新课标全国III卷理科数学2016-2020年高考分析函数与导数大题

新课标全国III卷理科数学2016-2020年高考分析函数与导数大题

一、函数与导数大题：

函数与导数大题5年5考，每年1题．第1问一般考查导数的几何意义或函数的单调性，第2问考查利用导数讨论函数性质．若是在小题中考查了导数的几何意义，则在大题中一般不再考查．函数载体上：无论文科理科，基本放弃纯3次函数，对数函数很受“器重”！指数函数也较多出现！两种函数也会同时出现！但是，无论怎么考，讨论单调性永远是考查的重点，而且仅仅围绕分类整合思想的考查．在考查分离参数还是考查不分离参数上，命题者会大做文章！分离（分参）还是不分离（部参），的确是一个问题！！一般说来，主要考查不分离问题（部参）．另外，函数与方程的转化也不容忽视，如函数零点的讨论．函数题设问灵活，多数考生做到此题，时间紧，若能分类整合，抢一点分就很好了．还有，灵活性问题：有些情况下函数性质是不用导数就可以“看出”的，如增函数+增函数=增函数，复合函数单调性，显然成立的不等式，放缩法等等，总之，导数是很重要，但是有些解题环节，不要“吊死”在导数上，不要过于按部就班！还有，数形结合有时也是可以较快得到答案的，虽然应为表达不严谨不得满分，但是在时间紧的情况下可以适当使用．

2016年我在考前曾经改编了一个导数为(1)()

x

--的题目，和当

x e a

年全国1高考题的导数(1)(2)

x

-+完全类似.

x e a

值得一提的是2017年（作为山东文科卷的关门题，还是给下一步的导数命题提供了一个新的思路，留下了一些回忆，也列在表中）山东文科的考法，学习了2016全国1的考法，却比全国1卷更上一层，这个导数为()()(sin ).f x x a x x '=--

以上告诉大家，导数题命题关键是如何构造一个导数，使这个导数的讨论层次体现选拔性，达到压轴的目的．

(,

3

+∞单调递增，在)

)单调递增，在

（21）（12分）

设函数f（x）=a cos2x+（a-1）（cos x+1），其中a＞0，记的最大值为A.

（Ⅰ）求f ＇（x ）；

（Ⅱ）求A ；

（Ⅲ）证明≤2A .

解：（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---．

（Ⅱ）当1a ≥时，

'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f = 因此，32A a =-． ………4分

当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--． 令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a t a

-=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a

--++=--=-． 令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15

a >． （ⅰ）当1

05a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，

|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．

（ⅱ）当1

15a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4a g g g a

-->>． 又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a

--+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a -++==．