高考真题第十四篇一元函数的导数及其应用

合集下载

2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析专题04 一元函数导数及其应用(解析版)

专题4 一元函数导数及其应用从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.预测2020年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等.一、单选题1．（2020届山东省烟台市高三上期末）函数sin y x x =+的部分图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题,x ∈R ,设()sin f x x x =+,则()()sin sin f x x x x x -=-+-=-,故函数不具有奇偶性,可排除A 、B ；当02x π>>时,()sin f x x x =+,所以()1cos 0f x x '=+>,则()sin 0f x x ''=-<,即在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()f x 图像向上凸. 故选D2．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）函数sin x xx xy e e -+=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为sin ()x x x xy f x e e -+==+，所以()sin sin ()x xx x x x x x f x e e e e---+----==++，得()()f x f x =--，所以sin x xx xy e e -+=+为奇函数，排除C ；设()sin g x x x =+，'()1cos 0g x x ∴=-≥恒成立，所以在[0,)+∞，()sin g x x x =+单调递增，所以()0sin 00g x ≥+=，故sin 0x xx xy e e-+=≥+在[0,)+∞上恒成立，排除AD ，故选：B.3．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上有极值点，实数a 的取值范围是（） A ．()0,2 B ．()()2,00,2-UC ．()0,4D ．()()4,00,4-U【答案】C 【解析】2()a x a f x x x x -'=-=,由于函数()f x 在(0,2)上有极值点，所以()f x '在(0,2)上有零点.所以02a a >⎧⎪，解得(0,4)a ∈. 故选：D.4．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】根据题意设()()cos f x g x x =，则2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x'+'=，又当02x π<<时，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是偶函数，所以()()()()cos()cos f x f x g x g x x x--===-，所以()g x是偶函数，所以()()4()cos 4cos 4cos cos 4f f x f x f x x x x ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭<→<⇒<⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，又()g x 为偶函数，且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，且定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有||4x π>，解得24x ππ-<<-或42x ππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B.5．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知0.5log 5a =、3log 2b =、0.32c =、212d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从这四个数中任取一个数m ，使函数()32123x mx x f x =+++有极值点的概率为（） A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】B 【解析】f ′（x ）＝x 2+2mx +1，若函数f （x ）有极值点，则f ′（x ）有2个不相等的实数根，故△＝4m 2﹣4＞0，解得：m ＞1或m ＜﹣1，而a ＝log 0.55＜﹣2，0＜b ＝log 32＜1、c ＝20.3＞1，0＜d ＝（12）2＜1，满足条件的有2个，分别是a ，c ，故满足条件的概率p 2142==，故选：B ．6．（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且当2x >时，有()()()()2,11xf x f x f x f ''+>=若，则不等式()12f x x <-的解集是（） A ．(2,3) B ．(),1-∞C ．()()1,22,3⋃D ．()(),13,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】根据题意，设()(2)()g x x f x =-，则()()111g f =-=-，则有(2)(2)g x xf x +=+，(2)(2)g x f x -=--，即有(2)(2)g x g x +=--，故函数()g x 的图象关于(2,0)对称，则有()()311g g =-=，当2x >时，()(2)()g x x f x =-，()(2)()()g x x f x f x '=-'+，又由当2x >时，()()2()x f x f x f x ''+>g ，即当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在区间(2,)+∞为增函数，由1()2f x x <-可得(2)()1x f x -<，即()()13g x g <=， 23x ∴<<，Q 函数()g x 的图象关于(2,0)对称，∴函数()g x 在区间(,2)-∞为增函数，由1()2f x x <-可得(2)()1x f x ->，即()1g x >，此时x 不存在，故选：A ．7．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线10()kx y k k --+=∈R 和曲线E ：325(0)3y ax bx ab =++≠交于112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，123()x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则过点()b a ，可作曲线E 的切线的条数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】直线()10kx y k k R --+=∈过定点()1,1 由题意可知：定点()1,1是曲线()325:03E y ax bx b =++≠的对称中心， 51313a b b a ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以曲线3215:33E y x x =-+，()1,13b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， f′（x ）=22x x - ，设切点M （x 0，y 0），则M 纵坐标y 0=32001533x x -+，又f′（x 0）=2002x x -， ∴切线的方程为：()()322000015y 233x x x x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭又直线过定点113⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()322000011521333x x x x x ⎛⎫∴--+=--- ⎪⎝⎭，得30x ﹣03x -2=0，()()300210xx x --+=，即()()2000120x x x +--=解得：021x =-或故可做两条切线故选C8．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数()()()ln 10f x x a x a a =+-+>,若有且只有两个整数12,x x 使得()10f x >,且()20f x >,则a 的取值范围是( )A ．3ln 30,2+⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()0,2ln 2+C ．3ln 3,2ln 22+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D ．2ln 243ln 3,32++⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】()()()ln 10f x x a x a a =+-+>，()()1'1f x a x=+-，()()1ln111f a a =+-+= 当1a ≤时，函数单调递增，不成立；当1a >时，函数在10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递增；有且只有两个整数12,x x 使得()10f x >,且()20f x >，故()20f >且()30f ≤ 即ln 2220,ln 22a a a +-+>∴<+；ln 33ln 3330,2a a a ++-+≤∴≥ 故选：C . 二、多选题9.(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()g x f x x a =-+只有一个零点，则a 可能取的值有（） A ．2 B ．2- C ．0 D ．1【答案】ABC 【解析】∵()()g x f x x a =-+只有一个零点， ∴函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点，作函数函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩与函数y x a =-的图象如下，结合图象可知，当0a ≤时；函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点；当0a >时，ln(1)y x =-，可得11y x '=-，令111x =-可得2x =，所以函数在2x =时，直线与ln(1)y x =-相切，可得2a =.综合得：0a ≤或2a =. 故选：ABC.10．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数2,0()(1),0x x e mx m x f x e x x -⎧++<=⎨-≥⎩（e 为自然对数的底），若()()()F x f x f x =+-且()F x 有四个零点，则实数m 的取值可以为（） A ．1 B ．e C ．2e D ．3e【答案】CD 【解析】因为()()()F x f x f x =+-，可得()()F x F x =-，即()F x 为偶函数，由题意可得0x >时，()F x 有两个零点，当0x >时，0x -<，()2xf x e mx m -=-+即0x >时，()22xxxxF x xe e e mx m xe mx m =-+-+=-+，由()0F x =，可得20x xe mx m -+=，由(),21xy xe y m x ==-相切，设切点为(),tt te ，x y xe =的导数为(1)x y x e '=+，可得切线的斜率为(1)t t e +，可得切线的方程为(1)()tty te t e x t -=+-，由切线经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得1(1)2t tte t e t ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，解得：1t =或12-（舍去），即有切线的斜率为2e ，故22,m e m e >∴>，故选：CD.11．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，以下几个结论中正确的是（） A ．010x e<C ．00()20f x x +<D ．00()20f x x +>【答案】AC 【解析】函数2()l (),n 0f x x x x x =+>,()ln 12f x x x '∴=++,∵0x 是函数()f x 的极值点，∴()'00f x =，即00ln 120x x ∴++=，120f e e'⎛⎫∴=> ⎪⎝⎭,0,()x f x '→→-∞Q ,010x e∴<<,即A 选项正确,B 选项不正确;()()()2000000000002ln 2l 21n 0f x x x x x x x x x x x +=++==-+++<,即C 正确,D 不正确.故答案为:AC.12．（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B C ．2e D【答案】BCD 【解析】Q 令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x „时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．Q 存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-…， ∴得00()(1)T x T x -…，001x x -„，即012x „，()x g x e a =-Q ；1()2x „， 0x Q 为函数()y g x =的一个零点； Q当12x „时，()0x g x e '=-„， ∴函数()g x 在12x „时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g e⎛=> ⎝Q ，∴要使()g x 在12x „时有一个零点，只需使102g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭„，解得a ，a ∴的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭，故选：BCD ．13．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>. 【答案】BD 【解析】A .函数的的定义域为（0，+∞），函数的导数f ′（x ）22212x x x x-=-+=，∴（0，2）上，f ′（x ）＜0，函数单调递减，（2，+∞）上，f ′（x ）＞0，函数单调递增，∴x ＝2是f （x ）的极小值点，即A 错误；B .y ＝f （x ）﹣x 2x =+lnx ﹣x ，∴y ′221x x =-+-1222x x x-+-=＜0，函数在（0，+∞）上单调递减，且f （1）﹣12=+ln 1﹣1=1>0，f （2）﹣21=+ln 2﹣2= ln 2﹣1<0，∴函数y ＝f （x ）﹣x 有且只有1个零点，即B 正确； C .若f （x ）＞kx ，可得k 22lnx x x +＜，令g （x ）22lnx x x =+，则g ′（x ）34x xlnxx-+-=，令h （x ）＝﹣4+x ﹣xlnx ，则h ′（x ）＝﹣lnx ，∴在x ∈（0，1）上，函数h （x ）单调递增，x ∈（1，+∞）上函数h （x ）单调递减， ∴h （x ）⩽h （1）＜0，∴g ′（x ）＜0， ∴g （x ）22lnxx x=+在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得f （x ）＞kx 恒成立，即C 不正确； D .令t ∈（0，2），则2﹣t ∈（0，2），2+t ＞2，令g （t ）＝f （2+t ）﹣f （2﹣t ）22t =++ln （2+t ）22t ---ln （2﹣t ）244t t =+-ln 22t t+-，则g ′（t ）()22222222222244822241648(4)2(2)(4)4(4)t t t t t t t t t t t t t ----++---=+⋅=+=-+----＜0， ∴g （t ）在（0，2）上单调递减，则g （t ）＜g （0）＝0，令x 1＝2﹣t ，由f （x 1）＝f （x 2），得x 2＞2+t ，则x 1+x 2＞2﹣t +2+t ＝4，当x 2≥4时，x 1+x 2＞4显然成立，∴对任意两个正实数x 1，x 2，且x 2＞x 1，若f （x 1）＝f （x 2），则x 1+x 2＞4，故D 正确故正确的是BD ，故选：BD ．14．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()00f =，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是( )A ．624f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．43f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD 【解析】令()()cos f x g x x =，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'+'=，因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<，所以2()cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x '+'=<在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，因此函数()()cos f x g x x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因此64g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即64cos cos64f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，即624f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错；又()00f =，所以(0)(0)0cos0f g ==，所以()()0cos f x g x x =≤在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，因为ln0,32ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以ln 03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 错；又63g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以63coscos63f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>，即63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；又43g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43coscos43f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>，即43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确；故选：CD.15．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在[)0,π上单调递增C ．()f x 恰有4个极大值点D ．()f x 有且仅有4个极值点【答案】BD 【解析】因为()f x 的定义域为[)2,2ππ-，所以()f x 是非奇非偶函数，()sin cos f x x x x x =+-Q()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x '∴=+--=+，当[)0,x Îp 时，()0f x '>，则()f x 在[)0,p 上单调递增. 显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x=-，分别作出sin y x =，1y x=-在区间[)2,2ππ-上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)2,2ππ-上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)2,2ππ-上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点.故选：BD .16．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1x f x e x =+，则下列命题正确的是（）A ．当0x >时，()()1xf x e x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< 【答案】BCD 【解析】（1）当0x >时，0x -<，则由题意得()()1xf x e x --=-+，∵ 函数()f x 是奇函数，∴ ()00f =，且0x >时，()()f x f x =--()1x ex -=--+()1x e x -=-，A 错；∴ ()()()1,00,01,0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，（2）当0x <时，由()()10xf x e x =+=得1x =-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-=得1x =，∴ 函数()f x 有3个零点1,0,1-，B 对；（3）当0x <时，由()()10xf x e x =+<得1x <-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-<得01x <<，∴ ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 对；（4）当0x <时，由()()1xf x e x =+得()()'2x f x e x =+，由()()'20xf x ex =+<得2x <-，由()()'20x f x e x =+≥得20x -≤<，∴ 函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增， ∴函数在(),0-∞上有最小值()22f e --=-，且()()1xf x ex =+()0011e <⋅+=，又∵ 当0x <时，()()10xf x ex =+=时1x =-，函数在(),0-∞上只有一个零点，∴当0x <时，函数()f x 的值域为)2,1e -⎡-⎣，由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为()221,,1e e --⎤⎡-⋃-⎦⎣()1,1=-， ∴ 对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 对；故选：BCD ．三、填空题17．（2020·全国高三专题练习（文））设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线10x y --=的最小距离为__________．【解析】由题,过点P 作曲线2x y e x =+的切线,则2xy e x '=+,设点()00,P x y ,则002xk e x =+,当切线与直线10x y --=平行时点P 到该直线距离最小,则0021xe x +=,即00x =,所以点P 为()0,1,则点P 到直线10x y --==,18．（2020届山东省滨州市高三上期末）曲线(1)xy x e =+在点(0,1)处的切线的方程为__________．【答案】21y x =+ 【解析】(2)212,21x y x e k y x y x =+∴=∴=='-+Q19．（2020届山东省九校高三上学期联考）直线y x =与曲线()2ln y x m =+相切，则m =__________. 【答案】22ln 2- 【解析】函数()2ln y x m =+的导函数2y x m'=+，设切点坐标00(,)x y ，则()0002ln 21x x m x m=+=+⎧⎪⎨⎪⎩，解得：02ln 2,22ln 2x m ==-. 故答案为：22ln 2-20．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()()()212ln f x a x x =---.若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为________.【答案】24ln 2- 【解析】因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x >恒成立，即对任意的10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2ln 21x a x >--恒成立.令()2ln 21x l x x =--，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()222ln 2'1x x l x x +-=-，再令()22ln 2m x x x =+-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()22212'20x x x xm x ---==+<，故()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=->⎪⎝⎭，从而()'0l x >，于是()l x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22l x l ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，故要使2ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞，综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-.故答案为：24ln 2-21．（2020届山东省泰安市高三上期末）设函数()f x 在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,x x f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],21e -∞- 【解析】由题意可设()xf x e x t -+=，则()xf x e x t =-+，∵()xf f x e x e ⎡⎤-+=⎣⎦，∴()ttf t e t t e e =-+==，∴1t =，∴()1xf x e x =-+，∴()1xf x e '=-，由()()f x f x ax '+≥得11x x e x e ax -++-≥，∴21xe a x≤-对()0,x ∈+∞恒成立，令()21xe g x x =-，()0,x ∈+∞，则()()221'x e x g x x-=，由()'0g x =得1x =，∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增， ∴()()121g x g e ≥=-， ∴21a e ≤-，故答案为：(],21e -∞-．22．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()'22x f x x -=，所以()f x 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2x =是()f x 的极小值点.故A 选项错误.（2）构造函数()()()2ln 0g x f x x x x x x =-=+->，()()2'22x x g x x --+=2217240x x⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=<，所以()g x 在()0,∞+上递减.而()1ln 210g =+>，()2ln 210g =-<，()()120g g ⋅<.所以()g x 有且只有一个零点.故B 选项正确.（3）构造函数()()()2ln 0,0h x f x kx x kx x k x =-=+->>.()2'22kx x h x x-+-=，由于0k -<，22y kx x =-+-开口向下，0x →和x →+∞时，220y kx x =-+-<，即()2'220kx x h x x-+-=<，x →+∞时()0h x <，故不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，C 选项错误.（4）由（1）知，()f x 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 2x =是()f x 的极小值点.由于任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，()()12f x f x =，故1202x x <<<.令211x t x =>，21x tx =.由()()12f x f x =得121222ln ln x x x x +=+，即2121212ln x x x x x x -⋅=，即()11112ln t x t x tx -⋅=⋅，解得()121ln t x t t-=⋅，则()2121ln t t x tx t t -==⋅.所以21222ln t x x t t-+=⋅.要证124x x +>，即证1240x x +->，即证2222224ln 40ln ln t t t t t t t t----=>⋅⋅，由于1t >，所以ln 0t t >，故即证()2224ln 01t t t t -->>①.构造函数()()2224ln 1h t t t t t =--≥（先取1t ≥），()10h =；()'44ln 4h t t t =--，()'10h =；()()''41440t h t t t-=-=>.所以()'h t 在[)1,+∞上为增函数，所以()()''10h t h ≥=，所以()h t 在[)1,+∞上为增函数，所以()()10h t h ≥=.故当1t >时，()0h t >.即证得①成立，故D 选项正确. 故选：BD.23．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()ex x f x =（e是自然对数的底数），则函数()f x 的最大值为______；若关于x 的方程()()22210f x tf x t ++-=⎡⎤⎣⎦恰有3个不同的实数解，则实数t 的取值范围为______. 【答案】1e e 11,2e 2-⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】（1）()f x 的定义域为R ，()'1xx f x e -=，故()f x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减，所以()11f e=是()f x 的极大值也即是最大值.（2）由（1）知()f x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减，最大值为()11f e=. 当0x >时()0f x >，当0x =时，()0f x =，当0x <时，()0f x <. 由()()22210f x tf x t ++-=⎡⎤⎣⎦，即()()2110f x t f x +-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 由上述分析可知()()10,1f x f x +==-有一个解1x .故需()()210,12f x t f x t +-==-有两个不同的解，由上述分析可知1012t e <-<，解得1122e t e -<<.所以实数t 的取值范围是e 11,2e 2-⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：（1）1e ；（2）e 11,2e 2-⎛⎫⎪⎝⎭. 四、解答题24．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+. （3）证明：当1x >-时，()()2sin 22exf x x x <++.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x bx'=-，当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增；当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增；当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减；当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2cos 31x x h x '=+-+. 因为0x ≥，所以(]20,21x ∈+，[]cos 1,1x ∈-，则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+. （3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.由（1）知，()()min 10g x g ==，所以()1ln 0g x x x =--≥，即1ln x x ≥+.当1x >-时，()210x +>，()2sin 1e 0x x +>，则()()22sin sin 1e 1ln 1e xx x x ⎡⎤++≥+⎣⎦，即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥，又()()22sin sin 22e1e xx x x x ++>+，所以()()2sin 22e2ln 1sin 1xx x x x ++>+++，即()()2sin 22exf x x x <++.25．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()32112f x x x ax =-++．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()1f x x =在处有极小值，求函数()f x 在区间32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）210x y -+=；（2）4927. 【解析】（1）当2a =时，321()212f x x x x =-++，2()32f x x x '=-+，所以(0)2f '=，又(0)1f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处切线方程为12y x -=，即210x y -+=. （2）因为2()3f x x x a '=-+，因为函数()1f x x =在处有极小值，所以(1)202f a a '=+=⇒=-，所以2()32f x x x '=-- 由()0f x '=，得23x =-或1x =，当23x <-或1x >时，()0f x '>，当213x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在22,3⎛⎫--⎪⎝⎭，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，因为249327f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，3124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 26．（2019·夏津第一中学高三月考）已知函数()()11ln f x x m x m R x x ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭．（1）当1m >时，讨论()f x 的单调性；（2）设函数()()1m g x f x x-=+，若存在不相等的实数1x ，2x ，使得()()12g x g x =，证明：120m x x <<+．【答案】（1）见解析；（2）详见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.'21()1m m f x x x -=+-2221(1)[(1)]x mx m x x m x x-+----==，因为1m >，所以10m ->，①当011m <-<，即12m <<时，由()0f x '>得1x >或1x m <-，由()0f x '<得11m x -<<，所以()f x 在()0,1m -，()1,+∞上是增函数，在()1,1m -上是减函数； ②当11m -=，即2m =时()0f x '≥，所以()f x 在()0,∞+上是增函数；③当11m ->，即2m >时，由()0f x '>得1x m >-或1x <，由()0f x '<得11x m <<-，所以()f x 在()0,1，()1,m -+∞.上是增函数，在()1,1m -.上是减函综上可知：当12m <<时()f x 在()0,1m -，()1,+∞上是单调递增，在()1,1m -上是单调递减；当2m =时，()f x 在()0,∞+.上是单调递增；当2m >时()f x 在()0,1，()1,m -+∞上是单调递增，在()1,1m -上是单调递减. （2）1()()ln m g x f x x m x x -=+=-，()1mg x x'=-，当0m ≤时，()0g x '> ，所以()g x 在()0,∞+上是增函数，故不存在不相等的实数1x ，2x ，使得()()12 g x g x =，所以0m >.由()()12 g x g x =得1122ln ln x m x x m x -=-，即()2121ln ln m x x x x -=-，不妨设120x x <<，则21210ln ln x x m x x -=>-，要证12m x x <+，只需证211221ln ln x x x x x x -<+-，即证212112ln ln x xx x x x -<-+，只需证2122111ln 1x x x x x x -<+，令211x t x =>，只需证1ln 1t t t -<+，即证10l 1n t t t -->+，令1()ln (1)1t h t t t t -=->+，则222121()0(1)(1)t h t t t t t +'=-=>++，所以()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()(1)0h t h >=，从而10l 1n t t t -->+，故120m x x <<+. 27．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知函数()xf x e ax =-． (1)当0a >时，设函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()1g a ≤； (2)若函数()()212h x f x x =-有两个极值点()1212,x x x x <，证明：()()122h x h x +>．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）()()0xf x e a a '=->，令()0f x '=，解得ln x a =，当ln x a >时，()0f x '>，当ln x a <时，()0f x '<，()()min ln ln f x f a a a a ∴==-，()()ln 0g a a a a a ∴=->，令()()ln 0g x x x x x =->，则()ln g x x '=-，令()0g x '=，解得1x =，∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()()max 11g x g ∴==，()1g x ∴≤，∴当0a >时，()1g a ≤；（2）()212xh x e ax x =--，()x h x e a x '=--，令()xx e a x ϕ=--，则()1xx e ϕ'=-，令()0x ϕ'=，解得0x =，当0x >时，()0x ϕ'>，当0x <时，()0x ϕ'<，()()min 01x a ϕϕ∴==-，又函数()h x 有两个极值点，则10a -<，1a ∴>，且120x x <<，∴当()1x x ∈-∞，时，()h x 单调递增，当()10x x ∈，时，()h x 单调递减，∴当()0x ∈-∞，时，()()1h x h x ≤，又()2,0x -∈-∞，()()21h x h x ∴-≤，()()()()22212222x x h x h x h x h x e e x -∴+≥-+=+-，令()()20xxm x e ex x -=+-≥，则()12x x m x e x e'=--，令()()n x m x '=，则()120xx n x e e'=+-≥， ()n x ∴在[)0,+∞上单调递增，()()()00m x n x n '∴=≥=， ()m x ∴在[)0,+∞上单调递增，()()02m x m ∴≥=，20x >Q ，()222222x x m x e e x -∴=+->，即()()222h x h x -+>，()()122h x h x ∴+>．28．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设函数()()ln 1f x ax bx =++，()()2g x f x bx =-.（1）若1a =，1b =-，求函数()f x 的单调区间；（2）若曲线()y g x =在点()1,ln3处的切线与直线1130x y -=平行. ①求a ，b 的值；②求实数()3k k ≤的取值范围，使得()()2g x k x x >-对()0,x ∈+∞恒成立.【答案】（1）()f x 的单调增区间为()1,0-，单调减区间为()0,+?（2）①23a b =⎧⎨=-⎩②[]1,3k ∈【解析】（1）当1a =，1b =-时，()()()ln 11f x x x x =+->-，则()111'1xx xx f --=++=.当()'0f x >时，10x -<<；当()'0f x <时，0x >；所以()f x 的单调增区间为()1,0-，单调减区间为()0,+?.（2）①因为()()()()22ln 1g x f x bx ax b x x=-=++-，所以()()'121a g x b x ax =+-+，依题设有()()()1ln 111'13g a g =+⎧⎪⎨=⎪⎩，即()ln 1ln 31113a a b a+=⎧⎪⎨-=⎪+⎩. 解得23a b =⎧⎨=-⎩.②()()()2ln 123g x x x x=+--，1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. ()()2g x k x x >-对()0,x ∈+∞恒成立，即()()20g x k x x -->对()0,x ∈+∞恒成立. 令()()()2F x g x k x x =--，则有()()2431'12k x k F x x-+-=+. 当13k ≤≤时，当()0,x ∈+∞时，()'0F x >，所以()F x 在()0,+?上单调递增.所以()()00F x F >=，即当()0,x ∈+∞时，()()2g x k x x >-；当1k <时，当x ⎛∈ ⎝时，()'0F x <，所以()F x在⎛ ⎝上单调递减，故当x ⎛∈ ⎝时，()()00F x F <=，即当()0,x ∈+∞时，()()2g x k x x >-不恒成立. 综上，[]1,3k ∈.29．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数()()245x af x x x a R e=-+-∈. ()Ⅰ若()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围；()Ⅱ设()()x g x e f x =，当m 1≥时，若()()()122g x g x g m +=，且12x x ≠，求证：122x x m +<.【答案】（1）[)2,a e ∈+∞（2）见解析【解析】解：()1 Q ()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数,∴在x R ∈上，()240x af x x e=-+≥'恒成立，即：()42x a x e ≥-∴设()()42x h x x e =- R x ∈ ∴ ()()22x h x x e =-'，∴当(),1x ∈-∞时()0h x '>，∴ ()h x 在(),1x ∈-∞上为增函数， ∴当()1,x ∈+∞时()0h x '<，∴ ()h x 在()1,x ∈+∞上为减函数， ∴ ()()max 12h x h e ==Q ()max42xa x e ⎡⎤≥-⎣⎦∴ 2a e ≥，即[)2,a e ∈+∞ .()2方法一：因为()()245x g x e x x a =-+-，所以()()2'10x g x e x =-≥，所以()g x 在(),-∞+∞上为增函数，因为()()()122g x g x g m +=，即()()()()12g x g m g m g x -=-，()()()()12g x g m g m g x --和同号，所以不妨设12x m x <<,设()()()()22(1)h x g m x g x g m x m =-+->≥，…8分所以()()()222'211m x x h x e m x e x -=---+-，因为2m x x e e -<，()()()()2221122220m x x m m x ----=--≤，所以()'0h x >，所以()h x 在(),m +∞上为增函数，所以()()0h x h m >=，所以()()()()222220h x g m x g x g m =-+->，所以()()()()22122g m x g m g x g x ->-=，所以212m x x ->，即122x x m +<. 方法二：Q ()()()245x x g x e f x x x e a ==-+-()()()122g x g x g m += [)1,m ∈+∞，∴ ()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+- ∴ ()()()1222211224545245x x m x x e x x e m m e -++-+=-+∴设()()245x x x x e ϕ=-+ x R ∈，则()()()122x x m ϕϕϕ+=， ∴ ()()210x x x e ϕ'=-≥ ∴ ()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'=令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞设()()()F x m x m x ϕϕ=++-, ()0,x ∈+∞，∴ ()()()2211m x m x F x m x e m x e +----'=+- Q 0x >∴ 0m x m x e e +->>，()()()22112220m x m x m x +----=-≥ ∴ ()0F x '>， ()F x 在()0,x ∈+∞上递增， ∴ ()()()02F x F m ϕ>=，∴ ()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞令1x m x =-∴ ()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>即：()()()1122m x x m ϕϕϕ-+> 又Q()()()122x x m ϕϕϕ+=，∴ ()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即：()()122m x x ϕϕ-> Q ()x ϕ在x R ∈上递增∴ 122m x x ->，即：122x x m +<得证.30．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数()()2(,)1xf x ae x a Rg x x =--∈=.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当0a >时，若曲线()1:1C y f x x =++与曲线()2:C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值;(3)当1,0a x =≥时，不等式()()1f x kxln x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）24a e =（3）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】(1)()1xf x ae '=-，当0a ≤时，()'0f x <恒成立，()f x 在()-∞+∞，上单调递减，当0a >时，由()'0f x =，解得x lna =-，由于0a >时，导函数()1xf x ae '=-单调递增，故 ()x lna ∈-∞-，，()()0,f x f x '<单调递减， ()()(),,0,x lna f x f x '∈-+∞>单调递增. 综上，当0a ≤时()f x 在()-∞+∞，上单调递减; 当0a >时， ()f x 在()lna -∞-，上单调递减，在,()lna -+∞上单调递增. . (2)曲线11:x C y ae =与曲线222:C y x =存在唯一公切线，设该公切线与12,C C 分别切于点()()12122,,,x x ae x x ，显然12xx ≠.由于12','2xy ae y x ==，所以11222122x x ae x ae x x x -==-，1222212222222x x x x ae x x x -=-=- ， 2122222x x x x ∴-=由于0a >，故20x >，且21220x x =-> 因此11x >，此时()111214(2 1)1x x x x a x e e -==>，设()()1 4()1xx F x x e =>-问题等价于直线y a =与曲线()y F x =在1x >时有且只有一个公共点，又()4(2 )xx F x e-'=，令()'0F x =，解得2x =，则()F x 在()1,2上单调递增，(2,)+∞上单调递减，而()()242,10F F e==，当x →+∞时，()0F x → 所以()F x 的值域为240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故24a e =. (3)当1a =时，()1xf x e x =--，问题等价于不等式()11x e x kxln x --≥+，当0x ≥时恒成立.设()()110()xh x e x kxln x x =---+≥，()00h =，又设()()()' 1 11) 0(xx m x h x e k ln x x x ⎡⎤==--++≥⎢⎥+⎣⎦则()()211'11xm x e k x x ⎡⎤=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦而()'012m k =-. (i)当120k -≥时，即12k ≤时，由于0,1xx e ≥≥，()()2211111112111k x x x x ⎡⎤⎡⎤+≤+≤⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦此时()()'0,m x m x ≥在[0,)+∞上单调递增. 所以()()00m x m ≥=即()'0h x ≥，所以()h x 在[0,)+∞上单调递增所以()()00h x h ≥=，即()110xe x kxln x ---+≥，故12k ≤适合题意.(ii)当12k >时，()'00m <，由于()()21111xm x e k x x ⎡⎤'=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦在[0,)+∞上单调递增，令()20x ln k =>，则()()211'222201ln 21ln 2m ln k k k k k x x ⎡⎤=-+>-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，故在()0,ln 2k 上存在唯一o x ，使()'0o m x =，因此当()00,x x ∈时，()()'0,m x m x <单调递减，所以()()00m x m <=，即()()'0,h x h x ≤在()00,x 上单调递减，故()()00h x h <=，亦即()1 10xe x hxln x ---+<，故12k >时不适合题意，综上，所求k 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 31．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知函数()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为2ln 33-. （1）求a ；（2）讨论函数()()2g x f x x =-(0)x >和2()()21xh x f x x =-+(0)x >的单调性；（3）设12,5a =()1n n a f a +=，求证：1521202n nn a +-<-<(2)n ≥. 【答案】（1）1a = （2）()()2g x f x x =-(0)x >为减函数，2()()12xh x f x x=-+(0)x >为增函数. （3）证明见解析【解析】（1）对()ln(2)f x x a =+求导，得2()2f x x a'=+.因此2(1)2f a'=+.又因为(1)ln(2)f a =+，所以曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线方程为2ln(2)(1)2y a x a -+=-+，即22ln(2)22y x a a a=++-++. 由题意，22ln(2)ln 323a a +-=-+. 显然1a =，适合上式. 令2()ln(2)2a a aϕ=+-+(0)a >，求导得212()02(2)a a a ϕ'=+>++，因此()a ϕ为增函数：故1a =是唯一解.（2）由（1）可知，()ln(21)2g x x x =+-(0),x >2()ln(21)21xh x x x =+-+(0)x >，因为24()202121xg x x x '=-=-<++，所以()()2g x f x x =-(0)x >为减函数. 因为222()21(21)h x x x '=-++240(21)xx =>+，所以2()()12xh x f x x =-+(0)x >为增函数.（3）证明：由12,5a =()()1ln 21n n n a f a a +==+，易得0n a >.15212225n nn nn a a +-<-⇔< 由（2）可知，()()2g x f x x =-ln(21)2x x =+-在(0,)+∞上为减函数. 因此，当0x >时，()(0)0g x g <=，即()2f x x <. 令1(2)n x a n -=≥，得()112n n f a a --<，即12n n a a -<. 因此，当2n ≥时，21121222n n n n a a a a ---<<<⋅⋅⋅<25n=.所以152122n n na +-<-成立.。

专题04 一元函数的导数及其应用(利用导函数研究不等式问题)(选填压轴题)试题含解析

专题04一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题）目录①构造()()n F x x f x =或()()n f x F x x =(n Z ∈，且0n ≠)型........................1②构造()()nx F x e f x =或()()nx f x F x e=(n Z ∈，且0n ≠)型.......................2③构造()()sin F x f x x =或()()sin f x F x x=型....................................3④构造()()cos F x f x x =或()()cos f x F x x =型 (4)⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数 (5)①构造()()n F x x f x =或()()n f x F x x =(n Z ∈，且0n ≠)型②构造()()nx F x e f x =或()()nx f x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型1．（2023春·安徽合肥·高二合肥工业大学附属中学校联考期末）设函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，且满足()()1f x f x >'+，()02023f =，则不等式()e e 2022x x f x -->+（其中e 为自然对数的底数）的解集是（）③构造()()sin F x f x x =或()()sin f x F x x =型④构造()()cos F x f x x =或()()cos f x F x x =型⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数1．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '．若对任意x ∈R 有()1f x '>，()()110f x f x ++-=，且()02f =-，则不等式()11f x x ->-的解集为（）A ．()0,∞+B ．()1,+∞C ．()2,+∞D ．()3,+∞专题04一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题）目录①构造()()n F x x f x =或()()n f x F x x =(n Z ∈，且0n ≠)型........................1②构造()()nx F x e f x =或()()nx f x F x e=(n Z ∈，且0n ≠)型.......................6③构造()()sin F x f x x =或()()sin f x F x x=型....................................9④构造()()cos F x f x x =或()()cos f x F x x =型..................................13⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数 (17)①构造()()n F x x f x =或()()n f x F x x =(n Z ∈，且0n ≠)型②构造()()nxF x e f x =或()()nx f x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型则函数()g x 为增函数，且(1)e (1)2e g f =⋅=，则不等式e ()2e x f x >即为()()1g x g >，所以1x >.故答案为：()1,+∞③构造()()sin F x f x x =或()()sin f x F x x =型④构造()()cos F x f x x =或()()cos f x F x x =型⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数。

专题4 一元函数导数及其应用(含答案解析)

专题4一元函数导数及其应用从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.预测2020年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（）A ．1(,)3+∞B ．1(,3-∞C ．1[,)3+∞D ．1(,3-∞2．（2020·山东高三下学期开学）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（）A ．y x=-B ．2y x =-+C ．y x=D ．2y x =-3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则()A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为1254．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数()()()2sin xx e e x f x x eππ-+=-≤≤的图象大致为()A ．B ．C ．D ．5．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则()A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A ．函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内单调递增B ．当2x =-时，函数()y f x =取得极小值C ．函数()y f x =在区间()2,2-内单调递增D ．当3x =时，函数()y f x =有极小值7．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则()A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多选题8．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设函数()()ln ,01,0x x x f x e x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零，则实数b 可取的值可能是()A ．0B ．12C ．1D ．29．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =--(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B ．2C ．2e D ．10．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（）A ．MB ．当M 最小时，2125x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，265x =三、填空题11．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a =12．（2020届山东省烟台市高三模拟）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．13．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．14．（2020·山东高三模拟）已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则2m a +=________.15．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）若函数()()1,f x a nx a R =∈与函数()g x =共点处有共同的切线，则实数a 的值为______．16．（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.17．（2020届山东省淄博市高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02xf x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.四、解答题18．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()1xf x x ae =-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，设1210,0x x -<<>且()()125f x f x +=-，证明：12124x x e->-+．19．（2019·宁德市高级中学高三月考（理））已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2)e x ﹣x .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.20．（2020·山东高三模拟）已知函数()21()1ln ()2f x m x x m =--∈R .（1）若1m =，求证：()0f x ≥.（2）讨论函数()f x 的极值；（3）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.21．（2020届山东省高考模拟）已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，当a ≥()()21f x f x -的最大值.22．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知函数()()()1xf x ax e a R =-∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在一个正实数a ，满足当x ∈R 时，()1f x ≤恒成立，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.23．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知函数()cos sin xf x e x x x =-，()sin x g x x =-，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．24．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知函数()ln ,f x x x kx k R =+∈.（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式2()f x x x ≤+恒成立，求k 的取值范围；（3）求证：当*n N ∈时，不等式()2212ln 4121ni n ni n =-->+∑成立.25．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.(1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点;(2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点.26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知函数()2ln f x x ax =-，a R ∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =-时，令2()()g x x f x =-，其导函数为()g x '，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断122x x +是否为()g x '的零点？并说明理由.27．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知2()2ln(2)(1)f x x x =+-+，()(1)g x k x =+．（1）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（2）若存在01x >-，使得当()01,x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.28．（2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中，11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.29．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知函数()()2ln 12a f x x x xb =---，,R a b ∈.（1）当-1b =时，讨论函数()f x 的零点个数；（2）若()f x 在()0,∞+上单调递增，且2a b c e +≤求c 的最大值.30．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =-.（Ⅰ）若3,2a b ==，求()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '<．31．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知函数()22()xf x e ax x a =++在1x =-处取得极小值.（1）求实数a 的值；（2）若函数()f x 存在极大值与极小值，且函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.（参考数据：e 2.718≈2.236≈）32．（2020·山东高三下学期开学）已知函数()ln 1f x x x =-，()()22g x ax a x =--.（1）设函数()()()H x f x g x '=-，讨论()H x 的单调性；（2）设函数()()()2G x g x a x =+-，若()f x 的图象与()G x 的图象有()11A x y ，，()22B x y ，两个不同的交点，证明：()12ln 2ln 2x x >+.33．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-ag x x x x，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =.（1）讨论()f x 的单调性（2）求实数0x 和a 的值（3）证明()*11ln(21)2=>+∈nk n n N 34．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知函数()()20f x lnx ax x a =--+≥．()1讨论函数()f x 的极值点的个数；()2若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12322f x f x ln +>-．专题4一元函数导数及其应用从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.预测2021年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（）A ．1(,)3+∞B ．1(,3-∞C ．1[,)3+∞D ．1(,3-∞【答案】C 【解析】若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，只需2320y x x m '=++≥恒成立，即141203m m =-≤∴≥ ，．故选：C ．2．（2020·山东高三下学期开学）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（）A ．y x =-B ．2y x =-+C ．y x=D ．2y x =-【答案】A 【解析】因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.故选：A3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则()A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为125【答案】B 【解析】由题意，()()221212M x x y y =-+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点与直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方.ln 2y x x =-+，得11y x'=-，与直线242ln 20x y +--=平行的直线斜率为12-，令1112x -=-，解得2x =，所以切点的坐标为()2ln 2，切点到直线242ln 20x y +--=的距离5d ==即()()221212M x x y y =-+-的最小值为45.故选：B4．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数()()()2sin xx ee xf x x eππ-+=-≤≤的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()f x f x -=-，则函数()f x 的图像关于坐标原点对称，据此可排除B 选项，考查函数()x x g x e e -=+，则()()21'x x x xe g x e e e--=-=，当0x >时，()g x 单调递增，则344g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此有：344f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此可排除C 选项；当0πx <<时，0,sin 0x x e e x -+>>，则()0f x >，据此可排除D 选项；本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．5．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则()A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】由奇函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥，以及当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，由()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数．因为()()()g x f x xf x ''=+，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<．故0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减．因为()331log log 44g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2303232221log 4--<<=<所以233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B ．6．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A ．函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内单调递增B ．当2x =-时，函数()y f x =取得极小值C ．函数()y f x =在区间()2,2-内单调递增D ．当3x =时，函数()y f x =有极小值【答案】BC 【解析】对于A ，函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内有增有减，故A 不正确；对于B ，当2x =-时，函数()y f x =取得极小值，故B 正确；对于C ，当()2,2x ∈-时，恒有()0f x '>，则函数()y f x =在区间()2,2-上单调递增，故C 正确；对于D ，当3x =时，()0f x '≠，故D 不正确.故选：BC7．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则()A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】由奇函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥，以及当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，由()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数．因为()()()g x f x xf x ''=+，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<．故0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减．因为()331log log 44g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2303232221log 4--<<=<所以233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B ．二、多选题8．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设函数()()ln ,01,0x x x f x e x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零，则实数b 可取的值可能是()A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】BC 【解析】由题意，函数()()g x f x b =-有三个零点，则函数()()0g x f x b =-=，即()f x b =有三个根，当0x ≤时，()()1xf x ex =+，则()()()12x x x e x e x x e f =++=+'由()0f x '<得20x +<，即2x <-，此时()f x 为减函数，由()0f x '>得20x +>，即20x -<≤，此时()f x 为增函数，即当2x =-时，()f x 取得极小值()212f e-=-，作出()f x 的图象如图：要使()f x b =有三个根，则01b <≤，则实数b 可取的值可能是12，1故选：BC9．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()xg x e a =--(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B ．2C ．2e D ．【答案】BCD 【解析】令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x '='-<，()T x ∴在(],0-∞上单调递减，()T x ∴在R 上单调递减．存在0{|()(1)}x x T x T x ∈- ，∴得00()(1)T x T x - ，001x x - ，即012x，()x g x e a =-- ；1(2x，0x 为函数()y g x =的一个零点；当12x时，()0x g x e '= ，∴函数()g x 在12x 时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g e⎛=> ⎝，∴要使()g x 在12x时有一个零点，只需使102g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2a ，a ∴的取值范围为,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭，故选：BCD ．10．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（）A ．MB ．当M 最小时，2125x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，265x =【答案】BC 【解析】由111ln 20x x y --+=，得：111ln 2y x x =-+，()()221212x x y y -+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方，由ln 2y x x =-+得：11y x'=-，与直线242ln 20x y +--=平行的直线的斜率为12-，则令1112x -=-，解得：2x =，∴切点坐标为()2,ln 2，()2,ln 2∴到直线242ln 20x y +--=的距离5d ==.即函数ln 2y x x =-+上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值为5.()()221212M x x y y ∴=-+-的最小值为245d =，过()2,ln 2与242ln 20x y +--=垂直的直线为()ln 222y x -=-，即24ln 20x y --+=.由242ln 2024ln 20x y x y +--=⎧⎨--+=⎩，解得：125x =，即当M 最小时，2125x =.故选：BC.三、填空题11．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a =【答案】3【解析】设切点为（x 0，y 0），由题意可得：曲线的方程为y ＝ln （x+a ），所以y '＝1x a+．所以k 切＝01x a+＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），解得：y 0＝0，x 0＝﹣2，a ＝3．故答案为3．12．（2020届山东省烟台市高三模拟）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．【答案】(1,)+∞【解析】设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e -=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增．∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞13．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】2-【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得()()1'4cos 1cos 2f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，从而确定出函数的单调区间，减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，确定出函数的最小值点，从而求得33sin ,sin222x x =-=-代入求得函数的最小值.详解：()()21'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+-⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，函数的增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,3x k k Z ππ=-∈时，函数()f x 取得最小值，此时sin ,sin222x x =-=-，所以()min 2222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案是2-.14．（2020·山东高三模拟）已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则2m a +=________.【答案】0【解析】()1ln f x x '=+，(1)1f '=，(1)2f a =-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，()ln 1f x x x =+，1()ln g x x x =+，22111()x g x x x x-'=-=.当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>.故函数()()f x g x x=的最小值(1)1g =，所以1,20m m a =+=.故答案为:0.15．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）若函数()()1,f x a nx a R =∈与函数()g x =共点处有共同的切线，则实数a 的值为______．【答案】2e 【解析】函数()ln f x a x =的定义域为()0,+∞，()af x x '=，()g x '=设曲线()ln f x a x =与曲线()g x =()00,x y ，由于在公共点处有共同的切线，∴0a x =，解得204x a =，0a >．由()()00f x g x =，可得0ln a x =联立2004x a alnx ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2e a =．故答案为：2e．16．（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.【答案】3227π【解析】由题意，设小圆柱体底面半径为cos θ，则高为1sin 0,2πθθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，小圆柱体体积()2cos 1sin V πθθ=⋅⋅+，设()sin 0,1t t θ=∈，，则()()()232111V tt tt t ππ=⋅-+=⋅--++则()()()2321311V t t t t ππ'=⋅--+=⋅-++当13t =时，max 3227V π=故答案为：3227π17．（2020届山东省淄博市高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02xf x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.【答案】,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】依题意，()()()cos cos 22x xf x f x --=--+，令()()cos 2xg x f x =-，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数()()()cos sin 022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣⎦，故函数()g x 在R 上单调递减，则()()()()()cos cos 0022x xf x f x f x f x πππ+++≤⇒+-+-≤()()()()()0g x g x g x g x g x ππ⇔++≤⇔+≤-=-，即x x π+≥-，故2x π≥-，则x 的取值范围为,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题18．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()1xf x x ae =-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，设1210,0x x -<<>且()()125f x f x +=-，证明：12124x x e->-+．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）()1xf x ae ='+，当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增．当0a <时，令()0f x '>，得1ln x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0f x '<，得1ln x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）证明：（法一）设()()231xg x f x x e x =+=-+-，则()3xg x e =-+'，由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <，故()()max ln33ln340g x g ==-<从而得()()20g x f x x =+<，()()()()1222125,2520f x f x f x x f x x +=-∴+=--+< ，即12124x x e->-+．（法二）()()1212125,3xxf x f x x e e x +=-∴=+-- ，12122233x x x x e e x ∴-=+--，设()3xg x e x =-，则()3xg x e '=-，由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <，故()()min ln333ln3g x g ==-．1210,0x x -< ，1121233ln33ln3x x e e-∴->+-=-，3ln3ln274=< ，12124x x e ∴->-+．19．（2019·宁德市高级中学高三月考（理））已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2)e x ﹣x .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(0,1).【解析】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121xx x x f x aea e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减.（ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+.①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<.又()()4222e2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln 1ln a a ⎛⎫->-⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为()0,1.20．（2020·山东高三模拟）已知函数()21()1ln ()2f x m x x m =--∈R .（1）若1m =，求证：()0f x ≥.（2）讨论函数()f x 的极值；（3）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.【解析】（1）1m =，()21()1ln (0)2f x x x x =-->，211()x f x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴min ()(1)0f x f ==，故()0f x ≥.（2）由题知，0x >，211()mx f x mx x x -'=-+=，①当0m ≤时，21()0mx f x x-'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；②当0m >时，21()0mx f xx-'==，得x =，当x⎛∈ ⎝时，()0f x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0f x '>，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭上单调递增.故()f x 在x=111ln 222f m m =+-，无极大值.（3）不妨令11111()x x x e xh x x e xe----=-=，设11(),(1,),()10x x u x e x x u x e --'=-∈+∞=->在(1,)+∞恒成立，()u x 在[1,)+∞单调递增，()(1)0u x u ∴>=，10x e x -∴-≥在(1,)+∞恒成立，所以，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（2）知，当0,1m x ≤>时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；所以不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >.当01m <<1>，由（1）知()f x 在⎛ ⎝上单调递减，所以(1)0f f<=，不满足题意.当m 1≥时，设()21111()1ln 2x F x m x x x e-=---+，因为1,1m x ≥>，所以11111,1,01,10x x x mx x e e e---≥><<-<-<，322122111111()1x x x x F x mx x x x e x x x---+'=-++->-++-=，即()22(1)1()0x x F x x--'>>，所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在m 1≥，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，此时m 的最小值是1.21．（2020届山东省高考模拟）已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，当a ≥()()21f x f x -的最大值.【答案】（1）当4a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当4a >时，()f x 在160,4a ⎛- ⎪⎝⎭，,4a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在,44a a ⎛+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）12e e-+【解析】（1）由2()2ln f x x ax x =-+得2()2f x x a x'=-+；因为0x >，所以224x x+≥；因此，当4a ≤时，2()20f x x a x'=-+≥在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当4a >时，由2()20f x x a x '=-+>得2220x ax -+>，解得164a a x >或1604a a x <<；由2()20f x x a x '=-+<得161644a a x -+<<；所以()f x在0,4a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在,44a a ⎛-+⎝⎭上单调递减；综上，当4a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当4a >时，()f x在0,4a ⎛- ⎪⎝⎭，,4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在,44a a ⎛-+⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，由（1）可得，12,x x 是方程2220x ax -+=的两不等实根，所以122ax x +=，121x x =，因此()()2221222111(2ln )(2ln )f x f x x ax x x ax x -=-+--+222222211212122222211212()()2ln2ln 2ln x x x x x x x x x x x x x x x -++=-+=-+=+-，令22t x =，则2222222111()()2ln 2ln f x f x t t x x x t-=-+=-+；由（1）可知24a x =，当a ≥24x a +=≥=，所以[)22,e t x ∈=+∞，令1()2ln g t t t t=-+，[),t e ∈+∞，则222221221(1)()10t t t g t t t t t-+-'=--+=-=-<在[),t e ∈+∞上恒成立；所以1()2ln g t t t t=-+在[),t e ∈+∞上单调递减，故max 1()()2g t g e e e==-+.即()()21f x f x -的最大值为12e e-+.22．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知函数()()()1xf x ax e a R =-∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在一个正实数a ，满足当x ∈R 时，()1f x ≤恒成立，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）0a =时，()f x 的增函数区间为(),-∞+∞，无减函数区间；0a >时，()f x 的增函数区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减函数区间为1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；0a <时，()f x 的增函数区间为1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减函数区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）存在，1.【解析】（1）函数()(),1xx R f x ax e ∈=-的定义域为R ，()()()11x x x f x ae ax e e ax a '=-+-=-+-①若()()0,,xa f x e f x ==在(),-∞+∞上为增函数；②若0a >，∵0x e >，∴当1a x a -<时，()0f x '>；当1ax a->时，()0f x '<；所以()f x 在1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上为增函数，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数；③若0a <，∵0x e >，∴当1a x a -<时，()0f x '<；当1ax a->时，()0f x '>；所以()f x 在1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为增函数综上可知，0a =时，()f x 的增函数区间为(),-∞+∞，无减函数区间；0a >时，()f x 的增函数区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减函数区间为1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；0a <时，()f x 的增函数区间为1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减函数区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）由（1）知，0a >时，()f x 的最大值为11aaa f aea --⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意实数x ，()1f x ≤恒成立，只须使11a aae -≤即可.又因为0a >，所以不等式11a aae -≤等价于：1ln 0aaae-⎛⎫≤⎪⎝⎭，即：1ln 0aa a-+≤，设()()1ln 0ag a a a a -=+>，则()()22111a a a g a a a a----'=+=，∴当01a <<时，()'0g a <；当1a >时，()0g a '>所以，()g a 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，∴当01a <<时，()()10g a g >=，不等式1ln 0aa a-+≤不成立，当1a >时，()()10g a g >=，不等式1ln 0aa a -+≤不成立，当1a =时，()()10g a g ==，不等式1ln 0aa a-+≤成立，∴存在正实数a 且1a =时，满足当x ∈R 时，()1f x ≤恒成立.23．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知函数()cos sin xf x e x x x =-，()sin xg x x =-，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．【答案】（Ⅰ）)1,++∞；（Ⅱ）证明见解析．【解析】（Ⅰ）由题意，12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，等价于[]1max 2max ()()f x mg x ≤+．1分()(cos sin )(sin cos )()cos (1)sin x x x f x e x x x x x e x x e x =----+'+=，当π[,0]2x ∈-时，()0f x '>，故()f x 在区间π[0,]2上单调递增，所以0x =时，()f x 取得最大值1．即max ()1f x =又当π[0,]2x ∈时，()cos xg x x =-'，()sin 0xg x x '-'=-<所以()g x '在π[0,]2上单调递减，所以()()010g x g ≤=-'<'，故()g x 在区间π[0,2上单调递减，因此，0x =时，max ()(0)g x g ==．所以1m ≤，则1m ≥+．实数m的取值范围是)1,++∞．（Ⅱ）当1x >-时，要证，只要证e cos sin sin 0x x x x x x -->，即证(()ecos 1sin xx x x +>+，由于cos 0,10x x +>+>，只要证e 1x x >+．下面证明1x >-时，不等式e 1x x >+令()()e11xh x x x =>-+，则()()()()22e 1e e 11x xxx x h x x x =+'+-=+，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以当且仅当0x =时，()h x 取最小值为1．法一：k =cos sin k x x =，即sin cos x k x -=，即sin()x ϕ-=1≤，即11k -≤≤，所以max 1k =，而()()min01h x h ==，但当0x =时，()010k h =<=；0x ≠时，()1h x k>≥所以，maxmin e 1x x ⎛⎫> ⎪+⎝⎭，即e 1x x >+综上所述，当1x >-时，成立．法二：令()x ϕ=()cos ,sin A x x与点()B 连线的斜率k ，所以直线AB的方程为：(y k x =+，由于点A 在圆221x y +=上，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切，当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时，直线AB 取得斜率k 的最大值为1．而当0x =时，()(0)010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥．所以，minmax ()()h x x ϕ>，即e 1x x >+综上所述，当1x >-时，成立．法三：令()x ϕ=()x ϕ'=，当32,()4x k k N ππ=+∈时，()x ϕ取得最大值1，而()()min01h x h ==，但当0x =时，()()0010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，minmax ()()h x x ϕ>，即e 1x x >+综上所述，当1x >-时，成立．24．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知函数()ln ,f x x x kx k R =+∈.（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式2()f x x x ≤+恒成立，求k 的取值范围；（3）求证：当*n N ∈时，不等式()2212ln 4121ni n n i n =-->+∑成立.【答案】（1）(1)1y k x =+-（2）k 2≤（3）证明见解析【解析】（1）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，()1ln f x x k '=++，(1)1f k '=+，∵(1)f k =，∴函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y k k x -=+-，即(1)1y k x =+-.（2）由2()f x x x ≤+，()ln f x x x kx =+，则2ln x x kx x x +≤+，即ln 1x k x +≤+，设()ln 1g x x x k =-+-，1()1g x x'=-，()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，∵不等式2()f x x x ≤+恒成立，且0x >，∴ln 10x x k -+-≤，∴max ()(1)20g x g k ==-≤即可，故k 2≤.（3）由（2）可知：当2k =时，ln 1x x ≤-恒成立，令2141x i =--，由于*i N ∈，21041i >-.故，2211ln 14141i i <---，整理得：()221ln 41141i i ->--，变形得：()21ln 411(21)(21)i i i ->-+-，即：()211ln 41122121i i i ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭1,2,3,,i n = 时，11ln31123⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，11ln51123⎛⎫>-- ⎪⎝⎭……，()2111ln 41122121n n n ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭两边同时相加得：()22211122ln 4112212121ni n n ni n n n n =-⎛⎫->--=> ⎪+++⎝⎭∑，所以不等式在*n N ∈上恒成立.25．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.(1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点;(2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)设()()112cos g x f x x x'==-+，当()0,x π∈时，()212sin 0g x x x'=--<，所以()g x 在()0,π上单调递减，又因为31103g ππ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，2102g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭所以()g x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点α，所以命题得证．(2)①由(1)知：当()0,x α∈时，()0f x '>，()f x 在()0,α上单调递增;当(),x απ∈时，()0f x '<，()f x 在(),απ上单调递减;所以()f x 在()0,π上存在唯一的极大值点32ππαα⎛⎫<<⎪⎝⎭所以()ln 2202222f f ππππα⎛⎫>=-+>-> ⎪⎝⎭又因为2222111122sin 220f e e e e ⎛⎫=--+<--+<⎪⎝⎭所以()f x 在()0,α上恰有一个零点．又因为()ln 20fππππ=-<-<所以()f x 在(),απ上也恰有一个零点．②当[),2x ππ∈时，sin 0x ≤，()ln f x x x ≤-设()ln h x x x =-，()110h x x'=-<所以()h x 在[),2ππ上单调递减，所以()()0h x h π≤<所以当[),2x ππ∈时，()()()0f x h x h π≤≤<恒成立所以()f x 在[),2ππ上没有零点．③当[)2,x π∈+∞时，()ln 2f x x x ≤-+设()ln 2x x x ϕ=-+，()110x xϕ'=-<所以()x ϕ在[)2,π+∞上单调递减，所以()()20x ϕϕπ≤<所以当[)2,x π∈+∞时，()()()20f x x ϕϕπ≤≤<恒成立所以()f x 在[)2,π+∞上没有零点．综上，()f x 有且仅有两个零点．26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知函数()2ln f x x ax =-，a R ∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =-时，令2()()g x x f x =-，其导函数为()g x '，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断122x x +是否为()g x '的零点？并说明理由.【答案】（Ⅰ）当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在2(0,)a 单调递增，在2(,)a+∞上单调递减.（Ⅱ）不是，理由见解析【解析】（Ⅰ）依题意知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()2f x a x'=-,（1）当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增.（2）当0a >时，由()0f x '=得：2x a=，则当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>；当2,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<.所以()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（Ⅱ）122x x +不是导函数()g x '的零点.证明如下：当1a =-时，()()222ln g x x f x x x x =-=--.∵1x ，2x 是函数()g x 的两个零点，不妨设120x x <<，22111111222222222ln 02ln 2ln 02ln x x x x x x x x x x x x ⎧⎧--=-=∴⇒⎨⎨--=-=⎩⎩，两式相减得：()()()12121212ln ln x x x x x x -+-=-即：()1212122ln ln 1x x x x x x -+-=-，又()221g x x x-'=-.则()()()121212121212*********ln ln 24421ln ln 2x x x x x x g x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+⎛⎫=+--=-=--'⎢⎥⎪+-+-+⎝⎭⎣⎦.设12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<，令()()21ln 1t t t t ϕ-=-+，()()()()22211411t t tt t t ϕ-=-=+'+.又01t <<，∴()0t ϕ'>，∴()t ϕ在()0,1上是増函数，则()()10t ϕϕ<=，即当01t <<时，()21ln 01t t t --<+，从而()()1212122ln ln 0x x x x x x ---<+，又121200x x x x <<⇒-<所以()()1212121222ln ln 0x x x x x x x x ⎡⎤--->⎢⎥-+⎣⎦，故1202x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭'，所以122x x +不是导函数()g x '的零点.27．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知2()2ln(2)(1)f x x x =+-+，()(1)g x k x =+．（1）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（2）若存在01x >-，使得当()01,x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(,2)-∞【解析】（1）证明：当2k =时，()2(1)g x x =+。

一元函数的导数及其应用(利用导函数研究切线,单调性问题)(选填压轴题)(原卷版)高考数学高分必刷题

专题03一元函数的导数及其应用（利用导函数研究切线，单调性问题）（选填压轴题）一、切线问题①已知切线几条求参数②公切线问题③和切线有关的其它综合问题二、单调性问题①已知单调区间求参数②由函数存在单调区间求参数③已知函数在某区间上不单调求参数④利用函数的单调性比大小一、切线问题①已知切线几条求参数1．（2022·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（）A ．ln a b <B ．lnb a<C ．ln b a<D ．ln a b<【答案】D设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x'=，因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，001ln ab x x +=+，设()ln a f x x x =+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x =+有两个不同的交点，221()a x af x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意；当0a >时，0x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，结合图像知1ln 1b a +>+，即ln b a >.故选：D.2．（2022·山东泰安·高二期中）过曲线()3:C f x x ax b =-+外一点()1,0A 作C 的切线恰有两条，则（）A ．a b =B ．1a b -=C ．1b a =+D ．2a b=【答案】A()23f x x a '=-，过点()1,0A 作曲线C 的切线，设切点()()00,x f x ，则切线方程为：()()2031y x a x =--，将()()00,x f x 代入得：()()()230000031f x x a x x ax b=--=-+即3200230x x a b -+-=（*）由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令()3223u x x x a b =-+-，()()26661u x x x x x '=-=-，显然有两个极值点0x =与1x =，于是()00u =或()10u =当()00u =时，a b =；当()10u =时，1a b -=，此时()()()32111f x x ax a x x x a =-+-=-++-经过()1,0与条件不符，所以a b =，故选：A.3．（2022·河南洛阳·三模（理））若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．{}0,1【答案】C由已知，曲线3y x =，即令3()f x x =，则()23f x x '=，设切点为300(,)x x ，切线方程的斜率为()2003f x x '=，所以切线方程为：00320(3)y x x x x -=-，将点()1,P t 代入方程得：320003(1)t x x x -=-，整理得230032t x x =-，设函数23()32g x x x =-，过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，可知两个函数图像y t =与23()32g x x x =-有三个不同的交点，又因为()266g x x x =-'，由()0g x '=，可得0x =或1x =，所以函数()g x 在(,0)-∞，(1,)+∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以函数()g x 的极大值为(1)321g =-=，函数()g x 的极小值为(0)000g =-=，如图所示，当()0,1t ∈时，两个函数图像有三个不同的交点.故选：C.4．（2022·四川南充·三模（理））已知函数()1f x x x=+，过点()1,0P 作函数()y f x =图象的两条切线，切点分别为M ，N ．则下列说法正确的是（）A ．PM PN ⊥B ．直线MN 的方程为210x y -+=C ．210MN =D ．PMN 的面积为32【答案】C因为()1112=+=f ，所以()1,0P 没有在函数的图象上，()222111-'=-=x f x x x，设切点坐标为()(),0≠a b a ，当1a =时，()12f =，1x =不与()1f x x x=+相切，所以1a ≠，()2211-'==-a bf a a a ，又因为1a b a +=，解得12a =-(12,2--，(12,2-，所以2222412222⨯⨯=-≠-+-PM PN k k ，故A 错误；2222222+=NM k ，所以直线MN 的方程为()21y x =-，即220x y -+=，故B 错误；()()2221012122222-+++++==MN C 正确；()1,0P 到直线MN 的距离为2024541-+=+d ，所以PMN 的面积为1145102225=⨯⨯=MN d D 错误.故选：C.5．（2022·河北·高三阶段练习）若过点(1,)P m 可以作三条直线与曲线:e xxC y =相切，则m 的取值范围为（）A ．23,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．213,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 由e x x y =，则1e x x y -'=，设切点为000,e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则切线斜率001e x x k -=则在点000,e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为()000001e e x x x x y x x --=-，代入点P 坐标得()0000011e ex x x x m x --=-整理为02001ex x x m -+=，即这个方程有三个不等式实根，令21()e xx x f x -+=，则232()e x x x f x '-+-=，令()0f x '>则12x <<函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，故得(1)(2)f m f <<，即213,e e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D ．6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点()1,P m -可以作三条直线与曲线C ：e x y x =相切，则m 的取值范围是（）A ．23,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．211,e e ⎛⎫-- ⎝⎭D ．231,ee ⎛⎫-- ⎝⎭【答案】D设切点为()00,x y ,过点P 的切线方程为()()00001ee x xy x x x x =+-+,代入点P 坐标，化简为()02001e x m x x =---，即这个方程有三个不等根即可.令()()21e xf x x x =---,求导得：()()()12e x f x x x '=--+.令()0f x '>，解得：21x -<<-，所以()f x 在()2,1--上递增；令()0f x '<，解得：2x <-或1x >-，所以()f x 在(),2-∞-和()1,-+∞上递增.要使方程()02001e x m x x =---有三个不等根即可.只需()()21f m f -<<-,即231e ex -<<-.故选：D7．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知()3f x x x =-，如果过点()2,m 可作曲线()y f x =的三条切线.则下列结论中正确的是（）A ．18m -<<B ．07m <<C ．35m -<<D ．27m -<<【答案】D设切点为()3000,x x x -，()231f x x '=-，∴切线斜率为2031x -，∴切线方程为()()()32000031y x x x x x --=--，将()2,m 代入得方程()()()320000312m x x x x --=--，即32002620x x m -++=，由题设该方程有3个不等实根.令()32262u x x x m =-++，()()261262u x x x x x '=-=-，当0x <时,()0u x '>,当02x <<时,()0u x '<,当2x >时,()0u x '>,所以()u x 在(,0)-∞上递增,在(0,2)上递减,在(2,)+∞上递增,所以()u x 在0x =时取得极大值(0)2u m =+,在2x =时取得极小值(2)286426u m m =⨯-⨯++=-,由三次函数图象知(0)20(2)60u m u m =+>⎧⎨=-<⎩,解得26m -<<,因为26m -<<可以推出,27m -<<，所以27m -<<也正确.故选：D8．（2022·河南·高三阶段练习（文））过点()0,1P -有三条直线和曲线()32y x ax bx b =++∈R 相切，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()3,+∞C ．(),1-∞D ．(),3-∞【答案】B设直线过点()0,1P -且与曲线32y x ax bx =++相切，切点为()320000,x x ax bx ++．由32y x ax bx =++得232y x ax b '=++，∴切线的斜率为20032x ax b ++，∴切线方程为()200132y x ax b x +=++，∴()322000000132x ax bx x ax b x +++=++，∴3200210x ax +-=．设()3221f x x ax =+-，由题意，函数()f x 有三个零点．()262f x x ax '=+，由()0f x '=得0x =，或3a x =-．当0a =时，函数()f x 只有一个零点，舍去；当0a <时，03a ->，由()0f x '>，得0x <或3a x >-，由()0f x '<，得03a x <<-所以0x =是函数()f x 的极大值点，由于()010f =-<，函数()f x 没有三个零点，舍去．∴0a >，同理可得3ax =-是函数F （x ）的极大值点，由条件结合三次函数的性质得，310327a a f ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，解得3a >．故选：B9．（2022·全国·高三专题练习）若过点(,)m n 可以作曲线(0x y a a =>且1)a ≠的两条切线，则（）A ．log a n m C ．log a n m =D ．log a n 与m 的大小关系与a 有关【答案】D设切点为：00(,)xx a ，则0ln x y a a '=，所以切线方程为()000ln x xy a a a x x -=-，因为点(,)m n 在切线上，所以()000ln x xn a a a m x -=-，即()00ln ln 10x aa x a m n ⋅-⋅-+=，令()()ln ln 1xg x a a x a m n =⋅-⋅-+，则()()ln ln ln xg x a a a x a m '=⋅-⋅，令()0g x ¢=，得x m =，当x m <时，()0g x ¢<，当x m >时，()0g x ¢>，所以当x m =时，()g x 取得极小值()mg m a n =-+，若1a >，当x m <时，()ln ln 10xn a a x a m -=⋅-⋅-<；若01a <<时，当x m >时，()ln ln 10xn a a x a m -=⋅-⋅-<；因为过点(,)m n 可以作曲线(0x y a a =>且1)a ≠的两条切线，所以0m a n -+<且0n >，即0m n a <<，所以log a n 与m 的大小关系与a 有关，故选：D10．（2022·山西长治·模拟预测（理））当0a >时，过点(,)a a b +均可以作曲线ln y x =的两条切线，则b 的取值范围是（）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．[1,)-+∞【答案】C设过点(,)a a b +的切线与ln y x =相切于(),,0m n m >，则有()ln 1n mn a b mm a =⎧⎪-+⎨=⎪-⎩，消去n 得：()1ln a m a b m -=-+.因为过点(,)a a b +均可以作曲线ln y x =的两条切线，所以关于m 的方程()1ln am a b m-=-+有两解.即ln 1ab m a m=+--有两解.令()12,ln 1,0ay b y x a x x==+-->.只需1y 与2y 有两个交点.对于()2ln 1,0ay x a x x=+-->，则()'22211a y x a x x x =-+=-.令20y '>，解得：x a >；令20y '<，解得：0x a <<.所以2y 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞单调递增.作出2y的草图如图所示：要使1y 与2y 有两个交点，只需ln b a a >-.记()()ln ,0g a a a a =->，()()1111g a a a a'=-=-.令()0g a '>，解得01a <<；令()0g a '<，解得1a >；所以()ln g a a a =-在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递增.所以()g a 的最大值为()1ln111g =-=-，所以1b >-.故选：C11．（2021·江苏·高二单元测试）已知()ln f x x x =，若过一点(),m n 可以作出该函数的两条切线，则下列选项一定成立的是（）A ．ln n m m C ．2e 0en -<<D ．1m <【答案】A设切点为(),ln t t t ，对函数()f x 求导得()ln 1f x x '=+，则切线斜率为()ln 1f t t '=+，所以，切线方程为()()ln ln 1y t t t x t -=+-，即()ln 1y t x t =+-，所以，()ln 1n m t t =+-，可得ln 0t m t n m -+-=，令()ln g t t m t n m =-+-，其中0t >，由题意可知，方程()0g t =有两个不等的实根.()1m t m g t t t-'=-=.①当0m ≤时，对任意的0t >，()0g t '>，此时函数()g t 在()0,∞+上单调递增，则方程()0g t =至多只有一个根，不合乎题意；②当0m >时，当0t m <<时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减，当t m >时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增.由题意可得()()min ln ln 0g t g m m m m n m n m m ==-+-=-<，可得ln n m m <.故选：A.12．（2021·全国·高三专题练习）若过点()(),0a b a >可以作曲线33y x x =-的三条切线，则（）A ．3b a <-B ．333a b a a-<<-C ．33b a a>-D ．3b a =-或33b a a=-【答案】B233y x '=-设切点()3,3P m m m -，切线方程()()()32333y m m m x m --=--，切线过点()(),0a b a >，()()32333b m m m a m -+=--，整理得：322330m am a b -++=，由于可以作三条切线，所以关于m 的方程322330m am a b -++=有三个不同的实根，()32233g m m am a b =-++，()266g m m am '=-，令()2660g m m am '=-=，0m =或(),0m a a =>.函数()32233g m m am a b =-++的增区间为()(),0,,a -∞+∞，减区间为()0,a ，所以函数极大值()03g a b =+，极小值()33g m a a b =-++，关于m 的方程322330m am a b -++=有三个不同的实根，所以33030a a b a b ⎧-++<⎨+>⎩，所以33,33b a a b a a >-<<-.故选：B13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（）A ．1(0,)30B ．1(0,)29C ．1(0,)28D ．1(0,27【答案】D设过点P 的直线为():1l y k x t =-+，()2341f x x x '=-+-，设切点为()00,x y ，则()20032000034112x x k k x t x x x ⎧-+-=⎪⎨-+=-+-⎪⎩，得320001254t x x x +=-+有三个解，令()32254g x x x x =-+，()()()261042132g x x x x x '=-+=--，当()0g x '>，得1x >或25x <，()0g x '<，得213x <<，所以()g x 在2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，2,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，又228327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11g =，()1g x t =+有三个解，得281127t <+<，即1027t <<.故选：D②公切线问题1．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线:l y kx b =+（1k >）为曲线()1x f x e -=与曲线()ln g x e x =的公切线，则l 的纵截距b =（）A ．0B ．1C ．eD ．e-【答案】D设l 与()f x 的切点为11(,)x y ，则由()1x f x e -'=，有()11111:1x x l y xe x e --=+-.同理，设l 与()f x 的切点为22(,)x y ，由()eg x x '=，有()22:ln 1e l y x e x x =+-.故()()1112112,1ln 1.x x e e x x e e x --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得121,.x x e =⎧⎨=⎩或122,1.x x =⎧⎨=⎩则:l y x =或y ex e =-.因1k >，所以l 为y x =时不成立.故b e =-，故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）若函数2y ax =与ln y x =存在两条公切线，则实数a 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D设切线与曲线ln y x =相切于点(),ln t t ，对函数ln y x =求导得1y x'=，所以，曲线ln y x =在点(),ln t t 处的切线方程为()1ln y t x t t-=-，即1ln 1y x t t =+-，联立21ln 1y ax y x t t ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩可得211ln 0ax x t t -+-=，由题意可得0a ≠且()21Δ41ln 0a t t =--=，可得221ln 4t t t a=-，令()22ln g t t t t =-，其中0t >，则()()()22ln 12ln g t t t t t t t '=-+=-.当0t <<()0g t '>，此时函数()g t 单调递增，当t >()0g t '<，此时函数()g t 单调递减，所以，()max e 2g t g ==.且当0e t <<时，()0g t >，当t e >时，()0g t <，如下图所示：由题意可知，直线14y a =与曲线()y g t =有两个交点，则1e 042a <<，解得12e a >.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（）A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞【答案】B设公切线与曲线ln 1y x =-和2y ax =的交点分别为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，其中1>0x ，对于ln 1y x =-有1y x'=，则ln 1y x =-上的切线方程为()()1111ln 1y x x x x --=-，即()11ln 2xy x x =+-，对于2y ax =有2y ax '=，则2y ax =上的切线方程为()22222y ax ax x x -=-，即2222y ax x ax =-，所以2121212ln 2ax x x ax ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，有1211ln 24x ax -=-，即()22111112ln 04x x x x a =->，令()222ln g x x x x =-，()()32ln 32ln g x x x x x x '=-=-，令()0g x ¢=，得32e x =，当320,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，当32,e x ⎛⎫⎪⎝∈+⎭∞时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，所以()332max 1e e 2g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故3110e 42a <≤，即31e 2a -≥.故选：B.4．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数()ln f x x x =，()31223eg x ax x =--，若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象在交点处存在公切线，则函数()g x 在点()()1,1g 处的切线在y 轴上的截距为（）A ．23e-B ．23e C ．3e 23e +-D ．2e 23e+【答案】C设交点为(),ln m m m ，且()ln f x x x =的导数为()ln 1f x x '=+，()31223eg x ax x =--的导数为()2132g x ax '=-，由题意，211ln 32m am +=-且312ln 23em m am m =--，消去a 得：1e ln 0m m +=，令()1e ln h x x x =+，()()e ln 1h x x '=+，当1e x >时()'0h x >，()h x 递增；当10ex <<时()'0h x <，()h x 递减.∴1e x =处()h x 取得极小值，也为最小值为0，则1e ln 0m m +=，解得1em =，代入211ln 32m am +=-，可得21e 6a =，即有()23e 12623eg x x x =--，∴()22e 122g x x '=-，则在()()1,1g 处的切线斜率为2e 12k -=，切点为2e 121,.623e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴在()()1,1g 处的切线方程为()22e 12e 116232y x e ⎛⎫----=- ⎪⎝⎭，令0x =，可得3e23e y +=-.故选：C.5．（多选）（2022·河北保定·二模）若直线3y x m =+是曲线()30y x x =>与曲线()260y x nx x =-+->的公切线，则（）A ．2m =-B ．1m =-C ．6n =D ．7n =【答案】AD解：设直线3y x m =+与曲线()30y x x =>相切于点()3,a a ，与曲线()260y x nx x =-+->相切于点(),3b b m +，对于函数()30y x x =>，23y x '=，则()2330a a =>，解得1a =，所以313m =+，即2m =-.对于函数()260y x nx x =-+->，2'=-+y x n ，则()230b n b -+=>，又2632b nb b -+-=-，所以()232632b b b b -++-=-，又0b >，所以2b =，7n =.故选：AD6．（2022·福建泉州·高二期中）函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+有公切线()0y ax a =>，则实数m 的值为__________．【答案】4根据题意，函数()ln 1mx f x x x =++与()21g x x =+有公切线(0)y ax a =>，设切点分别为1(F x ，1)y ，2(G x ，2)y ，21(),()2(1)m f x g x x x x ''=+=+；所以220a x =>且22222121,2x x x a x +=⇒==，所以公切线为2y x =，则有11112111211ln 21ln 21012(1)mx x x x x x x m x x ⎧+=⎪+⎪⇒+--=⎨⎪+=⎪+⎩，设()()221154()1816ln 21(0)410x h x x x x x h x x x x-+'=+-->⇒=+-=>，则()h x 在(0,)+∞上递增，又(1)0h =，故11x =，4m =，故答案为：47．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知()e 1x f x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数为_______．【答案】2根据题意，设直线l 与()e 1x f x =-相切于点(,e 1)m m -，与()g x 相切于点(,ln 1)n n +，对于()e 1x f x =-，其导数为()e x f x '=，则有()e m k f m ='=，则直线l 的方程为1e e ()m m y x m +-=-，即e e (1)1m m y x m =+--，对于()ln 2g x x =+，其导数为1()g x x'=，则有1()k g n n='=，则直线l 的方程为1(ln 1)()y n x n n-+=-，即1ln y x n n=+，直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则1e (1)e 1ln m m n m n⎧=⎪⎨⎪--=⎩，可得(1)(e 1)0m m --=，则0m =或1m =，故直线l 的方程为y x =或e 1y x =-；则()f x 与()g x 的公切线条数是2条．故答案为：2．8．（2022·黑龙江·牡丹江一中高二阶段练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是_________.【答案】31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭设公切线与曲线ln 1y x =-和2y ax =的交点分别为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，其中1>0x ，对于ln 1y x =-有1y x'=，则ln 1y x =-上的切线方程为()()1111ln 1y x x x x --=-，即()11ln 2xy x x =+-，对于2y ax =有2y ax '=，则2y ax =上的切线方程为()22222y ax ax x x -=-，即2222y ax x ax =-，所以2121212ln 2ax x x ax ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，有1211ln 24x ax -=-，即()22111112ln 04x x x x a =->，令()222ln g x x x x =-，()()32ln 32ln g x x x x x x '=-=-，令()0g x '=，得32e x =，当320,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当32,e x ⎛⎫⎪⎝∈+⎭∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()332max1e e 2g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故3110e 42a <≤，即31e 2a -≥.∴正实数a 的取值范围是31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.9．（2021·江苏·高二专题练习）曲线()2(0)f x ax a =>与()ln g x x =有两条公切线，则a 的取值范围为__________【答案】1(,)2e+∞对2y ax =求导得：2y ax '=；对ln y x =求导得：1y x'=，设与2y ax =相切的切点为(),s t ，与曲线()ln g x x =相切的切点为(),(0)m b a >，∴公共切线斜率为12t b as m s m-==-，又2t as =，ln b m =，∴21ln 2as m as m s m-==-，整理得()2ln 210as as --=，设()()2ln 21f s as as =--，则()222122a as f s as as s-'=-=，又0a >，0s >，∴当s >时，()0f s '>，()f s 单调递增；当s <()0f s '<，()f s 单调递减，∴s =处()f s 取得极小值，也为最小值为12f =-，由恰好存在两条公切线，即()0f s =有两解，而当s 趋向于0时()f s 趋向于正无穷大，令()ln 1h x x x =--，则1()1h x x '=-且0x >，故(0,1)上()0h x '<，即()h x 递减；(1,)+∞上()0h x '>，即()h x 递增，∴()(1)0h x h ≥=，即ln 1x x >+，故2ln(2)1as as -<--，∴()22(2)f s as as as s >-=-，显然当2s >时()0f s >.∴只要0f <，可得12e a >.故答案为：1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.③和切线有关的其它综合问题1．（2022·河南南阳·高二期中（理））若y ax b =+是()ln f x x x =的切线，则a b +的取值范围为（）A ．[)1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(],0-∞D ．[]1,0-【答案】C解：设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点，由()ln 1f x x '=+，00()ln 1f x x '=+，所以过点()000,ln x x x 的切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，即00(ln 1)y x x x =+-，0ln 1a x ∴=+，0b x =-，所以00ln 1a b x x +=+-令()ln 1g x x x =+-，()0,x ∈+∞，所以()111x g x x x-'=-=，所以当01x <<时()0g x '>，当1x >时()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g x g ==，所以()0g x ≤，即(],0a b +∈-∞；故选：C2．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）已知函数()1ln f x x x=-，直线y mx n =+是曲线()y f x =的一条切线，则2m n +的取值范围是（）A ．[)3,∞-+B ．2e 3,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)2ln 24,--+∞D ．5ln 2,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C设切点为()(),P t f t ，()211x f x x =+'，()211k f t t t='=+曲线()y f x =在切点()(),P t f t 处的切线方程为()()()y f t f t x t -='-，整理得2112ln 1y x t t t t ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭，所以21322ln 2m n t t t +=+--．令()2132ln 2(0)g x x x x x =+-->，则()23232x x g x x +-'=．当102x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当12x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．故()min 12ln 242g x g ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，则2m n +的取值范围是[)2ln 24,--+∞．故选：C.3．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数1()ln f x x x=-，直线y mx n =+是曲线()y f x =的一条切线，则2m n +的取值范围是（）A ．[)3,∞-+B ．52ln 2,4⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭C ．2e 3,e ∞-⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．[)2ln 24,--+∞【答案】D设切点为()(),P t f t ，()211x f x x=+'，()211k f t t t ='=+曲线()y f x =在切点()(),P t f t 处的切线方程为()()()y f t f t x t -='-，整理得2112ln 1y x t t t t ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭，令0x =，2ln 1y mx n n t t =+==--，令1x =，2211211ln 1ln 1y mx n m n t t t t t t t=+=+=++--=+--，所以21322ln 2m n t t t+=+--．令()2132ln 2(0)g x x x x x =+-->，则()23232x x g x x +-'=．当102x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当12x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．故()min 12ln 242g x g ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，则2m n +的取值范围是[)2ln 24,--+∞．故选：D.4．（2022·安徽·高二期中）若函数()2ln f x x ax =+的图象上存在与直线20x y +=垂直的切线，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A由题意得，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()12f x ax x'=+，∵函数()2ln f x x ax =+的图象上存在与直线x ＋2y ＝0垂直的切线，即122ax x+=有正数解，即2112a x x =-+在()0,∞+上有解，∵x >0，∴2211111112222x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，∴12a ≤．故选：A ．5．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校高二期中）已知()f x 为R 上的可导的偶函数，且满足()()11f x f x -=-+，则()y f x =在2022x =处的切线斜率为___________.【答案】0由题设，()(2)f x f x =-+，则(2)(4)f x f x +=-+，即()(4)f x f x =+，所以()f x 的周期为4，又()f x 为R 上的可导的偶函数，即(0)0f '=，而()(2)f x f x ''=-+，故(0)(2)0f f ''=-=，即(2)0f '=，且()(4)f x f x ''=+，故()()()20224505220f f f =⨯+'='='.故答案为：06．（2022·海南·模拟预测）已知存在0a >，使得函数()ln f x a x =与()23g x x x b =--的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b 的最大值为___.【答案】-3解:()(),23''==-af xg x x x令()1af x x'==，得x a =，切点为(),ln a a a ，令()231g x x =-='，得2x =，切点为(2,2)--b .切线方程为ln -=-y a a x a 代入，可得22b alna a ---=-则4b a alna =--令()ln 4=--h x x x x ，则()1ln 1ln h x x x -'=-=-,当01x <<时，()0h x '>，当1x >时，()0,h x '<∴h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴()()13max h x h ==-即b 的最大值为-3.故答案为：-3.7．（2021·四川自贡·一模（理））已知函数2211()ln 2f x t x x t x ⎛⎫=+-+ ⎪+⎝⎭，在曲线()y f x =上总存在两点()11,P x y ，()22,Q x y ，使得曲线在P ，Q 两点处的切线平行，则12x x +的取值范围是________．【答案】()8,+∞解：222111()1,02f x t x t x x ⎛⎫'=+--> ⎪+⎝⎭，因为在曲线()y f x =上总存在两点()11,P x y ，()22,Q x y ，使得曲线在P ，Q 相两点处的切线平行，所以()()12f x f x ''=，且1212,0,0x x x x ≠>>，即22222211221111111122t t t x x t x x ⎛⎫⎛⎫+--=+-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以2222121212121111111112t t x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22121112t x x t +=++，令22,2m t m =+≥，则22t m =-，设()12,2h m m m m=+-≥，则()222111m h m m m -'=-=，当2m ≥时，()0h m ¢>，所以函数()h m 在[)2,+∞上递增，所以()()122h m h ≥=所以121112x x +≥，又12121211x x x x x x ++=，212122x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，又因为12x x ≠，所以212122x x x x +⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以12121211222211214x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+ ⎝++=>⎭=+⎪，所以12412x x +<，所以128x x +>，所以12x x +的取值范围是()8,+∞.故答案为：()8,+∞.二、单调性问题①已知单调区间求参数1．（2022·四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（理））若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x在[12，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是（）A ．[－1，0]B ．[－1，＋∞)C ．[0，3]D ．[3，＋∞)【答案】D f ′(x )＝2x ＋a －21x，由于函数f (x )在[12，＋∞)上是增函数，故f ′(x )≥0在[12，＋∞)上恒成立.即a ≥21x －2x 在[12，＋∞)上恒成立.设h (x )＝21x －2x ，x ∈[12，＋∞)，易知h (x )在[12，＋∞)上为减，∴h (x )max ＝h (12)＝3，∴a ≥3.故选：D2．（2022·河南·南阳中学高二阶段练习（理））若函数()ln 2f x kx x =+在区间()1,3上单调递增，则实数k 的取值范围是（）A ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,-+∞D ．(],1-∞-【答案】A由()ln 2f x kx x =+，得1()f x k x'=+，因为函数()ln 2f x kx x =+在区间()1,3上单调递增，所以1()0f x k x '=+≥在区间()1,3上恒成立，即1k x≥-恒成立，因为(1,3)x ∈，所以1113x -<-<-，所以13k ≥-，所以实数k 的取值范围为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选：A3．（2022·江苏省太湖高级中学高二阶段练习）已知函数()f x 的定义域为()0+∞，，若()*()k f x y k x=∈N 在()0+∞，上为增函数，则称()f x 为“k 阶比增函数”．若函数2()ln f x m x x x =+-为“1阶比增函数"，则实数m 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A解：因为函数2()ln f x m x x x =+-为“1阶比增函数”，所以函数()ln f x mx x x x=+-在()0+∞，上为增函数，所以令()ln ,0mg x x x x x=+->，故()2221'10m x x m g x x x x --=-+-=≥在()0+∞，上恒成立，所以2m x x ≤-在()0+∞，上恒成立，由于()22111,0244y x x x x ⎛⎫=-=--≥-∈+∞ ⎪⎝⎭，，所以()2min 14m x x ≤-=-.故实数m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞- ⎝⎦故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）函数3()26f x x ax =-+的一个单调递增区间为[1，)+∞，则减区间是（）A ．(,0)-∞B ．(1,1)-C ．(0,1)D ．(,1)-∞，(0,1)【答案】B函数3()26f x x ax =-+，则2()6f x x a '=-，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在其定义域内是递增．当0a >时，令()0f x '=，解得：x =当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>，函数()f x 是递增．函数()f x 的一个单调递增区间为[)1,+∞1=，解得：6a =，x \在(1,1)-时，()0f x '<，函数()f x 是递减．故选：B ．5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22ln f x x x =-，若()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则m 的取值范围是（）A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)0,1【答案】A因为()22ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，()14f x x x'=-，由()0f x '>，得140x x ->，解得12x >，所以()f x 的递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．由于()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则()12,1,2m m ⎛⎫+⊆+∞ ⎪⎝⎭，所以12122m mm +>⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114m ≤<.因此，实数m 的取值范围是1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：A.6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，若函数()f x 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22a b +的最小值为（）A ．45B ．75C ．95D ．115【答案】C由题意知：在[1,0]-上，2()320f x x ax b '=++≤恒成立，∴(1)320(0)0f a b f b '-=-+≤⎧⎨'=≤⎩，即由不等式组可得如下可行域，∴22a b +为可行域内的点到原点的距离的平方，其最小值为O 到230--=a b 距离的平方，故2222|3|9215d -==+，故选：C7．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()3230,f x ax x x b a b =+++>∈R 恰好有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是（）A ．()()0,33,+∞ B ．[)3,+∞C ．(]0,3D ．()0,3【答案】D由题意得()()23610f x ax x a '=++>，函数()f x 恰好有三个不同的单调区间，()f x '∴有两个不同的零点，所以，361200a a ∆=->⎧⎨>⎩，解得0<<3a .因此，实数a 的取值范围是()0,3.故选：D.8．（2022·全国·高二课时练习）设函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减,则实数a 的取值范围是A ．(]1,2B ．()1,3C ．()1,2D ．(]1,3【答案】A由()219ln 2f x x x =-，则()299x f x x x x-'=-=，当(0,3)x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当(3,)x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增，又函数()f x 在区间[1,1]a a -+上单调递减，所以1013a a ->⎧⎨+≤⎩，解得12a <≤，故选A ．②由函数存在单调区间求参数1．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知函数()()1e xf x x mx =--在区间[]2,4上存在单调减区间，则实数m 的取值范围为（）A ．()22e ,+∞B ．(),e -∞C ．()20,2eD ．()0,e 【答案】A因为()()1e x f x x mx =--，所以()e xf x x m '=-，因为()f x 在区间[]2,4上存在单调递减区间，所以存在[]2,4x ∈，使得()0f x '<，即e x m x >，令()e xg x x =，[]2,4x ∈，则()()1e 0x g x x '=+>恒成立，所以()e xg x x =在[]2,4上单调递增，所以()()2min 22e g x g ==，所以22e m >.故选：A2．（2022·四川成都·高二期中（文））已知函数()(1)e x f x x mx =--在区间[1,2]x ∈上存在单调增区间，则m 的取值范围为（）A ．(0,e)B ．(,e)-∞C ．()20,2eD ．()2e,2-∞【答案】D解：因为()(1)e x f x x mx =--，所以()e x f x x m '=-，()f x 在区间[1,2]上存在单调递增区间，∴存在[1,2]x ∈，使得()0f x '>，即e x m x <，令()e x g x x =，[1,2]x ∈，则()()1e 0xg x x =+>'恒成立，所以()e x g x x =在[1,2]上单调递增，所以()()222e max g x g ∴==，2e 2m ∴<，故实数m 的取值范围为()2e,2-∞．故选：D3．（2022·北京铁路二中高二期中）若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞【答案】D∵2()ln 2f x x ax =+-，∴1()2f x ax x'=+，若()f x 在区间1(,2)2内存在单调递增区间，则1()0,(,2)2f x x '>∈有解，故212a x >-，令21()2g x x =-，则21()2g x x =-在1(,2)2单调递增，1()()22∴>=-g x g ，故 2 a >-.故选：D.4．（2022·广东·深圳市第二高级中学高二期中）若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是()A ．(],2-∞B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()2,-+∞【答案】D∵函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1()22内存在单调递增区间，∴1()20f x ax x '=+>在区间1()22，上有解(成立)，即min212()a x >-在区间1()22上成立，又函数2y x =在1()22，上单调递增，∴函数21y x =-在1()22上单调递增，故当12x =时，21y x =-取最小值，即min 21()=4x--，即24a >-，得2a >-．故选：D ﹒5．（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）若函数21()ln 22h x x ax x =--在[1,4]上存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为（）A ．7,16⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．(1,)-+∞C ．[1,)-+∞D ．7,16⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B因为()h x 在[1,4]上存在单调递减区间，所以1()20h x ax x'=--<在[1,4]上有解，所以当[1,4]x ∈时212a x x >-有解，而当[1,4]x ∈时，22121(1)1x x x -=--，2min 121xx ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（此时1x =），所以1a >-，所以a 的取值范围是(1,)-+∞.故选：B.6．（2022·广西玉林·高二期中（文））函数()2xx af x e -=在R 上存在单调递增区间，则a 的取值范围是（）A ．1a ≥-B ．1a >-C ．1a ≤-D ．1a <-【答案】B()2x x af x e -= ，()()2222x xx x a a x x f x e e--+-'∴==，由题意可知，存在x ∈R ，使得()0f x '>，即存在x ∈R ，使得22a x x >-，二次函数()222111y x x x =-=--≥-，当且仅当1x =时，等号成立，则1a >-.故选：B.7．（2022·全国·高三专题练习）若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【答案】Df (x )321132x x =-++2ax 在(1,+∞)上存在单调递增区间,只需()'f x >0在(1,+∞)上有解即可.由已知得2()2f x x x a '=-++,该函数开口向下,对称轴为12x =,故()'f x 在(1,+∞)上递减,所以(1)f '=2a >0,解得a >0.故选:D.8．（2022·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数()2ln f x x ax x =--在区间11,32⎡⎤⎢⎣⎦存在单调递减区间,则a 的取值范围是A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B由题,()212121ax x f x ax x x--+'=--=,因为0x >,则若函数()2ln f x x ax x =--在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在单调递减区间,即2210ax x --+<在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,即存在x ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦,使得2112a x x ->+成立,设[]()12,3t t x =∈,则()221124u t t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭,当2t =时,()()min 22u t u ==,所以22a >,即1a >,故选:B③已知函数在某区间上不单调求参数1．（2022·天津市第四十二中学高二期中）已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,8)B ．[2,8]C ．(,2][8,)-∞⋃+∞D ．[2,8)【答案】A解：()222a x a f x x x x='-=-，令()22g x x a =-，由于函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数，则()22g x x a =-在区间()1,2的函数值有正有负，而二次函数()22g x x a =-开口向上，对称轴为y 轴，所以()22g x x a =-在区间()1,2上递增，所以()()120280g a g a ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩，解得28a <<.所以实数a 的取值范围是()2,8.故选：A .2．（2022·广东·南海中学高二期中）若函数()()e 1ln 2xf x a x =--+在区间(0，1)上不单调，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,e 1+B ．()1,e 1+C ．(][),1e 1,-∞⋃++∞D ．()(),1e 1,-∞⋃++∞【答案】B由题设，1e 1()e x xa x a f x x x-+'-=-=，又()f x 在(0,1)上不单调，所以e 1x y x a -=+在(0,1)上存在变号零点，而(1)e 0x y x '=+>，则y 在(0,1)上递增，只需(1)(e 1)0a a -+-<，即1e 1a <<+.故选：B3．（2022·全国·高三专题练习（理））若对于任意[]1,2t ∈，函数32()222m f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭在区间(),3t 上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是（）A ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．37,93⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．37,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】A解：()2()342f x x m x '=++-，∵()02f '=-，又对于任意[]1,2t ∈，函数()f x 在区间(),3t 上总不为单调函数，∴()()030f t f ⎧<⎪⎨>''⎪⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⋅->⎩，∴min22433252373m t t m ⎧⎛⎫+<-=-⨯=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪>-⎪⎩，解得3793m -<<-，∴实数m 的取值范围是37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：A.4．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的。

高考数学一轮复习练习一元函数的导数及其应用

一元函数的导数及其应用(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020福建福州模拟,理7)已知函数f (x )为偶函数,当x<0时,f (x )=x 2-ln(-x ),则曲线y=f (x )在x=1处的切线方程为( ) A.x-y=0 B.x-y-2=0 C.x+y-2=0 D.3x-y-2=02.设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f'(x ),若函数f (x )在x=1处取得极大值,则函数y=-xf'(x )的图像可能是( )3.已知函数f (x )=x+1,g (x )=ln x ,若f (x 1)=g (x 2),则x 2-x 1的最小值为( ) A.1 B.2+ln 2 C.2-ln 2 D.24.已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足xf'(x )-f (x )<0,且f (2)=2,则f (e x )-e x >0的解集是( )A.(-∞,ln 2)B.(ln 2,+∞)C.(0,e 2)D.(e 2,+∞) 5.(2020北京房山区二模,5)函数f (x )=e x -x 2的零点个数为( )A.0B.1C.2D.36.(2020山东青岛5月模拟,8)已知函数f (x )=lnx x 2,若f (x )<m-1x2在(0,+∞)上恒成立,e 为自然对数的底数,则实数m 的取值范围是( ) A.m>e B.m>e2 C.m>1D.m>√e7.已知函数f (x )=x 2+|x-a|,g (x )=(2a-1)x+a ln x ,若函数y=f (x )与函数y=g (x )的图像恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围为( ) A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(0,+∞)D.(-∞,0)8.(2020河南新乡三模,理12)已知函数f (x )=x 2-ax (x ∈[1e ,e])与g (x )=e x 的图像上存在两对关于直线y=x 对称的点,则实数a 的取值范围是( ) A.[e -1e ,e] B.(1,e -1e ] C.[1,e -1e ]D.[1,e +1e ]二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2020山东潍坊临朐模拟二,12)已知函数f (x )=x ln x+x 2,x 0是函数f (x )的极值点,以下结论中正确的是( ) A.0<x 0<1eB.x 0>1eC.f (x 0)+2x 0<0D.f (x 0)+2x 0>010.(2020山东聊城二模,10)下列关于函数f (x )=x 3-3x 2+2x 的叙述正确的是( ) A.函数f (x )有三个零点B.点(1,0)是函数f (x )图像的对称中心C.函数f (x )的极大值点为x=1-√33D.存在实数a ,使得函数g (x )=[f (x )]2+af (x )在R 上为增函数11.(2020海南天一大联考第三次模拟,12)已知函数f (x )=x 3+ax+b ,其中a ,b ∈R ,则下列选项中的条件使得f (x )仅有一个零点的有( ) A.a012.(2020山东师大附中月考,12)设函数f (x )={|lnx |,x >0,e x (x +1),x ≤0,若方程[f (x )]2-af (x )+116=0有六个不等的实数根,则实数a 可能的取值是( )A.12B.23C.1D.2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020山东、海南两省4月模拟,13)函数f (x )=alnxe x 在点P (1,f (1))处的切线与直线2x+y-3=0垂直,则a= .14.设f (x )=e x (ln x-a ),若函数f (x )在区间1e,e 上单调递减,则实数a 的取值范围为 .15.已知函数f (x )=log 2x ,g (x )=√x +√a -x (a>0),若对∀x 1∈{x|g (x )=√x +√a -x },∃x 2∈[4,16],使g (x 1)=f (x 2)成立,则实数a 的取值范围是 .16.已知函数f (x )=2ln x ,g (x )=ax 2-x-12(a>0).若直线y=2x-b 与函数y=f (x ),y=g (x )的图像均相切,则a 的值为 ;若总存在直线与函数y=f (x ),y=g (x )的图像均相切,则a 的取值范围是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020河南郑州质量预测二,理21)已知函数f (x )=lnx a ,g (x )=x+1x(x>0). (1)当a=1时,求曲线y=f (x )g (x )在x=1处的切线方程; (2)讨论函数F (x )=f (x )-1g (x )在(0,+∞)上的单调性.18.(12分)(2020河南开封三模,理20)已知函数f (x )=ax e x -ln x+b (a ,b ∈R )在x=1处的切线方程为y=(2e -1)x-e . (1)求a ,b 值;(2)若f (x )≥mx 恒成立,求实数m 的取值范围.19.(12分)(2020陕西宝鸡三模,文21)已知函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,a∈R,f'(x)为f(x)的导函数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若g(x)=f(x)+a+1,当a>12时,求证:g(x)有两个零点.20.(12分)(2020辽宁大连一中6月模拟,文20)已知函数f(x)=x ln x-1,g(x)=(k-1)x-k(k∈R).(1)若直线y=g(x)是曲线y=f(x)的一条切线,求k的值;(2)当x>1时,直线y=g(x)与曲线y=f(x)+1无交点,求整数k的最大值.21.(12分)(2020天津,20)已知函数f(x)=x3+k ln x(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ⅱ)求函数g(x)=f(x)-f'(x)+9x的单调区间和极值.(2)当k≥-3时,求证:对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有f'(x1)+f'(x2)2>f(x1)-f(x2)x1-x2.22.(12分)(2020浙江,22)已知1<a≤2,函数f(x)=e x-x-a,其中e=2.718 28…是自然对数的底数.(1)证明:函数y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.(2)记x0为函数y=f(x)在(0,+∞)上的零点,证明:①√a-1≤x0≤√2(a-1);②x0f(e x0)≥(e-1)(a-1)a.参考答案单元质检卷三一元函数的导数及其应用1.A当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-ln x,又函数f(x)为偶函数,所以f(x)=x2-ln x,f(1)=1,所以,f'(1)=1,故切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.故选A.f'(x)=2x-1x2.B因为函数f(x)在R上可导且f(x)在x=1处取得极大值,所以当x>1时,f'(x)<0;当x=1时,f'(x)=0;当x<1时,f'(x)>0.所以当x<0时,y=-xf'(x)>0,当0<x<1时,y=-xf'(x)<0,当x=0或x=1时,y=-xf'(x)=0,当x>1时,y=-xf'(x)>0,可知选项B符合题意.故选B.3.D设f(x1)=g(x2)=t,所以x1=t-1,x2=e t,所以x2-x1=e t-t+1,令h(t)=e t-t+1,则h'(t)=e t-1,所以h(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以h(t)min=h(0)=2.4.A 令g (x )=f (x )x ,g'(x )=xf '(x )-f (x )x 2<0,则g (x )在(0,+∞)上单调递减,且g (2)=f (2)2=1,故f (e x )-ex>0等价为f (e x )e x>f (2)2,即g (e x )>g (2),故e x <2,即x<ln 2,则所求的解集为(-∞,ln 2).故选A .5.B 令f (x )=e x -x 2=0,得e x =x 2,分别画出y=e x 和y=x 2的图像,如图所示,当x<0时,函数y=e x 和y=x 2有一个交点. 当x>0时,f'(x )=e x -2x ,令g (x )=e x -2x ,则g'(x )=e x -2,当g'(x )=0时,可得x=ln 2.当x ∈(0,ln 2)时,g'(x )<0,g (x )单调递减,当x ∈(ln 2,+∞)时,g'(x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )min =g (ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增.又因为f (0)=1,所以当x ∈(0,+∞)时,f (x )>0.故f (x )在(0,+∞)上无零点. 综上,函数f (x )=e x -x 2的零点个数为1.故选B . 6.B 若f (x )<m-1x 2在(0,+∞)上恒成立,即f (x )+1x 2<m 在(0,+∞)上恒成立,令g (x )=f (x )+1x 2=lnx+1x 2,故只需g (x )max <m 即可,g'(x )=1x ·x 2-(lnx+1)·2x x 4=-2lnx -1x 3,令g'(x )=0,得x=e-12,当0<x<e-12时,g'(x )>0;当x>e-12时,g'(x )<0,所以g (x )在(0,e-12)上单调递增,在(e -12,+∞)上单调递减,所以g (x )max =g (e-12)=e 2,所以实数m 的取值范围是m>e2. 故选B . 7.A当a ≠0时函数g (x )的定义域为(0,+∞),所以只研究这两个函数在x ∈(0,+∞)上的图像,当a ≤0时,f (x )单调递增,又g (x )单调递减,两者的图像最多只有一个交点,不符合题意.当a>0时,设φ(x )=f (x )-g (x ),即φ(x )={x 2-2ax -alnx +a ,0<x <a ,x 2+(2-2a )x -alnx -a ,x ≥a ,因为φ'(x )={2(x -a )-ax <0,0<x <a ,2(x -a )+2x -ax>0,x ≥a ,所以φ(x )在(0,a )上单调递减,(a ,+∞)上单调递增,所以φ(x )min =-a 2-a ln a+a ,因为x →0,x →+∞时,φ(x )→+∞,所以φ(x )有两个零点,当且仅当φ(x )min =-a 2-a ln a+a<0,解得a>1,即a 的取值范围为(1,+∞).8.B ∵f (x )与g (x )的图像在x ∈[1e ,e]上存在两对关于直线y=x 对称的点,则函数f (x )与函数φ(x )=ln x 的图像在x ∈[1e ,e]上有两个交点,∴ln x=x 2-ax 在x ∈[1e ,e]上有两个实数解,即a=x-lnx x 在x ∈[1e ,e]上有两个实数解,令h (x )=x-lnxx ,则h'(x )=x 2+lnx -1x 2.令k (x )=x 2+ln x-1,k (x )在x ∈[1e ,e]上单调递增,且k (1)=0,∴当x ∈[1e ,1]时,h'(x )<0,h (x )单调递减;当x ∈(1,e]时,h'(x )>0,h (x )单调递增.∴h (x )min =h (1)=1.对g 1e =e +1e ,g (e)=e -1e ,∴a 的取值范围是1,e -1e . 9.AD ∵函数f (x )=x ln x+x 2(x>0),∴f'(x )=ln x+1+2x.∵x 0是函数f (x )的极值点, ∴f'(x 0)=0,即ln x 0+1+2x 0=0,∵f'(x )在(0,+∞)上单调递增,且f'(1e )=2e >0,又x →0,f'(x )→-∞,∴0<x 0<1e ,即选项A 正确,选项B 不正确;f (x 0)+2x 0=x 0ln x 0+x 02+2x 0=x 0(ln x 0+x 0+2)=x 0(1-x 0)>0,即选项D 正确,选项C 不正确.故选AD .10.ABC 令f (x )=0,即x (x-1)(x-2)=0,解得x=0或x=1或x=2,故函数f (x )有三个零点,故选项A 正确;因为f (1+x )+f (1-x )=0,所以点(1,0)是函数f (x )图像的对称中心,故选项B 正确;令f'(x )=3x 2-6x+2=0,解得x=3±√33,故f (x )在-∞,3-√33上单调递增,在3-√33,3+√33上单调递减,在3+√33,+∞上单调递增,函数f (x )的极大值点为x=1-√33,故选项C 正确;因为f (x )在R 上不单调,所以不存在实数a ,使得函数g (x )=[f (x )]2+af (x )在R 上为增函数,故D 错误.故选ABC .11.BD 由题知f'(x )=3x 2+a.对于A,由f (x )是奇函数,知b=0,因为a<0,所以f (x )存在两个极值点,易知f (x )有三个零点,故A 错误;对于B,因为b 2+1≥1,所以a ≥0,f'(x )≥0,所以f (x )单调递增,则f (x )仅有一个零点,故B 正确;对于C,若取b=2,则f (x )的极大值为f (-1)=4,极小值为f (1)=0,此时f (x )有两个零点,故C 错误;对于D,f (x )的极大值为f -√-a3=b-2a3√-a3,极小值为f√-a 3=b+2a 3√-a3.因为a<0,所以b2+4a 327>b 2+a 36>0,所以b 2>-4a 327,则b>-2a 3√-a3或b<2a3√-a3,从而f -√-a3>0,f √-a3>0或f -√-a3<0,f √-a3<0,可知f (x )仅有一个零点,故D 正确.12.BC 当x ≤0时,f (x )=e x (x+1),则f'(x )=e x (x+1)+e x =e x (x+2).由f'(x )<0得,x+2<0,即x<-2,此时f (x )单调递减, 由f'(x )>0得,x+2>0,即-2<x ≤0,此时f (x )单调递增,即当x=-2时,f (x )取得极小值f (-2)=-1e 2,作出f (x )的图像如图:由图像可知当0<f (x )≤1时,有三个不同的x 的取值与f (x )对应. 设t=f (x ),因为方程[f (x )]2-af (x )+116=0有六个不等的实数根, 所以t 2-at+116=0在t ∈(0,1]内有两个不等的实数根, 设g (t )=t 2-at+116.则{g (0)>0,g (1)≥0,Δ>0,0<a 2<1,即{116>0,1-a +116≥0,a 2-4×116>0,0<a 2<1, 解得12<a ≤1716.结合选项可知实数a 可能是23或1,故选BC .13.e2由题意,得f'(x)=ax ex-ae x lnx(e x)2=ax-alnxe x.又切线斜率k=12.∴f'(1)=ae=12,∴a=e2.14.[e-1,+∞)由题意可得f'(x)=e x ln x+1x -a≤0在1e,e上恒成立.因为e x>0,所以只需lnx+1x-a≤0,即a≥ln x+1x在1e,e上恒成立.令g(x)=ln x+1x.因为g'(x)=1x−1x2=x-1x2.由g'(x)=0,得x=1.则g(x)在1e,1上单调递减,在(1,e)上单调递增,g1e =ln1e+e=e-1,g(e)=1+1e,因为e-1>1+1e,所以g(x)max=g1e=e-1.故a的取值范围为[e-1,+∞).15.[4,8]结合题意可得log24=2≤f(x)≤log216=4,要使得对∀x1∈{x|g(x)=√x+√a-x},∃x2∈[4,16],使g(x1)=f(x2)成立,则要求g(x)的值域在[2,4]上,对g(x)求导得g'(x)=√a-x-√x2√x·√a-x,令g'(x)>0,解得x<a2,结合该函数的定义域为[0,a],可知g(x)在0,a2上单调递增,在a2,a上单调递减,故g(x)在x=a2取到最大值,在x=0取到最小值,所以需要满足g a2≤4,且g(0)≥2,得到{√a2+√a2≤4,√a≥2,解得a∈[4,8].16.32[32,+∞)由题意,f'(x)=2x,g'(x)=2ax-1,因为直线y=2x-b与函数y=f(x),y=g(x)的图像均相切,所以{2x=2,2ax-1=2,解得x=1,a=32.设直线l与y=f(x)的图像相切于点P1(x1,y1),x1>0,则切线方程为y-2ln x1=2x1(x-x1),代入g(x)=ax2-x-12(a>0),得2x1x-2+2ln x1=ax2-x-1 2,即ax2-(1+2x1)x+(32-2ln x1)=0.所以Δ=(1+2x1)2-4a×(32-2ln x1)=0.所以a=(x 1+2)22x 12(3-4ln x 1)(x 1>0). 令y=(x 1+2)22x 12(3-4ln x 1)(x 1>0), 则y'=2(x 1+2)(4ln x 1+x 1-1)x 13(3-4ln x 1)2.令y'=0,解得x 1=1.当x 1>1时,y'>0,y 单调递增,当0<x 1<1时,y'<0,y 单调递减,因此y ≥(1+2)22×12(3-4ln1)=32,即a ≥32.17.解 (1)当a=1时,y=f (x )g (x )=xlnxx+1,y'=(1+lnx )(x+1)-xlnx(x+1)2=lnx+x+1(x+1)2,所以y'|x=1=ln1+1+1(1+1)2=12,即当x=1时,切线的斜率为12,又切线过点(1,0),所以切线方程为x-2y-1=0.(2)f'(x )=1ax ,(1g (x ))'=1(x+1)2,F'(x )=f'(x )-(1g (x ))'=1ax −1(x+1)2=(x+1)2-ax ax (x+1)2,当a<0时,F'(x )<0,函数F (x )在(0,+∞)上单调递减; 当a>0时,令h (x )=1a x 2+(2a -1)x+1a ,Δ=1-4a ,当Δ≤0,即0<a ≤4时,h (x )≥0,此时F'(x )≥0,函数F (x )在(0,+∞)上单调递增; 当Δ>0,即a>4时,方程1a x 2+(2a -1)x+1a =0有两个不等实数根x 1,x 2,设x 1<x 2,则x 1=a -2-√a 2-4a 2,x 2=a -2+√a 2-4a 2,所以0<x 1<1<x 2,此时,函数F (x )在(0,x 1),(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减. 综上所述,当a<0时,F (x )的单调递减区间是(0,+∞); 当a>4时,F (x )的单调递减区间是(a -2-√a 2-4a 2,a -2+√a 2-4a2),单调递增区间是0,a -2-√a 2-4a2,a -2+√a 2-4a2,+∞.当0<a ≤4时,F (x )的单调递增区间是(0,+∞). 18.解 (1)f'(x )=a e x +ax e x -1x .因为函数f (x )=ax e x -ln x+b 在x=1处的切线为y=(2e -1)x-e, 所以{f (1)=ae +b =e -1,f '(1)=2ae -1=2e -1,解得a=1,b=-1.(2)由f (x )≥mx 得,x e x-ln x-1≥mx (x>0),即m ≤xe x -lnx -1x. 令φ(x )=xe x -lnx -1x ,则φ'(x )=x 2e x +lnxx 2.令h (x )=x 2e x +ln x ,h (x )在(0,+∞)上单调递增,则h 1e=1e 2e 1e -1<e 2e 2-1=0,h (1)=e >0.所以h (x )在1e ,1上存在零点x 0,即h (x 0)=x 02e x 0+ln x 0=0,即x 0e x 0=-ln x0x 0=ln 1x 0(eln1x 0).由于y=x e x 在(0,+∞)上单调递增,故x 0=ln 1x 0=-ln x 0,即e x 0=1x 0.因为φ(x )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+∞)上单调递增,所以φ(x )min =x 0e x 0-ln x 0-1x 0=1+x 0-1x 0=1. 所以m ≤1.实数m 的取值范围为(-∞,1]. 19.(1)解 f'(x )=1x +2ax-(2a+1)=(x -1)(2ax -1)x(x>0). ①当a ≤0时,令f'(x )>0,得0<x<1;令f'(x )<0,得x>1.所以f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.②当a>0时,令f'(x )=0,得x 1=1,x 2=12a . (ⅰ)当a=12时,f'(x )=(x -1)2x ≥0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增.(ⅱ)当a>12时,令f'(x )>0,得0<x<12a 或x>1; 令f'(x )<0,得12a <x<1.所以f (x )在0,12a 和(1,+∞)上单调递增,在12a ,1上单调递减. (ⅲ)当0<a<12时,令f'(x )>0,得0<x<1或x>12a ; 令f'(x )<0,得1<x<12a .所以f (x )在(0,1)和12a ,+∞上单调递增,在1,12a 上单调递减.综上,当a ≤0时,f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; 当a=12时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a>12时,f (x )在0,12a 和(1,+∞)上单调递增,在12a ,1上单调递减; 当0<a<12时,f (x )在(0,1)和12a ,+∞上单调递增,在1,12a 上单调递减.(2)证明由(1)知,当a>12时,f (x )在0,12a 和(1,+∞)上单调递增,在12a ,1上单调递减.则g (x )在0,12a 和(1,+∞)上单调递增,在12a ,1上单调递减.因为g (1)=0,所以1是函数g (x )的一个零点,且g 12a >0.当x ∈0,12a 时,取0<x 0<e -a-1且x 0<12a ,则a x 02-(2a+1)x 0+a+1=a x 02-x 0-2ax 0+a+1<a+1,g (x 0)<-a-1+a+1=0.所以g 12a ·g (x 0)<0,所以g (x )在0,12a 上恰有一个零点,所以g (x )在区间(0,+∞)上有两个零点.20.解 (1)由题意知f'(x )=ln x+1(x>0),设切点为P (x 0,x 0ln x 0-1),在点P 处的切线方程为y-(x 0ln x 0-1)=(1+ln x 0)(x-x 0).整理得y=(1+ln x 0)x-(x 0+1).由{1+ln x 0=k -1,k =x 0+1,即{ln x 0=k -2,x 0=k -1,得ln x 0=x 0-1.令h (x )=ln x-x+1,则h'(x )=1x -1=1-xx .当0<x<1时,h'(x )>0,h (x )在(0,1)上单调递增; 当x>1时,h'(x )<0,h (x )在(1,+∞)上单调递减. 所以h (x )的最大值为h (1)=0,即x 0=1,故k=2.(2)令F (x )=f (x )-g (x )=x ln x-(k-1)x+k ,则F'(x )=ln x+2-k=ln x-(k-2)(x>1). ①当k-2≤0时,F'(x )>0,所以f (x )在(1,+∞)上单调递增.所以F (x )>F (1)=1,即F (x )在(1,+∞)上无零点. ②当k-2>0时,由F'(x )=0,得x=e k-2.当1<x<e k-2时,F'(x )<0,所以F (x )在(1,e k-2)上单调递减; 当x>e k-2时,F'(x )>0,所以F (x )在(e k-2,+∞)上单调递增. F (x )的最小值为F (e k-2)=(k-1)e k-2-k (e k-2-1)=k-e k-2.令m (k )=k-e k-2,则m'(k )=1-e k-2<0,所以m (k )在(2,+∞)上单调递减,而m (2)=2-1=1,m (3)=3-e >0,m (4)=4-e 2<0,因此k 的最大值为3.21.(1)解 (ⅰ)当k=6时,f (x )=x 3+6ln x ,故f'(x )=3x 2+6x .可得f (1)=1,f'(1)=9,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-1=9(x-1),即9x-y-8=0.(ⅱ)依题意,g (x )=x 3-3x 2+6ln x+3x ,x ∈(0,+∞).从而可得g'(x )=3x 2-6x+6x −3x 2,整理可得g'(x )=3(x -1)3(x+1)x 2.令g'(x )=0,解得x=1.当x 变化时,g'(x ),g (x )的变化情况如下表:所以,函数g (x )的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g (x )的极小值为g (1)=1,无极大值.(2)证明由f (x )=x 3+k ln x ,得f'(x )=3x 2+k x .对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,令x1x 2=t (t>1),则(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2[f (x 1)-f (x 2)]=(x 1-x 2)3x 12+k x 1+3x 22+k x 2-2x 13−x 23+k ln x1x 2=x 13−x 23-3x 12x 2+3x 1x 22+k x 1x 2−x 2x 1-2k ln x 1x 2=x 23(t 3-3t 2+3t-1)+k t-1t -2ln t .①令h (x )=x-1x -2ln x ,x ∈(1,+∞). 当x>1时,h'(x )=1+1x 2−2x=(1-1x )2>0,由此可得h (x )在(1,+∞)上单调递增, 所以当t>1时,h (t )>h (1),即t-1t -2ln t>0. 因为x 2≥1,t 3-3t 2+3t-1=(t-1)3>0,k ≥-3,所以,x 23(t 3-3t 2+3t-1)+k t-1t -2ln t ≥(t 3-3t 2+3t-1)-3t-1t -2ln t =t 3-3t 2+6ln t+3t -1.② 由(1)(ⅱ)可知,当t>1时,g (t )>g (1),即t 3-3t 2+6ln t+3t >1,故t 3-3t 2+6ln t+3t -1>0. ③由①②③可得(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2[f (x 1)-f (x 2)]>0. 所以,当k ≥-3时,对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,有f '(x 1)+f '(x 2)2>f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2. 22.证明 (1)因为f (0)=1-a<0,f (2)=e 2-2-a ≥e 2-4>0,所以y=f (x )在(0,+∞)上存在零点.因为f'(x )=e x -1,所以当x>0时,f'(x )>0,故函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,所以函数y=f (x )在(0,+∞)上有唯一零点.(2)①令g(x)=e x-1x2-x-1(x≥0),g'(x)=e x-x-1=f(x)+a-1,由①知函数2g'(x)在[0,+∞)上单调递增,故当x>0时,g'(x)>g'(0)=0,所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递增,故g(x)≥g(0)=0.由g(√2(a-1))≥0,得f(√2(a-1))=e√2(a-1)−√2(a-1)-a≥0=f(x0), 因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,故√2(a-1)≥x0.令h(x)=e x-x2-x-1(0≤x≤1),h'(x)=e x-2x-1,令h1(x)=e x-2x-1(0≤x≤1),h'1(x)=e x-2,所以故当0<x<1时,h1(x)<0,即h'(x)<0,所以h(x)在[0,1]上单调递减,因此当0≤x≤1时,h(x)≤h(0)=0.由h(√a-1)≤0,得f(√a-1)=e√a-1−√a-1-a≤0=f(x0),因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,故√a-1≤x0.综上,√a-1≤x0≤√2(a-1).②令u(x)=e x-(e-1)x-1,u'(x)=e x-(e-1),所以当x>1时,u'(x)>0,故函数u(x)在区间[1,+∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)=0.由e x0=x0+a可得x0f(e x0)=x0f(x0+a)=(e a-1)x02+a(e a-2)x0≥(e-1)a x02,由x0≥√a-1,得x0f(e x0)≥(e-1)(a-1)a.。

专题09 一元函数的导数及其应用(利用导数研究函数图象及性质,全题型压轴题)试题含解析

专题09一元函数的导数及其应用（利用导数研究函数图象及性质）（全题型压轴题）目录①图象识别题 (1)②函数切线条数问题 (3)③不等式整数解问题 (4)④函数零点，方程根，两个函数图象交点问题 (4)⑤不等式恒成立问题 (6)①图象识别题．．．．．．．．2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双J 型曲线合该曲线的是（）A ．ln y x x=C ．1ln y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4．（2023·新疆·校联考二模）函数．．．．．．．．②函数切线条数问题y=切线有且只有两条，2023春·陕西汉中·高二校联考期中）)作曲线e x③不等式整数解问题④函数零点，方程根，两个函数图象交点问题⑤不等式恒成立问题专题09一元函数的导数及其应用（利用导数研究函数图象及性质）（全题型压轴题）目录①图象识别题 (1)②函数切线条数问题 (5)③不等式整数解问题 (10)④函数零点，方程根，两个函数图象交点问题 (14)⑤不等式恒成立问题 (22)①图象识别题．．．．．．．．【答案】D【详解】解：因为函数()f x =的定义域为：{}|R,0x x x ∈≠，且所以函数()f x 是偶函数，0时，()541f x x -⎛'=-- ⎝A ．ln y x x =C ．1ln y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A【详解】由函数()f x x =．．．．【答案】B【详解】对于A ，因为[]7,7x ∈-关于原点对称，)()()()22sin cos x x x x x -==--+-，所以()f x 为奇函数，排除．．．．【答案】AD【详解】因为e xy =与2y x =均为偶函数，所以()2exf x x a=+为偶函数，函数图象关于②函数切线条数问题1．（2023春·陕西汉中·高二校联考期中）过点()0,b 作曲线e x y =切线有且只有两条，则b 的取值范围为（）A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(],1-∞D ．(]0,1【答案】A【详解】设切点为()00,P x y ，由e x y =，则e x y '=，所以过()00,P x y 的切线方程为()000e e x x y x x -=-，即()000e 1e xx y x x =+-，故()00e 1xb x =-有且仅有两根，设()()1e xg x x =-，则()e xx g x '=-，当0x <时，()0g x '>，此时()g x 单调递增；当0x >，()0g x '<，此时()g x 单调递减，又当0x <时，()0g x >，()001e g ==，()10g =，所以()g x 的图象如下：故()00e 1xb x =-有且仅有两根，则b 的取值范围为()0,1．故选：A ．2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数()326f x x x =-，若过点()1,P t 可以作出三条直线与曲线()f x 相切，则t 的取值范围是（）A ．()5,4--B ．()4,3--C ．()3,2--D ．()2,1--【答案】A【详解】设过点()1,P t 的切线与()f x 相切于点()32,6m m m -，()2312f x x x '=- ，()2312f m m m '∴=-，则切线方程为：()()()3226312y m m m m x m --=--，又切线过点()1,P t ，()()()23232312162912t m m m m m m m m ∴=--+-=-+-，令()322912g m m m m =-+-，则问题等价于y t =与()g m 有三个不同的交点，()()()261812612g m m m m m '=-+-=--- ，∴当()(),12,m ∈-∞+∞ 时，()0g m '<；当()1,2m ∈时，()0g m '>；()g m ∴在()(),1,2,-∞+∞上单调递减，在()1,2上单调递增，又()15g =-，()24g =-，由此可得()g m 图象如下图所示，由图象可知：当()5,4t ∈--时，即当()5,4t ∈--时，过点(1,P t 故选：A.3．（2023春·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）取值范围为.【答案】24(0,)e 【详解】设点(),P x y 为曲线故答案为：24(0,)e 4．（2023·山东烟台·统考三模）若曲线【答案】1e-由图可知当44ek -=，即1e k =-时，直线个不同的实数根，所以，曲线1(0)y kx k -=<与曲线1③不等式整数解问题a>，要使不等式由题意及图象可知0由图像可知，0a ≤不满足条件，则0a >，要使不等式()2ln 1xa x x -<有且只有2个整数解，则这两个整数解是则有()()()()ln 3313,9ln 4ln 2414,168a g a g ⎧-<=⎪⎪⎨⎪-≥==⎪⎩①当0t <时，由不等式2()f x 当()0f x >时，1x >，有无数多个整数解；当()0f x t <<时，其解集为(0,1所以0t <不合题意；设()(1),()g x a x g x =+的图象恒过定点设23492,,3,e e A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则24,3e AM k =又当1x =时，直线AM ，BM 在()f x 图象下方，由题意可知，1x =和2x =是不等式a直线()()2g x a x =+恒过点()2,0-.当0a ≤有无数个整数解，不满足条件；当0a >时，只需要满足(0)(0)(1)(1)g f g f <⎧⎨≥⎩，即④函数零点，方程根，两个函数图象交点问题2．（2023春·云南大理·高二统考期末）若二次函数个公共点，则实数a 的取值范围是【答案】280,e ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】由题意()()f x g x =，得22x 由题意，直线y a =与()h x 的图象有32422(2)()e e x xx x x x h x --'==，由图可知，当280,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y a =与()h x 则实数a 的取值范围是280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：280,e ⎛⎫⎪⎝⎭.3．（2023春·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考期末）a 由图象可知：当01a <<或1a >时，即实数a 的取值范围为()(0,11,+∞由图像可知，要满足题设条件，则0,1⋃故a的取值范围为()5．（2023春·浙江衢州·高二统考期末）已知函数()由题意，直线y m =与()g x 的图象有且仅有两个交点，所以()242e m g ==.（2）由题可得e x x kx b +=有唯一解，即若函数()()g x f x k =-没有零点，则函数所以1e e 4k -<<.⑤不等式恒成立问题2．（2023·全国·高三专题练习）对任意的则m的最小值为.【答案】12/0.5【详解】因为关于x的不等式3x+当m >0时,13y x m =+的图象与由图可知当正数m 最小时,直线对函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求导得到令22cos 236k y x π⎛⎫'==+= ⎪⎝⎭所以21sin 2062y π⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭,所以切点的坐标为把点10,2⎛⎫⎪⎝⎭代入13y x m =+得：故答案为：12.3．（2023秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期末）已知不等式立，则实数a 的取值范围是【答案】[2,]e -【详解】依题意，2()(+x e ax x ax -（2）由12,3[,23]x x ∃-∈∀∈函数()f x 在3[,3]2-上的最小值不大于函数由（1）知，在区间3[,3]2-当1[,2]2x ∈时，()x e h x '=因此函数()h x 在区间1[,1]2于是min ()(1)e h x h n ==+，则有所以n 的取值范围是n ≥-5．（2023春·浙江·高二校联考期中）已知函数(1)当1a =时，求函数(f x (2)若()f x 有经过原点的切线，求(3)设函数()()g x f x x =-的两个极值点分别为范围.【答案】(1)单调递减区间为(2)2a ≥或a<0；2a =或a<(3)1e e a ≥+若()f x 有经过原点的切线，则直线由图可知，201a <≤或20a <，即其中，当21a =或20a <，即a 当201a<<，即2a >时，存在两条切线；综上：2a =或a<0时，有且仅有一条切线，（3）()()ln g x f x x a x =-=+∴()22211a x ax g x x x x -+=--='。

一元函数的导数及其应用(利用导数研究函数图象及性质)(压轴题)(解析版)-高考数学高分必刷必过题

．．．．【答案】B【详解】解：函数()e xxf x =-的定义域为时()0f x <，排除A ．1)e xx x -=，当1x <时，()f x '<时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞递减，在(1,)+∞．．．．．．．．因为()f x 的图像与直线y b =-有三个交点，所以240ea b +<-<，即()24e 0a b -+<<.故选：D.2．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知函数f 相切的直线有三条，则（）又()03g =-，()1e g =-，且(g 有3个解，则3e a -<<-.故选：A3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）过直线由图可知，0e t <<，故选：C.当0a ≤时，()()f x g x >至多有一个整数解因为()f x 为偶函数，且不等式()()20f x af x +>在[200,200-所以不等式()()20f x af x +>在()0,200内有100个整数解，因为()f x 周期为8，所以()f x 在()0,200内有25个周期，所以不等式()()20f x af x +>在()0,8有4个整数解，要使ln (1)xk x x+≤有且只有两个整数解，则(1)y k x =+与()g x 若交点的横坐标为12x x <，则121234x x <≤<≤<，ln 232ln 3k ⎧≤⎪⎪⎪ln 2ln 3故答案为：22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭6．（2022·重庆·高三阶段练习）设函数()f x =有两个整数解，则a 的取值范围是______.【答案】2533e 2ea ≤<结合图象可得()()()()()()001122h g h g h g ⎧>⎪->-⎨⎪-≤-⎩，即12123e 35e a a a --->-⎧⎪->-⎨⎪-≤-⎩，解得2533e 2ea ≤<，即a 的取值范围是2533e 2ea ≤<.故答案为；2533e 2ea ≤<.7．（2022·重庆·高二阶段练习）已知函数()(e =x f x x2．（2022·新疆·模拟预测（理））若函数()f x 范围为（）A ．10,2e 2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B C ．21,12e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦D 【答案】B【详解】问题转化为函数32()e g x x ax x =-+,(h 设切点的横坐标为0x .则()()()()0000g x h x g x h x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩,即32002032x ax x ax ⎧-+⎪⎨-⎪⎩消去a 得3000e 2ln 10x x x -+-=设3()e 2ln 1x x x x ϕ=-+-22211()3e 3x x x x x x ϕ'=-+=++-即()x ϕ在(0,)+∞上单调递增易知直线(2)y a x =+恒过定点()2,0A -,斜率为a ，当直线与()f x 相切时是一种临界状态,设此时切点的坐标为(C 则()()000122ln 2a y x a x x ⎧==⎪+⎨⎪+=+⎩',解得0e 21e =-⎧⎪⎨=⎪⎩x a ，所以0112ey x ==+'，当直线过点()2,ln 4B 时,ln 4ln 2k ==，又方程7()20f x x -+=的根即()y f x =与()127y x =-的交点，有3个交点，且关于()2,0对称，加上()2,0共7个交点，其根之和为故选：A6．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））已知函数()g x由图可知，当10m -<<时，直线因此，实数m 的取值范围是(故选：C.7．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二阶段练习）已知函数()()22f x af x a a -+-=因为关于x 的方程()()220f x af x a a -+-=有四个不等实根．则函数()g t 必有两个不同的零点1t 、2t ，不妨设12t t <①若10t =，则21t =，由韦达定理可得()121211t t a a t t a ⎧=-⎨+==⎩②若10t <，则201t <<，则()()()20101210g a a g a a ⎧=-<⎪⎨=-+>⎪⎩，解得9．（2022·北京·北师大二附中高三开学考试）已知函数()22f x x m =+(1)当1m =时，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若关于x 的方程()()2212e xx f x m =+恰有四个不同的解，求m 的取值范围【答案】(1)1；(2)2211,e 22⎛⎫--- ⎪⎝⎭.（1）当1m =时，()22e xf x x =+，所以()02f =，又()22e xf x x '=+，要使方程()()2212e xx f x m =+恰有四个不同的解，因为1t =与函数()g x 的图象有一个交点，则12t m =--与函数∴24012e m <--<，即2211e 22m --<<-，其中444,ln x D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()00,P x f x ，则1201x x x <<<得11e x mx =，44ln x x m=，因为34ln 4344e e ln ln x x x x x x ==111221e e ln ln e x x x x x x ==，由11<x ，2ln 1x <，因此2x 所以存在满足条件的一个排列，如2i =，3j =11．（2022·辽宁大连·高二期末）已知()ax f x =设()f x 和()g x 的图象交于点A ，则当直线y b =经过点A 时，直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，则12301e x x x <<<<<，且12312223ln ln ,,e e x x x x x x b b b x x ====，因为1122ln e x x x b x ==，ln x x直线e y ax =-恒过定点(0,与ln y x x =，0x >相切时，设切点得ln 1y x ¢=+，可得1ln k =+解得0e x =，则切线的斜率为()211y x =--++，0x ≤相切时，直线故有1e b a -≤，解得1eb a ≥-，当且仅当()g x ax b =+恰为ln 1()x f x x+=的图像恒在()g x ax b =+图像的下方，即满足ln 1x ax b x +≤+恒成立，即2ln 1x ax bx ≤+-恒成立切线方程为221e ()e e ey x x =-=-，即2e ,e a b ==-时，ba取得最小值1e -.故答案为：1e-.由（1）中函数()f x 的单调性可知，①当0a <时，()f x 在(0,∞+当0x +→时，()f x →+∞，当所以，()t f x =∈R ，此时g ②当0a >时，()max f x f ⎛= ⎝又''12e ,x a y y x ==，由切点性质知0000e e ln ln x x a x a x a a⎧=⎪⎨⎪=+⎩，所以00ln ln aa x a a x =+即001ln ln x a x =+，故当1e>a 时，()f x 无零点；。

一元函数的导数及其应用(利用导数研究函数零点(方程的根)问题)(压轴题)(原卷版)高考数学高分必刷题

专题08一元函数的导数及其应用（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）（全题型压轴题）利用导数研究函数零点（方程的根）问题①判断零点（根）的个数②已知零点（根）的个数求参数③已知零点（根）的个数求代数式的值①判断零点（根）的个数1．（2022·福建·厦门一中高二期中）已知函数()31ln 01203x x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，则函数()()1g x f x x =--的零点个数为（）A ．1B ．0C ．3D ．22．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模（理））函数()2e 1axf x x =-在定义域内的零点个数不可能是（）A ．3B ．2C ．1D ．03．（2022·全国·高二课时练习）已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2x f x xe f x '=+，若()1f e =，则函数()()4g x f x =-的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022·广西·钦州一中高二期中（理））函数32()f x x x x c =+++的零点个数为（）A ．1B ．1或2C ．2或3D ．1或2或35．（2022·全国·高二课时练习）方程()()10xx e a a +=>解的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．06．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数是（）A ．2B ．3C ．3或4D ．3或4或57．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数()ln f x x =.(1)当[)1,x ∞∈+时，证明：函数()f x 的图象恒在函数()322132=-g x x x 的图象的下方；(2)讨论方程()0f x kx +=的根的个数.8．（2022·云南·曲靖一中高二期中）已知函数()ln f x a x a =-．(1)当1a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1T f 处的切线的方程．(2)已知4a ≤，讨论函数()f x 的图象与直线2y x =-的公共点的个数．②已知零点（根）的个数求参数1．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数2ln 1,e()e e 1,22e x x x f x x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩，设关于x 的方程()()()210R f x af x a +-=∈有m 个不同的实数解，则m 的所有可能的值为（）A ．3B ．4C ．2或3或4或5D ．2或3或4或5或62．（2022·河南·高二阶段练习（文））若函数()21exx x f x a --+=-有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．2261,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2251,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．25,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．25,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭3．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知a R ∈，函()()2ln (0)e 0x x x ax xf x ax x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，若函数()f x 有三个不同的零点，e 为自然对数的底数，则a 的取值范围是（）A ．10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1(,e)0,2e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭D ．1(,e)0,e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭4．（2022·江西·模拟预测（理））已知函数()()22e (e =--x xf x x x a ）有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，1e -）B ．（0，2e -）C ．（0，1）D ．（0，e ）5．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））方程()log 00,1xa a a >≠有两个不相等实根，则a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．2e0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2e 1,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2e e ,6．（2022·河南南阳·高二期中（理））若关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，则实数m 的取值范围为（）A ．(]12ln2e 3--,B ．1e 12ln 2e +⎛⎤- ⎝⎦,C ．1e 12ln2e +⎛⎫- ⎪⎝⎭,D ．()12ln 2e 3--,7．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）方程321303x x x a +--=有三个相异实根，则实数a 的取值范围是（）A ．5,93⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,93⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．59,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．59,3⎛⎫- ⎪⎝⎭8．（2022·福建·清流县第一中学高二阶段练习）若函数()()1e xf x x =+，当方程()()R f x a a =∈有2个解时，则a 的取值范围（）A ．21e a <-B ．21e a =-或0a ≥C ．210e a -<<D ．21e a =-且0a ≥9．（2022·北京八十中高二期中）已知方程21e x x x a +-=有三个实数解，则实数a 的取值范围是_______.10．（2022·全国·高二）设函数()()212ln f x x x =+-，若关于x 的方程()2f x x x a =++在[]1,3上恰好有两个相异的实数根，则实数a 的取值范围为___________.11．（2022·河南·高二期中（理））若函数()ln e 1xf x x ax =--+不存在零点，则实数a 的取值范围是______.12．（2022·全国·高三专题练习）若函数()2ln 1x f x x e a x =---（）没有零点，则整数a 的最大值为：_________．13．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（理））已知函数32()3f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行.(1)求a 的值；(2)若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点，求b 的取值范围.14．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）已知函数()ln 2=-f x ax x x .(1)若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 在区间[1,2]上的值域；(2)若函数2()()2=-+f x h x x x有1个零点，求a 的取值范围.15．（2022·北京·人大附中高二期中）已知函数()321313f x x x x =--+．(1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若方程()f x a =有三个不同的实数根，求实数a 的取值范围．16．（2022·安徽·合肥市第九中学高二期中）当2x =时，函数3()4=-+f x ax bx （,a R b R ∈∈）有极值203-，(1)求函数3()4=-+f x ax bx 的解析式；(2)若关于x 的方程()f x k =有3个解，求实数k 的取值范围．③已知零点（根）的个数求代数式的值1．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数()24,0,e 1,0x x x xf x x ⎧+≤=⎨-->⎩，，若函数()()g x f x k=-有三个不同的零点，123,,x x x ，且123x x x <<，则123x x x 的取值范围是（）A ．44ln 3⎛⎫⎪⎝⎭，B ．45ln 3⎛⎫⎪⎝⎭，C ．4ln 3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．2ln 3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2．（2022·陕西·西安中学二模（理））已知函数()()(]()ln 1,1,11ln 2,1,x x x f x x x ee ⎧+∈-⎪=⎨+-∈+∞⎪⎩，若方程()f x a =有三个不等根123,,x x x ，则123111x x x ++的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()0,1C ．()1,0-D ．(),1-∞3．（2022·河北·模拟预测）已知实数1x ，2x 满足131e e x x =，()622ln 3e x x -=，则12x x =（）A ．2eB ．5eC ．6eD ．7e 4．（2022·浙江·镇海中学高三期末）已知函数()330|1ln 0x x xf x x x ⎧-≤⎪=⎨+⎪⎩，，，．若存在互不相等的实数a b c d ，，，，使得()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围为（）A ．()20e-，B ．()10e-，C ．()102e -，D ．()01，5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若方程()f x ax =有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则()23123ln ⋅+x x x x x 的取值范围是（）A ．1,122⎛⎫-⎪-⎝⎭ee B ．1,012⎛⎫⎪-⎝⎭e C ．11,221-⎛⎫- ⎪-⎝⎭e e e D ．11,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e 6．（2022·湖南·高三阶段练习）已知函数()2f x ax =，()e xg x b =，0ab >，且当0x >时，()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，则1a b+的取值范围为______.7．（2022·江苏南通·高三期末）函数22,0,()4,0x t x f x x x t x ⎧-≥=⎨---<⎩有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是__________.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()21e x ax bxf x +-=的最小值为–1，函数()3231g x ax bx =++的零点与极小值点相同，则a b +=___________.9．（2022·广东·顺德一中高二期中）已知函数()()ln ,115,13x x f x x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若21x x >且()()12f x f x =，则12x x -的最大值是___________.10．（2022·全国·高三专题练习）已知实数1x ，2x 满足131xx e e =，()522ln 2x x e -=，则12x x =______.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高考真题第十四篇一元函数的导数及其应用一、导数的几何意义、定积分与微积分基本定理二、导数的综合应用导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线在点处的切线方程为____________．2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线在点处的切线方程为y =2x +b ，则 A ． B ．a=e ，b =1C ．D ．，2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e=D ．3y x =4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足23()e xy x x =+(0)0，e ln x y a x x =+1e a （，）e 1a b ==-，1e 1a b -==，1e a -=1b =-()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是A ．11()f kk -C ．11()11f k k <--D ．1()11kf k k >-- 5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．47．（2013江西）若则123,,S S S 的大小关系为A ．B ．C ．D ．8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．B ．C ．D ．9．（2011新课标）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为A ．B ．4C ．D ．6 10．（2011福建）1(2)xex dx +⎰等于A ．1B ．1e -C ．eD ．1e + 11．（2010湖南）421dx x⎰等于 A ．2ln2- B ．2ln 2 C ．ln 2- D ．ln 2 12．（2010新课标）曲线3y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰123S S S <<213S S S <<231S S S <<321S S S <<14151617y =2y x =-y 103163A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+ 13．（2010辽宁）已知点P 在曲线y=41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A ．[0,4π) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________． 15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a =____． 16．(2016年全国Ⅱ)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．17．(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =，在点(1,3)-处的切线方程是_________．18．（2015湖南）2(1)x dx -⎰= ．19．（2015陕西）设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为．20．（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．（第15题）（第17题）21．（2014广东）曲线在点处的切线方程为．22．（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．23．（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线(a ，b 为常数)过点，y kx b =+ln 2y x =+ln(1)y x =+b=25+=-xey )3,0(xOy xbax y +=2)5,2(-P且该曲线在点P 处的切线与直线平行，则的值是． 24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ．26．(2013湖南)若．27．（2013福建）当时，有如下表达式: 两边同时积分得：从而得到如下等式：请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+= ．28．（2012江西）计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________．29．（2012山东）设，若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则．30．（2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________．0327=++y x b a +209,Tx dx T =⎰则常数的值为,1x R x ∈<211.......1nx x x x+++++=-11111222222011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+0>a x y =0,==y a x 2a =a31．（2011陕西）设，若，则．32．（2010新课标）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx ⎰的近似值为．33．（2010江苏）函数2y x =(0x >)的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若116a =，则135a a a ++= ．三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos xf x e x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．35．(2016年北京)设函数，曲线在点处的切线方程为，（I ）求，的值；（II ）求的单调区间.36．（2015重庆）设函数23()()exx axf x a R +=∈．（Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围． 37．（2015新课标Ⅰ）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-．（Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；2lg 0()30ax x f x x t dt x>⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰((1))1f f =a =()a xf x xebx -=+()y f x =(2,(2))f (1)4y e x =-+a b ()f x（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数．38．(2014新课标Ⅰ)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．39．（2013新课标Ⅱ）已知函数(Ι)设是的极值点，求,并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明．40．（2012辽宁）设，曲线与直线在点相切．（1）求的值；（2）证明：当时，． 41．（2010福建）（1）已知函数3()=f x x x -，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值；（2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．()()ln xf x e x m =-+0x =()f x m ()f x 2m ≤()0f x >()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数()=y f x 3=2y x ()0,0,a b 0<<2x ()9<+6xf x x导数的几何意义、定积分与微积分基本定理答案部分 2019年1.解析：因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31xy x x =++（），所以当0x =时，'3y =，所以23e xy x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =，又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =． 2.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++，又函数e ln xy a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+，可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-．故选D ．2010-2018年1．D 【解析】通解因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．2．A 【解析】不妨设111(,ln )P x x ，222(,ln )Px x ，由于12l l ⊥，所以1211()1x x ⨯-=-，则121x x =．又切线1l ：1111ln ()y x x x x -=-，22221:ln ()l y x x x x +=--，于是1(0,ln 1)A x -，1(0,1ln )B x +，所以||2AB =，联立1112221ln ()1ln ()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩，解得1121P x x x =+，所以1112212PAB P S x x x ∆=⨯⨯=+，因为11x >，所以1112x x +>，所以PAB S ∆的取值范围是(0,1)，故选A ．3．A 【解析】设函数()y f x =的图象上两点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为11()k f x '=，22()k f x '=若函数具有T 性质,则12k k ⋅=1()f x '2()f x '=-1．对于A 选项，()cos f x x '=，显然12k k ⋅=12cos cos x x =-1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，1()(0)f x x x'=>，显然 12k k ⋅=1211x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，()x f x e '=>0，显然12k k ⋅=12xxe e ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，2()3f x x '=≥0，显然12k k ⋅=221233x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质．故选A ．4．C 【解析】取满足题意得函数()21f x x ，若取32k，则121()()33f f k213k ，所以排除A ．若取1110k ，则111110()()(10)1911111111111010k f f f k k ，所以排除D ；取满足题意的函数()101f x x ，若取2k ，则1111()()412211f f k k ，所以排除B ，故结论一定错误的是C ． 5．D 【解析】11y a x '=-+，由题意得0|2x y ='=，即3a =． 6．D 【解析】由34x x =得，0x =、2x =或2x =-（舍去），直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)(2)|44S x x dx x x =-=-=⎰． 7．B 【解析】3221127133x S x dx ===⎰，22121ln ln 21S dx x x ===⎰，223121x xS e dx ee e ===-⎰．显然213S S S <<，故选B ．8．C 【解析】∵312201211)()0326S x dx x x =-=⎰阴影=,正方形的面积为1，∴P =16． 9．C 【解析】用定积分求解342420021162)(2)323x dx x x x +=-+=⎰，选C 10．C 【解析】1(2)x e x dx +⎰，选C ．11．D 【解析】∵1(ln )x x '=，∴421dx x ⎰=4ln ln 4ln 2ln 22x =-=．12．A 【解析】点(1,0)处的切线斜率为k ，213121x k y ='==⨯-=，由点斜式可得切线方程为A ．13．D 【解析】因为'2441(1)2x x x x e y e e e --==≥-+++，即tan α≥－1，所以34παπ≤≤． 14．2=y x 【解析】∵2ln(1)=+y x ，∴21y x '=+．当0x =时，2y '=， ∴曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即2=y x ．210()x e x e =+=15．3-【解析】(1)xy ax a e '=++，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2-，得0(1)12xx x y ax a e a =='=++=+=-，所以3a =-．16．【解析】设y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为11(,ln 2)x x +和22(,ln(1))x x +．则切线分别为1111ln 2()y x x x x --=-，2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，化简得111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111xy x x x x =++-++，依题意，()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，从而1ln 11ln 2b x =+=-．17．【解析】由题意可得当0x >时,()ln 3f x x x =-，则1()3f x x'=-，(1)2f '=-，则在点(1,3)-处的切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．18．0【解析】2221(1)()002x dx x x -=-=⎰． 19．(1,1)【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点P 处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即P 的坐标是，所以答案应填：．20．512【解析】由已知得阴影部分面积为．所以此点取自阴影部分1ln2-21y x =--xy e =xy e '=xy e =()0,10101x k y e ='===P ()00,x y 00x >001y x =1y x=21y x '=-1y x=02201x x k y x ='==-121k k ⋅=-2011x -=-21x =01x =±00x >01x =01y =()1,1()1,1221754433x dx -=-=⎰的概率等于．21．【解析】55xy e -'=-，在点(0,3)处的切线的斜率为5-，切线方程为35(0)y x -=--，即． 22．22e【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等， ∴1100=2()22|2x x S e e dx e e -=-=⎰阴，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率为22=S S e阴正． 23．－3【解析】由题意可得542b a -=+① 又2()2bf x ax x'=-，过点的切线的斜率7442b a -=- ②，由①②解得1,2a b =-=-，所以3a b +=-． 24．①③④【解析】对于①，203,|0x y x y =''==，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为12(1),|0x y x y =-''=+=，所以:1l x =-不是曲线C ：2)1(+=x y 在点()0,1-P 处的切线，②错误；对于③，0cos ,|1x y x y =''==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y sin =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，21cos y x '=，021|1cos 0x y ='==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y tan =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤1y x '=，1|1x y ='=，在点()0,1P 处的切线为1:-=x y l ，令()1ln (0)h x x x x =-->，可得11()1x h x x x-'=-=，所以min ()(1)0h x h ==，故1ln x x -≥，可知曲线C ：x y ln =在点()0,1P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误． 25．2【解析】，则，故切线方程过点(1,2)解得．26．3【解析】． 27．【解析】由 553412=53y x =-+53y x =-+)5,2(-P 1y xαα-'=k α=y x α=2α=393330302=⇒===⎰T T x dx x TT113[()1]12n n +-+01221......(1)n nn nn n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：从而得到如下等式：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+=113[()1]12n n +-+．28．23【解析】31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 112333=+=． 29．94【解析】，解得． 30．43y x =-【解析】∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y --=.31．1【解析】因为，所以，又因为，所以，所以，．32．1NN【解析】由题意可知11()1f x dx N N ≈⎰得11()N f x dx N≈⎰，故积分10()f x dx ⎰的近似值为1N N．33．21【解析】在点2(,)k k a a 处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2k a x =，所以1135,1641212k k aa a a a +=++=++=． 34．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=．又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．（Ⅱ）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减．所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<．11111222222000001......(1).n n n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰a a x dx x S aa ====⎰23230323249=a 10x =>(1)lg10f ==230()3af x x t dt x a =+=+⎰3(0)f a =31a =1a =所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-． 35．【解析】（I ）()e a x f x x bx -=+，∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+ ①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴()g x 的最小值是(2)(12)e 1g =-=- ∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=->．即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立．∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．36．【解析】（Ⅰ）对()f x 求导得222(6)(3)3(6)'(),()x x x xx a e x ax e x a x af x e e +-+-+-+== 因为()f x 在0x =处取得极值，所以'(0)0f =即0a =．当0a =时，()f x =22336,'(),x x x x x f x e e -+=故33(1),'(1),f f e e==从而()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为33(1),y x e e -=-化简得30x ey -=．（Ⅰ）由（Ⅰ）知23(6)'()xx a x af x e -+-+=．令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =解得1x =，2x =当1x x <时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；当12x x x <<时，()0g x >，即'()0f x >，故()f x 为增函数；当2x x >时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；由()f x 在[)3,+∞上为减函数，知263,6a x -=≤解得9,2a ≥- 故a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 37．【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-．因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线．（Ⅰ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =<≤， ∴()h x 在(1,)+∞无零点．当x =1时，若54a -≥，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===, 故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数． (Ⅰ)若3a -≤或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a -≤时，()f x 在(0,1)有一个零点；当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点.(Ⅰ)若30a -<<，则()f x 在（01）单调递增，故当x()f x取的最小值，最小值为f14． ①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在(0,1)无零点． ②若f =0，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点； ③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在(0,1)有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．38．【解析】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+．由题意可得(1)2f =，(1)f e '=．1, 2.a b ==故 (2)由(1)知12()ln xx f x e x e x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-．设函数()1g x x nx =，则'()1g x nx =．所以当1(0,)x e ∈时，()0g x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0g x '>．故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增，从而()g x 子啊(0,)+∞的最小值为11()g e e=-．设函数2()xh x xe e-=-，则'()(1)x h x e x -=-．所以当(0,1)x ∈时()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)h e=-． 39．【解析】(Ι)因为, x =0是的极值点，所以，解得，所以函数=-ln(x +1)，其定义域为，'1()xf x e x m =-+()f x '1(0)10f m=-=1m =()f x xe (1,)-+∞因为=，设，则，所以在上是增函数，又因为，所以当时，，即；当时，，，所以在上是减函数；在，上是增函数．（Ⅱ）当，时，，故只需证明当时，．当时，函数在单调递增．又，故在有唯一实根，且．当时，；当时，，从而当时，取得最小值．由得，故综上，当时，．40．【解析】（1）由的图像过点，代入得1b =-，由在处的切线斜率为，又，得0a =．(2)(证法一)由均值不等式，当时，．记，则 '1()1xf x e x =-+(1)11x ex x +-+()(1)1x g x e x =+-'()(1)0x xg x e x e =++>()g x (1,)-+∞(0)0g =0x >()0g x >'()0f x >10x -<<()0g x <'()0f x <()f x (1,0)-(0,)+∞2m ≤(),x ∈-∞+∞()()ln ln 2x m x +≤+2m =()0f x >2m =()12x f x e x '=-+()2,-+∞()()10,00f f ''-<>()0f x '=()2,-+∞0x ()01,0x ∈-()02,x x ∈-()0f x '<()0,x x ∈+∞()0f x '>0x x =()f x ()00f x '=()00001,ln 22x e x x x =+=-+()()()20000011022x f x f x x x x +≥=+=>++2m ≤()0f x >()=y f x ()0,0()=y f x ()0,032=0=013'==++12x x y a a x ⎛⎫⎪⎝⎭>0x )+1+1=+2x x +12x()()9=-+6xh x f x x ()()()()()()22215454+654'==-<-+12+14+1+6+6+6x h x x x x x x x，令，则当时，因此在内是减函数，又由，得，所以因此在内是减函数，又由，得，于是当时，．（证法二）由（1）知，由均值不等式，当时，令，则，故，即，由此得，当时，，记，则当时，=1[3(1)(6)(218(1)]2(1)x x x x x +++-++1[3(1)(6)(3)18(1)]2(1)2xx x x x x <++++-++．因此在内是减函数，又由，得，即． 41．【解析】（1）（i ）由3()=f x x x -得2()=31f x x '-=3()33x x+-，当(,)3x ∈-∞-和3+∞）时，()>0f x '；当(x ∈时，()<0f x '， ()()()()32+6-216+1=4+1+6x x x x ()()()3=+6-216+1g x x x 0<<2x ()()2'=3+6-216<0g x x ()g x ()0,2()0=0g ()<0g x ()'<0h x ()h x ()0,2()0=0h ()<0h x 0<<2x ()9<+6xf x x ()()=ln +1f x x >0x )+1+1=+2x x +12x ()()=ln +1-k x x x ()()1-0=0,'=-1=<0+1+1x k k x x x ()<0k x ()ln +1<x x >0x ()3<2f x x ()()()=+6-9h x x f x x 0<<2x ()()()()()31'=++6'-9<++6-92+1h x f x x f x x x x ⎛ ⎝()()=7-18<04+1xx x ()h x ()0,2()0=0h ()<0h x ()9<+6xf x x因此，()f x的单调递增区间为(,)3-∞-和+∞），单调递减区间为(3-)3．（ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111=(31)()+,y x x x x x ---即2311y=(31)2,x x x --由23113(31)2=y x x x y x x⎧=--⎪⎨-⎪⎩得3=x x -2311(31)2x x x --，即211()+2)=0x x x x -（，解得1121=2,2x x x x x x =-=-或故，进而有 1123234111127(3+2)=4x x S x x x x dx x -=-⎰，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 322x x =-和42227=4S x ，又2120x x =-≠，所以4212716=0,4S x ⨯≠因此有121=16S S ．（Ⅱ）记函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等式3ba-的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C 与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())P x g x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值．证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线=()y g x 的对称中心(3b g a -(，))3b a-平移至坐标原点，因而不妨设3()(0)g x ax hx x =+≠，类似（i ）（ii ）的计算可得41127=4S x ，4212716=0,4S x ⨯≠故121=16S S ．导数的综合应用2019年1（2019天津理8）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A. B. C. D. 2.（2019全国Ⅲ理20）已知函数. （1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.3.（2019浙江22）已知实数，设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有求的取值范围. 注：e=2.71828…为自然对数的底数.4.（2019全国Ⅰ理20）已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．5.（2019全国Ⅱ理20）已知函数.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线的切线.a ∈R 222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩x ()0f x R a []0,1[]0,2[]0,e []1,e 32()2f x x ax b =-+()f x ,a b ()f x [0,1]1-,a b 0a≠()=ln 0.f x a x x +>34a =-()f x 21[,)ex ∈+∞()f x ≤a ()sin ln(1)f x x x =-+()f x '()f x ()f x '(1,)2π-()f x ()11ln x f x x x -=-+e xy =6.（2019江苏19）设函数、为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和的零点均在集合中，求f （x ）的极小值；（3）若，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤．7.（2019北京理19）已知函数. （Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：.(III)设，记在区间上的最大值为，当最小时，求a 的值.8.（2019天津理20）设函数为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.2010-2018年一、选择题1．（2017新课标Ⅱ）若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则21()(1)x f x x ax e -=+-的极小值为A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．1()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R ()f 'x ()f 'x {3,1,3}-0,01,1a b c =<=427321()4f x x x x =-+()y f x =[]2,4x ∈-()6x f x x -≤≤()()()F x f x x a a =-+∈R ()F x []2,4-()M a ()M a ()e cos ,()xf x xg x =()f x ()f x ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π()()02f x g x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭n x ()()1u x f x =-ππ2,2π42m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭n ∈N 200π22sin c e os n n n x x x ππ-+-<-2．（2017浙江）函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ． 3．(2016全国I) 函数2||2x y x e =-在[–2,2]的图像大致为A ．B ．xxxxC ．D ．4．（2015四川）如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，那么mn 的最大值为A ．16B ．18C ．25D ．8125．（2015新课标Ⅱ）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()xf x f x -0<，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是A ．()(),10,1-∞-B ．()()1,01,-+∞C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞6．（2015新课标Ⅰ）设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是 A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24eD ．3[,1)2e7．（2014新课标Ⅱ）若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞8．（2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为A ．321122y x x x =-- B ．3211322y x x x =+-(千米)x -6y =-C ．314y x x =- D ．3211242y x x x =+- 9．（2014新课标Ⅱ）设函数()x f x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是A ．()(),66,-∞-⋃+∞B ．()(),44,-∞-⋃+∞C ．()(),22,-∞-⋃+∞D ．()(),11,-∞-⋃+∞10．（2014陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为A ．3131255y x x =- B ．3241255y x x =- C ．33125y x x =- D ．3311255y x x =-+11．（2014辽宁）当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12．（2014湖南）若1201x x <<<，则A ．2121ln ln xxe e x x ->- B ．2121ln ln xxe e x x -<- C ．1221xxx e x e > D ．1221xxx e x e < 13．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数22a y ax x =-+与2322y a x ax x a =-++ ()a R ∈的图像不可能．．．的是14．（2013新课标Ⅱ）已知函数，下列结论中错误的是A ．B ．函数的图像是中心对称图形C ．若是的极小值点，则在区间单调递减D ．若是的极值点，则15．（2013四川）设函数()f x =a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线xy sin =上存在点)(00y x ，使得00))((y y f f =，则a 的取值范围是 A ． ]e ,1[ B ．]11e[1，-- C ． [1e 1+，] D ． [1e 1e 1--+，]16．（2013福建）设函数的定义域为R ，是的极大值点，以下结论一定正确的是A ．B ．是的极小值点C ．是的极小值点D ．是的极小值点 17．（2012辽宁）函数的单调递减区间为 A ．(－1,1] B ．(0,1]C ． [1,+)D ．(0,+)18．（2012陕西）设函数，则A ．为的极大值点B ．为的极小值点C ．为的极大值点D ．为的极小值点19．（2011福建）若0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于B()32f x x ax bx c =+++∃()00,0x R f x ∈=()y f x =0x ()f x ()f x ()0,x -∞0x ()f x ()0'0f x =()f x 00(0)x x ≠()f x 0,()()x R f x f x ∀∈≤0x -()f x -0x -()f x -0x -()f x --x x y ln 212-=∞∞()xf x xe =1x =()f x 1x =()f x 1x =-()f x 1x =-()f xA ．2B ．3C ．6D ．920．（2011浙江）设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()xf x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是A B C D21．（2011湖南）设直线x t = 与函数2()f x x =，()ln g x x = 的图像分别交于点,M N ，则当MN 达到最小时t 的值为A ．1B ．12C ．2D ．2二、填空题22．（2015安徽）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==； ⑤1,2a b ==．23．（2015四川）已知函数xx f 2)(=，ax x x g +=2)(（其中R a ∈）．对于不相等的实数21,x x ，设2121)()(x x x f x f m --=，2121)()(x x x g x g n --=，现有如下命题：①对于任意不相等的实数21,x x ，都有0>m ；②对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ，都有0>n ； ③对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m -=．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．24．（2015江苏）已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程 1|)()(|=+x g x f 实根的个数为．25．（2011广东）函数32()31f x x x =-+在x =______处取得极小值．三、解答题26．(2018全国卷Ⅰ)已知函数1()ln f x x a x x=-+． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2-<--f x f x a x x ．27．(2018全国卷Ⅱ)已知函数2()e =-xf x ax ．(1)若1=a ，证明：当0≥x 时，()1≥f x ； (2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．28．(2018全国卷Ⅲ)已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； (2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ．29．(2018北京)设函数2()[(41)43]xf x ax a x a e =-+++．(1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．30．(2018天津)已知函数()xf x a =，()log a g x x =，其中1a >．(1)求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；(2)若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln ax g x a+=-； (3)证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线．31．(2018江苏)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．(1)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (2)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；(3)已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．32．(2018浙江)已知函数()ln f x x =．(1)若()f x 在1x x =，2x (12x x ≠)处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-； (2)若34ln 2a -≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．33．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()(2)xx f x aea e x =+--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．34．（2017新课标Ⅱ）已知函数2()ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥．(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2ef x --<<．35．（2017新课标Ⅲ）已知函数()1ln f x x a x =--．(1)若()0f x ≥，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．36．（2017浙江）已知函数()(x f x x e-=1()2x ≥．（Ⅰ）求()f x 的导函数；（Ⅱ）求()f x 在区间1[,)2+∞上的取值范围．37．（2017江苏）已知函数32()1f x x ax bx =+++(0,)a b >∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围． 38．（2017天津）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],px x q∈ 满足041||p x q Aq-≥． 39．（2017山东）已知函数，，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线在点(,())f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()h x g x af x =-()a R ∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．40．(2016年山东)已知．（I ）讨论的单调性；（II ）当时，证明对于任意的成立． 41．(2016年四川) 设函数2()ln f x ax a x =--，其中a R ∈.（I ）讨论()f x 的单调性；()22cos f x x x =+()()cos sin 22x g x e x x x =-+-2.71828e =()yf x =()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈()f x 1a =()3()'2f x f x +＞[]1,2x ∈（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x->-在区间(1,)+∞内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．42．(2016年天津)设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,(I)求)(x f 的单调区间；(II)若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； (Ⅰ)设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41． 43．(2016年全国Ⅰ) 已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-有两个零点．（I ）求a 的取值范围；（II ）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<． 44．(2016年全国Ⅱ)(I)讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>； (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x --> 有最小值．设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．45．(2016年全国Ⅲ) 设函数()cos 2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中0α>，记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．46．（2016年浙江高考）已知3a ≥，函数()F x =2min{2|1|,242}x x ax a --+-，其中min{,}p q =,>p p qq p q ⎧⎨⎩，≤ ．（I ）求使得等式2()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（II ）（i ）求()F x 的最小值()m a ；（ii ）求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M a ．47．(2016江苏) 已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠．（1）设2a =，12b =． ①求方程()2f x =的根；②若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值． 48．(2015新课标Ⅱ）设函数2()mxf x ex mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；(Ⅱ)若对于任意1x ，2x [1,1]∈-，都有12|()()|f x f x -1e -≤，求m 的取值范围． 49．(2015山东)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．50．（2015湖南）已知0a >，函数()sin ([0,))ax f x e x x =∈+∞．记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点．证明：（1）数列{()}n f x 是等比数列；（2）若a ，则对一切*n N ∈，|()|n n x f x <恒成立．51．（2014新课标Ⅱ）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为－2．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．52．(2014山东）设函数())ln 2(2x xk x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数）．（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；。