二元柯西不等式的八种证法
柯西不等式证明方法大全
柯西不等式证明⽅法⼤全定义对于任意实数a i,b i(i=1,2,⋯,n),有n ∑i=1a2in∑j=1b2j≥n∑i=1a i b i2,(n∈N+)(∗)当且仅当b i=0(i=1,2,⋯,n) 或∃k∈R,a i=kb i(i=1,2,⋯,n) 时,等号成⽴.法⼀、构造⼆次函数分析可通过⼆次函数的判别式证明.证明当a1=a2=⋯=a n或b1=b2=⋯=b n时,(∗) 式显然成⽴.设a1,a2,⋯,a n中⾄少有⼀个不为 0,令A=n∑i=1a2i,B=n∑i=1a i b i,C=n∑i=1b2i,则A>0.设⼆次函数f(x)=Ax2+2Bx+C=n∑i=1(a2i x2+2a i b i x+b2i)=n∑i=1(a i x+b)2≥0,∴Δ=(2B)2−4AC≤0⟺AC≥B2,则 (∗) 式成⽴.要使 (∗) 式取等号,即Δ=0,则f(x) 有唯⼀零点,即有唯⼀实数x使a i x+b i=0(i=1,2,⋯,n).若x=0,则b i=0(i=1,2,⋯,n),若x≠0,则a i=−1x bi(i=1,2,⋯,n).综上,(∗) 式成⽴,当且仅当b i=0(i=1,2,⋯,n) 或∃k∈R,a i=kb i(i=1,2,⋯,n) 时取等号.法⼆、向量内积分析⽤向量内积与向量模的积的⼤⼩关系即可证明.证明设n维空间直⾓坐标系中有向量\boldsymbol \alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\boldsymbol \beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n),且\boldsymbol \alpha与\boldsymbol \beta之间的夹⾓为\theta(0\le\theta\le\pi),则有\begin{aligned} &\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta =|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta| \cos\theta\\\Longleftrightarrow &|\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta| =|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta| |\cos\theta|, \end{aligned}⼜|\cos\theta|\le 1,则\begin{aligned} &|\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta| \le|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta|\\\Longleftrightarrow &\left| \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right| \le\sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 } \sqrt{ \sum\limits_{j=1}^nb_j^2 }\\ \Longleftrightarrow &\left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 \le \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^nb_j^2, \end{aligned}可得(*)式成⽴.易知当且仅当\boldsymbol \alpha与\boldsymbol \beta同线时,即\boldsymbol \beta=\boldsymbol 0或\exist~k\in\mathbb R,\boldsymbol \alpha=k\boldsymbol \beta时,|\boldsymbol \alpha\cdot\boldsymbol \beta|=|\boldsymbol \alpha||\boldsymbol \beta|,即()当且仅当b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)时,(*)式取等号.法三、作差法分析作差,然后配平⽅即可.证明易得\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^n b_j^2 -\left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 &=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_i^2b_j^2 -\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ia_jb_j\\ &= \frac 12\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2) -\frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n2a_ib_ia_jb_j\\ &= \frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2-2a_ib_ja_jb_i)\\ &= \frac 12\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_ib_j-a_jb_i)^2\ge 0, \end{aligned}当且仅当a_ib_j=a_jb_i(i,j=1,2.\cdots,n),即b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)时,等号成⽴,即证.法四、排序不等式分析通过排序不等式的形式来表⽰柯西不等式.证明易知(*)式等价于\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ja_ib_j \ge\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ja_ib_j,由排序不等式可知上式成⽴,当且仅当a_ib_j=a_jb_i(i,j=1,2,\cdots,n),即b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbbR,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)时,等号成⽴.法五、数学归纳法分析与n相关的不等式⼀般都能⽤数学归纳法,这⾥就不多说了.证明设n=k.当k=1时,(*)式显然成⽴.当k\ge 2时,不妨设当n=k-1时(*)式成⽴,则\begin{aligned} \left( \sum\limits_{i=1}^k a_i^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^k b_i^2 \right) =&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 +a_k^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +b_k^2 \right)\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2b_k^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_k^2b_i^2 +a_k^2b_k^2\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2b_k^2 -\sum\limits_{i=1}^{k-1} 2a_ib_ka_kb_i+\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_k^2b_i^2 +a_k^2b_k^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} 2a_ib_ka_kb_i\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} (a_ib_k-a_kb_i)^2 +(a_kb_k)^2 +2\sum\limits_{i=1}^{k-1}a_ib_ia_kb_k\\ \ge&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_i \right)^2 +2\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_ia_kb_k +(a_kb_k)^2\\=&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_i +a_kb_k \right)^2\\ =&\left( \sum\limits_{i=1}^k a_ib_i \right)^2, \end{aligned}当且仅当\sum\limits_{i=1}^{k-1}(a_ib_k-a_kb_i)^2=0,即a_ib_k=a_kb_i(i=1,2,\cdots,n),且\sum\limits_{i=1}^na_i^2\sum\limits_{j=1}^nb_j^2=\left(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\right)^2时,等号成⽴.综上,(*)式成⽴,当且仅当b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i时,等号成⽴.Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js。
3.6 柯西、排序不等式及不等式证明
4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 = ( 4a + 1 ×1+ 4b + 1 ×1+ 4c + 1 ×1) ≤ [(4a + 1) + (4b + 1) + (4c + 1)](12 + 12 + 12 ) = 21
1 a 当且仅当 = b = c = 时，取得最大值为 21 。 3
1 1 1 2 2 2 2 1 ②( x + y + z) = ( 2x ⋅ + 3y ⋅ + z) ≤ (2x + 3 y + z )( + + 1) 2 3 2 3
2
∵x + y + z = 1
6 ∴2x + 3 y + z ≥ 11
2 2
2x 3y = =z 1 3 2 6 6 1 当 即x = , y = , z = 时, A最小 = 2 3 11 11 11 11 x + y + z = 1
解： ①( x + 2 y)2 = ( 2x ⋅ 1 + 3 y × 2 )2
2 3 1 4 11 ≤ (2x2 + 3 y2 )( + ) = (2x2 + 3 y2 )× 2 3 6
∵2x + 3 y = 5
2 2
55 ∴( x + 2 y) ≤ 6
2
∴−
330 330 ≤ x + 2y ≤ 6 6
π
π
π
π
π
3
aA+ bB + cC = a( + δ1 ) + b( −δ2 ) + c( −δ3 ) 3 3 3 = = = ≥
归纳柯西不等式的典型应用
归纳柯西不等式的典型应用1.柯西不等式的一般形式为：对任意的实数 n n b b b a a a ,,,,,,2121⋅⋅⋅⋅⋅⋅()()222112222122221)(n n n n b a b a b a b b b a a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++其中等号当且仅当λ===nnb a b a b a 2211时成立,其中R ∈λ 变式：()()222112121)(n n n n y x y x y x y y y x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++2. 柯西不等式的证明：证明柯西不等式的方法总共有6 种，下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法： 1）配方法：作差：因为222111()()()nnniji i i j i a b a b ===-∑∑∑221111()()()()nnnniji i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑221111nnnni ji i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑22221111111(2)2n n n n n ni j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑2222111(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑2111()02n n i j j i i j a b a b ===-≥∑∑ 所以222111()()()n n n iji i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即222111()()()n n niji i i j i a b a b ===≥∑∑∑即222222211221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++………………当且仅当0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==……即(1,2,,;1,2,,;0)ji j i ja a i n j nb b b ===≠…………时等号成立。
柯西不等式各种形式的证明及其应用演示版.doc
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
柯西不等式的几种新证法
∑ ｂ， ｉ据柯西 一彭雅科夫斯基不等式， ２ 有
ｉ １ ＝
（，）≤（，）６６， 口ｂ２ 口口（，）于是（ 口ｉ ∑ ｉ ≤ ６ ）
ｉ １ ＝
（ ） 个 非 零 向 量 共 线 的充 要 条 件 是 ２两
ａ‘ ＝ ± ｌ ．１ ： ｂ Ｉ ｌ ａ ｂ
（ ∑ ）∑ ｂ） （ ．
ｉ １ ＝ ｉ １ ：
（ ∑ ）∑ ｂ） （
证法 ４ 利用 向量 的 内积
ａｉ ｂ
≤
Ⅱ
ｎ ＋
ｂ
／
．
设 二 向 量 ａ ＝ （ １ ａ ， ， ， ａ ，２… ａ ） ｂ
√ √
２
２
（１ ２…，ｎ， ｂ， ， ｂ）内积由（ ，）：∑ ６所 ｂ Ⅱ６
２
而原不 等式 成立 ．
证 法 ３ 利用 行列 式
・ ． ‘
＝ ｉ １ ＝
ｉ ｌ ＝
・
（ ｂ）这 不等 ∑ ． 个 式以 ｚ 对称的 结构， 广泛
（ ∑ ） ∑ ｂ） （ 一
ｉ １ ： ｉ １ ＝
的应用 ， 以及 证法 的多样 性 ， 引起 了广泛 的兴 趣和讨 论 ， 下面给 出几种 新 的证法 ．
２
（ Ｐ）∑ Ｐ ） ∑ （ ｋ 上式中 Ｐ ：ｂ ， 令 ｋ ｋ ｚ
＝ －
Ｆ １ ＂
＋
ｋ
≤（ ∑
ｋ＝ ｌ ｋ＝ ｌ
） ａ） （ ｆ， ｔ 从
柯西 不等式 是指 ： 于 ａ，ｆ 对 ｂ∈Ｒ（ ＝１ ｉ ，
２ ２， ， ， — … ｎ）曼 ㈦） 有 一 ａ ≤（ （６ｉ ∑ ｂ ∑ ）
ｆ １ ＝ ＝１
（ ） 个 非 零 向量 垂 直 的充 要 条 件 是 ３两
02柯西不等式与平均值不等式(含经典例题+答案)
柯西不等式与平均值不等式一、比较法1．求差比较法知道a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＜b ⇔a －b ＜0，因此要证明a ＞b ，只要证明a －b ＞0即可，这种方法称为求差比较法．2．求商比较法由a ＞b ＞0⇔a b ＞1且a ＞0，b ＞0，因此当a ＞0，b ＞0时要证明a ＞b ，只要证明1a b即可，这种方法称为求商比较法．二、分析法从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．三、综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．四、放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．五、反证法的步骤1．作出否定结论的假设；2．进行推理，导出 矛盾；3．否定假设，肯定结论．六、柯西不等式的二维形式1．柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2).(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd)2，其中等号当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时成立．2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立．3．二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2七、柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.八、基本不等式的一般形式a 1+ a 2+…a n n≥n (a 1+ a 2+...a n ) 例3：设n 是正整数，求证：12≤1＋1＋ (12)＜1.解：(1)由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1，所以M ＝{x|0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0, 故ab ＋1＞a ＋b. 本例条件不变，试比较logm(ab ＋1)与logm(a ＋b)(m ＞0且m≠1)的大小．解：∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b.当m ＞1时，y ＝logmX 在(0，＋∞)上递增，∴logm(ab ＋1)＞logm(a ＋b)当0＜m ＜1时logmX 在(0，＋∞)上单调递减，∴logm(ab ＋1)＜logm(a ＋b)．例6：设a ＞b ＞0，求证：a2＋b 2＞a －b .例8：已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：a mb +⎛⎫ ⎪≤a 2＋mb 21＋m . 它的变形形式又有(a ＋b )2≥4ab ，a 2＋b 22≥22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭等；(4)a ＋b 2≥ab (a ≥0，b ≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2 (a ＞0)，b a ＋a b ≥2(ab ＞0)，b a ＋a b≤－2(ab ＜0)等. 2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”.例10：设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2. [证明]由已知m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.又|x |＞m ，∴|x |＞|a |，|x |＞|b |，|x |＞1.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x ||x |2＝1＋1|x |＜1＋|x ||x |＝2.∴|a x ＋b x2|＜2成立． 例11：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b ＞c 1＋c. 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴a 1＋a ＞a 1＋a ＋b ，b 1＋b ＞b 1＋a ＋b .∴a 1＋a ＋b 1＋b ＞a ＋b 1＋a ＋b. 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x 在(0，＋∞)上递增，且a ＋b ＞c ，∴f (a ＋b )＞f (c )，则a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c， 所以a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c，则原不等式成立． 例12：求证：32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)，k ≥2，∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k ，分别令k ＝2,3，…，n 得12－13＜122＜1－12；13－14＜132＜12－13；…1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n； 将上述不等式相加得：12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n ，∴32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n. (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析得出的．常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N ＋，k ＞1.利用函数的单调性，真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋m b ＋m ”，添加或减少项，利用有界性等． (2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度．例13：已知x ，y 均为正数，且x ＞y,2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 解：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y 2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y 2≥33x －y 21x －y 2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 例14：设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，由平均不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc. 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc ＋abc ≥2 3abc ·abc ＝2 3.所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 例15：若n 为大于1的自然数，求证：n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1). 证明：由柯西不等式右边＝1＋1＋1＋12＋1＋13＋…＋1＋1n ＝2＋32＋43＋54＋…＋n ＋1n ≥n ·n 2·32·43·…·n ＋1n＝n .n n ＋1＝左边．∵2≠32≠43，故不取等号．∴不等式n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1)成立． 例16：已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)＋f (3)－2f (2)|＝|(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )|＝2，与|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2矛盾，∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12. 例17：设a 、b 、c 均为正数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 证明：∵a 、b 、c 均为正数，∴121122a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12ab ≥1a ＋b，当a ＝b 时等号成立；12(12b ＋12c )≥12bc ≥1b ＋c ，当b ＝c 时等号成立；12(12c ＋12a )≥12ca ≥1c ＋a ，当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 例18：已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n ＋1(n ∈N ＋)，求证：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 证明：∵n n ＋1＝n 2＋n ，∴n n ＋1＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＞1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∵n n ＋1＜n ＋n ＋12，∴a n ＜1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋n ＋12＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n n ＋22.综上得：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 例19：设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥1003. 证明：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13(12＋12＋12)[21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭] ≥132111111a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯++⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝2111113a b c ⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝()2111113a b c a b c ⎡⎤⎛⎫+++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥13(1＋9)2＝1003. 例20：已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝1－x 2x＋x 21－x(0＜x ＜1)的最小值． 解：(1)证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，∴(a ＋b )22a b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. ∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立。
柯西不等式
柯西不等式【摘要】本文将给出柯西不等式及其应用时需注意的几点说明、柯西不等式的几种形式和证明以及关于柯西不等式的几种题型。
我们知道，柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程组等问题上得到应用。
【关键词】柯西（Cauchy ）不等式；函数最值；解三角形问题；不等式的证明；不等式的应用。
【正文】一、柯西不等式及其证明。
定理： 设i a ，i b ∈R （i=1，2，3........,n ）,则2112n 1i 2⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===ni i i n i i i b a b a ，当且仅当i a =λi b ，即11a b =22a b =nn b a =λ等号成立。
此不等式称为柯西不等式。
说明1：由于“∑==ni i a 120，∑==ni i b 120，∑==ni i i b a 10”情况之一出现时，不等式显然成立，因此，在下面的讨论中不妨设∑=≠ni i a 120，∑=≠ni i b 120，∑=≠ni i i b a 10都成立。
说明2：柯西不等式取等号的条件常常写成比例形式11a b =22a b =nn b a ,并约定：分母为0时，相应的分子也为0。
“等号成立”是柯西不等式应用的一个重要组成部分。
说明3：使用柯西不等式的方便之处在于，对任意的两组实数都成立，这个不等式告诉我们，任意两组数 1a ，2a ， n a ， 1b ，2b ， n b ，其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。
现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数()()()2222211)(nn b x a b x a b x a x f ++++++= =222221......x a a a n ）（+++x b a b a b a n n ）（++++......22211）（22221......n b b b ++++0 (2)2221>++n a a a ，0)(≥x f 恒成立，∴)......()......(4 (42)22212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++∙+++-+++=∆）（0≤即22211......）（n n b a b a b a +++≤)......( (2)222122221n n b b b a a a ++++++）（ 当且仅当 0=+i i b x a ),....,2,1(n i =即1212n na a ab b b ===时等号成立证明2 数学归纳法（1）当1n =时 ，右式=()211a b ，左式=2121b a ，显然 ，左式=右式。
(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用(最新整理)
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。