近世代数复习试题2010级
近世代数复习试题2010级
《近世代数》复习试题一 填空题1．12,,n A A A L 是集合A 的子集，如果（1） ，（2） ， 则称12,,n A A A L 为A 的一个分类.2．设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射.3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________.4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ，而且ba ab =，则=||ab ______.5. 在3S 中，)23()12)(123(1-= .6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: .7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: .8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a .9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________.10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________.二 解答、证明题1.设Z 是全体整数的集合，在Z 中规定：.,,2Z b a b a b a ∈∀-+=ο证明：),(οZ 是一个交换群.2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并.3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数.4.设p 为素数,||G =n p ，证明：G 一定有一个p 阶子群.5.设G 是一个群，,,G K G H ≤≤证明：KH HK G HK =⇔≤.6.设H G ≤，N G <，证明：HN G ≤.7.设H G ≤，且2]:[=H G ，证明：.G H <8.证明:每个素数阶的群都是循环群.9.设N 是群G 的子群，N 的阶是r（1）证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.（2）若N 是G 的唯一的r 阶子群，证明N 是G 的正规子群.10.设C(G)为G 中心, 且G/C(G)为循环群,证明G 为交换群.11.设G=)(a 是24阶循环群，试列举出G 的8阶子群的所有生成元。
近世代数基础测验卷
近世代数测验题一、填空题（42分）1、设集合M 与M 分别有代数运算 与 ，且M M ~，则当 时， 也满足结合律；当 时， 也满足交换律。
2、对群中任意元素1)(,,-ab b a 有= ；3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m 则m a = ；4、设a 是任意一个循环群，若∞=||a ，则a 与 同构；若n a =||， 则a 与 同构；5、设G=a 为6阶循环群，则G 的生成元有 ；子群有 ；6、n 次对称群n S 的阶是 ；置换)24)(1378(=τ的阶是 ；7、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2314432114324321βα，，则=αβ ； 8、设)25)(136()235)(14(==τσ，，则=-1στσ ；9、设H 是有限群G 的一个子群，则|G|= ；10、任意一个群都同一个 同构。
二、证明题（24）1、 设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程e x n=。
2、 叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交K H 仍然是G 的一个子群。
3、 证明:如果群G 中每个元素都满足方程e x =2，则G 必为交换群。
二、解答题（34）1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群。
2、 写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。
参考答案：一、填空题1、满足结合律； 满足交换律；2、11--a b ；3、e ；4、整数加群；n 次单位根群；5、5,a a ；{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ；6、n!;47、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23144321 8、(456)(32)9、|H|:(G:H)10、（双射）变换群；二、证明题1、已知||n G =，|a|=k,则k|n令n=kq,则e a a a q k kq n ===)(即G 中每个元素都满足方程e x n =2、充要条件：H a H a H ab H b a ∈⇒∈∈⇒∈-1;,,；证明：已知H 、K 为G 的子群，令Q 为H 与K 的交设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,,H 是G 的子群，有H ab ∈K 是G 的子群，有K ab ∈Q ab ∈∴Ha Ka H a H a ∈∈∈∈∀-11，可知由定理且，则综上所述，H 也是G 的子群。
近世代数试题及答案
近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。
答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。
答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。
答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。
答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。
答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。
答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。
正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。
2. 请解释什么是群的同态和同构。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。
群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。
3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。
答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。
如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。
近世代数复习题及答案
近世代数复习题及答案1. 群的定义是什么？请给出一个例子。
答案：群是一个集合G，配合一个运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元的存在性、逆元的存在性。
例如，整数集合Z在加法运算下构成一个群。
2. 什么是子群？如何判断一个子集是否为子群？答案：子群是群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下满足群的四个条件。
判断一个子集是否为子群，需要验证它是否在群运算下封闭，是否包含单位元，以及每个元素是否有逆元。
3. 什么是正规子群？请给出一个例子。
答案：正规子群是群G的一个子群N，对于G中任意元素g和N中任意元素n，都有gng^-1属于N。
例如，整数集合Z在加法运算下的子群2Z（所有偶数的集合）是一个正规子群。
4. 什么是群的同态？请给出一个例子。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数φ，使得对于G中任意两个元素a和b，都有φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。
例如，函数φ: Z → Z_2定义为φ(n) = n mod 2，是整数群Z到模2整数群Z_2的一个同态。
5. 什么是群的同构？请给出一个例子。
答案：群的同构是两个群G和H之间的双射同态。
这意味着G和H不仅满足相同的群运算规则，而且它们之间存在一一对应关系。
例如，群Z_3（模3整数群）和群{1, -1}在乘法下构成的群是同构的。
6. 什么是环？请给出一个例子。
答案：环是一个集合R，配合两个运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群，(R, *)满足结合律，且乘法对加法满足分配律。
例如，整数集合Z在通常的加法和乘法运算下构成一个环。
7. 什么是理想？如何判断一个子集是否为理想？答案：理想是环R的一个子集I，满足以下条件：I在加法下封闭，对于R中任意元素r和I中任意元素i，都有ri和ir属于I。
判断一个子集是否为理想，需要验证它是否在加法下封闭，以及是否满足吸收性质。
8. 什么是环的同态？请给出一个例子。
答案：环的同态是两个环R和S之间的函数φ，使得对于R中任意两个元素a和b，都有φ(a+b) = φ(a) + φ(b)和φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。
(精选)近世代数练习题题库
§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。
（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。
近世代数练习题试题库
§1 第一章 根底知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
〔 〕1.2 A ×B = B ×A 〔 〕1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
〔 〕 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,那么ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
〔 〕1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，那么B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
〔 〕1.7 在整数集Z 上，定义“ 〞：a b=ab(a,b ∈Z)，那么“ 〞是Z 的一个二元运算。
〔 〕1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 假设A={0,1} , 那么A ⨯A=__________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，那么A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},那么A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 那么A ⨯A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，那么有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，那么()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，那么A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，那么共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，那么A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，那么A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合以下三个条件：_____________________________________________。
近世代数考试试题题库
近世代数考试试题题库近世代数是一门研究代数结构的数学分支，它主要研究群、环、域等代数结构的性质和它们之间的关系。
以下是一份近世代数考试试题题库的示例内容：一、选择题1. 以下哪个不是群的公理？A. 单位元存在性B. 可逆性C. 交换律D. 结合律2. 一个集合G，配合一个二元运算*，若满足以下条件，则G是一个群：A. 存在单位元B. 每个元素都有逆元C. 运算满足结合律D. 所有上述条件3. 在群G中，若a属于G，a的阶是最小的正整数n，使得a^n等于单位元，那么a的阶是：A. 1B. nC. 0D. G的阶4. 以下哪个是有限群的拉格朗日定理的表述？A. 群的子群的阶总是群的阶的因子B. 群的子群的阶等于群的阶C. 群的子群的阶总是群的阶的倍数D. 群的阶总是其子群的阶的倍数5. 环R中，若存在单位元1，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b=b*a，则R是一个：A. 群B. 域C. 交换环D. 模二、填空题6. 群的______性质保证了每个元素都有逆元。
7. 一个有单位元的结合环，如果其每个非零元素都有逆元，则这个环称为一个______。
8. 一个环的加法群是阿贝尔群，如果它的加法运算满足______律。
9. 一个环R中，如果a^2 = a对于所有a属于R，则R被称为______环。
10. 一个域的特征是2，这意味着域中1+1=______。
三、简答题11. 解释什么是子群，并给出一个不是子群的例子。
12. 描述拉格朗日定理，并说明它在群论中的重要性。
13. 什么是环的雅各比恒等式，并解释它在交换环中的意义。
14. 举例说明什么是有限域，并讨论它的性质。
15. 解释什么是主理想环，并讨论它与环的整性之间的关系。
四、证明题16. 证明：如果H是群G的一个子群，那么G/H的阶等于[G:H]。
17. 证明：任何群的子群都是阿贝尔的当且仅当该群本身是阿贝尔的。
18. 证明：如果R是一个有单位元的交换环，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b = b*a，则R是一个域。
近世代数复习题
近世代数复习题例1 :写出剩余类加群Z15的(1) 全部元素; { [0], [1], …, [14]}(2) 全部生成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(3) 全部子加群；?[0]?, ?[1]?= Z15, ?[5]?={[0], [5], [10]}= ?[10]?,[3]?={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ?[6]?= ?[9]?= ?[12]?.(4) 每个元素的负元；-[1]=[14], -[2]=[13], -[3]=[12],-[4]=[11], -[5]=[10], -[6]=[9], -[7]=[8].(5) 全部理想；([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]),([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]).(6) 全部可逆元；{ [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(7) 全部零因子；{ [3], [5], [9], [10], [12]}(8) Z15是域吗？说明理由; 不是。
因为有零因子。
一、选择题1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n, 则可以用圆规直尺作图作出的条件是(A)(A) n是2的方幂；(B) n是素数；(C) n是素数的方幂；(D) n>2。
2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是(C)(A) H中的元素；(B) G\H中的元素；(C) G 关于H 的所有右陪集；(D) H 的所有共轭1Hg -g.3、设是环同态, 则同态的核是 (D)(A) Ker(?)={a ∈S: 有?b ∈R, 使得 ?(b )=a }；(B) Ker(?)={a ∈R: ? (a )=a }；(C) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=1}；(D) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=0}。
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《近世代数》复习试题
一 填空题
1．12,,n A A A 是集合A 的子集，如果（1） ，（2） ， 则称12,,n A A A 为A 的一个分类.
2．设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射.
3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________.
4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ，而且ba ab =，则=||ab ______.
5. 在3S 中，)23()12)(123(1-= .
6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: .
7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: .
8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a .
9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________.
10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________.
二 解答、证明题
1.设Z 是全体整数的集合，在Z 中规定：
.,,2Z b a b a b a ∈∀-+=
证明：),( Z 是一个交换群.
2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并.
3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数.
4.设p 为素数,||G =n p ，证明：G 一定有一个p 阶子群.
5.设G 是一个群，,,G K G H ≤≤证明：KH HK G HK =⇔≤.
6.设H G ≤，N G ，证明：HN G ≤.
7.设H G ≤，且2]:[=H G ，证明：.G H
8.证明:每个素数阶的群都是循环群.
9.设N 是群G 的子群，N 的阶是r
（1）证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.
（2）若N 是G 的唯一的r 阶子群，证明N 是G 的正规子群.
10.设C(G)为G 中心, 且G/C(G)为循环群,证明G 为交换群.
11.设G=)(a 是24阶循环群，试列举出G 的8阶子群的所有生成元。
12.设H ，K 都是群G 的正规子群，且K H ⊆，则
/(/)/(/G H G K H K ≅
13.设G 是群，()C G 是G 的中心，N G ≤，且()N C G ⊆，证明：
（1）N G ；
（2）若/G N 是循环群，则G 是交换群.
14.设),,(⋅+R 是有单位元1的环,在R 上又定义
b a b a b a 1b a b a ⋅-+=-+=⊕⊕ :,:
证明:),,( ⊕R 也是一个有单位元的环.
15. 设R 是有单位元的环,R b a ∈,
(1) 若a, b ,a+b 都可逆, 证明11b a --+也可逆.
(2) 求111b a ---+)(
16. 证明:除环的中心是一个域.
17.设2n ≥为正整数,证明:
(1) 环n Z 中元素][a 可逆⇔1n a =),(,即a 与n 互素;
(2) 若p 是素数,则p Z 是域;若2n ≥不是素数,则n Z 不是整环.
18.求出模6剩余类环6Z 的所有理想.
19.求整数环Z 上一元多项式][x Z 的理想),(x 2, 并证明),(x 2不是主理想.
20. 在整数环Z 中,若)(),(b a 是Z 的两个理想,则)()()(d b a =+,)()()(c b a = ,其中d 是a 与b 的最大公因数,c 是a 与b 的最小公倍数.
21. 设R 是一个有单位元的有限交换整环,证明:R 的每一个非零素理想都是R 的极大理想.
22. 求下列剩余类环的素理想和极大理想：6Z ，12Z ，13Z ，16Z
23.][x R 是实数域R 上的一元多项式环, 证明: C 1x x R 2≅+)/(][.。