2021年全国各地高考数学真题汇编(Word档含答案解析)
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(数列)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(数列)汇编
【2023年真题】
1. （2023·新课标I卷 第7题） 记
nS
为数列{}
na
的前n项和，设甲：{}
na为等差数列：乙：{}ns
n为等差
数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2. （2023·新课标II卷 第8题） 记
nS
为等比数列{}
na
的前n项和，若
45S
，
6221SS
，则
8S
( )
A. 120 B. 85 C. 85
D. 120
3. （2023·新课标I卷 第20题）设等差数列{}
na
的公差为d，且1.d令2
n
nnn
b
a
，记
nS
，
nT
分别为
数列
,
nnab
的前n项和.
(1)
若
21333aaa
，
3321ST
，求
na
的通项公式;
(2)
若{}
nb
为等差数列，且
999999ST
，求.d
4. （2023·新课标II卷 第18题）已知为等差数列，，记
nS
，
nT
分别为数列，
的前n项和，
432S
，
316.T
(1)
求的通项公式；
(2)
证明：当5n
时，
nS.
nT
【2022年真题】
5.（2022·新高考I卷 第17题）记
nS
为数列{}
na
的前n项和，已知
11a，n
nS
a
是公差为1
3的等差数
列.
(1)
求{}
na
的通项公式;
(2)证明：
12111
2.
naaa
6.（2022·新高考II卷 第17题）已知{}
na
为等差数列，{}
nb
为公比为2的等比数列，且
223344.ababba
(1)
证明：
11;ab
(2)
求集合
1{|,1500}
kmkbaam剟
中元素个数.
【2021年真题】
7.（2021·新高考II卷 第12题）（多选）设正整数01
0112222kk
kknaaaa
，其中
0,1
ia
，
记
01knaaa
2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题13排列组合与二项式定理含解析
-1-专题13排列组合与二项式定理
一、选择题部分
1.(2021•河南开封三模•理T11)某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，
某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、
下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安
排方案的种数为（）
A．126B．360C．600D．630
【答案】D．
【解析】第一类，上下午共安排4个活动（上午2个，下午2个）分配给甲，乙，故有A62A
42
＝360种，
第二类，上下午共安排3个活动，（上午2个下午1个，或上午1个下午2个）分配给甲，
乙，故有A62A41A21＝240
第三类，上下午共安排2个活动，（上午1个，下午1个）分配给甲，乙，故有A62＝30
种，
根据分类计数原理，共有360+240+30＝630种．
2.(2021•河南开封三模•理T6)（a﹣x）（1+x）6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，
则实数a＝（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B．
【解析】∵（a﹣x）（1+x）6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，
设f（x）＝（a﹣x）（x+1）6＝a0+a
1x+a
2x2+…+a
6x6+a
6x7，
令x＝1，则f（1）＝a0+a
1+a
2+a
3+a
4+a
5+a
6+a
7＝（a+1）（1﹣1）5＝64（a﹣1），①
令x＝﹣1，则f（﹣1）＝a0﹣a
1+a
2﹣a
3+a
4﹣a
5+a
6﹣a
7＝（a﹣1）（﹣1﹣1）5＝0；②
①﹣②得，2（a1+a
3+a
5+a
7）＝64（a﹣1），∴a
1+a
3+a
5+a
7＝32（a﹣1）＝64，
解得a＝3．
3.(2021•河南焦作三模•理T7)为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲、乙、丙、丁、
戊五名志愿者参加A，B，C三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1
人，且甲、乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有（）
A．24种B．36种C．48种D．64种
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(事件与概率)汇编(附答案)
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(事件与概率)汇编
考点01 古典概率
一、单选题
1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．1
4 B．1
3 C．1
2 D．2
3
2．（2023∙全国乙卷∙高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准
备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A．5
6 B．2
3 C．1
2 D．1
3
3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机
选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．1
6 B．1
3 C．1
2 D．2
3
4．（2022∙全国甲卷∙高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到
的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A．1
5 B．1
3 C．2
5 D．2
3
5．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．1
6 B．1
3 C．1
2 D．2
3
6．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
7．（2019∙全国∙高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A．1
6 B．1
4 C．1
3 D．1
2
8．（2019∙全国∙高考真题）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机
取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A．2
3 B．3
5
C．2
5 D．1
5
二、填空题 21．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别
标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各
2015-2024高考真题 数学 分项汇编 含答案解析(全国通用)13 立体几何角和距离(20页)
13
第 1 页 共 20
专题13 立体几何的空间角与距离小题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 异面直
线所成角及其
应用
（10年6考） 2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷、2018·全国卷
2017·全国卷、2016·全国卷、2015·浙江卷
要熟练掌握几何法和向量法求解
空间角与空间距离，本节内容是新
高考卷的常考内容，要熟练掌握方
程思想求值，需强化巩固复习. 考点2 线面角
及其应用
（10年4考） 2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2022·浙江卷
2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2018·浙江卷
2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷
考点3 二面角
及其应用
（10年6考） 2023·北京卷、2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅱ卷
2022·浙江卷、2019·浙江卷、2018·浙江卷
2017·浙江卷、2015·浙江卷
考点4 点面距
及其应用
（10年1考） 2019·全国卷
考点01 异面直线所成角及其应用
1．（2022·全国新Ⅰ卷）（多选）已知正方体
1111ABCDABCD−
，则（
）
A．直线
1BC
与1DA
所成的角为90 B．直线
1BC
与
1CA
所成的角为90
C．直线
1BC
与平面
11
BB
D
D所成的角为45 D．直线
1BC
与平面ABCD
所成的角为45
2．（2021·全国乙卷）在正方体
1111ABCDABCD−
中，P
为
11BD的中点，则直线
PB与
1AD
所成的角为（
）
A．π
2 B．π
3 C．π
4 D．π
6
3．（2018·全国）在正方体
1111ABCDABCD−
中，E为棱
1CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（
）
A．2
2 B．3
2 C．5
2 D．7
2
4．（2017·全国）已知直三棱柱
111CC−
中，
C120=，2=，
1CCC1==
，则异面直线
1
与
1C
所成角的余弦值为（
全国高考数学真题分类汇编(2013-2022)——集合专题(附解析)
全国高考数学真题分类汇编（2013-2022）
集合专题（附解析）
1．【2022年全国甲卷理科·第3题】
设全集{2,1,0,1,2,3}U
，集合
2{1,2},430ABxxx∣，则()
UABð()
A．{1,3}
B．{0,3}
C．{2,1}
D．{2,0}
2．【2022年全国乙卷理科·第1题】
设全集{1,2,3,4,5}U，集合M满足{1,3}
UMð
，则()
A．2MB．3MC．4MD．5M
3．【2022新高考全国II卷·第1题】
已知集合
1,1,2,4,11ABxx
，则AB
()
A．{1,2}
B．{1,2}
C．{1,4}
D．{1,4}
4．【2022新高考全国I卷·第1题】
若集合{4},{31}MxxNxx∣∣，则MN()
A．02xx
B．1
2
3xx
C．316xx
D．1
16
3xx
5．【2021年新高考全国Ⅱ卷·第2题】
设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}UAB
，则
UABð
()
A．{3}
B．{1,6}
C．{5,6}
D．{1,3}
6．【2021年新高考Ⅰ卷·第1题】设集合
24Axx，
2,3,4,5B
，则AB()
A．
2
B．
2,3
C．
3,4
D．
2,3,4
7．【2020年新高考I卷(山东卷)·第1题】
设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2
A．{x|2
8．【2020新高考II卷(海南卷)·第1题】
设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则AB=()
A．{1，3，5，7}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{1，2，3，5，7，8}
9．【2021年高考全国乙卷理科·第2题】
已知集合21,SssnnZ，
41,TttnnZ
，则STÇ=()
A．B．SC．TD．Z
10．【2021年高考全国甲卷理科·第1题】
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编
考点01 直接求函数值
1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()fx的定义域为R，()(1)(2)fxfxfx，且当3x时()fxx，
则下列结论中一定正确的是（ ）
A．(10)100f B．(20)1000f
C．(10)1000f D．(20)10000f
2．（2024∙上海∙高考真题）已知
,0
,
1,0xx
fx
x
则
3f ．
3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数
2()4logxfxx，则1
2f
．
4．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设
fx是定义域为R的奇函数，且
1fxfx.若11
33f
，则5
3f
（ ）
A．5
3 B．1
3 C．1
3 D．5
3
5．（2021∙浙江∙高考真题）已知Ra，函数24,2
()
3,2,xx
fx
xax
若
63ff
，则a .
考点02 函数的定义域与值域
1．（2022∙北京∙
高考真题）函数1
()1fxx
x的定义域是 ．
2．（2020∙山东∙高考真题）函数1
lgfx
x的定义域是（ ）
A．
0, B．
0,11, C．
0,11,U D．
1,
考点03 函数单调性的判断及其应用
1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0
()
eln(1),0xxaxax
fx
xx
在R上单调递增，则a的取值范围是
（ ）
A．(,0] B．[1,0] C．[1,1] D．[0,)
2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)上单调递增的是（ ）
A．()lnfxx B．1
()
2xfx C．1
()fx
x D．|1|()3xfx
3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数2(1)exfx
三年高考(2019-2021)数学(文)真题分类汇编——立体几何(解答题)(解析版)
立体几何（解答题） 专项汇编
1．【2021年全国高考甲卷数学（文）】已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，11BFAB.
（1）求三棱锥FEBC的体积；
（2）已知D为棱11AB上的点，证明：BFDE.
【答案】(1)13；(2)证明见解析.
【分析】
(1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；
(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.
【详解】
(1)如图所示，连结AF，
由题意可得：22415BFBCCF，
由于AB⊥BB1，BC⊥AB，1BBBCB，故AB平面11BCCB，
而BF平面11BCCB，故ABBF，
从而有22453AFABBF，
从而229122ACAFCF，
则222,ABBCACABBC，ABC为等腰直角三角形，
111221222BCEABCSs△△，11111333FEBCBCEVSCF△.
(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体1111ABCMABCM，如图所示，取棱,AMBC的中点,HG，连结11,,AHHGGB，
正方形11BCCB中，,GF为中点，则1BFBG， 又111111,BFABABBGB，
故BF平面11ABGH，而DE平面11ABGH，
从而BFDE.
【点睛】
求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.
2．【2021年全国高考乙卷数学（文）】如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM．
2021高考数学(文)真题(含部分模拟新题)分类汇编—C单元三角函数(含解析)
C单元 三角函数
C1 角的概念及任意的三角函数
14．C1，C2，C6[2021·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，那么tan 2α的值是________．
14.3
[解析]
方法一：由sin 2α＝－sin α，即2sin αcos
α＝－sin α，又α∈π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan2 α＝2×〔－3〕1－3＝3.
方法二：同上得cos α＝－12，又α∈π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan 4π3＝3.
C2 同角三角函数的根本关系式与诱导公式
2．C2[2021·全国卷] α是第二象限角，sin α＝513，那么cos α＝(
)
A．－1213
B．－513
C.513 D.1213
2．A [解析] cos α＝－1－sin2 α＝－1213.
16．C2，C5[2021·广东卷] 函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.
(1)求fπ3的值；
(2)假设cos θ＝35，θ∈3π2，2π，求fθ－π6.
16．解：
14．C1，C2，C6[2021·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，那么tan 2α的值是________．
14.3 [解析] 方法一：由sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝－sin α，又α∈π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan2 α＝2×〔－3〕1－3＝3.
方法二：同上得cos α＝－12，又α∈π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan 4π3＝3.
2012年-2021年(10年)全国高考数学真题分类汇编(理科) 不等式选讲(精解精析版)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（理科）不等式选讲（精解精析版）
1．(2021年高考全国乙卷理科)已知函数
3fxxax
．
(1)当1a时，求不等式
6fx
的解集;
(2)若
fxa
，求a的取值范围．
【答案】（1）
,42,
．（2）3
,
2
．
解析：（1）当1a时，
13fxxx，13xx表示数轴上的点到1和3的距离之和，
则
6fx
表示数轴上的点到1和3的距离之和不小于6，故4x或2x，
所以
6fx
的解集为
,42,．
（2）依题意
fxa
，即3axax恒成立，
333xaxxaax，故3aa
，
所以3aa或3aa，解得3
2a．
所以a的取值范围是3
,
2
．
【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．
2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数()|31|2|1|fxxx
．
(1)画出()yfx
的图像；
(2)求不等式()(1)fxfx
的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）7
,
6
．
【解析】（1）因为3,1
1
51,1
3
1
3,
3xx
fxxx
xx
，作出图象，
如图所示：
（2）将函数
fx
的图象向左平移1个单位，可得函数
1fx的图象，如图所示：
由
3511xx，解得7
6x
．
所以不等式()(1)fxfx的解集为7
,
6
．
【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，
属于基础题．
3．(2020
年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数2()|21|fxxaxa
．
(1)当2a时，求不等式()4fx
的解集；
(2)若()4fx
，求a的取值范围．
【答案】（1）3
2xx
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编
考点01 求面积的值及范围或最值
1．（2024∙北京∙高考真题）在ABC
中，内角,,ABC
的对边分别为,,abc
，A为钝角，7a
，3
sin2cos
7BbB．
(1)求A
；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC
存在，求ABC
的面积．
条件①：7b
；条件②：13
cos
14B
；条件③
：5
sin3
2cA
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记ABC
的内角,,ABC
的对边分别为,,abc，已知222
2
cosbca
A
．
(1)求bc；
(2)若coscos
1
coscosaBbAb
aBbAc
，求ABC
面积．
3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）在ABC
中，已知120BAC，2AB，1AC.
(1)求sinABC；
(2)若D为BC上一点，且90BAD
，求ADC△
的面积.
4．（2022∙浙江∙高考真题）在ABC
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知3
45,cos
5acC
．
(1)求
sinA的值；
(2)若11b
，求ABC
的面积．
考点02 求边长、周长的值及范围或最值
1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知
sin3cos2AA．
(1)求A．
(2)若2a
，
2sinsin2bCcB，求ABC
的周长．
2．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC
的内角A、B、C的对边分别为a，b，c
，已知
sin2cosCB，
222
2abcab
(1)求B；
(2)若ABC
的面积为
33，求c．
3．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC