二维形式的柯西不等式
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二维柯西不等式
周练 5:已知 2 x2 y2 =1,求 2x y 的最大值.
变式3:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1, acur urbd ur ur (4)柯西不等式的向量形式 .
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论. 若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.
例3 : 求函数y x 1 10 x的最大值.
变式1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
3.若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量ar a,b,
r
ur r
c, d , 与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设r
r
, 为平面上的两个向量, 则
ur ur ur ur
二维形式的柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
你能证 明吗？
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式: (1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
| g || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
变式3:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1, acur urbd ur ur (4)柯西不等式的向量形式 .
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论. 若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.
例3 : 求函数y x 1 10 x的最大值.
变式1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
3.若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量ar a,b,
r
ur r
c, d , 与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设r
r
, 为平面上的两个向量, 则
ur ur ur ur
二维形式的柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
你能证 明吗？
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式: (1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
| g || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
二维形式的柯西不等式证明
二维形式的柯西不等式证明柯西不等式是数学中基本的不等式之一，在计算机科学、物理学、统计学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍柯西不等式的二维形式，并给出其证明过程。
柯西不等式的二维形式表述如下：设a1, a2, b1, b2为任意实数，则有：(a1^2+a2^2)×(b1^2+b2^2)≥(a1b1+a2b2)^2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。
下面是柯西不等式的证明过程：首先，我们将(b1, b2)视为一个向量b，(a1, a2)视为一个向量a，则柯西不等式的二维形式可以写成：|a|×|b|×cosθ≥a·b其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角，a·b表示向量a和向量b的点积。
接下来，我们将a向量和b向量分别写成坐标形式：a=(a1, a2), b=(b1, b2)则有：|a|×|b|×cosθ=√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ而a·b=a1b1+a2b2因此，柯西不等式的二维形式可以重新写成：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2接下来，我们考虑将右侧的a1b1和a2b2变形，即：(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2这个变形的原理是差平方公式。
然后，我们将这个式子带回到柯西不等式的二维形式中，得到：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2由于(a1b2-a2b1)^2≥0，因此右侧的式子比柯西不等式的右侧更小或相等。
因此，我们得到了柯西不等式的二维形式：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。
二维形式的柯西不等式 课件
知识点二 求最值
3．函数 f(x)＝ 1－cos 2x＋cos x，则 f(x)的最大值是( )
A. 3
B. 2
C．1
D．2
解析：∵f(x)＝ 2· sin2x＋cos x.
又( 2· sin2x＋cos x)2≤(2＋1)(sin2x＋cos2x)＝3，
∴f(x)＝ 2 sin2x＋cos x≤ 2＋1sin2x＋cos2x＝ 3， 当且仅当 cos x＝ 33时取等号， ∴f(x)的最大值为 3. 答案：A
4．设 a，b，m，n∈R，且 a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 m2＋n2 的最小值为________．
解析：由柯西不等式得，(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2， 所以 5(m2＋n2)≥52，得 m2＋n2≥5，所以 m2＋n2≥ 5.
答案： 5
知识点三 柯西不等式的向量形式的应用
θ2＋sinb
θ2·
1
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2.
∴(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
＝[( a1b1)2＋( a2b2)2]
ab112＋
≥
a1b1·
ab11＋
a2b2·
a22 b2
＝(a1＋a2)2.
a22 b2
2．设mx22＋ny22＝1，求证：x2＋y2≥(m＋n)2.
证明：因为mx22＋ny22＝1， 所以 x2＋y2＝(x2＋y2)mx22＋ny22 ≥x·mx ＋y·ny2 ＝(m＋n)2.
a2＋b2· c2＋d2≥__|_a_c_＋__b_d_| _(a，b，c，d∈R)； a2＋b2· c2＋d2≥_|_a_c_|＋__|b_d_|_(a，b，c，d∈R)．
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
二维形式的柯西不等式
xn x1 )
x1 x2
2
x2 x3
2
xn1 xn
2
xn x1
2
2
x2
2
x3
2
xn
x1
2
≥
x1 x2
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注： 这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
分析：我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆，9=1 1 12 ，
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
y的最小值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
二维形式的柯西不等式
06
二维形式的柯西不等式的拓 展与推广
向高维空间的拓展
高维柯西不等式
对于任意两个n维向量a和b，有 (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+... +bn^2) ≥ (a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当 且仅当a和b线性相关时取等号。
几何意义
高维柯西不等式在几何上可以理解为两个高 维向量长度的乘积大于等于它们内积的平方。
与其他数学分支的联系与应用
01
线性代数中的应用
柯西不等式在线性代数中可用于证明矩阵的正定性、求解特征值问题等。
02 03
概率论与数理统计中的应用
在概率论与数理统计中，柯西不等式可用于证明某些概率不等式、求解 某些统计量的界等。例如，利用柯西不等式可以证明切比雪夫不等式、 马尔可夫不等式等。
分析学中的应用
柯西不等式二维形式的几何意义
柯西不等式的二维形式可以看作是平面中两个向量的模长之积与它们的内积的 平方之间的关系。当且仅当两个向量共线时，等号成立。
柯西不等式二维形式的性质
• 性质一：正定性。当$a_1, a_2$和$b_1, b_2$均不为零时，柯西不等式的左边 总是大于零，即$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) > 0$。
04
二维形式的柯西不等式在几 何中的应用
在三角形中的应用
面积估计
通过二维形式的柯西不等式，可以对 三角形的面积进行估计，得到面积的 上界和下界。
边长关系
式关系， 如两边之和大于第三边等。
在平行四边形中的应用
对角线性质
二维形式的柯西不等式可用于研究平行四边形的对角线性质，如对角线长度与边 长之间的关系。
维形式的柯西不等式
猜想柯西不等式的一般形式
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
x12
x
2 2
xn2
y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
补充例题:
例1
已 知x,
y,
a,
b
R
,且
a x
b y
1,求x
y的 最 小 值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
从 平 面 向 量 的 几 何 背能 景得 到 ，
将 平 面 向 量 的 坐 标 代，入化 简 后 得 二 维 形 式
的 柯 西 不 等(式a:12 a22 ) (b12 b22 ) (a1b1 a2b2 )
当 且 仅 当a1b2 a2b1时, 等 号 成 立. 类 似 地,从 空 间 向 量 的 几 何 背也 景能 得 到
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22 x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22 x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22 x12 2x1x2 x22 y12 2 y1 y2 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的三角不等式 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
三 维 形 式 的 三 角 不 等 式 x12 y12 z12 x22 y22 z22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(柯西不等式的一般形式)
作业:P41
2、 4、 5、 6
问题:已知A、B都是锐角, 且cosA+cosB-cos(A+B)=
2 3
,
求A、B的值
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,
等号成立.
a1 a 2 = = b1 b2
an = bb
问题：已知a1 ,a 2 , a n ∈ R +，求证 n 1 1 + + a1 a 2 a1 + a 2 + ≤ 1 n + an + an
使得ai=kbi(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,等号成立.
注:简记;积和方不大于方和积
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或存在一个数k
+a
二维形式的柯西不等式
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x12 y12 x22 y22 (x1 x2)2 (y1 y2)2
定理３（二维形式的三角不等式）设x1,Fra biblioteky, 1
x
,
2
y R 2
，那么
x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
问题：
你能否利用柯西不等式，从代数的角度 证明这个不等式？
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
一. 学习新课
（一）定理3 （二）例题 （三）练习
观察
y
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
0
x
x P2(x2,y2)
一、二维形式的柯西不等式 （第二课时）
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变形后 可得到两个比较重要的不等式：
a2 b2 c2 d 2 ac bd a2 b2 c2 d 2 ac | | bd
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
11 4 ab
注意应用公式： (a b)( 1 1 ) 4
ab
练习巩固：
练习一：
设a，b为正数，求
(a 1)(2b 1 )
b
2a
的最小值
练习二： P37 第6题
小结：
二维形式的柯西不等式
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
思考：你还有哪些证明方法？
一、向量法： m (a, b), n (c, d ), ac bd m n m n cos m n a 2 b2 c 2 d 2
(a b )(c d ) (ac bd ) ,
2 2 2 2 2
二、二维的Cauchy不等式 • 定理1:(二维形式的柯西不等式)
若a, b, c, d都是实数, 则(a b )(c d ) (ac bd)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时, 等号成立 .
• 定理2:(柯西不等式的向量形式)
设 , 是两个向量 , 则 , 当且 // 仅当等号成立 .
2 2 2 3 3 2
三、例题探究
若a, b, c, d都是实数 , 则(a b )(c d ) (ac bd)
2 2 2 2 2
6 例2.已知x, y R,若|x y| 1,证 : 2 x 3 y . 5
2 2
1 1 1 1 2 6 2 2 2 1) (2 x 3 y )( ) ( 2 x 3 y ) ( x y) 1, 2 x 3 y 2 3 5 2 3 6 2 2 2 2 2 2 2) (2 x 3 y )(3 2) ( 2 x 3 3 y 2 ) 6( x y) 6,即2 x 3 y 5 6 2 2 变式：已知x, y R,若2 x 3 y , 证 : |x y| 1. 5
练习
练习 1 ：求函数y 5 x 1 10 2x的最大值 .
练习 2：已知a b 9, 求证： a cos b sin 3
当且仅当ad bc时,等号成立.
思考：你还有哪些证明方法？
一、向量法： m (a, b), n (c, d ), ac bd m n m n cos m n a 2 b2 c 2 d 2
(a b )(c d ) (ac bd ) ,
2 2 2 2 2
二、二维的Cauchy不等式 • 定理1:(二维形式的柯西不等式)
若a, b, c, d都是实数, 则(a b )(c d ) (ac bd)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时, 等号成立 .
• 定理2:(柯西不等式的向量形式)
设 , 是两个向量 , 则 , 当且 // 仅当等号成立 .
2 2 2 3 3 2
三、例题探究
若a, b, c, d都是实数 , 则(a b )(c d ) (ac bd)
2 2 2 2 2
6 例2.已知x, y R,若|x y| 1,证 : 2 x 3 y . 5
2 2
1 1 1 1 2 6 2 2 2 1) (2 x 3 y )( ) ( 2 x 3 y ) ( x y) 1, 2 x 3 y 2 3 5 2 3 6 2 2 2 2 2 2 2) (2 x 3 y )(3 2) ( 2 x 3 3 y 2 ) 6( x y) 6,即2 x 3 y 5 6 2 2 变式：已知x, y R,若2 x 3 y , 证 : |x y| 1. 5
练习
练习 1 ：求函数y 5 x 1 10 2x的最大值 .
练习 2：已知a b 9, 求证： a cos b sin 3
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一、二维形式的柯西不等式 （第二课时）
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变形后 可得到两个比较重要的不等式：
a2 b2 c2 d 2 ac bd a2 b2 c2 d 2 ac | | bd
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
11 4 ab
注意应用公式： (a b)( 1 1 ) 4
ab
练习巩固：
练习一：
设a，b为正数，求
(a 1)(2b 1 )
b
2a
的最小值
练习二： P37 第6题
小结：
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应 用，柯西不等式是一个经典不等式，是一 个重要的数学结论，在以后的证明某些不 等式和求最值时有重要作用，要学会灵活 运用。
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x12 y12 x22 y22 (x1 x2)2 (y1 y2)2
定 1
x
,
2
y R 2
，那么
x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
问题：
你能否利用柯西不等式，从代数的角度 证明这个不等式？
作业： P37 第 8 题
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
一. 学习新课
（一）定理3 （二）例题 （三）练习
观察
y
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
0
x
x P2(x2,y2)
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变形后 可得到两个比较重要的不等式：
a2 b2 c2 d 2 ac bd a2 b2 c2 d 2 ac | | bd
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
11 4 ab
注意应用公式： (a b)( 1 1 ) 4
ab
练习巩固：
练习一：
设a，b为正数，求
(a 1)(2b 1 )
b
2a
的最小值
练习二： P37 第6题
小结：
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应 用，柯西不等式是一个经典不等式，是一 个重要的数学结论，在以后的证明某些不 等式和求最值时有重要作用，要学会灵活 运用。
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x12 y12 x22 y22 (x1 x2)2 (y1 y2)2
定 1
x
,
2
y R 2
，那么
x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
问题：
你能否利用柯西不等式，从代数的角度 证明这个不等式？
作业： P37 第 8 题
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
一. 学习新课
（一）定理3 （二）例题 （三）练习
观察
y
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
0
x
x P2(x2,y2)