二维形式的柯西不等式
二维柯西不等式
变式3:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1, acur urbd ur ur (4)柯西不等式的向量形式 .
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论. 若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.
例3 : 求函数y x 1 10 x的最大值.
变式1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
3.若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量ar a,b,
r
ur r
c, d , 与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设r
r
, 为平面上的两个向量, 则
ur ur ur ur
二维形式的柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
你能证 明吗？
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式: (1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
| g || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
二维形式的柯西不等式证明
二维形式的柯西不等式证明柯西不等式是数学中基本的不等式之一，在计算机科学、物理学、统计学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍柯西不等式的二维形式，并给出其证明过程。
柯西不等式的二维形式表述如下：设a1, a2, b1, b2为任意实数，则有：(a1^2+a2^2)×(b1^2+b2^2)≥(a1b1+a2b2)^2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。
下面是柯西不等式的证明过程：首先，我们将(b1, b2)视为一个向量b，(a1, a2)视为一个向量a，则柯西不等式的二维形式可以写成：|a|×|b|×cosθ≥a·b其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角，a·b表示向量a和向量b的点积。
接下来，我们将a向量和b向量分别写成坐标形式：a=(a1, a2), b=(b1, b2)则有：|a|×|b|×cosθ=√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ而a·b=a1b1+a2b2因此，柯西不等式的二维形式可以重新写成：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2接下来，我们考虑将右侧的a1b1和a2b2变形，即：(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2这个变形的原理是差平方公式。
然后，我们将这个式子带回到柯西不等式的二维形式中，得到：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2由于(a1b2-a2b1)^2≥0，因此右侧的式子比柯西不等式的右侧更小或相等。
因此，我们得到了柯西不等式的二维形式：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
二维形式的柯西不等式
xn x1 )
x1 x2
2
x2 x3
2
xn1 xn
2
xn x1
2
2
x2
2
x3
2
xn
x1
2
≥
x1 x2
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注： 这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
分析：我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆，9=1 1 12 ，
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
y的最小值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
二维形式的柯西不等式
06
二维形式的柯西不等式的拓 展与推广
向高维空间的拓展
高维柯西不等式
对于任意两个n维向量a和b，有 (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+... +bn^2) ≥ (a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当 且仅当a和b线性相关时取等号。
几何意义
高维柯西不等式在几何上可以理解为两个高 维向量长度的乘积大于等于它们内积的平方。
与其他数学分支的联系与应用
01
线性代数中的应用
柯西不等式在线性代数中可用于证明矩阵的正定性、求解特征值问题等。
02 03
概率论与数理统计中的应用
在概率论与数理统计中，柯西不等式可用于证明某些概率不等式、求解 某些统计量的界等。例如，利用柯西不等式可以证明切比雪夫不等式、 马尔可夫不等式等。
分析学中的应用
柯西不等式二维形式的几何意义
柯西不等式的二维形式可以看作是平面中两个向量的模长之积与它们的内积的 平方之间的关系。当且仅当两个向量共线时，等号成立。
柯西不等式二维形式的性质
• 性质一：正定性。当$a_1, a_2$和$b_1, b_2$均不为零时，柯西不等式的左边 总是大于零，即$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) > 0$。
04
二维形式的柯西不等式在几 何中的应用
在三角形中的应用
面积估计
通过二维形式的柯西不等式，可以对 三角形的面积进行估计，得到面积的 上界和下界。
边长关系
式关系， 如两边之和大于第三边等。
在平行四边形中的应用
对角线性质
二维形式的柯西不等式可用于研究平行四边形的对角线性质，如对角线长度与边 长之间的关系。
二维形式的柯西不等式
造的,但怎样构造要仔细体
会.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,(a2+b2)(d2+c2)≥(ad+bc)2,谁与谁组合、
联系,要有一定的认识.
2.柯西不等式取等号的条件
剖析:柯西不等式取等号的条件不易记住,我们可以多方面联系
来记忆,如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,取等号的条件是“ad=bc”,有点
第三讲 柯西不等式与排序
不等式
一 二维形式的柯
西不等式
学习目标：
1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义.
2.通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题.
1.对柯西不等式的理解
剖析:柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆,因
此,二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数来对应的一
错等号成立的条件.
题型一
题型二
题型三
正解:构造两组实数 , , , .
∵x,y,a,b∈R+, + = 1,
∴x+y=[( ) +( ) ]·
2
当且仅当 ∶
即 =
2
=
∶
时,等号成立.
∴(x+y)min=( + )2.
,
2
+
2
≥ ( + )2.
(3a+b)2=(a·3+b·1)2≤(a2+b2)(32+12)=10×10=100,即(3a+b)2≤100,
维形式的柯西不等式
猜想柯西不等式的一般形式
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
x12
x
2 2
xn2
y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
补充例题:
例1
已 知x,
y,
a,
b
R
,且
a x
b y
1,求x
y的 最 小 值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
从 平 面 向 量 的 几 何 背能 景得 到 ，
将 平 面 向 量 的 坐 标 代，入化 简 后 得 二 维 形 式
的 柯 西 不 等(式a:12 a22 ) (b12 b22 ) (a1b1 a2b2 )
当 且 仅 当a1b2 a2b1时, 等 号 成 立. 类 似 地,从 空 间 向 量 的 几 何 背也 景能 得 到
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22 x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22 x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22 x12 2x1x2 x22 y12 2 y1 y2 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的三角不等式 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
三 维 形 式 的 三 角 不 等 式 x12 y12 z12 x22 y22 z22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
不等式选讲专题(二)柯西不等式
2014 届不等式选讲专题（二）【柯西不等式】一、二维形式的柯西不等式(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd ) 2 (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当 a d = bc 时, 等号成立.)二、二维形式的柯西不等式的变式(1) a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 ≥ ac + bd (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当ad = bc 时, 等号成立.)(2) a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 ≥ ac + bd (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当ad = bc 时, 等号成立.)(3)(a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd ) 2 (a , b , c , d ≥ 0 , 当且仅当 ad = bc 时，等号成立 .)三、二维形式的柯西不等式的向量形式α ⋅ β ≤ α β . (当且仅当 β 是零向量 , 或存在实数k , 使α = k β 时 , 等号成立 .)原则：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对 a^2 + b^2 + c^2，并不是 不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不 等式了。
考点一：求最值问题【1】、设 a = (-2,1,2), b = 6 ，则 a ⋅ b 之最小值为________；此时 b = ________。
【2】设 a = (1，0，- 2)， b = (x ，y ，z)，若 x 2+ y 2+ z 2= 16，则 a b 的最大值为。
4 【4】设 a 、b 、c 为正数，求 (a + b + c)( + a 9 36+ ) 的最小值。
b c【5】. 设 x ，y ，z ∈ R ，且满足 x 2+ y 2+ z 2= 5，则 x + 2y + 3z 之最大值为【6】设 x ，y ，z ∈ R ，若 x 2+ y 2+ z 2= 4，则 x - 2y + 2z 之最小值为时，(x ，y ，z) =【8】、设 x, y , z ∈R, x 2 + y 2 + z 2 = 25 ，试求 x - 2 y + 2 z 的最大值与最小值。
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(3) a2 b2 c2 d 2 ac bd (4)柯西不等式的向量形式 .
(5)二维形式的三角不等式
x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
(5)二维形式的三角形不等式 ( x1 x3 )2 ( y1 y3 )2 ( x2 x3 )2 ( y2 y3 )2 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
A. 5
B. 6
C. 25
6
5
36
D. 36 25
3.函数y 2 1 x 2x 1的最大值为_3_____
4.设实数x, y满足3x2 2 y2 6,则P 2x y的最大
值 是 ___1_1__
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时,等号成立.
变例式3 1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
解：函数的定义域为【1，5】，且y>0
y 5 x 1 2 5 x
52 ( 2)2 ( x 1)2 ( 5 x )2
时，等号成2立7 ， 4即x63127时，函数取最大值为
27
6
3
变例式31: 求函数y x 1 10 x的最大值.
二维形式的柯西不等式
大数学家柯西（Cauchy)
法国数学家、力学家。1789年8月 21日生于巴黎，1857年5月23日卒于 索镇。曾为巴黎综合工科学校教授， 当选为法国科学院院士。曾任国王查 理十世的家庭教师。
柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和拉普拉斯 的著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变函数和 微分方程等方面。
此外，柯西对力学和天文学也有许多贡献。著作甚 丰，共出版了七部著作和800多篇论文，1882年开始出 版他的全集，至1970年已达27卷之多。
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，
人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:, i 1, 2 ,
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
变式1：求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
解：函数的定义域为【1，5】，且y>0
y 5 x 1 2 5 x
52 ( 2)2 ( x 1)2 ( 5 x )2
27 4 6 3 当且仅当 2 x 1 5 5 x
观y 察
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
x
0
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x12 y12 x22 y22 (x1 x2)2 (y1 y2)2
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量 a,b,
c, d ,
与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
2.已知2x2 3y2 6, 求证x 2 y 11
当堂检测
1.若a, b R, 且a2 b2 10,则a b的取值范围是( A )
A. - 2 5,2 5
B. 2 10,2 10
C. 10, 10
D. 5, 5
2.已知x y 1,那么2x2 3 y2的最小值是( B )
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
二、二维柯西不等式应用
例1 已知a,b为实数,证明(a4 b4)(a2 b2) (a3 b3)2
变式1: a,b R ,证明 (a b)(a2 b2) a a b b 变式2: a,b R ,证明 (a b)(a2 b2) b a a b
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
你能写出这个定理的证明？
定理3 (二维形式的三角不等式) 设x1, y1, x2, y2 R, 那么 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
时，等号成立，即 x
127 27
时，函数取最大值为
6
3
变式 3.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 4.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 变式 5.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值.
练习：
1.已知a2 b2 1,求证|a cos b sin | 1
例 2:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！
1
2
1
ab
ab a b 2
a2 b2 2
, n) .
调 和 平 均 数
几
算
何
术
平
平
均
均
数
数
平 方 平 均 数
我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯西
不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明
方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
思考:阅读课本第31页探究内容
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
作业： 书P36 ，T1，T3，T4，T5
没有付出，就没有收获。 少壮不努力，老大徒伤悲。
祝同学们学习进步，天天开心！
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
你能证 明吗？
证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd )2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a2 b2 c2 d 2 ac bd
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
上面两个不等式等号何时取到
y12
2 y1 y2
y
2 2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的三角不等式 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
三 维 形 式 的 三 角 不 等 式 x12 y12 z12 x22 y22 z22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
证明: ( x12 y12 x22 y22 )2
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22
x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22
x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22
x 12
2 x1x2
x22