平面直角坐标变换

§5.7 平面直角坐标变换

为了考虑同一图形在不同的坐标系下的方程之间的关系，我们首先需要建立同一个点在不同的坐标系下的坐标之间的关系，这就是坐标变换的问题，因为我们研究的图形是点的轨迹．

我们仅考虑平面直角坐标变换．

设在平面上给出了由两个标架 {O ；i , j } 和 {O'；i', j' } 所决定的右手直角坐标系，这里i 和j 以及i' 和j' 是两组坐标基向量，它们是平面上的两个标准正交基，我们依次称这两个坐标系为旧坐标系和新坐标系．

由于坐标系的位置完全由原点和坐标基向量所决定，所以新坐标系与旧坐标系之间的关系，就由O' 在 {O ；i , j } 中的坐标以及i' 和j' 在 {O ；i , j } 中的分量所决定．

任一直角坐标变换总可以分解成移轴（也叫坐标平移）和转轴（也叫坐标旋转）两个步骤．

1．移轴

如果两个标架 {O ；i , j } 和 {O'；i , j' } 的原点O 与O' 不同，O' 在{O ；i , j }中的坐标为 (x 0，y 0)，但两标架的坐标基向量相同，即有

i' = i ， j' = j

那么标架 {O'；i', j'} 可以看成是由标架 {O ；i , j } 将原点平移到O'点而得来的（图5.7.1）．这种坐标变换叫做移轴（坐标平移）．

设P 是平面内任意一点，它对标架 {O ；i , j } 和 {O'；i', j'} 的坐标分别为 (x ，y ) 与

(y x '',)，则有

P O O O OP '+'=

但 j i y x OP +=，

j i y x P O '+'='，

j i 00y x O O +='

于是有

j i j i )()(00y y x x y x +'++'=+

故 {x ，y } = {x 0，y 0} ＋ {x'，y' }

根据向量相等的定义得移轴公式为 图5.7.1

⎩

⎨

⎧+'=+'=00

y y y x x x (5.7－1)

从中解出x' 和y'，就得逆变换公式为

⎩

⎨

⎧-='-='00

y y y x x x

(5.7－2)

2．转轴

若两个标架 {O ；i , j } 和 {O'；i', j'} 的原点相同，即O = O'，但坐标基向量不同，且有∠(i ，i' ) = α，则标架 {O'；i'，j'} 可以看成是由标架 {O ；i ，j } 绕O 点旋转α 角而得

来的（图5.7.2）．这种由标架 {O ；i ，j } 到标架 {O'；i'，j'}的坐标变换叫做转轴（坐标旋转）．

下面推导转轴公式．

设P 是平面内任意一点，它对 {O ；i , j } 和 {O'；i', j'} 的坐标分别为 (x ，y ) 与 (y x '',)，即有

j i j i '

'+''='+=y x P O y x OP

因为∠(i ，i' ) = α，新旧坐标基本向量之间有关系

ααsin cos j i i +='

图5.7.2

ααααcos sin 2πsin 2πcos j i j i j +-=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

++⎪⎭⎫ ⎝⎛+='

于是有

j

i j i j i )cos sin ()sin cos ()

cos sin ()sin cos (ααααααααy x y x y x P O '+'+'-'=+-'++'='

因为O 和O'是同一点，P O OP '=，故可直接得到转轴公式：

⎩

⎨⎧'+'='-'=ααα

αcos sin sin cos y x y y x x

(5.7－3)

从（5.7－3）中解出x' 和y '，就得到用旧坐标表示新坐标的逆变换公式： ⎩⎨⎧+-='+='ααα

αcos sin sin cos y x y y x x

(5.7－4)

式中的α 为坐标轴的旋转角．

（5.7－4）式也可看成是由标架 {O ；i'，j'} 绕O 旋转－ α 角变到 {O ；i ，j } 的转轴公式．

* 根据线性代数的理论，（5.7－3）可写为⎥⎦⎤

⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x Q ，这里的坐标变换的矩阵

⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡-=αα

αα

cos sin sin cos Q 是一个正交矩阵，因而其逆矩阵T 1Q Q =-，逆变换公式可以直接由⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x y x T Q 写出．

3．一般坐标变换公式

在一般情况下，由旧坐标系O －xy 变成新坐标系O'－x'y'，总可以分两步来完成．即先移轴使坐标原点与新坐标系的原点O' 重合，变成坐标系O'－y x ''''，然后再由辅助坐标系O'－x"y" 转轴而成新坐标系O'－x'y'（图5.7.3）．

设平面上任一点P 的旧坐标与新坐标分别为 (x ，y ) 与 (x'，y' )，而在辅助坐标系O'－x"y" 中的坐标为 (x"，y" )，那么由（5.7－1）与（5.7－4）分别得

⎩

⎨

⎧+''=+''=00

x y y x x x 与 ⎩⎨

⎧'+'='''-'=''α

αα

αcos sin sin cos y x y y x x

由上两式得一般坐标变换公式为

图5.7.3

⎩

⎨

⎧+'+'=+'-'=00

cos sin sin cos y y x y x y x x αααα (5.7－5)

由（5.7－5）解出x'，y' 便得逆变换公式

⎩

⎨⎧+--+-='+-+=')cos sin (cos sin )

sin cos (sin cos 0000ααααααααy x y x y y x y x x

(5.7－6)

平面直角坐标变换公式（5.7－5）是由新坐标系原点的坐标 (x 0, y 0) 与坐标轴的旋转角 α 决

定的．

4．由给定的新坐标轴确定的坐标变换

确定坐标变换公式，除了坐标平移和旋转外，还可以有其它方法．

假定已给出了新坐标系的两坐标轴在旧坐标系中的方程，并规定了一个轴的正方向，就可以确定又一种坐标变换公式．

设在直角坐标系xOy 里给定了两条相互垂直的直线 l 1：0111=++C y B x A ， l 2：0222=++C y B x A

其中02121=+B B A A ．如果取直线l 1为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l 2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M 的旧坐标与新坐标分别是（x ，y ）与（x'，y'）．因为 | x' | 是点M （x ，y ）到

O'y' 轴的距离，也就是M 点到l 2的距离（图5.7.4），所以有

图5.7.4

22

22

2

22||B A C y B x A x +++=

' 同理可得

21

2

11

11||B

A C y

B x A y +++=

'

于是在去掉绝对值符号以后，便得到一个坐标变换公式

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧+++±='+++±='2121111

2

222222B A C y B x A y B A C y B x A x (5.7－7)

为了使新坐标系仍然是右手坐标系，可将（5.7－7）式与公式（5.7－4）比较来决定（5.7