函数与导数历年高考真题

亦即证 在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，
∵ ，∴令 ．
当b≤0时， ＜0在0≤x≤1上恒成立，
此时 的最大值为： ＝|2a－b|﹢a；
当b＜0时， 在0≤x≤1上的正负性不能判断，
≤|2a－b|﹢a；
综上所述：函数 在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．
即 ＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．
30．【解析】解：（1）由 ，得 .
由 得 .……3分
因为 ，所以 ， .
由 得 .……6分
（2）当x[1,2]时，2-x[0,1]，因此
.……10分
由单调性可得 .
因为 ，所以所求反函数是 ， .……14分
31．解：（1）由 ，得 。
∵1和 是函数 的两个极值点，
∴ ， ，解得 。
（2）∵由（1）得， ，
解得： ，而 单调递增且大于等于0， ，选D。
13．B
【解析】本题考查导数知识的简单应用及函数、方程知识的综合应用。易求得 ，若函数在 上有大于零的极值点，即 有正根。当有 成立时，显然有 ，此时 ，由 我们马上就能得到参数 的范围为 。
14．D
【解析】本题主要考查了函数的奇偶性、单调性和不等式的解法。最好通过图象求解。
32．(Ⅰ)
(ⅰ) ．
当b≤0时， ＞0在0≤x≤1上恒成立，
此时 的最大值为： ＝|2a－b|﹢a；
当b＞0时， 在0≤x≤1上的正负性不能判断，
此时 的最大值为：
＝|2a－b|﹢a；
综上所述：函数 在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ)要证 ＋|2a－b|﹢a≥0，即证 ＝﹣ ≤|2a－b|﹢a．
（A）0（B）1（C）3（D）5
12．若函数 分别是 上的奇函数、偶函数，且满足 ，则有（）
A． B．
C． D．
13．设 ，若函数 有大于零的极值点，则
A． B． C． D．
14．设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
15．函数f(x)= 的定义域为
A．(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］B．(-4,0) ∪(0,1)
∴ ，∴ 故选C
5．A
6．B
【解析】：
7.【答案】C
【解析】定义域 ，当且仅当 即 上式取等号，故最大值为 ，最小值为 ， 。
8．A
【解析】试题分析：因为 ,所以f(x)的增区间为 ,减区间为 ,所以f(x)的极大值为f(-1),极小值为f(1),因为函数y＝x -3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,所以只须满足 ，即 ,所以 .选A。
.
26．-8
【解析】因为定义在R上的奇函数，满足 ,所以 ,所以,由
为奇函数,所以函数图象关于直线 对称且 ,由 知 ,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为 在区间[0,2]上是增函数,所以 在区间[-2,0]上也是增函数.如下图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间 上有四个不同的根 ,
不妨设 ,由对称性知,
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
75．已知函数 ， 是 的反函数，若 （ ），则 的值为（）
A． B．1C．4D．10
6．设正数a,b满足 ,则 （）
A．0 B． C． D．1
7．已知函数y= 的最大值为M，最小值为m，则 的值为
(A) (B) (C) (D)
8．已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
18．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为（）
A. B. C. D.
19．将函数 的图象按向量 平移得到函数 的图象，则（）
A． B． C． D．
20．函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 _______________。
21．已知t为常数，函数 在区间[0，3]上的最大值为2，则
由（1）知 。
①当 时， ，于是 是单调增函数，从而 。
此时 在 无实根。
②当 时． ，于是 是单调增函数。
又∵ ， ， 的图象不间断，
∴ 在（1 , 2）内有唯一实根。
同理， 在（一2，一I）内有唯一实根。
③当 时， ，于是 是单调减两数。
又∵ ， ， 的图象不间断，
∴ 在（一1，1）内有唯一实根。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数 在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，
且函数 在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．
∵﹣1≤ ≤1对x [0，1]恒成立，
∴|2a－b|﹢a≤1．
取b为纵轴，a为横轴．
则可行域为： 和 ，目标函数为z＝a＋b．
作图如下：
由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有 ， ．
【解析】试题分析：当m≤0时，显然不成立,当m=0时，因f（0）=1＞0,
当m＞0时，若 ,即 时结论显然成立；
若 时，只要△=4（4-m）2-8m=4（m-8）（m-2）＜0即可，即4＜m＜8,
则0＜m＜8,故选B．
考点：一元二次函数，一元二次不等式，一元二次方程之间的关系，以及分析问题解决问题的能力.
因此，当 时， 有两个不同的根 满足 ；当 时
有三个不同的根 ，满足 。
现考虑函数 的零点：
( i）当 时， 有两个根 ，满足 。
而 有三个不同的根， 有两个不同的根，故 有5个零点。
( 11）当 时， 有三个不同的根 ，满足 。
而 有三个不同的根，故 有9个零点。
综上所述，当 时，函数 有5个零点；当 时，函数 有9个零点
点评：解本小题的突破口是因为g(x)=mx显然对任一实数x不可能恒为正数,所以应按 和 分类研究，g(x)的取值，进而判断出f(x)的取值，从而找到解决此问题的途径.
11．D
【解析】定义在R上的函数 是奇函数， ，又是周期函数， 是它的一个正周期，∴ ， ，∴ ，则 可能为5，选D。
12．D
【解析】用 代换x得： ，
26．已知定义在R上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间 上有四个不同的根，则
27．已知 ， ，若同时满足条件：
① ， 或 ，②
则m的取值范围是
28．已知函数 ， 分别由下表给出
1
2
3
1
3
1
1
2
3
3
2
1
则 的值为；满足 的 的值是．
29．设函数 ，其中在 ，曲线 在点 处的切线垂直于 轴
28．1，2
【解析】 = ；
当x=1时， ，不满足条件，
当x=2时， ，满足条件，
当x=3时， ，不满足条件，
∴只有x=2时，符合条件。
29．（Ⅰ）因 ，故 由于曲线 在点 处的切线垂直于 轴，故该切线斜率为0，即 ，从而 ，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
令 ，解得 （因 不在定义域内，舍去）当 时， 故 在 上为减函数；当 时， 故 在 上为增函数，故 在 处取得极小值
若在 时取到，则 ，得 或
， 时， ； ， 时， （舍去）
所以
22．(1,
【解析】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.如图，在同一直角坐标系内画出直线 与曲线 ，由图可知，a的取值必须满足 解得 .
23．
【解析】 函数 过定点（0，-2），由数形结合：
24．
【解析】由已知得 ，单调递减，所以当 时，
∴所求a＋b的取值范围为： ．
∴ ，解得 。
∵当 时， ；当 时， ，
∴ 是 的极值点。
∵当 或 时， ，∴ 不是 的极值点。
∴ 的极值点是－2。
（3）令 ，则 。
先讨论关于 的方程 根的情况：
当 时，由（2）可知， 的两个不同的根为I和一2，注意到 是奇函数，∴ 的两个不同的根为一和2。
当 时，∵ ， ，
∴一2 ,－1，1，2都不是 的根。
9．B
【解析】因为当 时，将函数化为方程 ，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当 得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线 与第二个椭圆 相交，而与第三个半椭圆 无公共点时，方程恰有5个实数解，将 代入 得
令 ，则有
知 。
10．B
, ,所以 .
【考点定位】本小题考查函数的基本性质,如奇偶性、周期性、对称性，同时考查了数形结合的思想方法.
27．（-4,0）
【解析】根据 可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在 是必须是 ，当m=0时， 不能做到f(x)在 时 ，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为 ，为保证条件成立，只需 ，和大前提m<0取交集结果为 ；又由于条件2的限制，可分析得出在 恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比 两个根中较小的来的大，当 时， ，解得交集为空，舍。当m=-1时，两个根同为 ，舍。当 时， ，解得 ，综上所述， 。
22．直线 与曲线 有四个交点，则 的取值范围是.
23．已知函数 的图象与函数 的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.
24．设 ，若仅有一个常数c使得对于任意的 ，都有 满足方程 ，这时， 的取值的集合为.
25．方程x2+ x－1＝0的解可视为函数y＝x+ 的图像与函数y＝ 的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(xi, )（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是.
由 为奇函数，则 ，所以 ，即 与x异号，可以画出两个特殊图像 和y=x，即答案为D。