高中数学第三章导数应用2导数在实际问题中的应用教材基础北师大版选修2-2资料
§2 导数在实际问题中的应用
导数概念具有很强的实际背景,而我们在实际问题当中总是能够遇到大量的需要应用导数知识来解决的问题,可以说,导数的知识构成一种思路.
在生产建设和科学技术中,要求“用料最省”“体积最大”“效率最高”等问题时,往往可以归纳为求函数的最大值和最小值的问题.这就是导数知识应用的一个方面. 高手支招1细品教材
一、实际问题中导数的意义
1.导数在实际生活中的应用
(1)与几何有关的最值问题;
(2)与物理学有关的最值问题;
(3)与利润及其成本有关的最值问题;
(4)效率最值问题.
2.解决问题的思路
(1)审题:理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系;
(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解;
(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.
状元笔记
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问
【示例】在某种工业品的生产过程中,每日次品数y 是每日产量x 的函数:y=x
x -101,x≤100,该工厂售出一件正品可获利A 元,但生产一题,就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论,然后再把数学结论返回到实际问题中去. 件次品就损失3
A 元,为了获得最大利润,日产量应为多少? 思路分析:最大利润等于正品获利减去次品损失,根据已知条件列出利润关于日产量的函数关系式,利用导数求出最值.
解:在每天生产的x 件产品中,x-y(x)是正品数,y(x)是次品数,每日获利总数为T(x)=A(x-y)- 31Ay,要使T(x)取最大值,则T′(x)=A(1-34y′).令T′(x)=0,得y′=43,又y=x x -101,x≤100,由y′=2)101(101x -=4
3⇒x≈89.4,因此产品个数应是89或90件.又由于T(89)≈79.11A,T(90)≈79.09A,所以每日生产89件将获得最大利润.
二、函数最大、最小值问题
状元笔记
极大、极小值与最大、最小值的区别：函数极大值和极小值是比较极值点附近的函数值
得出的,函数最大值、最小值是比较整个定义区间上的函数值得到的.
1.在闭区间［a,b ］上可导的函数f(x),在［a,b ］上必有最大值和最小值;但在开区间(a,b)内可导的函数f(x)不一定有最大值与最小值.
【示例】下列结论正确的是（ ）
A.在区间［a,b ］上,函数的极大值就是最大值
B.在区间［a,b ］上,函数的极小值就是最大值
C.在区间［a,b ］上,函数的最大值、最小值在x=a 和x=b 时达到
D.一般地,在［a,b ］上可导的函数f(x)在［a,b ］上必有最大值和最小值
思路分析:利用函数极值与最值的定义可直接判断.
答案:D
2.设f(x)在其定义域［a,b ］上可导,求f(x)的最值步骤如下:
(1)求函数f(x)在(a,b)内的极值;
(2)求出f(x)在区间端点的值f(a),f(b);
(3)将f(x)的极值与端点处函数值f(a),f(b)进行对比,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
【示例】 求下列函数的最值:
(1)f(x)=3x-x 3(-3≤x≤3); (2)f(x)=6-12x+x 3,x∈［3
1-,1］. 思路分析:函数f(x)在给定区间上可导,必有最大值和最小值,因此,在求闭区间［a,b ］上函数的最值时,只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值,然后与端点处函数值比较即可.
解:(1)f′(x)=3-3x 2,令f′(x)=0,得x=±1,∴f(1)=2,f(-1)=-2.
又f(-3)=0,f(3)=-18,∴［f(x)］max =2,［f(x)］min =-18.
(2)f′(x)=-12+3x 2=0,∴x=±2.
∵当x∈(-2,2)时,f′(x)＜0,f(x)为减函数.
∴当x∈［3
1-
,1］时,f(x)为减函数. ∴f(x)min =f(1)=-5,f(x)max =f(31-)=27269. 高手支招2基础整理
函数的“最值”是个整体概念,是整个定义域上的最大值和最小值,具有绝对性、唯一性,多项式函数在某一闭区间上一定存在最值.。
高中数学第三章导数应用3.2导数在实际问题中的应用教材基础素材北师大版选修2_2
§2 导数在实际问题中的应用导数概念具有很强的实际背景,而我们在实际问题当中总是能够遇到大量的需要应用导数知识来解决的问题,可以说,导数的知识构成一种思路.在生产建设和科学技术中,要求“用料最省”“体积最大”“效率最高”等问题时,往往可以归纳为求函数的最大值和最小值的问题.这就是导数知识应用的一个方面. 高手支招1细品教材一、实际问题中导数的意义1.导数在实际生活中的应用(1)与几何有关的最值问题;(2)与物理学有关的最值问题;(3)与利润及其成本有关的最值问题;(4)效率最值问题.2.解决问题的思路(1)审题:理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系;(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解;(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.状元笔记解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问【示例】在某种工业品的生产过程中,每日次品数y 是每日产量x 的函数:y=xx -101,x≤100,该工厂售出一件正品可获利A 元,但生产一题,就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论,然后再把数学结论返回到实际问题中去. 件次品就损失3A 元,为了获得最大利润,日产量应为多少? 思路分析:最大利润等于正品获利减去次品损失,根据已知条件列出利润关于日产量的函数关系式,利用导数求出最值.解:在每天生产的x 件产品中,x-y(x)是正品数,y(x)是次品数,每日获利总数为T(x)=A(x-y)- 31Ay,要使T(x)取最大值,则T′(x)=A(1-34y′).令T′(x )=0,得y′=43,又y=x x -101,x≤100,由y′=2)101(101x -=43⇒x≈89.4,因此产品个数应是89或90件.又由于T(89)≈79.11A,T(90)≈79.09A,所以每日生产89件将获得最大利润.二、函数最大、最小值问题状元笔记极大、极小值与最大、最小值的区别：函数极大值和极小值是比较极值点附近的函数值得出的,函数最大值、最小值是比较整个定义区间上的函数值得到的.1.在闭区间［a,b ］上可导的函数f(x),在［a,b ］上必有最大值和最小值;但在开区间(a,b)内可导的函数f(x)不一定有最大值与最小值.【示例】下列结论正确的是（ ）A.在区间［a,b ］上,函数的极大值就是最大值B.在区间［a,b ］上,函数的极小值就是最大值C.在区间［a,b ］上,函数的最大值、最小值在x=a 和x=b 时达到D.一般地,在［a,b ］上可导的函数f(x)在［a,b ］上必有最大值和最小值思路分析:利用函数极值与最值的定义可直接判断.答案:D2.设f(x)在其定义域［a,b ］上可导,求f(x)的最值步骤如下:(1)求函数f(x)在(a,b)内的极值;(2)求出f(x)在区间端点的值f(a),f(b);(3)将f(x)的极值与端点处函数值f(a),f(b)进行对比,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【示例】 求下列函数的最值:(1)f(x)=3x-x 3(-3≤x≤3); (2)f(x)=6-12x+x 3,x∈［31-,1］. 思路分析:函数f(x)在给定区间上可导,必有最大值和最小值,因此,在求闭区间［a,b ］上函数的最值时,只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值,然后与端点处函数值比较即可.解:(1)f′(x)=3-3x 2,令f′(x)=0,得x=±1,∴f(1)=2,f(-1)=-2.又f(-3)=0,f(3)=-18,∴［f(x)］max =2,［f(x)］min =-18.(2)f′(x)=-12+3x 2=0,∴x=±2.∵当x∈(-2,2)时,f′(x)＜0,f(x)为减函数.∴当x∈［31-,1］时,f(x)为减函数. ∴f(x)min =f(1)=-5,f(x)max =f(31-)=27269. 高手支招2基础整理函数的“最值”是个整体概念,是整个定义域上的最大值和最小值,具有绝对性、唯一性,多项式函数在某一闭区间上一定存在最值.。
高中数学第三章导数应用2导数在实际问题中的应用例题与探究北师大选修2-2讲解
高中数学 第三章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用例题与探究北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.利用导数解决优化问题的方法和基本思路方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有利的工具.基本思路:建立数学模型.2.最值和极值的区别与联系(1)最值是个整体概念,而极值是个局部概念;(2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的,而极值不一定唯一;(3)极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值时未必有最值,有最值时未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值.3.求二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值或最小值的步骤可按以下步骤:(1)求出二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)的导数f′(x)=2ax+b;(2)讨论二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间(m,n)内是否有极值点,即方程f′(x)=0的根x=ab 2-是否在区间(m,n)内,确定二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值或最小值: ①若方程f′(x)=0的根x=a b 2-在区间(m,n)内,即m ＜a b 2-＜n,此时f(a b 2-)必为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间(m,n)内的最大值或最小值,再求出f(m),f(n)的值,f(ab 2-),f(m),f(n)中最大者和最小者分别为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值和最小值; ②若方程f′(x)=0的根x=a b 2-不在区间(m,n)内,即m≥a b 2-或n≤a b 2-时,此时二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间(m,n)内是单调函数,只需求出f(m),f(n)的值,f(m),f(n)中最大者和最小者分别为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值和最小值.高手支招4典例精析【例1】 当x∈(1,2)时,函数f(x)=12-x x 恒大于正数a,试求函数y=lg(a 2-a+3)的最小值. 思路分析:欲求y=lg(a 2-a+3)的最小值,则应知a 2-a+3的最小值,于是必须确定a 的取值范围,即必须先求函数f(x)= 12-x x 的最小值. 解:y′=(12-x x )′=222)12(1)12(212)12()12()12(--=---=-'---'x x x x x x x x x ,当x∈(1,2)时,y′＜0,∴f(x)在(1,2)上单调递减,于是f(x)min =f(2)=32. 由题意知a 的取值范围是a ＜32. ∴y=lg(a 2-a+3)=lg ［(a 21)2+411］,故当a=21时,y min =lg 411. 【例2】 已知A 、B 两地相距200千米,一只船从A 地逆水到B 地,水速为8千米/时,船在静水中的速度为v 千米/时(8＜v≤v 0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比,当v=12千米/时时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少? 思路分析:燃料费最省,实质是求函数的最小值.解:设每小时的燃料费为y 1,比例系数为k(k ＞0),则y 1=kv 2,当v=12时,y 1=720,∴720=k·122,得k=5.设全程燃料费为y,由题意y=y 1·8100082002-=-v v v , ∴y′=2222)8(16001000)8(1000)8(2000--=---v v v v v v v . 令y′=0,∴v=16.∴当v≥16时,船的实际速度为16千米/时时,全程燃料费最省; 当v ＜16且实际速度∈(8,v］时,y′＜0,即y 在(8,v ］上为减函数,∴当实际速度为v ＜16时,y min =810002-v v . 综上,当v≥16时,实际速度为16千米/时时,全程燃料费最省,为32 000元;当v ＜16时,则实际速度为v 时,全程燃料费最省,为810002-v v . 【例3】(2006福建高考，文21)已知f(x)是二次函数,不等式f(x)＜0的解集是(0,5)且f(x)在区间［-1,4］上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m,使得方程f(x)+x37=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由.思路分析:本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.解:(1)∵f(x)是二次函数,且f(x)＜0的解集是(0,5),∴不妨设f(x)=ax(x-5)(a ＞0).f(x)的对称轴为x=2.5,经比较可知,-1和4当中-1离2.5较远，∴f(x)在区间［-1,4］上的最大值12在x=-1处取得,f(-1)=6a=12,∴a=2,∴f(x)=2x(x -5)=2x 2-10x(x∈R )。
高中数学 第三章 导数应用 3.2导数在实际问题中的应用 3.2.2.2 导数在实际问题中的应用课件 北师大版选修22
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)因为次品率
3������
p=4������+32,
所以当每天生产 x 件时,有 x·4������3+������32件次品,
有x
1-
3������ 4������+32
件正品.
所以
T=200x· 1-
3������ 4������+32
-100x·4������3+������32=25·64���������+���-8������2(x∈N+).
用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=
������ 3������ +
5
(0≤x≤10).若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层
建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)当隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
第2课时 导数在实际问题中的应用
1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
1.解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情 境”译为“数学语言”,找出问题的主要关系,抽象成数学问题,然后用 可导函数求最值的方法求最值.
2.解决优化问题的基本思路.
反思解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立 利润的函数关系,常见的基本等量关系有:
(1)利润=收入-成本;
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(单位:吨)与每吨产品的价格 p(单位:元/吨)之间的关系式为 p=24 200-15x2,且生产 x 吨的成本为 R=50 000+200x(元).问该厂每月生产 多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少万元?
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大 值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题； （2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其 成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
L( x ) x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 (3 x )2 1.52 x2 1 0,
x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 , 1.25 x 2 6 x 9 0. 解得 x 1.2 和 x 6 (舍去). 答： ……
2013-8-20
实际生活中的很多优化问题的解决都可归结 为寻求一个量的最值问题,一个量的最值问题转化 为数学问题通常都是求一个函数的最值问题,而函 数的最值问题的解决导数是一个强有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
建立数学模型
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
2013-8-20
E A D 600 b C
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
2013-8-20
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
高中数学 第三章 导数应用教案 北师大版选修2-2
北师大版高中数学选修2-2第三章《 导数应用》全部教案§1 函数的单调性与极值第一课时 导数与函数的单调性（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。
2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数单调性的判定 教学难点：函数单调区间的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． （二）．新课探究1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动 中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图 像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入 水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增； 在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．（三）．典例探析例1、已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+> 因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”． 例4、求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数． （四）．课堂练习：课本P59页练习1（1）；2（五）．回顾总结：（1）函数的单调性与导数的关系；（2）求解函数()y f x =单调区间；（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性（六）．布置作业：课本P62页习题3-1A 组1、2 五、教后反思：第二课时 导数与函数的单调性（二）一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。
3.2导数在实际问题中的应用 教案(北师大版选修2-2)
§2 导数在实际问题中的应用2．1实际问题中导数的意义2．2最大值、最小值问题(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生从导数的定义出发，发现实际问题中导数的意义，探索导数在研究实际问题中的方法；引导学生发现闭区间上连续函数存在最值，探求导数求最值的方法和步骤；(2)简单运用导数求解实际问题，求函数的最值问题．2．过程与方法通过导数实际意义的探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和挖掘问题本质特征的能力；通过函数最值的研究和求解，掌握导数法研究函数的策略，培养学生独立解决问题的能力，体会数形结合和分类讨论的数学方法．3．情感、态度与价值观(1)通过对导数实际意义的探究学习，体会数学与生活的关系及数学的应用价值，培养探索精神和创新意识；(2)通过函数最值的探究和应用，体会导数在研究函数中的作用，学习用数学的思维方式解决问题，领会数学的价值．●重点难点重点：通过具体问题的研究，会求导数在实际问题中的意义；掌握导数法求最值的步骤．难点：导数在实际问题中的意义的判断，极值与最值的关系．教学时，从具体实际问题出发，引导学生从数学角度和实际意义出发，将函数值、自变量同实际问题结合，并从导数的定义出发阐述导数的实际意义，从而突破难点．从具体问题中研究函数的极值与最值，并通过运算求解发现极值与最值的关系，掌握导数法求最值的步骤，并通过练习强化重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在学生学习了导数的概念，用导数研究函数的单调性、极值之后，是对前面所学知识的应用，也是对导数本质特征的深化．所以本节内容可以在学生熟悉的方面入手，以问题为导引，揭示导数在具体问题中的实际意义，并研究函数的最值．本节课宜采取问题导引式课堂教学模式，即在教师精心准备的问题的指引下，通过学生独立思考及合作交流，使学生充分质疑、探究下，认识导数，运用导数.●教学流程创设情境，提出问题，闭区间上的连续函数必存在最值吗？最值在何处取得？⇒引导学生画图分析，探求最值点的存在，及研究方法.⇒师生交流，揭示规律.最值点可在极值点或端点处取得.⇒通过例1及变式训练，更深入理解导数与实际生活的密切联系.⇒通过例2及变式训练，掌握求函数最值的方法和步骤.⇒通过例3及变式训练，培养逆向思维能力，更熟练掌握最值求法.⇒探究导数在最优化问题中的应用，完成例4及变式训练.⇒归纳小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正. 课标解读1.了解实际问题中导数的意义及最大值，最小值的概念．(难点)2.理解函数的最值与导数的关系．(重点)3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题．(难点)导数的实际意义 问题：某人拉动一个物体前进，他所做的功W (单位：J )是时间t (单位：s )的函数，设这个函数可以表示为W ＝w (t )＝t 3－4t 2＋10t . (1)t 从1 s 到4 s 时W 关于t 的平均变化率是多少？(2)上述问题的实际意思什么？(3)W ′(1)的实际意义是什么？【提示】 (1)W (4)－W (1)4－1＝40－73＝11(J/s)． (2)它表示从t ＝1 s 到t ＝4 s 这段时间内，这个人平均每秒做功11 J. (3)W′(t )＝3t 2－8t ＋10.W ′(1)＝5表示在t ＝1 s 时每秒做功5 J.在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．例如中学物理中，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等．函数的最值与导数 1.函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值点x 0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f (x 0)．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最小值点x 0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f (x 0)． 2．最大值与最小值最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得．因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值．函数的最大值和最小值统称为最值.导数在日常生活中的意义 也不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝5 284100－x(80<x <100)．(1)求c ′(x )；(2)求c ′(90)，c ′(98)，并解释它们的实际意义．。
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数应用小结与复习课件
2019/8/16
例4: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所
y
围成的图形中有一个
内接矩形ABCD,求这
个矩形的最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
(1)求a、b的值；
(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值
解:(1)
f
范围.
(x) 3ax
2
2bx,
由题意得:
f (1) 2
f (1) 3
ab2 3a 2b 3
a b
1 .
3
(2) f ( x) 3x2 6x 3x( x 2) 0,解得x>0或x<-2.
2019/8/16
题型一： 利用导数求切线斜率、瞬时速度
例1 求垂直于直线 2x 6 y 1 0 ，且与曲线 y x3 3x2 1 相切的直线方程.
解法提示：在某一点切线的斜率或在某一 时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的导数.
2019/8/16
题型二 ：求函数的单调区间.
例2试确定函数 y 1 ln x 1 的单调区间.
练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是 增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上 的值域.
答:由已知得 f (0) f (2) 0可, 求得c=0,b=-3,从而f(x)= x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x) 在[-1,4]上的值域是[-4,16].
高中数学第三章导数应用3.2导数在实际问题中的应用教案1北师大版选修2
导数的实际应用（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最值。
2、过程与方法：通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法 二、教学重点：函数建模过程 教学难点：函数建模过程 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：利用导数求函数极值和最值的方法 （二）、探究新课例1、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积260)(322xx h x x V -== )600(<<x ． 23()602x V x x '=- )600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略） 由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2令 22()Vs R R'=-+4πR=0解得，h=2V R π即h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3、已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q <<1214L q '=-+ 令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =答：产量为84时，利润L 最大（三）、小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.（四）、课堂练习：第69页练习题（五）、课后作业：第69页A组中1、3 B组题。
高中数学 3.2 导数在实际问题中的应用课件 北师大版选修2-2
由于在(0,R)内,函数只有一个极值点,根据题意知,最大值存在,∴当
-5-
§2 导数在实际问题中的应用
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
探究一求函数的最值
1.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤 第 1 步:求 f(x)在开区间(a,b)内所有使 f'(x)=0 的点. 第 2 步:计算函数 f(x)在区间内使 f'(x)=0 的所有点和端点的函数值,其 中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 2.利用导数法求最值,实质是比较某些特殊的函数值来得到最值.因此, 我们可以在导数法求最值的基础上进行变通,令 f'(x)=0 得到方程的根 x1,x2,…,直接求得函数值 f(x1),f(x2),…,然后去与端点的函数值比较就可以了, 省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合,也可以求最值.
已知函数 f(x)=
得 x2=1-ln x,显然 x=1 是方程的解, 令 g(x)=x2+ln x-1,x∈(0,+∞),
则 g'(x)=2x+ >0,∴函数 g(x)在(0,+∞)上是增加的,
∴x=1 是方程 f'(x)=0 的唯一解. ∵当 0<x<1 时,f'(x)= ������2 -1>0, 当 x>1 时,f'(x)<0,∴函数 f(x)在(0,1)上是增加的,在(1,+∞)上是减少的, ∴当 x=1 时,函数有最大值 f(x)max=f(1)=-1.
2021_2022学年高中数学第三章导数应用2导数在实际问题中的应用课件北师大版选修2_2
100
当且仅当
=2.7x,即 x= 时,W 取得最大值 38.
3
9
探究一
探究二
思维辨析
综合①②知,当x=9时,W取得最大值为38.6万元.
答:当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的
年利润最大,最大值为38.6万元.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练3有甲,乙两个工厂,甲厂位于一笔直河岸的岸边A处,乙厂
件,考虑自变量的实际意义.本题中函数的定义域为(0,35].
探究一
探究二
思维辨析
500
480 000
+300x,且函数的定义域为
解:(1)依题意,得 y= (960+0.6x2)=
(0,35],
480 000
+300x,x∈(0,35].
480 000
(2)由(1)知 y'=- 2 +300,
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.
故当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,
最少为11.25升.
探究一
探究二
思维辨析
因不注意实际问题的定义域而致误
【典例】 现有一批货物由海上从A地运往B地.已知轮船的最大航
行速度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小
上的最大值和最小值的步骤:
(1)求y=f(x)在[a,b]内的极值.
①求导数f'(x);
②求方程f'(x)=0的全部实根;
③检查f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右两侧的值的符号,如果左正右