高中数学基本不等式综合测试题(附答案)-最新教学文档
高中数学基本不等式综合测试题（附答案）
基本不等式的最大最小值问题随堂练习
1、在下列函数中，最小值是的是
且）
2、已知正数满足，则的最小值为
3、若，则的最大值。
4、设时，则函数的最小值。
三、解答题
5、为迎接北京奥运会，北京市决定在首都国际机场粘贴一幅“福娃”宣传画，要求画面面积为，左、右各留米，上、下各留米，问怎样设计画面的长和宽才能使宣传画
所用纸张面积最小？
6、函数的值域
7、若是正数，且，则有最值=
8、已知，则的最小值是。
9、已知，求的最值及相应的的值。
10、正数、满足则的最小值是
11、已知函数f(x)满足2f(x)－f( 1x ) = 1| x | ，则f(x)的最小值是
12、函数若恒成立，则b的最小值为＿
13、函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为
14、已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是
15、若的最大值是 .
16、已知、，且，则的最小值是
17、若直线始终平分圆的周长，则的最小值是
18、求使 a (x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值
19、若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为
20、已知两正数x,y 满足x+y=1,则z= 的最小值为
21、已知a0,求的最小值
22、已知a，b，c为正实数，a+b+c=1求证
(1)a2+b2+c2
(2) 6
参考答案
1、 2、 3、 4、
5、解：设宣传画的长、宽分别为、米，则，设纸张面积为，则：
由，即代入上式得，
当且仅当，即时，。
所以宣传画的长为米，宽为米，所用纸张面积最小。
参考答案
1、 2、 3、
4、解：
当且仅当，即时取等号，故当时，有最小值。
不等式练习题及讲解高中答案
不等式练习题及讲解高中答案### 不等式练习题及讲解#### 一、基础不等式练习题1. 题目一：若 \( a, b, c \) 均为正数，证明不等式 \( a + b\geq 2\sqrt{ab} \) 成立。
2. 题目二：已知 \( x \) 和 \( y \) 均为实数，且 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求证 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。
3. 题目三：若 \( a, b \) 均为正整数，证明 \( a^2 + b^2 \geq 2ab \)。
4. 题目四：对于任意实数 \( x \)，证明 \( \frac{x^2}{2} +\frac{1}{2x^2} \geq 1 \)。
5. 题目五：若 \( x, y, z \) 均为正数，证明 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{xy + yz + zx} \)。
#### 二、不等式练习题讲解题目一讲解：利用算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）：\[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \]这是因为对于任意非负实数 \( a \) 和 \( b \)，它们的算术平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
题目二讲解：由于 \( x^2 + y^2 = 1 \)，我们有 \( (x + y)^2 \leq 2(x^2 +y^2) = 2 \)，从而 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。
题目三讲解：同样使用AM-GM不等式：\[ a^2 + b^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2} = 2ab \]当且仅当 \( a = b \) 时，等号成立。
题目四讲解：利用AM-GM不等式：\[ \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} \geq 2\sqrt{\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{2x^2}} = 1 \]等号成立条件是 \( x^2 = 1 \)，即 \( x = \pm 1 \)。
2024年新高一数学初升高衔接《基本不等式》含答案解析
第07讲 基本不等式模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解基本不等式的证明过程；2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题.知识点 1 基本不等式1、重要不等式（1）公式：对于任意的实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】22222()0202a b a b ab a b ab -≥⇔+-≥⇔+≥，当且仅当a b =时，等号成立．（2）常见变形：2222()()a b a b +≥+、222a b ab +≤、2242ab a b ab ≤++．2、基本不等式（1）公式：如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】2ba +叫做正数,ab 的算术平均数，ab 叫做正数,a b 的几何平均数．因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：a b +≥；2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（3）常用结论：①2b aa b+≥（,a b 同号），当且仅当a b =时取等号；2b aa b+≤-（,a b 异号），当且仅当a b =-时取等号．②12a a+≥（0a >），当且仅当1a =时取等号；12a a+≤-（0a <），当且仅当1a =-时取等号；知识点 2 最值定理1、最值定理：已知,x y 都是正数，（1）若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x=y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24．（2）若xy ＝p (积p 为定值)，则当x=y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p ．最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．知识点 3 基本不等式的变式与拓展1、基本不等式链20,0)112a b a b a b +≤≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>>．当且仅当a b =时等号成立．其中，2211aba b a b=++为,a b 的调和平均值，222a b +为,a b 的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：3a b c ++≥,,a b c 均为正实数），当且仅当a b c ==时等号成立．（2）n元基本不等式：12n a a a n+++ 12,,n a a a 均为正实数），当且仅当12n a a a === 时等号成立．考点一：对基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x -2y ）+12x y-≥2成立的前提条件为（ ）A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．若0,0a b >>，且16a b +=，则64ab ≤B ．若0a ≠，则44a a +≥=C ．若,R a b ∈，则2()2a b ab +≥D ．对任意,R a b ∈，222,a b ab a b +≥+≥.【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A．2a b+≥B ．()()2222a b a b +≥+C ．2b a a b +≥D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD 、AD 、BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A．)0,02a ba b +≥>>B ．()2230,0a b ab a b +>>>C()20,011a b a b≥>>+D ．()220,022a b a ba b ++≥>>考点二：利用基本不等式比较大小例2. （23-24高一上·甘肃会宁·期中）设n mA m n=+（m 、n 为互不相等的正实数），242B x x =-+-，则A 与B 的大小关系是（ ）A ．A B>B ．A B≥C ．A B<D ．A B≤【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a ，b ，c 满足22c b a a-=+-，2222c b a a a+=++，且0a >，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a>>B ．c b a>>C ．a c b>>D ．c a b>>【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若170,139a b <<<<，则,a b +22,2a b +中不可能是最大值的是（ ）A ．222a b +B．C．D ．a b+【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A．2a b+>B ．22ab a ba b +<+C ．22ab a ba b +>+D 2aba b>+考点三：利用基本不等式求最值例3. （23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（ ）A ．3-B ．3C ．1D ．6【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知100x >>，则2的最小值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数x ，y 满足44x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．2B ．94C ．3D ．83【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知0a >，0b >，且a b ab +=，则27ab a b -+的最小值是（ ）A ．6B ．9C ．16D ．19考点四：利用基本不等式证明不等式例4. （23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知0,0,1a b a b >>+=，求证:(1)114a b+≥;(2)12118a b ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知0a >，0b >，且1a b +=，证明：(1)22221a b +≥；(2)1916a b+≥．【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a ，b ，c 均为正数，求证：()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥⎪+++⎝⎭．【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知,,a b c 是正实数.(1)证明：a b c ++≥(2)若2a b c ++=，证明：11192a b c ++≥.(3)已知,a b 是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．考点五：基本不等式恒成立问题例5. （23-24高一上·贵州安顺·≥数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知0x >，0y >，且2x y +=．若410x mxy +-≥恒成立，则实数m 的最大值是（）A ．4B ．8C ．3D ．6【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知0x >，0y >，且9x y xy +=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(],6-∞B ．(],16-∞C ．(],8∞-D ．(],9-∞【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意0x >，231xax x ≤++恒成立，则实数a 的取值可以是（ ）A ．15B ．110C ．12D ．13考点六：基本不等式在实际中的应用例6. （23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形()ABCD AB AD >的周长为4，沿AC 折叠使点B 到点B '位置，AB '交DC 于点P ．研究发现当ADP △的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB 的长度为（ ）A ．54B C ．32D 【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为2150m 的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m ，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/2m ，中间两道隔墙的造价为248元/2m ，池底造价为80元/2m ，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．一、单选题1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）221x x +取最小值时x 的取值为（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若0x >，0y >，且1x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．13．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若0x >，则22y x x=+的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．24．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知0x >，则24-+x x x 的最小值为（ ）A ．5B ．3C ．5-D ．5-或36．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段AB 为半圆的直径，O 为圆心，,C F 为半圆弧上不与,A B 重合的点，OF AB ⊥.作CD AB ⊥于,D DE OC ⊥于E ，设,AD a BD b ==，则下列不等式中可以直接表示CE DF ≤的是（ ）A ．2aba b≤+B 2a b +≤C ．2a b +≤D ．2ab a b ≤+二、多选题7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（ ）A ．1x x+的最小值为2B ．(2)x x -的最大值为2C ．22x x -+的最小值为2D ．2272x x ++最小值为28．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,R a b ∈，且0ab ≠，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ）A ．222a b ab +≥B ．2b a a b+≥C ．2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2D ．22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭三、填空题9．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.10．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台.11．（23-24高一上·吉林延边·月考）若x a ∀>，关于x 的不等式225x x a+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是.四、解答题12．（23-24高一上·山东菏泽·月考）（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？（2）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？（3）已知x ，y 是正实数，且4x y +=，求13x y+的最小值．13．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC 的直角边长为,a b ，且直角三角形ABC 的周长为2.（已知正实数,x y2x y +≤x y =时等号成立）(1)求直角三角形ABC 面积的最大值；(2)求正方形ABDE 面积的最小值.第07讲 基本不等式模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解基本不等式的证明过程；2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题.知识点 1 基本不等式1、重要不等式（1）公式：对于任意的实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】22222()0202a b a b ab a b ab -≥⇔+-≥⇔+≥，当且仅当a b =时，等号成立．（2）常见变形：2222()()a b a b +≥+、222a b ab +≤、2242ab a b ab ≤++．2、基本不等式（1）公式：如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】2ba +叫做正数,ab 的算术平均数，ab 叫做正数,a b 的几何平均数．因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：a b +≥；2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（3）常用结论：①2b aa b+≥（,a b 同号），当且仅当a b =时取等号；2b aa b+≤-（,a b 异号），当且仅当a b =-时取等号．②12a a+≥（0a >），当且仅当1a =时取等号；12a a+≤-（0a <），当且仅当1a =-时取等号；知识点 2 最值定理1、最值定理：已知,x y 都是正数，（1）若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x=y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24．（2）若xy ＝p (积p 为定值)，则当x=y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p ．最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．知识点 3 基本不等式的变式与拓展1、基本不等式链20,0)112a b a b a b +≤≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>>．当且仅当a b =时等号成立．其中，2211aba b a b=++为,a b 的调和平均值，222a b +为,a b 的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：3a b c ++≥,,a b c 均为正实数），当且仅当a b c ==时等号成立．（2）n元基本不等式：12n a a a n+++ 12,,n a a a 均为正实数），当且仅当12n a a a === 时等号成立．考点一：对基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x -2y ）+12x y-≥2成立的前提条件为（ ）A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【答案】B【解析】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式()1222x y x y-+≥-成立的前提条件为20x y ->，即2x y >.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．若0,0a b >>，且16a b +=，则64ab ≤B ．若0a ≠，则44a a +≥=C ．若,R a b ∈，则2()2a b ab +≥D ．对任意,R a b ∈，222,a b ab a b +≥+≥.【答案】A【解析】A 选项，2642a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当8a b ==时等号成立，A 选项正确.B 选项，当a<0时，40a a+<，所以B 选项错误.C 选项，当0,0a b ><时，()20,02a b ab +<≥，所以C 选项错误.D 选项，当0,0a b <<时，0a b +<，a b +≥不成立，所以D 选项错误. 故选：A【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．2a b+≥B ．()()2222a b a b +≥+C ．2b a a b +≥D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【解析】对于A ，当,a b 为负数时不成立，故A 错误，对于B ，()()22222()0a b a b a b +-+=-≥，则()()2222a b a b +≥+，故B 正确，对于C ，0ab >，则,b aa b 都为正数，2b a a b +≥，当且仅当b a ab=，即a b =时等号成立，故C 正确，对于D ，111224b a a b ab a b ab a b ⎛⎫⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab ab =和b aa b=同时成立，即1a b ==±时等号成立，故D 正确，故选：BCD 【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD 、AD 、BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A．)0,02a ba b +≥>>B ．()2230,0a b ab a b +>>>C()20,011a b a b≥>>+D ．()220,022a b a ba b ++≥>>【答案】AC【解析】由题意可知AB AC BC a b =+=+，2a bOA OB OD +===，因为90CBD CAD ADC ∠=-∠=∠ ，90ACD DCB ∠=∠= ，则Rt Rt ACD DCB ∽ ，所以，CD ACBC CD= ，即2CD AC BC ab =⋅=，所以CD =在Rt OCD △中，OD CD >，即)0,02a ba b +>>当OD AB ⊥时，O 、C 点重合，a b =，此时)0,02a ba b +=>>，则)0,02a ba b +≥>>，所以A 正确；对于C 选项，在Rt OCD △中，CE OD ⊥，则90DCE CDE DOC ∠=-∠=∠ ，又因为90DEC DCO ∠=∠= ，所以，Rt Rt DEC DCO ∽ ，可得CD DE DO CD=，即2CD DE OD =⋅，所以222112CD ab ab DE a b OD a b a b====+++，由于CD DE >111a b >+，当a b =时，CD DE =111a b=+，()20,011a ba b>>+，所以C正确；由于22a b+在该图中没有相应的线段与之对应，故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明，故选：AC.考点二：利用基本不等式比较大小例2. （23-24高一上·甘肃会宁·期中）设n mAm n=+（m、n为互不相等的正实数），242B x x=-+-，则A与B的大小关系是（）A．A B>B．A B≥C．A B<D．A B≤【答案】A【解析】m、n为互不相等的正实数，则m nn m≠，所以2n mAm n=+>=，2242(2)22B x x x=-+-=--+≤，=2x时，max2B=，所以A B>．故选：A．【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足22c b aa-=+-，2222c b a aa+=++，且0a>，则a，b，c的大小关系是（）A．b c a>>B．c b a>>C．a c b>>D．c a b>>【答案】B【解析】因为0a>，由基本不等式得22220c b aa-=+-≥=>，故c b>，因为2222c b a aa+=++，22c b aa-=+-，两式相减得，2222222222a a a aabaa++-=-+++=，故2112a ab+=+，所以220141151216ab aa a⎛⎫-⎪-+-+⎝=⎭=>，故b a>，所以c b a>>.故选：B【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若170,139a b <<<<，则,a b +22,2a b +中不可能是最大值的是（ ）A ．222a b +B ．C ．D ．a b+【答案】ABC【解析】由于170,139a b <<<<，则a b ¹，故a b +>222a b +>，则不可能是最大值，B ，C 符合题意；由于22221132)2()()428(a b a b a b ++=--+--，当170,139a b <<<<时，221112()2(0448a -<-=，22111()(1224b -<-=，故221131132((0428848a b -+--<+-=，即222a b a b +<+，故222a b +不可能是最大值，A 符合题意，故选：ABC【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a b+>B ．22ab a ba b +<+C ．22ab a ba b +>+D 2aba b>+【答案】ABD【解析】对于选项A ，因为0a b >>，则20>，所以2a b+A 正确；因为0a b >>，所以0a b +>，0ab >，又2a b +>，得到01<<故22ab a ba b +<<+，所以选项B 和D 正确，对于选项C ，取2,1a b ==，满足0a b >>，但243322ab a ba b +=<=+，所以C 错误，故选：ABD.考点三：利用基本不等式求最值例3. （23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（ ）A ．3-B ．3C ．1D ．6【答案】B【解析】()32x x -()213234x x ⎡⎤≤⨯+-=⎣⎦，当且仅当2x x =-，即1x =取得等号，满足题意.故选：B.【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知100x >>，则2的最小值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】A【解析】因为100x >>，故()10x x +-≥5，当且仅当5x =时，等号成立，所以2253≥-=-.故选：A.【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C【解析】因为()2222228T a b a b ab =++++≥++=，当且仅当1a b ==时取等号，所以T 的最小值为8.故选：C.【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数x ，y 满足44x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．2B ．94C ．3D ．83【答案】B【解析】由正数x ，y 满足44x y +=，得111111419(4)()(5)5)4444y x x y x y x y x y +=++=++≥=，当且仅当4y x x y =，即23x =，43y =时取等号，所以11x y +的最小值为94．故选：B【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知0a >，0b >，且a b ab +=，则27ab a b -+的最小值是（ ）A ．6B ．9C ．16D ．19【答案】C【解析】因为a b ab +=且0a >，0b >，所以111a b+=，则()1192722799101016b a ab a b a a b b a b a b a b a b ⎛⎫-+=-++=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9111b aa ba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即当4a =，43b =时，等号成立.因此，27ab a b -+的最小值是16.故选：C.考点四：利用基本不等式证明不等式例4. （23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知0,0,1a b a b >>+=，求证:(1)114a b+≥;(2)12118a b ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）0,0,1a b a b >>+= ，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当ba a b=，即12a b ==时等号成立.（2）0,0,1a b a b >>+= ，12212212()1111a b a b b a ab b a ab +⎛⎫⎛⎫∴++=+++=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭21223434111()a b b a a b a b a b ⎛⎫=++++=++=+++ ⎪⎝⎭3434134888b a b a a b a b =++++=++≥+=+当且仅当34b a ba =时，即3,4ab ==-时等号成立.【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知0a >，0b >，且1a b +=，证明：(1)22221a b +≥；(2)1916a b+≥．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）因为1a b +=，所以()222212a b a b ab ab +=+-=-，因为0a >，0b >，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以11121242ab -≥-⨯=，即2212a b +≥，故22221a b +≥；（2）因为1a b +=，所以()1919910b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为0a >，0b >，所以0b a>，90a b >，所以96b a a b +≥，当且仅当9b a a b =，即334b a ==时，等号成立，则91016b aa b ++≥，即1916a b+≥．【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a ，b ，c 均为正数，求证：()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥⎪+++⎝⎭．【答案】证明见解析【解析】∵a ，b ，c 均为正数，∴()()()0a b b c c a +++++≥>，当且仅当a b b c a c +=+=+，即a b c ==时，等号成立．1110a b b c a c ++≥>+++，当且仅当111a b b c a c==+++，即a b c ==时，等号成立．∴()11129a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥= ⎪+++⎝⎭，故()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥ ⎪+++⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立．【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知,,a b c 是正实数.(1)证明：a b c ++≥(2)若2a b c ++=，证明：11192a b c ++≥.(3)已知,a b 是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】（1）由222()()()a b c a b b c a c ++=+++++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立，即a b c ++≥.（2）由11111()(3)22a b c a b c a b c b c a c a ba b c a b c a a b b c c++++++++=⋅++=⋅++++++119(3(3222)222≥++=⋅+++=，当且仅当23a b c ===时等号成立，则11192a b c ++≥，得证.（3）由222222()()()()(2)()ax by bx ay ab x y xy a b ab xy xy a b ++=+++≥++2()xy a b xy =+=，当且仅当x y =时等号成立，不等式得证.考点五：基本不等式恒成立问题例5. （23-24高一上·贵州安顺·≥数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】Dm ≥恒成立，即5m +≥恒成立.又559≥+=，当且仅当a b =时取等号.故实数m 的最大值为9.故选：D【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知0x >，0y >，且2x y +=．若410x mxy +-≥恒成立，则实数m 的最大值是（）A ．4B ．8C ．3D ．6【答案】A【解析】由410x mxy +-≥，则41828912222x x x x y m xy xy xy y x++++≤===+()9111991542222222221x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫++==+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当922x y y x =，即12x =，32y =时，等号成立.故选：A.【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知0x >，0y >，且9x y xy +=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(],6-∞B ．(],16-∞C ．(],8∞-D ．(],9-∞【答案】B【解析】9x y xy +=，故911x y +=，()91910x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，0x >，0y >，故96x y y x +≥=，当且仅当9x y y x=，即12,4x y ==时取等号，故10616x y +≥+=，x y +最小值是16，由不等式a x y ≤+恒成立可得16a ≤.a 的取值范围是(],16-∞，故选：B.【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意0x >，231xax x ≤++恒成立，则实数a 的取值可以是（ ）A ．15B ．110C ．12D ．13【答案】ACD【解析】因为0x >，所以21113153x x x x x =≤=++++，当且仅当1x x=，即1x =时等号成立，由任意0x >，231xa x x ≤++恒成立， 所以15a ≥，符合条件有15，12，13，故A 、C 、D 对；11015<，故B 错；故选：ACD考点六：基本不等式在实际中的应用例6. （23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形()ABCD AB AD >的周长为4，沿AC 折叠使点B 到点B '位置，AB '交DC 于点P ．研究发现当ADP △的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB 的长度为（ ）A ．54B C ．32D 【答案】B【解析】如图，设AB x =，由矩形()ABCD AB AD >的周长为4，可知(2)AD x =-．设PC a =，则()DP x a =-．,90,APD CPB ADP CB P AD CB '''∠=∠∠=∠=︒= ，,Rt ADP Rt CB P AP PC a '∴∴== ≌．在Rt ADP 中，由勾股定理得222AD DP AP +=，即222(2)()x x a a -+-=，解得222x x a x-+=，所以22x DP x a x-=-=．所以ADP △的面积11222(2)322x S AD DP x x x x -⎛⎫=⋅=-⋅=-+ ⎪⎝⎭．所以33S ≤-=-2x x =时，即当x =时，ADP △的面积最大，面积的最大值为3-B ．【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【答案】当水池设计成底面边长为40m 的正方形时，总造价最低，为198400元．【解析】设池底的一边长为()m 0x x >，则另一边长为48001600m=m 3x x，总造价为y 元，则1600160016001003280160000480y x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯⨯=+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭160000480198400≥+⨯=，当且仅当1600x x=，即40x =时，等号成立，所以当水池设计成底面边长为40m 的正方形时，总造价最低，最低为198400元．【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为2150m 的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m ，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/2m ，中间两道隔墙的造价为248元/2m ，池底造价为80元/2m ，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）【答案】长为时总造价最低．【解析】设处理池的长和宽分别为x ，y ，高为h ，总造价为z ，则150xy =，(016,016)x y <≤<≤，(22)400224815080(8001296)120001200012000z x y h yh x y h =+⨯+⨯+⨯=++≥+=+，当且仅当8001296x y =，又150xy =，即16x =<，16y 时取到等号，故长为时总造价最低．【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．【答案】当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m ．【解析】设()()m 0AB a a =>，上底()()m 0BC b b =>，分别过点,B C 作下底的垂线，垂足分别为,E F ，则BE ，2a AE DF ==，则下底22a aAD b a b =++=+，该等腰梯形的面积())22b a b S a b a ++==+=所以()2300a b a +=，则30022a b a =-，所用篱笆长为2l a b =+300222a a a =+-300322a a =+≥30=，当且仅当300322aa =，即()10m a =，()10mb =时取等号．所以，当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m ．一、单选题1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）221x x+取最小值时x 的取值为（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】B【解析】由题意可知，20x >，∴2212x x +≥=，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，即221x x+取最小值时x 的取值为1±．故选：B ．2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若0x >，0y >，且1x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．1【答案】B【解析】由题意1x y +=≥，解得14≤xy ，等号成立当且仅当12x y ==.故选：B.3．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若0x >，则22y x x=+的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．2【答案】C【解析】因为0x >，所以224y x x =+=≥，当且仅当22x x=，即1x =时等号成立，所以22y x x=+的最小值是4.故选：C.4．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】正数a ，b 满足41a b +=，则11114()2244444)(b a a b a b a a b b +=+=≥++++，当且仅当44b aa b =，即142a b ==时取等号，所以当11,82a b ==时，114a b +取得最小值4.故选：C5．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知0x >，则24-+x x x 的最小值为（ ）A ．5B ．3C ．5-D ．5-或3【答案】B【解析】由0x >，得244113x x x x x -+=+-≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，所以24-+x x x的最小值为3．故选：B.6．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段AB 为半圆的直径，O 为圆心，,C F 为半圆弧上不与,A B 重合的点，OF AB ⊥.作CD AB ⊥于,D DE OC ⊥于E ，设,AD a BD b ==，则下列不等式中可以直接表示CE DF ≤的是（ ）A ．2aba b≤+B 2a b +≤C ．2a b +≤D ．2ab a b ≤+【答案】D【解析】因为,AD a BD b ==，所以,22a b a b OF OC OD +-===，在Rt DOF △中，DF ==又CD AB ⊥，所以CD ===在Rt CDO △中，DE OC ⊥，故ED OC OD DC ⋅=⋅，得到22a bOD DC ED a b OC -⋅===+所以2abCE a b===+，所以CE DF ≤，即2ab a b +，故选：D.二、多选题7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（ ）A ．1x x+的最小值为2B ．(2)x x -的最大值为2C ．22x x -+的最小值为2D ．2272x x ++最小值为2【答案】CD【解析】对于选项A ，当=1x -时，12x x+=-，故A 错误；对于选项B ，()()222211x x x x x -=-+=--+，所以()2x x -的最大值为1，故B错误；对于选项C，122222x x x x -+=+≥=，当且仅当122xx=，即0x =时，等号成立，故C 正确.对于选项D ，222277222222x x x x ++=+-≥=-++，当且仅当22722x x+=+，即22x =时，等号成立，故D 正确.故选：CD.8．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,R a b ∈，且0ab ≠，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ）A ．222a b ab +≥B ．2b a a b+≥C ．2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2D ．22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】由,R a b ∈，则222a b ab +≥，得222a b ab +≥，A 正确；由,R a b ∈，取1,2a b =-=，则1202b a a b +=--<，故B 错误；由于,R a b ∈，则22()024a b a b ab +-⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭，则2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故C 正确；由于2222()0224a b a ba b ++-⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭，故D 正确，故选：ACD ．三、填空题9．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.【答案】9【解析】由1x >，得10x ->，于是21616161119111x x x x x x x -+=+=-++≥=---，当且仅当1611x x -=-，即5x =时取等号，所以2161x x x -+-的最小值为9.故答案为：910．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台.【答案】300【解析】购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++，则平均成本()150112600P x x x x =++≥+=，当且仅当150600x x=，即300x =时，平均成本最低为2万元.故答案为：300.11．（23-24高一上·吉林延边·月考）若x a ∀>，关于x 的不等式225x x a+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】若关于x 的不等式225x x a +≥-恒成立，则min 2(2)5x x a+≥-，因为x a >，故2222()2242x x a a a a x a x a +=-++≥=+--，当且仅当1x a =+时取等，故得425a +≥，解得12a ≥.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题12．（23-24高一上·山东菏泽·月考）（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？（2）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？（3）已知x ，y 是正实数，且4x y +=，求13x y +的最小值．【答案】（1）23；（2）2 ；（3）1+【解析】（1）2113434(43)(3)(43)[3323x x x x x x +--=⨯⨯-≤⨯=，当且仅当343x x =-，即2(0,1)3x =∈时取等号．故(43)x x -取得最大值43时，x 的值为23．（2）2222122311x x x x y x x +-++-+==--2(1)2(1)31x x x -+-+=-3(1)221x x =-++≥+-．（1x >）当且仅当311x x -=-，即1(1,)x =∈+∞时取等号．故函数的最小值为2．（3）x ，R y +∈，()1311313112144y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当y =，即)21x =，(23y =时取等号．∴13x y +的最小值为113．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC 的直角边长为,a b ，且直角三角形ABC 的周长为2.（已知正实数数学31,x y2x y +≤x y =时等号成立）(1)求直角三角形ABC 面积的最大值；(2)求正方形ABDE 面积的最小值.【答案】(1)3-；(2)(43-【解析】（1）由题意得：(22a b =+=2≤=6ab ≤-所以132S ab =≤-a b =时，等号成立，所以直角三角形ABC面积的最大值为3-；（2）因为a b +≤所以21a b =+≤)21≥=，所以(2243S a b =+≥-，当且仅当a b =时，等号成立，所以正方形ABDE 面积的最小值为(43-.。
高一数学基本不等式试题答案及解析
高一数学基本不等式试题答案及解析1.下列各函数中，最小值为的是（）A．B．，C．D．【答案】D【解析】A．可取时，的最小值不可能是2；B．，，当时，的最小值不可能是2；C．由，的最小值大于2；D．由，当且仅当即时等号成立，的最小值为2．故选D．【考点】均值不等式的应用．2.设且,则的最小值为________．【答案】4【解析】由，当且仅当时等号成立．故答案为4．【考点】均值不等式的应用．3.已知都是正实数，函数的图象过（0,1）点，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】【解析】由于函数的图象过（0,1）点，，代入得.【考点】基本不等式的应用.4.当时，函数的最小值为 .【答案】6【解析】由于，所以函数【考点】基本不等式的应用.5.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 .【答案】【解析】由得，则圆心坐标为，∵直线平分圆的周长，即直线过圆心，∴，∴，当且仅当，即时取等号，∴的最小值为.【考点】1、直线与圆的位置关系；2、基本不等式.6.△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义f(M)=(x,y,z)，其中分别表示△MBC，△MCA,△MAB的面积，若，则的最小值为__________________【答案】18【解析】∵，∠BAC=30°，∴，∴=4，∴==1，由知，=，∴=1-=，∴= =≥=18.【考点】平面向量数量积；三角形面积公式；新概念理解；基本不等式7.若正数,满足,则的最小值是（）A．B．C．5D．6【答案】C【解析】由已知得，所以时等号成立）。
【考点】基本不等式在求最值中的应用，注意一正二定三相等8.对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】∵，两边同除，得，要使不等式恒成立，则，，∴，∴k的最小值是1．【考点】基本不等式．9.设实数满足：,则取得最小值时，．【答案】121【解析】∵，∴，上述等号成立的条件依次为：，∴a=1，b=c=10，d=100，a+b+c+d=121．【考点】1、基本不等式；2、不等式的放缩．10.若两个正实数x，y满足＋＝1，并且2x＋y＞m恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】因为且，所以，当且仅当即时取。
新高考数学-基本不等式30题解析
一、多选题1．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知正实数,x y 满足2x y xy +=，则（）A ．16xy ≥B ．29x y +≥C ．6x y +>D ．1831x y+≥-2．（21-22高一下·全国·开学考试）下列不等式一定成立的是（）A ．()21lg lg 04x x x ⎛⎫+≥> ⎝⎭B ．()lgeln 21lg x x x+>>C ．()21012x x x ≥>D ．()1121x x <∈R3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知,a b 均为实数，则()222a b a b ab+++的可能值为（）A ．43B ．34C ．1D ．24．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）若62,63a b ==，则下列不等关系正确的有（）A2B ．114a b+>C ．2212a b +>D ．14ab <5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知位于第一象限的点(),a b 在曲线1x y+=上，则（）A ．()()111a b --=-B ．4ab ≥C ．49a b +≤D ．221223a b +≥6．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知p q ､为函数()lg f x x t =-的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（）A ．222p q +<B ．228p q +>C ．33log log 0p q ⋅<D ．1pq =由图可知，当0t >时，直线设p q <，则01p q <<<，由由()lg 0f q q t =-=，可得lg 对于A 选项，222p q pq +>=对于B 选项，2222p q p ++>对于C 选项，33log log 1p <=对于D 选项，由上可知1pq =故选：CD.7．（2024高三·全国·专题练习）已知x ≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A ．22x y x =+B ．2y =C ．13y x x=-D ．411y x x =-+【答案】ACD号取不到；因为函数－在上单调递增，所以3－≥2；因为x ≥1＋＝＋－2≥4).故选8．（2024高三·全国·专题练习）(多选)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b ＝1，且a 2－c 2＝2，则下列结论正确的是（）A ．a ＜32B ．tan A ＋3tanC ＝0C ．角B 的最大值为3πD ．△ABC 的外接圆面积的最小值为π9．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，在ABC 中,4BC =，且M 点为BC 边的中点，则下列结论正确的有（）A ．设G 是AM 的中点，则0GA GB GC ++=C ．若π3BAC ∠=，则AM 的最小值为D ．若π6BAM ∠=，则AC 边的最小值为2【详解】对于B ，分别在ABM 和ACM △中由正弦定理可得sin sin sin sin AMB BAMAC CM AMC CAM ⎧=⎪⎪∠∠⎨⎪=⎪∠∠⎩，因为2πBM CM AMB AMC ==⎧⎨∠+∠=⎩，则sin sin AB CAMAC BAM ∠=∠，正确；对于C ，在ABC 中，由余弦定理可得2216b c bc +-=，所以22162b c bc bc +=+≥，则16bc ≤，当且仅当4b c ==时取等，又2AB AC AM +=，所以AM AM ===，当且仅当4b c ==时取等，故AM 最大值为对于D ，在ABM 中，由正弦定理可得242πsin 6R==，故ABM 的外接圆圆O 的半径为2R =，则点A 在优弧 BM上运动，则AC 的最小值为2OC R R -=-=-，正确.故选：BD10．（2024·贵州毕节·二模）已知252100a b ==，则下列式子中正确的有（）A ．211a b+=B ．121a b+=C ．8ab >D ．29a b +>【答案】BCD 【分析】由指对互化得到25log 100a =，2log 100b =，进而结合对数运算性质和基本不等式的应用即可求解.【详解】11．（2024·江苏·一模）已知,x y ∈R ，且123x =，124y =，则()A ．y x >B ．1x y +>C ．14xy <D <【答案】ACD 【分析】用对数表示x ，y ，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案．【详解】12．（23-24高一下·安徽宿州·开学考试）若正实数,a b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（）A ．ab 有最大值14B ．122a b->C ．14a b+的最小值是10D【答案】AB 【分析】利用均值不等式和“1”的妙用判断ACD ，由12a b b -=-讨论b 的范围判断B 即可.【详解】选项A ：因为,a b 为正实数，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，所以ab 有最大值14，A 说法正确；选项B ：由1a b +=可得12a b b -=-，因为,a b 为正实数，所以01b <<，1121b -<-<，所以1212222a b b --<=<，B 说法正确；选项C ：由题意可得()14144559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a bb a =，即13a =，23b =时等号成立，所以14a b +的最小值是9，C 说法错误；选项D ：由A 得212a b =++=+≤，误；故选：AB13．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列各函数中，最小值为2的是（）A ．2610y x x =-+B ．3y x =-+C ．1y xx=+D ．2y =14．（23-24高三下·广东·阶段练习）若0a >，0b >，8a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A 4≤B 4+≥C ．2232a b +≥D ．1498a b +≥【详解】15．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）已知0x >，0y >，且24x y +=，则（）A ．ln ln ln2x y +≤B ．248x y +<C ．1294x y +≥D ．324e e x x y-≥16．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）下列函数中，最小值是4的有（）A ．()134x f x x=++B ．()f x =C ．()()31011f x x x x=+<<D ．()f x =则（）A ．413x y +≥B ．9xy ≤C ．2218x y +≤D ．1123x y +≥18．（2024·贵州贵阳·一模）已知0,0a b >>，且2a b +=，则（）A ．22a b+≥B ．112a b+≥C ．22log log 1a b +≤D ．222a b +≥19．（2024·河南信阳·一模）已知正数,m n满足322m n+=，则（）A．12mn≥B．222m n+≥C．32m n+≥D．2,(0,),()2m nm n mnmn-∃∈+∞≥20．（23-24高一上·广东茂名·期中）下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“x ∃∈R ，使20x ax a ++<”是假命题，则实数a 的取值范围为04a ≤≤C ．不等式21x>的解集是(),2-∞D ．设a +∈R ，则24a a+的最小值为4.21．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a ba b >++B ．2ab a b +22．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知0a b >>，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是（）A ．22()(1)a b b +>+B ．11b b a a ->-2223．（23-24高一上·浙江·期末）设正实数,a b满足2a b+=，则（）A．11a b+的最小值为2B．1122a b a b+++的最大值为23C2D．3ab b-的最大值为1424．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知正数,a b 满足()()111a b --=，则下列选项正确的是（）A ．111a b+=B ．25ab b+³C ．4a b +≥D ．228a b +≥25．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知3824a b ==，则a ，b 满足的关系是（）A ．111a b+=B ．112a b+=C ．()()22112a b -+-<D ．()()22112a b -+->26．（23-24高一上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．44ππcos sin 882-=27．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）若,m n 均为正数，且满足22m n +=，则（）A ．mn的最大值为12B ．11m n+的最小值为3+C ．24m n +的最小值为4D ．2mm n+的最小值为1+28．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知0a b >>，下列说法正确的是（）A ．11a b b a+>+B ．2b a a b+>C ．若0c >，则b b ca a c+<D ．若c d >，则a c b d->-29．（23-24高三上·海南·期末）已知0,0a b >>，且4a b ab +-=，则（）A ．3a b +≥B ．104ab <≤或94ab ≥C ．221(1)(1)2a b -+-≤D ．11413a b <+≤或114a b+≥30．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知0,0a b>>，且1a b+=，则（）A．41ab>B．2728a b+≥C．41912a b+≥D2≤。
(完整版)高中不等式试题和答案
不等式一、选择题：1．不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是 A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x <1且x ≠－1}2．直角三角形ABC 的斜边AB ＝2，内切圆半径为r ，则r 的最大值是 A ． 2B ．1C ．22D ．2－13．给出下列三个命题 ①若1->≥b a ，则bba a +≥+11 ②若正整数m 和n 满足n m ≤，则2)(n m n m ≤- ③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1． 当1)()(2121=-+-y b x a 时，圆1O 与圆2O 相切 其中假命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．34．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为 A ．(1，2) B ．(0，1)C ．(1，+∞)D ．(2，+∞)5．如果x ，y 是实数，那么“xy ＜0”是“|x －y |＝|x |＋|y |”的 A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充要条件D ．非充分条件非必要条件6．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c7．已知a 、b 、c 满足c b a <<，且a c <0，那么下列选项中不一定成立的是 A ．a b a c > B ．c b a ()-<0C ．c b a b 22< D ．0)(<-c a ac 8．设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)9．某工厂第一年年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则A ．x ＝2ba + B ．x ≤2b a + C ．x ＞2b a + D ．x ≥2ba + 10．设方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )+2，则A ．f (2)＝f (0)<f (3)B ．f (0)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (0)＝f (2)D ．f (0)<f (3)<f (2)二、填空题：11．对于－1<a <1，使不等式(12)2x ax +<(12)2x +a －1成立的x 的取值范围是_______ ．12．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m ＝ ．(lg2≈0．3010)13．已知{1,0,()1,0,x f x x ≥=-<则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是 ．14．已知a ＞0，b ＞0，且2212b a +=，则的最大值是 ．15．对于10<<a ，给出下列四个不等式 ①)11(log )1(log aa a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aaa a 111++<④aaaa111++>其中成立的是 ．三、解答题：16．(本题满分l2分)设函数f (x )|1||1|2--+=x x ，求使f (x )≥22的x 取值范围．17．（本题满分12分）已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x π=+∈求使()f x 为正值的x 的集合．18．（本题满分14分）⑴已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．19．（本题满分14分）设函数f(x)＝|x－m|－mx，其中m为常数且m<0．⑴解关于x的不等式f(x)<0；⑵试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．20．(本题满分14分)已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2．⑴当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2b；⑵当b>1时，证明对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b；⑶当0<b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件．21．(本题满分14分)⑴设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； ⑵设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明 n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log ．[不等]符号定，比较技巧深参考答案二、填空题11．x ≤0或x ≥2； 12．155；13．]23,(-∞； 14．415．②④ 三、解答题16．解：由于y ＝2x 是增函数，f (x )≥22等价于|x +1|－|x －1|≥32， ① (2)分(i)当x ≥1时，|x +1|－|x －1|＝2。
高三数学基本不等式试题答案及解析
高三数学基本不等式试题答案及解析1. [2014·兰州调研]设x、y、z>0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【答案】C【解析】假设a、b、c都小于2，则a＋b＋c<6.而事实上a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6与假设矛盾，∴a，b，c中至少有一个不小于2.2.若方程有实根,则实数的取值范围是___________.[【答案】【解析】原方程可变为：，【考点】方程及重要不等式.3.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出. （1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.4.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m).【答案】20【解析】利用均值不等式解决应用问题。
设矩形高为y, 由三角形相似得:.5.设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足，的最大值是 _______ ．【答案】8【解析】由已知得，，当且仅当时等号成立,因此最大值为8．【考点】球的性质．6.设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)≥1【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即≥a＋b＋c.所以≥1.7.若,其中为虚数单位,则_________.【答案】【解析】，所以.【考点】复数基本运算.8.已知函数在时取得最小值，则____________.【答案】【解析】由题意得时取得最小值，所以.【考点】重要不等式.9.若（其中，)，则的最小值等于.【答案】.【解析】，因此的最小值等于.【考点】基本不等式10.设均为正实数，且，则的最小值为____________．【答案】16【解析】由，化为，整理为，∵均为正实数，∴，∴，解得，即，当且仅当时取等号，∴的最小值为16，故答案为：16．【考点】基本不等式．11.若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A．a2+b2>2ab B．a+b≥2C．+>D．+≥2【答案】D【解析】对于选项A,a2+b2≥2ab,所以选项A错;对于选项B、C,虽然ab>0,只能说明a、b同号,若a、b都小于0时,选项B、C错;对选项D,∵ab>0,∴>0,>0,则+≥2.故选D.12.若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为() A．B．C．+D．+2【答案】C【解析】圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心坐标为(-1,2),半径为r=2.因为直线被圆截得的弦长为4,所以直线ax-by+2=0过圆心,所以-a-2b+2=0,即a+2b=2,所以+b=1,所以+=(+)(+b)=+1++≥+2=+.当且仅当=,a=b时取等号,所以+的最小值为+.故选C.13.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，.则函数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意可得，当且仅当时“=”成立，所以函数的最小值为，选.【考点】基本不等式，新定义问题.14.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a＋b≥2 B．>C．≥2D．a2＋b2>2ab【答案】C【解析】因为ab>0，所以>0，>0，即≥2 ＝2，所以选C.15.设x，y∈R，a>1，b>1，若a x＝b y＝3，a＋b＝2，则的最大值为() A．B．1C．D．2【答案】B【解析】由a x＝b y＝3得＝log3a，＝log3b，所以＝log3ab≤log3＝log3＝1.16.设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．【答案】－2【解析】因为＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，当且仅当＝，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故＋取得最小值时，a＝－2.17.已知函数f(x)＝4x＋ (x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.【答案】36【解析】∵x>0，a>0，∴f(x)＝4x＋≥2＝4 ，当且仅当4x＝(x>0)即x＝时f(x)取得最小值，由题意得＝3，∴a＝36.18.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．【答案】58【解析】由题意知每台机器运转x年的年平均利润为＝18－(x＋)，而x>0，故≤18－＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．19.设，若，则的最大值为（）A．2B．3C．4D．【答案】B【解析】由得，，∴,又，∴，即，当且仅当，即时取等号，所以. 故.【考点】基本不等式.20.已知当取得最小值时，直线与曲线的交点个数为【答案】2【解析】∵，∴当且仅当，即时，取得最小值8，故曲线方程为时，方程化为；当时，方程化为，当时，方程化为，当时，无意义，由圆锥曲线可作出方程和直线与的图象，由图象可知，交点的个数为2.【考点】基本不等式，直线与圆锥曲线的位置关系.21.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.【答案】当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米.【解析】先将休闲广场的长度设为米，并将宽度也用进行表示，并将绿化区域的面积表示成的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件.试题解析：设休闲广场的长为米，则宽为米，绿化区域的总面积为平方米，6分， 8分因为，所以，当且仅当，即时取等号 12分此时取得最大值，最大值为.答：当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米.14分【考点】矩形的面积、基本不等式22.若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，则或，则排除与；由于恒成立，当且仅当时，取“=”，故错；由于，则，即，所以选.【考点】基本不等式.23.在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且.(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值.【答案】详见解析；直线MN过定点(0,-3),△GMN面积的最大值.【解析】先计算出E、R、G、R′各点坐标，得出直线ER与GR′的方程，解得其交点坐标代入满足椭圆方程即可; 先讨论直线MN的斜率不存在时的情况；再讨论斜率存在时，用斜截式设出直线MN方程.与椭圆方程联立，用“设而不求”的方法通过韦达定理得出b为定值-3或1，又当b=1时，直线GM与直线GN的斜率之积为0，所以舍去.从而证明出MN过定点（0，-3）.最后算出点到直线的距离及MN的距离，得出△GMN面积是一个关于的代数式，由及知：，用换元法利用基本不等式求出△GMN面积的最大值是.试题解析：（Ⅰ）∵，∴， 1分又则直线的方程为① 2分又则直线的方程为②由①②得∵∴直线与的交点在椭圆上 4分（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，设不妨取∴ ,不合题意 5分②当直线的斜率存在时，设联立方程得则7分又即将代入上式得解得或（舍）∴直线过定点 10分∴，点到直线的距离为∴由及知：，令即∴当且仅当时， 13分【考点】1.直线的方程；2.解析几何；3.基本不等式.24.已知不等式2｜x－3｜＋｜x－4｜＜2a．（Ⅰ）若a＝1，求不等式的解集；（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先令，得，再分类去绝对值解不等式；（Ⅱ）设，去绝对值得，根据原不等式解集为空集得，从而求得.试题解析：（Ⅰ）当时，不等式即为，若，则，，舍去；若，则，；若，则，．综上，不等式的解集为．（5分）（Ⅱ）设，则，，，，即的取值范围为．（10分）【考点】含绝对值不等式的解法.25.已知，且满足，则的最小值为【答案】【解析】∵，且满足，∴，=，当且仅当时，的最小值为。
高中不等式试题及答案
高中不等式试题及答案1. 若不等式\(ax^2 + bx + c > 0\)的解集为\((-1, 2)\)，则下列哪个选项是正确的？A. \(a < 0\)且\(b^2 - 4ac < 0\)B. \(a > 0\)且\(b^2 - 4ac > 0\)C. \(a < 0\)且\(b^2 - 4ac > 0\)D. \(a > 0\)且\(b^2 - 4ac < 0\)答案：C2. 如果\(x^2 - 5x + 6 < 0\)，那么\(x\)的取值范围是？A. \(x < 2\)或\(x > 3\)B. \(2 < x < 3\)C. \(x < 3\)或\(x > 2\)D. \(3 < x < 2\)答案：B3. 已知\(a\)和\(b\)是正数，且\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。
A. \(\frac{1}{4}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(1\)D. \(\frac{1}{3}\)答案：A4. 若不等式\(|x - 1| < 2\)成立，求\(x\)的取值范围。
A. \(-1 < x < 3\)B. \(-2 < x < 2\)C. \(-1 < x < 1\)D. \(1 < x < 3\)答案：A5. 已知\(y = x^2 - 4x + 3\)，求\(y\)的最小值。
A. \(-1\)B. \(0\)C. \(3\)D. \(4\)答案：A6. 若不等式\(\frac{x}{x - 1} > 0\)成立，求\(x\)的取值范围。
A. \(x < 0\)或\(x > 1\)B. \(x < 1\)或\(x > 0\)C. \(x < 1\)或\(x > 2\)D. \(x < 0\)或\(x > 2\)答案：A7. 已知不等式\(3x^2 - 6x + 2 > 0\)，求\(x\)的取值范围。
高中数学基本不等式练习题(含答案)
基本不等式【习题1】已知实数且, 则的最小值是.【习题2】若实数且, 则的最小值是, 的最小值是.【习题3】已知满足方程, 当时, 则的最小值为_______.【习题4】已知为实数, 且, 则的最小值为_______.【习题5】已知, , 则的取值范围为 .【习题6】已知, , 则的最小值为.【习题7】若实数满足, 则的范围是.【习题8】的三边成等差, 且, 则的取值范围是．【习题9】已知二次不等式对任意实数恒成立, 则的最小值为___________【习题10】实数满足, 设, 则 .【习题11】非零向量夹角为, 且, 则的取值范围为．【习题12】已知, 且, 若总成立, 则正实数的取值范围是_______.【习题13】正实数满足, 则的最小值为 .【习题14】已知实数满足则的最小值为, 的最小值为.【习题15】已知直线（其中）与圆相交于、两点, 为坐标原点, 且, 则的最小值为 .【习题16】设, 满足, 则的最小值是______．【习题17】已知正实数 , 满足: , 则 的最大值是 .【习题18】已知正数 满足 , 则 的最小值为________.【习题19】已知 , , 且 , 则 的最小值是_______, 此时 _______.【习题20】已知 , 且 , 则 的最小值是 ； 的最大值是 .【习题21】已知实数 , 满足 , 且 , 则 的最小值是 （ ）A. 33B. 26C. 25D. 21【习题22】若实数 满足 , 则 的最小值是 .【习题23】已知实数 , 满足: , 且 , 则 的取值范围是 .【习题24】实数 满足 , 则 的最小值是________.【习题25】已知实数 , 若 , 则 的值域为 .【习题26】设 为正实数, 则 的最小值为 .【习题27】若正数 满足 , 则 的最小值是 .【习题28】若存在正实数 , 使得 , 则实数 的最大值为_________.【习题29】若 , , 则 的最小值为___________.【习题30】已知正数 满足 , 则 的最大值为__________, 当且仅当___________.【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【习题32】已知 , 则 的取值范围为__________.【习题33】已知实数 满足 , 则 的最小值为________, 的最小值为_______.【习题34】已知实数 满足 , 则 的取值范围是________.【习题35】已知 , , 且满足 , 则 的最小值为________.【习题36】已知非负实数 满足 ，则 的最大值.....【习题37】若 , , 则 的最大值为_______.【习题38】设正实数, 则的最小值为（）... A...... B...... C...... D.【习题39】已知均为正数, 且, , 则的最小值为_________.【习题40】设实数且满足, 则使不等式恒成立的的最大值为______.【习题41】若, 且, 则的取值范围是______.【习题42】已知正实数满足, 则的最小值为________.【习题43】已知实数满足, 则的取值范围是_________.【习题44】已知实数满足, 且, 则的最大值为___________.【习题45】若正数满足, 则的最小值为( )A. 1B. 6C. 9D. 16【习题46】若正实数满足, 且不等式恒成立, 则实数的取值范围是. 【习题47】已知为正实数, 若, 则的最小值为.【习题48】若正数满足, 则的最大值为_________.【习题49】若实数和满足,则的取值范围为__________________.【习题50】设, , 则的最小值是.基本不等式（答案）【习题1】已知实数 且 , 则 的最小值是 .【答案】1【习题2】若实数 且 , 则 的最小值是 , 的最小值是 .【答案】 ,【习题3】已知 满足方程 , 当 时, 则 的最小值为_______.【答案】8【习题4】已知 为实数, 且 , 则 的最小值为_______. 【答案】3322+【习题5】已知 , , 则 的取值范围为 . 【答案】]22,22[-【习题6】已知 , , 则 的最小值为 .【习题7】若实数 满足 , 则 的范围是 .【答案】]0,2[-【习题8】 的三边 成等差, 且 , 则 的取值范围是 . 【答案】]7,6(【习题9】已知 二次不等式 对任意实数 恒成立, 则 的最小值为___________【答案】8【习题10】实数 满足 , 设 , 则 . 【答案】85【习题11】非零向量 夹角为 , 且 , 则 的取值范围为 . 【答案】]3,1(【习题12】已知 , 且 , 若 总成立, 则正实数 的取值范围是_______.【答案】),1[+∞【习题13】正实数 满足 , 则 的最小值为 .【答案】36-【习题14】已知实数 满足 则 的最小值为 , 的最小值为 . 【答案】3627+；845【习题15】已知直线 （其中 ）与圆 相交于 、 两点, 为坐标原点, 且 , 则 的最小值为 .【答案】2【习题16】设 , 满足 , 则 的最小值是______. 【答案】332-【习题17】已知正实数 , 满足: , 则 的最大值是 . 【答案】3332+【习题18】已知正数 满足 , 则 的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知 , , 且 , 则 的最小值是_______, 此时 _______. 【答案】212+；2【习题20】已知 , 且 , 则 的最小值是 ； 的最大值是. 【答案】16；413-【习题21】已知实数 , 满足 , 且 , 则 的最小值是 （ ）A. 33B. 26C. 25D. 21【答案】C【习题22】若实数 满足 , 则 的最小值是 .【答案】2【习题23】已知实数 , 满足: , 且 , 则 的取值范围是 . 【答案】]23,12[-【习题24】实数 满足 , 则 的最小值是________. 【答案】224-【习题25】已知实数 , 若 , 则 的值域为 . 【答案】]716,0[【习题26】设 为正实数, 则 的最小值为 .【答案】222-【习题27】若正数 满足 , 则 的最小值是 .【答案】5【习题28】若存在正实数 , 使得 , 则实数 的最大值为_________. 【答案】51 【习题29】若 , , 则 的最小值为___________. 【答案】212- 【习题30】已知正数 满足 , 则 的最大值为__________, 当且仅当___________. 【答案】31；1=x 【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则b b a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知 , 则 的取值范围为__________.【答案】)1,2[--【习题33】已知实数 满足 , 则 的最小值为________, 的最小值为_______.【答案】 , 1【习题34】已知实数 满足 , 则 的取值范围是________.【答案】]3,3[-【习题35】已知 , , 且满足 , 则 的最小值为________. 【答案】223+【习题36】已知非负实数 满足 , 则 的最大值..... 【答案】241+【习题37】若 , , 则 的最大值为_______. 【答案】51【习题38】设正实数 , 则 的最小值为（ ）... A...... B...... C...... D.【答案】A【习题39】已知 均为正数, 且 , , 则 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数 且满足 , 则使不等式 恒成立的 的最大值为______. 【答案】522+【习题41】若 , 且 , 则 的取值范围是______. 【答案】]4,34[ 【习题42】已知正实数 满足 , 则 的最小值为________.【答案】55【习题43】已知实数 满足 , 则 的取值范围是_________. 【答案】9[1,]8【习题44】已知实数 满足 , 且 , 则 的最大值为___________. 【答案】3097【习题45】若正数 满足 , 则 的最小值为( )A. 1B. 6C. 9D. 16【答案】B【习题46】若正实数 满足 , 且不等式 恒成立, 则实数 的取值范围是 .【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知 为正实数, 若 , 则 的最小值为 .【答案】222+【习题48】若正数 满足 , 则 的最大值为_________.【答案】432【习题49】若实数和满足,则的取值范围为__________________. 【答案】]2,1(【习题50】设, , 则的最小值是【答案】24。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。