概率论-大数定律和中心极限定理习题和例题
x /15 0.5 140 P{15Y x} 0.95 42 中解得 x 2252.
三、给定 x 和概率，求 n
补充例5
用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？ 根据题意 Xn 服从 b(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。
解： 依题意，显然有， {X n }是一个独立同分布的随机变量序列，只要存在 有限的公共数学期望，则{X n }的算术平均值依概率收敛于其公共数学期 望，由于X i 服从[5,53]上的均匀分布，所以E[ X i ] (53 5) / 2 29, i 1, 2, , n
1 n 所以，当n 时，n 次服务时间的算术平均值 X i以概率1收敛于29 （分钟）. n i 1
n = 271
补充例6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.
解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
(1) P( X 5) C
5 500
0.015 0.99495 ＝0.17635
5.5 5 4.5 5 4.95 4.95
Y
k 1
n
k
n a 14
2 X 12 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 32n 2 X 3n 1 X 3n P a, n n
5.11 假设某洗衣店为第i个顾客服务的时间X i 服从区间[5,53](单位：分钟) 上的均匀分布，且对每个顾客是相互独立的，试问当n 时，n 次服务时 1 n 间的算术平均值 X i以概率1收敛于何值？ n i 1
解：设Yk =X 32k 2 X 3k 1 X 3k ,由于{ X n }是独立同分布的随机变量序列 所以， {Yn }也是独立同分布的随机变量序列，且
2 2 2 Y X X X X X X X k 1 2 3 4 5 6 3 n 2 X 3 n 1 X 3 n k 1 n
P k1 n k2 P k1 0.5 n k2 0.5
k2 0.5 np k1 0.5 np np(1 p) np(1 p)
我们这门课对修正不做要求
中心极限定理的应用例题补充
注：本题参考答案有误
二项分布的正态近似
定理5.2.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设Yn 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有
Yn np lim P x (x) n np(1 p )
注意点
二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正：
有关大数定律习题选讲
5.5 设{ X n }是独立同分布的随机变量序列，且假设E[ X n ] 2, Var[ X n ] 6, 证明：
2 X 12 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 32n 2 X 3n 1 X 3n P a, n , n 并确定常数a之值.
P X n / n p 0.05 2 0.05 n / p (1 p ) 1 0.90
解：用 Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
从中解得 0.05 n / p(1 p) 1.645 又由 p(1 p ) 0.25 可解得 n 270.6
E[Yk ] E[ X 32k 2 X 3k 1 X 3k ] E[ X 32k 2 ] E[ X 3k 1 X 3k ] Var[ X 3k 2 ] ( E[ X 3k 2 ]) 2 E[ X 3k 1 ]E[ X 3k ] 6 4 4 14 k 1, 2, , n {Yn }满足辛钦大数定律条件，所以
一、给定 n 和 x，求概率
补充例3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E[Y]=90，Var[Y]=9. 由此得：
85 0.5 90 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP{Y 85} 1 0.966. 9
二、给定 n 和概率，求 x
补充例4
有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证供电充足?
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42. 设供电量为x, 供电充足即为15Y≤x，则从
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
(2) 应用正态逼近: P(X=5) = P(4.5 < X < 5.5) = 0.1742
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
五、大数定律与中心极限定理(答案)
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第五章 大数定律与中心极限定理一、选择题：1．设n μ是n 次重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>均有lim {}n n P p n με→∞-≥ [ A ]（A ）0= （B ）1= （C ）0> （D ）不存在2．设随机变量X ，若2() 1.1,()0.1E X D X ==，则一定有 [ B ]（A ）{11}0.9P X -<<≥ （B ）{02}0.9P X <<≥（C ）{|1|1}0.9P X +≥≤ （D ）{|}1}0.1P X ≥≤》3．121000,,,X X X 是同分布相互独立的随机变量，~(1,)i X B p ，则下列不正确的是 [ D ]（A ）1000111000i i X p =≈∑ （B）10001{}i i P a X b =<<≈Φ-Φ∑ （C ）10001~(1000,)i i X B p =∑ （D ）10001{}()()i i P a X b b a =<<≈Φ-Φ∑二、填空题：1．对于随机变量X ，仅知其1()3,()25E X D X ==，则可知{|3|3}P X -<≥2．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0-，则根据契比雪夫不等式{}6P X Y +≥≤三、计算题：1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg ，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少解：设第i 件零件的重量为随机变量i X ，根据题意得0.1.i EX ==5000500011()50000.52500,()50000.0150.i i i i E X D X ===⨯==⨯=∑∑ ;5000500012500(2510)110.92070.0793.i i i X P X P =->=>≈-Φ≈-=∑∑2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布。
大数定律习题全面汇总
第五章 大数定律与中心极限定理〔练习题〕1.随机的掷6个骰子，利用切贝谢夫不等式估计6个骰子出现点数之和在15点到27点之间的概率.解：设i ξ为第i 个骰子出现的点数(1,2,3,4,5,6)i =，它们相互独立.ξ为6个骰子出现的点数之和，即1ki i ξξ==∑.那么有1234562166i E ξ+++++==， 2222112112113512666666612i D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯++-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故21E ξ=，352D ξ=.由切贝谢夫不等式得 2351352(1527)(216)10.514672P P ξξ-<<=-<≥=-≈. 2.一本300页的书中每页印刷错误的个数服从参数为0.2的普哇松分布，求这本书的印刷错误总数不多于70的概率.解：设第i 页的印刷错误个数为(1,2,,300)i i ξ=，那么0.2i E ξ=，0.2i D ξ=且i ξ相互独立，故所求概率为()300000170 1.290.90153i i P ξ=⎛⎫⎛⎫≤≈Φ=Φ=Φ= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑. 3.对敌人阵地进展1000次炮击，炮弹的命中颗数的期望为0.4，方差为3.6，求在1000次炮击中，有380颗到420颗炮弹击中目标的概率近似值.解：设第i 次炮击击中颗数为(1,2,,1000)i i ξ=，有0.4i E ξ=， 3.6i D ξ=那么有1000000010113804203312120.629310.25863i i P ξ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫<≤≈Φ-Φ=Φ-Φ- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=Φ-=⨯-= ⎪⎝⎭∑ 4.某电教中心有100台彩电，各台彩电发生故障的概率为0.02，每台彩电工作是相互独立的.试分别用二项分布、普哇松分布和中心极限定理计算彩电出故障台数不少于1的概率.解：〔1〕根据题意设(100,0.02)B ξ，那么有100(1)1(0)1(0.98)0.8674P P ξξ≥=-==-=〔2〕根据普哇松定理，100n =，0.02p =，2np =，那么有2(1)1(0)10.8647P P e ξξ-≥=-==-=〔3〕根据中心极限定理，有0001(1)111(0.7143)0.7641.4P ξ-⎛⎫≥≈-Φ=-Φ=-Φ-= ⎪⎝⎭ 5.设(1,2,,50)i i ξ=是相互独立的随机变量，它们都服从参数为0.02的普哇松分布.利用中心极限定理计算5012i i P ξ=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑. 解：设501i i ξξ==∑，因为0.02i E ξ=，0.02i D ξ=，故1E ξ=，1D ξ=，那么有500012(2)11(1)10.84130.1587i i P P ξξ=⎛⎫≥=≥≈-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭∑ 6.某车间有200台机床，它们独立工作且开工率各为0.6，开工时耗电各为1kW.问供电所至少要供应这个车间多少电力，才能以99.9℅的概率保证这个车间不会因供电缺乏而影响生产？解：设m 为某时刻工作着的机床台数，200n =，0.6p =，某时刻m 台机床工作，需耗电m kW.设供电数为r kW ，根据题意有 ()0.999P m r ≤≥而又有00()P m r ≤≈Φ=Φ故00.999Φ≥查表可得3.1≥ 所以141r ≥.因此，假设向该车间供电141kW ，那么由于供电缺乏而影响生产的概率小于0.001.。
大数定律和中心极限定理例题与解析
在大量随机选取的人群中测量身高, 这些身高的平均值将接近正 态分布, 这也是中心极限定理的一个应用实例。
中心极限定理的应用
概率论与统计学
中心极限定理是概率论和统计学中的基本原理 之一, 用于研究随机变量的分布和统计推断。
金融领域
中心极限定理在金融领域中也有广泛应用, 例如在资 产定价、风险管理和投资组合优化等方面。
例题一解析
要点一
题目
一个班级有30名学生, 每个学生随机选择一个1-100之间的整 数。求这30个随机数的平均数大于50的概率。
要点二
解析
首先, 根据大数定律, 当试验次数足够多时, 随机数的算术平 均值趋近于期望值。在本题中, 每个随机数的期望值是50, 因 此30个随机数的平均数期望值是50。其次, 根据中心极限定 理, 当试验次数足够多时, 随机变量的算术平均值的分布趋近 于正态分布。因此, 这30个随机数的平均数大于50的概率可 以通过正态分布的概率密度函数计算得出。
大数定律的实例
抛硬币实验
如果我们抛硬币1000次，虽然单次抛 硬币的结果是随机的，但当我们计算 正面朝上的频率时，会发现这个频Βιβλιοθήκη 会逐渐趋近于50%。生日悖论
在一个有30人的房间里，存在一定概 率两个人生日相同，这个概率随着人 数的增加而趋近于100%。
大数定律的应用
概率论与统计学
大数定律是概率论和统计学中的 基本原理, 用于估计概率和预测未 来的随机事件。
例题三解析
题目
一个彩票公司发行了100万张彩票, 每张彩票都有一个独立 的随机数生成器生成的一个随机数。求至少有1张彩票的随 机数小于1的概率。
解析
首先, 根据大数定律, 当试验次数足够多时, 随机数的频率趋 近于概率。在本题中, 每张彩票的随机数小于1的概率是 1/100（即每张彩票生成的随机数小于1的概率是固定的）。 其次, 根据中心极限定理, 当试验次数足够多时, 随机变量的 独立同分布的随机变量和的分布趋近于正态分布。因此, 这 100万张彩票中至少有1张彩票的随机数小于1的概率可以 通过正态分布的概率密度函数计算得出。
概率论及数理统计教程习题(第四章大数定律及中心极限定理)
习题10 (切比雪夫不等式)•填空题1.设随机变量X的数学期望E(X) ,方差D(X) 2,则由切比雪夫不等式，得P(X 3 )2.随机掷6枚骰子，用X表示6枚骰子点数之和，则由切比雪夫不等式，得P(15 X 27)3.若二维随机变量(X,Y)满足，E(X) 2，E(Y) 2，D(X) 1，D(Y) 4，R(X,Y) 0.5，则由切比雪夫不等式，得P(X 丫 6)4.设X1, X2， ,X n，是相互独立、同分布的随机变量序列，且E(X i) 0, D(X i) 一致有n界(i 1,2, ,n,)，则lim P( X i n) .ni 1二•选择题1.若随机变量X的数学期望与方差都存在，对 a b，在以下概率中，( )可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。
①P(a X b)；②P(a X E(X)b)；③P( a X a)；④P(X E(X)b a).12.随机变量X服从指数分布e()，用切比雪夫不等式估计P(X | -) ( )①；②2③4；④-.)1.lim P(nX i 2三•解答题1.已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量X 是一个随机变量，若 E(X) 7300,D(X ) 7002，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。
2.如果X-X 2, ,X n 是相互独立、同分布的随机变量序列，E(X i )3.设X i ，X 2， ,X n ，是相互独立、同分布的随机变量序列,E(X i 4)存在，且一致有界(i 1,2, ,n,).对任意实数 0，证明D(X i )8 (i 1,2, ,n) •记 XX i ， 由切比雪夫不等式估计概率p(X 4).E(X i ) 0，D(X i )•填空题1.若随机变量X 服从正态分布 N(2,4)，则P(X 3)P(0 X 4) ________________ ，P(X 1)5.随机变量X 1,X 2相互独立，且都服从标准正态分布，记丫 2 3X 1 4X 2，则丫概率密度f Y (y)_________________ . ________________•选择题6.若随机变量 X 1,X 2 ,,X n 相互独立，且X i ~ N(,2) (i 1 n1,2, ,n),则 D(— X i )n i 1( )①2 ；②n2; ③2/n ；④2/n 2.7.若随机变量 X,Y 相互独立, 且都服从正态分布N(:,2).设X Y ,X Y ，则cov(,)( ).①2 2 ;②1 ;③ 1;④0.X Y8.若随机变量 X,Y 满足 X ~ N(1, 32) , Y ~ N(0, 42) , R(X,Y) 1/2，则 D( ) 3 2( ).④2.11 (特征函数)2.若随机变量X ~ N (2)，且 P(X c) P(X c)，则 c3.若随机变量X ~ N(2, 2)，且P(2 X4) 0.3，则 P(X 0)4.若X 服从正态分布 N ( 2)，记 P( k X当 0.9时，k，当 0.95 时，k•解答题1.某种电池的寿命X (单位：h )服从正态分布N(300, 352) . (1)求寿命大于250小时的概率，(2)求x，使寿命在300 x之间的概率不小于092.测量某一目标的距离时，随机误差X ~ N(0, 402)(单位：m)(1)求P(X 30)，(2)若作三次独立测量，求至少有一次测量误差的绝对值不超过30米的概率。
概率论-大数定律和中心极限定理习题和例题
有关大数定律习题选讲
5.5 设{ X n }是独立同分布的随机变量序列，且假设E[ X n ] 2, Var[ X n ] 6, 证明：
解： 依题意，显然有， {X n }是一个独立同分布的随机变量序列，只要存在 有限的公共数学期望，则{X n }的算术平均值依概率收敛于其公共数学期 望，由于X i 服从[5,53]上的均匀分布，所以E[ X i ] (53 5) / 2 29, i 1, 2, , n
1 n 所以，当n 时，n 次服务时间的算术平均值 X i以概率1收敛于29 （分钟）. n i 1
P k1 n k2 P k1 0.5 n k2 0.5
k2 0.5 np k1 0.5 np np(1 p) np(1 p)
我们这门课对修正不做要求
中心极限定理的应用例题补充
二、给定 n 和概率，求 x
补充例4
有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证供电充足?
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42. 设供电量为x, 供电充足即为15Y≤x，则从
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
2 2 2 Y X X X X X X X k 1 2 3 4 5 6 3 n 2 X 3 n 1 X 3 n k 1 n
大数定律及中心极限定理习题及答案
第 5 章 大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量μξ=)(E ，方差2σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 91 . 2.设nξξξ,,, 21是n 个相互独立同分布的随机变量，),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑==ni in1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n211-. 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =,1(1,2,,9)i DX i ==, 令91i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式直接可得{}≥<-ε9X P 291ε-. 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有22{||}P X σμεε-≥≤, 或者22{||}1.P X σμεε-<≥-由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以999111()()19,i i i i i E X E X E X μ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑9992111()()19.i i i i i D X D X D X σ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑4. 设随机变量X 满足：2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 116≤. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则对任意的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤=5、设随机变量2σξμξξ==)(,)(,D E ，则≥<-}|{|σμξ2P 43.6、设n ξξξ,,, 21为相互独立的随机变量序列，且),,( 21=i i ξ服从参数为λ的泊松分布，则≤-∑=∞→}{lim x n n P ni in λλξ1∞--xt dt e22 .7、设n η表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则≈≤<}{b a P n η⎰-----)1()1(2221p np np b p np np a t dt e π.8. 设随机变量n ξ, 服从二项分布(,)B n p , 其中01,1,2,p n <<=, 那么, 对于任一实数x , 有lim {|||}n n P np x ξ→+∞-<= 0 .9. 设12,,,n X X X 为随机变量序列,a 为常数, 则{}n X 依概率收敛于a 是指{}=<->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 1 ,或{}=≥->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 0 。
(完整word版)第五章大数定律与中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理一、填空题1．设2(),()E X D X μσ==,则由切比雪夫不等式有{||3}P X μσ-≥≤ 1/9 ； 2．设随机变量12,,,n X X X 相互独立同分布，且()i E X μ=，()8i D X =，(1,2,,)i n =， 则由切比雪夫不等式有{}||P X με-≥≤28n ε 。
并有估计{}||4P X μ-<≥ 112n-； 3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且都服从参数为 的泊松分布，则 1lim n i i n X n P x n λλ=→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑ ()x Φ ；4．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和3，方差分别为1和4,而相关系数为0.5-，则根据切比雪夫不等式，{||6}P X Y +≥≤；解：因为 ()()()220E X Y E X E Y +=+=-+=,cov(.)()()0.5141XY X Y D X D Y ρ==-=-， ()()()2cov(.)142(1)3D X Y D X D Y X Y +=++=++⨯-=，故由切比雪夫不等式,231{||6}{|()0|6}612P X Y P X Y +≥=+-≥≤=. 5．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，都服从参数为2的指数分布，则n →∞时，211n n i i Y X n ==∑依概率收敛于 。
解:因为 11(),(),(1,2,,)24i i E X D X i n ===，所以 22111()()()442i i i E X D X E X =+=+=,故由辛钦大数定律，对0ε∀>,有{}2111lim ()lim 12n n n i n n i P Y E Y P X n εε→∞→∞=⎧⎫-<=-<=⎨⎬⎩⎭∑,即 211n n i i Y X n ==∑依概率收敛于21()2i E X =。
大数定律与中心极限定理 定义与例题
三、典型例题
一加法器同时收到 例1 20 个噪声电压 Vk ( k 1 , 2 , 20 ), 设它们是相互独立的随 且都在区间 ( 0 ,10 ) 上服从均匀分布 机变量 , ,记 V
k 1
20
Vk ,
求 P { V 105 } 的近似值 .
解 E (V k ) 5 ,
解：对每台车床的观察作为一次试验，
每次试验观察该台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为0.6，共进行200次试验. 用X表示在某时刻工作着的车床数， 依题意， X~B(200,0.6), 设应供应N千瓦电力,现在的问题是：求满足 P(X≤N)≥0.999 的最小的N.
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np np(1 p)
i1
n
Xi
n
1
n
EX i
i1
0.
切比雪夫不等式
如 果 随 机 变 量 X的 数 学 期 望 EX 和 方 差 DX 存 在 , 则 对于任一正数, 都有 P
X EX
DX
2
证 明 ： 对 于 任 给 正 数 , 由 切 比 雪 夫 不 等 式 ,有 1 D n
i1
n
Xi
n
1
n
EX i
i1
0.
辛钦大数定律
设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 分 布 , 且 数 学 期 望 存 在 ,则 对 于 任 意 0, 有 1 li m P n n
i1
n
X i 0.
例1 判 断 下 列 说 法 的 对 错 , 并 简 述 理 由 : (1 ) 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 具 有 密 度 f ( x ), 则 序 列 X 1 , X 2 , , X n , 满 足 辛 钦 大 数 定 律 . ( 2 ) 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 , 则 X 1 , 2 X 2 , , n X n , 满 足 切 比 雪 夫 大 数 定 律 .
概率论与数理统计+第五章+大数定律及中心极限定理+练习题
滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第五章 大数定律及中心极限定理一、填空题1．设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为0.05．现在对100个这样的元件进行超负荷试验，以X 表示不能承受试验而烧毁的元件数，则根据中心极限{}≈≤≤105X P ．2．设试验成功的概率p=20%，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率Q ≈ ．3．将一枚均匀对称的硬币接连掷10000次，则正面恰好出现5000次的概率≈α ．4．将一枚色子重复掷n 次，则当∞→n 时，n 次掷出点数的算术平均值n X 依概率收敛于 ．5．随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2, 方差分别为1和4, 而相关系数为-0.5, 则根据切比雪夫不等式≤≥+)6|(|Y X P ．6．已知随机变量X 的数学期望为10，方差DX 存在且1.0)4020(≤<<-X P ，则≥DX ．7．设 ，n X X X ,,,21为独立同分布的随机变量序列，且),2,1( =i X i 服从参数为2的指数分布，则∞→n 当时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于 ． 8．设 ，n X X X ,,,21为独立同分布的随机变量序列，且),2,1( =i X i 服从参数为0>λ的泊松分布，若∑==ni i X n X 11，则对任意实数x ，有≈<)(x X P ． 二、选择题1．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，n n X X X S +++= 21，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当n 充分大时n S 近似服从正态分布，只要n X X X ,,,21 （ ）．(A) 有相同期望和方差； (B) 服从同一离散型分布；(C) 服从同一指数分布； (D) 服从同一连续型分布．2．下列命题正确的是（ ）．(A) 由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律；(B) 由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律；(C) 由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律；(D) 由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律．3．设随机变量X 的方差为2, 则根据切贝雪夫不等式有估计{}≤≥-2||EX X P （ ）．（A ）21； （B ）31； （C ）41； （D ）81． 4．设随机变量 ，n X X X ,,,21独立同分布，其分布函数为 ∞<<∞-+=x b x a x F ,arctan 1)(π，0≠b 则辛钦大数定律对此序列（ ）． （A ）适用； （B ）当常数a 和b 取适当数值十适用；（C ）不适用； （D ）无法判别．5．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立, n n X X X S +++= 21, 则根据列维-林德伯格(Levy-Lindeberg)中心极限定理, 当n 充分大时, n S 近似服从正态分布, 只要nX X X ,,,21 （ ）．(A)有相同的数学期望； (B)有相同的方差；(C)服从同一指数分布； (D)服从同一离散型分布．6．设 ，n X X X ,,,21为独立同分布的随机变量序列，且),2,1( =i X i 服从参数为1≠λ的指数分布，则（ ）．（A ）)()(lim 1x x n n X P n i i n Φ=≤-∑=+∞→λ； （B ）)()(lim 1x x nn X P n i i n Φ=≤-∑=+∞→；（C ）)()(lim 1x x n X P n i i n Φ=≤-∑=+∞→λλ； （D ）)()(lim 1x x n X P n i i n Φ=≤-∑=+∞→λλ． 三、解答题1．设n ν是n 次伯努利试验成功的次数，p(0<p<1)是每次试验成功的概率，n f n n ν=是n次独立重复试验成功的频率，设n 次独立重复试验中，成功的频率f n 对概率p 的绝对偏差不小于Δ的概率{}α=∆≥-p f n P ． 试利用中心极限定理，(1) 根据∆和n 求α的近似值； (2) 根据α和n 估计∆的近似值； (3) 根据α和∆估计n ．2．假设某单位交换台有n 部分机，k 条外线，每部分机呼叫外线的概率为p ．利用中心极限定理，解下列问题：(1) 设n =200，k =30，p =0.12，求每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率α的近似值；(2) 设n =200，p =0.12，问为使每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率α≥95%，至少需要设置多少条外线？(3) k =30，p =0.12，问为使每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率α≥95%，最多可以容纳多少部分机？3．设n X X X ,,,21 是独立同分布随机变量，n X 是其算术平均值．考虑概率 {}αμ=∆≥-n X P ，其中μ=i EX ()n i .,2,1 =，()0>∆∆和α(0<α<1)是给定的实数．试利用中心极限定理，根据给定的，(1) ∆和n ，求α的近似值；(2) α和n ，求∆的近似值；(3) α和∆，估计n ．4．某保险公司接受了10000电动自行车的保险，每辆每年的保费为12元．若车丢失，则车主得赔偿1000元．假设车的丢失率为0.006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：(1) 亏损的概率α；(2) 一年获利润不少于40000元的概率β；(3) 一年获利润不少于60000元的概率γ．5．假设伯努利试验成功的概率为5%．利用中心极限定理估计，进行多少次试验才能以概率80%使成功的次数不少于5次．6．生产线组装每件产品的时间服从指数分布．统计资料表明，每件产品的平均组装时间为10分钟．假设各件产品的组装时间互不影响．试利用中心极限定理，(1) 求组装100件产品需要15到20小时的概率Q ；(2) 求以概率0.95在16个小时内最多可以组装产品的件数．7．将n 个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数．试利用中心极限定理估计，(1) 试当n =1500时求舍位误差之和的绝对值大于15的概率；(2) 估计数据个数n 满足何条件时，以不小于90%的概率，使舍位误差之和的绝对值小于10的数据个数n ．8．利用列维-林德伯格定理，证明棣莫佛-拉普拉斯定理．9．设X 是任一非负（离散型或连续型）随机变量，已知X 的数学期望存在，而 0>ε是任意实数，证明不等式{}εεXX P ≤≥．10．设事件A 出现的概率为=p 0.5，试利用切比雪夫不等式，估计在1000次独立重复试验中事件A 出现的次数在450到550次之间的概率α．11．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，(1)利用切比雪夫不等式估计：X 落在以μ为中心，σ3为半径的区间内的概率不小于多少？(2)如果已知),(~2σμN X ，对上述概率，你是否可得到更好的估计？12．利用切比雪夫不等式来确定，当抛掷一枚均匀硬币时，需抛多少次，才能保证正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90%，并用正态逼近去估计同一问题． 13．设 ，n X X X ,,,21为独立同分布的随机变量序列，且 ,2,1,,2===i DX EX i i σμ，令∑=+=n i i n iX n n Y 1)1(2，试证明：μP n Y →． 14．设}{n X 为一列独立同分布的随机变量序列，其概率密度函数为⎩⎨⎧<≥=--ax a x e x f a x 0)()( 令},,,m in{21n n X X X M =，试证：a M Pn →．15．在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时，其家属可向保险公司领取1000元的赔偿费．试求：（1）保险公司没有利润的概率为多大？（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？16．已知生男孩的概率近似地等于0.515，求在10000个婴孩中，男孩不多于女孩的概率．17．某药厂断言，该工厂生产的某种药品对于医治一种疑难的疾病的治愈率为0.8，某医院试用了这种药品进行治疗，该医院任意抽查了100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，医院就接受药厂的这一断言，否则就拒绝这一断言．问：（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.8，那么，医院接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，那么，医院接受这一断言的概率是多少？18．一生产线生产的产品成箱包装, 每箱的重量是随机的, 假设每箱平均重50kg, 标准差为5kg ． 若用最大载重量为5吨的汽车承运, 试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977．(977.0)2(=Φ)．19．一家有800间客房的大宾馆的每间客房内装有一台2kW （千瓦）的空调机，若该宾馆的开房率为70%，试问应供应多少千瓦的电力才能以99%的概率保证有充足的电力开动空调机？20．设有30个电子器件，他们的使用寿命（单位：小时）3021,,,T T T 均服从平均寿命为10小时的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用等等． 令T 为30个器件使用的总计时间，求T 超过350小时的概率．。