柯西不等式(优质课)ppt课件
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2017-2018学年高中数学选修4-5课件北师大版2.1柯西不等式(共28张PPT)
������2 ������ 证明由柯西不等式可得cos2 ������ + sin2 ������ 2 ������2 ������ = cos2 ������ + sin2 ������ (cos2θ+sin2θ)
第二章 几个重要的不等式
§1 柯西不等式
学
习 目 标
思
维 脉 络
1.认识简单形式的柯西不等 式的几种形式,理解它们的几 何意义. 2.会证明一般形式的柯西不 等式,并能利用柯西不等式来 解决有关问题.
1.简单形式的柯西不等式
简单形式的 柯西不等式 代数形式(定理 1) 向量形式 表 达 式 等号成立的条件 ad=bc α 与 β 共线
向量(b1,b2,… ,bn)共线时,等号成立. (2)推论(三维形式的柯西不等式):
2 2 2 2 2 2 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是两组实数,则有( ������1 + ������2 + ������3 )· (������1 + ������2 + ������3 )≥ (a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a 2,a3)与向量( b1,b2,b3)共线时等号成立.
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 |α||β|≥ |α· β|
名师点拨 1.定理1的几点说 明:(1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(adbc)2≥(ac+bd)2,这里用了放缩法.因为(ad-bc)2≥0,所以简单形式的 柯西不等式中等号成立的充要条件是(ad-bc)2=0,即ad=bc. 2.简单形式的柯西不等式反映了4个实数之间的特定数量关系, 不仅在排列形式上规律明显,具有简洁、对称的美感,而且在数学 和物理中有重要作用.
第二章 几个重要的不等式
§1 柯西不等式
学
习 目 标
思
维 脉 络
1.认识简单形式的柯西不等 式的几种形式,理解它们的几 何意义. 2.会证明一般形式的柯西不 等式,并能利用柯西不等式来 解决有关问题.
1.简单形式的柯西不等式
简单形式的 柯西不等式 代数形式(定理 1) 向量形式 表 达 式 等号成立的条件 ad=bc α 与 β 共线
向量(b1,b2,… ,bn)共线时,等号成立. (2)推论(三维形式的柯西不等式):
2 2 2 2 2 2 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是两组实数,则有( ������1 + ������2 + ������3 )· (������1 + ������2 + ������3 )≥ (a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a 2,a3)与向量( b1,b2,b3)共线时等号成立.
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 |α||β|≥ |α· β|
名师点拨 1.定理1的几点说 明:(1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(adbc)2≥(ac+bd)2,这里用了放缩法.因为(ad-bc)2≥0,所以简单形式的 柯西不等式中等号成立的充要条件是(ad-bc)2=0,即ad=bc. 2.简单形式的柯西不等式反映了4个实数之间的特定数量关系, 不仅在排列形式上规律明显,具有简洁、对称的美感,而且在数学 和物理中有重要作用.
柯西不等式(优质课)
应用
在概率论、统计学、信号处理等领域有广泛应用，特别是在估计概率分布、优化 信号传输等方面。
柯西不等式的变体
积分柯西不等式
对于任意的非负函数$f(x)$和$g(x)$， 有$int f(x)g(x)dx leq left(int f^2(x)dxright)^{frac{1}{2}} left(int g^2(x)dxright)^{frac{1}{2}}$。
应用
在向量分析、线性代数、数学物理等领域有广泛应用，特别是在解决优化问题、不等式 证明等方面。
广义柯西不等式
广义柯西不等式
对于任意的非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，有$(a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n)^2 leq (a_1^2 + a_2^2 + ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ldots + b_n^2)$。
• 然后应用柯西不等式得到左边 ≤abc[1^2+(1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb)^2+(1/c)^2+(1/a)^2]=abc。
答案与解析
3. 证明
(x+y)^2≤2(1+xy)
解析
首先展开左边得到(x+y)^2=x^2+y^2+2xy。
答案与解析
然后应用柯西不等式得到左边≤2[(x^2+y^2)/2]^2+2xy=2(1+xy)。
解析几何应用
在解析几何中，柯西不等 式可用于研究平面或空间 中的点、线、面的性质和 关系。
在物理领域的应用
在概率论、统计学、信号处理等领域有广泛应用，特别是在估计概率分布、优化 信号传输等方面。
柯西不等式的变体
积分柯西不等式
对于任意的非负函数$f(x)$和$g(x)$， 有$int f(x)g(x)dx leq left(int f^2(x)dxright)^{frac{1}{2}} left(int g^2(x)dxright)^{frac{1}{2}}$。
应用
在向量分析、线性代数、数学物理等领域有广泛应用，特别是在解决优化问题、不等式 证明等方面。
广义柯西不等式
广义柯西不等式
对于任意的非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，有$(a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n)^2 leq (a_1^2 + a_2^2 + ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ldots + b_n^2)$。
• 然后应用柯西不等式得到左边 ≤abc[1^2+(1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb)^2+(1/c)^2+(1/a)^2]=abc。
答案与解析
3. 证明
(x+y)^2≤2(1+xy)
解析
首先展开左边得到(x+y)^2=x^2+y^2+2xy。
答案与解析
然后应用柯西不等式得到左边≤2[(x^2+y^2)/2]^2+2xy=2(1+xy)。
解析几何应用
在解析几何中，柯西不等 式可用于研究平面或空间 中的点、线、面的性质和 关系。
在物理领域的应用
课件高中数学人教A版选修一二维形式的柯西不等式PPT课件_优秀版
含着何种大小关系吗？ 因为│cosθ│≤1,
1.认识二维柯西不等式的代数和向量形
根据向量数量积的定义，有
式.理解二维柯西不等式的几何意义. 问题中a+b=1这个条件，由于常数1的特殊性，用a+b去乘任何数或式子，都不会改变它们的值.
在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算.
这个函数的解析式是两1部分的1和，若2能化成2 ac+bd的形式，就能利用柯西不等式求其最大值。
那么 x y x y x x y y 1二维形式的柯西不等式
因为│cosθ│≤1,
2
2
2
2
设在平面直角坐标系xoy中有向量1 α=(a,b), =1(c,d) ，与之间2的夹角为θ2，0≤ θ ≤π （如图1 ）
定理(1)和定理(2).
在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算.
设x , y , x , y R, 如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据△oP1P2 的边长关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴
含着何种大小关系吗？
证明
根据柯西不等式，有 (a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2
反思
在证明不等式时，联系经典不等式， 既可以启发证明思路，又可以简化运算.
例2
求函数y= 5 x 1 10 2x .
分析
利用不等式解决极值问题，通常设法在 不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取 等号的条件。这个函数的解析式是两部分的 和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不 等式求其最大值。
柯西不等式优质课ppt课件
(4)柯 西 不 等 式 的 向 量 形 式 .当 且 仅 当
是 零 向 量, 或 存 在 实 数k, 使 k 时,等 号 成 立.
(5)二 维 形 式 的 三 角 不 等 式 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理： 若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
仔细观察上述定理，概括它的特点 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
例1：已知a,b为实数，求证
(a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3)2
仔细观察上述定理概括它的特点平方的和的乘积不小于乘积的和的平方acbdabcacbdabc当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立柯西丌等式的几何意义abcd10定理2柯西不等式的向量形式11定理1二维形式的柯西不等式acbd当且仅当adbcacbd
柯西不等式优质课
柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法国数学家、力学家。 27岁成为巴黎综合工科学校教授， 并当选为法国科学院 院士. 柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性， 实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程 等方面的研究． 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义， 以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义， 实质上都是柯西给出的。
柯西不等式的几何意义
– 证明思路2：(构造向量法)
设 (a,b), (c, d ),则 a2 b2 , c2 d 2 , ac bd, 利用 ,
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
两边平方后得证.
是 零 向 量, 或 存 在 实 数k, 使 k 时,等 号 成 立.
(5)二 维 形 式 的 三 角 不 等 式 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理： 若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
仔细观察上述定理，概括它的特点 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
例1：已知a,b为实数，求证
(a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3)2
仔细观察上述定理概括它的特点平方的和的乘积不小于乘积的和的平方acbdabcacbdabc当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立柯西丌等式的几何意义abcd10定理2柯西不等式的向量形式11定理1二维形式的柯西不等式acbd当且仅当adbcacbd
柯西不等式优质课
柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法国数学家、力学家。 27岁成为巴黎综合工科学校教授， 并当选为法国科学院 院士. 柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性， 实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程 等方面的研究． 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义， 以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义， 实质上都是柯西给出的。
柯西不等式的几何意义
– 证明思路2：(构造向量法)
设 (a,b), (c, d ),则 a2 b2 , c2 d 2 , ac bd, 利用 ,
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
两边平方后得证.
人教A版选修4-5 第3讲 2 一般形式的柯西不等式 课件(19张)
1,2，…，n)时，等号成立．
题点知识巩固
知识点一 三维形式的柯西不等式的应用
1．设 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，则 a＋ b＋ c的最
大值是( )
A．1
B. 3
C．3
D．9
解 析 ： 由 柯 西 不 等 式 ， 得 (12 ＋ 12 ＋ 12)[( a )2 ＋ ( b )2 ＋ ( c)2]≥( a＋ b＋ c)2，∴( a＋ b＋ c)2≤3(a＋b＋c)
证法二：若 a≤－3 或 a≥－1 不成立，那么－3<a<－1 成立， 则(a＋2)2<1，而[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]·(12＋12＋12)＝(x－2 ＋y－1＋z－a)2 左面等号成立，当且仅当 x－2＝y－1＝z－a，又 因为 x＋y＋z＝1，所以 x－2＝y－1＝z－a＝－a＋3 2.故此时[(x－ 2)2＋(y－1)2＋(z－a)2](12＋12＋12)＝(x－2＋y－1＋z－a)2＝(a＋ 2)2<1，即(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2<13，与原命题矛盾．故假设 错误，即 a≤－3 或 a≥－1.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
二 一般形式的柯西不等式 第10课时 一般形式的柯西不等式
基础知识梳理 题点知识巩固 提能达标过关
基础知识梳理
1．三维形式的柯西不等式
设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋
b
2 3
)≥__(_a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_)_2 ___
，
当
且
仅
当
___b_i_＝__0_(i_＝__1_,2_,_3_) ___
《柯西不等式》课件
感谢您的观看
THANKS
应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。
3.2一般形式的柯西不等式(优秀经典公开课比赛课件)
abc
解析 : a b c 1,
∴ 1 1 1 (a b c)( 1 1 1) ≥
abc
abc
( a 1 b 1 c 1 )2 9
b
c
即a b c 1 时, 1 1 1的最小值为9 3 abc
问题 7: 类比二维、三维空间的柯西不等式，
问题 2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？
（１） a2 b2 ≥ 2ab （２） a2 b2 ≥ 1 (a b)2
2
(1)证明: ∵(a2 b2 )(b2 a2 ) ≥ (ab ba)2 (2ab)2, ∴(a2 b2 )2 ≥ (2ab)2
∴a2 b2 ≥ 2ab ≥2ab,
猜一猜 n 维空间的柯西不等式，即一般式．
定理 4：（一般形式的柯西不等式）：
设 n 为大于 1 的自然数， xi , yi R(i 1, 2,3, , n) ,则：
(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
是二次函数,因为对任意的实数 xi , yi (i 1, 2, 3, , n) ,
都有 f (x) ≥ 0 成立，∴△≤0
n
n
n
∴△ 4( xi yi )2 4( xi2 )( yi2 ) 0 ，
i 1
i 1
i 1
∴(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
(x12 x22 x32 )( y12 y22 y32 ) ≥ (x1 y1 x2 y2 x3 y3 )2
解析 : a b c 1,
∴ 1 1 1 (a b c)( 1 1 1) ≥
abc
abc
( a 1 b 1 c 1 )2 9
b
c
即a b c 1 时, 1 1 1的最小值为9 3 abc
问题 7: 类比二维、三维空间的柯西不等式，
问题 2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？
（１） a2 b2 ≥ 2ab （２） a2 b2 ≥ 1 (a b)2
2
(1)证明: ∵(a2 b2 )(b2 a2 ) ≥ (ab ba)2 (2ab)2, ∴(a2 b2 )2 ≥ (2ab)2
∴a2 b2 ≥ 2ab ≥2ab,
猜一猜 n 维空间的柯西不等式，即一般式．
定理 4：（一般形式的柯西不等式）：
设 n 为大于 1 的自然数， xi , yi R(i 1, 2,3, , n) ,则：
(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
是二次函数,因为对任意的实数 xi , yi (i 1, 2, 3, , n) ,
都有 f (x) ≥ 0 成立，∴△≤0
n
n
n
∴△ 4( xi yi )2 4( xi2 )( yi2 ) 0 ，
i 1
i 1
i 1
∴(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
(x12 x22 x32 )( y12 y22 y32 ) ≥ (x1 y1 x2 y2 x3 y3 )2
北师大版选修四 柯西不等式 课件
答 案 :15
-5-
§1 柯西不等式 12
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知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
2 .一 般 形式的柯西不等式
(1)定理 2:
设 a1,a2,…,an 与 b1,b2,…,bn 是两组实数,则有(������12 + ������22+…+���������2���)(������12 + ������22+…+���������2��� )≥(a 1b 1+a2b 2+…+anbn)2,当向量(a1,a 2,…,an)与向量(b 1,b2,…,b n)共 线时,等号成立.
题.
-3-
§1 柯西不等式 12
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重难聚焦
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D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
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1 .简 单 形式的柯西不等式 (1)定理 1(二维形式的柯西不等式的代数形式): 对任意实数 a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当向量(a,b)与向量(c,d) 共线时,等号成立. (2)简单形式的柯西不等式的向量形式: 设 α=(a,b),β=(c,d)是平面上任意两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当向量(a,b) 与向量(c,d)共线时,等号成立.
【做一做 2-2】 已知 x,y,z∈R+,且 x+y+z=1,则 x2+y2+z2 的最小值是
-5-
§1 柯西不等式 12
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2 .一 般 形式的柯西不等式
(1)定理 2:
设 a1,a2,…,an 与 b1,b2,…,bn 是两组实数,则有(������12 + ������22+…+���������2���)(������12 + ������22+…+���������2��� )≥(a 1b 1+a2b 2+…+anbn)2,当向量(a1,a 2,…,an)与向量(b 1,b2,…,b n)共 线时,等号成立.
题.
-3-
§1 柯西不等式 12
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D S 典例透析 IANLITOUXI
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1 .简 单 形式的柯西不等式 (1)定理 1(二维形式的柯西不等式的代数形式): 对任意实数 a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当向量(a,b)与向量(c,d) 共线时,等号成立. (2)简单形式的柯西不等式的向量形式: 设 α=(a,b),β=(c,d)是平面上任意两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当向量(a,b) 与向量(c,d)共线时,等号成立.
【做一做 2-2】 已知 x,y,z∈R+,且 x+y+z=1,则 x2+y2+z2 的最小值是
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(a12 a22 L an2 )(b12 b22 L bn2 )
20
21
例4.若a b c,求证： 1 1 4 ab bc ac
22
已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
2
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
3
研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系
(a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd )2 (ad bc)2 (ac bd )2
分清（找准）a,b,c,d
6
练习 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
补全a,b,c,d
7
柯西不等式的几何意义
– 证明思路2：(构造向量法)
ur
ur
设 (a,b), (c, d ),则
ur
ur
a2 b2 , c2 d 2 ,
ur ur
ac bd,
ur ur ur ur
利用 ,
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
两边平方后得证.
(1) (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
(2) (a2 b2 ) (c2 d2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
11
例2.求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3y 1,即2x 3y时取等号.
由22xx
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为 1
2
17
变式2：设a,b R , 2a 3b 6求 2 1的最小值. ab
证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 =ax1 bx2 ax2 bx1
由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
8
柯西不等式的几何意义
ur
ur
设 (a,b), (c, d ),则
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
“=”何时成立
ur
ur ur
当且仅当是零向量,或存在实数k,使 k 时,等号成立.
9
定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
(2) (a2 b2 ) (c2 d2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
19
(a2 b2 )(c2 d 2 )≥ (ac bd )2
思考
设a1, a2 , a3,L , an , b1, b2 , b3,L , bn是实数,则
? (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 )≥
与不等式(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 矛盾吗？它们之间有什么区别？
不等式①： 不等式②：
ad bc a c bd
ac bd a d bc
15
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
灵活对调前后项
16
变式1：若2x 3y 1,求4x2 9y2的最小值.
变形，使之出现常数
12
练习2 设a 0,b 0,且a b 1,求证：2a 1 b 1 22
32
变形，使之出现
条件中的表达式或表达式的倍数
13
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
14
不等式(a2 b2 )(d 2 c2 ) (ad bc)2 成立吗？
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或.
10
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面不等式: 若 a,b,c,d 都是实数, 则
18
小结
1、二维形式的柯西不等式 若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
2、二维形式的柯西不等式的变式
(1) (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
柯西不等式
二维形式的柯西不等式
1
柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法国数学家、力学家。 27岁成为巴黎综合工科学校教授， 并当选为法国科学院 院士. 柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性， 实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程 等方面的研究． 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义， 以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义， 实质上都是柯西给出的。
4
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理： 若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
仔细观察上述定理，概括它的特点 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
5
例1：已知a,b为实数，求证
(a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3)2
20
21
例4.若a b c,求证： 1 1 4 ab bc ac
22
已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
2
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
3
研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系
(a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd )2 (ad bc)2 (ac bd )2
分清（找准）a,b,c,d
6
练习 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
补全a,b,c,d
7
柯西不等式的几何意义
– 证明思路2：(构造向量法)
ur
ur
设 (a,b), (c, d ),则
ur
ur
a2 b2 , c2 d 2 ,
ur ur
ac bd,
ur ur ur ur
利用 ,
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
两边平方后得证.
(1) (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
(2) (a2 b2 ) (c2 d2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
11
例2.求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3y 1,即2x 3y时取等号.
由22xx
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为 1
2
17
变式2：设a,b R , 2a 3b 6求 2 1的最小值. ab
证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 =ax1 bx2 ax2 bx1
由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
8
柯西不等式的几何意义
ur
ur
设 (a,b), (c, d ),则
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
“=”何时成立
ur
ur ur
当且仅当是零向量,或存在实数k,使 k 时,等号成立.
9
定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
(2) (a2 b2 ) (c2 d2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
19
(a2 b2 )(c2 d 2 )≥ (ac bd )2
思考
设a1, a2 , a3,L , an , b1, b2 , b3,L , bn是实数,则
? (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 )≥
与不等式(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 矛盾吗？它们之间有什么区别？
不等式①： 不等式②：
ad bc a c bd
ac bd a d bc
15
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
灵活对调前后项
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变式1：若2x 3y 1,求4x2 9y2的最小值.
变形，使之出现常数
12
练习2 设a 0,b 0,且a b 1,求证：2a 1 b 1 22
32
变形，使之出现
条件中的表达式或表达式的倍数
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例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
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不等式(a2 b2 )(d 2 c2 ) (ad bc)2 成立吗？
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或.
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定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面不等式: 若 a,b,c,d 都是实数, 则
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小结
1、二维形式的柯西不等式 若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
2、二维形式的柯西不等式的变式
(1) (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
柯西不等式
二维形式的柯西不等式
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柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法国数学家、力学家。 27岁成为巴黎综合工科学校教授， 并当选为法国科学院 院士. 柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性， 实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程 等方面的研究． 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义， 以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义， 实质上都是柯西给出的。
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二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理： 若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
仔细观察上述定理，概括它的特点 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
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例1：已知a,b为实数，求证
(a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3)2