3B. 4C. 5D. 68. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. y =−x 3+3xx 2+1B. y =x 3−xx 2+1C. y =2xcosx x 2+1D. y =2sinx x 2+19. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则( )A. 平面B 1EF ⊥平面BDD 1B. 平面B 1EF ⊥平面A 1BDC. 平面B 1EF//平面A 1ACD. 平面B 1EF//平面A 1C 1D10. 已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2−a 5=42，则a 6=( )A. 14B. 12C. 6D. 311. 函数f(x)=cosx +(x +1)sinx +1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为( )A. −π2，π2B. −3π2，π2C. −π2，π2+2D. −3π2，π2+212. 已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )A. 13B. 12C. √33 D. √22第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若2S 3=3S 2+6，则公差d =______．14. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为______． 15. 过四点(0,0)，(4,0)，(−1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为______． 16. 若f(x)=ln|a +11−x |+b 是奇函数，则a =______，b =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。
2023年高考文科数学(全国乙卷)及答案
２０２３年高考文科数学试卷（全国乙卷）一、选择题1.232i 2i ++=（）A.1B.2C.D.52.设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A.{}0,2,4,6,8 B.{}0,1,4,6,8 C.{}1,2,4,6,8 D.U3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A .24B.26C.28D.304.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A.10π B.5π C.310π D.25π5.已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数，则=a （）A.2- B.1- C.1 D.26.正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A.B.3C. D.57.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A.18B.16C.14D.128.函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）A.(),2-∞- B.(),3-∞- C.()4,1-- D.()3,0-9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A.56B.23C.12D.1310.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.32B.12-C.12D.3211.已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A.3212+B.4C.1+D.712.设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1 B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______.14.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．15.若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为______.16.已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =________．三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．19.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥-P ABC 的体积．20.已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程．（2）若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求a 的取值范围．21.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是3，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+-（1）求不等式()6x f x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．２０２３年高考文科数学试卷（全国乙卷）答案一、选择题【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B【9题答案】【答案】A【10题答案】【答案】D【11题答案】【答案】C【12题答案】【答案】D二、填空题【13题答案】【答案】94【14题答案】【答案】5-【15题答案】【答案】8【16题答案】【答案】2三、解答题【17题答案】【答案】（1）11z =，261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【18题答案】【答案】（1）152n a n=-（2）2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）3【20题答案】【答案】（1）()ln 2ln 20x y +-=；（2）1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【21题答案】【答案】（1）22194y x +=（2）证明见详解【选修4-4】（10分）【22题答案】【答案】（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),0-∞+∞【选修4-5】（10分）【23题答案】【答案】（1）[2,2]-；（2）6.。
2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)文科综合及参考答案
文科综合一、选择题：本题共35小题,每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
中心城区通常为城市中人口最密集的区域。
表1数据显示上海、北京、广州、深圳四城市2010年中心城区人口比重及201（）〜2020年中心城区和中心城区以外地区人口数量的变化。
据此完成1〜3题。
表11. 2010〜202（）年四城市人口变化的共同特点是（）A.总人口增加，中心城区人口比重下降B.总人口减少，中心城区人口比重上升C.总人口增加，中心城区人口比重上升D.总人口减少，中心城区人口比重下降2.与四城市人口变化共同特点类似的中国其他城市，一般具有（）A.相似的空间形态B.趋同的主导产业C. 一致的功能定位D.相近的等级规模3.根据四城市人口变化特点，城市规划应该引导（）A.人口向中心城区再集聚B.人口在中心城区以外地区集聚C.中心城区核心功能疏解D.人口在中心城区以外地区均衡布局当雄是拉萨唯一的纯牧业县，牧民占比约90%,依托特色畜种耗牛，走产业扶贫之路。
甲公司成立于2017年初，采取“公司+农户”的模式（图1）,生产的有“身份证''的相牛肉产品销往全国各地，广受消费者欢迎。
据此完成4〜6题。
文科综合一、选择题：本题共35小题,每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
中心城区通常为城市中人口最密集的区域。
表1数据显示上海、北京、广州、深圳四城市2010年中心城区人口比重及201（）〜2020年中心城区和中心城区以外地区人口数量的变化。
据此完成1〜3题。
表11. 2010〜202（）年四城市人口变化的共同特点是（）A.总人口增加，中心城区人口比重下降B.总人口减少，中心城区人口比重上升C.总人口增加，中心城区人口比重上升D.总人口减少，中心城区人口比重下降2.与四城市人口变化共同特点类似的中国其他城市，一般具有（）A.相似的空间形态B.趋同的主导产业C. 一致的功能定位D.相近的等级规模3.根据四城市人口变化特点，城市规划应该引导（）A.人口向中心城区再集聚B.人口在中心城区以外地区集聚C.中心城区核心功能疏解D.人口在中心城区以外地区均衡布局当雄是拉萨唯一的纯牧业县，牧民占比约90%,依托特色畜种耗牛，走产业扶贫之路。
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文科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1.A2. A3. D4. C5. C6. B7. B8. A9. A10. D11. D12. C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.2
14. ##0.3
15. 或 或 或 ；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22.（1）
（2）
[选修4—5：不等式选讲]
23.【小问1详解】
证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
【小问2详解】
证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
过 作 ，垂足为 ，
在 中， ，解得 ，
所以 ，
所以
过 作 ，垂足为 ，则 ，所以 平面 ，且 ，
所以 ,
所以 .
19.（1） ；
（2）
（3）
20.（1）
（2）
21.（1）
（2）
【小问1详解】
解：设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为： .
【小问2详解】
，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
16. ①. ；②. ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.（1） ；
（2）由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
18.【小问1详解】
由于 ， 是 的中点，所以 .
由于 ，所以 ，
所以 ，故 ，
由于 ， 平面 ，
所以 平面 ，
由于 平面 ，所以平面 平面 .
【小问2详形，
所以 ，
由于 ，所以三角形 是等腰直角三角形，所以 .
，所以 ，
由于 ， 平面 ，所以 平面 .
由于 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
由于 ，所以当 最短时，三角形 的面积最小值.