线性代数练习题(有答案)

《线性代数》 练习题
一、选择题
1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）
A 、|A
B |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+
C 、22))((B A B A B A -=-+
D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定
3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________
4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.
5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )
(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题
6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A
6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2
2022
12020-⎛⎫
⎪--- ⎪ ⎪-⎝
⎭
2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭22
21
86240-⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪--⎝
⎭
7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-
8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .
8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，
A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11
(3)3
A A E -=-.
9、计算行列式:1
01430021
132
1221---=
D
9、69D =-.
10、计算行列式D =
4
23200200525
0230---- 10、解：D =
4
2320
0200
525
230----0
205252
304--=55208---=80-=
11、计算n 阶行列式a
b
b
b b a b
b b a D =
11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。

12、计算n 阶行列式1
211
32
121---=
n n n n n n D 12、(1)(2)
12
(1)(1).2
n n n n n D ---+=-。

13、已知矩阵220213010A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，利用初等行变换法求A 的逆矩阵1-A .
13、解:对(A ,E )施行初等行变换：
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛100010010312001022⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛
--−→−
3131311001000101021001 ⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=∴-313131
10010211
A
14、已知矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-----=461351341A ，利用初等行变换法求A 的逆矩1-A .
14、解:对(A ,E )施行初等行变换：
143100153010164001--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭100223010110001121⎛⎫
⎪−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭ 1223110121A -⎛⎫
⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭
15、设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值时,可使矩阵的秩分别为
(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.
15、解:对A 施行初等行变换：
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(001101132321321k k k k k k k k A
所以，(1) 当k =1时，R (A )=1;(2) 当k =-2时，R (A )=2; (3) 当12k k ≠≠-且时，R (A )=3.
16、设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=11
11
11k k k A ,问k 分别为何值时,可使矩阵的秩分别为 (1)r (A )=1; (2)r (A )=2; (3)r (A )=3.
16、解:对A 施行初等行变换：
2111111110-11-0111101100(1)(2)k k k A k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=−−−−→−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭初等变换
所以，(1) 当k =1时，R (A )=1 (2) 当k =-2时，R (A )=2; (3) 当12k k ≠≠-且时，R (A )=3.
17、求齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=-++=--+=-++0
51050363024321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解.
17、解：对系数矩阵A 施行初等行变换：
A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-−→−000001001021，所以此方程组的基础解系为，
2110,120001ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 通解为 12122110
,,.0001k k k k R η
-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
18、求齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=---=--+=+++0
3402220
22432
143214321x x x x x x x x x x x x 的通解
18、解：对系数矩阵A 作作初等行变换
122121221143A ⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝－－－－－1221030⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－6－4－3－6－4 →122100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦4123000→10200⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
5－－34123000,由于()24,R A =<故该方程组有非零解，且基础解系含有4-2=2个解向量。

令
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10,0143x x ,得方程的一个基础解系为52324
,,1231001ηη⎡⎤⎢⎥⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
所以方程组的所有解为121252324
1231001k k k k x ηη⎡⎤
⎢⎥⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-=+=+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
,其中，12,k k 为任意实数。

19、求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值与特征向量
19、解：(1)矩阵A 的特征值为1231, 2.λλλ=-==(2)当特征值为11λ=-时，A 的
所有特征向量为1111110,,0;1k k k R k α⎛⎫
⎪
=∈≠ ⎪ ⎪⎝⎭
且当特征值为232λλ==时，A 的所
有特征向量为2233232310+0+1,.4-1k k k k k k R αα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
20、求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=284014013
A 的特征值与特征向量.
20、解：(1)矩阵A 的特征值为1232, 1.λλλ=-==(2)当特征值为12λ=-时，A 的
所有特征向量为1111100,,0;1k k k R k α⎛⎫
⎪
=∈≠ ⎪ ⎪⎝⎭
且当特征值为231λλ==时，A 的所
有特征向量为222221-21,,0.10-3k k k R k α⎛⎫ ⎪ ⎪
=∈≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
且。