人教版数学高二作业第三讲二、一般形式的柯西不等式
人教版高中数学选修4-5《3.2 一般形式的柯西不等式》
五. 当堂检测：
[练1](1)已知2 x 3 y 4z 10, 求x 2 y 2 z 2最小值;
(2)若9 x 2 12 y 2 5z 2 9, 求x 6 y 5z的最大值.
[练2]设x1 , x2 ,..., xn是正数, 求证 : 1 1 1 2 ( x1 x2 ... xn )( ... )n x1 x2 xn
三、归纳推理，形成新知：
3、三维形式的柯西不等式：
(a1b1 a2b2 a3b3 ) (a a a )(b b b )
2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
当且仅当 与共线时, 等号成立.
【探究】根据二维、三维形式的柯西不等式， 若 ( a1 , a 2 , a 3 ,...,a n ), (b1 , b2 , b3 ,...,bn )
3.2一般形式的柯西不等式
选修4-5
一、温故知新：
1、柯西不等式的向量形式: 【定理2】设 , 是两个向量, 则| | | | | |
将平面向量的坐标 (a1 , a2 ), (b1 , b2 )代入, 则上述 不等式可化简为:
2、二维形式的柯西不等式： 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2 ) (a1 a2 )(b1 b2 ) 适用范围: 对任意实数都成立.
六.课堂小结: 基础 三维形式 知识：
一般形式
证明不等式
柯西不等式
求最值
基本思想方法： 1.探究方法：从特殊到一般. 2.思维方法：观察→归纳→证明. 七.课后作业: 1.巩固性作业:P41 习题3.2 第1,2, 4,6. 2.探究作业: 小组合作证明一般形式的柯西不等式.
一般形式的柯西不等式
一般形式的柯西不等式柯西不等式是数学分析中一个重要的不等式定理，用来描述两个函数之间的关系。
它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于1821年提出的。
柯西不等式在解析函数论、泛函分析等领域有广泛的应用。
柯西不等式的一般形式可以表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，且g(x)不等于0。
那么有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)g(x)dx ≤ √( ∫[a,b] f^2(x)dx * ∫[a,b]g^2(x)dx )在这个不等式中，∫[a,b] f(x)g(x)dx 表示函数 f(x) 和 g(x) 的乘积函数在闭区间上的积分，∫[a,b] f^2(x)dx 和∫[a,b] g^2(x)dx分别表示函数 f(x) 和 g(x) 的平方函数在闭区间上的积分。
柯西不等式的证明可以通过引入一个辅助函数 h(x) 来完成。
辅助函数 h(x) 的定义为 h(x) = f(x) - (k*g(x))，其中 k 是一个常数，通过适当选择 k 的值，可以使得 h(x) 关于 x 的积分为0。
对于这个辅助函数 h(x)，通过平方的方式可以得到∫[a,b] h^2(x)dx = ∫[a,b] (f(x) - k*g(x))^2dx。
展开 h^2(x) 的平方并化简后可以得到∫[a,b] h^2(x)dx = ∫[a,b] (f^2(x) - 2kf(x)g(x) + k^2g^2(x))dx。
根据积分的性质，可以得到∫[a,b] h^2(x)dx = ∫[a,b] f^2(x)dx - 2k∫[a,b] f(x)g(x)dx +k^2∫[a,b] g^2(x)dx。
为了满足∫[a,b] h^2(x)dx = 0，必须要求∫[a,b] h^2(x)dx 的系数为0。
即：- 2k∫[a,b] f(x)g(x)dx = 0，即∫[a,b] f(x)g(x)dx= k∫[a,b] g^2(x)dx。
人教版高中数学选修4-5第三讲第二节一般形式的柯西不等式教案1(2)
选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式 姓名☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题☻知识情景：1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定 了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值 定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 .当且仅当 时, 等号成立.变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，则222222()()a b c d a c b d +++-+- ；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：222212122323()()()()x x y y x x y y -+-+-+-≥3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立.(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10. 设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( . 当且仅当 时, 等号成立.变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(. 当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，则dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a )()()()(222⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡，当且仅当)()(x g t x f ⋅=时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重 要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面 都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径， 证明22212x y z a b c R ++≤++例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式学案新人教
二 一般形式的柯西不等式1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式． 2．会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值等问题．, [学生用书P43])1．三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是实数，则(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，3)或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，3)时，等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二维形式的柯西不等式是一般形式的柯西不等式的特殊情况．( ) (2)三维形式的柯西不等式可以由空间向量的几何意义推导出来．( )(3)柯西不等式中的字母a ，b ，c ，…具有轮换对称性，按照一定顺序轮换，式子不变．( )(4)在应用柯西不等式时，不需要验证等号成立的条件．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知x ，y ，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．1 B ．13 C ．12 D ．3答案：B3．设a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1B ． 3C ．3D ．9答案：B4．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时，等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.答案：12利用柯西不等式证明不等式[学生用书P44](1)设a ，b ，c 为正数，求证a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .(2)设a 1，a 2，…，a n 为实数，b 1，b 2，…，b n 为正实数，求证：a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2b 1＋b 2＋…＋b n. 【证明】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2[(b )2＋(c )2＋(a )2] ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2＝(a ＋b ＋c )2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )≥(a ＋b ＋c )2. 因为a ，b ，c ∈R ＋，所以a ＋b ＋c ＞0，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n (b 1＋b 2＋…＋b n )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1·b 1＋a 2b 2·b 2＋…＋a n b n ·b n 2＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2.因为b 1，b 2，…，b n 为正实数， 所以b 1＋b 2＋…＋b n >0.所以a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2nb n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2b 1＋b 2＋…＋b n.当且仅当a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n时，等号成立．利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数． (2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.1.已知正数a ，b ，c ，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .证明：构造两组数ab ，bc ，ca ；ca ，ab ，bc ， 则由柯西不等式得a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2·c 2a 2＋a 2b 2＋b 2c 2≥ab ·ca ＋bc ·ab ＋ca ·bc ， 即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2≥abc (a ＋b ＋c )．于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .2．已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1. 求证：|a ＋b ＋c |≤ 3. 证明：由柯西不等式，得(a ＋b ＋c )2≤(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)＝3. 所以－3≤a ＋b ＋c ≤3， 所以|a ＋b ＋c |≤ 3.用三维形式柯西不等式求最值[学生用书P44]设a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值．【解】 因为(a ＋2b ＋3c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3）2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝⎛⎭⎪⎫a ×3＋2b ×1＋3c ×132＝(3a ＋2b ＋c )2，所以(3a ＋2b ＋c )2≤13×⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13＝1323.所以3a ＋2b ＋c ≤1333，当且仅当a3＝2b 1＝3c 13时，等号成立． 又a ＋2b ＋3c ＝13，所以当a ＝9，b ＝32，c ＝13时，(3a ＋2b＋c )max ＝1333.利用柯西不等式求最值的方法技巧利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题，其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果，同时要注意等号成立的条件．设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值．解：根据柯西不等式，有(2x ＋1·1＋3y ＋4·1＋5z ＋6·1)2≤[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40 ＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax＝230.1．对柯西不等式一般形式的说明一般形式的柯西不等式是二维形式 、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．2．一般形式柯西不等式成立的条件由柯西不等式的证明过程可知Δ＝0⇔f (x )min ＝0⇔a 1x －b 1＝a 2x －b 2＝…＝a n x －b n ＝0⇔b 1＝b 2＝…＝b n ＝0，或a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n.【规范解答】 构造三维柯西不等式求最值(本题满分7分)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．【解】 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(3分) (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得(14a 2＋19b 2＋c 2)(4＋9＋1)≥(a 2×2＋b 3×3＋c ×1)2＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. (5分)当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.(7分)(1)结合本题特征，用绝对值三角不等式求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值简单快捷非常方便，此外本题也可作出函数f (x )的图象，利用数形结合思想方法求解．(2)本题第(2)问的求解显然需要构造三维形式柯西不等式的条件及结构特点，因为现有的两组数为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2，19b 2，c 2和(a ，b ，c )，因此需构造一组常数(4，9，1)才能符合三维柯西不等式的条件．1．若x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝1，求m ＝2x ＋2y ＋5z 的最大值．解：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)[(2)2＋(2)2＋(5)2]≥(2x ＋2y ＋5z )2， 当且仅当x2＝y2＝z5时，等号成立，所以－3≤2x ＋2y ＋5z ≤3，因此m 的最大值为3.2．已知α1，α2，…，αn 是平面凸n 边形的内角的弧度数，求证：1α1＋1α2＋…＋1αn≥n 2（n －2）π.证明：由柯西不等式，得(α1＋α2＋…＋αn )(1α1＋1α2＋…＋1αn)≥(α1·1α1＋α2·1α2＋…＋αn ·1αn)2＝n 2. 因为α1＋α2＋…＋αn ＝(n －2)π， 所以1α1＋1α2＋…＋1αn ≥n 2（n －2）π，当且仅当α1＝α2＝…＝αn ＝n －2nπ时，等号成立．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
第三讲一般形式的柯西不等式
第三讲一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式，是基于柯西不等式推广出来的不等式形式。
柯西不等式是数学分析中一条常用的不等式，它描述了两个向量之间的内积与它们的范数之间的关系。
柯西不等式的一般形式则扩展了这个概念，可以应用到更多的情况中。
假设有两个实数向量X=[x1, x2, ..., xn]和Y=[y1，y2，...，yn]，那么它们的内积可以定义为：X·Y = x1*y1 + x2*y2 + ... + xn*yn而柯西不等式表示为：X·Y，≤，X，，Y其中，X，表示向量X的范数，定义为：X， = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)柯西不等式右边的，X，和，Y，即为两个向量的范数，因此它可以对任意实数向量成立。
然而，柯西不等式的应用范围不仅仅局限于实数向量，我们可以将其推广到更一般的形式。
将柯西不等式中两个实数向量推广到复数空间，就可以得到一般形式的柯西不等式。
在复数空间中，两个复数向量X=[x1, x2, ..., xn]和Y=[y1，y2，...，yn]的内积可以定义为：X·Y* = x1*y1* + x2*y2* + ... + xn*yn*其中，*表示复数的共轭。
同样可以定义复数向量的范数，即：X， = sqrt(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)在复数空间中，一般形式的柯西不等式就可以表示为：X·Y*，≤，X，，Y一般形式的柯西不等式的推广，使得我们可以将柯西不等式应用到更加广泛的场景中，包括复数空间以及其他更复杂的向量空间。
这种推广形式的柯西不等式在数学分析、函数论、概率论等多个数学领域中都具有重要的应用价值。
总结起来，一般形式的柯西不等式是柯西不等式在复数空间和更一般的向量空间中的推广形式。
通过它，我们可以描述两个向量之间的内积与它们的范数之间的关系。
这个不等式在数学分析和其他数学领域中都具有重要的应用意义。
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 二 一般形式的柯西不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教
二 一般形式的柯西不等式,[学生用书P45])[A 基础达标]1．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值为( ) A ．102B ．10C ．210D ．310解析：选A.由柯西不等式，得(a ＋b ＋2c )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222[(a )2＋(b )2＋(4c )2] ＝52×1＝52， 所以a ＋b ＋2c ≤52＝102，当且仅当a ＝b ＝22c 时，等号成立．故选A. 2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不确定解析：选A.因为(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1， 当且仅当a i ＝kx i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立， 所以a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.故选A.3．已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，则|x ＋3y ＋4z |的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.由柯西不等式知(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2， 又x 2＋3y 2＋4z 2＝2所以2×8≥(x ＋3y ＋4z )2. 所以|x ＋3y ＋4z |≤4. 当且仅当x ＝3y 3＝2z 2，即x ＝y ＝z ＝12时取等号．4．设a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝6，则1a ＋4b ＋9c的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．9解析：选C.由柯西不等式得(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2] ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫9c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·2b ＋c ·3c 2＝36.即6⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c ≥36.所以1a ＋4b ＋9c≥6.故选C.5．已知实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，x 2＋y 2＋z 2≤4，则2x ＋y ＋z ＝( ) A ．13 B ．23 C ．53D ．2解析：选B.因为实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，所以2x －y －2z ＝6. 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)[22＋(－1)2＋(－2)2]≥(2x －y －2z )2＝36， 所以x 2＋y 2＋z 2≥4.再根据x 2＋y 2＋z 2≤4，可得x 2＋y 2＋z 2＝4.故有x 2＝y －1＝z－2，所以x ＝－2y ，z ＝2y .再把x ＝－2y ，z ＝2y 代入2x －y －2z －6＝0，求得y ＝－23，则2x ＋y ＋z ＝－4y ＋y ＋2y ＝－y ＝23.6．已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：因为a ＋2b ＋3c ＝6，所以1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.所以(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2＝36，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号． 答案：127．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________． 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327.当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8，解得：x ＝87，y ＝127，z ＝47，所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 8．已知x ，y ，z ∈R ＋，x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为________．解析：利用柯西不等式，因为(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，所以1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．综上可知，1x ＋4y ＋9z的最小值为36.答案：369．设x ＋y ＋z ＝1，求H ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值． 解：因为x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z ， 所以由柯西不等式得： (x ＋y ＋z )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1·(2x 2＋3y 2＋z 2)，即116·H ≥1，解得H ≥611，等号成立的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1.2x 12＝3y 13＝z1，解得x ＝ 311，y ＝211，z ＝611.此时，H ＝611. 综上所述，H 的最小值为611.10．已知|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )．(1)求x 2＋y 2＋z 2的最小值；(2)若|a ＋2|≤72(x 2＋y 2＋z 2)对满足条件的一切实数x ，y ，z 恒成立，某某数a 的取值X围．解：(1)因为(x ＋2y ＋3z )2≤(12＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)，且|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )，所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x 1＝y 2＝z 3时取等号．即x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.(2)因为x 2＋y 2＋z 2的最小值为87，所以|a ＋2|≤72×87＝4，所以－4≤a ＋2≤4， 解得－6≤a ≤2，即a 的取值X 围为[－6，2]．[B 能力提升]1．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A ．14B ．13C ．12D ．34解析：选C.由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋14y 2＋14z 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax ＋12by ＋12cz 2，当且仅当a 12x ＝b 12y ＝c12z 时等号成立．因为a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，所以等号成立．所以a 12x ＝b 12y ＝c12z . 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.故选C.2．边长为a ，b ，c 的三角形ABC ，其面积为14，外接圆半径R 为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则s 与t 的大小关系是________． 解析：由已知得12ab sin C ＝14，csin C ＝2R ＝2.所以abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ca ，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (ab ＋bc ＋ca )≥(b ＋c ＋a )2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥(a ＋b ＋c )2.即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 当a ＝b ＝c 时，三角形ABC 的面积为34，不满足题意，所以s <t . 答案：s <t3．设x 1、x 2、…、x n ∈R ＋且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.证明：(n ＋1)(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝(1＋x 1＋1＋x 2＋…＋1＋x n )(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝[(1＋x 1)2＋(1＋x 2)2＋…＋(1＋x n )2]·[(x 11＋x 1)2＋(x 21＋x 2)2＋…＋(x n1＋x n)2]≥(1＋x 1·x 11＋x 1＋1＋x 2·x 21＋x 2＋…＋1＋x n ·x n1＋x n)2＝(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.4．已知正数x ，y ，z 满足5x ＋4y ＋3z ＝10. (1)求证：25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥5.(2)求9x 2＋9y 2＋z 2的最小值．解：(1)证明：根据柯西不等式，得[(4y ＋3z )＋(3z ＋5x )＋(5x ＋4y )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥(5x ＋4y ＋3z )2，当且仅当4y ＋3z 5x ＝3z ＋5x 4y ＝5x ＋4y 3z 时，等号成立，因为5x ＋4y ＋3z ＝10，所以25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥10220＝5.(2)根据基本不等式，得9x 2＋9y 2＋z 2≥29x 2·9y 2＋z 2＝2·3x 2＋y 2＋z 2，当且仅当x 2＝y 2＋z 2时，等号成立．根据柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(52＋42＋32)≥(5x ＋4y ＋3z )2＝100，即x 2＋y 2＋z 2≥2，当且仅当x 5＝y 4＝z 3＝15时，等号成立．综上，9x 2＋9y 2＋z 2≥2×32＝18.。
一般形式的柯西不等式
柯西不等式的证明
数学归纳法证明
首先证明 n=2 的情况，然后假设 n=k 时成立，推导出 n=k+1 时也成 立。
二次型的方法证明
将柯西不等式转化为二次型的形式， 利用二次型的基本性质进行证明。
02
柯西不等式的应用
在数学中的应用
证明不等式
柯西不等式是证明各种数学不等式的重要工 具，如均值不等式、几何均值-算术均值不 等式等。
广义形式的柯西不等式
总结词
广义形式的柯西不等式是在更广泛的函数空间中推广的柯西不等式，它适用于连 续函数和可积函数。
详细描述
广义形式的柯西不等式表述为，对于任意的非负可积函数$f(x)$和$g(x)$，有$int f(x) g(x) dx leq left( int f(x)^2 dx right)^{1/2} left( int g(x)^2 dx right)^{1/2}$。
用范围。
柯西不等式与其他数学知识的结合
柯西不等式与线性代数
柯西不等式在向量内积和矩阵运算中有 重要应用，研究其与线性代数的结合有 助于更深入理解线性代数的基本概念。
VS
柯西不等式与微积分
柯西不等式在微积分中也有广泛应用，如 函数极值、积分等，研究其与微积分的结 合有助于更深入理解微积分的基本思想。
一般形式的柯西不等式
目录
• 柯西不等式的定义 • 柯西不等式的应用 • 柯西不等式的推广 • 柯西不等式的局限 • 柯西不等式的进一步研究
01
柯西不等式的定义任意 的正实数序列 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有 (∑(ai^2)) * (∑(bi^2)) ≥ (∑(ai * bi))^2。
04
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式优化练习-2019word版可打印
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.
(2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，
由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋)≥(·＋·＋·)2＝9.
[B组 能力提升]
1．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是( )
A．1B．
C.D．2
解析：根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)·(x2＋y2＋z2)≥
(1×x＋1×y＋1×z)2＝(x＋y＋z)2＝.
答案：B
2．若2a>b>0，则a＋的最小值为( )
A．1B．3
C．8D．12
解析：∵2a>b>0，∴2a－b>0.
∴a＋＝[(2a－b)＋b＋]
≥·3 ＝3.
当且仅当2a－b＝b＝，即a＝b＝2时等号成立．
∴当a＝b＝2时，a＋有最小值3.
答案：B
3．若a，b，c为正数，则·的最小值为________．
解析：由柯西不等式可知，
(＋＋)·(＋＋)
≥( ·＋·＋·)2
＝32＝9.
答案：9
4．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为________．
解析：利用柯西不等式．
由于(x＋y＋z)
≥2＝36，
所以＋＋≥36.
当且仅当x2＝y2＝z2，
即x＝，y＝，z＝时，
等号成立．∴＋＋的最小值为36.
答案：36
5．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．
A．81B．9
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一、基础达标
1.已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2
n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大
值是( ) A.1
B.2
C.3
D.4
解析 (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1.
当且仅当a i ＝x i ＝n
n (i ＝1，2，…，n )时，等号成立. 故a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 答案 A
2.n 个正数的和与这n 个正数的倒数的和的乘积的最小值是( ) A.1
B.n
C.n 2
D.1n
解析 设n 个正数是x 1，x 2，…，x n ， 由柯西不等式，得
(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1
x 2＋…＋1x n
≥⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2
＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2.
当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时，等号成立. 答案 C
3.若则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝5，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1的最小值为( )
A.－25
B.－5
C.5
D.25
解析 由柯西不等式，得(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(a 22＋a 23＋…＋a 2n ＋a 21)≥(a 1a 2＋a 2a 3
＋…＋a n －1a n ＋a n a 1)2，
∴|a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1|≤5. ∴－5≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1≤5，
故所求最小值为－5.选B. 答案 B
4.若实数x ＋y ＋z ＝1，则2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为( ) A.1 B.6 C.11
D.611
解析 ∵(2x 2＋y 2＋3z 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2＋1＋13
≥⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ·12＋y ·1＋3z ·132＝(x ＋y ＋z )2＝1. ∴2x 2＋y 2＋3z 2≥1
1
2＋1＋13
＝
6
11，
当且仅当x ＝311，y ＝611，z ＝2
11时，等号成立. ∴2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为6
11. 答案 D
5.设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫
4a ＋9b ＋36c 的最小值是________.
解析 (a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫
4a ＋9b ＋36c
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2
≥⎝
⎛
⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝(2＋3＋6)2＝121.
当且仅当a 2＝b 3＝c
6时，等号成立. 答案 121
6.设x ，y ，z ∈R ，2x ＋2y ＋z ＋8＝0，则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________.
解析 2x ＋2y ＋z ＋8＝0⇒2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)＝－9.
考虑以下两组向量：u ＝(2，2，1)，v ＝(x －1，y ＋2，z －3)，由柯西不等式，
得(u·v )2≤|u |2·|v |2； 即2≤(22＋22＋12)·.
所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥（－9）29
＝9，
当且仅当x ＝－1，y ＝－4，z ＝2时，等号成立，此时取得最小值9. 答案 9
7.已知α1，α2，…，αn 是平面凸n 边形的内角的弧度数，求证：1α1
＋1α2
＋…＋1
α
n
≥n 2
（n －2）π
. 证明 由柯西不等式，得(α1＋α2＋…＋αn )⎝ ⎛⎭⎪⎫1α1＋1
α2＋…＋1αn
≥⎝
⎛
⎭⎪⎫α1·1α1＋α2·1α2＋…＋αn ·1αn 2＝n 2. ∵α1＋α2＋…＋αn ＝(n －2)π， ∴1α1＋1α2＋…＋1αn ≥n 2
（n －2）π
， 当且仅当α1＝α2＝…＝αn ＝n －2
n π时，等号成立. 二、能力提升
8.已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为( ) A.3 B.3 2 C.18
D.9
解析 由柯西不等式得 (
3a ＋1＋
3b ＋1＋
3c ＋1)2≤(1＋1＋1)·(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)
＝3.
∵a ＋b ＋c ＝1，∴(
3a ＋1＋
3b ＋1＋
3c ＋1)2≤3×6＝18，
∴3a ＋1＋3b ＋1＋
3c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时等号成立.
答案 B
9.已知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c ＞0，则2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最小值为( ) A.1
B.3
C.6
D.9
解析 ∵a ＋b ＋c ＝1，
∴2
a ＋
b ＋2
b ＋
c ＋2
c ＋a
＝2(a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝·
⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立. 答案 D
10.已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________.
解析 由柯西不等式，得(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2， 即x 2
＋y 2
＋z 2
≥8214＝327，当且仅当x 2＝y
3
＝z 时，等号成立.
又2x ＋3y ＋z ＝8，解得x ＝87，y ＝127，z ＝4
7， 故所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫
87，127，47.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
87，127，47
11.在△ABC 中，设其各边长分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2
)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2. 证明 ∵a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ， ∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1
sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.∴原不等式成立.
12.已知二次三项式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1x 2＝1时，必有f (x 1)f (x 2)≥1.
证明 f (x 1)f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )(ax 2
2＋bx 2＋c )
≥2
＝f 2(x 1x 2)＝f 2(1)＝1. 故f (x 1)f (x 2)≥1. 三、探究与创新
13.设x 1，x 2，x 3，…，x n 都是正实数，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝S . 求证：x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2n S －x n ≥S n －1.
证明 法一 根据柯西不等式，得 不等式左边＝x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2n
S －x n
＝·1
（n －1）S ·
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21S －x 1＋x 22S －x 2
＋…＋x 2
n S －x n ＝1（n －1）S ·
⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛
⎭⎪⎫x 1
S －x 12＋⎝
⎛⎭⎪⎫x 2
S －x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n
S －x n 2≥
1（n －1）S
⎣⎢⎡⎝
⎛⎭⎪⎫S －x 1·
x 1
S －x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
S －x 2·
x 2
S －x 2＋…＋
⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫S －x n ·
x n
S －x n 2＝1（n －1）S
(x 1＋x 2＋…＋x n )2 ＝1（n －1）S ·S 2＝S
n －1＝不等式右边. 故原不等式成立.
法二 ∵a ＞0，∴a ＋1
a ≥2，
∴a ≥2－1
a ，当且仅当a ＝1时，等号成立.
∴x 2i
S －x i ＝x i
n －1·（n －1）x i S －x i ≥x i n －1·⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤2－S －x i （n －1）x i ＝2x i n －1－S －x i （n －1）2，i ＝1，2，…，n .
n 个式子相加，有x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2n
S －x n ≥2x 1n －1＋2x 2n －1＋…＋2x n
n －1－
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤S －x 1（n －1）2＋S －x 2（n －1）2＋…＋S －x n （n －1）2＝2S n －1－nS －S （n －1）2
＝S n －1
.。