近世代数
《近世代数》PPT课件
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
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（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
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和
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联系在一起？
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例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
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• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数——精选推荐
近世代数⽬录基本概念元素。
集合。
空集合。
⼦集 。
真⼦集 。
A =B ⟺A ⊆B ∧B ⊆A 。
幂集：⼀个集合所有⼦集组成的集合， P (A ) 。
交集。
并集。
性质：幂等性；交换律；结合律；⼆者之间有分配律。
关系：M ×M 的⼦集。
即 ∀a ,b ∈M ，法则 R 可以确定 a 和 b 符合/不符合这个法则。
记做 aRb 和 a ¯R b 。
等价关系：满⾜⾃反性（∀a ∈M ,aRa ）、对称性（ aRb ⇔bRa ）和传递性（ aRb ,bRc ⇒aRc ）的关系，⽤ ∼ 表⽰，即 a ∼b 。
分类：把集合 M 的全体元素分为若⼲互不相交的⼦集。
每个分类与⼀个等价关系⼀⼀对应。
映射：集合 A ,B ，有⼀个 法则 φ 使得所有的 x ∈A 存在唯⼀的 y ∈B 与之对应。
记作 φ:x ⟶y 或 y =φ(x ) 。
y 叫做 x 在映射 φ 下的像，把 x 叫做 y 在映射 φ 下的原像或逆像。
满射：B 中每个元素在 A 中都有原像。
单射：A 中不同的元素在 B 中像不同。
双射：满射+单射。
逆映射：只有双射才有逆映射，记为 φ−1 。
有限集合满⾜ |A |=|B | 且 φ 是 A 到 B 的⼀个映射，则 φ 是满射 ⟺ φ 是单射；推论：得出 φ 是双射。
相等映射 ： A 到 B 的映射 σ 和 τ 满⾜ ∀x ∈A ,σ(x )=τ(x ) 。
映射合成/映射乘法： τ:A ⟶B ,σ:B ⟶C ，则 x ⟶σ(τ(x ))(∀x ∈A ) 是 A 到 C 的⼀个映射，记为 στ(x ) 。
代数运算：集合 M 的对应法则 M ×M ⟶M ，即任意两个有次序的元素 a 和 b 有唯⼀确定的元素 d 与它们对应。
代数系统：有代数运算的集合。
（注意代数运算的封闭性。
即 d ∈M ）。
⽤“乘法表”法表⽰有限集合的代数运算时，注意每列⾏⾸（第⼀列）是参与运算第⼀个元素，每列列⾸（第⼀⾏）是第⼆个元素。
近世代数及其应用
近世代数及其应用近世代数是一门研究几何形状及其变化的数学分支。
它主要关注形状如何在空间中进行旋转、平移和缩放等变化，以及这些变化如何可以通过线性变换来表示。
近世代数的研究内容包括几何变换、向量空间、矩阵、行列式、特征值和特征向量等。
近世代数在计算机图形学、机器人学、几何建模和计算机视觉等领域有广泛的应用。
在计算机图形学中，近世代数用于表示三维几何图形的旋转、平移和缩放等变换。
在机器人学中，近世代数用于表示机器人的运动轨迹和姿态。
在几何建模中，近世代数用于建立三维几何模型，并进行几何变换。
在计算机视觉中，近世代数用于表示图像的旋转、平移和缩放等变换。
1.计算机图形学在计算机图形学中，近世代数用于表示三维几何图形的旋转、平移和缩放等变换。
例如，在游戏开发中，近世代数可用于控制三维模型的运动和姿态，以生成真实感十足的动画效果。
在三维建模软件中，近世代数也可用于控制三维几何图形的变换，方便用户进行几何建模和设计。
2.3.机器人学在机器人学中，近世代数用于表示机器人的运动轨迹和姿态。
例如，在机器人抓取物体时，近世代数可用于控制机器人的末端机械臂的运动轨迹，使其能够精确地抓取目标物体。
在机器人导航时，近世代数也可用于表示机器人的位置和方向，方便机器人进行自主导航。
3.几何建模在几何建模中，近世代数用于建立三维几何模型，并进行几何变换。
例如，在机械设计中，近世代数可用于建立三维机械零件模型，并对其进行旋转、平移和缩放等变换，以方便设计师进行零件布局和装配规划计算机视觉4.在计算机视觉中，近世代数用于表示图像的旋转、平移和缩放等变换。
例如，在图像识别中，近世代数可用于对图像进行旋转、平移和缩放等变换，以提高图像识别的准确率。
在视频监控中，近世代数也可用于检测图像中的运动目标，并对其进行跟踪。
5.地理信息系统在地理信息系统中，近世代数用于表示地理数据的旋转、平移和缩放等变换。
例如，在地图制作中，近世代数可用于控制地图投影的旋转、平移和缩放，以生成适合不同使用场景的地图。
近世代数教学大纲
混凝土加气块标准
1、砌块砌筑时，应上下错缝，搭接长度不宜小于砌块长度的1/3。
2、砌块内外墙墙体应同时咬槎砌筑，临时间断时可留成斜槎，不得留“马牙槎”。
灰缝应横平竖直，水平缝砂浆饱满度不应小于90%。
垂直缝砂浆饱满度不应小于80%。
如砌块表面太干，砌筑前可适量浇水。
3、地震区砌块应采用专用砂浆砌筑，其水平缝和垂直缝的厚度均不宜大于15mm。
非地震区如采用普通砂浆砌筑，应采取有效措施，使砌块之间粘结良好，灰缝饱满。
当采用精确砌块和专用砂浆薄层砌筑方法时，其灰缝不宜大于3mm。
4、后砌填充砌块墙，当砌筑到梁(板)底面位置时，应留出缝隙，并应等待7d后，方可对该缝隙做柔性处理。
5、切锯砌块应采用专用工具，不得用斧子或瓦刀任意砍劈。
洞口两侧，应选用规格整齐的砌块砌筑。
6、砌筑外墙时，不得在墙上留脚手眼，可采用里脚手或双排外脚手。
7、砌体结构尺寸和位置允许偏差。
近世代数(抽象代数)课件
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
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§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
第一章 群 论
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
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§1 代数运算
定义 1.1 设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)和 A 都是非空集合. A1 A2 An 到 A 的映射 又 称 为 A1, A2 , , A n 到 A 的 代 数 运 算 ; 特 别 地, An 到 A 的映射又称为 A 上的 n 元运算.
设 A 是一个非空集合. f 是 A 上的一个二
元运算.于是，对于任意的 a, b A ，存在唯
一的 c A ，使得 f (a, b) c .我们约定,将等
式 f (a, b) c 改写成 afb c .
近世代数文档
近世代数引言近世代数是数学中一个重要的分支，研究代数结构及其性质的理论体系。
通常包括群论、环论、域论等内容。
近世代数的发展对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
群论群论是近世代数的一个基础概念和重要分支。
群由三个基本要素组成：集合、运算和满足一定性质（结合律、封闭性、单位元、逆元）的公理。
群论研究集合中的元素如何进行运算，并研究这些运算的性质。
•子群：给定一个群，若一个集合中的元素满足群的性质和封闭性，则称其为一个子群。
•循环群：由一个元素生成的群称为循环群，循环群的结构相对简单。
•群的同态：将一个群的元素映射到另一个群中，并保持运算结构，称为群的同态。
同态的研究对于理解群之间的关系和性质非常重要。
环论环论是近世代数的另一个重要分支，研究满足特定性质的运算集合和运算规则。
环由两个基本要素组成：集合和满足一定性质（结合律、封闭性、零元、乘法交换律、分配律）的公理。
环论的研究主要关注集合中的元素之间的加法和乘法运算。
•子环：给定一个环，若一个集合中的元素满足环的定义和封闭性，则称其为一个子环。
•理想：一个环中的子集，满足特定运算性质（左右理想、乘法吸收律）的集合。
•商环：对于一个环和其中的一个理想，可以通过模运算构建一个新的环，称为商环。
商环中的元素相当于原环中的一个等价类。
域论域论是近世代数中的一个重要分支，研究满足一定性质的运算集合和运算规则。
域是一个满足加法和乘法交换律、分配律以及存在加法和乘法的单位元和乘法的逆元的环。
域是一种结构相对简单但非常重要的代数结构。
•子域：给定一个域，若一个集合中的元素满足域的定义和封闭性，则称其为一个子域。
•拓展域：给定一个域F，在F中添加一个新的元素，并扩展运算规则，得到的新的集合和运算称为拓展域。
•有限域：域中的元素个数是有限的，则称该域为有限域。
有限域具有特殊的性质和应用。
应用领域近世代数的研究对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
近世代数科普
近世代数科普群论⼆1. 同态与同构群的同态：设f:G→G′，如果其满⾜∀a,b∈G,f(a)f(b)=f(ab)，则称f是⼀个同态当f是⼀个满射时，称为满同态当f是⼀个单射时，称为单同态当f是⼀个双射时，称为同构，称为G≅G′常记f(G)={f(x):x∈G}，f−1(x)={a:f(a)=x}，f−1(S)={a:f(a)∈S}常⽤结论设f:G→G′为⼀个同态，则f(e)=e′，f(a)−1=f(a−1)设f:G→G′为⼀个同态，则f(G)⩽G′Prof：对a′,b′∈f(G)，∃a,b∈G,f(a)=a′,f(b)=b′，则a′b′−1=f(a)f(b)−1=f(ab−1)∈f(G)2. 正规⼦群Def：设H⩽G，若∀a∈G,aH=Ha，则称H为⼀个正规⼦群，记做H⊲G正规⼦群的等价结论：设H⩽G，∀a∈G,aHa−1=H设H⩽G，∀a∈G,aHa−1⊆HProf：取a和a−1，aHa−1⊆H，a−1Ha⊆H设H⊲G，K⩽G，则H∩K⊲KProf：∀x∈H∩K,∀g∈K,g−1xg∈H∩K（H是由正规⼦群，K由群的封闭性）3. 核Def：设f:G→G′是⼀个同态，则f−1(e)称为f的核，记做ker(f)核⼀定是正规⼦群：⼦群：∀a,b∈ker(f),f(ab−1)=f(a)f(b−1)=e∈ker(f)正规⼦群：∀g∈G,h∈ker(f)，f(ghg−1)=f(g)ef(g−1)=e∈ker(f)，从⽽g ker(f)g−1⊆ker(f)，从⽽ker(f)是正规⼦群f−1(a)=a ker(f)4. 商群定义⼀种集合运算，AB={ab|a∈A,b∈B}Def：设H⩽G，G/H为H的陪集的集合，若H⊲G，G/H在上述集合运算下构成群，称为商群，商群的单位元为H，元素aH的逆元为a−1HProf：∀aH,bH∈G/H,aHb−1H=ab−1H∈G/H5. ⾃然同态设H⊲G，则存在G→G/H的同态φ(a)=aH，称为H的⾃然同态⾃然同态⼀定是满同态φ(H)=φ−1(H)=H6. 群同态基本定理设f:G→G′是⼀个满同态，则G/ker(f)≅G′Prof：记N=ker(f)，构建映射ϕ(aN)=f(a)先证为双射，如果f(a)=f(b)，则a∈bN，则aN=bN，故为单射∀a′∈G′,∃a∈f−1(a′),s.t.ϕ(aN)=a′，故为满射再证同构，ϕ(aN)ϕ(bN)=f(a)f(b)=f(ab)=ϕ(abN)=ϕ(aNbN)推论：设f:G→G′是⼀个同态，则G/ker(f)≅f(G)7. 群同态定理设f:G→G′是⼀个满同态，记N=ker(f)f建⽴G包含N的⼦群与G′的⼦群之间的⼀⼀对应Prof：设S1={K:N⩽K⩽G}，S2={K:K⩽G′}(a) ⾸先证明映射合法，∀H∈S1,f:H→G′是⼀个同态，因此f(H)⩽G′(b) 证明单射，先证∀H∈S1,f−1(f(H))=H，知H⊂f−1(f(H))，并且∀x∈f−1(f(H)),f(x)∈f(H)，因⽽∃h∈H,f(x)=f(h)，故x∈hN⊂H，故f−1(f(H))⊂H，因此f−1(f(H))=H，那么如果f(H1)=f(H2)就有H1=H2(c) 证明满射，∀H′∈S2,f(f−1(H′))=H′f建⽴G包含N的正规⼦群与G′的正规⼦群之间的⼀⼀对应Prof：设S a={K:N⩽K⊲G},S b={K:K⊲G′}(a) f:S a→S b合法，因为∀K∈S a,∀g∈G,gKg−1=K，故f(K)=f(gKg−1)=f(g)f(K)f(g)−1，由f是满同构知f(K)∈S b，⼜由f:S1→S2是双射知，f是⼀个单射(b) 反之，∀K′∈S b,∀g∈G,f(g−1f−1(K′)g)=f(g)−1K′f(g)=K′，从⽽g−1f−1(K′)g⊂f−1(K′)，从⽽f−1(K′)∈S a，由f:S1→S2是双射知，f是⼀个满射上述两条主要是为了接下来的定理的描述第⼀群同构定理：设f:G→G′是⼀个满同态，设N=ker(f)，设N⊂H⊲G，则G/H≅G′/f(H)Prof：设G′/f(H)的⾃然同态为π，那么我们考虑同态φ=πf(G→G′/f(H))，由π,f为满同态，则φ为满同态我们考虑证明H=ker(φ)，即{x|πf(x)∈f(H)}，显然H⊆ker(φ)，⽽∀x∈ker(φ)，有πf(x)∈f(H)，即f(x)∈f(H)，即x∈f−1(f(x))⊆H，从⽽H=ker(φ)，由群同态基本定理，我们得到G/H≅G′/f(H)第⼆群同构定理：设H⩽G,N⊲G，则HN/N≅H/H∩N为了使定理有意义，先证HN是⼦群，⾸先HN=NH，∀h1,h2∈H,n1,n2∈N，n1h1(n2h2)−1=n1(h1h−12)n2∈NHN=HN，故HN为⼦群Prof：设H/H∩N的⾃然同态为π，π(a)=a(H∩N)，构造f:HN→H，∀x∈aN,f(x)=a，则ϕ=πf是⼀个满同态我们考虑证明N=ker(ϕ)，即{x|πf(x)∈H∩N}，⾸先f(N)=e,π(e)=H∩N，故N⊆ker(ϕ)⽽且∀x∈ker(ϕ),f(x)∈{e}，故x∈N，故ker(ϕ)⊆N第三群同构定理：设N⊲G,N⩽H⊲G，则G/H≅(G/N)/(H/N)Prof：第⼀群同构定理，取G′=G/N的特例群论三1. 单群Def：如果G没有⾮平凡的正规⼦群（{e}和G），那么G称为单群G≠{e}是交换单群，当且仅当G为素数阶的循环群Prof：对任意g≠e，考虑⟨g⟩2. ⽣成⼦群记最⼩包含S的⼦群为⟨S⟩，即⟨S⟩=⋂S⊂H⩽G H∀x∈S,x=x1x2...x m(x1,x2,...,x m∈S∪S−1)当S有限时，⟨S⟩称为有限⽣成群3. 换位⼦群（导群）a−1b−1ab称为元素a,b的换位⼦（交换⼦），记做[a,b]所有的换位⼦⽣成的⼦群称为换位⼦群（导群），常记做G′, [G,G], G(1)（以后变量要取别的名字了...）当ab=ba时，[a,b]=a−1b−1ab=eG′⊲GProf：g[a,b]g−1=(ga−1g−1)(gb−1g−1)(gag−1)(gbg−1)=[gag−1,gbg−1]∀x∈G′,x=[a1,b1][a2,b2]...[a m,b m], 故gxg−1=[ga1g−1,gb1g−1][ga m g−1,gb m g−1]∈G′故∀g∈G,g−1G′g⊆G′，故G′⊲GG/G′是阿贝尔群Prof：aG′bG′=bG′aG′⇔aG′b=bG′a⇔G′=a−1bG′ab−1⇔G′=G′a−1bab−1⇔G′=G′[a,b−1]4. 可解群定义G(n)=(G(n−1))(1)，注意到G⊳G(1)⊳G(2)⊳...Def：如果G(k)={e}，则称G为可解群利⽤换位⼦群的商群的性质，有这样的充要条件：群G是可解群当且仅当存在G⊳G1⊳G2....⊳G k={e}，且G i−1/G i(1≤i≤k)为阿贝尔群Prof：“⇒"：显然，G,G(1),G(2),....，满⾜题意“⇐”：如果G/N是阿贝尔群，考虑φ:G→G/N为⾃然同态，那么有φ([a,b])=e，即[a,b]∈N从⽽我们有G(1)⩽N，在本题中，由于G/G1是阿贝尔群，故G(1)⩽G1，归纳得到G(k)⩽G k，即G(k)={e}5. 中⼼化⼦定义C(G)={x:∀a∈G,ax=xa}，称为群G的中⼼C(G)⊲G类似的，定义C S(G)={x:∀a∈S,ax=xa}，称为S的中⼼化⼦C S(G)⩽G6. 群对集合的作⽤设f:G×S→S，且满⾜[1] f(e,x)=x [2] f(g1g2,x)=f(g1,f(g2,x))，称f决定了群G在S上的作⽤，f(g1,x)常简写为g1(x)设G是⼀个群，X,X′是两个⾮空集合，G作⽤在X,X′上，如果存在双射ϕ:X→X′，使得ϕ(g(x))=g(ϕ(x))，则称这两个作⽤等价example：项链的旋转构成群，对长为n的全红项链和全蓝项链显然等价设G作⽤在X上，定义关系R={(x,y)|∃g∈G,g(x)=y}，易证R是等价关系，在这个等价关系下，我们划分出的等价类称为轨道，和x 等价的元素记做O x={g(x)|g∈G}给⼀条项链染⾊，在旋转操作下等价的元素设G作⽤在X上，∀x∈X，定义H x={g∈G|g(x)=x}为x的稳定⼦群（显然为⼦群）如果|O x|=1，或者说∀g∈G,g(x)=x，则称x为不动点7. 齐性空间Def：设H⩽G，则H的所有左陪集构成的集合称为G的齐性空间⼀般的，默认g(aH)=gaH是G在G/H上的作⽤设G作⽤在X上，则\forall x \in X，G在O_x上的作⽤和其在G/H_x上的作⽤等价Prof：定义映射f:G/H_x \to O_x, f(aH_x) = a(x)其为单射，因为b(x) = a(x) \Leftrightarrow b^{-1}a(x)=x \Leftrightarrow bH_x=aH_x其显然为满射，因此此为⼀⼀映射，并且，f(gaH_x) = ga(x) = g(f(aH_x))设G为有限群，G作⽤在X上，则|O_x| = |G/H_x|Prof：由上⼀个命题，f是⼀个⼀⼀映射，故这两个集合的基数相等ex：求正⽅体的旋转群的⼤⼩我们考虑利⽤上式公式，不难得到|H_1| = 3，|O_1| = 8，从⽽|G| = 24在G作⽤到G上，并且g(x) = gxg^{-1}时，此时H_x = C_G(X)，定义C(x)为和x共轭的元素的集合，则|C(x)| = |G :C_G(x)|根据等价类的定义，从每个共轭类中选择⼀个元素，得到|G| = \sum_x [G:C_G(x)]特别的，当x\in C(G)时，[G:C_G(x)] = 1，因此我们选择从每个⾮平凡的共轭类中选择⼀个x元，则有|G| = |C(G)| + \sum_x |G:C_G(x)|这称为共轭类⽅程设H\leqslant G，则H \cong xHx^{-1}(x\in G)8. p-群Def：如果|G| = p^k(k\geq 1)，其中p为素数，则称G为p-群设p-群G作⽤于集合X上，设|X|=n，设t为X中不动点的数⽬，则t \equiv n(mod\;p)Prof：设集合X的全部轨道为O_1, O_2, ..., O_k，则有\sum |O_i| = n，注意到|O_i| = p^m(m\geq 0)，当且仅当|O_i| = 1时，有|O_i|\;mod\;p =1，否则|O_i| \;mod\;p=0，因此t \equiv n(mod\;p)p-群⼀定有⾮\{e\}的中⼼Prof：考虑G到G上的共轭变换，任意G的中⼼中的元素⼀定是⼀个不动点，因此，我们有|C(G)|\equiv 0(mod\;p)，⾃然我们得到|C(G)|>19. Burnside 引理设群G作⽤于集合S上，令t表⽰S在G作⽤下的轨道的条数，\forall g\in G，F(g)表⽰S在g作⽤下不动点的个数，则t = \frac{\sum_{g\in G} F(g)}{|G|}Prof：⾸先转化命题，我们运⽤双计数证明|G|*t = \sum_{g\in G}F(g)考虑右式，\sum_{g\in G}F(g) = \sum_{x\in S, g\in G} [gx = x] = \sum_{x\in S} \{g:g\in G, gx=x\} = \sum_{x\in S} |H_x|由于|H_x| = |G| / |O_x|，因此所求即|G|*\sum_{x \in S}\frac{1}{|O_x|}，即证\sum_{x\in S} \frac{1}{|O_x|} = t考虑⼀个轨道O_x，这个轨道产⽣的贡献为|O_x| * \frac{1}{|O_x|} = 1，如此，t为不同的轨道的条数，命题得证群论四好像有些不太正常的要来了1. 西罗第⼀定理设G是⼀个阶为n的有限群，p为素数，如果p^k | n, k \geq 0，那么G中存在⼀个阶为p^k的⼦群Prof：引理：设n = p^r*m, (p, m) = 1，对k \leq r，有v_p(\binom{n}{p^k})=r-k（由Kummer\;TH显然）取G中所有含有p^k个元素的⼦集，构成集合X，令G作⽤在X上，定义g(A) = gA, A\in X那么有|X| = \sum |O_i|，由于p^{r-k+1} \nmid |X|，因此存在A\in X，使p^{r-k+1} \nmid |O_A|，下证|H_A|=p^k由|O_A| |H_A|= |G|知，v_p(H_A) \geq k，即|H_A| \geq p^k但\forall a\in A, H_Aa \subset A，故|H_A| \leqslant |A| = p^k，从⽽|H_A|=p^k设v_p(|G|) = k，则阶为p^k的⼦群称为西罗p-⼦群2. 西罗第⼆定理设v_p(|G|) = r，P是G的⼀个西罗p-⼦群，\forall H \leqslant G, |H|=p^k, \exists g\in G, s.t. H \leqslant gPg^{-1}Prof：考虑X为P的左陪集的集合，将H作⽤于X，h(aP)=haP由于(|X|, |H|) = 1，那么存在⼀个不动点，使得HgP = gP此时\forall h \in H ,\exists p_1, p_2\in P, hgp_1=gp_2，即h = gp_2p_1^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}，因此H \leqslant gPg^{-1}推论1：任意两个西罗p-⼦群互相共轭推论的推论：⼀个群G有唯⼀的西罗p-⼦群P的充要条件为P \lhd G3. 正规化⼦Def：对H \leqslant G，定义\{g:g\in G, gH=Hg\}为H的正规化⼦，记做N(H) N(H) \leqslant GH \lhd N(H)C_G(H) \leqslant N(H)G中西罗p-⼦群的个数，以及对任⼀西罗p-⼦群P，N(P)的阶为|G|的因⼦Prof：设X为G中所有西罗p-⼦群的集合，在上⾯作共轭变换对任⼀西罗p-⼦群P，有O_P = X，H_P = N(P)，从⽽|X|*|N(P)|= |G|4. 西罗第三定理若G中所有西罗p-⼦群的个数为t，则t \equiv 1(mod\;p)证明从略|G| = p^r * m, (p, m) = 1，结合t | |G|，我们有t | m。
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第一章：基本概念重点：一一映射、代数运算、代数系统、同态、同构、分类。
第二章：群重点：群的各种等价定义、变换群及其基本定理、置换群、子群。
难点：置换群、变换群、陪集。
第三章：正规子群和群的同态与同构重点：正规子群、商群、同态基本定理难点：同态基本定理、同构定理、自同构群。
第四章：环与域重点：环、域、理想难点：环的同态、同构，极大理想、商域。
第五章：唯一分解整环重点：唯一分解，主理想环，多项式和多项式的根。
难点：唯一分解环，主理想环、欧氏环。
近世代数练习题（A）一、填空题（每题3分，共30分）：1、设是集合到的满射，则 .2、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为 .3、写出三次对称群的子群的一切左陪集，， .4、设是一个阶交换群，是的一个（）阶元，则商群的阶等于 .5、设=是循环群，则与整数加群同构的充要条件是 .6、若环的元素(对加法)有最大阶, 则称为环的 .7、若环满足左消去律，那么必定 (有或没有)左零因子.8、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是环的 .9、若域，则称是一个素域.10、设是域的一个扩域,. 如果存在上非零多项式使, 则称为上的一个 .二、选择题（每题4分，共20分）：1、指出下列哪些运算是代数运算（）.A.在整数集上，B.在有理数集上，C.在正实数集上，D.在集合上，2、设是一个群同态映射(不一定是满射)，那么下列错误的命题是（）.A.的单位元的象是的单位元B.的元素的逆元的象是的象的逆元C.的子群的象是的子群D.的正规子群的象是的正规子群3、下列正确的命题是（）.A主理想整环必是欧氏环 B. 欧氏环一定是唯一分解整环C.唯一分解整环必是主理想整环D.唯一分解整环必是欧氏环4、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（）A. B.C. D.5、下列不是循环环的单位（可逆元）的是（）.A. B.5 C. 7 D. 2三、证明题（每题10分,共50分）：1、设为实数且，并规定证明：对此运算作成一个群.2、证明: 9在有单位元的整环中不能惟一分解.3、设是偶数环. 证明:1);2)是否成立? 为什么? 是由哪个偶数生成的主理想?4、设是群到群的一个同态满射,又,,证明:.5、设6阶群G不是循环群，证明：G.（A）参考答案一、填空题（每题3分，共30分）:1、2、3、或,或, 或4、5、或 6、特征(或特征数) 7、没有8、一个极大理想9、不含真子域10、代数元二、选择题（每题4分，共20分）:1、D2、 D3、B4、D5、D三、证明题（每题5分,共50分）:1、证明:显然是非空集合上的代数运算., 则有即, 对此运算满足结合律.又, 即是的左单位元; 又, 有且, 即是在中的左逆元. 因此, 对此运算作成一个群.2、证明: 首先易知,中的单位是.其次, 若, 则必是环的不可约元.事实上, 若是的任一因子, 则有, 使, 故或.但不可能, 故只有或.当时,是可逆元; 当时, 与相伴. 因此, 只有平凡因子, 即是不可约元.故, 是的不可约元.但, 而且又不与中的任一个相伴,即9不能惟一分解.3、证明:1), 则, 于是.再任取, 由知,. 故.2) 不成立.因为, 例如, 但.事实上, . 即是由8生成的主理想.4、证明：方法(一):因为,是满同态，故.令.下证是商群到的一个同构映射. 1) 是映射: 设, 则.因是同态满射,故.从而, 即是商群到的一个映射. 2) 是满射: , 因是同态满射, 故有使. 从而在之下有逆象, 即是满射. 3) 是单射: 设, 则.因是满射, 故有使,其中是的单位元. 于是故. 从而, 即是单射.又显然在之下有,故是商群到的一个同构映射. 因此.方法(二):利用群同态基本定理因为,是满同态，故.设是群到商群的映射. 因为又是满射(因是满射),故是群到商群的满同态映射.又, 据群同态基本定理, .5、证因为G不是循环群，故G没有6阶元.从而由Lagrange定理知，G必有2阶元或3阶元.除外G中元素不能都是2阶元：若不然，G为交换群.于是在G中任取互异的2阶元，则易知.这与Lagrange定理矛盾.又除外G中元素不能都是3阶元：若不然，则在G中任取3阶元，可知G有子群，且.于是,这与矛盾.因此，G必有2阶元和3阶元.由此可知：，且易知是G到的一个同构映射，故G.世代数练习题（B）一、填空题（每题3分，共30分）：1、设是实数集，规定的一个代数运算（右边的乘法是普通乘法），则（适合或不适合）结合律.2、设=是6阶循环群，则的所有生成元是 .3、给出一个5-循环置换，那么 .4、设是有单位元的交换环，是的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为.5、设是群的子群，且有左陪集分类. 如果，那么 .6、群的任意个正规子群的交 (是或不是)群的正规子群.7、设是一个4阶群，则的真子群的可能的阶数是 .8、设是一个有单位元的整环.如果的每一个理想都是一个主理想，则称是一个 .9、模8的剩余类环的全部零因子是 .10、若域是域E的一个子域, 则称E为子域的一个 .二、选择题（每题4分，共20分）：1、设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的常数. 那么群中的单位元和元素的逆元分别是（）.A.0和B.1和0C.和D.和2、设是环同态满射，，那么下列错误的结论为（）.A.若是零元，则是零元B.若是单位元，则是单位元C.若是不交换的，则不交换D.若不是零因子，则不是零因子3、下列不是整环的单位的是（）.A.1B.-1C. iD. 2i4、设和都是群中的元素且，那么（）.A. B. C. D.5、设是有单位元的整环且. 在中，如果，其中是的一个单位，则称是的（）.A.相伴元B.可约元C.可逆元D.幂零元三、证明题（每题10分,共50分）：1、证明: 交换群中所有有限阶元素作成一个子群.2、设为整数集，证明对以下二运算作成一个交换环:.3、设是群到群的一个同态满射. 证明：是的正规子群，且.4、证明：整数环上的多项式环的理想不是主理想.5、证明：整数5在中的全部真因子共有8个，它们是.（B）参考答案一、填空题（每题3分，共30分）：1、适合2、(未全对者,不给分)3、4、5、86、是7、28、主理想整环9、(未全对者,不给分) 10、扩域二、选择题（每题4分，共20分）：1、D2、 D3、D4、B5、A三、证明题（每题10分,共50分）：1、证明: 设是由交换群中所有有限阶元素作成的集合. 显然, , 故非空. 若，设.因可换, 故, 从而。
又因, 故. 因此,.2、设为整数集，证明对以下二运算作成一个交换环:.证明: 易知对作成加群，1是零元，是元素的负元. 此外，对乘法满足交换律和结合律. 下证乘法对加法满足分配律：因为故.因此，对作成一个交换环.3、证明: 首先，由于的单位元是的正规子群，故其所有逆象的集合，即也是的一个正规子群.其次，设，则在与之间建立以下映射：.1）设，则.于是即中的每个陪集在之下在中只有一个象，因此，为到的一个映射；2）任取，因是满射，故有，使.从而在之下在中有逆象，即为满射.3）若，则，从而.即为单射.因此为双射.又由于有，故为同构映射，从而.4、证明：因若不然，设，则. 由于是有单位元的交换环，故可令，这只有.但因为显然是由常数项为偶数的所有整系数多项式作成的理想，故，矛盾.5、证明：设是5在中的任一真因子，则存在使，这只有.由于是5的真因子，而环的单位只有，故；又：因若，则由上知，即是单位，与5相伴，这与是5的真因子矛盾.故只有.解此方程可得于是，5的全部真因子共有8个，它们是: .近世代数练习题（C）一、填空题（每题5分，共40分）：1.设群中元素的阶为,则= ,这里为正整数.2.阶循环群有个子群.3.置换的阶为 .4.互不同构的6阶群有且只有个.5.设是一个非空集合,则其幂集环的特征为 .6.有限的除环是否为域？ .7.整数环的极大理想是否为素理想? .8.设分别为惟一分解整环、主理想整环与欧氏环的集合，则的关系为 .二、（10分）：举例说明:群的正规子群的正规子群未必是的正规子群.三、（20分）：叙述并证明群的同态基本定理.四、证明题（每题10分,共30分）：1.设是包含在群的中心内的一个子群.证明: 当为循环群时,为交换群.2. 在整数环中,1) 若为的非零理想, 为中的最小正整数, 则.2) 若是个整数, 且, 则.3. 设是一个域,且,证明:1).2)中除0与1外,其余的两个元素都满足方程.（C）参考答案一、填空题（每题5分，共40分）1．t ； 2. T(n); 3. 2 ; 4. 2 ; 5. 2 ; 6. 是;是 ;二、举例说明:群的正规子群的正规子群未必是的正规子群.解：在四次对称群中，Klein四元群是四次对称群的正规子群,而是的正规子群, 但是并不是的正规子群. 因为有.……(10分).三、叙述并证明群的同态基本定理.叙述: 设是从群与群的同态满射, 则是的正规子群, 且.证明: 由于的单位元是的一个正规子群, 故其逆象的集合, 即的核也是的一个正规子群. 首先,设则对任意的,有, 故是单射.其次, 对任意的, 由于是满射, 所以, 使, 从而, , 因此,是满射.又对任意的, 有, 因此, 是同构映射,故.四、证明题( 每题10分, 共30分)1.设是包含在群的中心内的一个子群.证明: 当为循环群时,为交换群.证明: 首先, 由于子群含于群的中心, 故是的正规子群.当是循环群, 且时, 对, 存在整数, 使得, 即,于是有, 使得, 由于含于群的中心, 因此中的元素与的任何元素都可换,故, 即是交换群.3. 在整数环中,3) 若为的非零理想, 为中的最小正整数, 则.若是个整数, 且, 则证明：1) 由于是非零理想, 因此, 必含非零整数, 从而, 必含正整数. 设是中的最小正整数, 则对任意的, 必存在整数, 使, 其中或, 于是, 由于是理想, 故, 从而, 但是中的最小正整数, 于是有. 即,因此, 而是显然的, 故.2) 由于，故，因而，，即, 又, 所以, , 使得, 因此, , 从而, 因此.3．设是一个域,且,证明:1).2)中除0与1外,其余的两个元素都满足方程.证明：1) 设域的特征是素数, 则中每个非零元素的阶(作为加法)都是素数.但, 故, 从而, 即.4) 设, 则的乘群为, 由于在中的阶整除, 故的阶只能3. 令为中的任一个, 则, 即, 但且域无零因子, 故或. 又因, 故, 于是有.近世代数练习题（D）一、填空题（每题5分，共40分）：1.若群中元素的阶为,则= .2.无限循环群的生成元为 ;4阶循环群的生成元为 .3.置换的阶为 .4.在三次对称群中,子群的指数为 .5.设是一个非空集合,则的幂集环的特征为 .6.模6的剩余类环的乘群阶数为 .7.整数环的极大理想是否为素理想? .8.设分别为惟一分解整环、主理想整环与欧氏环的集合，则的关系为 .二、计算题（10分）：设，求与.三、证明题（20分）：设是一个群,证明:1. 的全体内自同构作成一个群.2. .四、证明题（每题10分,共30分）：1．设群中元素的阶为,证明:.1. 在整数环中,1) 若为的非零理想, 为中的最小正整数, 则.2) 若是个整数, 且, 则.2. 设是一个有单位元的整环,,证明:1) 主理想与相等与相伴.2) 是的单位.近世代数测试题（D）参考答案一、填空题（每题5分，共40分）1．；2. ，;3. 4;4. 3;5. 2;6. 2 ;7. 是 ;8. .二、计算题（10分）：设，求与.解：.,.三、证明题（20分）：见3.5节的定理3.四、证明题（每题10分,共30分）：1 设群中元素的阶为,证明:.证明: 若, 则, 又由于, 故.反之, 若有, 则由于, 故, 从而.3. 在整数环中, 证明1) 若为的非零理想, 为中的最小正整数, 则.2) 若是个整数, 且, 则.证明：1) 由于是非零理想, 因此, 必含非零整数, 从而, 必含正整数. 设是中的最小正整数, 则对任意的, 必存在整数, 使, 其中或, 于是, 由于是理想, 故, 从而, 但是中的最小正整数, 于是有. 即, 因此, 而是显然的, 故.2) 由于，故，因而，，即. 又, 所以, , 使得, 因此, , 从而,因此.4. 设是一个有单位元的整环,,证明:1) 主理想与相等与相伴.2) 是的单位.证明: 1) 设, 则, 从而有, 使得, 于是. 若则, 从而与当然相伴. 若, 则, 即为单位, 从而与也相伴.反之, 若与相伴, 则存在单位, 使得, 于是, 但, 故, 故.2) 设, 即, 从而有1)知是单位.反之, 若是单位, 则, 从而近世代数练习题（E）一、填空题（每题5分，共40分）：1.若群中元素的阶为,且，则 .2.6阶循环群有个子群.3.置换的阶为 .4.在三次对称群中,子群的指数为 .5.模6的剩余类环的子环的特征为 .6.高斯整环的乘群为 .7.整数环的极大理想是否为素理想? .8.设分别为惟一分解整环、主理想整环与欧氏环的集合，则的关系为 .二、计算（10分）：设，求与.三、证明题（20分）：设是群的一个非空子集,, 证明:1. 是的子群.2. 是的正规子群.同态基本定理.四、证明题（每题10分,共30分）：1．设群的阶子群有且只有一个,证明此子群必为的正规子群.2．设环有单位元1, 又, 证明: 如果且在中有逆元, 则.3. 证明:整数环上的多项式环是一个惟一分解整环.（E）参考答案一、填空题（每题5分，共40分）1． 1）；2. 4；3. 6 ；4. 2；5. 3；6. ；7. 是；8. .二、计算题（10分）：设，求与.解：.=.三、证明题（20分）：参见3.6节的定理6.四、证明题( 每题10分, 共30分)1．设群的阶子群有且只有一个,证明此子群必为的正规子群.证明: 设是的阶子群, 对任意的, 由于是的共轭子群, 因而也是的阶子群.由于的阶子群只有, 所以, 根据正规子群的定义, 知是的正规子群. 2．设环有单位元1, 又, 证明: 如果且在中有逆元, 则.证明: , 因为有逆, 所以, 即.从而, 故.3．证明：整数环上的多项式环是一个惟一分解整环.证明: 显然为整环且其单位只有. 其不可约元为全体(正、负)素数及次数大于0的本原不可约（在上）多项式。