近世代数之元素的阶【精选】
近世代数简介
如果模为合数，其因子一定能整除
它，不会产生一个余数1（单位元），
因此逆元不存在。
比如，{1,2,3}mod4 中的2， {1,2,3,4,5,6,7,8} mod9 中的3
如果a的逆元是b，必有关系式 ab = nq+1
这样才会有 （ ab ) mod q =1
四进制乘群不存在？ ！！！
环（Ring)
x+1
2个GF(2)元素的组合：
00， 01，
10，
11
定理2.2 循环群的存在性
若P(x)是GF(q)上m次本原多项式，则GF(q m) 域上次数小于m的非零多项式的全体（共q m1个），在模P(x)乘运算下构成一个多项式循 环群。也就是说，扩域GF(qm)里至少存在一 个本原元（代表一个次数小于m的多项式 ），它的各次幂0、1、2、…、构成了扩 域GF(q m)的全部非零域元素。
下构成一个多项式扩域 GF(22) = {0, 1, x, x+1 },
该扩域的基域是GF(2) ={0,1}。
基域GF(q)是数域，由q个元素组成；
扩域GF(qm) 则是多项式域，由qm 个元素组成。
我们可以用m个基域元素去对应一个扩域元素，
比如q=2、m=2时，扩域GF（22）的元素：
0,
1,
x,
例2.3 集合G = {0,1,2 … m-1}在模m加（用符 号表示）运算下构成一个群（G，）。
该加群是m阶有限群，单位元是0。元素0的 逆元是0，1的逆元是m-1, 2的逆元是m-2,…。
例2.4：集合G = {1,2 … q-1}在模q乘（q是素 数）运算下构成一个乘群（G，）。
为什么有限加群对模数m无要求， 而有限乘群要求模数q必须为素数？
第二章 近世代数简介
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
10
域（Field)
一个集合，二种运算
一般m 素数q
可能是零因子环 整环
子环（ subring ）
理想子环（强收敛性）
主理想（所有元素是一个元
素幂的线性组合）
9
若集合S是集合R的子集（S R）， 判断(S ,+, ·)是(R ,+, ·) 子环的充要条件是 1． a、b S， a－b S。 2． a、b S， a b S。 上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性，条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是：
作为其根。换言之，若deg
i
(x)
=
(x-
20)
(x-
21)
(x-
(i (x))=
22 )…(x-
li，必有
) 2( li1 )
这里，deg(i (x) )= li m，本原元的共轭根系对
(2-4)
这里，
GCD表示最大公约数(Greatest Common Divisor)
推理
循环群中n阶元素的n次幂恒等于1
23
各次幂 k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的 多项式
多项式系数 m重
1
(0001)
(0010)
2
(0100)
3
(1000)
+1
(0011)
本原多项式 Primary Polynomials
近世代数简介
k
= i( x )
i 1
(2-4)
这里，
GCD表示最大公约数(Greatest Common Divisor)
推理
循环群中n阶元素的n次幂恒等于1
各次幂 k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的
多项式系数
多项式
m重
1
(0001)
(0010)
2
(0100)
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
g(x) 一般多项式：多项式环 m素数或合数,有限数环
PI(x) 既约多项式：多项式域（q元扩域）
q素数,整环
P(x) 本原多项式：域元素构成循环群
例2.8：剩余类环Rq(x) f(x) 中，q =2，f(x) = x3+x+1。若A(x)= x2+x+1、B(x)= x2+ 1 是 两个环元素，求A(x) B(x)是什么元素？该剩余类环至多由多少元素组成？
有限环（Ring)
一个有限集合，模m加，模m乘
一般m 素数q
可能是零因子环 整环
子环（ subring ）
理想子环（强收敛性）
主理想（所有元素是一个元
素幂的线性组合）
若集合S是集合R的子集（S R）， 判断(S ,+, ·)是(R ,+, ·) 子环的充要条件是 1． a、b S， a－b S。 2． a、b S， a b S。 上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性，条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是：
元素的阶
15 / GCD(k,15)
1 15 15 5 15 3 5 15 15 5 3 15 5 15 15
近世代数——精选推荐
近世代数⽬录基本概念元素。
集合。
空集合。
⼦集 。
真⼦集 。
A =B ⟺A ⊆B ∧B ⊆A 。
幂集：⼀个集合所有⼦集组成的集合， P (A ) 。
交集。
并集。
性质：幂等性；交换律；结合律；⼆者之间有分配律。
关系：M ×M 的⼦集。
即 ∀a ,b ∈M ，法则 R 可以确定 a 和 b 符合/不符合这个法则。
记做 aRb 和 a ¯R b 。
等价关系：满⾜⾃反性（∀a ∈M ,aRa ）、对称性（ aRb ⇔bRa ）和传递性（ aRb ,bRc ⇒aRc ）的关系，⽤ ∼ 表⽰，即 a ∼b 。
分类：把集合 M 的全体元素分为若⼲互不相交的⼦集。
每个分类与⼀个等价关系⼀⼀对应。
映射：集合 A ,B ，有⼀个 法则 φ 使得所有的 x ∈A 存在唯⼀的 y ∈B 与之对应。
记作 φ:x ⟶y 或 y =φ(x ) 。
y 叫做 x 在映射 φ 下的像，把 x 叫做 y 在映射 φ 下的原像或逆像。
满射：B 中每个元素在 A 中都有原像。
单射：A 中不同的元素在 B 中像不同。
双射：满射+单射。
逆映射：只有双射才有逆映射，记为 φ−1 。
有限集合满⾜ |A |=|B | 且 φ 是 A 到 B 的⼀个映射，则 φ 是满射 ⟺ φ 是单射；推论：得出 φ 是双射。
相等映射 ： A 到 B 的映射 σ 和 τ 满⾜ ∀x ∈A ,σ(x )=τ(x ) 。
映射合成/映射乘法： τ:A ⟶B ,σ:B ⟶C ，则 x ⟶σ(τ(x ))(∀x ∈A ) 是 A 到 C 的⼀个映射，记为 στ(x ) 。
代数运算：集合 M 的对应法则 M ×M ⟶M ，即任意两个有次序的元素 a 和 b 有唯⼀确定的元素 d 与它们对应。
代数系统：有代数运算的集合。
（注意代数运算的封闭性。
即 d ∈M ）。
⽤“乘法表”法表⽰有限集合的代数运算时，注意每列⾏⾸（第⼀列）是参与运算第⼀个元素，每列列⾸（第⼀⾏）是第⼆个元素。
近世代数课件-2-3_元素的阶
四、循环群的定义
2020/4/27
五、循环群的性质
2020/4/27
五、循环群的性质
2020/4/27
生成元为：
练习：求出模15的剩余类加群Z15的每个元素的阶与所有
素的阶的特殊性质.
一. 元素的阶的定义 二. 元素的阶的性质 三. 有限群的阶的性质 四. 循环群的定义 五. 循环群的性质
2020/4/27
一、元素的阶的定义
2020/4/27
一、元素的阶的定义
练习：在模8剩余类加群Z8中，各个元素的阶分别是多少？
2020/4/27
二、元素的阶的性质——有限阶元素的性质
生成元。
2020/4/27
五、循环群的性质 作业：P38,第4,9题。
2020/4/27
2020/4/27
二、元素的阶的性质——有限阶元素的性质
推论 在群中，若 | a | m ,则
(1) r Z,| ar | m (m, r) 1;
(2) 若m st, s,t N, 则| as | t.
2020/4/27
二、元素的阶的性质——无限阶元素的性质
2020/4/27
三、有限群的元素的阶的性质
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
2020/4/27
元素阶的定义
2k
n
|k
0,1, 2,...n 1}
令
cos 2k isin 2k
n
n
则
Un {1,,2,...n1}
所以Un 是一个 n 阶循环群．直接验证可知当 (k,n) 1
时，k都是 Un 的生成元．
15
前页 前后页 后目页录 返回
例8 由例2可知，在 Z*5中， ord 2 ord 3 Z*5 4 ，
阶的，则记作 ord a ．
由此定义立即可得，在任何一个群中，单位元的
阶总是1 .
2
前页 前后页 后目页录 返回
例1 在 Z6中，计算每个元素的阶． 解 Z6 {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 因为 1 2 2,2 2 4,3 2 6 0, 所以 ord 2 3．类似地，可得 ord 0 1, ord 1 6, ord 3 2,
ord 4 3, ord 5 6.
3
前页 前后页 后目页录 返回
例2 在 Z*5中，计算每个元素的阶． 解 Z*5 {1, 2, 3,4}．直接计算可得：
11 1; 21 2; 22 4; 23 3; 24 1; 31 3; 32 4; 33 2; 34 1; 41 4; 42 1.
所以又有
r | mn． (1.5.2)
将式(1.5.1)和式(1.5.2)结合起来，得 r mn.
这就是所要证明的.
9
前页 前后页 后目页录 返回
定理1.5.2 设 G 是一个有限群，| G | n．则对
任意的 a G，a是有限阶的，且ord a | |G |．即：
有限群的任 何一个元素的阶都是群阶数的因子．
6
前页 前后页 后目页录 返回
二、群元素阶的性质
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
(精选)近世代数练习题题库
§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。
（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
推论2 在群中，若 | a | n ，则
| ak | n (k,n) 1.
2019/10/7
11:44
定理4
在群中，若 | a | m ，| b | n ，则当
ab ba 且 (m,n) 1 时，| ab | mn.
证明： | a | m ，| b | n ， ab ba
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(1)a
1 0
0 1
,
b
1 0
0
1
ab
ba
1 0
0 1
,
| a || b || ab |
2
(| a |,| b |) 1
2019/10/7
11:44
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(2)a
1 0
0 1
,
b
0 1
1 1
ab
0 1
1 1
,
ba
1 1
0 1
,
| a | 4,| b | 3,| ab |
2019/10/7
11:44
例4 U Ui ，其中 U i 是 i 次单位根群
i 1
，则 U 关于普通乘法作成无限交换群，
其中每个元素的阶都有限.
2019/10/7
11:44
定理2
若群 G 中 | a | n ，则 am e n | m .
证明： 令 m nq r ， 0 r n ，则 am anqr (an )q ar ar e
思考题：
设G是群，且|G|>1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.
2019/10/7
11:44
(ab)mn (am )n (bn )m e 若 (ab)s e
(ab)sm (am )s bsm bsm e n | sm n | s
同理 m | s ， (m,n) 1 mn | s ，于是 | ab | mn.
2019/10/7
11:44
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
11:44
定理1
有限群 G 中每个元素的阶均有限.
证明：设 G n
a G ，在 a,a2,,an ,an1 G
中必有相等的. 设
as at ,1 t s n 1,
则 a st e ，从而阶有限.
2019/10/7
11:44
注：
无限群中元素的阶可能无限，也可能有限， 甚至可能都有限.
r 0
m nq n| m
证明 G 中 | a | n ，只需证
(1)an e, （2）若 am e n | m.
2019/10/7
11:44
定理3
若群中 | a | n ，则 ak n
(n, k )
，其中 k 为任意的整数.
证明： (n, k) d
n dn1, k dk1, (n1, k1 ) 1
近世代数 第二章 群论 §2元素的阶
2019/10/7
11:44
元素的指数
在群 G 中，由于结合律成立， a1a2 an
有意义，据此, 可定义群的元素的指数: 设
n 为正整数, 则规定:
n
n
a0 e, an aa a , an a1a1 a1
显然有， aman amn
(am )n amn
例1
G {1,1,i,i} 关于数的普通乘法做成
4次单位根群.
1 1, 1 2,
i i 4
2019/10/7
11:44
例2 正有理数乘群 Q 单位元的阶是1， 其他元的阶均为无限.
例3 非零有理数乘群 Q 1的阶是1， -1的阶是2， 其余元的阶均为无限.
2019/10/7
(ak )n1 akn1 ank1 (an )k1 e
设 (ak )m e ，则
akm e n | km n1 | k1m n1 | m
ak
n1
n. (n, k)
2019/10/7
11:44
两个推论：
推论1 在群中，若 | a | st ,则 | a s | t
，其中 m, n 为任意整数.
2019/10/7
11:44
定义1
设 a 为群 G 的一个元素，使 an e
的最小正整数 n 叫做元素 a 的阶，记作
a n ；若不存在这样的 n ，则称 a 的阶
为无限.
显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶
Байду номын сангаас都大于1， a a1 .
2019/10/7
11:44