一二维形式的柯西不等式讲解

有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，
人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
, n) .
本讲,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯西 不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方 法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养
由柯西不等式可知
ax1 bx2 ax2 bx1 ≥ a x1 x2 b x1 x2 2
= a b2 x1 x2 x1 x2 .得证
补充例 3：已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 。
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22
x 12
2 x1x2
x22
y12
2 y1 y2
y
2 2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
补充例 2:已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 = ax1 bx2 ax2 bx1
cos ,
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
y
y
P1 (x1, y1 )
x
| y1 - y2 |
O
P2 (x2 , y2 )
这个图中有什么
不等关系?
O
P1(x1, y1)
P2 (x2 , y2 )
| x1 - x2 |
x
由图根据两点间距离公式以及三角形的边长关系容易发 现 x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
例 3:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
以上几例说明柯西不等式在证明不等式时的简单应用，可 以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了，解答漂 亮。
例1 已知a,b为实数, 证明(a 4 b4 )(a 2 b2 ) (a3 b3 )2
证明： (a4 b4 )(a2 b2 ) (a2 • a b2 • b)2 (a3 b3 )2
例1中哪4个数分别对应二维形式的柯西不等式中的 a,b,c,d
例 2.求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值.
补充例1
已知x,
y,
a,
b
R
,
且
a x
b y
1, 求x y的最小值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
a x
2
b y
2
当 且 仅 当 x b y a ,即 x a 时 取 等 号.
y
xy b
( x y)min ( a b )2
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
有柯西不等式的几何意义，可以得到柯西不等式的向量 形式
定理2 (柯西不等式的向量形式)
设 , 是两个向量,则 .
当且仅当 是零向量,或存在实数k,
使 k 时,等号成立.
注：若 ( x1, y1)， ( x2, y2 ) ，则
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注：这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
补充练习
1.若a, b R, 且a2 b2 10,则a b的取值范围是( A )
A. - 2 5,2 5
B. 2 10,2 10
C. 10, 10
D. 5, 5
2.已知x y 1,那么2x2 3 y2的最小值是( B )
A. 5
B. 6
C. 25
6
5
36
即得到定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
x12 y12 x22 y22 x1 x2 2 y1 y2 2 . 当 且
仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
证明: ( x12 y12 x22 y22 )2
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22 x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22
定理1 (二维形式的柯西不等式) 若a,b, c, d都是
实数,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2
当且仅当ad bc时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明？
根据二维形式的柯西不等式可以很容易 地得到它的变式:
(1) a2 b2 c2 d 2 ac bd
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
展开这个乘积，可得(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2
上式反映了4个实数的特定数量关系，不仅排列形式上 规律明显，具有简洁、对称的美感，而且再数学和物理 中有重要作用。它是柯西不等式的最简形式，即二维形 式的柯西不等式。
解：函数的定义域为 1,5 ，且y>0
y 5 x 1 2 5 x
52
2
2
2
2
x 1 5 x 27 4 6 3
当且仅当 2 x 1 5 5 x 时，等号成立，
即当 x 127时函数取最大值。 27
回顾例2的求解过程，可以体会其中式子变形的作用，提
高利用柯西不等式解题的能力。