二维形式的柯西不等式大全
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二维柯西不等式
周练 5:已知 2 x2 y2 =1,求 2x y 的最大值.
变式3:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1, acur urbd ur ur (4)柯西不等式的向量形式 .
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论. 若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.
例3 : 求函数y x 1 10 x的最大值.
变式1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
3.若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量ar a,b,
r
ur r
c, d , 与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设r
r
, 为平面上的两个向量, 则
ur ur ur ur
二维形式的柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
你能证 明吗？
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式: (1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
| g || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
变式3:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1, acur urbd ur ur (4)柯西不等式的向量形式 .
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论. 若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.
例3 : 求函数y x 1 10 x的最大值.
变式1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
3.若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量ar a,b,
r
ur r
c, d , 与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设r
r
, 为平面上的两个向量, 则
ur ur ur ur
二维形式的柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
你能证 明吗？
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式: (1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
| g || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
二维形式的柯西不等式大全
⑵ 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .
另外由这两个结论，你和以前学过的什么知识 会有联想.
根据二维形式的柯西不 等式, 容易得出
a 2 b2 c2 d 2
a
2
b 2 c 2 d 2
变式 2.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 y 2 的最小值. 变式 3.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 2 y 2 的最小值.
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习
课堂练习 1: 已知 a,b R ， a+b=1, x1 , x2 R ,
证
明
根据柯西不等式，有 (a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2
反思 在证明不等式时，联系经典不等式， 既可以启发证明思路，又可以简化运算.
例1 已知 a, b 为实数 , 证明
a
4
b
4
a
2
b a b
2 3
3 2
.
分析 虽然 可以作乘法展 开上式的两边 , 然而再比较 它们, 但是如果 注意到这个 不等式的形式与柯西不等 式的一致性 , 就可以避免繁 杂的计算.
证明：因为2x 2 3 y 2 6, 1 4 所以 x 2 y 2 x 3 y 11. 2 3
2 2
因此x 2 y 11.
求特定函数的极值问题
函数 y＝5 x－1＋ 10－2x的最大值为____________． 【思路分析】 将其配凑成柯西不等式的形式， 然后用它求解， 但要注意等号成立的条件．
柯西不等式
2
1 x1
x1
x2
2
2
1 x2
x2
2
xn
2
1 xn
xn
2
1 n 1
) x2
2
证明 : ( n 1 ) (
1 x1
1 x2
1 xn x1
2
(1 x 1 1 x 2 1 x n ) ( xn 1 xn
2
1 x1
2 2 2 2 2 2
(1 a 1 1 a 2 1 a n )
2 2 2
2
n(a1 a 2 a n ) (a1 a 2 a n )
1 n (a1 a 2 a n ) a1 a 2 a n
2 2 2 2
2
x 1 y1 2 ( x 1 x 2 y1 y 2 ) x 2 y 2 x 1 2 x1 x 2 x 2 y1 2 y1 y 2 y 2 (x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 )
x 1 y1
2 2
2
2
2
2
2
2
2
x2 y2
构造二次函数 f ( x ) ( a 1 a 2 a n ) x 2 ( a 1 b1 a 2 b 2 a n b n ) x
2 2 2 2
( b1 b 2 b n )
2 2 2
又 f ( x ) ( a 1 x b1 ) ( a 2 x b 2 ) ( a n x b n ) 0
1 x
4 y
1 x1
x1
x2
2
2
1 x2
x2
2
xn
2
1 xn
xn
2
1 n 1
) x2
2
证明 : ( n 1 ) (
1 x1
1 x2
1 xn x1
2
(1 x 1 1 x 2 1 x n ) ( xn 1 xn
2
1 x1
2 2 2 2 2 2
(1 a 1 1 a 2 1 a n )
2 2 2
2
n(a1 a 2 a n ) (a1 a 2 a n )
1 n (a1 a 2 a n ) a1 a 2 a n
2 2 2 2
2
x 1 y1 2 ( x 1 x 2 y1 y 2 ) x 2 y 2 x 1 2 x1 x 2 x 2 y1 2 y1 y 2 y 2 (x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 )
x 1 y1
2 2
2
2
2
2
2
2
2
x2 y2
构造二次函数 f ( x ) ( a 1 a 2 a n ) x 2 ( a 1 b1 a 2 b 2 a n b n ) x
2 2 2 2
( b1 b 2 b n )
2 2 2
又 f ( x ) ( a 1 x b1 ) ( a 2 x b 2 ) ( a n x b n ) 0
1 x
4 y
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥(ac+ bd ) 2 (a, b, c, d ∈ R) 当且仅当ad = bc时, 等号成立.
( 2) a 2 + b 2 c 2 + d 2 ≥ ac + bd
小结
(3) a 2 + b 2
c 2 + d 2 ≥ ac + bd
利用柯西不等式证明(基础)
1.已知a, b为实数, 证明(a 4 + b 4 )(a 2 + b 2 ) ≥(a 3 + b 3 ) 2 . 1 1 2.设a, b ∈ R+ , a + b = 1,求证 + ≥4. a b 3.设x, y ∈ R, 证明： 2( x 2 + y 2 ) ≥( x + y ) 2 . 4.已知2 x 2 + 3 y 2 ≤6, 求证：x + 2 y ≤ 11. 5.已知a + b = 1, 求证： a cosθ + b sin θ ≤1.
y3 ) 2 + ( x2 y2 ) 2
柯西不等式
(Cauchy inequality)
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式
定理1:(二维形式的柯西不等式)
若a, b, c, d都是实数, 则(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥(ac+ bd) 2 当且仅当ad = bc时, 等号成立 .
证明思路1：(代数证法)
证明: (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = a 2c 2 + b 2 d 2 + a 2 d 2 + b 2c 2 = (ac+ bd) 2 + (ad bc) 2 ≥(ac+ bd) 2
二维形式的柯西不等式
06
二维形式的柯西不等式的拓 展与推广
向高维空间的拓展
高维柯西不等式
对于任意两个n维向量a和b，有 (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+... +bn^2) ≥ (a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当 且仅当a和b线性相关时取等号。
几何意义
高维柯西不等式在几何上可以理解为两个高 维向量长度的乘积大于等于它们内积的平方。
与其他数学分支的联系与应用
01
线性代数中的应用
柯西不等式在线性代数中可用于证明矩阵的正定性、求解特征值问题等。
02 03
概率论与数理统计中的应用
在概率论与数理统计中，柯西不等式可用于证明某些概率不等式、求解 某些统计量的界等。例如，利用柯西不等式可以证明切比雪夫不等式、 马尔可夫不等式等。
分析学中的应用
柯西不等式二维形式的几何意义
柯西不等式的二维形式可以看作是平面中两个向量的模长之积与它们的内积的 平方之间的关系。当且仅当两个向量共线时，等号成立。
柯西不等式二维形式的性质
• 性质一：正定性。当$a_1, a_2$和$b_1, b_2$均不为零时，柯西不等式的左边 总是大于零，即$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) > 0$。
04
二维形式的柯西不等式在几 何中的应用
在三角形中的应用
面积估计
通过二维形式的柯西不等式，可以对 三角形的面积进行估计，得到面积的 上界和下界。
边长关系
式关系， 如两边之和大于第三边等。
在平行四边形中的应用
对角线性质
二维形式的柯西不等式可用于研究平行四边形的对角线性质，如对角线长度与边 长之间的关系。
二维形式的柯西不等式
4 4 2 2 3 3 2
变式: 已知a, b∈R,证明（a + b )(a + b ) ≥ (a b + ab )
4 4 2 2 2
2 2
1 1 例2 : 设a, b ∈ R , a + b = 1, 求证 + ≥ 4 a b
+
变式 ：若a>b>c 求证：
1 1 4 + ≥ a−b b−c a−c
bd )
（ ×）
若加上条件a, b, c, d为非负实数？
推论： 推论：
1. a + b ⋅ c + d ≥ ac + bd
2 2 2 2 2 2 2 2
（ad = bc)
| 2. a + b ⋅ c + d ≥ ac | + | bd （ad| = |bc|)
3.( a + b ) ⋅ (c + d ) ≥ ( ac + bd ) （ad = bc) ( a , b, c, d为非负实数）
2
( a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd )
2 2 2 2
2
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
r 如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量a = (a, b ), r r β = (c, d ), α 与β 之间的夹角为θ .
y
β
θ
r
α
r
O
x
( a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd )
例3 : 求函数y = x − 1 + 10 − x的最大值.
变式1 :求函数y = 5 x − 1 + 10 − 2 x的最大值
变式: 已知a, b∈R,证明（a + b )(a + b ) ≥ (a b + ab )
4 4 2 2 2
2 2
1 1 例2 : 设a, b ∈ R , a + b = 1, 求证 + ≥ 4 a b
+
变式 ：若a>b>c 求证：
1 1 4 + ≥ a−b b−c a−c
bd )
（ ×）
若加上条件a, b, c, d为非负实数？
推论： 推论：
1. a + b ⋅ c + d ≥ ac + bd
2 2 2 2 2 2 2 2
（ad = bc)
| 2. a + b ⋅ c + d ≥ ac | + | bd （ad| = |bc|)
3.( a + b ) ⋅ (c + d ) ≥ ( ac + bd ) （ad = bc) ( a , b, c, d为非负实数）
2
( a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd )
2 2 2 2
2
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
r 如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量a = (a, b ), r r β = (c, d ), α 与β 之间的夹角为θ .
y
β
θ
r
α
r
O
x
( a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd )
例3 : 求函数y = x − 1 + 10 − x的最大值.
变式1 :求函数y = 5 x − 1 + 10 − 2 x的最大值
二维形式的柯西不等式 课件
又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，
( p q)2
( p q)2
∴ 2 ≤p2＋q2≤ 2 p＋q，∴ 2 ≤ 2· p＋q，则(p＋q)4≤8(p＋q)．
又 p＋q>0，∴(p＋q)3≤8，故 p＋q≤2.
使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量． 同时，要注意向量模的计算公式|a|＝ x2＋y2对数学式子变形的影响．
1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配 凑，保证出现常数结果． 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适 当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．
2．若 3x＋4y＝2，试求 x2＋y2 的最小值及最小值点.
【解】 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得 25(x2＋y2)≥4.
【证明】 根据柯西不等式，有
[(2－a)＋(2－b)]2－a2 a＋2－b2 b＝[(
2－a)2＋(2－b)源自]2a－a2＋b2
2－b
≥
2－a· 2a－a＋
2－b· 2b－b2＝(a＋b)2＝4.
∴2－a2a＋2－b2b≥2－a＋4 2－b＝2，
当且仅当 2－a· 2b－b＝ 2－b· 2a－a，
二维形式的柯西不等式
教材整理 二维形式的柯西不等式
内容
等号成立的条件
代数形式
若 a，b，c，d 都是实数，则(a2 当且仅当 ad＝bc 时，等号成立
＋b2)·(c2＋d2)≥ (ac＋bd)2
向量形式 三角形式
设 α ， β 是 两 个 向 量 ， 则 当且仅当 β是零向量 ，或 存在实数k，
题型二、运用柯西不等式求最值
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思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
例1 已知a,b为实数 , 证明
a4 b4
a2 b2
a3 b3
2
.
分析 虽然可以作乘法展
开上式的两边,然而再比较 它们, 但是如果注意到这个 不等式的形式与柯西不等 式 的 一 致 性, 就 可 以 避 免 繁 杂的计算.
证明 根据柯西不等式,有
a4 b4 a2 b2
a2 a b2 b 2
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1,即2x 3 y时取等号.
由22
x x
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
2
46
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值.
祝您成功！
证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd)2
证明思路2：(构造向量法) 什么时候“=”成立？
设 (a,b), (c, d ),则 a2 b2 , c2 d 2 ,
ac bd,利用 ,两边平方后得证.
2.已知2x2 3 y2 6,求证x 2 y 11.
证明：因为2x2 3 y2 6,
所以 x 2 y
2x2 3y2
1 2
4 3
11.
因此x 2 y 11.
3.已知x,
y,a,b
R ,且
a x
b y
1,
求x
y的最小值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
P1 (x1 , y1 )
y
P1(x1, y1)
证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 =ax1 bx2 ax2 bx1
由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
作业:课本 P37 习题 3.1 第 1、3、7、8 题
知识回顾 Knowledge Review
a2 b2 c2 d 2 | ac bd | , a2 b2 c2 d 2 | ac | | bd | .
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
( a b )2
a x
2
b y
2
当 且 仅 当 x b y a ,即 x a 时 取 等 号.
y
xy b
( x y)min ( a b )2
4.若2x 3y 1,求4x2 9 Байду номын сангаас2的最小值 ,并求最小值点 .
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
| y1 - y2 |
O
P2 (x2 , y2 )
x
这个图中有什么
不等关系?
O
P2 (x2 , y2 )
| x1 - x2 |
x
随堂练习
1.求函数y 3 x 5 4 6 x的最大值.
解：函数定义域为5，6，且y 0.
y 3 x54 6 x
32 42 x 5 6 x 5.
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
这两个结论也是非常有用的.
探究一
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设a,b, c, d都是实数,则比较 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2大小
联想
二维形式的柯西不等式
• 定理1:(二维形式的柯西不等式) 若a,b, c, d都是实数,则(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2 当且仅当ad bc时,等号成立. 证明思路1：(代数证法)
定理 2(柯西不等式的向量形式)
若 , 是两个向量,则 ≥ .
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k 时,等号成立.
根据二维形式的柯西不等式, 容易得出
a2 b2 c2 d 2 a2 b2 c2 d 2
ac bd2 | ac bd |,
a2 b2 c2 d 2 | a |2 | b |2 | c |2 | d |2 | a || c | | b || d || ac | | bd |. 所以,对于任何实数a,b, c, d,以下不等式成立:
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
a3 b3
2
.
本例说明, 在证明 不等式时, 联系经 典不等式,既可以 启发证明思路,又 可以简化运算.所 以, 经 典 不 等 式 是 数学研究的有力 工具.
例1中 哪4 个 数分
别对应柯西不等 式①中 的a,b, c, d ?
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
二维形式的柯西不等式
一、复习引入
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
, n) .
本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
例1 已知a,b为实数 , 证明
a4 b4
a2 b2
a3 b3
2
.
分析 虽然可以作乘法展
开上式的两边,然而再比较 它们, 但是如果注意到这个 不等式的形式与柯西不等 式 的 一 致 性, 就 可 以 避 免 繁 杂的计算.
证明 根据柯西不等式,有
a4 b4 a2 b2
a2 a b2 b 2
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1,即2x 3 y时取等号.
由22
x x
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
2
46
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值.
祝您成功！
证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd)2
证明思路2：(构造向量法) 什么时候“=”成立？
设 (a,b), (c, d ),则 a2 b2 , c2 d 2 ,
ac bd,利用 ,两边平方后得证.
2.已知2x2 3 y2 6,求证x 2 y 11.
证明：因为2x2 3 y2 6,
所以 x 2 y
2x2 3y2
1 2
4 3
11.
因此x 2 y 11.
3.已知x,
y,a,b
R ,且
a x
b y
1,
求x
y的最小值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
P1 (x1 , y1 )
y
P1(x1, y1)
证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 =ax1 bx2 ax2 bx1
由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
作业:课本 P37 习题 3.1 第 1、3、7、8 题
知识回顾 Knowledge Review
a2 b2 c2 d 2 | ac bd | , a2 b2 c2 d 2 | ac | | bd | .
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
( a b )2
a x
2
b y
2
当 且 仅 当 x b y a ,即 x a 时 取 等 号.
y
xy b
( x y)min ( a b )2
4.若2x 3y 1,求4x2 9 Байду номын сангаас2的最小值 ,并求最小值点 .
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
| y1 - y2 |
O
P2 (x2 , y2 )
x
这个图中有什么
不等关系?
O
P2 (x2 , y2 )
| x1 - x2 |
x
随堂练习
1.求函数y 3 x 5 4 6 x的最大值.
解：函数定义域为5，6，且y 0.
y 3 x54 6 x
32 42 x 5 6 x 5.
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
这两个结论也是非常有用的.
探究一
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设a,b, c, d都是实数,则比较 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2大小
联想
二维形式的柯西不等式
• 定理1:(二维形式的柯西不等式) 若a,b, c, d都是实数,则(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2 当且仅当ad bc时,等号成立. 证明思路1：(代数证法)
定理 2(柯西不等式的向量形式)
若 , 是两个向量,则 ≥ .
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k 时,等号成立.
根据二维形式的柯西不等式, 容易得出
a2 b2 c2 d 2 a2 b2 c2 d 2
ac bd2 | ac bd |,
a2 b2 c2 d 2 | a |2 | b |2 | c |2 | d |2 | a || c | | b || d || ac | | bd |. 所以,对于任何实数a,b, c, d,以下不等式成立:
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
a3 b3
2
.
本例说明, 在证明 不等式时, 联系经 典不等式,既可以 启发证明思路,又 可以简化运算.所 以, 经 典 不 等 式 是 数学研究的有力 工具.
例1中 哪4 个 数分
别对应柯西不等 式①中 的a,b, c, d ?
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
二维形式的柯西不等式
一、复习引入
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
, n) .
本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.