二维形式的柯西不等式.ppt
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3.1二维形式的柯西不等式 课件人教版选修4-5
2
| m n || m | | n |
ac bd a b c d
2 2 2 2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
y
P1(x1,y1)
(a b) (c d ) ( ac bd ) (a, b, c, d为非负实数）。
2
向量形式： m (a, b), n (c, d )
m n | m | | n | cos m n ac bd | m | | n | a b
2 2 2
c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么 1 2 1 2
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y 11 2.已知a b 1,
2 2
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
| m n || m | | n |
ac bd a b c d
2 2 2 2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
y
P1(x1,y1)
(a b) (c d ) ( ac bd ) (a, b, c, d为非负实数）。
2
向量形式： m (a, b), n (c, d )
m n | m | | n | cos m n ac bd | m | | n | a b
2 2 2
c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么 1 2 1 2
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y 11 2.已知a b 1,
2 2
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 例4 设 , , 为平面上的向量, 则
(3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
2 2 2 2
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2
2
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)
【解】 (1)设 m＝coas θ，sinb θ，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ
＝|m·n|≤|m||n|
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2·
1
＝ coas22θ＋sibn22θ，
所以(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解 的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当 添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解， 这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目 的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一 致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不 等式的方法也是常用技巧之一．
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：(ax＋by)2 ≤ax2＋by2. 证明：设 m＝( ax， by)，n＝( a， b)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝ （ ax）2＋（ by）2· （ a）2＋（ b）2 ＝ ax2＋by2· a＋b ＝ ax2＋by2， 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2， 求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋( 2a)2][12＋( b)2]≥(1＋ 2ab)2， 当且仅当 a＝1，b＝2 时取等号． 因为 ab＝2， 所以(1＋ 2ab)2＝9， 所以(1＋2a)(1＋b)≥9.
3.1 二维形式的柯西不等式 课件(人教A选修4-5)
柯西不等式在求最值中的应用是考试的热点.2012年 郑州模拟以解答题的形式考查了柯西不等式在求最值中的 应用，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 郑州模拟)已知实数a、b、c、d满足a2＋b2＝1，c2＋ d2＝2，求ac＋bd的最大值．
[命题立意]
[பைடு நூலகம்]
本题考查柯西不等式在求最值中的应用．
[研一题] [例3] 若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值． [精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用． 解答本题需
要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后 利用柯西不等式求最值． 由柯西不等式 (x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2 得 4 25(x ＋y )≥4，所以 x ＋y ≥ . 25
[通一类] 3．如何把一条长为m的绳子截成3段，各围成一个正方 形，使这3个正方形的面积和最小？ 解：设这 3 段的长度分别为 x，y，z，则 x＋y＋z＝m，且 3 个
正方形的面积和 x2 y2 z2 1 2 2 2 S＝( ) ＋( ) ＋( ) ＝ (x ＋y ＋z )． 4 4 4 16 因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝m2， m 等号当且仅当 x＝y＝z＝ 时成立，所以 x2＋y2＋z2 有最小值 3 m2 m2 ，从而 S 有最小值 . 3 48 把绳子三等分后，这 3 段所围成的 3 个正方形的面积和最小．
a c 提示：不可以．当 b· d＝0 时，柯西不等式成立，但b＝d不 成立．
2 2．不等式 x2＋y2＋ x2＋y2≥ x1－x22＋y1－y22 1 1 2
(x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？
提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线， 且P1，P2在原点两旁时，等号成立．
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
证 | | | || |co s | | | || co s | | | | | | |, 即 | | | | | |
2
2
(x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 )
2
2
作业 补充:
1.求 函 数 y 2 1 x 2 x 1的 最 大 值 .
2.已 知 x , y , z R , 且 x y z 8, x y z
2 2 2
24, 求 证 : 4 3 y 4,
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 为 平 面 上 的 两 个 向 量 ,则 | | | || | 其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
2 2
小结:
(1 ) 二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 ( a b )( c d ) ( a c b d )
2 2 2 2 2
(a , b, c , d R )
当 且 仅 当 a d b c时 , 等 号 成 立 .
(2) a
2
b
2
c
2
d
2
ac bd
(3) a b
2
2
(4 ) 柯 西 不 等 式 的 向 量 形 式 .
c d
2
2
ac bd
5.4二维形式的柯西不等式1 课件(人教A版选修4-5)
2
2 a b c a b b c c a 这 样就 给我 们利 用柯 西不等式提供了条件。证明： 1 1 1 1 1 1 2a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca 1 2 1 2 1 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a
2 2
2 2
x x x x2 ≥ x1 x2 xn x2 x3 xn x1 （1984 年全国高中数学联赛题）
作业:课本 P 习题 3.1 第 1、3、7、8 题 37
2 1
2
2 n 1
2 n
已知 a 1 b2 b 1 a 2 1, 求证： a 2 b2 1 。 证明：由柯西不等式，得 2 2 a 2 1 a 2 b2 1 b 2 1 a 1 b b 1 a ≤
1 1 1 2 ≥ a b bc ca 1 1 1 9 ab bc ca 2 2 2 9 ≥ ab bc ca abc a,b,c 各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。
x1 x2 xn ,
2
2 2 2 xn1 xn x1 x22 于是 ≥ x1 x2 xn . x2 x3 xn x1
课堂练习
课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
2 a b c a b b c c a 这 样就 给我 们利 用柯 西不等式提供了条件。证明： 1 1 1 1 1 1 2a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca 1 2 1 2 1 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a
2 2
2 2
x x x x2 ≥ x1 x2 xn x2 x3 xn x1 （1984 年全国高中数学联赛题）
作业:课本 P 习题 3.1 第 1、3、7、8 题 37
2 1
2
2 n 1
2 n
已知 a 1 b2 b 1 a 2 1, 求证： a 2 b2 1 。 证明：由柯西不等式，得 2 2 a 2 1 a 2 b2 1 b 2 1 a 1 b b 1 a ≤
1 1 1 2 ≥ a b bc ca 1 1 1 9 ab bc ca 2 2 2 9 ≥ ab bc ca abc a,b,c 各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。
x1 x2 xn ,
2
2 2 2 xn1 xn x1 x22 于是 ≥ x1 x2 xn . x2 x3 xn x1
课堂练习
课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
Hale Waihona Puke 例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 例4 设 , , 为平面上的向量, 则
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2
向量形式：
设 (a, b), (c, d ) 2 2 2 2 则 | | a b , | | c d ac bd 柯西不等式可化为: | | | || |
2 2
等号当且仅当 - 与 - 同向时成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 (a , b, c , d R ) 当且仅当ad bc时,等号成立.
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
2 2
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a b )(c d ) (ac bd ) (a, b, c, d R)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
( 2) a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd
( 3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || | 其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a b )(c d ) (ac bd ) (a, b, c, d R)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
( 2) a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd
( 3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || | 其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
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2.1 二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，
人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1
a2
L n
anLeabharlann ≥na1a2 Lan (ai
R ,i
1, 2 ,L
, n) .
本节,我们来学习数学上一个有名的经典不等式:柯 西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用，感 受数学的美妙，提高数学素养.
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
补全a,b,c,d
变式1：若2x 3y 1,求4x2 9y2的最小值.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3y)2 1,
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注：这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
4．一般形式的柯西不等式
定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 是实数， 则 (_a_21_＋__a_22＋__…__＋__a_2n_)_(b_21_＋__b_22＋__…__＋__b_2n_)_≥__(a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__…__＋__a_n_b_n)2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数 k，使 得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
仔细观察上述定理，概括它的特点 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
例1：已知a,b为实数，求证
(a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3)2
分清（找准）a,b,c,d
练习 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
11
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习：P36 第1，3，4
课外思考:
已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 .
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 a,b,c,d 都是 实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明吗？
思考解答
变形
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理： 若a,b,c,d都是实数,则
这两个结论也是非常有用的.
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5 变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 2 变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值. 36
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
练习2 设a 0,b 0,且a b 1,求证：2a 1 b 1 22
32
变形，使之出现
条件中的表达式或表达式的倍数
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3y 1,即2x 3y时取等号.
由22xx
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为 1 2
例2.求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
变形，使之出现常数
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，
人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1
a2
L n
anLeabharlann ≥na1a2 Lan (ai
R ,i
1, 2 ,L
, n) .
本节,我们来学习数学上一个有名的经典不等式:柯 西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用，感 受数学的美妙，提高数学素养.
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
补全a,b,c,d
变式1：若2x 3y 1,求4x2 9y2的最小值.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3y)2 1,
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注：这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
4．一般形式的柯西不等式
定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 是实数， 则 (_a_21_＋__a_22＋__…__＋__a_2n_)_(b_21_＋__b_22＋__…__＋__b_2n_)_≥__(a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__…__＋__a_n_b_n)2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数 k，使 得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
仔细观察上述定理，概括它的特点 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
例1：已知a,b为实数，求证
(a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3)2
分清（找准）a,b,c,d
练习 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
11
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习：P36 第1，3，4
课外思考:
已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 .
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 a,b,c,d 都是 实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明吗？
思考解答
变形
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理： 若a,b,c,d都是实数,则
这两个结论也是非常有用的.
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5 变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 2 变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值. 36
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
练习2 设a 0,b 0,且a b 1,求证：2a 1 b 1 22
32
变形，使之出现
条件中的表达式或表达式的倍数
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3y 1,即2x 3y时取等号.
由22xx
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为 1 2
例2.求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
变形，使之出现常数