考虑年龄结构的人口模型

考虑年龄结构的人口模型（Leslie 模型）对Logistic 模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关。

不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic 模型中反映出来。

基于这一事实，Leslie 在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型。

由于男、女性人口（或雌、雄性个体）通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来。

将女性按年龄划分成m +1个组，即0,1,…,m 组，例如，可5岁（或10岁）一组划分。

将时间也离散成间隔相同的一个个时段，即5年（或10年）为一个时段。

记j 时段年龄在i 组中的女性人数为N （i ,j ），b i 为i 组每一妇女在一个时段中生育女孩的平均数，i p 为i 组女性存活一时段到下一时段升入i +1组的人数所占的比例（即死亡率d i =1-i p ）同时假设没有人能活到超过m 组的年龄。

实际上可以这样来理解这一假设，少量活到超过m 组的妇女（老寿星）人数可以忽略不计，她们早已超过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的，对今后人口的增长和人口的年龄结构不产生任何影响，假设b i 、i p 不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。

如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没有过于巨大的变化，b i 、i p 事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来。

根据以上假设可以得出以下j +1时段各组人数与j 时段各组人数之间的转换关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=++++=+-),1()1,(),0()1,1(),(),0(),0()1,0(1010j m N p j m N j N p j N j m N b j N b j N b j N m m 显然，0,≥i j p b 。

简记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=),(),0(j m N j N N j ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=+)1,()1,0(1j m N j N N j并引入矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--00000000110110m m m p p p b b b b A 则方程组（4.28）可简写成j j AN N =+1矩阵A 被称为Leslie 矩阵（或射影矩阵），当矩阵A 与按年龄组分布的初始种群向量N 0=(N (0,0)， N ( 1,0)， … ，N (m ,0))T 一经给定时，其后任一时段种群按年龄分布的向量即可用（4.29）式迭代求得011N A AN N j j j ++===人口（或种群）的增长是否合理不仅仅取决于人口的总量是否过多或过少，还取决于整个的年龄结构是否合理即各年龄段人口数的比例是否恰当。

通过对Leslie 矩阵A 的研究，可以得到许多十分有用的信息。

女性有一定的生育期，例如k 组以后的女性不再生育，则有b k ≠0，b k +1，…，b m 均为零（初始若干个b i 也可能为零），此时A 可简记为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3210A A A 其中A 1和A 2分别为k +1阶和m -k 阶方阵，于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j jj A A A A f A A 33211),,(0 因为A 3是一个下三角阵且对角元素全为零，由高等代数中的哈密顿一凯莱定理，当k m j -≥时必有03=j A ，此时A j 的最后m -k 列均为零向量。

其实际意义为t =0时已超过育龄的女性，其目前的存在对若干年后的人口分布已毫无影响，她对人口发展的贡献将由她在此前所生育的女孩来完成，这一点当然是十分显然的。

f (A 1,A 2,A 3)为某一用A 1、A 2、A 3表达的表示式，A j 的这一子块较为复杂，并直接反映出k +1组以后各组的年龄结构，对它的讨论可以导出避免社会老龄化的条件。

现在，我们来研究一下Leslie 矩阵，并进而研究时间充分长后种群的年龄结构及数量上的趋势。

容易看出A 1是非奇异的，因为事实上，不难直接验证：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-----k k k kkkb p b b p b b p b b p p A 1111001110111000000由A j 的分块结构可知，对A 1及N j +1的前k +1个分量)1(1)1(1)1(,++++=k jk j k jN A N N 也成立。

0)1(11021≠-=--k k k b p p p A为叙述方便，不妨仍记)1(+k j N 为 N j ，并记A 1为A ，简略讨论一下前k +1组人口数量的变化情况。

由于人口生育率和死亡率与年龄之间存在着固定的关系，可以预料，经过足够多年后，人口年龄分布应趋于稳定的比率，即下时段初与本时段初同组人数应当近似地对应或比率，且各组人数在总人口数中所占的比例应逐渐趋于稳定。

现在我们来指出Leslie 矩阵的一些性质，并证明这些预料是正确的。

定理4.2 Leslie 矩阵具有唯一的正特征根λ1,与之相应的特征向量为T k k k k k P P P P P P P N )1,/,),/(),/((11110111101----=λλλ 证 直接计算可得A 的特征多项式为k k k k k b P P P b P b f )()(11011001--+----= λλλλ （4.1）0)(=λf 等价于1)(1110321021001=++++=--k kk b p p p b p p b p b f λλλλλ当λ由+∞→+0时，)(1λf 由∞+单调下降地趋于零，由此立即可以看出A 具有唯一的正特征根1λ，（1λ被称为种群的固有增长率，其计算法有许多文献介绍）。

现求A 的对应于1λ的特征向量，记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k n n N 0，解线性方程组N N A 1λ=，即 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--k k k k k n n n n p p p b b b b01011011000000000λ （4.2） （4.2）式中只有k 个独立方程，但有k +1个未知量，取1=k n ，可求得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---1/)/()/(111111101k k k k kp p p p p p N λλλ（4.3） 不难看出，当且仅当11=λ时，N N j j =+∞→lim ，人口总量将趋于定且各年龄人数在总人口数中所占的比例也将趋于一个定值。

在1λ固定的情况下，N 只和i p 有关（i =0,…,k -1）。

i p 为i 组人的存活率，人们总希望它们越大越好，但由于医疗条件和医学水平的限止，在一定时期内 ，它们基本上是一些常数，这样，事实上人们只能通过控制b j 的值（即实行计划生育）来保证11=λ，从而使人口数趋于稳定。

如能实现这一目标，各年龄组人数之比将无法更改地趋于一个稳定的比例（除非p i 的值改变）。

如果将Leslie 模型用于家禽或家畜预测，情况就有了较大的不同，人们不仅可以控制各年龄段的繁殖率b i ，还可以通过宰杀来控制各年龄段的存活率p i 。

从而，人们不仅可以控制该种群的总量，还能人为地调整各年龄段种群的比例，使之达到更为理想的状态。

在定理4.2中，我们证明了1λ是Leslie 矩阵A 的唯一正特征根。

实际上，我们还可以进一步证明1λ必定是A 的特征方程的单根，而A 的基余n -1个特征根),,2(n i i =λ均满足1λλ≤i ，i =2,…,n （4.4）定理4.3 若Leslie 矩阵A 的第一行中至少有两个相邻的b i >0，则（4.4）中严格不等式成立，即1λλ≤i ，i =2,…,n且N C N jjj 1limλ+∞→,其中C 为某一常数，其值由b i 、p i 及N o 决定。

定理4.3的条件通常总能满足，故在j 充分 大时有N C N jj 1λ=，即各年龄组人口的比例总会趋于稳定，且j j N N 11λ≈+。

若λ1>1，种群量增大；λ1<1，种群量减少。

综上所述，只要先求出 A 的正特征根λ1及其对应的特征向量N ，确定出C 的值，依据调查所得的人口初值即可大致了解人口发展的总趋势。

考察（4.1）中的f 1(λ)，记R = f 1(1) = b 0 + p 0b 1 + … + (p 0…p k ,1)b k 。

易见R 即女性一生所生女孩的平均值。

由于f 1(λ)的单调性又有定理4.41λ=1的充要条件为R = 1。

（注：证明非常简单） 由于并非每一妇女均能活到足够的年龄并生下R 个女孩，为了保障人口平衡，每一妇女可生子女数可定为某一略大于2的数β（这里假设男女之比为 1：1），β称为临界生育率。

根据统计资料计算的结果，中国妇女的临界生育率约为2.2左右。

人口迅猛发展使人们日益清醒地意识到，人类必须控制自身的发展，正因为如此，近几十年来人们开始用现代控制理论的观点和方法来研究人口问题，建立了人口发展的控制模型，在这方面，我国一些控制论专家已经做了许多开拓性的工作。

大多数控制论模型都是以偏微分方程形式给出的，由于连续型控制论模型的求解十分困难，也可将其转换成近似的离散型模型，以便较容易利用数值方法来求解。

在控制论中，N j 被称为状态变量。

要建立模型，还必然定出控制变量。

显然，随着人民生活水平的不断提高和医疗卫生条件的不断改善，各年龄组人口的死亡率不断下降、存活率不断提高。

要实现对人口增长的控制只能采取降低人口出生率的办法。

记j 时段i 年龄组中女性所占的百分比为K i (j )并设i 1,…,i 2为育龄女性的年龄组，则j 时段新生儿总数为∑==+21),()()()1,0(i i i i i j i N j K j b j Nm i j i N p j i N i ,,1),,1()1,(1 =-=+-从长远来看，人口的年龄结构总会趋于逐渐稳定，但这一过程是十分漫长的。

由于初始状态的影响，人口年龄结构很可能会长期振荡。

例如，目前我国人口中年青人占的比例很大（约占60%），加上计划生育降低出生率，必然造成若干年后社会人口的严重老化，造成社会负担过重等一系列不得不引起人们注意的社会问题。

待这一代人越出m 组后，又会使人口迅速年青化而走向另一极端。

为了尽可能减小这种年龄结构上的振荡，建立人口问题的控制论模型并进而制定人口政策时，人们又引入了一个控制变量h (i ,j )，使得b i (j )=βh (i ,j )且1),(21=∑=i i i j i hh (i ,j )称为女性生育模式，用来调整育龄妇女在不同年龄组内生育的高低。