柯西不等式ppt课件
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一般形式的柯西不等式 课件
答案：B
5．实数 ai(i＝1,2,3,4,5,6)满足(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2 ＋(a5－a4)2＋(a6－a5)2＝1，则(a5 ＋a6
B．2 2
C. 6
D．1
解析：因为[(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2＋(a5－a4)2＋(a6 －a5)2](1＋1＋1＋4＋1)≥[(a2－a1)×1＋(a3－a2)×1＋(a4－a3)×1 ＋(a5－a4)×2＋(a6－a5)×1]2＝[(a6＋a5)－(a1＋a4)]2，所以[(a6＋a5) －(a1＋a4)]2≤8，即(a6＋a5)－(a1＋a4)≤2 2.
答案：B
3．设 x，y，z∈R，且 x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥1成立，证明：a≤－3 或
3 a≥－1.
解：(1)[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2](12＋12＋12)≥[(x－1)＋(y ＋1)＋(z＋1)]2＝(x＋y＋z＋1)2＝4，
答案：B
6．设 x1，x2，…，xn 都是正数，求证：
x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
证明：∵x1，x2，…，xn 都是正数，
∴(x1＋x2＋…＋xn)x11＋x12＋…＋x1n
＝[(
x1)2＋(
x2)2＋…＋(
xn)2]·
1x12＋
1x22＋…＋
1 2 xn
≥ x1·1x1＋ x2·1x2＋…＋ xn·1xn2＝n2， ∴x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
知识点二 一般形式的柯西不等式的应用
4．已知 a，b，c 均大于 0，A＝ 则 A，B 的大小关系是( )
5．实数 ai(i＝1,2,3,4,5,6)满足(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2 ＋(a5－a4)2＋(a6－a5)2＝1，则(a5 ＋a6
B．2 2
C. 6
D．1
解析：因为[(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2＋(a5－a4)2＋(a6 －a5)2](1＋1＋1＋4＋1)≥[(a2－a1)×1＋(a3－a2)×1＋(a4－a3)×1 ＋(a5－a4)×2＋(a6－a5)×1]2＝[(a6＋a5)－(a1＋a4)]2，所以[(a6＋a5) －(a1＋a4)]2≤8，即(a6＋a5)－(a1＋a4)≤2 2.
答案：B
3．设 x，y，z∈R，且 x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥1成立，证明：a≤－3 或
3 a≥－1.
解：(1)[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2](12＋12＋12)≥[(x－1)＋(y ＋1)＋(z＋1)]2＝(x＋y＋z＋1)2＝4，
答案：B
6．设 x1，x2，…，xn 都是正数，求证：
x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
证明：∵x1，x2，…，xn 都是正数，
∴(x1＋x2＋…＋xn)x11＋x12＋…＋x1n
＝[(
x1)2＋(
x2)2＋…＋(
xn)2]·
1x12＋
1x22＋…＋
1 2 xn
≥ x1·1x1＋ x2·1x2＋…＋ xn·1xn2＝n2， ∴x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
知识点二 一般形式的柯西不等式的应用
4．已知 a，b，c 均大于 0，A＝ 则 A，B 的大小关系是( )
人教版高中数学选修第三讲--柯西不等式与排序不等式ppt课件
补充例 3：已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 。
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当
b
1 b2 时，上式取等号，
分析： 设A
C b12
a12
b22
a
2 2
bn2，an2则 ，B不等a式 1b1就是 a2AbC2 Ba2
n
bn
构造二次函数
f ( x) (a12 a22 an2 ) x 2 2(a1b1 a 2b2 anbn ) x
(b12 b22 bn2 ) 又f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn )2 0
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的 大小 关系 ,类 比考 虑与 下面 式子 有关 的有什 么不等关系:
设 a,b, c为, d任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
一、二维形式的柯西不等式
定 理1 (二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式) 若a, b, c, d都 是 实 数, 则 当 且 仅 当ad bc时, 等 号 成 立.
小结:
(1)二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
(2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd (3) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
≥
(
������
∑
������������)2
������=1
������
∑ ������������
,
当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
变形(2)
������=1
设
������
ai,bi(i=1,2,…,n)同号且不为零,则 ∑
������=1
������������ ������������
名师点拨记忆柯西不等式的一般形式,一是抓住其结构特点:左
边是平方和再开方的积,右边是积的和的绝对值;二是与二维形式
的柯西不等式类比记忆.
知识拓展柯西不等式的变形和推广:
变形(1) 设 ai,bi∈R,bi>0(i=1,2,…,n),
������
则∑
������=1
���������2��� ������������
=
������2 ������2
=
⋯
=
������������ ������������
时等号成立.
∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4. ∴-2≤a1b1+…+anbn≤2. ∴所求的最大值为2.
答案:C
1.一般形式的柯西不等式如何应用? 剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题, 但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变形,拼凑出与 一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我 们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应 用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等 式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题. 2.如何利用“1”? 剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应 该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代 表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与 实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而 不会用柯西不等式.
《一般形式的柯西不等式》课件 (共14张PPT)
2 2 2 2 1 2 2 2 n
(1 a1 1 a2 1 an )
2 1 2 2 2 n
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a 2 a n ) a1 a2 a n n
2
例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a b c d ab bc cd da
2 2 2 2
证明 : (a 2 2 c 2 d 2 )(b 2 c 2 d 2 a 2 ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式
教学要求：认识一般形式的柯西不等式， 会用函数思想方法证明一般形式的柯西 不等式，并应用其解决一些不等式的问 题. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等 式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.
一、复习准备： 提问：1、二维形式的柯西不等式？
提问：2、柯西不等式的向量形式？
提问：3、(2)式如何得到(1)式？
二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式：
2. 教学柯西不等式的应用：
例1 已 知a1 , a2 , , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
P 41 6. 设x1 , x 2 ,xn R , 且x1 x2 xn 1,
(1 a1 1 a2 1 an )
2 1 2 2 2 n
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a 2 a n ) a1 a2 a n n
2
例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a b c d ab bc cd da
2 2 2 2
证明 : (a 2 2 c 2 d 2 )(b 2 c 2 d 2 a 2 ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式
教学要求：认识一般形式的柯西不等式， 会用函数思想方法证明一般形式的柯西 不等式，并应用其解决一些不等式的问 题. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等 式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.
一、复习准备： 提问：1、二维形式的柯西不等式？
提问：2、柯西不等式的向量形式？
提问：3、(2)式如何得到(1)式？
二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式：
2. 教学柯西不等式的应用：
例1 已 知a1 , a2 , , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
P 41 6. 设x1 , x 2 ,xn R , 且x1 x2 xn 1,
柯西不等式(优质课)ppt课件
(a12 a22 L an2 )(b12 b22 L bn2 )
20
21
例4.若a b c,求证： 1 1 4 ab bc ac
22
已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
2
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
3
研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系
(a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd )2 (ad bc)2 (ac bd )2
分清（找准）a,b,c,d
6
练习 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
补全a,b,c,d
7
柯西不等式的几何意义
– 证明思路2：(构造向量法)
ur
ur
设 (a,b), (c, d ),则
ur
ur
a2 b2 , c2 d 2 ,
ur ur
ac bd,
ur ur ur ur
利用 ,
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
两边平方后得证.
20
21
例4.若a b c,求证： 1 1 4 ab bc ac
22
已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
2
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
3
研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系
(a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd )2 (ad bc)2 (ac bd )2
分清（找准）a,b,c,d
6
练习 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
补全a,b,c,d
7
柯西不等式的几何意义
– 证明思路2：(构造向量法)
ur
ur
设 (a,b), (c, d ),则
ur
ur
a2 b2 , c2 d 2 ,
ur ur
ac bd,
ur ur ur ur
利用 ,
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
两边平方后得证.
柯西不等式(一)教学课件
2 2
例 3、已知 x、y R 且 3x2 2 y 2 „ 6 ，求证： 2 x y „ 11.
证明：由柯西不等式可得
a c b d
证法四、 （全量不小于部分） 由于 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (ad bc)2 所以 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
当且仅当 ad bc 即 时，等号成立
a c b d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立.
两
边
平
方
a
得
b
A
a 2 b 2 c 2 d 2 卆 ac bd
即 (a b )(c d ) …(ac bd )
2 2 2 2
2
a
c
当且仅当 OB OA 即
a c
b 时，等号成立. d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立.
若 a、b 不全为 0，构造函数
f ( x) (a2 b2 ) x2 2(ac bd ) x (c2 d 2 )
由 f ( x) (ax c)2 (bx d )2 …0 对任意 x R 恒成立 所以 4(ac bd )2 4(a2 b2 )(c2 d 2 ) „ 0 即 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2
注： （1）该不等式称为（二维）柯西不等式；
例 3、已知 x、y R 且 3x2 2 y 2 „ 6 ，求证： 2 x y „ 11.
证明：由柯西不等式可得
a c b d
证法四、 （全量不小于部分） 由于 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (ad bc)2 所以 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
当且仅当 ad bc 即 时，等号成立
a c b d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立.
两
边
平
方
a
得
b
A
a 2 b 2 c 2 d 2 卆 ac bd
即 (a b )(c d ) …(ac bd )
2 2 2 2
2
a
c
当且仅当 OB OA 即
a c
b 时，等号成立. d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立.
若 a、b 不全为 0，构造函数
f ( x) (a2 b2 ) x2 2(ac bd ) x (c2 d 2 )
由 f ( x) (ax c)2 (bx d )2 …0 对任意 x R 恒成立 所以 4(ac bd )2 4(a2 b2 )(c2 d 2 ) „ 0 即 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2
注： （1）该不等式称为（二维）柯西不等式；
《柯西不等式》课件
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THANKS
应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。
柯西不等式(二)教学课件
1 4 9 即 …36. a b c
例 3、已知 a、b、c、x、y、z R 且 a2 b2 c2 25, x2 y 2 z 2 36 ，
abc ax by cz 30 ，求 的值. x yz
证明：由于柯西不等式有
302 (ax by cz)2 „ (a2 b2 c2 )( x2 y 2 z 2 ) 25 36 900 ，
1 4 9 例 2、已知 a、b、c R ，且 a b c 1 ，求证： …36. a b c
证明：由于柯西不等式可知
1 4 9 1 4 9 1 2 3 2 (a b c)( ) …( a b c ) 36. a b c a b c a b c
1．2一般形式的柯西不等式
一、复习回顾
定理 1（二维柯西不等式） 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
a b 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立. c d
注:（1）不等式的证明方法 （2）柯西不等式的应用技巧
a1 x b1 0 a x b 0 a a 2 当且仅当 2 即 1 2 b1 b2 an x bn 0
an 时，等号成立. bn
理
2
设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是 两 组 实 数 ， 则 有
an2 )(b12 b22 bn2 ) …(a1b1 a2b2 anbn )2 .
a1 a2 即 b1 b2 an 时，等号成立. bn
定理 2 设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是两组实数，则有
例 3、已知 a、b、c、x、y、z R 且 a2 b2 c2 25, x2 y 2 z 2 36 ，
abc ax by cz 30 ，求 的值. x yz
证明：由于柯西不等式有
302 (ax by cz)2 „ (a2 b2 c2 )( x2 y 2 z 2 ) 25 36 900 ，
1 4 9 例 2、已知 a、b、c R ，且 a b c 1 ，求证： …36. a b c
证明：由于柯西不等式可知
1 4 9 1 4 9 1 2 3 2 (a b c)( ) …( a b c ) 36. a b c a b c a b c
1．2一般形式的柯西不等式
一、复习回顾
定理 1（二维柯西不等式） 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
a b 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立. c d
注:（1）不等式的证明方法 （2）柯西不等式的应用技巧
a1 x b1 0 a x b 0 a a 2 当且仅当 2 即 1 2 b1 b2 an x bn 0
an 时，等号成立. bn
理
2
设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是 两 组 实 数 ， 则 有
an2 )(b12 b22 bn2 ) …(a1b1 a2b2 anbn )2 .
a1 a2 即 b1 b2 an 时，等号成立. bn
定理 2 设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是两组实数，则有
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柯西不等式
1
例1. 求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值
引：
若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
例2.设实数x, y, z满足x2 2 y2 3z2 3, 求S x 2y 3z的最大值
2
变式引申:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
xn )2
1
x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
8
例6 已知实数a,b, c, d, e满足a b c d e 8, a2 b2 c2 d 2 e2 16,求e的取值范围.
解 : 4(a2 b2 c2 d 2 ) (1 1 1 1)(a2 b2 c2 d 2 ) (a b c d)2
225
x2+y2+z2
44
6
例5.已知x1, x2 ,, xn R ,求证
x12 x2
x22 x3
x2 n1
xn
xn2 x1
x1
x2
xn .
变式.设x1,x2, xn R ,且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
7
变式.设x1,x2, xn R ,且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
证明: (n 1) ( x12 x22 xn2 )
11
二维形式的三角不等式
设 x1,y1,x2 ,y2 R, 那么
(x12 + y12 )+ (x22 + y22 ) (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2
三维形式的三角不等式 设 x1,y1,z1,x2 ,y2 ,z2 R, 那么
(x12 + y12 + z12 )+ (x22 + y22 + z22 ) (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2 (z1 - z2 )2
即4(16 e2 ) (8 e)2 ,即64 4e2 64 16e e2 5e2 16e 0, 故0 e 16
5
9
（二维形式的柯西不等式）
若 a,b,c,d 都是实数，则
(a2 + b2 )(c2 + d2 )(ac + bd)2
当且仅当 ad = bc 时等号成立．
2
46
3
例3.已知实数m, n 0
（1）求证：a2 b2 (a b)2 ; m n mn
（2）求函数y 2 9 , x (0, 1)的最小值。
x 1 2x
2
4
例4.Δ ABC之三边长为4，5，6，P为三角形 內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z， 求x2+y2+z2的最小值。
2x y z
2.设x，y，zR，求 最大值。
x2 2y2 z2 的
3.求函数 f (x) a sin x b cos x 在 (0, ) 上
的最大值,其中
2.
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1,即2x 3 y时取等号.
由22
x x
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
1 x1 1 x2
1 xn
(1
x1
1
x2
1
xn
)
( 1
x12 x1
x22 1 x2
xn2 ) ( 1 xn
1 x1
x1 1 x1
1 x2
x2 1 x2
1 xn
xn 1 xn
)2
( x1
x2
等号成立.
,2
,3
,
…
,n)时,a1 = a2
b1 b2
=
= an bb
注:简记;积和方不大于方和积
n
n
n
ai 2 bi 2 ( aibi )2
i 1
i 1
i 1
13
练习：
1.已知：m2 n2 2 ，a 2 b2 1 ,
证明： 2 am bn 2 。
（二维形式的柯西不等式）
若 a,b,c,d 都是实数，则 a2 b2 c2 d 2 | ac bd |
当且仅当 ad = bc 时等号成立．
10
柯西不等式的向量形式 设 α,β是两个向量,则
| || || |
当且仅当 β是零向量，或存在k实数使 α= kβ时，等号成立．
C
6
F
E
zP y
5
x
A
B D4
5
C
解：s 4 5 6 15
2
2
ABC面积=
s(s a)(s b)(s c)
6
F
E
zP y
5
x
A
B D4
15 7 5 3 15 7 2 222 4
又
1 2
(4x
5
y
6
z)
15 4
7 4x
5
y
6z
15
7
2
而(4x+5y+6z)2≤(x2+y2+z2)(42+52+62)
12
柯西不等式的一般形式
设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1
29
30
31
32
33
34
1
例1. 求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值
引：
若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
例2.设实数x, y, z满足x2 2 y2 3z2 3, 求S x 2y 3z的最大值
2
变式引申:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
xn )2
1
x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
8
例6 已知实数a,b, c, d, e满足a b c d e 8, a2 b2 c2 d 2 e2 16,求e的取值范围.
解 : 4(a2 b2 c2 d 2 ) (1 1 1 1)(a2 b2 c2 d 2 ) (a b c d)2
225
x2+y2+z2
44
6
例5.已知x1, x2 ,, xn R ,求证
x12 x2
x22 x3
x2 n1
xn
xn2 x1
x1
x2
xn .
变式.设x1,x2, xn R ,且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
7
变式.设x1,x2, xn R ,且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
证明: (n 1) ( x12 x22 xn2 )
11
二维形式的三角不等式
设 x1,y1,x2 ,y2 R, 那么
(x12 + y12 )+ (x22 + y22 ) (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2
三维形式的三角不等式 设 x1,y1,z1,x2 ,y2 ,z2 R, 那么
(x12 + y12 + z12 )+ (x22 + y22 + z22 ) (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2 (z1 - z2 )2
即4(16 e2 ) (8 e)2 ,即64 4e2 64 16e e2 5e2 16e 0, 故0 e 16
5
9
（二维形式的柯西不等式）
若 a,b,c,d 都是实数，则
(a2 + b2 )(c2 + d2 )(ac + bd)2
当且仅当 ad = bc 时等号成立．
2
46
3
例3.已知实数m, n 0
（1）求证：a2 b2 (a b)2 ; m n mn
（2）求函数y 2 9 , x (0, 1)的最小值。
x 1 2x
2
4
例4.Δ ABC之三边长为4，5，6，P为三角形 內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z， 求x2+y2+z2的最小值。
2x y z
2.设x，y，zR，求 最大值。
x2 2y2 z2 的
3.求函数 f (x) a sin x b cos x 在 (0, ) 上
的最大值,其中
2.
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解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1,即2x 3 y时取等号.
由22
x x
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
1 x1 1 x2
1 xn
(1
x1
1
x2
1
xn
)
( 1
x12 x1
x22 1 x2
xn2 ) ( 1 xn
1 x1
x1 1 x1
1 x2
x2 1 x2
1 xn
xn 1 xn
)2
( x1
x2
等号成立.
,2
,3
,
…
,n)时,a1 = a2
b1 b2
=
= an bb
注:简记;积和方不大于方和积
n
n
n
ai 2 bi 2 ( aibi )2
i 1
i 1
i 1
13
练习：
1.已知：m2 n2 2 ，a 2 b2 1 ,
证明： 2 am bn 2 。
（二维形式的柯西不等式）
若 a,b,c,d 都是实数，则 a2 b2 c2 d 2 | ac bd |
当且仅当 ad = bc 时等号成立．
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柯西不等式的向量形式 设 α,β是两个向量,则
| || || |
当且仅当 β是零向量，或存在k实数使 α= kβ时，等号成立．
C
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F
E
zP y
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x
A
B D4
5
C
解：s 4 5 6 15
2
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ABC面积=
s(s a)(s b)(s c)
6
F
E
zP y
5
x
A
B D4
15 7 5 3 15 7 2 222 4
又
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(4x
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y
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z)
15 4
7 4x
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y
6z
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2
而(4x+5y+6z)2≤(x2+y2+z2)(42+52+62)
12
柯西不等式的一般形式
设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1
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