6 振动与波习题课

k-角波数
t 2π t T
同一波线上不同质点在同一时刻的相位差：
2π
x

k x
6
四 、波动的能量 振动的能量 波的平均能量密度
1 2
注意区别特性
2 2
w= ρAω
波的强度I P = w u = 1 ρ A 2ω2u I = 2 (能流密度） S 波动能量特征: dE不守恒 能量传递 动能势能 同相位 dEk = dEp 同时达最大(小), 例:平衡位置处同时最大;最大位移处同时最小 谐振动能量特征: 守恒 动能势能内部转换 恒定 7 例:平衡位置处动能最大;最大位移处势能最大
t1时刻各质点的位移(波形方程4)
波动方程的建立
• 由振动方程建立波动方程（10-11，14） O点的 任一点的 • 由波形图建立波动方程（10-12,13,15） t=0 t=t’
5
波函数反映了波的时间、空间双重周期性
T 时间周期性
空间周期性
u
k
2

同一质点在不同时刻的相位差：
2π y 入振＝Acos[ ωt - L + π ] λ A处相位突变 2π y 反振＝Acos[ ωt - L + π + π ] λ 对反射波，考虑任一点p的振动, 2π ( L x) 它落后A的相位为 λ 2π 2π y 反波＝Acos[ ωt - L + 2π - (L - x)] λ λ
26
π

当波从波密介质垂直入射到波疏介 质， 被反射到波密介质时形成波腹. 入 射波与反射波在此处的相位时时相同， 即反射波在分界处 不产生相位跃变.
14
例1 在竖直平面内半径为R的一段光滑圆弧 形轨道上，放一小物体，使其静止于轨道最 低处，然后轻碰一下此物体，使其沿轨道作 来回小幅度运动，试证： (1）此物体作简谐运动
E = Ek + EP = kA
1 2
Ek = mv
1 2
2
Ep = kx
2
1 2
2
波的叠加原理
动画
8
波的干涉 动画
频率相同、 振动方向平行、
相位相同或相位
差恒定的两列波 相遇时，使某些 地方振动始终加 强，而使另一些
地方振动始终减
弱的现象，称为 波的干涉现象.
9
五 波的干涉 (条件) 直接考虑相遇处的相位差
(2）此简谐运动的周期为

R
R T 2π g
mg
15
•分析受力
•化为标准式
2
d Ft mg sin ma t mR mR 2 dt
2
d g g 2 sin 2 dt R R
•得到
g R R T 2π g
•教材习题9-8，9 •注意选平衡位置为坐标原点
波节 波腹
4 Hz
1.5 m
u 6 m s y A cos 2 π(t
1
x
)
4πx π 3 (2k 1) x (2k 1) 3 2 8
4πx 3 kπ x k 3 4 k 0,1,
24
例4 一列平面谐波沿 x 方向传播, 波长为λ， 已知 在xB＝λ/2处质点的振动方程为 yB= Acosωt 求1）该波的波动表式y入波＝？ u 2) 若在x=L处 (L> λ/2 ) λ p A 放一反射面，如图 ， o 2 B • • • • x x 则y反波＝？ L 解1): 考虑任一点p的振动, 2π λ
+ Q0 + +
L
C
Q0
-
-
振荡电偶极子
29
偶极振子发射的电磁波 极轴 S(k )
(C) 2 A cos2x /
( D) |2 A cos2x / |
[ D ]
22
6 两波在一很长的弦上传播,其波动方程分别为:
π y2 0.04 cos (4 x 24t ) 3 求: (1) 两波的频率、波长、波速；
(2)两波叠加后的节点位置；
π y1 0.04 cos (4 x 24t ) 3
2 max
Ek max = mv
= mω A = 2.0 ×10 J
1 2
2
2
-3
3)因动能最大时,势能为零 -3 2 总能量 E = Ek max = 2.0 × 10 J k = mω 4)当Ek=Ep时, Ep=1.0×10-3J＝(1/2) kx2

x 0.707cm
19
例4 一沿+x向传播的平面谐波,t=t’时刻的波形 Y(cm) u=12m/s 如图示。试求： t = t’ t’+T/ 10 1) o点的振动方程？ o 12 24 X(cm) 2)该波的波动表式？ -10 3)x=16cm处的质点与o 处质点的振动相位差？ 4)画出t’+T/4时刻的波形曲线。 ω = 2 π ν = π u = λ ν 由 t=t ’ ,y=0,v>0 解： φ0 =3π/2 -πt’ →ωt’+φ0=3π/2
π 2 y 0 . 04 cos ( 4 x 24 t ) ( 1) 1 0.04 cos 2 (8t x ) 3 3 π 2 y2 0.04 cos (4 x 24t ) 0.04 cos 2 (8t x ) 3 3
4πx cos8πt (2) y y1 y2 0.08cos 3
o点振动方程
x 3 ) - π t'+ 2 π ] cm 波动表式 y 0 = 10 cos[π (t 12 ω π 4
相位差 Δ φ = - Δ x = - (16 - 0) = - π u 12 3
20
y 0 = 10 cos[π t - π t'+ π ] cm
3 2
5波的干涉
2 1
h
S 1 D强 S 2 D弱 求波长λ？由题意，对D处
解：
(3)叠加后振幅最大的那些点的位置.
π (1) y1 0.04 cos (4 x 24t ) x 3 y A cos 2 π ( t ) 比较 π y2 0.04 cos (4 x 24t ) 3 得: 1 4 Hz 1.5 m u 6 m s 23
2 2 A A A 合振幅 1 2 2A1A2 cos(2 1) =2k A=A1+A2 加强 初相差Δ = 2-1 =(2k+1) A= A1-A2 削弱
2
横波： 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
纵波：特征：具有交替出现的密部和疏部.
3
三 波动表式的建立及其物理意义
旋转矢 量 A的 端点在 x 轴上 的投影 点的运 动为简 谐运动.
x A cos(t )
1
振动与波习题课
一、主要内容归纳 1 谐振动的判定及方程的建立
受力: f = -kx
d x 2 x 0 2 dt
2
x A cos( t )
k m
2
2 两个同方向同频率谐振动的合成
振动： yo (t ) A cos(t )
落后取“-” x 波动 y( x, t ) A cos[ ( t ) ] 超前取 “+” u y(x,t) －波线上任一点任意时刻的位移 x=x1 y = Acos[(t – x1/u)+φ]＝ y(t) x1处质点的振动方程 t=t1 y = Acos[(t1 – x/u)+φ]＝ y(x)
若I1＝I 2 A
2
k = 0,± 1,± 2
2
波强
Δφ I = 4I1 cos 2
Imax = 4I1 Imin = 0
10
驻 波 的 形 成
11
3 驻波的特点
振幅：A=A(x), 与t 无关，有波腹、波节 相位： 两波节之间的各质点同相位振动 任一波节两侧的质点反相位振动 波节处－相位突变 能量： 无定向传播。

R FN mg
16
2π
例2一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm,现在下端悬 挂4kg的物并使其静止。然后将物向下拉10cm后由 静止释放并开始计时。求1)物体的振动方程？2) 物体在平衡位置上方5cm处所受拉力？3)物体从第 一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处 所需的最短时间？
∵t=0,x0=10cm,v0=0 ∴A=10cm, φ=0
练习 一质点同时参与两个同方向的简谐运动， 其运动方程分别为：
1 x1 5 10 cos(4t π) 3 2 2 x2 3 10 cos(4t π) 3
2
4π 3
o 3 5 x
π 3
画出两运动的旋转矢量图， 并求合运动的运动方程． 解：
1 x x1 x2 2 10 cos(4t π) 3
2) 合振动
合振幅
2π 2π y = 2A cos x cos t λ T
y 反＝Acos2 π( - ) T λ
2π 2 A 合 = 2 A cos xλ λ 3 1 = 2A(- 2 ) = A
28
9-7;路
电能与磁能交替转换
1 2、 提高频率 辐射功率 2 LC 3、开放 L-C 电路 C L →偶极振子(天线)
r'
So
r
d
D o
H 减弱 Δ r = 2r'-d = (2k + 1)λ (2)
加强 Δ r = 2r - d = kλ
(1)
2
式中 r = H 2 + (d 2) 2
由(1) (2)可求
注：一般地