9卡方检验
卡方检验医学统计学
卡方检验医学统计学卡方检验是医学统计学中最常用的检验方法之一，它可用于测量两组数据之间的关联性。
在研究中，我们常常需要探究二者之间是否存在某种关联，卡方检验就是我们解决这个问题的利器。
卡方检验的原理卡方检验的原理是基于期望频数和实际频数的差异来检验两个变量之间的关系。
期望频数指的是在假设两个变量独立的情况下，我们可以根据样本量和其他条件，计算出不同组之间的理论值。
而实际频数则是实验中观察到的实际结果。
卡方检验的步骤如下：1.建立零假设和备择假设。
零假设指的是假设两个变量之间不存在任何关系，备择假设则是反之。
2.确定显著性水平 alpha，通常取值为0.05。
3.构建卡方检验统计量。
计算方法为将所有观察值与期望值的差平方后，再除以期望值的总和。
4.根据自由度和显著性水平，查卡方分布表得到 P 值。
5.如果 P 值小于显著性水平，拒绝零假设；否则无法拒绝零假设。
卡方检验的应用卡方检验可以应用于多个领域，其中医学统计学是最为常见的一个。
卡方检验可以用来分析两个疾病之间的相关性或者测量一种治疗方法的效果。
举个例子，某药厂要研发一种新的药物来治疗心脏病。
为了验证该药的疗效，实验组和对照组各50 人。
在 6 个月的治疗后，实验组和对照组中分别有 10 人和 15 人痊愈了。
卡方检验的作用就在于此时可以用来检验两组之间的差异是否具有统计学意义。
除了医学统计学之外，卡方检验在社会学、心理学、市场营销、物理等领域也都有广泛应用。
卡方检验的限制虽然卡方检验被广泛应用于各种实验和研究中，但它也有着自己的限制。
其中比较明显的一点就是对样本量有一定的要求。
当样本量较小的时候，期望频数的计算就会出现一定的误差，进而导致检验结果不准确。
此外，在面对非常态分布数据时，卡方检验也会出现问题。
当数据呈现正态分布时，卡方检验的准确性最高。
然而，实际上，很多数据都呈现出非正态分布，这时需要使用一些修正方法来解决。
卡方检验是医学统计学中最常用的统计方法之一，它可以用来测量两个变量之间的关联性。
9 第十二章 卡方检验(一)
确切概率法计算公式
在四格表的周边合计不变的条件 下 , 用下式直接计算表内四个数据 的各种组合之概率。 的各种组合之概率。 式中a、b、c、d为四格表的实际 频数
(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)! P= a!b c!d!n ! !
四格表资料的精确检验法基本步骤
1、建立假设 Ho：假设差别是由抽样误差引起的 H1：假设差别是本质上存在的 确定显著性水准： ２、确定显著性水准：α＝0.05 ３、计算确切概率P 周边合计不变，列出各种组合的四格表； （1）周边合计不变，列出各种组合的四格表； 计算各个四格表的| （2）计算各个四格表的|A-T|值； 样本| （3）求|A-T|值≥样本|A-T|值的所有四格表的Pi 值； Pi=(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!/[a!b!c!d!n!] （4）求出确切概率P：P＝ΣPi 结果判断： ４、结果判断：在事先确定的显著性水准α下作 出专业结论。 出专业结论。
行×列表资料χ2检验时的注意事项
1、行×列表资料χ2检验对资料的要求是：不宜有1／5以上 检验对资料的要求是：不宜有1 格子的理论数小于5 且理论数应大于1 格子的理论数小于 5 ， 且理论数应大于 1 ， 若发生上述情 可选用下述三种处理方法 三种处理方法： 况 ， 可选用下述 三种处理方法 ： ① 适当增大样本含量以 增大理论频数； 增大理论频数 ； ② 将理论数过小的格子所在的行或列与 性质相近的行或列中的实际数合并， 性质相近的行或列中的实际数合并 ， 使重新计算的理论 数增大； 删去理论数过小的行或列。 数增大 ； ③ 删去理论数过小的行或列 。 后两种处理方法 有可能损失资料信息， 且可能破坏样本随机性， 有可能损失资料信息 ， 且可能破坏样本随机性 ， 故不宜 常规使用。 常规使用。 2、当试验效应按照强弱分为若干个级别，试验结果可整理 当试验效应按照强弱分为若干个级别， 为单向有序行×列表资料， 为单向有序行 × 列表资料 ， 在比较各处理组间的效应有 无差别时，宜选用秩和检验、Ridit分析 趋势检验等， 分析、 无差别时，宜选用秩和检验、Ridit分析、趋势检验等， 检验只能说明各组构成比的差别有无显著性。 如作χ2检验只能说明各组构成比的差别有无显著性。 3、多个样本率或多个构成比的χ2检验，结果有显著性意义 检验， 只能认为总体率或总体构成之间总的来说有差别， 时，只能认为总体率或总体构成之间总的来说有差别， 不能说明两两之间皆有差别， 不能说明两两之间皆有差别，若要对每两个率或每两个 构成比进行比较，应采用行× 构成比进行比较，应采用行×列表的χ2分割法或者采用 其它率或构成比的多重比较。 其它率或构成比的多重比较。
医学统计学 -第09章 卡方检验
0.4 f(x)
v=1
0.3
2分布
0.2
v=4
v=6 v=9
0.1
0.0
0
3
6
9
12
15 x
（2）计算检验统计量
2 (A T )2
T
(41 36.5625)2 (4 8.4375)2 (24 28.4375)2 (11 6.5625)2
36.5625
8.4375
28.4375
6.5625
理论基础：超几何分布，不属于卡方检验
谢谢
表 慢性咽炎两种药物疗效资料
分组
兰芩口服液 银黄口服液
合计
有效
41 24 65
无效
4 11 15
有效率 （%） 91.11
68.57 81.25
合计
45 35 80
问题： 两个总体有效率是否相等?
（1）建立检验假设 H0：π1=2 两药的总体有效率相同 H1：π1≠π2 两药的总体有效率不同 检验水准=0.05
bc
= 1
若b+c<40，采用以下校正公式
2 (| b c | 1)2
= 1
bc
第三节 行×列表资料的2检验
(一）R×C表 最常见的形式是
2×C列联表（一般为2个构成比的比较） R ×2列联表（一般为多个样本率的比较）
R×C列联表2检验的原理与2×2列联表2 检验的原理完全一样
统计量计算公式
合计 40 30 32 102
有效率(%) 87.50 66.67 21.88 60.78
（1）建立检验假设，确定检验水准
H0 :1 2 3
H1
:
1
,
第九讲卡方检验案例
次数 离均差
2
15.38
7
12.38
22 9.38
57 6.38
110 3.38
124 0.38
112 -2.62
80 -5.62
25 -8.62
8 -11.62
4 -14.62
f o f e 2
Z分数 P 理论次数
f e
3.03 0.00237 1 2.44 0.01201 7
0.125
⑴检验公式（各单元格理论次数>5）
2
A
N AD BC 2
BC DA C B
D
⑵自由度
df 2 12 1
分
因类
1
素分
B
类 2
因素A 分类1 分类2
A
B
C
D
■注:独立样本四格表 检 2验相当于独立样本
比率差异的显著性检验。
■例
随机抽取90名学生，将学生按性别与学习 成绩进行分类，结果如下表，问男女大学生 在学业成绩上是否有关联？或男女学生在成 绩中等以上的比率是否存在显著差异？
小计 110 103 222
变异原因 2 自由 P 合并 2 9.705 1 <.05
异质 2 0.104 3 >.05
③对于控制变量的不同水平所进行的单个列联 表分析 ⅰ、如果 值2不显著，此时可以将各个水 平下的 值相2 加，以推测列联表中两 个变量总的 值，2 并进行关联性检定。
ⅱ、当控制变量各水平不一致时，必须单独就 个别关联表进行分析。
■例
某通讯公司想了解大学生最喜欢的手机品 牌，随机抽取了72名大学生，调查性别、 家庭经济水平以及最喜欢的手机品牌，来 探讨这三个变量之间的关系，调查结果如 下表。
定性数据分析——卡方检验
定性数据分析——卡方检验卡方检验（Chi-square test）是统计学中用于检验两个定性变量之间关联性的方法。
它可以帮助我们确定两个变量之间的差异是由于随机因素导致的还是由于真实的关联性。
卡方检验的基本原理是，通过比较实际观察到的频数与期望频数之间的差异来判断变量之间是否存在关联。
在卡方检验中，我们首先要计算期望频数，即假设两个变量之间没有关联时，我们预计每个组别内的频数应该是多少。
然后，我们计算实际观察到的频数与期望频数之间的差异，并将这些差异加总得到一个卡方值。
最后，我们将卡方值与自由度相结合，使用卡方分布表来确定检验结果是否具有统计学意义。
卡方检验可以分为两种类型：拟合优度检验（goodness-of-fit test）和独立性检验（independence test）。
拟合优度检验用于确定观察到的频数是否与预期的频数相匹配。
它在比较一个变量的分布与一个预先给定的理论分布之间的差异时非常有用。
例如，我们可以使用卡方检验来检验一个骰子是否公平，即骰子的六个面是否具有相等的概率。
独立性检验用于确定两个变量之间是否存在关联。
它可以帮助我们确定两个变量是否独立，即它们的分布是否相互独立。
例如，我们可以使用卡方检验来确定男性和女性之间是否存在偏好其中一种产品的差异。
在进行卡方检验时，我们需要满足一些前提条件。
首先，两个变量必须是独立的，即每个观察值只能属于一个组别。
其次，每个组别中的观察值必须相互独立。
最后，期望频数应该足够大，通常要求每个组别的期望频数大于5卡方检验的结果通常以p值的形式呈现。
p值表示观察到的差异是由于随机因素导致的可能性。
如果p值小于预先设定的显著性水平（通常为0.05），则我们可以拒绝原假设，即认为变量之间存在关联。
在实际应用中，卡方检验可以帮助我们解决许多问题。
例如，我们可以使用卡方检验来确定广告宣传对购买行为的影响，消费者对不同品牌的偏好程度，或者员工对不同工作条件的满意度。
第9章卡方检验
当n较小时，则可以利用校正的u检验：
| p1 p2 | (1 / n1 1 / n2 ) / 2 uc Nov 24,2009 S p1 p2
例9－3 考察某市2000年城乡居民的卫生服 务需求，以近两周病患病情况作为调查指 标。分别在城区和农村进行了抽样调查， 其中城区调查了660人，有90人近两周患病， 农村调查了640人，有140人近两周患病， 问两组人群的两周患病率是否相同？
二、正态近似法 当n较大，总体率 既不接近0也不 接近1，n和n (1－)均大于5，二 项分布近似正态分布，利用正态分 布的原理，计算检验统计量u值作假 设检验。
u
Nov 24,2009
p 0
p
p 0
0 (1 0 ) / n
例9－2 已知一般人群中慢性支气 管炎患病率为9.7% ，现调查了500 名吸烟者，其中有95人患慢性支气 管炎，试推断吸烟人群中慢性支气 管炎患病率是否比一般人群高？
Nov 24,2009
一、四格表资料的2检验
2检验的基本思想
组别 阳性数 阴性数 合计
I组
II组 合计
a
c a+c=n.1
b
d b+d=n.2
a+b=n1.
c+d=n2. a+b+c+d=n
Nov 24,2009
基本步骤
1、建立假设 H0：城乡居民的两周总体患病率相同 即1＝2＝ H1：城乡居民的两周总体患病率不同 即1≠2， α＝0.05
b
d b+d=n.2
a+b=n1.
c+d=n2. a+b+c+d=n
(ad bc) n (a b)(c d )(a c)(b d )
卡方检验的原理
卡方检验的原理卡方检验是一种用于检验两个分类变量之间是否存在相关性的统计方法。
它的原理是通过比较实际观察值和期望理论值之间的差异来判断两个变量之间的相关性程度。
在进行卡方检验时，我们首先需要构建一个列联表，然后根据列联表中的数据计算出卡方值，最后根据卡方值来判断两个变量之间的相关性程度。
首先，我们来看一下列联表的构建。
列联表是由两个分类变量的交叉分类频数构成的二维表格。
表格的行表示一个分类变量的各个分类，表格的列表示另一个分类变量的各个分类，交叉点上的数字表示对应分类组合的频数。
构建列联表的目的是为了清晰地展现两个变量之间的关系，为后续的卡方检验提供数据基础。
接下来，我们需要计算卡方值。
卡方值的计算公式为，χ²=Σ((O-E)²/E)，其中，Σ表示求和，O表示观察频数，E表示期望频数。
在计算卡方值时，我们需要先计算出期望频数，然后将观察频数和期望频数的差异进行平方，并除以期望频数，最后将所有分类组合的差异平方和除以期望频数的总和就得到了卡方值。
最后，我们根据卡方值来判断两个变量之间的相关性程度。
在进行判断时，我们需要参考自由度和显著性水平。
自由度的计算公式为，df=(r-1)(c-1)，其中，r表示行数，c表示列数。
在一般情况下，我们可以查找卡方分布表来确定显著性水平下的临界值，然后比较计算出的卡方值和临界值的大小关系，从而判断两个变量之间的相关性程度。
总的来说，卡方检验是一种用于检验两个分类变量之间相关性的统计方法，它通过比较实际观察值和期望理论值之间的差异来判断两个变量之间的相关性程度。
在进行卡方检验时，我们需要构建列联表，计算卡方值，并根据卡方值来判断两个变量之间的相关性程度。
通过卡方检验，我们可以更加清晰地了解两个变量之间的关系，为进一步的分析和决策提供依据。
9第八章 卡方检验
也称卡方检验。 检验也称卡方检验 χ2 检验 也称卡方检验 。 是英国统计 学家Pearson于 1900年提出的一种应 于 学家 年提出的一种应 用范围很广的假设检验方法， 用范围很广的假设检验方法，可用于 检验两个率间的差异； 检验两个率间的差异 ； 检验多个率 (或构成比 间的差异；判断两种属性 或构成比)间的差异 或构成比 间的差异； 或现象间是否存在关联性； 或现象间是否存在关联性；了解实际 分布与某种理论分布是否吻合； 分布与某种理论分布是否吻合；判断 两个数列间是否存在差异等。 两个数列间是否存在差异等。
计算公式
(a + b)!(c + d )!(a + c)!(b + d )! P= a!b!c!d!n!
式中ａ、ｂ、ｃ、ｄ 和ｎ的意义同前 ， ！为阶乘符号。0！＝ 1， 为阶乘符号。 1！＝ 1 ，3！＝ 3×2×1 ＝ 6。
（三）求Ｐ值的步骤
• 1 . 列四格表 。 使四格表周边合计数 列四格表。 不变， 不变 ， 依次增减四格表中任一格子 的数据，列出所有可能的四格表。 的数据，列出所有可能的四格表。 • 列四表格的数量 ＝ 最小合计数 ＋ 1 。 列四表格的数量＝ 最小合计数＋ • 如例 8 -3 ， 增减 ａ 格的数据 ，得 9 个 如例8 格的数据， 四格表。 四格表。
χ2分布的特点
• ⑴ χ2 分布的形状依赖于 ν 的大小 ： 当 ν≤2 时 ， 曲线呈 L 型 ； 随着 ν 的增加 ， 曲线呈L 的增加， 曲线逐渐趋于对称； →∞时 曲线逐渐趋于对称 ； 当 ν→∞ 时 ， 分布 趋近于正态分布。 趋近于正态分布。 • ⑵χ2分布具有可加性：如果两个独立的 分布具有可加性： 随机变量X1和X2分别服从ν1和ν2的χ2分 那么它们的和( 也服从( 布，那么它们的和(X1＋X2)也服从(ν1＋ ν2)的χ2分布。 分布。
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第九章 χ2 检 验(chi-square test)
第一节 χ2分布和拟合优度检验
第二节 独立样本2*2列联表资料的χ2检验 第三节 独立样本R*C列联表资料的χ2检验 第四节 资料的卡方检验 例9-6 设有132份食品标本，把每份标本一分为二，分 别用两种方法作沙门菌检验，检验结果见表9-8，试比较两种 检验方法的阳性结果是否有差别？
Tij
ni m j n
自由度为：ν=(行数-1)(列数-1)=(2-1)(2-1)=1
2
A T 2 64 57.842 21 27.162 51 57.162 33 26.842
T 57.84 27.16 57.16 26.84
表9-8 甲法 + 合计 两种检验方法检验结果比较 乙法 + 80（a） 31（c） 111 10（b） 11（d） 21 合计 90 42 132(固定值)
n1 a b 两变量阳性率比较的一般形式和符号 n n n cd 变 量2的 阳 性 率 2 n n 变量2 ab ac bc 变 变量1 性 率 变 量2的 阳 性 率 量1的 阳 阳性 阴性 n n n 变 量1的 阳 性 率
求出每个格子的理论频数后，可用下式进行分析
（A T ) 2 2 T
H0成立时，该统计量服从υ=k-1-s（s为计算Ti时利用样
本资料估计的参数个数）
（二）基本步骤 1.建立检验假设并确定检验水准 H0:π1=π2 ，即两药治疗消化道溃疡的愈合率相同 H1:π1≠π2 α=0.05 2. 计算检验统计量：H0成立时，两组有效概率相同，近似地等 于合并估计的有效概率，由此得到四格表中每一格的理论数，
14（11.2） 14（16.8） 16 24
1.建立检验假设并确定检验水准 H0:π1=π2 ，即两法总体缓解概率相同 H1:π1≠π2， 2. 计算检验统计量
k
α=0.05
2
i 1
2 （ Ai - Ti - 0.5）
3.确定P值，做出推断 P>0.05，按α=0.05水准，接受H0，拒绝H1，两总体频 率的差别无统计学意义。尚不能认为两种治疗方案的总 体缓解率不同。
（一）2*2列联表卡方检验的基本思想 表9-3 组别 Y1 Y2 独立样本资料的四格表 属性 合计
甲
乙 合计
a(T11)
c(T21) m1=a+c
b(T12)
d(T22) m2=b+d
n1=a+b(固定值)
n2=c+d(固定值) n
在H0成立的条件下，两样本分布的总体分布相等。而总体 分布未知，可用两样本联合计算的频率分布作为总体分布的 近似：属性Y1的理论概率近似等于m1/n，属性Y2的理论概率近 似的等于m2/n。因此H0成立时每个格子的理论频数近似等于：
二、拟合优度检验
求出样本均数为139.48，S=7.30
建立假设： H0：总体分布等于均数为139.48，标准差为7.30的正态分布 H1：总体分布不等于均数为139.48，标准差为7.30的正态分布 （一）拟合优度卡方检验的基本思想
1.设该样本是从某总体中抽取的简单随机样本。
2.把Xi的定义区间分成k个组段或类别。 3.记Ai表示n个样本观察值中落在第i组段的个数。 4.记Pi表示在H0成立条件下，样本值落在第i组段的概率。 5.记Ti表示根据H0确定的理论频数，Ti=n*Pi。
2 i 1
k
2 （ Ai - Ti - 0.5）
Ti
第九章 χ2 检 验(chi-square test)
第一节 χ2分布和拟合优度检验
第二节 独立样本2*2列联表资料的χ2检验 第三节 独立样本R*C列联表资料的χ2检验 第四节 配对设计资料的χ2检验 第五节 四格表的确切概率法
例9-2 将病情相似的169名消化道溃疡患者随机分为两组， 分别用洛赛克与雷尼替丁两种药物治疗，4周后疗效见表9-2。 问两种药物治疗消化道溃疡的愈合率有无差别？ 表9-2 处理 洛赛克 雷尼替丁 合计 两种药物治疗消化道溃疡4周后疗效 疗效 愈合 64(57.84) 51(57.16) 115 未愈合 21(27.16) 33(26.84) 54 合计 85(固定值) 84(固定值) 169
（三）多个独立样本频率分布的比较 例9-5 试分析儿童急性白血病患者与成年人急性白血病 患者的血型分布如表9-7有无差别？ 表9-7 分组 儿童与成年人急性白血病患者的血型分布 A型 B型 O型 AB型 合计
儿童 成人
合计
30 19
49
38 30
68
32 19
51
12 9
21
112 77
189
1. 建立检验假设并确定检验水准 H0:儿童与成年人急性白血病患者的血型分布相同 H1:儿童与成年人急性白血病患者的血型分布不相同
3. 确定P值 查附表8
自由度为：ν=(行数-1)(列数-1)=(3-1)(2-1)=2
2 2 0.005, 2 10.60 2 0.005, 2
P 0.005
4. 结论：按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，差别有
统计学意义。可认为三种药物的治疗效果不同或不全
相同。
2.确定检验水准α 3.选择检验方法，并计算检验统计量 4.确定P值，作出推断结论 P≤α，拒绝H0，接受H1 P＞α，不拒绝H0
（三）拟合优度卡方检验的注意事项 1. 2值与实际频数和理论频数的差值有关，还和组数有关。 一般要求每格的理论频数不小于5。 2.要有足够的样本含量，如样本含量不足需进行连续性校正。
4.13
3. 确定P值 查附表8
02.05,1 3.84
2 2 0.05,1
P 0.05
4. 结论：按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，两总体频率
的差别有统计学意义。洛赛克的愈合率(75.29%)高于雷尼
替丁(60.71%).
（三）2*2列联表卡方检验专用公式：(T5,且n 40)
比较，共比较6次，于是两两比较的检验水准应取
α’=0.05/3=0.0167
（五）R*C列联表卡方检验注意事项 不能有1/5以上格子的理论频数小于5，或不能有一个理 论频数小于1，如出现理论频数不满足此要求，可用如下方法 处理：
1.增加样本含量，是最好的办法。
2.结合专业知识将该格所在行或列与别的行或列合并，可能 会损失信息。 3.改用R*C表的Fisher确切概率法，用软件完成。 4.资料同质，即具备可比性。
第九章 χ2 检 验(chi-square test)
第一节 χ2分布和拟合优度检验
第二节 独立样本2*2列联表资料的χ2检验 第三节 独立样本R*C列联表资料的χ2检验 第四节 配对设计资料的χ2检验 第五节 四格表的确切概率法
一、χ2分布 χ2 分 布 是 一 种连续型随 机变量的概 率分布。
ad bc 2 n 2 a b c d a c b d
四格表校正公式 ：当(1T＜5,且n 40)需校正
n ad bc n 2 2 a b c d a c b d
2
例9-3 将病情相似的淋巴系肿瘤患者随机分为两组，分别 做单纯化疗与复合化疗，两组的缓解率见表9-4，问两疗法的 总体缓解率是否不同？ 表9-4 组别 单纯化疗 复合化疗 合计 缓解 2（4.8） 两种疗法缓解率的比较 未缓解 10（7.2） 合计 12 28 40 缓解率（%） 16.7 50.0 40.0
2检验的基本公式
2 =∑（A－T）2/T
式中A代表每个格子的实际频数( actual
frequency )，即表中的基本数据；T代表每个格子的理论
频数( theoretical frequency ) υ=k-1-s（s为用样本统计量估计总体参数的个数）
（二）拟合优度2检验的基本步骤 1.建立假设 H0：无效假设 H1：备择假设
α=0.05
2. 计算检验统计量：
2 R C Aij 2 n 1 0.695 i 1 j 1 n m i j
3. 确定P值 查附表8
自由度为：ν=(行数-1)(列数-1)=(2-1)(4-1)=3
2 2 0.75,3 1.21 2 0.75,3
图 9-1 若干χ2分布的概率密度曲 线
对于标准正态分布Z，Z2服从自由度为1的χ2分布。
设有v个相互独立的标准正态分布随机变量Z1，
Z2，…Zv，则Z12+Z22…+Zv2的分布服从自由度为v的χ2分布，
记为χv2。 当自由度大于1时，随着v的增加，曲线逐渐趋于对称； 当自由度趋于∞时，χ2分布逼近正态分布。
m1 n1m1 m2 n 1m 2 T11 n1 （ ） ， T12 n1 （ ） n n n n m1 n 2 m1 m2 n 2m2 T21 n（ ） ， T22 n（ ） 2 2 n n n n Tij的计算公式为： Tij ni m j n (i 1,2; j 1,2)
第一节 χ2分布和拟合优度检验
第二节 独立样本2*2列联表资料的χ2检验 第三节 独立样本R*C列联表资料的χ2检验 第四节 配对设计资料的χ2检验 第五节 四格表的确切概率法
（一）R*C列联表卡方检验的基本思想和计算步骤
设有一个定性变量，具有C个可能“取值”；现有R组 独立样本的频数分布，其数据如表9-5，这样的数据称为 R×C列联表。
表9-5
处理 1组 2组 … R 合计
独立样本R×C列联表
属性（水平） 合计 n1(固定值) n2(固定值) … nR(固定值) n
1
A11（T11） A21 （T21） … AR1 （TR1） m1