近世代数之元素的阶
《近世代数》PPT课件
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
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（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
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和
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联系在一起？
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例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
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• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
03 正规子群与商群 近世代数
证明 a H , a : h ah 是 H 到 aH 的一一映射; a : h ha 是 H 到 Ha 的一一
映射;
Sl aH | aG , Sr Ha | aG
则 : aH Ha1 是 Sl 到 Sr 的一一
映射.
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定义：设H是群G的子群,且g G，gH=Hg, 称H是G的正规子群（或不变子群）,记H < G， 对正规子群H不用区分左陪集、右陪集，简称为H的陪集。
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① H G
② H 在 G 中的全部不同的左陪集有:
(1)H {(1), (12)} (12)H (13)H {(13), (123)} (123)H (23)H {(23), (132)} (132)H
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例 G S3
{(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
从而 H 在 G 中左陪集的个数也有限. 设
#(G : H ) r ，且
G a1H U a2H UL U ar H
由前定理, ai H I aj H 且
| aiH || ajH | H
所以,
| G || a1H | | a2H | L | ar H | r | H | H #(G : H )
进而引出拉格朗日（Lagrange）定理：子群
的阶都是有限母群阶的因子。
近世代数杨子胥最新版题解-答
近世代数第一章基本概念§1. 11.4.5.近世代数题解§1. 2 2.3.近世代数题解§1. 31. 解1)及3)是代数运算，2)不是代数运算．2. 解这实际上就是M中n个元素可重复全排列数n n．3. 解例如A B＝E及A B＝AB—A—B．4.5.近世代数题解§1. 41.2.3.解1）略2）例如规定4．5．略近世代数题解§1. 51. 解1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射．2.略3.4.5.§1. 61.2. 解1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性；3)是等价关系；4)是等价关系．3. 解3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类．4.则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5.6.证1）略2）7.8.9.10.11.12.第二章群§2. 1 群定义和初步性质一、主要内容1．群和半群定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子．2．群初步性质1)群中左单位元也是右单位元且惟一；2)群中每个元素左逆元也是右逆元且惟一：3)半群G是群⇔方程a x=b及y a=b在G中有解(∀a ,b∈G)．4)有限半群作成群⇔两个消去律成立．二、释疑解难有资料指出，群有50多种不同定义方法．但最常用有以下四种：1)教材中定义方法．简称为“左左定义法”；2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”；3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边，此简称为“双边定义法”；4)半群G再加上方程a x=b及y a=b在G中有解(∀a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”．“左左定义法”及“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群实例时必须验证单位元和逆元都是双边，多了一层手续(虽然这层手续一般是比较容易)；优点是：①不用再去证明左单位元也是右单位元，左逆元也是右逆元；②从群定义本身条件直接体现了左及右对称性．以施行“除法运算”，即“乘法”逆运算．因此，群‘方程定义法”直接体现了在群中可以施行“乘法及除法”运算．于是简言之，可以施行乘法及除法运算半群就是群．为了开阔视野，再给出以下群另一定义．a，对G 定义一个半群G如果满足以下条件则称为一个群：对G中任意元素a，在G中都存在元素1-中任意元素b都有1-a(ab)=(ba)1-a=b．这个定义及前面4种定义等价性留给读者作为练习．2．在群“方程定义法”中，要求方程a x=b及y a=b都有解缺一不可．即其中一个方程有解并不能保证另一个方程也有解．4．关于结合律若代数运算不是普通运算(例如，数普通加法及乘法，多项式普通加法及乘法以及矩阵、变换和线性变换普通加法或乘法)，则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦．因此在代数系统有限情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立方法．但无论哪种方法，一般都不是太简单．5．关于消去律．根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立．而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中元素互异即可．6．在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1及e2都有右逆元且均为e1．但G并不是群．7．群及对称关系．1)世界万物，形态各异．但其中有无数大量事物部具有这样或那样对称性．而在这些具有对称性万事万物中，左右对称又是最为常见．由群定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称本质属性．2)几何对称．设有某一几何图形，如果我们已经找到了它全部对称变换(即平常反射、旋转、反演和平移变换统称)，则此对称变换全体关于变换乘法作成一个群，称为该图形完全对称群．这个图形对称性和它完全对称群是密切相关．凡对称图形(即经过对称变换保持不变图形、亦即完成这种变换前后图形重合)，总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形完全对称群．反之，如果一个图形存在着非平凡对称变换，则该图形就是对称图形．不是对称图形，就不能有非恒等对称变换．显然，一个图形对称程度越高，则该图形对称变换就越多．也就是说它完全对称群阶数就越高，即图形对称程度高低及其对称群阶数密切相关．因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群理论去研究对称．所以人们就把群论说成是研究对称数学理论．显然，每个n元多项式都有一个确定n次置换群：例如n元多项式例6 任何n元对称多项式置换群都是n次对称群．很显然，一个多元多项式置换群阶数越高，这个多元多项式对称性越强．反之亦然．因此，我们通常所熟知多元对称多项式是对称性最强多项式．三、习题2．1解答1.略2.3.4.5.6.§2. 2 群中元素阶一、主要内容1．群中元素阶定义及例子．周期群、无扭群及混合群定义及例子．特别，有限群必为周期群，但反之不成立．2．在群中若a＝n，则4．若G是交换群，又G中元素有最大阶m，则G中每个元素阶都是m因子．二、释疑解难在群中，由元素a及b阶一般决定不了乘积ab阶，这由教材中所举各种例子已经说明了这一点．对此应十分注意．但是，在一定条件下可以由阶a及b决定阶ab，这就是教材中朗定理4：4．一个群中是否有最大阶元?有限群中元素阶均有限，当然有最大阶元．无限群中若元素阶有无限(如正有理数乘群或整数加群)，则当然无最大阶元，若无限群中所有元素阶均有限(即无限周期群)，则可能无最大阶元，如教材中例4：下面再举两个(一个可换，另一个不可换)无限群有最大阶元例子．5．利用元素阶对群进行分类，是研究群重要方法之一．例如，利用元素阶我们可以把群分成三类，即周期群、无扭群及混合群．而在周期群中又可分出p—群p是素数)，从而有2—群、3—群、5—群等等．再由教材§3. 9知，每个有限交换群(一种特殊周期群)都可惟一地分解为素幂阶循环p—群直积，从而也可见研究p—群重要意义．三、习题2．2解答1.2.3.4.5.推回去即得．6.§2. 3 子群一、主要内容1．子群定义和例子．特别是，特殊线性群(行列式等于l方阵)是一般线性群(行列式不等于零方阵)子群．4．群中心元和中心定义．二、释疑解难１．关于真子群定义．教材把非平凡子群叫做真子群．也有书把非G于群叫做群G真子群．不同定义在讨论子群时各有利弊．好在差异不大，看参考书时应予留意．2．如果H及G是两个群，且H⊆G，那么能不能说H就是G子群?答：不能．因为子群必须是对原群代数运算作成群．例如，设G是有理数加群，而H是正有理数乘群，二者都是群，且H⊆G但是不能说H是G子群．答：不能这样认为．举例如下．例2设G是四元数群．则显然是G两个子群且易知反之亦然．三、习题2．3解答1．证赂．2．证必要性显然，下证充分性．设子集H对群G乘法封闭，则对H中任意元素a和任意正整数m都有a m∈H．由于H中每个元素阶都有限，设a＝n，则3．对非交换群一放不成立．例如，有理数域Q上全体2阶可逆方阵作成乘群中，易知，阶有限，都是2，但易知其乘积阶却无限．即其全体有限阶元素对乘法不封闭，故不能作成子群．4．证由高等代数知，及所有n阶可逆方阵可换方阵为全体纯量方阵，由此即得证．5．证因为(m，n)＝1，故存在整数s，t使ms十n t＝1．由此可得6．7．§2. 4 循环群一、主要内容1．生成系和循环群定义．2．循环群中元素表示方法和生成元状况．3．循环群在同构意义下只有两类：整数加群和n次单位根乘群，其中n＝1，2，3，…．4．循环群子群状况．无限循环群有无限多个子群．n阶循环群a有T(n)(n正出数个数)个子群，且对n每个正因数k，a有且仅有一个k阶子群．二、释疑解难1．我们说循环群是一类完全弄清楚了群，主要是指以下三个方面：1)循环群元素表示形式和运算方法完全确定．其生成元状况也完全清楚(无限循环群有两个生成元，n 阶循环群a 有)(n ϕ个生成元而且a k 是生成元⇔(k n )＝1)；2)循环群子群状况完全清楚；3)在同构意义下循环群只有两类：一类是无限循环群，都及整数加群同构；另一类是n (n ＝1，2，…)阶循环群，都及n 次单位根乘群同构．2．循环群不仅是一类完全弄清楚了群，而且是一类比较简单又及其他一些群类有广泛联系群类．例如由下一章§9可知，有限交换群可分解为一些素幂阶循环群直积．更一般地，任何一个具有有限生成系交换群都可分解成循环群直积．由于循环群已完全在我们掌握之中，所以这种群(具有有限生成系交换群)也是一类研究清楚了群类．它在各种应用中有着非常重要作用．例如在组合拓扑学中它就是一个主要工具． 三、习题§2. 4解答 1.2.3.4.5.6.7.§2. 5 变换群一、主要内容1．变换群、双射变换群(特别是集合M上对称群和n次对称群)和非双射变换群定义及例子．2．变换群是双射变换群充要条件；双射变换群及抽象群关系．1)集合M上变换群G是双射变换群 G含有M单或满)射变换；2)任何一个群都同一个(双射)变换群同构．3．有限集及无限集上非双射变换群例子(例2和例3)．二、释疑解难1．一般近世代数书中所说“变换群”，都是由双射变换(关于变换乘法)所作成群，即本教材所说“双射变换群”．而本教材所说“变换群”则是由一个集合上一些变换(不一定是双射变换)作成群．通过教材§5定理2和推论1可知，实际上变换群可分成两类：一类是双射变换群(全由双射变换作成群，即通常近世代数书中所说“变换群”)，另一类是非双射变换群(全由非双射变换作成群)．在学习本书时应留意这种差异．2．本节教材定理2(若集合M上变换群G含有M单射或满射变换．则G必为M上一个双射变换群，即G中变换必全是双射变换)比有些书上相应定理(若集合M上由变换作成群G含有M恒等变换，则G中变换必全为双射变换)大为推广．因为后者要求G包含恒等变换(一个特殊双射变换)，而前者仅要求G包含一个单(或满)射变换即可．因此，后音只是前者(本节教材定理2)一个推论，一种很特殊情况．两相比较，差异较大．这种差异也说明，M上任何一个非双射变换群不仅不能包含恒等变换，而且连M任何单射或满射变换也不能包含．另外，在这里顺便指出，集合M上任何双射变换群G单位元必是M恒等变换．3．集合M上全体变换作成集合T(M)，对于变换乘法作成一个有单位元半群．在半群讨论中，这是一类重要半群．并且本节习题中第4题还指出，当M ＞1时T (M )只能作成半群，而不能作成群．三、习题§2. 5解答1. 解 作成有单位元半群，τ是单位元．但不作成群，因为σ无逆元．2.3. 解 G 作成群：因为易知4月15号4.5.§2. 6 置 换 群一、主要内容1．任何(非循环)置换都可表为不相连循环之积，任何置换都可表为若干个对换之积，且对换个数奇阴偶性不变．从而有奇、偶置换概念，且全体n 次置换中奇、偶置换个数相等，各为2!n 个(n ＞1)．2．k —循环奇偶性、阶和逆元确定方法，以及不相连循环乘积奇偶性、阶和逆元确定方法．1)k —循环及A 有相反奇偶性．2)k —循环阶为k ．又(i 1，i 2…i k )－1＝(i k ，…，i 2，i 1 )．3)若σ分解为不相连循环之积．则其分解中奇循环个数为奇时σ为奇置换，否则σ为偶置换．σ阶为各因子阶最小公倍．其逆元可由k —循环逆元来确定．3．由置换σ，τ求置换στσ－１方法．n 次对称群s n 中心． 4．传递群定义、例子和简单性质． 二、释疑解难1．研究置换群重要意义和作用．除了教材中已经指出(置换群是最早研究一类群，而且每个有限抽象群都同一个置换群同构)以外，研究置换群重要意义和作用至少还有以下几方面：1) 置换群是一种具体群，从置换乘法到判断置换奇偶性以及求置换阶和逆置换，都很具体和简单．同时它也是元素不是数一种非交换群．在群讨论中举例时也经常用到这种群．2) 在置换群研究中，有一些特殊研究对象是别群所没有．如置换中不动点理论以及传递性和本原性理论等等．3) 置换群中有一些特殊子群也是一般抽象群所没有．例如，交代群、传递群、稳定子群和本原群等等．就教材所讲过交代群和传递群重要性便可以知道，介绍置换群是多么重要． 2．用循环及对换之积来表出置换优越性．首先，书写大为简化，便于运算。
近世代数试题及答案
近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。
答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。
答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。
答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。
答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。
答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。
答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。
正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。
2. 请解释什么是群的同态和同构。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。
群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。
3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。
答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。
如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。
近世代数
个代数运算以定义个元素的集合上总共可、含有 n n 12n （ ） ）（群。
能作成对运算集合、由全体正整数作成的 a b a G 2b =3、循环群的子群仍是循环群。
（ ）4．正规子群的左陪集也一定是一个右陪集。
（ ）5．任何群G 都与其商群G/N 同态。
（ ） 13123321 61）（、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- （ ） 也是循环群是循环群，则，若是两个群且与、设G G G ~G G G 78．整数环Z 的每个理想不一定是主理想。
（ ）9．设环R 有单位元且每个非零元素都有逆元，若 | R |＞1，则R 一定是体。
（ ）10．无零因子的交换环不一定是整环。
（ ）11．环R 中所含元素的个数叫环R 的特征。
（ ）2、什么是理想？3什么是体？ 的行列式。
是矩阵其中同态映射，且是满射，的一个到是：普通乘法，证明：，代数运算是数的；再令运算是方阵的普通乘法数阶方阵作成的集合，代上全体是数域分）令三、（A |A | M M |A |A F M n F M 15−→−ϕ=四、（15分）设G 是一个群，且H ≤G ，K ≤G ，证明：H 与K 的交集是G 的一个子群。
五、（15分）设N 是群G 的任一正规子群，证明：G ~ G/N6、（15分）写出三次对称群S 3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}关于子群H={（1），（23）}的所有左陪集和所有右陪集。
一、判断题。
！个双射变换个元素的任意集合共有、含有 n n 12．在模8剩余类环Z 8中{}6,4,2,0 2>=<是一个极大理想。
（ ）4．整数环Z 的每个理想都是主理想。
（ ）二、单项选择题（每小题2分，共10分）1、关于半群的说法不正确的是： （ ）（A ）半群是带有一个代数运算的代数系统；(B) 半群的乘法一定适合结合律；(C) 半群的乘法不一定适合交换律；（D) 半群中一定有单位元。
2、设G 是一个群，H 是G 的一个非空子集，则H ≤G 的充要条件是 （ ）（A ） H ab H b ,a ∈⇒∈ (B) H a H a 1∈⇒∈-(C)H ab H b ,a 1∈⇒∈- (D) H b a H b ,a ∈+⇒∈ 3、设R 是一个环，下面说法不正确的是 （ ）（A ）R 中若有零因子，则一定既有左零因子也有右零因子；(B) R 中若无零因子，则一定既无左零因子也无右零因子；(C) 一个环一定有零因子；(D) R 中若有左零因子也一定有右零因子。
群的阶与群中元素的阶的关系讲解
石家庄铁道学院毕业论文群的阶与其元素的阶的关系摘要近世代数虽是一门较新的，较抽象的学科，但如今它已渗透到科学的各个领域，解决了许多著名的数学难题:像尺规作图不能问题，用根式解代数方程问题，编码问题等等．而群是近世代数里面最重要的内容之一，也是学好近世代数的关键．本论文旨在从各个角度和方面来探讨群的阶与其元的阶之间的关系．具体地来说，本文先引入了群的概念，介绍了群及有关群的定义，然后着重讨论了有限群、无限群中关于元的阶的情况．并举了一些典型实例进行分析，之后又重点介绍了有限群中关于群的阶与其元的阶之间的关系的定理——拉格朗日定理，得出了一些比较好的结论．在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说，都占据着更为突出的地位．同时，它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支．因此，在本文最后，我们介绍了著名的有限交换群的结构定理，并给出了实例分析．关键词：群论有限群元的阶石家庄铁道学院毕业论文AbstractThe Modern Algebra is a relatively new and abstract subject, but now it has penetrated into all fields of science and solved a number of well-known mathematical problems, such as, the impossibility for Ruler Mapping problem, the solutions for algebraic equations with radical expressions, coding problems and so on. The group is one of the most important portions in the Modern Algebra, and also the key of learning it well.This paper aims at discussing the relations between the order of a group and the orders of its elements from all the angles and aspects. Specifically, this thesis firstly introduces the concept of a group and some relatives with it; secondly focuses on the orders of the elements in the finite group and the infinite group respectively, some typical examples are listed for analyses; thirdly stresses on the theorem - Lagrange's theorem on the relations between the order of a group and the orders of its elements in the finite group, accordingly obtaining some relatively good conclusion.In the many branches of group theory, the finite group theory, whether from the theory itself or from the practical applications, occupies a more prominent position. At the same time, it is also one of the largest researches and the most active branches of mathematics in the recent years. Therefore, in this paper finally, we introduce the famous theorem of the structures on the finite exchanging groups, and give several examples for analyses.Key words：group theory finite groups the orders of elements石家庄铁道学院毕业论文目录１绪论 (1)1.1 群论的概括 (1)1.2 群论的来源 (1)1.3 群论的思想 (2)2 预备知识 (2)2.1 群和子群 (2)2.1.1 群的定义 (2)2.1.2 群的阶的定义 (3)2.1.3 元的阶的定义 (4)2.1.4 子群、子群的陪集 (5)2.1.5 同构的定义 (6)2.2 不变子群与商群 (6)2.2.1 不变子群与商群 (6)2.2.2 Cayley(凯莱)定理 (7)2.2.3 内直和和外直积的定义 (8)3 群中元的阶的各种情况及其实例分析 (8)3.1 有限群中关于元的阶 (9)3.1.1 有限群中元的阶的有限性 (9)3.1.2 有限群中关于元的阶及其个数的关系 (9)3.2 无限群中关于元的阶 (10)3.2.1 无限群G中，除去单位元外，每个元素的阶均无限 (10)3.2.2 无限群G中，每个元素的阶都有限 (10)3.2.3 G为无限群，G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元 (11)4 群的阶与其元的阶之间的关系 (11)4.1 拉格朗日(Lagrange)定理 (11)4.1.1 拉格朗日定理 (11)4.1.2 相关结论 (12)4.2 有限交换群的结构定理 (13)4.2.1 有限交换群的结构定理 (13)石家庄铁道学院毕业论文4.2.2 相关例子 (14)参考文献 (15)致谢 ······································································错误！未定义书签。
近世代数
例1 :写出剩余类加群Z15的(1) 全部元素; { [0], [1], …, [14]}(2) 全部生成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(3) 全部子加群；〈[0]〉, 〈[1]〉= Z15, 〈[5]〉={[0], [5], [10]}= 〈[10]〉,〈[3]〉={ [0], [3], [6], [9], [12]} = 〈[6]〉= 〈[9]〉= 〈[12]〉.(4) 每个元素的负元；-[1]=[14], -[2]=[13], -[3]=[12],-[4]=[11], -[5]=[10], -[6]=[9], -[7]=[8].(5) 全部理想；([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]),([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]).(6) 全部可逆元；{ [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(7) 全部零因子；{ [3], [5], [9], [10], [12]}(8) Z15是域吗？说明理由; 答：不是。
因为有零因子。
例2、列出剩余类加群Z10的全部元素；{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]}1 写出加法群Z10的全部生成元、全部子群；全部生成元:[1],[3],[7],[9]全部子群:H1={[1]},H2={ [0], [2], [6], [8]},H3={[0], [5]},H4=Z102、写出剩余类环Z10的全部理想；全部理想: I1={[0]},I2={ [0], [2], [6], [8], ]},I3={[0], [5]}, I4 = Z103、写出剩余类环Z10的全部可逆元、全部零因子；可逆元:[1],[3],[7],[9],全部零因子:[2],[4],[5],[6],[8]4、Z10是域吗？说明理由。
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群一、填空题1. 设4)(x x f =是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1-f ={_______}.2. 设τ=(134),σ=(13)(24), 则τσ=____________________.3. 群G 的元素a 的阶是m ，b 的阶是n ，ba ab =，则≤ab ，如果),(m n = 1，则=ab _____.4. 设<a >是任意一个循环群.若|a |=∞，则<a >与________________同构；若|a |=n ，则<a >与______________同构.5. 设σ=（14）（235），τ=（153）（24），则|σ| = ____，στσ1- =______.6. 设群G 的阶为m ，G a ∈，则=m a .7. 设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足_________________，则称“～”是A的元素间的一个等价关系.8. 设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)， τ是 (奇、偶)置换.9. 设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 .10. 一个群G 的非空子集H 做成一个子群的充分必要条件是 .11. 设G 为群，若对于任意的元G b a ∈,，都有ba ab =，则称群G 为 群.12.n 次对称群n S 的阶是____________.13.设G =<a >是10阶循环群，则G 的全部生成元有 ，G 的子群有 个，分别是 .14.设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha .15.设G =<a >是循环群，则G 与整数加群同构的充要条件是 .16．在3次对称群3S 中，H ＝{(1),(123),(132)}是3S 的一个正规子群，则商群H S 3中的元素(12)H ＝{}.17．如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 .18.设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A I .19. 凯莱定理说：任一个群都与一个 同构.20. 设G =<a >是12阶循环群, 则G 的生成元集合为｛ ｝.21. 一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数叫做H 在G 中的 .22. 设G 是一个pq 阶群，其中q p ,是素数，则G 的子群的一切可能的阶数是 ____ .23. 写出S 3的一个非平凡的正规子群_____.24. 已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 .25. 一个有限非可换群至少含有____________个元素.26. 设G 是p 阶群（p 是素数），则G 的生成元有____________个.27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 .28.设R 是实数集，规定R 的一个代数运算ab b a 2:=οο，（右边的乘法是普通乘法），就结合律、交换律而言，“ο”适合如下运算律： .29. 设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=bH aH .30. 写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪集 .31. 如果G 是一个含有15个元素的群，那么，G 有 个5阶子群，对于∀∈a G ，则元素a 的阶只可能是___________.32.设G 是一个pq 阶群，其中q p ,都是素数，则G 的真子群的一切可能的阶数是 ，G 的子群的一切可能的阶数是 .33. 已知群G 中的元素a 的阶等于n ，则k a 的阶等于n 的充分必要条件是 .34. 设(G ，·)是一个群，那么对于∀∈b a ,G ，(ab )－1＝___________.35. 群中元素a 的阶为n 3，k a 的阶为n ，则)3,(n k = .36．若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的方幂，则G 称为 .37．5-循环置换)31425(=π，那么=-1π .38．设G 为群，G N ≤，且对于任意的G a ∈，有 ，则N 叫做G 的正规子群.39. 设G 为乘群，G a ∈，则能够使得e a m =的最小正整数m ，叫做a 的___________.设G 为加群，G a ∈，则能够使得 的最小正整数m ，叫做a 的阶.40．设τ＝(1243)(235)∈5S ，那么1-τ＝___ _.τ是 (奇、偶)置换.41. 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：则a 所在的等价类a ={ ｝.42. 设A ={d c b a ,,,}，则A 到A 的映射共有________个，A 到A 的一一映射共有________个，A A ⨯到A 的映射共有________个（A 上可以定义 个代数运算）.43. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有____________个.44. 非零复数乘群*C 中由i -生成的子群是____________.45. )125(=σ，)246(=τ，则στ的阶数等于 .46．素数阶群G 的非平凡子群个数等于____________.47. 设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群><a G 的阶等于 .48. 设σ是集合A 到集合B 的一个映射,则存在B 到A 的映射τ,使στσ⇔=A 1为 ; 存在B 到A 的映射τ,使σστ⇔=B 1为 .49. 若群G 中的每个元素的阶都有限,则称G 为 群. 若群G 中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称G 为 群.50. n 阶循环群有 个生成元,有且仅有 个子群.51. 若n k ,则n 阶循环群>=<a G 必有k 阶子群,其k 阶子群为 .52. 在同构意义下,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是 .53. 在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是 .54. 非交换群G 的每个子群都是其正规子群,则称G 为 群.55. n 元置换)(21k i i i Λ的阶为 ，=-12121)])([(m k j j j i i i ΛΛ .二、选择题1. 设R B A == (实数集)，如果A 到B 的映射R x x x ∈∀+→,2:ϕ,则ϕ是从A 到B 的（ ）.A) 满射而非单射; B) 单射而非满射;C) 一一映射; D) 既非单射也非满射.2.3S 中可以与(123)交换的所有元素有（ ）.A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)3S 中的所有元素.3.设15Z 是以15为模的剩余类加群，那么15Z 的子群共有（ ）个.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8.4. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）.A) 11--a bc B) 11--a c C) 11--bc a D) ca b 1-.5. 设f 是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数x ，有4)(x x f =，则))1((1f f -=( ).A) {1，-1}; B) {i ，-i }; C) {1， -1，i ，-i }; D) 空集.6. 设A ={所有实数}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ).A) x x 10→ B) x x 2→ C) x x → D) x x -→.7. 设G 是实数集，定义乘法k b a b a ++=οο:，这里k 为G 中固定的常数,那么群()ο,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）.A) 1和x -； B) 1和0； C) -k 和k x 2-； D)k -和)2(k x +-.8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是( ).A) 全体整数对于普通减法; B) 全体不为零的有理数对于普通乘法;C) 全体整数对于普通加法; D) 1的3次单位根的全体对于普通乘法.9. 设G 是群,c b a ,,是群G 中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为( ).A)ba ab , B) bac abc , C) 1,-bab a D) 1,-a a .10. 设R 是实数集合,规定R 的元素间的四个关系如下,( )是R 的等价关系.A)b a aRb ≤⇔; B) 0≥⇔ab aRb ; C) 022≥+⇔b a aRb ; D) ab aRb ⇔<0.11.设G 是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件( ).A) G 中有左单位元，同时G 中的每个元素都有左逆元；B) 对于G 中任意元素a 和b ，G 中恰好有一个元素x 满足a x =b ；同时G 中恰好有一个元素y 满足y a =b ；C) G 中有单位元，同时G 中的每个元素都有逆元；D) 在G 中两个消去律成立.12.设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,. 如果子群H 的阶是6，那么G 的阶=G （ ）.A) 6 B) 24 C) 10 D) 1213. 三次对称群3S = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么下面关于3S 的四个论述中，正确的个数是( ).(1) 3S 是交换群；(2) 3S 的2阶互异子群有三个；(3) 3S 的3阶互异子群有两个；(4)3S 的元素(123)和(132)生成相同的循环群.A) 1 B ) 2 C) 3 D) 414. 设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。