进位制
1.3.2 进位制(共31张PPT)
4.把 98(5)转化为九进制数为 解析:98(5)=9×51+8×50=53,
.
故 98(5)=58(9). 答案:58
5.127(8)化为六进制数的最高位数字是 解析:∵127(8)=1×82+2×8+7=87,
.
∴127(8)=223(6). 答案:2
应用示例 例 1 把二进制数 110011(2)化为十进制数. 解:110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×1 6+1×2+1=51. 点评:先把二进制数写成不同位上数字与 2 的幂的乘积之和的 形式,再按照十进制的运算规则计算出结果.
题型二
k 进制数化为十进制数
【例题 2】将下列各数化成十进制数. (1)11001000(2); (2)310(8). 分析:解答本题可按其他进制转化为十进制的方法,先写成不同 位上的数乘以基数的幂的形式,再相加求和. 解:(1)11001000(2)=1×27+1×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+ 0×20=200; (2)310(8)=3×82+1×81+0×80=200.
程序框图如图所示.
程序: INPUT “a,k,n=”;a,k,n b=0 i=1 t=a MOD 10 DO b=b+t������k (i-1) a=a\10 t=a MOD 10 i=i+1 LOOP UNTIL i>n PRINT b END
^
(3)十进制数 a 化为非十进制的 k 进制数 b 的算法是除 k 取余 法. 算法步骤: 第一步,给定十进制正整数 a 和转化后的数的基数 k. 第二步,求出 a 除以 k 所得的商 q,余数 r. 第三步,将得到的余数依次从右到左排列. 第四步,若 q≠0,则 a=q,返回第二步;否则,输出全部余数 r 排列得 到的 k 进制数.
进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。 比如：
满二进一，就是二进制； 满十进一，就是十进制； 满二进一，就是二进制； 满十进一，就是十进制； 满十二进一，就是十二进制； 满六十进一，就是六十进制 满十二进一，就是十二进制； 满六十进一，
基数： 基数：
所以， 所以，89=324（5）
）、非十进制之间的转换 （4）、非十进制之间的转换
借助十进制来转化 你能将1234 转化为八进制吗? 你能将1234(5)转化为八进制吗?
1234(5) =1×5 +2×5 +3×5 +4×5 =194
3 2 1 0
8 8
194 24 8 3 0
余数 2 0 3
∴ 1234(5) = 194 = 302 (8)
89=2×44+1 × 89=2×44+1 × 44=2×22+0 =2×(2×22+0)+1 × × × 22=2×11+0 =2×(2×(2×11+0)+0)+1 × × × × 11=2×5+1 =2×(2×(2×(2×5+1)+0)+0)+1 × × × × × 5= 2×2+1 × =2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1 × × × × × 所以89=2×(2×(2×(2×(2 ×2+1)+1)+0)+0)+1 所以 × × × × =2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1 × × × × =2×(2×(2×(23+2+1)+0)+0)+1=2×(2×(24+22+2+0)+0)+1 × × × × × =2×(25+23+22+0+0)+1=26+24+23+0+0+20 × 89=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20 × × × × × × × 所以： 所以：89=1011001（2） ） 除2取余法
进位制 课件
类型 一 k进制数转化为十进制数
【典型例题】
1.把七进制数123化成十进制数为
.
2.下列各数85(9),301(5),
1000(4)中最小的数是
.
【解题探究】1.七进制数从右边数第二位的数字若是 k(k=0,1,2,3,4,5,6),其在十进制中表示的数是多少? 2.相同进制中,位数越多的数越大对吗?不同进制中的数如何比 较大小? 探究提示:1.表示的数是7k. 2.对,相同进制中,位数越多的数越大,不同进制中的数需化为同 进制中的数比较大小,通常都化为十进制数.
【互动探究】把题2中的四进制数化为十二进制数. 【解题指南】结合题2的解法,转化为十进制数458,然后再化 为十二进制数. 【解析】由本题2的解答知13022(4)=458, 再把十进数458化为十二进制数. 458=322(12), 故13022(4)=322(12).
【解析】1.选C.因为 所以15=1111(2),故C正确.
2.先把四进制数13022化为十进制数. 13022(4)=1×44+3×43+0×42+2×4+2×40 =256+192+0+8+2 =458. 再把十进制数458化为六进制数. 458=2042(6). 故13022(4)=2042(6).
除k取余法
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)七进制的基数是7,用0,1,2,3,4,5,6六个数字表示.( ) (2)任何进位制中都要用到数字0.( ) (3)不同进位制中,十进制的数比二进制的数大.( )
提示:(1)正确.由几进制的基数就是几知(1)正确. (2)正确.0在进位制中都是要用到的数. (3)错误.不同进位制中的数,要化为同一进位制下的数才能比 较大小. 答案:(1)√ (2)√ (3)×
进位制 课件
进位制的概念
【问题导思】 十进制使用 0～9 十个数字，那么二进制使用哪些数字？ 六进制呢？ 【提示】 二进制使用 0～1 两个数字，六进制使用 0～ 5 六个数字．
进位制是人们为了 计数和运算方便 而约定的记数系 统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是 几 .
进位制之间的相互转化
例如：230 451(k)＝2×k5＋3×k4＋0×k3＋4×k2＋5×k＋ 1.
十进制转化为k进制 (1)将 194 化成八进制数； (2)将 48 化成二进制数． 【思路探究】 除 k 取余→倒序写出→标明基数 【自主解答】 (1)
∴194 化为八进制数为 302(8)．
(2) ∴48 化为二进制数为 110 000(2)．
1．将十进制化成 k 进制的方法：用除 k 取余法，用 k 连 续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将各步所 得的余数倒序写出，即为相应的 k 进制数．
2．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．十 进制数一般不标注基数．
不同进位制之间的转化 将七进制数 235(7)转化为八进制数． 【思路探究】 七进制→十进制→八进制 【自主解答】 235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124， 利用除 8 取余法(如图所示)．
∴124＝174(8)， ∴235(7)转化为八进制为 174(8)．
1．本题在书写八进制数 174(8)时，常因漏掉右下标(8)而 致误．
2．对于非十进制数之间的互化，常以“十进制数”为中 间桥梁，用除 k 取余法实现转化．
【问题导思】 二进制数 110 011(2)化为十进制数是多少？ 【提示】 110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋ 1×21＋1×20＝51.
数字进位制
数字进位制一、十进制（Decimal System）十进制是我们日常生活中最常用的进位制。
它由0-9这10个数字组成。
每一位的权值都是10的幂次方，从右往左依次为10^0、10^1、10^2...以此类推。
在十进制中，数字的数值大小由高位到低位依次递增，方便人们理解和计算。
二、二进制（Binary System）二进制是计算机系统中最基础的进位制。
它只由0和1这两个数字组成。
每一位的权值都是2的幂次方，从右往左依次为2^0、2^1、2^2...以此类推。
二进制中的数值大小由高位到低位递增，与十进制不同的是，每一位只能是0或1，所以运算更加简单高效。
三、八进制（Octal System）八进制是一种较为少见的进位制，它由0-7这8个数字组成。
每一位的权值都是8的幂次方，从右往左依次为8^0、8^1、8^2...以此类推。
八进制在计算机领域中用得较少，但在Unix系统中经常使用，例如文件权限的表示就是用八进制。
四、十六进制（Hexadecimal System）十六进制是计算机系统中常见的进位制之一。
它由0-9和A-F这16个数字组成，其中A-F分别表示10-15。
每一位的权值都是16的幂次方，从右往左依次为16^0、16^1、16^2...以此类推。
十六进制在计算机领域中广泛应用，例如表示颜色、内存地址等。
五、三进制（Ternary System）三进制是一种基于3的进位制。
它由0-2这3个数字组成。
每一位的权值都是3的幂次方，从右往左依次为3^0、3^1、3^2...以此类推。
三进制在现实生活中较少使用，但在某些领域如电子工程中有一定应用，例如存储器中的三值逻辑。
六、五进制（Quinary System）五进制是一种基于5的进位制。
它由0-4这5个数字组成。
每一位的权值都是5的幂次方，从右往左依次为5^0、5^1、5^2...以此类推。
五进制在现实生活中较少使用，但在某些领域如音乐理论中有一定应用，例如五线谱的音符表示就是用五进制。
进位制
a=rnrn-1„r1r0(2)
思考 你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗? 解:第一步:先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30 =81+18+6+1=106.
第二步:再把十进制数化为二进制数: 106=1101010(2).
∴10221(3)=106=1101010(2).
思考：那么二进制数与十进制数之间是如 何转化的呢?
例1:把二进制数110011(2)化为十进制数.
分析:先把二进制数写成不同位上数字与2的 幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规 则计算出结果. 解:110011(2) =1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 =1×32+1×16+1×2+1=51. [引申]你会把三进制数10221(3)化为十进制数吗? 解:10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31 +1×30 =81+18+6+1=106.
如十进制可使用的数字有0 ~ 9十个数字,基数是10; 二进制可使用的数字有0和1,基数是2; 十六进制可使用的数字或符号有0 ~ 9等10个数字以 及A ~ F等6个字母(规定字母A ~ F对应10~15),十六进制的 基数是16.
注意:为了区分不同的进位制,常在数字的 右下脚标明基数. 如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数. 十进制数一般不标注基数.
意思是:(1)第一个数字an不能等于0; (2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k.
进位制
例如： 例如：
十进制
2398（10） ）
表示的是： 个一千 个一千； 个一百 个一百； 个十 个十； 个一组成的数字 个一组成的数字。 表示的是：2个一千；3个一百；9个十；8个一组成的数字。 也可以用一个式子来表示： 也可以用一个式子来表示：
与十进制的计数类似， 与十进制的计数类似，其他的进位制也是可以按照上面 的方法计数。 的方法计数。 例： 可以表示为： 可以表示为： 八进制 425（8） ）
例：（1）平时的计算，是满十进一的，我们称十进制 平时的计算，是满十进一的， （2）计算机里面，是满二进一的，我们称二进制 计算机里面，是满二进一的， 一年有十二个月，每过十二个月就叫一年， （3）一年有十二个月，每过十二个月就叫一年， 是满十二进一的。 是满十二进一的。 我们称是十二进制 一天有二十四个小时， （4）一天有二十四个小时，每过二十四个小时就 叫一天。即满二十四进一。 叫一天。即满二十四进一。称二十四进制
（ D ）
D。111111（2） 。 ）
答：将四个答案全部转化为十进制的数字
A：77 ：
B：78 ：
C：64 ：
D：63 ：
本节课我们主要学习了关于进 位制的一些知识 1：进位制的定义。 ：进位制的定义。 2：进位制的基数，表示，判断，计数，互化。 ：进位制的基数，表示，判断，计数，互化。
），（3） 一：P48 A组。3（1），（ ）要求写出计算式子 组 （ ），（ 二：思考：P40 思考： 探究。 探究。
（1） 111001（2） ； ） ） （2） ） 421（5） ） （3） 12012（3） ； ） ） （4） 3276（8） ） ）
答：
（1） ） （2） ） （3） ） （4） ）
数的进位制
数的进位制预备知识：进位制的基本概念及p 进制化为10进制。
1.．．我们已知道10进制的记数原理。
如一个10进制数1999=910991101023+⨯+⨯+⨯。
一般地，a b c d e =ed c b a +⨯+⨯+⨯+⨯10101010234（其中a,b,c,d,e 均是0—9的数码，且a 0≠）也就是说每个数都可以按．．．．．．．10．．的方幂形式展开．．．．．．．10进制数有以下特点：（1）“10”是这种进位制的基数，逢．．．．10．．进一．．。
（2）表示一个数需要用0，1，2…9 这10个不同的数码。
（3）数码处在不同的位置（数位）表示的意义不同，如在1999中左边第一个9代表900，而左边第二个9代表90。
说每个数都可以按10的方幂形式展开。
2.按照10进制数的特点，我们可以推广到p 进制数。
设p 是不为1的正整数，我们可以选p 为基数，确定p 进制数。
要求（1） 逢p 进一（2） 在p 进制中有0，1，2…(p-1)共p 个数码。
（3） 每个数都能按p 的方幂展开。
如p=5时就是5进制数，在5进制中5为基数，逢5进一，只使用0，1，2，3，4共5个数码。
每个数都能按5的方幂展开，5进制a 记为（a ）5 ，例（12345）5=453215523+⨯+⨯+⨯ 一． 把一个p 进制数转化为10进制数。
一般的一个p 进制数N=（a a a a n 321）p 转化为10进制数，只要 把N 按p 的降幂形式展开即可，然后安通常的十进制数相加就得到所求的十进制数。
即（a a a a n 321）p =a p a p a n n n +⨯+⨯--2211 例1将)7215(12化为10进制。
例2在哪个进制中，10进制数52记为34？例3如果在某个进位制中4466=⨯，那么在这个进位制中76是10进制中的哪个数？。
进位制
二，概念介绍
进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的 计数系统。 比如：满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进 制；满十六进一，就是十六进制。 基数： “满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几 例如：满二进一，就是二进制，二进制的基数就是二
三，探究新知
哪位同学能描述一下十进制的有关内容呢？（从下面 几个方面描述）
• 89=2*44+1 44=2*22+0 22=2*11+0 11=2*5+1 5=2*2+1
2
44
2 22 2 11 2 5 2 2 21 0
1
0 0
1 1
0
1
练习:一组同学把89转化为4进制的数 二组同学把89转化为5进制的数
三组同学把89转化为6进制的数制数的算法，称为除K取余法
获胜组的奖励是： 将你的算法用程序框图表示出来，并把它设计为程序 ，明天上课展示给大家。 我们在使用计算机的时，我们输入的一般是10进制的 数，计算机把它们要转化为2进制的数，然后再进行 运算，那么怎样把10进制的数化为2进制的数呢？
k进制 转化为十进制
例1、把89化为二进制数.
2 89
余数
一，知识背景
我们平时在数数的时候，１９后面是２０，２９后面是 ３０，等等，也就是说，当数数时候，每当个位数满十， 十位数上就进一位，由1变成2，由2变成3，等等，其 他各位数上都是如此。在此过程中，我们已经用到了进 位制中的十进制。 我们常见的数字都是十进制的,传说，这与古人曾经以手 指计数有关，比如十两等于一斤，十厘米等于一分米等 但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的，同学们， 你们能不能举一些生活中其它进位制的例子，同时说一 说他们的应用呢？
进位制概念及应用
进位制概念及应用一、数的进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意非零自然数n ,我们有n 0=1。
3.k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，L ，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，L ．如二进位制的计数单位是02，12，22，L ，八进位制的计数单位是08，18，28，L ．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+L L （） 十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++L ；二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++L ；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．5.k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．如右图所示:1. 将下面的数转化为十进制的数：()21111 ()21010010 ()54301 ()1608B巩固：请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
进位制
我们平常熟悉的十进制：
（2012）10＝2×103＋0×102＋1×101＋2
其他进制转化为十进制：
（a…bcde）n＝a×n k-1＋……＋b×n3＋c×n2＋d×n＋e
十进制转化为其他进制：
例1.A，B是两个自然数，如果A进位制数47和B进位制数74相等，那么A＋B的最小可能值是多少？
[答疑编号0518330101]
【解答】由已知：4A＋7＝7B＋4，即4A＝7B－3，可见B除以4余1。
又B进制中有7出现，说明B＞7，因此B的最小值是9，相应的计算出A＝15。
所以A＋B最小值是9＋15＝24。
例2.一个十进制的两位数A，它的十位数字为5，另一个R进制数为B，它的各位数字与A分别相等，而且B在十进制中恰好是A的3倍，那么数A 和B在十进制中各是多少？
[答疑编号0518330102]
【解答】设A 在十进制中表示是（），
由已知：5×R＋m＝3×（50＋m），即5×R＝150＋2×m，
1
可见m是5的倍数，因此m＝0或5。
相应的计算出R＝30或32。
所以A和B分别是50、150，或者55，165。
例3.一个自然数的六进制表示与九进制表示均为三位数，并且它们各位数字的排列顺序恰好相反，那么此自然数用十进制表示法写出是多少？
[答疑编号0518330103]
【解答】设自然数在六进制中表示是（），则在九进制中表示是（）。
则36a＋6b＋c＝81c＋9b＋a，35a＝3b＋80c，通过对等式的观察，可以发现b是5的倍数。
又由于b是在六进制中的数，所以，b是0或5。
（1）若b＝0, 则上式变为35a＝80c，即7a＝16c，a需要是16的倍数，a又小于6。
所以，a＝0。
但是a在首位，a又不能等于0。
所以，这样的数字不存在。
（2）若b=5, 则上式变为7a＝3＋16c，a＝5，c＝2。
所以，这个六进制数是（552）6化为十进制是5×62＋5×6＋2＝212。
例4.如果某个自然数可以写成2的两个不同次幂（包括零次幂）的和，我们就称这样的数为“双子数”，比如9＝＋，36＝＋，它们都是双子数。
现有一个双子数是1040。
（1）把1040写成2的两个不同次幂（包括零次幂）的和。
这样的写
2
法唯一吗？
（2）比1040小的双子数共有多少个?
[答疑编号0518330104]
【解答】
（1）1040＝1024＋16＝＋，写法是唯一的。
（2）若某个双子数可以表示成的样子（k＞m），
而且小于1040，则k＜10或者k＝10，m＜4。
当k＜10：则m也小于10，也就是k、m在0到9之间取值，
且不相同，利用排列组合，有=45种。
当k＝10：m＜4：m＝0、1、2或3，4种情况。
因此共有45＋4＝49个。
例5.一副双色牌中，红、黑两种颜色各有10张，分别写着1、2、4、8、16、……、512.小梁从中任意抽取一些牌，计算抽出的牌面上所有数的和.
（1）若算出的和为183，那么小梁最多可能抽取了多少张牌？
（2）小梁有多少种抽取牌的方法，使得算出的和为23？
[答疑编号0518330105]
【解答】
（1）183＝27＋25＋24＋22＋21＋20，其中 26、22、21、20是恰有一个颜
3
色选择，
25、24、23是两种颜色都可以选择的。
所以，最多可能抽取10张。
（2）23＝0＋23＝1＋22＝2＋21＝……＝23＋0。
所以，总共有24种。
例6.有些正整数可以表示成496的不同约数之和，例如36符合条件，因为36可以表示成1＋4＋31；而62本身就是496的约数，那么认为62
也符合条件.
（1）请把104写成496的不同约数之和；
（2）不能写成496的不同约数之和的最小正整数是多少？
[答疑编号0518330106]
【解答】（1） 496＝31×16，所以，104＝62＋31＋8＋2＋1
（2）496＝31×16，因此496的约数有1，2，4，8，16，1×31，2×31，4×31，8×31，16×31。
其所有约数的和为：
1＋2＋4＋8＋16＋1×31＋2×31＋4×31＋8×31＋16×31＝31＋
31×31＝992。
对于小于992的任何一个正整数，都可以表示成n＝31×k＋r，其中
0≤k，r≤31，
将k和r分别用二进制表示，可知31×k可以表示成1×31，2×31，4×31，8×31，16×31中若干个数之和，r可以表示成1，2，4，8，16中若干个数之和。
4
因此n＝31×k＋r一定可以表示成496的若干个互不相同的约数之和。
又993比496的所有约数之和还要大，因此它不能写成496的不同约数之和，
故所求最小正整数就是993。
例7.用a、b、c、d、e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果（ade）5、（adc）5、（aab）5是由小到大排列的连续正整数，那么（cde）
5所表示的整数写成十进制的表示是多少？
[答疑编号0518330107]
【解答】通过分析，得到c＝4，d＝1，e＝3。
（413）5＝4×52＋1×5
＋3＝108。
例8.三个两位数恰构成公差为6的等差数列，而在五进制的表示中，
这三个数的数字和是依次减少的.那么符合这样要求的等差数列有多少
个？
[答疑编号0518330108]
【解答】将6化成五进制数，就是11.因为这3个数的数字和是依次减
少的，这就是说要找到1个五进制数，它加上1个11后有进位，再加1个
11后还有进位.
，说明每一个两位数化成五进制数后最多只有3位.那么进
5
位只可能在个位和十位.
由此我们可以找到两种符合要求的数：a24、a43.在这两种数中，a都有3种选择0、1、2.所以一共有6个符合要求的等差数列.
6。