高中数学一二维形式的柯西不等式试题
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（完整版）柯西不等式练习题.docx柯西不等式练习题1.(09 绍兴二模 )设x, y, z R, x2y2z2 1 。
（1）求x y z的最大值；（ 2）求x y 的取值范围。
2.（09 宁波十校联考）已知x, y, z (0,) ，且 x y z 11925，求y的最小值。
x z3.（09 温州二模）已知x, y, z R ，且z y z 1。
（1）若2x23y26z21，求x, y, z的值；（2）若2x23y 2tz 2 1 恒成立，求正数t 的取值范围。
4、（ 09 嘉兴二模）设x, y, z R ，且 x2y 3z 1。
（1）求证：| x y z || y z || z |1；（2）求u (x1)2( y2)2( z3)2的最小值。
5.（09 诸暨模考）已知x, y, z 都是正数，且x 2 y3z 6 ；（1）求证：x2y2z218；（2）问123有最大值还是最小值？并求这个最值。
7x y z6.（093x 5 。
宁波一模）已知2求证：4x 42x 315 3x78 。
7（09 舟山一模）已知a, b, c, d 满足 a b c d 3,a22b23c26d 2x 。
（1）求证：当a 0时，x 9。
（2）当x 5时，求实数a的最值。
8.（09 稽阳联考）（ 1）已知正数x, y, z 满足x y z 1，求x2y2z2的最小值。
1 z 1 x 1 yx y z，求 t 的最大值。
9．已知t2y2x24z210.(09 金丽衢十二校第一次联考)已知 3x 4y 4z 1，求 x2y2z2的最小值。
11（ 09 浙江五校联考）（1）求函数f (x)38(x R)的最小值。
2sin 2 x 13cos2 x 212、（ 09湖州一模）已知 a, b,c R ，且a b c 1 。
（1）求1 1 + 1的最小值；（ 2）求证 :a2b2c21.a b c1a 1 b 1 c413、（ 09 杭州一模）已知x, y, z是正数，且满足条件x y z3 xyz（1）求x y z的最小值；（ 2）若xyz 3，且x22y 2z2 1 ，求 x 的取值范围。
2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式习题课件
柯西不等式与排序不等式
一
二维形式的柯西不等式
[A A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)
基础达标] )
1．二维形式的柯西不等式可用下列式子表示的为( B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R) C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R)
3．函数 y＝ x－5＋2 6－x的最大值是( A． 3 C．3 B． 5 D．5
)
解析：选 B.设 m＝( x－5， 6－x)，n＝(1，2)， 则 m· n＝ x－5＋2 6－x≤|m||n|＝ （ x－5）2＋（ 6－x）2· 12＋22＝ 26 5，当且仅当 6－x＝2 x－5，即 x＝ 时等号成立． 5
9 解：因为 a＞0，b＞0，且 a ＋b ＝ ， 2
2 2
所以 9＝(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2. 所以
3 a＋b≤3当且仅当a＝b，即a＝b＝2时取等号.
又因为 a＋b≤m 恒成立，所以 m≥3.
[B
能力提升]
1 2 1．设 x，y∈R＋，且 x＋2y＝36， 则x＋y 的最小值为________．
解析：因为 a2＋b2＝9，x2＋y2＝4， 由柯西不等式(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2， 得 36≥(ax＋by)2，当且仅当 ay＝bx 时取等号， 所以 ax＋by 的最大值为 6，最小值为－6， 即 m＝6，n＝－6， 所以 mn＝－36.
答案：－36
8．若函数 y＝a x＋1＋ 6－4x的最大值为 2 5，则正数 a 的 值为________．
4 9 4．已知x＋y ＝2，x，y∈R＋，则 x＋y 的最小值是( 25 A． 2 5 C． 2 25 B． 4 D．5
柯西不等式高考题精选
柯西不等式高考题精选1.（2013 年湖北）设 x.zeR,且满足：/ + / + 22=1, x + 2y+ 3z = V14,则x+y + z=.【答案】半2.（2013年陕西）已知a, b,叫,n均为正数，且a+b=1,mn=2,则（am+bn）（bm+an）的最小值为.【答案】2 f (x) = x + 11 + lx —2 | 的最小值为 a.3. [2014 •福建] 已知定义在R上的函数（1）求a的值；⑵若p, q, r是正实数，且满足p + q + r = a, 求证:p2+q:+r2^3.解：(1)因为|x+l + |x—2| | (x+1) — (x—2) |=3, 当且仅当一l〈x<2时，等号成立, 所以f(x)的最小值等于3,即a=3.⑵由⑴知p + q + r = 3,又p, q, r是正实数，所以(p' + q~ + r')(l-+l'+l/)2(pXl + qXl+rXl)'=(p + q + r)2=9,即 E+/+/23.4.[2014 •陕西]A.(不等式选做题)设a, b, m, n£R,且£ +b' = 5, ma + nb = 5,则+ 的最小值为.【答案】m5.[2014 •浙江](1)解不等式 2|x—2| — x+l|>3；(2)设正数 a, b, c 满足 abc=a + b + c, 求证：ab + 4bc + 9ac236,并给出等号成立条件. 解：(1)当 xW —1 时，2(2—x) + (x + 1) >3, 得xV2,此时x 〈一l ；当一lVx<2 时，2(2—x) — (x + 1) >3,得 xVO,此时 -l<x<0； 当 x>2 时，2(x — 2) — (x+l)>3,得 x>8,此时 x 〉8.综上所述，原不等式的解集是(-8, O)U (8, +8).(2)证明：由abc = a + b + c,得々+*+,=1.由柯西不等式， ab be caz 、得(ab + 4bc + 9ac) ~--F~ F — 2 (1 + 2 + 3)、[ab be ca ；所以ab + 4bc + 9ac236,当且仅当a = 2, b = 3, c = l 时，等号 成立.6.12015福建】已知〃>0*>0,0 0,函数/0)=1%+。
柯西不等式习题教师版_含答案
新课标数学选修4-5柯西不等式一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++ 二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈ bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαββαβαk k =≤⋅借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a⋅之最小值为________；此时=b ________。
答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a ∴1818≤⋅≤-b a b a ⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b【2】 设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2 = 16，则a b的最大值为 。
【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a．b = x - 2z 由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2 ⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b 的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =，(,,)b x y z =，已知56b =，则(1)a b ⋅的最大值为多少？(2)此时b =？ 答案：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。
高中数学总复习 培优点1 柯西不等式与权方和不等式
3.二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立).
例1 已知x，y∈R,3x2＋2y2≤6，求2x＋y的最值.
0
方法一 由柯西不等式得
(2x＋y)2≤[(
3x)2＋(
2y)2]
232＋
1
2
2
＝(3x2＋2y2)43＋12≤11. 当且仅当 3x·12＝ 2y·23，
123456
跟踪训练2 (1)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x12＋y82 的最小值为__2_7___. x12＋y82＝1x23＋2y23≥1x＋＋2y23＝27，当且仅当1x＝2y，即 x＝13，y＝23时取等号.
(2)已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则a＋2 b＋b＋2 c＋a＋2 c 的最小值为
∴z＝2x＋ 3y 的最小值是－5.
123456
2.权方和不等式作为均值不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广 泛的应用，其表述如下：设 a，b，x，y>0，则ax2＋by2≥ax＋＋by2，当且仅当 ax＝by时，等号成立.根据权方和不等式，函数 f(x)＝2x＋1－92x0<x<12的最小 值为
0
即x＝4 1111，
y＝3
11 11
或x＝－4 1111，
y＝－3
11 11
时等号成立，
于是 2x＋y 的最大值为 11，最小值为－ 11.
方法二 由柯西不等式得
|2x＋y|≤ 3x2＋ 2y2
232＋
1
2
2
0
＝ 3x2＋2y243＋12≤ 11， 当且仅当 3x·12＝ 2y·23，
n
m>0，则
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
高中数学新人教A版选修4-5课堂测试二维形式的柯西不等式
课时跟踪检测（九） 二维形式的柯西不等式1.已知a , b € R +且a + b = 1,贝U P = （ax + by ）与Q = ax + by 的大小关系是（） A . P W QB . P v QC . P >QD . P >Q解析：选 A 设 m = f ax , by), n = ( a , b),则 |ax + by| = |m ・n|w |m||n| = ax 2+ .by 2 - a 2+ b 2 = ax 2 + by 2 • a + b = ax 2 + by 2,/• (ax + by)2< ax 2+ by 2,即 P W Q.2.若a , b € R ，且a 2 + b 2= 10,则a - b 的取值范围是() A. [- 2 5, 2 .5 ]B. [-2 10, 2 10 ]C. [— 10, 一10 ]D. (— 5, 5)解析：选 A (a 2 + b 2)[i 2 + (— I)2] > (a — b)2,•/ a 2 + b 2= 10,•••(a — b)2w 20.— 2-.;5W a — b w 2 j'5.3. 已知x + y = 1，那么2x 2 + 3,的最小值是( )5 6A ・6解析：选 B (2x 2+ 3y 2)[( 3)2+ ( 2)勺》(石x + 6y)2= [ 6(x + y)]2= 6,3 2当且仅当x = 5, y =；时取等号,即 2x 2 + 3y 2> 65 故2x 2 + 3y 2的最小值为6. 54.函数y = x — 5+ 2 6 — x 的最大值是（ ）A. 3B. 5C . 3D . 5解析：选B 根据柯西不等式，知 25 D. 3625y= 1 x p—5 + 2 x p 6 —xW p 12+ 22X 寸 & x - 5 )2+ (寸6 - x f =屁当且仅当x = 时取等号. 5答案:6. ______________________________________________ 设a = (-2,1,2), |b|= 6，贝U a b 的最小值为 __________________________________ ，此时b =解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a b|w |a| |b|,•••|a b|w — 2 2+ 12+ 22X 6= 18,当且仅当存在实数 k ，使a = kb 时，等号成立. •••— 18W a b w 18,• a b 的最小值为一18,此时 b = — 2a = (4, — 2,— 4).答案：—18 (4,— 2,— 4)7. _______________________________________________________ 设实数x ,y 满足3x 2 + 2y 2w 6，贝V P = 2x + y 的最大值为 ____________________答案：，111 18. 已知 x , y € R +,且 x + y = 2.求证：j + 寸 2. 证明：x + > 如+ y )1+y =2［兩2+兩儿術+約 A 2 x - ：+ y ；2=2当且仅当 y x时等号成立，此时 x = 1, y = 1.x + y = 2 5•设 解析:xy>0,则x 2 +》y + X 2的最小值为 原式=0飢前y 2 l>x £+ y y 2= 9,当且仅当xy=^时取等号. 解由柯西不等式得(2x + y)2< [( .3X )2+ ( 2y)2] 1 W 6X £= 11122 = (3X 2+ 2y 2) 当且仅当4 心而，y = 希j 时取等号，故 P = 2x + y 的最大值为QU . +1 1所以1+ 1A 2.x y9. 若x2+ 4y2= 5,求x+ y的最大值及此时x, y的值. 解：由柯西不等式得[x 2+ (2y )2] 12+ j2) l> (x + y)2, 即(x + y)2w 5 x 5 = 25, x + y w 2.当且仅当x =孕，即x = 4y 时取等号. 1 12x 2+ 4y 2= 5,x = 2， x =- 2， 由4得S 1 或S 1 (舍去). lx =4y , y =2[y =- 2 5••• x + y 的最大值为5，1此时 x = 2, y =-.10.求函数f(x)= 3cosx + 4 1 + sin 2x 的最大值，并求出相应的 x 的值. 解：设 m = (3,4), n = (cosx , 1 + sin 2x), 则 f(x) = 3cosx + 4 \/1 + sin 2x =|m n|< |m| |n|= co$x + 1 + sin 2x • 32 + 42 =5 2,当且仅当m// n 时，上式取"=”. 此时，3 岑 1 + sin 2x - 4cos x = 0.f(x)= 3cos x + 4 , 1 + sin 2x 取最大值 5 . 2. 解得sin x = cosx = 3 *2 5 故当 sin x ^-7, 5 cosx =勒2 时. 5。
完整版)柯西不等式练习题
完整版)柯西不等式练习题1.(09绍兴二模) 设 $x,y,z \in \mathbb{R}$，$x+y+z=1$。
1) 求 $x+y+z$ 的最大值；2) 求 $x+y$ 的取值范围。
2.(09XXX联考) 已知 $x,y,z \in (0,+\infty)$，且 $x+y+z=1$，求3.(09温州二模) 已知 $x,y,z \in \mathbb{R}$，且$z+y+z=1$。
1) 若 $2x+3y+6z=1$，求 $x,y,z$ 的值；2) 若 $2x+3y+tz \ge 1$ 恒成立，求正数 $t$ 的取值范围。
4.(09嘉兴二模) 设 $x,y,z \in \mathbb{R}$，且$x+2y+3z=1$。
1) 求证：$|x+y+z|+|y+z|+|z| \ge 1$；2) 求 $u=(x-1)+(y-2)+(z-3)$ 的最小值。
5.(09诸暨模考) 已知$x,y,z$ 都是正数，且$x+2y+3z=6$；1) 求证：$x+y+z \ge 2$；2) 问 $xyz$ 有最大值还是最小值？并求这个最值。
6.求证：$4x+4+2x-3+15-3x<78$，其中 $3 \le x \le 5$。
7.(09舟山一模) 已知 $a,b,c,d$ 满足 $a+b+c+d=3$，$a+2b+3c+6d=x$。
1) 求证：当 $a=0$ 时，$x \ge 9$；2) 当 $x=5$ 时，求实数 $a$ 的最值。
8.(09稽阳联考) 已知正数 $x,y,z$ 满足 $x+y+z=1$，求$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$ 的最小值。
9.已知 $t=\frac{x+y+z}{x+2y+4z}$，求 $t$ 的最大值，其中 $x,y,z$ 满足 $x+2y+3z=222$。
10.已知 $3x+4y+4z=1$，求 $x+y+z$ 的最小值。
11.(09浙江五校联考) 求函数 $f(x)=\frac{3\sinx+2\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}$ $(x \in\mathbb{R})$ 的最小值。
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高中数学一二维形式的柯西不等式试题2019.091,某单位为了了解用电量y 度与气温C x 0之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(0C)18 13 10 -1 用电量(度)24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程a bx yˆ+=中2b -=，预测当气温为04C - 时，用电量的度数约为________.2,设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为________3,对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据.观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8观测数据i a40 41 43 43 44 46 47 48 在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a是这8个数据的平均数),则输出的S 的值是________4,设P 为曲线2:1C y x x =-+上一点,曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[1,3]-,则点P 纵坐标的取值范围是________5,已知{}n a 是等比数列,242,8a a ==,则1223341n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=________6,在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线xy k =（0k >）上任意一点P ,若点P 在x 轴、y 轴上的射影分别为M 、N ，则PM P N ⋅必为定值k ”.类比于此，对于双曲线22221x y a b -=（0a >,0b >）上任意一点P ,类似的命题为:________.7,现有下列命题:①命题“2,10x R x x ∃∈++=”的否定是“2,10x R x x ∃∈++≠”；② 若{}|0A x x =>,{}|1B x x =≤-,则()A B R ð=A ；③函数()sin()(0)f x x ωφω=+>是偶函数的充要条件是()2k k Z πφπ=+∈；④若非零向量,a b 满足||||||a b a b ==-,则()b a b -与的夹角为 60º.其中正确命题的序号有________.(写出所有你认为真命题的序号)8,设,A F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点P ,使得线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ,则椭圆的离心率的取值范围是________ 9,若关于x 的不等式22x x t<--至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是________ 10,已知在ABC ∆中,cos A =,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边.(Ⅰ)求tan 2A ；(Ⅱ)若sin()2B π+=,c =求ABC ∆的面积. 11,已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.12,已知函数2()(33)xf x x x e =-+⋅定义域为[]t ,2-(2t >-),设n t f m f ==-)(,)2(.(Ⅰ)试确定t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数；(Ⅱ)求证:n m >；(Ⅲ)求证:对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3xf x t e =-,并确定这样的0x 的个数13,在正项数列{}n a 中,令1nn i S ==.（Ⅰ）若{}n a 是首项为25,公差为2的等差数列,求100S ；（Ⅱ）若n S =（p 为正常数）对正整数n 恒成立,求证{}n a 为等差数列；（Ⅲ）给定正整数k ,正实数M ,对于满足2211k a a M ++≤的所有等差数列{}n a ,求1221k k k T a a a +++=++⋅⋅⋅+的最大值.14,袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为27.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数． (Ⅰ)求袋中原有白球的个数；(Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ； (Ⅲ)求甲取到白球的概率．15,复数1i -的虚部是（ ） A ．i - B ．1C ．1-D ． i16,下列四个命题中，不正确的是（ ）A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则00lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→=B ．111lim12x x →=-C ．函数()f x =239x x +-的不连续点是x =3和x =－3D ．若函数()f x 、()g x 满足lim[()()]0x f x g x →∞-=，则lim ()lim ()x x f x g x →∞→∞=17,函数213(10)x y x -=-≤<的反函数是（ ）A ．1)3y x =≥ B ．1(1)3y x =<≤C ．1(1)3y x =<≤D ．1)3y x =≥18,连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．712B ．12C ．512D ．5619,如果消息A 发生的概率为()P A ，那么消息A 所含的信息量为()()21log I A P A =。
若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（ ）A ．王教授在第4排B ．王教授在第4排第5列C ．王教授在第5列D ．王教授在某一排20,将数字3，4，5，6，7排成一行，使得相邻两个数都互质，则可能的排列方法共有（ ）A ．30种B ．48种C ．42种D ．36种试题答案1, 68 2, 4 3, 74, 3[,3]4 5, 2(14)3n ±-6, 若点P 在两渐近线上的射影分别为M 、N ，则PM P N ⋅必为定值2222a b a b +7, ②③8, 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 9, 9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10, 解: (Ⅰ)因为cos 3A =,∴sin 3A =,则tan 2A =22tan tan 21tan AA A ==- (Ⅱ)由sin()23B π+=,得cos 3B =,1sin 3B =sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=由正弦定理,得sin 2sin c Aa C ==,∴ABC ∆的面积为1sin 23S ac B ==11, 解:(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=(Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++ =224x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--=因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+同理,22211B k k x k +-=+,所以(1)(1)1B A B ABAB B A B A B Ay y k x k x k k x xk x x x x x x ------+====---=OP k所以,直线AB 和OP 一定平行12, (Ⅰ)解:因为2()(33)(23)(1)x x xf x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅由()010f x x x '>⇒><或；由()001f x x '<⇒<<,所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减欲)(x f 在[]t ,2-上为单调函数,则20t -<≤(Ⅱ)证:因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减,所以()f x 在1x =处取得极小值e又213(2)f e e -=<,所以()f x 在[)2,-+∞上的最小值为(2)f -从而当2t >-时,(2)()f f t -<,即m n < (Ⅲ)证:因为0'2000()x f x x x e =-,所以0'20()2(1)3x f x t e =-即为22002(1)3x x t -=-,令222()(1)3g x x x t =---,从而问题转化为证明方程222()(1)3g x x x t =---=0在(2,)t -上有解,并讨论解的个数因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-,221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+-所以①当421t t >-<<或时,(2)()0g g t -⋅<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且只有一解②当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于22(0)(1)03g t =--<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且有两解③当1t =时,2()001g x x x x x =-=⇒==或,所以()0g x =在(2,)t -上有且只有一解；当4t =时,2()6023g x x x x x =--=⇒=-=或, 所以()0g x =在(2,4)-上也有且只解综上所述, 对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足020(1)3xt e =-,且当421t t ≥-<≤或时,有唯一的0x 适合题意；当14t <<时,有两个0x 适合题意(说明:第(Ⅱ)题也可以令2()x x x ϕ=-,(2,)x t ∈-,然后分情况证明22(1)3t -在其值域内,并讨论直线22(1)3y t =-与函数()x ϕ的图象的交点个数即可得到相应的0x 的个数)13, （Ⅰ）解：由题意得=,所以100S=5=（Ⅱ）证:令1n ==,则p =1所以1nn i S ===1）,111n n i S ++==2）,（2）-（1）,化简得121(1)(1)n n n a na a n +++-=≥（3）231(2)(1)(1)n n n a n a a n +++-+=≥（4）,（4）-（3）得1322(1)n n n a a a n ++++=≥在（3）中令1n =,得1322a a a +=,从而{}n a 为等差数列 （Ⅲ）记1k t a +=,公差为d ,则1221k k k T a a a +++=++⋅⋅⋅+=(1)(1)2k k k t d +++则12T kdt k =++,222211()k M a a t t kd +≥+=+-222414()(43)()10210102kd kd t t kd t =++-≥+22()51T k =+则(2k T +≤,当且仅当2432()52t kdkd M t =⎧⎪⎨=+⎪⎩,即1k a t d +⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立14, 解：(Ⅰ)设袋中原有n 个白球,由题意知：2272(1)2767762n C n n C -===⨯⨯，所以(1)n n -=12，解得n=4(舍去3n =-),即袋中原有4个白球(Ⅱ)由题意,ξ的可能取值为1，2，3，44342324432141(1);(2);(3);(4)776776535765435P P P P ξξξξ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===========⨯⨯⨯⨯⨯⨯,所以，取球次数ξ的分布列为：ξ1234P472743513585E ξ=(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记“甲取到白球”的事件为A ，则()("1"P A P ξ==或 “ξ=3”）,所以24()(1)(3)35P A P P ξξ==+==15, C 16, D 17, C 18, A 19, B 20, D。