基本不等式综合检测

第三章综合检测一、选择题4．设M ＝a ＋1a －2(2＜a ＜3)，N ＝log 0.5(x 2＋116)(x ∈R)那么M 、N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定 [答案] A[解析] M ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2＞4，(∵2＜a ＜3)N ＝log 0.5(x 2＋116)＜log 0.5116＝4，∴M ＞N .5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 x ≤0－x ＋2 x >0则不等式f (x )≥x 2的解集为 ( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2] [答案] A[解析] 本题考查分段函数的概念及一元二次不等式的解法． 解法一：(排除法)当x ＝2时，f (x )＝0，不等式f (x )≥x 2不成立，排除B 、D 选项；当x ＝－2时f (x )＝0，不等式f (x )≥x 2不成立，排除C 选项．解法二：(直接法)当x ≤0时，原不等式化为x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤2，又∵x ≤0，∴－1≤x ≤0；当x >0时，原不等式化为－x ＋2≥x 2， ∴－2≤x ≤1，又∵x >0，∴0<x ≤1，综上可知，不等式f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．6．如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域(不含边界)为( )[答案] C[解析] 由题意知Δ＝b 2－4a 2>0 ∴(b －2a )(b ＋2a )>0 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －2a >0b ＋2a >0或⎩⎪⎨⎪⎧b －2a <0b ＋2a <0画图知选C. 7．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ， β＝b ＋1b则α＋β的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] 由题意a ＋b ＝1，则α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋1ab ≥1＋1(a ＋b 2)2＝5.8．设b ＞a ＞0，a ＋b ＝1，则下列四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中，最大的数是 ( )A.12B ．BC ．2abD ．a 2＋b 2 [答案] B[解析] 因为b ＞a ＞0，a ＋b ＝1，所以0＜a ＜12＜b ＜1，a 2＋b 2＞2ab .又因为a 2＋b 2－b ＝a 2＋b (b －1)＝a 2－ab ＝a (a －b )＜0. 所以a 2＋b 2＜b ，故四个数中最大的数是b .9．(2008·湖北理)函数f (x )＝1xln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)B ．(－4,0)∪(0,1)C ．[－4,0)∪(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1) [答案] D[解析] 特值检验法．x ＝1时，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4＝0无意义，排除C ； x ＝3时，－x 2－3x ＋4<0，排除A ；x ＝－4时，f (x )有意义，排除B ，∴选D. 直接解法：要使函数有意义，须 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0x 2－3x ＋2≥0－x 2－3x ＋4≥0x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4≠0，∴－4≤x <0或0<x <1.10．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≤0x (x －a )≥0与不等式(x －2)(x －5)≤0同解，则a 的取值范围是( )A ．a ＞5B ．a ＜2C ．a ≤5D ．a ≤2[答案] D[解析] 由(x －2)(x －5)≤0可得2≤x ≤5，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≤0x (x －a )≥0的解集为{x |2≤x ≤5}．∴[2,5]⊆[a ，＋∞)， 故a ≤2.11．设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1,1)，使f (x 0)＝0则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜15B ．a ＜－1C ．a ＜－1或a ＞15D ．a ＞15[答案] C[解析] 由题意知f (－1)f (1)＜0，∴(－5a ＋1)(a ＋1)＜0， ∴a ＜－1或a ＞15.12．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2000元B ．2200元C ．2400元D ．2800元 [答案] B[解析] 设需甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ∈N *y ≤8，y ∈N *20x ＋10y ≥100，作出其可行域如图所示．可知目标函数z ＝400x ＋300y 在点A 处取最小值，z ＝400×4＋300×2＝2200(元)． 二、填空题13．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为____________．[答案] [－3,1][解析] 不等式2x 2＋2x －4≤12化为2x 2＋2x －4≤2－1，∴x 2＋2x －4≤－1，∴x 2＋2x －3≤0， ∴－3≤x ≤1，∴原不等式的解集为[－3,1]．14．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}则关于x 的不等式bx 2－ax －2＞0的解集为________________．[答案] {x |x ＞1或x ＜－2}[解析] ∵ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，∴⎩⎨⎧2a ＝－2－b a＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1.∴bx 2－ax －2＞0，即x 2＋x －2＞0， 解得x ＞1或x ＜－2.15．已知实数x ，y 满足2x ＋y ≥1，则u ＝x 2＋y 2＋4x －2y 的最小值为________．[答案] －95[解析] 由u ＝x 2＋y 2＋4x －2y ＝(x ＋2)2＋(y －1)2－5知，u 表示点P (x ，y )与定点A (－2,1)的距离的平方与5的差．又由约束条件2x ＋y ≥1知，点P (x ，y )在直线l ：2x ＋y ＝1上及其上方．问题的转化为求定点A (－2,1)到由2x ＋y ≥1所确定的平面区域G 的最近距离．故A 到直线l 的距离为A 到区域G 上点的距离的最小值．d ＝|2×(－2)＋1－1|22＋12＝45，∴d 2＝165，∴u min ＝d 2－5＝－95.16．当x ＞1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________．[答案] 3[解析] x ＋1x －1≥a 恒成立⇔(x ＋1x －1)min≥a∵x ＞1即x －1＞0∴x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)·1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．∴a ≤3即a 的最大值为3. 三、解答题17．知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围．[解析] 当a 2－4＝0，即a ＝±2.若a ＝2时，原不等式化为4x －1≥0，∴x ≥14.此时，原不等式的解集不是空集．若a ＝－2时，原不等式化为－1≥0，无解． 此时，原不等式的解集为空集． 当a 2－4≠0时，由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0Δ＝(a ＋2)2－4(a 2－4)×(－1)<0， ∴－2<a <65. 综上所述，a 的取值范围为－2≤a <65.18．已知x ，y 都是正数．(1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值； (2)若x ＋2y ＝3，求1x ＋1y的最小值．[解析] (1)xy ＝16·3x ·2y ≤16⎝⎛⎭⎫3x ＋2y 22＝6.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＝2y ，3x ＋2y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3时取“＝”号．所以当x ＝2，y ＝3时，xy 取得最大值6.(2)1x ＋1y ＝13(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝13⎝⎛⎭⎫3＋x y ＋2y x ≥13⎝⎛⎭⎫3＋2x y ·2y x ＝1＋223.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x y ＝2y xx ＋2y ＝3即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32y ＝3－322时，取“＝”号． 所以，当x ＝－3＋32，y ＝3－322时，1x ＋1y 取得最小值1＋223.19．设z ＝2x ＋y ，变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25，x ≥1求z 的最大值与最小值．[解析] 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1的可行域如图，将目标函数z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，直线y ＝－2x ＋z 是斜率k ＝－2的平行线系，z 是它们的纵戴距．作平行直线过平面区域内的点A 、B 时直线的纵截距取最值．求A 、B 点坐标，代入z ＝2x ＋y ，过A 点时z max ＝12，过B 点时z min ＝3.20．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？[解析] 解法一：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝9000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a >0，b >0.广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18500＋25a ＋40b ≥18500＋225a ·40b ＝18500＋21000ab ＝24500.当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75.即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24500，故广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小．解法二：设广告的高和宽分别为x cm 、y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18000，由此得y ＝18000x －20＋25广告的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫18000x －20＋25＝18000xx －20＋25x整理得S ＝360000x －20＋25(x －20)＋18500.因为x －20>0所以S ≥2360000x －20＋25(x －20)＋18500＝24500.当且仅当360000x －20＝25(x －20)时等号成立，此时有(x －20)2＝14400(x >20) 解得x ＝140代入y ＝18000x －20＋25，得y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24500.故广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小．21．已知函数f (x )＝x 2ax ＋b(a 、b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式； (2)设k >1，解关于x 的不等式f (x )<(k ＋1)x －k2－x.[解析] (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b－x ＋12＝0，得⎩⎨⎧93a ＋b ＝－9164a ＋b ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2.∴f (x )＝x 22－x(x ≠2)(2)原不等式即为x 22－x <(k ＋1)x －k2－x ，可化为x 2－(k ＋1)x ＋k 2－x<0.即(x －2)(x －1)(x －k )>0.①当1<k <2时，1<x <k 或x >2; ②当k ＝2时，x >1且x ≠2； ③当k >2时，1<x <2或x >k .综上所述，当1<k <2时，原不等式的解集为{x |1<x <k 或x >2}； 当k ＝2时，原不等式的解集为{x |x >1且x ≠2}； 当k >2时，原不等式的解集为{x |1<x <2或x >k }．22．如图，公园要把一块边长为2a 的等边三角形ABC 的边角地修成草坪，DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．(1)设AD ＝x (x ≥a )，DE ＝y ，试用x 表示函数y ；(2)如果DE 是灌溉水管，希望它最短，DE 的位置应该在哪里？[解析] (1)∵△ABC 的边长为2a ，D 在AB 上，且x ≥a ，∴a ≤x ≤2a .∵S △ADE ＝12S △ABC∴12x ·AE ·sin60°＝12·12(2a )2sin60° ∴AE ＝2a 2x.在△ADE 中，由余弦定理得y 2＝x 2＋AE 2－2x ·AE ·cos60°＝x 2＋4a 4x2－2a 2∴y ＝x 2＋4a 4x2－2a 2(a ≤x ≤2a )．(2)令x 2＝t (a 2≤t ≤4a 2)，则y ＝t ＋4a 4t－2a 2∵t ＋4a 4t －2a 2≥2t ·4a4t－2a 2＝2a 2∴y ≥2a 2＝2a . 当且仅当t ＝4a 4t，即t ＝2a 2时，取“＝”号，故y min ＝2a ，此时x ＝2a ，所以以A 为基点，分别在AB 、AC 上截取AD ＝AE ＝2a 时，线段DE 最短．基本不等式一、基础夯实1.已知x ,y ∈R ,且2x 2+y 2-4x ≤0,则 ( )A.y 2>4xB.y 2<4xC.y 2≥4xD.y 2≤4x 2.已知三个不等式:ab >0,-bda c -<,bc >ad ,以其中两个作条件，余下一个作结论，可以组成正确命题的个数是 ( ) A. 0 B.1 C.2 D.3３.对于x ∈［0,1］的一切值，则a +2b >0是使ax +b >0恒成立的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 ４.某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的 平均增长率为x ,则有 ( ) A.x =21(a+b ) B.x ≤21(a +b ) C.x >21(a +b ) D.x ≥21(a +b ) ５.若不等式x +2xy ≤a (x +y )对一切正数x ,y 恒成立，则正数a 的最小值为 ( )A.1B.2C.212+D.22+1 ６.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为( )元.A.1000B.1500C.2000D.2500７.设x ,y 是满足2x +y =20的正数,则lg x +lg y 的最大值是 ( ) A.50 B.2 C.1+lg5 D.18.已知正数a ,b 满足ab =a +b +5,则ab 的取值范围是 ( )A.［7+6,+∞)B.［7-6,+∞)C.［7+26,+∞)D.［7-26,+∞) 二、思维激活9.点P (x ,y )是直线x +3y -2=0上的动点,则代数式3x +27y 的最小值是 . 10.如果|x |≤4π,则函数f (x )=cos 2x +s in x 的最大值是 . 11.如果圆柱轴截面的周长L 的定值，则圆柱体积的最大值为 .12.某厂年产值第二年比第一年增长的百分率为P 1，第三年比第二年增长的百分率为P 2，第四年比第三年增长的百分率为P 3，若P 1+P 2+P 3为定值，则年平均增长率的百分率P 的最大值为 . 三、能力提高13.已知2b +ab +a =30(a >0,b >0),求y =ab1的最小值. 14.求函数y =1)2)(5(+++x x x (x >-1)的值域.15.已知:a >b >0,求2223196bab b a b a -+-的最小值.16.甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米／时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v (千米／时)的平方成正比，比例系数为b ;固定部分为a 元. (1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米／时)的函数，并指出该函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶.第2课 基本不等式习题解答1.D 因2x 2≤4x -y 2成立,故必有4x -y 2≥0即y 2≤4x .2.D 可逐一检验.３.B 由条件,x =0时,b >0,x =1时,a +b >0⇒a +2b >0. ４.B 由(1+x )2=(1+a )(1+b )≤(1+2b a +)2. ５.B 2xy ≤(a -1)x +ay 恒成立,而(a -1)x +ay ≥2xy a a )1(-,令2xy =2xy a a )1(- ,a (a -1)=2,∴a =2.６.C 设池底的一边长为x m,总造价为y 元,则池底的邻边之长为x 4 m,由条件得:y =180·x ·x4 +80·2(2x +x 8)=720+320(x +x4)≥720+320·2·x x 4+=2000.7.C lg x +lg y =lg xy =lg x ·(20-2x )=lg ［2·x ·(10-x )］≤lg ［2·2210⎪⎭⎫⎝⎛-+x x =lg50=1+lg5.8.C 由ab =a +b +5≥2ab +5,得(ab )2-2ab ≥5(ab -1)2≥6ab ≥7+26 . 9.3x +27y =32-3y +33y ≥2y y33233∙-=6,,故最小值为6.10.f (x )=1-sin 2x +sin x =1+sin x (1-sin x )≤1+(21)2=45. 11.4R +2h =L 为定值，故V 柱=πR 2·h =π·(2R )·(2R )·(2h )·81≤8π·33222⎪⎭⎫ ⎝⎛++h R R =8π ·(3L )3=2161πL 3为所求最大值.12.由题意:(1+P 1)·(1+P 2)·(1+P 3)=(1+x )3,∴(1+x )3≤332113⎪⎭⎫⎝⎛+++P P P , ∴x ≤31(P 1+P 2+P 3),故P 的最大值为31(P 1+P 2+P 3). 13.∵2b +ab +a =30,∴30≥ab +22·ab ,∴-52 ≤ab ≤32,当且仅当a =2b 时,取等号,解方程组⎩⎨⎧=++=3022a ab b b a 得a =6且b =3⇒y min =181. 14.∵x >-1,∴x +1>0,令m =x +1,则m >0且y =54)1)(4(++=++mm m m m ≥2m m 4∙+5=9,当且仅当m =2时取等号,故y min =9.又当m →∞时,y →∞,故原函数的值域是［9,+∞). 15.因为a >b >0所以a -b >0)(196)(196)(196222223b a b a b a b b a b a bab b a b a -+=-+-=-+-而b ·(a -b )=[]2)(b a b -≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b a b =42a (当且仅当b =a -b 即2b =a 时取等号).故b ·(a -b )有最大值42a . 故原式=a 2+)(196b a b -∙≥a 2+24196a ⨯≥2224196a a ⨯∙=56.(当且仅当a 2=24196a⨯,2b =a ,即a =27,7=b 时取等号).故原式的最小值为56. 16.(1)由条件知:汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为s ／v ,全程运输成本为y =a ·vs +bv 2·vs =s (va+bv ),故所求函数及定义域为:y =s ·(va+bv ),v ∈(0,c ). (2)因s 、a 、b 、v 都为正数，故有s ·(v a +bv )≥2s ·ab ,当且仅当va=bv ,即v =b a 时取等号.，若b a ≤c ,则当v =b a 时,全程运输成本y 最小; 若b a >c ,当v ∈(0,c ］时有s ·(v a +bv )-s ·(c a +bc )=s ·［a ⎪⎭⎫⎝⎛-c v 11+b (v -c )］=vc s ·(c -v )·(a -bcv ). 因为c -v ≥0且a >bc 2,故a -bcv >a -bc 2>0. 所以s ·⎪⎭⎫⎝⎛+bv v a ≥s ⎪⎭⎫⎝⎛+bc c a . 当且仅当v =c 时等号成立，也即v =c 时，全程运输成本y 最小; 综上所述知：为使全程运输成本y 最小，当ba≤c 时,行驶速度应为v =b a ;当ba >c 时,行驶速度应为v =c。