基本不等式综合检测

第三章综合检测

一、选择题

4．设M ＝a ＋1a －2

(2＜a ＜3)，N ＝log 0.5(x 2＋1

16)(x ∈R)那么M 、N 的大小关系是( )

A ．M ＞N

B ．M ＝N

C ．M ＜N

D ．不能确定 [答案] A

[解析] M ＝a ＋1a －2＝a －2＋1

a －2

＋2＞4，

(∵2＜a ＜3)

N ＝log 0.5(x 2＋116)＜log 0.51

16

＝4，∴M ＞N .

5．已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋2 x ≤0

－x ＋2 x >0则不等式f (x )≥x 2的解集为 ( )

A ．[－1,1]

B ．[－2,2]

C ．[－2,1]

D ．[－1,2] [答案] A

[解析] 本题考查分段函数的概念及一元二次不等式的解法． 解法一：(排除法)当x ＝2时，f (x )＝0，不等式f (x )≥x 2不成立，排除B 、D 选项；当x ＝－2时f (x )＝0，不等式f (x )≥x 2

不成立，排除C 选项．

解法二：(直接法)当x ≤0时，原不等式化为x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤2，

又∵x ≤0，∴－1≤x ≤0；

当x >0时，原不等式化为－x ＋2≥x 2， ∴－2≤x ≤1，

又∵x >0，∴0

综上可知，不等式f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．

6．如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域(不含边界)为

( )

[答案] C

[解析] 由题意知Δ＝b 2－4a 2>0 ∴(b －2a )(b ＋2a )>0 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －2a >0b ＋2a >0或⎩

⎪⎨⎪⎧

b －2a <0b ＋2a <0画图知选C. 7．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ， β＝b ＋1

b

则α＋β的最小值是( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 [答案] C

[解析] 由题意a ＋b ＝1，则α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋1ab ≥1＋1

(a ＋b 2

)2

＝5.

8．设b ＞a ＞0，a ＋b ＝1，则下列四个数1

2

，2ab ，a 2＋b 2，b 中，最大的数是 ( )

A.1

2

B ．B

C ．2ab

D ．a 2＋b 2 [答案] B

[解析] 因为b ＞a ＞0，a ＋b ＝1，

所以0＜a ＜1

2

＜b ＜1，a 2＋b 2＞2ab .

又因为a 2＋b 2－b ＝a 2＋b (b －1)＝a 2－ab ＝a (a －b )＜0. 所以a 2＋b 2＜b ，故四个数中最大的数是b .

9．(2008·湖北理)函数f (x )＝1

x

ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为

( )

A ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)

B ．(－4,0)∪(0,1)

C ．[－4,0)∪(0,1]

D ．[－4,0)∪(0,1) [答案] D

[解析] 特值检验法．x ＝1时，

x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4＝0无意义，排除C ； x ＝3时，－x 2－3x ＋4<0，排除A ；

x ＝－4时，f (x )有意义，排除B ，∴选D. 直接解法：要使函数有意义，须 ⎩⎪⎨⎪⎧

x ≠0x 2

－3x ＋2≥0－x 2－3x ＋4≥0x 2

－3x ＋2＋－x 2

－3x ＋4≠0

，

∴－4≤x <0或0

10．不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧

(x －2)(x －5)≤0

x (x －a )≥0与不等式(x －2)(x －5)≤0同解，则a 的取值范围是

( )

A ．a ＞5

B ．a ＜2

C ．a ≤5

D ．a ≤2

[答案] D

[解析] 由(x －2)(x －5)≤0可得

2≤x ≤5，所以不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧

(x －2)(x －5)≤0

x (x －a )≥0的解集为{x |2≤x ≤5}．

∴[2,5]⊆[a ，＋∞)， 故a ≤2.

11．设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1,1)，使f (x 0)＝0则实数a 的取值范围是

( )

A ．－1＜a ＜15

B ．a ＜－1

C ．a ＜－1或a ＞15

D ．a ＞1

5

[答案] C

[解析] 由题意知f (－1)f (1)＜0，

∴(－5a ＋1)(a ＋1)＜0， ∴a ＜－1或a ＞1

5

.

12．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )

A ．2000元

B ．2200元

C ．2400元

D ．2800元 [答案] B

[解析] 设需甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题意知

⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ≤4，x ∈N *

y ≤8，y ∈N *20x ＋10y ≥100

，

作出其可行域如图所示．

可知目标函数z ＝400x ＋300y 在点A 处取最小值，z ＝400×4＋300×2＝2200(元)． 二、填空题

13．不等式2x 2＋2x －4≤1

2

的解集为____________．

[答案] [－3,1]

[解析] 不等式2x 2＋2x －4≤12

化为2x 2＋2x －4≤2－

1，