广东省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练：平面向量
2019年高考数学(理)试题分项版解析：专题05-平面向量(分类汇编)Word版含解析
1. 【2019高考福建卷第8题】在下列向量组中，能够把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e2. 【2019高考广东卷理第5题】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A.()1,1,0- B. ()1,1,0- C.()0,1,1- D.()1,0,1-3. 【2019高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.【答案】17+【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程4. 【2019高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .5. 【2019陕西高考理第13题】设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a=，若b a //，则=θtan _______.6. 【2019高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若CΩ为两段分离的曲线，则( )A. 13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<<考点：1.平面向量的应用；2.线性规划.7. 【2019高考北京版理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则||λ= .8. 【2019高考湖北卷理第11题】设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .【答案】3±10. 【2019江西高考理第15题】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= .11. 【2019辽宁高考理第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝12. 【2019全国1高考理第15题】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()AC AB AO +=21，则AB 与AC 的夹角为_______．【考点定位】1、平面向量基本定理；2、圆的性质．13. 【2019全国2高考理第3题】设向量a,b 满足|a+b |=10，|a-b |=6，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 514. 【2019高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有准确命题的编号）. ①S 有5个不同的值. ②若,b a ⊥则min S 与a 无关. ③若,b a ∥则min S 与b 无关. ④若a b 4>，则0min >S .⑤若2min||2||,8||b a Sa ==，则a 与b 的夹角为4π2222min 34()8||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴2cos 1θ=，∴3πθ=，故⑤错误.所以准确的编号为②④.考点：1.平面向量的运算；2.平面向量的数量积.15. 【2019四川高考理第7题】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．216. 【2019浙江高考理第8题】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+17. 【2019重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）9.2A -.0B .C 3 D.15218. 【2019天津高考理第8题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF?，23CE CF ?-，则l m += （ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）71219. 【2019大纲高考理第4题】若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2B ．2C ．1D ．22。
2019年广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：平面向量
广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编平面向量一、选择、填空题1、（潮州市高三上学期期末）已知向量a ，b 满满足|a |=5，|b |=3，a •b =﹣3，则a 在b 的方向上的投影是 ﹣1 ．2、（东莞市高三上学期期末）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC CD =，则3、（佛山市高三教学质量检测（一））一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若2=，3=，)(R ∈=λλ，则=λ（ ）A ．2B ．25C ．3D ．5 4、（广州市高三12月模拟）已知抛物线:C x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若3=，则=MN (Ａ)221(Ｂ)332 (Ｃ) 10 (Ｄ) 115、（惠州市高三第三次调研）若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) （A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）正三角形 （D ）等腰直角三角形 6、（江门市高三12月调研）在中，是边的中点，，，则A ．B ．C ．D ．7、（揭阳市高三上学期期末）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC BD =,则AD =（A ）2133AB AC + （B ）1233AB AC + （C ）4133AB AC + （D ）2533AB AC + 8、（茂名市高三第一次综合测试）过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点2(,0)F c 作圆222a y x =+的切线，切点为M ，延长2M F 交抛物线24y cx =-于点,P 其中O 为坐标原点，若21()2OM OF OP =+，则双曲线的离心率为（ ） A ．7224- B ．7224+ C ．231+ D ．251+9、（清远市清城区高三上学期期末）已知向量 b a , 3且、,)(b b a ⊥+则a与b 的夹角β为10、（汕头市高三上学期期末）在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||DC DB DA ==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（ ） A ．443B ．449 C. 43637+ D ．433237+11、（韶关市高三1月调研）已知平面非零向量,a b 满足()1b a b ⋅+=，且1b =，则a 与b 的夹角为12、（肇庆市高三第二次模拟）已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且AB AC AP ABAC=+，当t 变化时，PB PC ⋅ 的最大值等于（A ）-2 （B ）0 （C ）2 （D ）413、（珠海市高三上学期期末）已知平面向量a ，b 满足a （a ＋b ）=5，且|a |=2， |b |＝1，则向量a 与b 的夹角为A.6π B.3πC.23πD.56π 14、（东莞市高三上学期期末）设向量a ＝(,2)x ，b ＝（1，－1），且a 在b 方向上的投影为，则的值是_________.15、（广州市高三12月模拟）已知菱形A B C D 的边长为2，60ABC ∠=, 则BD CD ⋅=________．16、（江门市高三12月调研）如图，空间四边形中，点分别上，，则A ．B ．C ．D ．二、解答题1、（潮州市高三上学期期末）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，→m =（a ，c ）与→n =（1+cosA ，sinC ）为共线向量． （1）求角A ；（2）若3bc=16﹣a 2，且S △ABC =，求b ，c 的值．2、（江门市高三12月调研）已知是锐角三角形，内角所对的边分别是，满足．（Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求的周长．3、（茂名市高三第一次综合测试）设,x y R ∈，向量,i j 分别为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(3)a x i y j =++, (3)b x i y j =-+,且||||4a b +=．（Ⅰ）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设椭圆22:1164x y E +=，P 为曲线C 上一点，过点P 作曲线C 的切线=+y kx m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：∆OAB 的面积为定值.参考答案 一、选择、填空题1、【解答】解：由向量、满足||=5，||=3， •=﹣3则在的方向上的投影是==﹣1，故答案为：﹣12、A3、D4、B5、【解析】因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，∵AB →－AC →＝CB →，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形，故选A. 6、D 7、A8、D 解：如图9，∵21M (OP)2O OF =+，∴M 是2F P 的中点.设抛物线的焦点为F 1，则F 1为（- c ，0），也是双曲线的焦点. 连接PF 1，OM .∵O 、M 分别是12F F 和2PF 的中点，∴OM 为 △PF 2F 1的中位线.∵OM=a ，∴|PF 1|=2 a.∵OM ⊥2PF ，∴2PF ⊥PF 1，于是可得|2PF 2b =，设P （，y ），则 c - =2a ，于是有=c-2a ， y 2=4c （c 2 a ），过点2F 作轴的垂线，点P 到该垂线的距离为2a. 由勾股定理得 y 2+4a 2=4b 2， 即4c(c-2a)+4 a 2=4(c 2- a 2)，变形可得c 2-a 2=ac ，两边同除以a 2有 210e e --=, 所以12e += ,负值已经舍去. 故选D . 9、65π 10、B 11、2π12、B 13、B 14、4 15、6 16、B二、解答题1、【解答】解：（1）由已知得asinC=c （cosA +1），∴由正弦定理得sinAsinC=sinC （cosA +1），． …（2分）∴sinA ﹣cosA=1，故sin （A ﹣）=．…由0＜A ＜π，得A=； …（2）在△ABC 中，16﹣3bc=b 2+c 2﹣bc ， ∴（b +c ）2=16，故b +c=4． ①…（9分）又S △ABC ==bc ，∴bc=4．②…（11分）联立①②式解得b=c=2．…（12分） 解：⑴……⑵由，得①……7分由⑴知3π=A ，所以bc=24 ②……8分由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bccosA ，将72=a 及①代入可得c 2+b 2=52③……10分 ③+②×2，得（c+b ）2=100，所以c+b=10，△ABC 的周长是7210+……12分 3、 (Ⅰ)解：∵ (3)a x i y j =++ ， (3)b x i y j =-+ ，且||||4a b +=4=∴ 点M （，y ）到两个定点F 1（0），F 2，0）的距离之和为4…………2分 ∴ 点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b +=>>则c =, 2a = ∴2221b a c =-= ………………3分 其方程为2214x y += …………………………………………………………………4分（Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将=+y kx m 代入椭圆E 的方程，消去x 可得222(14)84160+++-=k x kmx m 显然直线与椭圆C 的切点在椭圆E 内，由韦达定理则有,0>∆∴：122814+=-+kmx x k，212241614-=+m x x k . ……………………………………………5分所以122||14-=+x x k …………………………………………………6分因为直线=+y kx m 与y 轴交点的坐标为(0,)m ，所以∆OAB 的面积1221|||||214=-=+m S m x x k …………………7分== …………8分 设2214=+m t k将=+y kx m 代入椭圆C 的方程，可得222(14)8440+++-=k x kmx m ………10分由0∆=，可得2214=+m k 即1=t ， …………………………………………11分又因为==SS为定值. …………………………………………………………………12分故。
广东省14市2019届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：平面向量
广东省14市2019届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编平面向量一、选择、填空题1、（东莞市2019届高三上学期期末）已知向量a =(l ，1)，b ＝(2，x)，a ⊥(a －b )，则实数x 的值为A 、－2B 、0C 、1D 、22、（广州市2019届高三12月调研考试）已知向量,a b r r 的夹角为45︒ ，且1,a b ==r r 则a b -=r r ____________．3、（惠州市2019届高三第三次调研考试）在ABC ∆中，点D 是AC 上一点，且4AC AD =u u u r u u u r ，P 为BD 上一点，向量()AP AB AC λμλμ=+>0,>0u u u r u u u r u u u r ，则值为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．24、（江门市 2019届普通高中高三调研）若()()1,2,21a b a b a b ==+⋅-=-r r r r r r ，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）5、（揭阳市2019届高三上学期期末）若向量(1,)a x =r 、(1,2)b =--r不共线，且()()a b a b +⊥-r r r r ，则a b ⋅=r r _______； 6、（雷州市2019届高三上学期期末）已知O 是正方形ABCD 的中心．若−→−−→−−→−+=AC AB DO μλ，其中λ、μR ∈，则A ．2-BCD 7、（茂名市2019届高三上期末）已知向量a ＝(1，2），b ＝（m ，－1)，若a ∥（a ＋b ）， 则m ＝8、（清远市2019届高三上期末）设向量()2,1-=a ，若单位向量．．．．满足()b a a 3-⊥，则b a ⋅= .9、（汕头市2019届高三上学期期末）已知向量 a = (5, m )，b = (2，-2)，若(a - b ) ⊥ b ， 则 m =A.－1 B 、1 C 、2 D.－210、（汕尾市2019届高三上学期期末）设向量()()1,2,2,1=-=-a b x ，若λ=a b ，则=xA ．12B ．14C ．4D ．2 11、（韶关市2019届高三上学期期末）在△ABC 中，D 为AC 边的中点，若(,)AB BD BC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则A 、λ＝2，μ＝－1B 、λ＝－1，μ＝2 C 、 λ＝－2，μ＝1 D 、λ＝1，μ＝2 12、（肇庆市2019届高三上学期期末）已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足3BD DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r 可表示为A ．1344AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r B ．3144AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r C ．2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ．1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 13、（珠海市2019届高三上学期期末）在△ABC 中，BD DC =u u u r u u u r ，AP PD =u u u r u u u r ，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+＝（ ）A 、1B 、12C 、－12D 、1414、（佛山市2019届高三上学期期末）参考答案一、填空题1、B2、13、A4、C5、36、A7、12-8、35 9、B 10、B 11、C 12、A 13、C 14、A二、解答题1、（惠州市2019届高三第二次调研考试）在 ∆ABC 中， ∠ A ，∠ B ，∠ C , 所对边分别为 a ，b ，c。
2019届高三一轮复习过关题 平面向量
2019届高三数学一轮复习测试卷平面向量本卷测试要点：平面向量的概念、线性运算与数量积运算。
一．填空题：1. 已知向量()4,2a =，向量(),3b x =，且a //b ,则x =________. [解析]4320,x ⨯-⨯=则6x =.2. 设1e 与2e 是两个不共线向量，1232AB e e =+，12CB ke e =+，1232CD e ke =-， 若,,A B D 三点共线，则=k ．[解析]12(3)(21)BD CD CB k e k e =-=--+，设AB BD λ=.则3(3)k λ=-，2(21)k λ=--，解得94k =-．3． 已知向量)1,(λ=a ，)1,2(+=λb ，若a b a b +=-，则实数λ的值为 ．[解析] 22222201a b a b a a b b a a b b a b λ+=-⇒+⋅+=-⋅+⇒⋅=⇒=-．4.已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．【解析】21111112()242424OA OC OA OB OA =+=+⨯⨯-=，设OA →与OC →的夹角为θ，2211142OC OA OA OB OB =++=，则114cos 122θ==，所以OA →与OC →的夹角为θ为60︒。
5. 如图，在△ABC 中，=，P 是BN 上的一点，若=m +，则实数的值为______. 解析 ,设 则， AN 31NC AP AB 112AC m 123,.41144AP AC NP mAB AC NP mAB AC =+=+=-()3144NB NC CB AC AB AC AB AC =+=+-=-,NP NB λ=14AB AC λλ-=344mAB AC -3.11m λ==6. 如图，已知，的夹角为，若， ，为的中点，则= ．[解析]11()322AD AB AC p q =+=-，228,9,6pq p q ==⋅=， 所以222211225(3)93244AD P q p q p q =-=+-⋅=.152AD ∴=． 7.如图，在ABC ∆中，已知4,6,60A B A C B A C ==∠=︒，点,D E 分别在边,A B A C 上，且2,3AB AD AC AE ==，点F 为DE 中点，则BF DE 的值为 .[解析]1132DE AE AD AC AB =-=-, ()111311226432BF DE BD DF DE AB DE DE AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=-+⋅=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213141883AC AB AB AC =+-⋅=．8.如图，将 45直角三角板和 30直角三角板拼在一起，其中 45直角三角板的斜边与 30直角三角板的30角所对的直角边重合．若DB x DC y DA =⋅+⋅，则,x y 等于 ． [解析]以D 为坐标原点建立直角坐标系，不妨设1==DC DA则)1,0(),0,1(C A ,(,),DB x DC y DA y x →→→∴=+=， 由AC AB BC ===；2222(1)8(1)6y x y x ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，联立两式得1x y =+=（舍负）||22p =||3q =,p q 4π52AB p q =+3AC p q =-D BC ||AD ADFEBC9. 如图，一直线与平行四边形的两边分别交于两点，且交其对角线于，其中，，，，则的值为 ．解析 因为点,,F K E 共线， 故可设21(1)52mAK mAE m AF mAB AD -=+-=+ 又()AK AC AB AD λλ==+, 2152mm λ-∴==. 92=∴λ． 10.在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，CA CE λ=，若14A DB E ⋅=-，则λ的值为 ．[解析] 在边长为1的正三角形ABC 中，所以2211,2AB AC AB AC ==⋅=.由已知可得：11()()2AD BE AB AC BC CA λ→→→→→→⋅=+⋅+11()()2AB AC AC AB AC λ→→→→→=+⋅--4143])11[()(21-=-=--⋅+=→→→→λλAB AC AC AB , 3=∴λ．11. 已知A 为椭圆22195x y +=上的动点，MN 为圆C ：22(1)1x y -+=的一条直径，则AM AN 的最大值为 ．解析：()[].,3,3A m n m ∈-, ()()()()21AM AN AC CM AC CN AC CM AC CM AC ⋅=+⋅+=+⋅-=-()()2222241115(1)12699m m n m m m =-+-=-+--=-+, 3-=∴m 时，取到最大值15.12．在ABC ∆中，若对任意的，||||CA mCB AB -≥恒成立，则ABC ∆的形状为 ． 解析： |||||CB |CA mCB AB CA -=-≥，两边平方整理得到：22222CB m CB mCA CB CB CA -⋅-+⋅0≥.根据题意对任意的m R ∈，不等式恒成立，因此()()222242CB 0CA CBCB CB CA ∆=⋅--+⋅≥，根据向量数量积的定义化简不等式得：cos b C a =，再利用余弦定理得到：2222a b c b a ab+-⋅=，化简即得222a c b +=.故ABC ∆是直角三角形． R m ∈13如图ABC ∆中，3,AB BC CA PQ ===是以A 为圆心，以1为半径的圆的一条直径．问：BC 与PQ 的夹角θ为何值时，BP CQ ⋅的最小值为__________________．解析 11,22BP AP AB PQ AB CQ AQ AC PQ AC =-=--=-=-uu r uu u r uu u r uu ur uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r ，()211112242BP CQ PQ AB PQ AC PQ AB AC PQ AC AB⎛⎫⎛⎫⋅=---=-+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu ur uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r 211(2)cos 42r bc A PQ BC =-++⋅uu u r uu u r 222211()2cos 22r b c a r a θ=-++-+⋅⋅22221cos ()2ar b c a r θ=++--， 当cos 1θ=-，即πθ=时，()2222min11()(239)131622BP CQb c a r ar ⋅=+---=+---⨯=-uu r uu u r ．14.设O 是ABC ∆的外心，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知2220b b c -+=，则B C A O --→--→⋅的范围是 _________________.【解析】设D 为BC 的中点,则AO AD DO =+,得())BC AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅,又由()1,2BC AC AB AD AC AB =-=+ ,则()()()()()22222221111(2)2222BC AD AC AB AC AB AC AB b c b b b b b ⋅=-⋅+=-=-=--=-, 又因2220,c b b =->解得02b <<,结合2BC AD b b ⋅=-可求得1<24BC AD -≤⋅． 二．解答题： 15.已知向量()22,,sin ,cos ,22m n x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）若m n ⊥，求x tan 的值；（2）若m 与的夹角为π3，求x 的值． 解析 （Ⅰ）0022m n m n x x ⊥⇒⋅=⇒-=，即1tan =x . BQACP（Ⅱ）∵1,m n ==2πsin 11cos 3m n x x ⋅==⋅⋅, π1sin 42x ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭. ∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, ∴πππ,444x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.∴64ππ=-x ,即125π=x ．16.在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ．设向量(),m a b =，()sin ,sin n B A =，()2,2p b a =--． （1）若→→n m //，求证：ABC ∆为等腰三角形； （2）已知2,3c C π==，若m p ⊥，求ABC ∆的面积S ．[解析]（1）因为→→n m //所以sin sin a A b B =sin sin a A b B =由正弦定理得22a b =，即a b =. 所以ABC ∆为等腰三角形．（2）因为m p ⊥，所以()()220a b b a -+-=，即a b ab +=①，又因为2,3c C π==，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得224a b ab +-=, 即()234a b ab +-=. 把①代入得()234ab ab -=. 解得4ab =（1ab =-舍去）.所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C == 17．已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值． 解：法一：(1)由m ⊥n 得，2cos α－sin α＝0，即sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255， 所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝⎛⎭⎫552－⎝⎛⎭⎫2552＝－35.(2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010. 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4. 18.已知过点且斜率为k 的直线l 与圆C ：交于N M ,两点. （1）求k 的取值范围；（2），其中O 为坐标原点，求. [解析]（1）由题设，可知直线l 的方程为.因为l 与C 交于两点，所以,解得. （2）设.将代入方程,整理得,所以 21212121224(1)1()81k k OM ON x x y y k x x k x x k+⋅=+=+++=++, 由题设可得，解得，所以l 的方程为.故圆心()3,2C 在直线l 上，所以.19. 已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，)121(,,2<<==→→→→λλλBC BF BA BE , 过点F 作BC DF ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E ．（1）当32=λ时，设→→→→==b BC a BA ,，用向量→→b a ,表示；（2）当λ为何值时，AE FC ⋅取得最大值，并求出最大值．[解析]（1）由题意可知：2,3BF b →→=且2,BF →=4,BE →=，()1,0A ()()22231x y -+-=12OM ON ⋅=MN 1y kx=+1<k <1122(,),(,)M x y N x y 1y kx =+()()22231x y -+-=22(1)-4(1)70k x k x +++=1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++24(1)8=121k k k +++=1k 1y x =+||2MN =故4433BE BA a →→→==， 4233EF BF BE a b →→→→→=-=-+ .（2）由题意，3,33BF FC λλ→→==-，6,63BE AE λλ→→==-，2279(63)(33)c o s 60922AE FC λλλλ→→⋅=--=-+-. 当27312,19242λ⎛⎫=-=∈ ⎪-⨯⎝⎭时，→→⋅FC AE 有最大值169．20．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B .(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A ＋1tan C 的值．解：(1)因为m ·n ＝3b cos B ， 所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ， 所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B . 因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13.(2)因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由正弦定理，得sin 2B ＝sin A sin C . 因为cos B ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sin B ＝223. 所以1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A sin C ＋sin A cos C sin A sin C ＝sin A ＋Csin A sin C＝sin B sin A sin C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝324.。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题25 平面向量的模长问题
专题25 平面向量的模长问题【热点聚焦与扩展】平面向量中涉及模长的问题，常用解法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，因此，解答这类问题时可以利用数形结合的思想，利用代数和几何特征，会加快解题速度. 本专题拟通过典型例题，介绍代数法和几何法两种思路，以期对大家有所启发. （一）代数法利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过22cos0a a a a =⋅=可得：22a a =，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系.要注意计算完向量数量积后别忘记开方 2、坐标运算：若(),a x y =，则2a x =+某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 （二）几何法1、向量和差的几何意义：已知向量,a b ，则有：（1）若,a b 共起点，则利用平行四边形法则求a b +，可得a b +是以,a b 为邻边的平行四边形的对角线 （2）若,a b 首尾相接，则利用三角形法则求出a b +，可得a b +，,a b 围成一个三角形 2、向量数乘的几何意义：对于a λ（1）共线（平行）特点：a λ与a 为共线向量，其中0λ>时，a λ与a 同向；0λ<时，a λ与a 反向 （2）模长关系：a a λλ=⋅ 3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设ABC 三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ① 正弦定理：sin sin sin a b cA B C== ② 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形. （3）矩形：若四边形ABCD 的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长【经典例题】例1.【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2019届高三上学期9+1联考】如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中2AB =，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC PB ⋅的最大值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1- 【答案】B【解析】连结BC ，则=90ACB ∠︒ ∵AP PC ⊥∴()21AC PB PC⋅=≤∴AC PB ⋅的最大值为1 故选B点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 例2.已知向量,a b 的夹角为45，且1,210a a b =-=，则b =（ ）2 C. 【答案】D【解析】思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知2,,4AB B AC π===只需利用余弦定理求出BC 即可.解1：如图可得：b BC =，在ABC 中，有：2222cos AC AB BC AB BC B =+-例3. 已知向量,a b ，且1,2a b ==，则2b a -的取值范围是（ ）A. []1,3B. []2,4C. []3,5D. []4,6【答案】[]3,5解2：222244174cos ,178cos ,b a b a b a a b a b a b -=-⋅+=-=- 因为[]cos ,1,1a b ∈- []229,25b a ∴-∈即[]23,5b a -∈例4.【2019届浙江省杭州市高三第二次检测】记的最大值和最小值分別为和.若平面向量满足则（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知可得：，建立平面直角坐标系，，，可得：点睛：本题主要考查的知识点是向量的数量积及模的关系.通过建立平面直角坐标系将其转化为点与圆的位置关系，就可以求出距离的最值，解答本题的关键是转化，理解并掌握本题的解题方法.有一定的难度.例5.【2019届北京市城六区高三一模】已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是A. 的取值范围为B. 取值范围为C. 的取值范围为D. 若，则实数的取值范围为【答案】B【解析】∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM=+1，ON=+1时，取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正确；设M （1+cos α，1+sin α）， N （﹣1+cos β，﹣1+sin β），则=（cos α+cos β，sin α+sin β），∴2=2cos αcos β+2sin αsin β+2=2cos （α﹣β）+2， ∴0≤≤2，故B 错误；故选B ．例6.【2017浙江，15】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】【名师点睛】本题通过设入向量,a b 的夹角θ，结合模长公式， 解得54cos a b a b ++-=+转化能力和最值处理能力有一定的要求．例7.【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=所以|2|12a b +==秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为例8.【2019届山西省孝义市高三下学期一模】已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________． 【答案】【解析】分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解.详解：如图所示，∴∵，∴∴所以向量与的夹角是120°. 故填120°.例9.【2019届湖北省高三4月调研】已知向量a 与b 的夹角为30°，2a b -=，则a b +的最大值为_________．【答案】4+【解析】分析：由题意2a b -=，利用基本不等式和向量的运算，求的a b ⋅≤进而可求得a b +的最大值.所以()2222024444cos30423a ba ba b a b a b a b a b +=+=++⋅=+⋅=+⋅=+⋅428≤+=+a b =时，等号成立，所以28164a b +≤+=+.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 例10.已知平面向量,,a b c 满足1,2a b ==，且1a b ⋅=-，若向量,a c b c --的夹角为60，则c 的最大值是_________.【答案】32sin BD d R BAD===，即max 221c =答案：3D【精选精练】1．已知正方形ABCD 的边长为1， 则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据平面向量的基本定理，得到，即可求解其模．详解：因为正方形的边长为，，则，因为，所以，故选C．点睛：本题考查了两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模模的方法，运用向量和三角形法则求出向量的和是解题的关键．2.【2019届山东省栖霞市第一中学高三4月模拟】已知向量，，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D3.【浙江省嘉兴第一中学2019届高三9月基础知识测试】若，且，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】故选：D. 4．对于任意向量，下列说法正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，根据向量加法的三角形法则，且三角形两边之差小于第三边，则，同理，所以，故正确答案为A.5．已知向量a ， b 满足： 324,a b a b ==+=，，，则a b =﹣3 【答案】D【解析】分析：利用向量的数量积运算及向量的模运算即可求出．详解：∵|a |=3，|b |=2，|a +b |=4， ∴|a +b |2=|a |2+|b |2+2a b ⋅=16，∴2a b ⋅=3，∴|a ﹣b |2=|a |2+|b |2﹣2a b ⋅=9+4﹣3=10，∴|a ﹣b ， 故选：D ．6．【2019届四川省绵阳市三诊】ABC ∆中， 5AB =， 10AC =， 25AB AC ⋅=，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且3255AP AB AC λ=- R λ∈（），则AP 的最大值是（ ）A.2C. 39D. 41 【答案】B因为10λ-≤≤，所以2AP 的最大值为37，故maxAP= B.点睛：本题中向量,AB AC 的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算2216129AP λλ=-+，其中λ的取值范围可以由P 的位置来确定.7．【2019届辽宁省部分重点中学协作体高考模拟】已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（ ）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】分析：以为原点，以为轴，建立坐标系，可得，，利用配方法可得的最小值.，故选C.点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则；（２）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）. 8．【2019届湖南省永州市三模】在中，，，，是上一点，且，则等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】在中，，，是是上一点，且，如图所示，设，所以，所以，解得，所以，故选C ．8.【浙江省台州市2019届高三上学期期末】已知m ， n 是两个非零向量，且1m =， 23m n +=，则m n n ++的最大值为（ ）C. 4D. 5 【答案】B 【解析】9．【2019届四川省蓉城名校高三4月联考】已知圆1C ： ()2251x y ++=， 2C ： ()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ）A. 4 D. 【答案】A【解析】∵圆1C ： ()2251x y ++=，圆2C ： ()225225x y -+=，088,x -≤≤minCM∴=== ，选A.10．设向量a ， b ， c 满足1a b ==， 1·2a b =-， ,60a c b c --=︒则c 的最大值等于（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A【解析】∵1a b ==，且1·2a b =-，∴a b ，的夹角为120°， 设,,OA a OB b OC c ===则,CA a c CB b c =-=- 如图所示， 则∠AOB=120°；∠ACB=60° ∴∠AOB+∠AOC=180° ∴A，O ，B ，C 四点共圆，∵AB b a =-， 2222|||2?|3AB a b a a b b =-=-+= ∴ 3.AB =由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=2sin ABACB=∠.当OC 为直径时， c 最大，最大为2．故选：A ．点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，·cos ·a b a b θ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a 在b 上的投影是a bb⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.11.，与的夹角为，则的最小值是______,的最小值是_______．【答案】,,即的最小值是.12.【2019届天津市十二校二模】已知直角梯形中，，，，，，是腰上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，可设，可得，，利用二次函数配方法可得结果.详解：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，，即的最小值为，故答案为.。
专题07 平面向量-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理) Word版含解析
专题07 平面向量1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足，且b ，则a 与b 的夹角为||2||=a b ()-a b ⊥A ．B ．π6π3C ． D ．2π35π6【答案】B【解析】因为b ，所以=0，所以，所以=()-a b ⊥2()-⋅=⋅-a b b a b b 2⋅=a b b cos θ22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为，故选B ．π3【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．[0,]π2．【2019年高考全国II 卷理数】已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则=ABAC BC AB BC ⋅A ．−3B ．−2C ．2D ．3【答案】C【解析】由，，得，则，(1,3)BC AC AB t =-=- 1BC == 3t =(1,0)BC = ．故选C ．(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“与的夹角为锐角”是“”AB AC||||AB AC BC +> 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与的夹角为锐角，所以，即ABAC2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，因为，所以|+|>||；22||||AB AC AC AB +>- AC AB BC -= AB AC BC当|+|>||成立时，|+|2>|-|2•>0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB AC BC AB AC AB AC AB ⇒ AC与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C ．AB AC AB AC AB AC BC【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若，则___________.2=c a cos ,=a c 【答案】23【解析】因为，，2=-c a 0⋅=a b所以，22⋅=⋅a c a b 2=，所以，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ||3=c 所以 ．cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．5．【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点ABCD ,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥E 在线段的延长线上，且，则_____________．CB AE BE =BD AE ⋅=【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，则，.5,AB AD ==B 5)2D 因为∥，，所以，AD BC 30BAD ∠=︒30ABE ∠=︒因为，所以，AE BE =30BAE ∠=︒所以直线，其方程为，BEy x =-直线的斜率为.AE y x =由得，yx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x =1y =-所以.1)E -所以.5)1)12BD AE =-=- 【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.6．【2019年高考江苏卷】如图，在中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于ABC △点.若，则的值是_____.O 6AB AC AO EC⋅=⋅ABAC【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．，()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭得即2213,22AB AC = AB = ABAC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.7．【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1，当每个取遍时，ABCD (1,2,3,4,5,6)i i λ=±1的最小值是________；最大值是_______.123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++【答案】0；所以当时，有最大值1256341,1λλλλλλ======-max y ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形中，,ABCD 4AB =u u u r 2AD =．若点，分别是，的中点，则M N CD BC AM MN ⋅=A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：，12AM AD DM AD AB =+=+ .1122MN CN CM CB CD =-=- 11112222BC DC AD AB =-+=-+ ∴.111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅= 故选：C ．【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．9．【福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量，满足，a b ||1=a ||=b 且与的夹角为，则a b 6π()(2)+⋅-=a b a b A ．B ．1232-C ．D ．12-32【答案】A【解析】.()()221222312+-=-+⋅=-+=a b a b a b a b 故选A.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．10．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量，，(1,2)=a (2,3)=-b ，若，则实数(4,5)=c ()λ+⊥a b c λ=A ．B ．12-12C ．D ．2-2【答案】C【解析】因为，，(1,2)=a (2,3)=-b 所以，()12,23λλλ-+a +b =又，所以，()λ+⊥a b c ()0λ+⋅=a b c 即，解得.()()4125230+=λλ-+2λ-= 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.11．【2019届北京市通州区三模数学试题】设，均为单位向量，则“与夹角为”是“”a b a b 2π3||+=a b 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为，均为单位向量，a b 若与夹角为，a b 2π3则，||1+===a b因此，由“与夹角为”不能推出“”；a b 2π3||+=a b若，则||+=a b ||+===a b 解得，即与夹角为，1cos ,2=a b a b π3所以，由“”不能推出“与夹角为”||+a b a b 2π3因此，“与夹角为”是“”的既不充分也不必要条件.a b 2π3||+=a b 故选D【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量的数量积运算法则即可，属于常考题型.12．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试数学（二)】在中，，ABC △2AB AC AD += AE DE +=0，若，则EB xAB y AC =+A ．B ．3y x=3x y=C ．D ．3y x =-3x y=-【答案】D【解析】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的2AB AC AD += D BC AE DE +=0E AD 中点，所以有：，因此11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，故题选D.31,344x y x y =-=⇒=-【名师点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.13．【2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学试题】已知直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O为坐标原点，若，则实数m =32AO AB ⋅=A ．B ．1±C ．D ．12±【答案】C【解析】联立 ，得2x 2+2mx +m 2−1=0，221y x mx y =+⎧⎨+=⎩∵直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴=-2m 2+8＞0，解得，∆x <<设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−m ，，21221-=m x x y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，=（-x 1，-y 1），=（x 2-x 1，y 2-y 1），AOAB∵+y 12-y 1y 2=1+m 2-m 2=2-m 2=，21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=- 221122m m ----23解得m =．±故选：C ．【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．14．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形的边长ABCD 为2，，点，分别在边，上，，，若，120BAD ∠=︒E F BC DC 3BC BE =DC DF λ=1AE AF ⋅=则的值为λA ．3B ．2C ．D ．2352【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭且：，224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-故，解得：.()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭2λ=故选：B.【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】在矩形中，与相ABCD 3,4,AB AD AC ==BD 交于点，过点作，垂足为，则O A AE BD ⊥E AE EC ⋅=A ．B ．57214425C ．D ．1252512【答案】B【解析】如图：由，得：，3AB =4=AD 5BD ==125AB AD AE BD ⋅==又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅ ，，AE BD ⊥ 0AE EO ∴⋅= 又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅== .14425AE EC ∴⋅= 故选B.【名师点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题.16．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE的中点，则AF =A ．B ．3144AB AD + 1344AB AD + C ．D ． 12AB AD + 3142AB AD + 【答案】D 【解析】根据题意得：，又，，所以1()2AF AC AE =+ AC AB AD =+ 12AE AB = .故选D.1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+ 【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.17．【2019年北京市高考数学试卷】已知向量=（－4，3），=（6，m ），且，则m =__________.a b ⊥a b 【答案】8.【解析】向量4,36,m =-=⊥（），（），，a b a b 则.046308m m ⋅=-⨯+==，，a b 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.18．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆的弦的22450x y x ++-=AB 中点为，直线交轴于点，则的值为__________.(1,1)-AB x P PA PB ⋅ 【答案】8.【答案】5-【解析】设，圆心，(1,1)M -(2,0)C -∵，10112MC k -==-+根据圆的性质可知，，1AB k =-∴所在直线方程为，即，AB 1(1)y x -=-+0x y +=联立方程可得，，224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩22450x x +-=设，，则，11(,)A x y 22(,)B x y 1252x x =-令可得，0y =(0,0)P ，12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==- 故答案为：5．-【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用，属于常考题型.。
2019年高考数学试题分项版—平面向量(解析版)
2019年高考数学试题分项版——平面向量（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，8)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.B.C.D.答案 B解析 设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.2．(2019·全国Ⅱ文，3)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(3,2)，则|a －b |等于( ) A. B ．2 C ．5 D ．50 答案 A解析 ∵a －b ＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)， ∴|a －b |＝ ＝ . 即2x ＋y －2π＋1＝0.3．(2019·全国Ⅰ理，7)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.B.C.D.答案 B解析 设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.4．(2019·全国Ⅱ理，3)已知 ＝(2,3)， ＝(3，t )，| |＝1，则 · 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为＝ － ＝(1，t －3)，所以| |＝ ＝1，解得t ＝3，所以 ＝(1,0)，所以 · ＝2×1＋3×0＝2，故选C.5．(2019·北京理，7)设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】“AB 与AC 的夹角为锐角” ⇒ “||||AB AC BC +>”，“ ||||AB AC BC +>” ⇒ “AB 与AC 的夹角为锐角”，由此能求出结果． 【解析】：点A ，B ，C 不共线，“AB 与AC 的夹角为锐角” ⇒ “||||AB AC BC +>”， “||||AB AC BC +>” ⇒ “AB 与AC 的夹角为锐角”，∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的充分必要条件． 故选：C ．【归纳与总结】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，13)已知向量a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)，则cos 〈a ，b 〉＝________. 答案 －解析 ∵a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)， ∴a ·b ＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a |＝ ＝2 ，|b |＝ ＝10. ∴cos 〈a ，b 〉＝＝＝－. 2．(2019·北京文，9)已知向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 答案 8解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0. 又∵a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )， ∴－4×6＋3m ＝0，解得m ＝8.3．(2019·浙江，17)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i ＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6 |的最小值是________，最大值是________． 答案 0 2解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，所以λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6 ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当 时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6 |取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6|取得最大值＝2.4.(2019·江苏，12)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是_________．答案解析方法一以点D为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，a>0，c>0，由BE＝2EA得E，则直线OA：y＝x，直线CE：(b－2a)y＝c(x－a)，联立可得O，则·＝(－a－b，－c)·(a－b，－c)＝b2＋c2－a2，·＝·＝，由·＝6·得b2＋c2－a2＝2(b2＋c2－2ab)，化简得4ab＝b2＋c2＋a2，则＝＝＝.方法二由A，O，D三点共线，可设＝λ，则＝(＋)，由E，O，C三点共线可设＝μ，则－＝μ(－)，则＝(1－μ)＋μ＝(1－μ)＋μ，由平面向量基本定理可得解得μ＝，λ＝，则＝(＋)，＝－＝－，则6·＝6×(＋)·＝＝·，化简得32＝2，则＝.5．(2019·全国Ⅲ理，13)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.答案解析设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝. 6．(2019·天津理，14)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E 在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.答案－1解析方法一在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则·＝(－)·(＋)＝·＋·－2－·＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.方法二在△ABD中，由余弦定理可得BD＝＝，所以cos∠ABD＝＝－，则sin ∠ABD＝.设与的夹角为θ，则cos θ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos 30°－sin∠ABD·sin 30°＝－，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故·＝×2×＝－1.。
2019届广东数学高考复习专题汇编：向量(2018-2019年试题,含答案)
向量 1a b ==，a 与） Ａ．12 Ｂ．32 Ｃ．312+ Ｄ．2(2008年高考广东卷第3小题)已知平面向量a =（1，2），b =（－2，m ），且a ∥b ，则2a + 3b =（B ）A. （－5，－10）B. （－4，－8）C. （－3，－6）D. （－2，－4）(2009年高考广东卷第3小题)已知平面向量a=,1x （） ，b=2,x x （－）， 则向量+a b （ ） A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线 [:【解析】+a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知,C 正确.[: (2019年高考广东卷第5小题)若向量a =（1,1），b =（2,5），c =(3,x)满足条件 (8a －b )·c =30，则x = (C) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 (2019年高考广东卷第3小题)已知向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===．若λ为实数,()//,a b c λλ+=则 (B)A ．14 B.12C.1D. 2 (2019年高考广东卷第3小题)若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =(A)A ． (4,6)B ． (4,6)--C ． (2,2)--D ． (2,2)(2019年高考广东卷第10小题) 对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ和βα都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =(D) A ．52 B ． 32 C ． 1 D ． 12① (2019年高考广东卷第10小题)设a r 是已知的平面向量且0a ≠r r ，关于向量a r 的分解，有如下四个 给定向量b r ，总存在向量c r ，使a b c =+r r r ； ② 给定向量b r 和c r ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+r r r ； ③ 给定单位向量b r 和正数μ，总存在单位向量c r 和实数λ，使a b c λμ=+r r r ； ④ 给定正数λ和μ，总存在单位向量b r 和单位向量c r ，使a b c λμ=+r r r . 上述命题中的向量b r ，c r 和a r 在同一平面内且两两不共线，则真A. 1B. 2C. 3D. 4 (2019年高考广东卷第3小题)已知向量()1,2a =，()3,1b =，则b a -=（ B ）A.()2,1-B.()2,1-C.()2,0D.()4,3。
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广东省2019届高三数学一轮复习典型题专项训练
平面向量
1、（2018全国I 卷高考题）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．31
44AB AC - B ．13
44AB AC - C ．
31
44
AB AC +
D ．
13
44
AB AC + 2、（2017全国I 卷高考题）已知向量a ，b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则2a b +=________． 3、（2016全国I 卷高考题）设向量)1,(m a =→
，)2,1(=→
b ，且2
22b a b a +=+，则=m _______ 4、（广州市2018高三一模）已知向量(),2m =a ，()1,1=b ，若+=+a b a b ，则实数m = ．
5、（广州市2018高三二模）已知向量a 与b 的夹角为4
π
，2,2==a b ，()⊥+λa a b ，则实数λ= ．
6、（广州市2018高三上期末调研）已知向量(),2x x =-a ，()3,4=b ，若a b ，则向量a 的模
为________．
7、（广州市海珠区2018届高三综合测试（一））已知向量a ，b 的夹角为 60，2=a ，22=-b a ，则=b
A ．4
B ．2
C ．2
D ．1
8、（惠州市2018届高三4月模拟考试）在ABC ∆中， 3A π
=，2AB =，3AC =，2CM MB =，
则AM BC ⋅=( )
(A) 113-
(B) 43- (C) 43 (D) 11
3
9、（惠州市2018届高三第三次调研）已知向量a b ⊥，2,a b ==则2a b -= ． 10、（惠州市2018届高三第一次调研）已知正方形ABCD 的中心为O 且其边长为1，则
()()=+⋅-BC BA OA OD ．
11、（揭阳市2018届高三学业水平（期末）考试）已知sin 24
a π
=，cos
24
b π
=，且a 、b 的夹
角为
12
π
，则=a b ⋅ （A ）
116 （B ）18 （C ）38
（D ）14
12、（汕头市2018届高三第一次（3月）模拟）平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，
1AB AD ⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为
A ．2
B ．31- C. 0 D ．21- 13、（韶关市2018届高三调研）已知等边AB
C ∆的边长为1，则AB BC ⋅________
14、（深圳市2018届高三第二次（4月）调研）已知向量(3,4)a =-，(1,)b t =-，若||a b a ⋅=，则实数t = ．
15、（深圳市宝安区2018届高三9月调研）已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→
→
→
→→
b a b a a ，则
=→
b .
16、（珠海市2018届高三9月摸底考试）向量,a b 的夹角为θ，2,223,a b a b b =+=，则
______θ=
17、（江门市2018届高三3月模拟（一模））已知向量
，
，若与
的夹角为，则 A ． B ．
C ．
D ．
18、（珠海市2017届高三上学期期末）已知平面向量a ，b 满足a （a ＋b ）=5，且|a |=2， |b
|＝1，则向量a 与b 的夹角为
A.
6π B.3
π C.23π D.
56π
19、（东莞市2017届高三上学期期末）设向量a ＝(,2)x ，b ＝（1，－1），且a 在b 方向上的投影为2，则x 的值是_________.
20、（广州市2017届高三12月模拟）已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠= , 则
BD CD ⋅=________．
21、（江门市2017届高三12月调研）如图，空间四边形
中，点分别上，
，则
A ．
B ．
C ．
D ．
22、（潮州市2017届高三上学期期末）已知向量a ，b 满满足|a |=5，|b |=3，a •b =﹣3，
则a 在b 的方向上的投影是 ﹣1 ．
23、（东莞市2017届高三上学期期末）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC CD =，则
24、已知向量(2sin ,cos ),(,23cos )a x x b cosx x ==，函数()f x a b ＝. (I ）求函数()f x 的最小正周期； (II ) 当[0,]2
x π
∈时,求函数()f x 的最大值与最小值.
25、已知向量(
3sin ,cos )a x x =，(cos ,cos )b x x =-，()f x a b = ，
（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若75(,)126x ππ∈，5
4
a b =-，求cos 2x 的值.
参考答案：
1、A
2、23
3、－2
4、2
5、－2
6、10
7、D
8、C
9、25 10、1
11、B 12、A 13、－12 14、1
2
15、5 16、
3
π
17、D 18、B 19、4 20、6 21、B 22、－1 23、A
24、解：（I ）∵x x x x f 2cos 32cos sin 2)(+=
22cos 13
22sin x
x ++=
……………………………………………2分
32cos 32sin ++=x x
3)2cos 2
3
2sin 21(2++=x x
332sin 2+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=πx ………………………………………………5分
∴()f x 的最小正周期正周期为π ………………………………………………6分
(II ）∵[0,
]
2x π
∈
∴42[,]333x πππ
+∈
……………………………………………………………8分
∴当23
2x π
π
+
=
，即12x π
=
时，()f x 有最大值23+；………………………10分
当4233x ππ+=，即2
x π=时，()f x 有最小值0.………………………………12分
25、23cos 21
(1)()3sin cos cos sin 222
x f x x x x x a b +=-=
-=解：
1
sin(2) (36)
2
x π
=-
-
分 ()f x ∴的最小正周期是π ……………………………………………………………4分
222()()
2
6
2
6
3
()]() (66)
3
k x k k Z k x k k Z f x k k k Z π
π
π
π
π
πππππ
π
ππ-
≤-
≤+
∈-
≤≤+
∈∴-
+
∈单调递增区间为[令得的，分
1sin(2)sin(2)626cos(2)6321
)] (5)
3
(2)
(744)
7537
(
,),2(,)......8 (66)
(9126624)
cos 2cos[(28
a b x x x x x x x πππππππ
πππ=-
∴-∴----=-=∈∴∈∴-==-+-=
分
分分....12分。