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江苏省高三数学最后一卷试题(解析版)苏教版

A BCDD 1 C 1 B 1 A 1江苏高考最后一卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．若函数cos()3y x πω=+(0)ω>的最小正周期是π，则ω= ▲ ．2．若复数(12)(1)i ai ++是纯虚数，则实数a 的值是 ▲ ．3．已知平面向量(1,1)a =-，(2,1)b x =-，且a b ⊥，则实数x = ▲ ．4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放回．．．地取球，每次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 ▲ ． 5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为 ▲ ． 6．给出下列四个命题：（1）如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面α相交（2）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β （3）如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直（4）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β真命题．．．的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） 7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为▲ ．8．已知二次函数()f x =241ax x c -++的值域是[1,)+∞，则19a c+的最小值是 ▲ ．9．设函数3()32f x x x =-++，若不等式2(32sin )3f m m θ+<+对任意R θ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 ▲ ．10．若动点(,)P m n 在不等式组2400x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则1n m t m -=+的取值范围是▲ ．11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ▲ ．12．设D 是函数()y f x =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00()f x x =-，则称0x 是()f x 的一个“次不动点”，也称()f x 在区间D 上存在次不动点．若函数25()32f x ax x a =--+在区间[1,4]上存在次不动点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．将所有的奇数排列如右表，其中第i 行第j 个数表示为ij a ，例如329a =．若445ij a =，则i j += ▲ ．14．若实数,,a b c 成等差数列，点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的射影为M ，点(3,3)N ，则线段MN 长度的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a B c B b C =+．（1）求角B 的大小；（2）设向量(cos ,cos 2)m A A =，(12,5)n =-，求当m n ⋅取最大值时，tan()4A π-的值．16．（本小题满分14分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，2AB AD =，CD AD =．（1）求证：1B CB ∠是二面角1B AC B --的平面角；（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．17．（本小题满分14分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时m 元，根据市场调研，得知m 的波动区间是[1000,1600]，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）请将从甲地到乙地的运输成本y （元）表示为航行速度x （海里/小时）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？18．（本小题满分16分）已知中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆C 过点(2,1)M ，离心率为32．如图，平行于OM 的直线l 交椭圆C 于不同的两点,A B ．（1）当直线l 经过椭圆C 的左焦点时，求直线l 的方程；（2）证明：直线,MA MB 与x 轴总围成等腰三角形． 1 3 5 开始结束1(1)S S k k =++2011k >1+=k k 0=S 是否输出S 1k =（第5题）19．（本小题满分16分）已知函数21()(21)2ln 2f x ax a x x =-++，其中常数0a >．（1）求()f x 的单调区间；（2）如果函数(),(),()f x H x g x 在公共定义域D 上，满足()()()f x H x g x <<，那么就称()H x 为()f x 与()g x 的“和谐函数”．设2()4g x x x =-，求证：当522a <<时，在区间(0,2]上，函数()f x 与()g x 的“和谐函数”有无穷多个．20．（本小题满分16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是等差数列，且对任意正整数n 都有()33n n S S =成立，求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数n ，从集合12{,,,}n a a a 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与12,,,n a a a 一起恰好是1至n S 全体正整数组成的集合．（i ）求12,a a 的值；（ii ）求数列{}n a 的通项公式．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修41-：几何证明选讲如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C 、D ，且PC PD =，求证：PB 平分∠ABD ．B ．选修42-：矩阵与变换已知矩阵122A x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为1-，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C ．选修44-：坐标系与参数方程若直线22x t y t =⎧⎨=-⎩（参数R t ∈）与圆cos sin x y a θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2)θπ∈，a 为常数）相切，求a 的值．D ．选修45-：不等式选讲若对于一切实数x ，不等式|21||1||||21|x x x a -+-≥⋅+恒成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）一个口袋装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中绿球的个数记为X ．（1）求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率；（2）X 的分布列及X 的数学期望．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，112a <<，21112n n n a a a +=+-(*)n N ∈．（1）求证：3113(,)82a ∈；（2）求证：当3n ≥时，1|2|2n n a -<．江苏高考最后一卷试题答案与评分标准数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．【解析】本题主要考查三角函数的周期性．【答案】2 2．【解析】本题主要考查复数的概念和运算．【答案】123．【解析】本题主要考查平面向量的垂直．【答案】3 4．【解析】本题主要考查古典概型．【答案】495．【解析】本题主要考查流程图．【答案】201120126．【解析】本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系．【答案】（3）（4） 7．【解析】本题主要考查圆锥曲线中离心率的计算．58．【解析】本题主要考查基本不等式．【答案】3 9．【解析】本题主要考查函数的性质．【答案】(,4)(1,)-∞-+∞ 10．【解析】本题主要考查线性规划．【答案】2[,4]3-解答如下：画出可行域（如图所示阴影部分），而1111n m n t m m -+==-++，其中11n m ++表示(,)P m n 与点(1,1)--连线的斜率k ，由图可知1[,5]3k ∈，故21[,4]3t k =-∈-11．【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积．【答案】2- 解答如下：因为22221sin cos sin cos 2AP AB AC AO AC θθθθ=⋅+⋅=⋅+⋅且22sin ,cos [0,1]θθ∈，所以点P 在线段OC 上，故()2PA PB PC PO PC +⋅=⋅，设||PO t =([0,2])t ∈，则2()2(2)(1)24PA PB PC t t t t +⋅=-⋅-=-，当1t =时取最小值2- 12．【解析】本题主要考查函数的概念和最值．【答案】1(,]2-∞解答如下：由题意，存在[1,4]x ∈，使25()()202g x f x x ax x a =+=--+=．当1x =时，使1(1)02g =≠；当1x ≠时，解得2452(1)x a x -=-．设245()2(1)x h x x -=-，则由222252'()0(1)x x h x x -+-==-，得2x =或12x =（舍去），且()h x 在(1,2)上递增，在(2,4)上递减．因此当2x =时，2451()2(1)2x g x x -==-最大，所以a 的取值范围是1(,]2-∞．13．【解析】本题主要考查数列的通项．【答案】34 解答如下：可以求得通项221ij a i i j =-+-，所以221445i i j -+-=且1j i ≤≤，从而22444446i i i i ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，解得21i =，于是13j =，故34i j +=14．【解析】本题主要考查直线与圆的方程及位置关系．【答案】52解答如下：由题可知动直线0ax by c ++=过定点(1,2)A -．设点(,)M x y ，由MP MA ⊥可求得点M 的轨迹方程为圆:Q 22(1)2x y ++=，故线段MN 长度的最大值为52QN r +=+二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．本题主要考查平面向量的数量积、边角关系的互化，考查运算求解能力．解：（1）由题意，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+ …………………………………… 2分所以2sin cos sin()sin()sin A B B C A A =+=π-=. …………………………………… 3分因为0A ，所以sin 0A .所以1cos 2B =. ………………………………………………………………………………… 5分因为0B，所以3B π=. ………………………………………………………………… 6分（2）因为12cos 5cos2m n A A ⋅=- …………………………………………………………… 8分所以2234310cos 12cos 510(cos )55m n A A A ⋅=-++=--+……………………………… 10分所以当3cos 5A =时，m n ⋅取最大值此时4sin 5A =（0A ），于是4tan 3A = …………………………………………… 12分所以tan 11tan()4tan 17A A A π--==+ …………………………………………………………… 14分16．本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．证明：（1）直棱柱1111ABCD A B C D -中，BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC ．…………………… 2分又∠BAD ＝∠ADC ＝90°，22AB AD CD ==，∴45CAB ABC ∠=∠=︒，∴BC ⊥AC ．…………………………………………… 5分∴AC ⊥平面1B BC ，∴AC ⊥1B C∴1B CB ∠是二面角1B AC B --的平面角．………………………………………… 7分O 1 -1 - 42 x y（2）存在点P ，P 为A 1B 1的中点．………………………………………………………… 8分由P 为A 1B 1的中点，有PB 1‖AB ，且PB 1＝12AB ．又∵DC‖AB ，DC ＝12AB ，∴DC ∥PB 1，且DC ＝ PB 1， ∴DC PB 1为平行四边形，从而CB 1∥DP ． ……………………………………… 11分又CB 1⊂面ACB 1，DP ⊄面ACB 1，∴DP‖面ACB 1． …………………………… 12分同理，DP‖面BCB 1． ………………………………………………………………… 14分17．本题主要考查，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．解：（1）由题意，每小时的燃料费用为20.5(050)x x <≤ ……………………………………… 1分从甲地到乙地所用的时间为300x小时 …………………………………………………… 2分则从甲地到乙地的运输成本23003000.5y x m x x=⋅+⋅，(050)x <≤ 即2150()my x x =+，(050)x <≤…………………………………………………………… 6分（2）22'150(1)my x=-…………………………………………………………………………… 8分令'0y =，得2x m = 当2)x m ∈时，y 关于x 单调递减当(2,)x m ∈+∞时，y 关于x 单调递增 ………………………………………………… 9分 250m >即12501600m <≤时，50x =时y 取最小值 ………………… 11分 250m ≤即10001250m ≤≤时，2x m y 取最小值 ……………… 13分综上所述，若10001250m ≤≤2m /小时时，运输成本最少；若12501600m <≤，则当货轮航行速度为50海里/小时时，运输成本最少． …… 14分18．本题主要考查直线的方程及椭圆的标准方程，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力．解：（1）根据3c e a ==，可设椭圆方程为222214x y b b+=，将(2,1)M 代入可得22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=………………………………………………………… 4分因此左焦点为(6,0)-，斜率12l OM k k ==所以直线l 的方程为1(6)2y x =，即1622y x =+ ………………………………… 6分（2）设直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，则11112y k x -=-，22212y k x -=- 12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)x m x x m x x x +--++--=--121212(2)()4(1)(2)(2)x x m x x m x x +-+--=-- （*） …………………………………… 10分设1:2l y x m =+，1122(,),(,)A x y B x y 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x mx m ++-= 所以，122x x m +=-，21224x x m =-…………………………………………………… 13分代入（*）式，得2121224(2)(2)4(1)(2)(2)m m m m k k x x -+----+=--2212242444(2)(2)m m m m x x --+-+=--= 所以直线,MA MB 与x 轴总围成等腰三角形． ………………………………………… 16分19．本题主要考查导数的运算及其在研究函数性质、不等式与方程中的运用，考查探索、分析及求证能力．解：（1）22(21)2(2)(1)'()(21)ax a x x ax f x ax a x x x x-++--=-++==(0x >，常数0a >）令'()0f x =，则12x =，21x a= ……………………………………………………… 2分①当102a <<时，12a>，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a…………………… 4分②当12a =时，2(2)()2x f x x -'=，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞ …………………… 5分③当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a………………… 7分（2）令21()()()(1)(23)2ln 2h x g x f x a x a x x =-=-+--，(0,2]x ∈22(2)(23)2(2)[(2)1]'()(2)23a x a x x a x h x a x a x x x-+----+=-+--==令'()0h x =，则12x =，212x a =- ………………………………………………………… 10分因为522a <<，所以21x x >，且20a -<从而在区间(0,2]上，'()0h x <，即()h x 在(0,2]上单调递减 …………………………… 12分所以min ()(2)222ln 2h x h a ==-- ………………………………………………………… 13分又522a <<，所以222ln222ln20a -->->，即min ()0h x > ………………………… 15分设()()(22ln 2)H x f x λ=+-（01)λ<<，则()()()f x H x g x <<所以在区间(0,2]上，函数()f x 与()g x 的“和谐函数”有无穷多个 …………………… 16分20．本题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查分析、论证及解决问题的能力．解：（1）设无穷等差数列{}n a 的公差为d ，则11(1)222n n n d d S na d n n a -⎡⎤⎛⎫=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以333122n d d S n n a ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦且()333122n d d S n n a ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦233233211133842222d d d d d d n n a n a n a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为()33n n S S =对于一切正整数n 都成立，所以32121311,823()0,423()0,22().22d d d da d d a d d a a ⎧=⎪⎪⎪-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎪⎪-=-⎪⎩①②③④…………………………………………………… 4分因为数列{}n a 的各项均为正整数，所以0d ≥ 由①，可得0d =或2d =．当0d =时，由④得11a =，且同时满足②③．当2d =时，由②得112da ==，且同时满足③④．因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为1n a =或21n a n =- ………… 6分（2）（i ）记{1,2,,}n n A S =，显然111a S == …………………………………………………… 7分对于21221S a a a =+=+，有22222{1,2,,}{1,,1,|1|}{1,2,3,4}A S a a a ==+-=故214a +=，所以23a = …………………………………………………………………… 9分（ii ）由题意可知，集合12{,,,}n a a a 按上述规则，共产生n S 个正整数．………………… 10分而集合121{,,,,}n n a a a a +按上述规则产生的1n S +个正整数中，除1,2,,n S 这n S 个正整数外，还有111,,||n n n a a i a i ++++-(1,2,,)n i S =，共21n S +个数．所以，1(21)31n n n n S S S S +=++=+……………………………………………………… 12分又1113()22n n S S ++=+，所以111111()332222n n n S S -=+⋅-=⋅- ……………………… 14分当2n ≥时，11111113(3)32222n n n n n n a S S ---=-=⋅--⋅-= …………………………… 15分而11a =也满足13n n a -=所以，数列{}n a 的通项公式是13n n a -= …………………………………………………… 16分数学Ⅱ（附加题） 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修41-：几何证明选讲本题主要考查三角形、圆的有关知识．证明：连结OP ，因为AC ⊥l ，BD ⊥l ，所以AC //BD ……………………………………………3分又OA =OB ，PC =PD ，所以OP //BD …………………………………………………………… 6分于是∠OPB =∠DBP ………………………………………………………………………………8分又等腰△OPB 中，∠OPB =∠OBP故PB 平分∠ABD …………………………………………………………………………………10分B ．选修42-：矩阵与变换本题主要考查矩阵的特征值与特征向量．解：矩阵M 的特征多项式为xf ----=λλλ221)(=4))(1(---x λλ…………………………………………………1分因为11λ=-方程0)(=λf 的一根，所以1=x …………………………………………………3分由04)1)(1(=---λλ得23λ=…………………………………………………………………5分设23λ=对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α则220220x y x y -=⎧⎨-+=⎩得x y =…………………………………………………………………………8分所以矩阵M 的另一个特征值为3，对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………………………10分C ．选修44-：坐标系与参数方程本题主要考查极坐标方程与参数方程．解：直线的普通方程是220x y +-=…………………………………………………………… 2分圆的普通方程是22()1x y a +-=…………………………………………………………… 4分15=……………………………………………………… 7分解得，25a =±………………………………………………………………………… 10分D ．选修45-：不等式选讲本题主要考查绝对值不等式．解：当0x =时，20≥恒成立，所以a R ∈………………………………………………………2分当0x ≠时，|21||1||21|||x x a x -+-+≤………………………………………………………… 4分∵|21||1||211|1||||x x x x x x -+--+-≥=……………………………………………………… 6分 ∴|21|1a +≤……………………………………………………………………………………… 8分解得10a -≤≤ ………………………………………………………………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．本题主要考查概率分布列的计算．解：（1）记“摸出的三球中既有红球又有绿球”为事件A ，依题意知()122153533845.56C C C C P A C +==…………………………………………………………………4分所以摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率为45.56（2）30533810(0)56C C P X C ===……………………………………………………………………5分 21533830(1)56C C P X C ===………………………………………………………………………6分 12533815(2)56C C P X C ===………………………………………………………………………7分0353381(3)56C C P X C ===………………………………………………………………………8分X 0123P105630561556156所以X 的数学期望()8E X =………………………………………………………………10分23．本题主要考查数学归纳法的原理及简单应用．解：（1）因为112a <<，所以22211111331(1)(1,)2222a a a a =+-=--+∈……………… 2分故2232221131131(1)(,)22282a a a a =+-=--+∈………………………………… 4分（2）当3n =时，31132(2,2)82a -，又111312,28828>-，所以311288a -<-<，即31|2|8a <………………………………… 6分假设当(3)n k k =≥时，1|22k k a <则当1n k =+时，11|2|2|22|2k k k a a a +=⋅⋅+……………………………… 8分111|222|222k k <⋅+112k +<…………………………………………………………10分即1n k =+时结论成立综上所述，当3n ≥时，1|22n n a <．。

高考数学题2023最后一题

高考数学题2023最后一题22.（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<；（2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．【答案】（1）证明见详解（2）(),-∞+∞【解析】【分析】（1）分别构建()()sin ,0,1F x x x x =-∈，()()2sin ,0,1G x x x x x =-+∈，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究()f x 在()0,1上的单调性，求导，分类讨论202a <<和22a ≥，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.【详解】（1）构建()()sin ,0,1F x x x x =-∈，则()1cos 0F x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，则()F x 在()0,1上单调递增，可得()()00F x F >=，所以()sin ,0,1x x x >∈；构建()()()22sin sin ,0,1G x x x x x x x x =--=-+∈，则()()21cos ,0,1G x x x x '=-+∈，构建()()(),0,1g x G x x '=∈，则()2sin 0g x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，则()g x 在()0,1上单调递增，可得()()00g x g >=，即()0G x '>对()0,1x ∀∈恒成立，则()G x 在()0,1上单调递增，可得()()00G x G >=，所以()2sin ,0,1x x x x >-∈；综上所述：sin x x x x 2-<<.（2）令210x ->，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-，若0a =，则()()()2ln 1,1,1f x x x =--∈-，因为ln y u =-在定义域内单调递减，21y x =-在()1,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，则()()2ln 1f x x =--在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，故0x =是()f x 的极小值点，不合题意，所以0a ≠.当0a ≠时，令0b a =>因为()()()()()222cos ln 1cos ln 1cos ln 1f x ax x a x x bx x =--=--=--，且()()()()()22cos ln 1cos ln 1f x bx x bx x f x ⎡⎤-=----=--=⎣⎦，所以函数()f x 在定义域内为偶函数，由题意可得：()()22sin ,1,11x f x b bx x x =--∈'--，（i ）当202b <≤时，取1min ,1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，()0,x m ∈，则()0,1bx ∈，由（1）可得()()()2222222222sin 111x b x b x x f x b bx b x x x x+-'=-->--=---，且22220,20,10b x b x >-≥->，所以()()2222201x b x b f x x +-'>>-，即当()()0,0,1x m ∈⊆时，()0f x ¢>，则()f x 在()0,m 上单调递增，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0m -上单调递减，所以0x =是()f x 的极小值点，不合题意；（ⅱ）当22b >时，取()10,0,1x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，则()0,1bx ∈，由（1）可得()()()2233223222222sin 2111x x x f x b bx b bx b x b x b x b x b x x x '=--<---=-+++----，构建()33223212,0,h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭，则()3223132,0,h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭，且()33100,0h b h b b b ⎛⎫''=>=-> ⎪⎝⎭，则()0h x '>对10,x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，可知()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()21020,20h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点10,n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当()0,x n ∈时，则()0h x <，且20,10x x >->，则()()3322322201x f x b x b x b x b x'<-+++-<-，即当()()0,0,1x n ∈⊆时，()0f x '<，则()f x 在()0,n 上单调递减，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0n -上单调递增，所以0x =是()f x 的极大值点，符合题意；综上所述：22b >，即22a >，解得a >a <，故a 的取值范围为(),-∞+∞.【点睛】关键点睛：1.当202a <≤时，利用()sin ,0,1x x x <∈，换元放缩；2.当22a ≥时，利用()sin ,0,1x x x x 2-<∈，换元放缩。

高三数学函数试题答案及解析

高三数学函数试题答案及解析1.对于函数，若存在非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则称为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】∵，∴的函数图像关于直线对称，A：函数图像不关于某直线对称，B：函数图像关于轴，即直线对称，C：函数图像不关于某直线对称，D：函数图像关于直线，对称，符合题意，故选D.【考点】1.新定义问题；2.常见函数图像的对称性.2.具有性质：＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y＝x－；②y＝x＋；③y＝，其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．【答案】①③【解析】对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3.如果函数在上的最大值和最小值分别为、，那么.根据这一结论求出的取值范围（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】函数在区间上最大值为1，最小值为，即，所以，，即取值范围为，选B.【考点】新定义概念与函数的最值.4.类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝a x－a－x，C(x)＝a x＋a－x，其中a>0，且a≠1，下面正确的运算公式是()①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．A．①②B．③④C．①④D．②③【答案】B【解析】经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(a x＋y－a－x－y)，又S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(a x＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)，综上所述，选B.5.已知函数.若，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意可得或解得.【考点】1.分段函数的应用.2.二次不等式的解法.3.分类的数学思想.6.若函数满足，当x∈[0，1]时，，若在区间(-1，1]上，有两个零点，则实数m的取值范围是A．0<m≤B．0<m<C．<m≤l D．<m<1【答案】A【解析】有两个零点，即曲线有两个交点.令，则，所以.在同一坐标系中，画出的图象（如图所示）：直线过定点，所以，满足即选.【考点】分段函数，函数的图象，函数的零点.7.已知函数满足：对定义域内的任意，都有，则函数可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可知，对A，，不满足；对B，，不满足；对C，，满足；故选C. 或解，由得，表示的是上凸函数，只有C选项满足.【考点】1.函数性质的应用.8.若直角坐标平面内的亮点P，Q满足条件： P，Q都在函数y=f(x)的图像上， P，Q关于原点对称，则称点对[P,Q]是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”)。

高考数学最后一题

高考数学最后一题1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分）对于椭圆，()()222122112114222a MF MF =+=+++-+=+()222222212123222221322222a ab ac x y ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+=++ 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，122222a MF MF '=-=-222222213222221322222a abc a x y '∴=-'∴=-'''∴=-=-∴-=-- 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分） ()()22111111322312322DC AP x y x CH a x a ∴==-++=-=-+()()()2222221112121132344-2324622222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 为定值此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点()1,n n n A a a +在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对任意正整数n ，不等式11202111111n n nn a a n a b b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点()1,n n n A a a +代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==当为偶数时，为奇数，当为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。

高考数学最后压轴大题系列--函数与导数

20XX 年高考数学最后压轴大题系列----函数与导数1.已知函数||1y x =+，y =，11()2ty x x-=+(0)x >的最小值恰好是方程320x ax bx c +++=的三个根，其中01t <<．（1）求证：223a b =+；（2）设1(,)x M ，2(,)x N 是函数32()f x x ax bx c =+++的两个极值点．若122||3x x -=，求函数()f x 的解析式.解：（1）三个函数的最小值依次为1，………………………2分由(1)0f =，得1c a b =---∴3232()(1)f x x ax bx c x ax bx a b =+++=++-++2(1)[(1)(1)]x x a x a b =-+++++，故方程2(1)(1)0x a x a b +++++=(1)a +=-+1a b =++．……………………………5分22(1)a =+，即222(1)(1)a b a +++=+∴ 223a b =+． ………………………………………………………………………7分（2）①依题意12,x x 是方程2'()320f x x ax b =++=的根，故有1223a x x +=-，123b x x =，且△2(2)120a b =->，得3b <．由12||33x x -===10分23=；得，2b =，2237a b =+=．由（1(1)0a =-+>，故1a <-，∴ a =(1)3c a b =-++=∴ 32()23f x x x =-+．………………………………………………14分2.设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式| f ′（x ）|≤a 恒成立，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）2234)(a ax x x f -+-='（1分）令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞）（4分）∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a +- 当x=3a 时，)(x f 极小值=b.（6分）（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得－a ≤－x 2+4ax －3a 2≤a .①（7分）∵0<a <1，∴a +1>2a .∴]2,1[34)(22++-+-='a a a ax x x f 在上是减函数. （9分）∴.44)2()(.12)1()(min max -=+='-=+'='a a f x f a a f x f 于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于.154.12,44≤≤⎩⎨⎧-≥-≤-a a a a a 解得又,10<<a ∴.154<≤a （12分）3.已知函数．3()2f x x ax =+与2()g x bx cx =+的图象都过点P(2，0)，且在点P 处有公共切线．(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P 处的公切线方程； (2)设()()ln(1)8mg x F x x x=+-，其中0m <，求F(x)的单调区间．解：(1)∵3()2f x x ax =+过点(2,0),P ∴a=-83()28f x x x =-, …………………2分2()68f x x x '=-∴切线的斜率(2)16k f '==………………………3分 ∵2()g x bx cx =+的图像过点(2,0),P ∴4b+2c=0,∵()2,(2)(2)416g x bx c f g b c '''=+==+=,解得：b=8,c=-16……………4分 ∴2()816g x x x =-……………………………………………………………5分切线方程为16y ＝（x-2）．即16x-y-32=0……………………………………6分 (2) ∵ ()(2)ln(1)(1)F x m x x x =-+->11()(1)11mx m F x m x x x -+'=+=>--……………………………………8分当m<0时，1[(1)]()1m x m F x x --'=-∵m<0 ∴111m ->………………………………9分又x>1 当1(1,1)x m ∈-时()0F x '> 当1(1,)x m ∈-+∞时()0F x '<∴F (x)的单调减区间是1(1,)m-+∞∴F(x)的单调增区间是(1，11m-)………………………………………………11分即m<0时，F(x)的单调递增区间是(1，11m -)，单调减区间是(11m -，+∞) (2)4．已知函数x x f ln )(=（Ⅰ）若)()()(R a xax f x F ∈+=，求)(x F 的极大值；（Ⅱ）若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围. 解：（Ⅰ）xax x a x f x F +=+=ln )()(Θ定义域为),0(+∞∈x 2ln )1()(x xa x F --=∴ ……………………………………………………………2分令a e x x F -=='10)(得由a e x x F -<<>'100)(得由a e x x F -><'10)(得 …………………………………………………………4分即),0()(1aex F -在上单调递增，在),(1+∞-a e 上单调递减a e x -=∴1时，F (x )取得极大值11)1(---=+-=a aa e ea a e F ……………………6分（Ⅱ）kx x x G -=2)(ln )(Θ的定义域为(0+∞) k xxx G -='∴ln 2)( 由G (x )在定义域内单调递减知：0ln 2)(<-='k xxx G 在(0+∞)内恒成立 ………8分令k x x x H -=ln 2)(，则2)ln 1(2)(xx x H -=' 由e x x H =='得0)( ∵当),0(e x ∈时)(,0)(x H x H >'为增函数当),(+∞∈e x 时0)(<'x H )(x H 为减函数 ……………………………………10分 ∴当x = e 时，H (x )取最大值k ee H -=2)( 故只需02<-k e 恒成立，e k 2>∴ 又当e k 2=时，只有一点x = e 使得0)()(=='x H x G 不影响其单调性.2ek ≥∴ ………………………………………………………………………………12分5.已知函数.23)32ln()(2x x x f -+=（I ）求f (x )在[0，1]上的极值；（II ）若对任意0]3)(ln[|ln |],31,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围；（III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.解：（I ）23)13)(1(33323)(+-+-=-+='x x x x x x f ，令1310)(-==='x x x f 或得（舍去）)(,0)(,310x f x f x >'<≤∴时当单调递增；当)(,0)(,131x f x f x <'≤<时单调递减. ]1,0[)(613ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值（II ）由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得xx a x x a 323ln ln 323ln ln ++<+->或设332ln 323ln ln )(2x x x x x h +=+-=，xxx x x g 323ln 323lnln )(+=++=，依题意知]31,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，0)32(2)32(33)32(3332)(2>+=+⋅-+⋅+='x x x x x x x x g Θ， 03262)62(31323)(22>++=+⋅+='xx x x x x x h ， ]31,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立，当且仅当.51ln 31ln),61()31(<><>a a g a h a 或即或（III ）由.0223)32ln(2)(2=-+-+⇒+-=b x x x b x x f令xx x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(22+-=+-+='-+-+=ϕϕ则，当]37,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ϕϕ>'∈上递增； ]1,37[)(,0)(,]1,37[在于是时x x x ϕϕ<'∈上递减而)1()37(),0()37(ϕϕϕϕ>>， ]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ恰有两个不同实根等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+=>-+-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()37(02ln )0(b b b ϕϕϕ .37267)72ln(215ln +-+<≤+∴b …………………………………………12分6. 已知函数f (x )=-x 3+21x 2+b|x -1|+c (Ⅰ)若函数f (x )是R 上减函数，试确定实数b 的取值范围；(Ⅱ)设f (x )在x =2时取极值，过点(0,2)作与f (x )相切的直线，问是否至少存在两条与f (x )相切的直线，若存在，试求出c 的取值范围，若不存在，说明理由。

高考数学真题——函数压轴题(含答案)

2018年数学全国1卷已知函数1()ln f x x a x x=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减. （ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =.当2(0,()22a a a x +∈+∞时，()0f x '<；当(,)22a a x +∈时，()0f x '>.所以()f x 在(0,),(,)22a a -++∞单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >. 由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210xax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0xx x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <. 所以22212ln 0xx x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--.2017年数学全国1卷已知函数)f x =（a e 2x+(a ﹣2) e x﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. （1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点. （ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a -=-+.①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a -+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点；③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a -+<，即(ln )0f a -<.又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点. 设正整数n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln aa ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为(0,1) 2016年数学全国1卷已知函数2()(2)e(1)xf x x a x =-+-有两个零点.（I ）求a 的取值范围；（II ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x+<.【答案】(I)(0,)+∞；（II ）见解析【解析】试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；(II)借助(I)的结论来证明，由单调性可知122x x+<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．设2()e(2)e xx g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x x g x x -=--．则当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x+<．试题解析：（Ⅰ）'()(1)e2(1)(1)(e 2)xx f x x a x x a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)e xf x x =-，()f x 只有一个零点．时()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．若e 2a <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12xx <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．由于222222(2)e (1)x f x x a x --=-+-，而22222()(2)e (1)0x f x x a x =-+-=，所以222222(2)e (2)e x x f x x x --=---．设2()e(2)e xx g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x x g x x -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x+<．2013年数学全国1卷设函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()xe cx d +，若曲线()yf x =和曲线()yg x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）当x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。

高考数学函数专题习题及详细答案

1.函数ye x1(xR)的反函数是()A．y1lnx(x0)B．y1lnx(x0)．y1lnx(x0)．y1lnx(x0)C D2.f(x)(3a1)x4a,x1是(,)上的减函数，那么a的取值范围是log a x,x1(A )(0,1)(B)(0,1)(C)[1,1)(D)[1,1)37373.在以下四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1x2)，|f(x1)f(x2)||x2x1|恒成立〞的只有()1(B)fx|x|(C)f(x)2x(D)f(x)x2Af(x)x4.f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)lgx.设a f(6),bf(3),c f(5),那么522(A)abc(B)bac(C)cba(D)cab5.函数f(x)3x2lg(3x1)的定义域是1xA .1B1C11D1 (,)(,1)(,),)..3.( 33336、以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.y x 3,x R B y sinx,x R C y x,x R D1xy(),x R ...y27、函数y f(x)的反函数y f1(x)的图像与y轴交于点4y f 1 (x)P(0,2 )(如右图所示)，那么方程f(x)0在[1,4]上的根是x2B.3C.28、设f(x)是R上的任意函数，那么以下表达正确的选项是1O3x(Af(x)f(x)是奇函数(Bf(x)f(x)是奇函数))(C)f(x)f(x)是偶函数(D)f(x)f(x)是偶函数9、函数y e x的图象与函数y fx的图象关于直线y x对称，那么A．f2x e2x(x R)B．f2x ln2glnx(x0)C．f 2x2x(x)D．f2x lnx ln2(x0)e R2e x1,x＜2，那么f(f(2))的值为10、设f(x)2log3(x1)，x 2.(A)0(B)1(C)2(D)311、对a，ba,a bx R)的最R，记max{a，b}＝＜，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(,bba小值是(A)0(B)1(C)3(D)3 2212、关于x的方程(x21)2x21k0，给出以下四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是．A．0B．1C．2D．3〔一〕填空题(4个)1.函数f x对于任意实数x满足条件fx21，假设f15,那么f xff5_______________。

高三数学函数试题答案及解析

高三数学函数试题答案及解析1.一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知如图是“优美图”，则点A，B与边a所对应的三个数分别为________．【答案】3、6、3【解析】观察图中编号为4的边，由于6－2＝5－1＝4，而数字2已为一端点的编号，故编号为4的边的左、右两端点应为5、1，从而易知编号为1的边的左、右两端点应为4、3.考虑到图中编号为1的边，易知点A对应的数为3，点B对应的数为6.故应填3、6、3.2.对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数．例如，[π]＝3，[－1.08]＝－2.如果定义函数f(x)＝x－[x]，那么下列命题中正确的一个是()A．f(5)＝1B．方程f(x)＝有且仅有一个解C．函数f(x)是周期函数D．函数f(x)是减函数【答案】C【解析】f(5)＝5－[5]＝0，故A错误；因为f()＝－[]＝，f()＝－[]＝，所以B错误；函数f(x)不是减函数，D错误；故C正确．3. [2012·江苏高考]已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．【答案】9【解析】通过值域求a，b的关系是关键．由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋)2＋b－.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.∴f(x)＝(x＋)2.又∵f(x)＜c，∴(x＋)2＜c，即－－＜x＜－＋.∴②－①，得2＝6，∴c＝9.4.下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x【答案】C【解析】若f(x)＝|x|，则f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；若f(x)＝－x，则f(2x)＝－2x＝2f(x)；若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1，不满足f(2x)＝2f(x)．5.（3分）（2011•重庆）已知，则a=（）A．1B．2C．3D．6【答案】D【解析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．解：原式==（分子分母同时除以x2）===2∴a=6故答案选D．点评：关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．6.如果函数在上的最大值和最小值分别为、，那么.根据这一结论求出的取值范围（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】函数在区间上最大值为1，最小值为，即，所以，，即取值范围为，选B.【考点】新定义概念与函数的最值.7.设函数，其中，为正整数，，，均为常数，曲线在处的切线方程为.（1）求，，的值；（2）求函数的最大值；（3）证明：对任意的都有.（为自然对数的底）【答案】（1）;（2）;（3）见解析.【解析】（1）在切点处的的函数值，就是切线的斜率为，可得；根据切点适合切线方程、曲线方程，可得，.（2）求导数，求驻点，讨论区间函数单调性，确定最值.（3）本小题有多种思路，一是要证对任意的都有只需证；二是令，利用导数确定，转化得到．令，证明．（1）因为， 1分所以，又因为切线的斜率为，所以 2分，由点（1,c）在直线上，可得，即 3分4分（2）由（1）知，，所以令，解得，即在（0，+上有唯一零点 5分当0<<时，，故在（0，）上单调递增； 6分当>时，，故在（，+上单调递减； 7分在（0，+上的最大值=== 8分（3）证法1：要证对任意的都有只需证由（2）知在上有最大值，=，故只需证 9分，即① 11分令，则，①即② 13分令，则显然当0<t<1时，，所以在（0，1）上单调递增，所以，即对任意的②恒成立，所以对任意的都有 14分证法2：令，则． 10分当时，，故在上单调递减；而当时，，故在上单调递增．在上有最小值，．，即. 12分令，得，即，所以，即.由（2）知，，故所证不等式成立． 14分【考点】导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性、最（极）值、证明不等式，转化与化归思想，分类讨论思想，应用导数研究恒成立问题.8.对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）=，由图可知，当c∈函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是，故选B．9.设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q【答案】D【解析】对A选项，存在满足条件，故是“保序同构”. 对B选项，存在满足条件，故是“保序同构”.对C选项，存在满足条件，故是“保序同构”.选D.【考点】1、新定义；2、函数.10.设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=.【答案】-9【解析】f(a)+f(-a)=a3cosa+1+(-a)3cos(-a)+1=2,而f(a)=11,故f(-a)=2-f(a)=2-11=-9.11.对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是()A．(-∞,-1)∪(-,0)B．{-1,-}C．(-1,-)D．(-∞,-1)∪[-,0)【答案】A【解析】由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,∴f(x)=函数f(x)的图象如图所示,由图象知,当c<-1或-<c<0时,函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.12.如果f()=,则当x≠0且x≠1时,f(x)=()A．B．C．D．-1【答案】B【解析】令=t,t≠0且t≠1,则x=,∵f()=,∴f(t)=,化简得:f(t)=,即f(x)=(x≠0且x≠1).13.设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.【答案】2【解析】设e x＝t，则x＝ln t(t>0)，∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2.14.是R上以2为周期的奇函数，当时，则在时是（）A．减函数且B．减函数且C．增函数且D．增函数且【答案】D【解析】因为是R上的奇函数，故，由复合函数单调性知，当时为增函数，故此时；当时，为增函数，又因为是以2为周期的，故在上函数性质和取值完全一样，即时，为增函数，选D.【考点】函数奇偶性、函数单调性.15.直线是函数的切线，则实数．【答案】1【解析】先对函数求导，即，由于切线方程为，所以，，解得：，因此，切点为（2，）或（－2，－），代入切线方程，可得＝ 1.【考点】函数的导数求法，函数导数的几何意义.16.已知函数若直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】如下图所示，作出函数的图象如下图所示，当直线与函数的图象有两个不同的交点，则.【考点】分段函数的图象、函数的零点17.设函数.（1）若x＝时，取得极值，求的值；（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；（3）设，当=－1时，证明在其定义域内恒成立，并证明（）．【答案】（1）．（2）.（3）转化成.所以.通过“放缩”，“裂项求和”。

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精华练习答案函数三性，两域部分1、【06江苏1】已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（A ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 2、【08全国II 9】．设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，则不等式0)()(<--xx f x f 的解集为（D ）(A) ),1()0,1(+∞⋃- (B) )1,0()1,(⋃--∞(C) ),1()1,(+∞⋃--∞(D) )1,0()0,1(⋃-3、【06北京理5】已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那么 a 的取值范围是（C ）（A ）（0，1）（B ）（0，13）（C ）17⎡⎢⎣,13⎤⎥⎦ （D ）]1,17⎡⎢⎣4、【07广东理】函数f(x)＝xlnx （x>0）的单调递增区间是)∞+⎢⎣⎡,1e. 解析：用求导法：.10ln 0)(1ln 1ln )(''ex x x f x x x x x f ≥⇒≥≥=⋅+=，，令＋ 5、【05江苏15】答案：⎥⎦⎤⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,430,41 6、【08上海理8】：设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是()()+∞⋃-,10,17、【08广东理19】设A ∈R ，函数试讨论函数F(x)的单调性．【解析】1,1,1()(),1,kx x x F x f x kx kx x ⎧-<⎪-=-=⎨⎪≥⎩21,1,(1)'(),1,k x x F x k x ⎧-<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩对于1()(1)1F x kx x x=-<-，当0k ≤时，函数()F x 在(,1)-∞上是增函数；当0k >时，函数()F x在(,1-∞上是减函数，在(1上是增函数；对于()(1)F x k x =≥，当0k ≥时，函数()F x 在[)1,+∞上是减函数；当0k <时，函数()F x 在211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上是减函数，在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭上是增函数。

8【08全国I 19】. （本小题满分12分）已知函数R a x ax x x f ∈+++=,1)(23（1）讨论函数)(x f 的单调区间；（2）设函数)(x f 在区间)31,32(--内是减函数，求a 的取值范围。

【解析】：（I ）：R a x ax x x f ∈+++=,1)(23，则123)(2'++=ax x x f当33012434)2(22≤≤≤-=⨯-=∆a a a 即－时，123)(2'++=ax x x f ≥0恒成立，此时()∞∞，＋－在)(x f 上单调递增.22434120,a ∆=-⨯=->>当（2a ）a 即a<函数'()f x 存在零点，此时()f x 在，33a a --∞∞单调增区间为（-，,（+）（Ⅱ）若函数在区间'221(,)21033ax --++=内是减函数，则说明f(x)=3x 两根在区间2133（-，-）外，因此：，由不等式组''2()031()030f f ⎧-≤⎪⎪⎪-≤⎨⎪∆>⎪⎪⎩，解得2a ≥9、【08年浙江理21】（本题15分）已知a 是实数，函数)()(a x x x -=⎰。

（Ⅰ）求函数)(x ⎰的单调区间；（Ⅱ）设)(a g 为)(x ⎰在区间[]2,0上的最小值。

（i ）写出)(a g 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g 。

【解析】（1）)(x f 的定义域为：[)+∞,0.)0(2323)('>-=-+=x xax x a x x x f 若0≤a ，则[)..0,0)('∞>＋有增区间x f 若.330)(.0)(3;0)(,303,0)(,0'''⎪⎭⎫⎝⎛∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡>><<<==>，＋，单调递增区间，有单调递减区间时，当当得令a a x f x f ax x f a x ax x f a （2）、i:若0≤a ，)(x f 在[]20，上单调递增，0)0()(==f a g ；若332)3()(2330)(,60aa a f a g a a x f a -==⎥⎦⎤ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<单调递增，，上单调递减，在，在若[])2(2)2()(20)(,6a f a g x f a -==≥上单调递减，，在 )0(,0≤a∴ )(a g ＝ )60(,332<<-a aa )6(),2(2≥-a aii:令2)(6-≤≤-a g若0≤a ，无解；若60<<a ，解得63<≤a ；若6≥a ，解得326+≤≤a .∴a 的取值范围为：323+≤≤a .10、【08江西理3】．若函数y ＝f (x )的值域是【21，3】，则函数F (x )＝f (x )＋)(1x f 的值域是（B ） A ．【21，3】 B ．【2，310】 C ．【25，310】 D ．【3，310】11、【08安徽理11】若函数)(x f 、)(x g 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足x ex g x f =-)()(，则有（D ）（A ）)0()3()2(g f f << （B ）)2()3()0(f f g <<（C ）)3()0()2(f g f << （D ）)3()2()0(f f g << 12、【08辽宁理12】设f(x)是连续的偶函数，且当x >0时f(x)是单调函数，则满足f(x)＝f 3()4x x ++的所有x 之和为（C ）(A )-3 (B )3 (C )-8 （D ）8 13、【07江苏理】设)12lg()(a xx f +-=是奇函数，则使f （x ）<0的x 的取值范围是（A ） A. )(0,1- B. )(1,0 C. )(0,∞- D. )()(∞+⋃∞-,10,14、【08江苏14】.13)(3+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立，则a =415、【08湖南14】.已知函数f (x )1).a ≠ （1）若a ＞1,则f(x)的定义域是⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-3,a ;(2)若f (x )在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是()(]3,10, ∞-. 16、【08四川理】.若函数2)()(μ--=x e x f （e 是自然对数的底数）的最大值是m ，且f(x)是偶函数，则m+μ=1 17、【07上海理】已知函数xax x f +=2)( ,0(≠x 常数)R a ∈. （1）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f(x)在[)+∞∈,2x 上是增函数，求a 的取值范围.解：（1）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞ ，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设122x x <≤， 22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121，要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立． 121204x x x x -<> ，，即)(2121x x x x a +<恒成立．又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ． a ∴的取值范围是(16]-∞，．解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，为增函数．当0<a 时，反比例函数x a 在[2)+∞，为增函数，xa x x f +=∴2)(在[2)+∞，为增函数．当0>a 时，同解法一．二次函数部分1、【08江西理12】．已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋l ，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是(B)A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0) 2、【08浙江理15】已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间【0，3】上的最大值为2，则t=1。

3、【05全国I 】已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>-2x 的解集为（1,3）. （I ）若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的表达式；（II ）若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围. 解：（1）()[]535651)(.1510145,094)4209)42(06)(3)42(2)3)(1()(0),3)(1(2)(3102)(22222---=∴=-=∴=--=⋅--∆∴=++-=+++-=---=∴<--=+∴>+x x x f a a a a a a a a x a ax a x f a x a ax x x x a x f a x x a x x f x x f （舍去）或即＋（＝有两个相等的根得由且，解集为（2）由由,21)(,014)21(3)21(2)(max 222aax f a a a a a a x a a x a ax x f +-=<++-+-=++-=aa a 142++>0a<0解得)0,32()32,(,03232＋－＋或－ ---∞∈∴<<--<a a a4、【08安徽理】7a<0是方程0122=++x ax 至少有一个负数根的（B ）(A) 必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 5、【07广东理】已知a 是实数，函数a x ax x f --+=322)(2，如果函数)(x f y =在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围.解：当a=0时，函数为f (x)=2x -3，其零点x=23不在区间【-1，1】上。