2021年高三数学小题狂做(9)理
2021届全国天一大联考新高考模拟考试(九)理科数学
2021届全国天一大联考新高考模拟考试（九）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21iz i=+在复平面内对应点的坐标为（ ） A. ()1,1-- B. ()1,1-C. ()1,1D. ()1,1-【答案】C 【解析】 【分析】由除法法则计算复数，化为复数的代数形式，得对应点坐标．【详解】21i i +2(1)1(1)(1)-==+-+i i i i i ，对应点为(1,1)． 故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．属于基础题．2.已知集合{}2|20A x x x =--<，{}|3B x a x a =<<+，若{}|02A B x x ⋂=<<，则AB =（ ）A. {}|23x x -<<B. {}|13x x -<<C. {}|03x x <<D. {}|21x x -<<【答案】B【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解法，求出集合{|12}A x x =-<<，然后根据{|02}A B x x ⋂=<<得出0a =，从而可得出集合B ，然后进行并集的运算，即可求出AB ．【详解】解：由题可知，{}2}|20{|12A x x x x x =-<-=<-<， 由于{|3}B x a x a =<<+，且{|02}A B x x ⋂=<<，0a ∴=，{|03}B x x ∴=<<，{|13}A B x x ∴=-<<．故选：B ．【点睛】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和并集的运算，属于基础题． 3.已知向量()0,1a =，()1,3b =，则a 在b 上的投影为（ ）D.12【答案】B 【解析】 【分析】由向量的数量积公式得出a 与b 的夹角的余弦值，再由cos a θ得出a 在b 上的投影. 【详解】设a 与b 的夹角为θ11a ==，(12b =+=，011a b =⨯+=⋅2cos 3a b ba θ⋅∴=⋅=则a 在b 上的投影为cos 1a θ==故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的几何意义，属于中档题.4.某校2名教师、4名学生分成2个小组，分别到两个不同的实验室做实验.每个小组由1名教师和2名学生组成，则教师A 和学生B 在同一个小组的概率为（ ）A.16B.14C.13D.12【答案】D 【解析】 【分析】把四个学生编号，分配两个给教师A ，写出所示有基本事件可知教师A 和学生B 在同一个小组所含基本事件的个数．即可计算出概率．【详解】4名学生编号为,,,B C D E ，与教师A 同一组的基本事件有,,,,,BC BD BE CD CE DE 共6个，其中教师A 和学生B 在同一个小组所含基本事件有,,BC CD BE 共3个，所以所求概率为3162P ==． 故选：D ．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是用列举法写出事件空间中的所有基本事件．5.某数学小组在国际数学日（每年3月14日）开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟实验的方法获得π的近似值.现通过计算器随机获得500个点的坐标()(),y 01,01x x y <<<<，其中有399个点的坐标满足221x y +≤，据此可估计π的值约为（ ）A. 3.19B. 3.16C. 3.14D. 3.11【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可以通过绘图明确点()(),y 01,01x x y <<<<所在区域以及221x y +≤所表示的区域，然后求出重合的区域面积，最后根据题意以及几何概型的性质即可得出结果.【详解】如图所示，点()(),y 01,01x x y <<<<落在一个边长为1的小正方形内，正方形面积为1，221x y +≤指一个半径为1的圆以及此圆内部的所有区域，圆与小正方形重合的区域面积为4π， 因为获得500个点()(),y 01,01x x y <<<<的坐标，有399个点的坐标满足221x y +≤，所以π43991500，π 3.19， 故选：A.【点睛】本题考查几何概型，能否根据题意准确的绘出图像是解决本题的关键，考查几何概型概率计算公式的灵活使用，体现了基础性，是中档题.6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为4，且两条渐近线夹角为60，则该双曲线的焦距为（ ）A.B. 8C. 4D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以根据双曲线方程得出渐近线方程为b y x a =±，然后根据两条渐近线夹角为60得出3b a =或ba=222c a b =+即可得出结果. 【详解】令22220x y a b -=，则2222y x b a =，b y x a =±，故双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，因为两条渐近线夹角为60，所以其中一条渐近线的切斜角为30或60，b a =ba = 因为实轴长为4，所以2a =，当b a =时，3b =，22443433c a b ，焦距832c ；当ba=b =224124c a b ，焦距28c =，综上所述，该双曲线的焦距为8， 故选：D.【点睛】本题考查根据双曲线的渐近线的相关性质求焦距，能否根据双曲线夹角的度数得出a 、b 之间的关系是解决本题的关键，考查双曲线实轴、虚轴以及焦距三者之间的关系，考查计算能力，是中档题. 7.著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋅⋅⋅表示这些半音的频率，它们满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.若某一半音与#D ）A. #FB. GC. #GD. A【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求得公比，结合题目所求半音与#D 的频率之比，求得该半音. 【详解】依题意可知()01,2,,12,13n a n >=.由于1213,,,a a a ⋅⋅⋅满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，则121111222i i i i a a a a ++⎛⎫=⇒=⎪⎝⎭，所以数列{}()1,2,,12,13n a n =为等比数列，设公比1122q =，#D 对应的频率为4a ，题目所求半音与#D 的频率之41131222⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以所求半音对应的频率为4112482a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.即对应的半音为G .故选：B【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.8.已知函数()tan 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，其图象过点(，则其对称中心为（ ）A. (),046k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B. (),0412k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z C. (),026k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D. (),0212k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 【答案】A 【解析】 【分析】由正切函数的最小正周期公式T πω=求出ω，将点(代入求出ϕ，得出()tan y x ωϕ=+的解析式，根据正切函数的对称中心和利用整体代入法得出232k x ππ+=，即可求出对称中心. 【详解】解：已知函数tan()(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的最小正周期为2ππω=，2ω∴=，即函数tan(2)y x ϕ=+，其图象过点，tan ϕ∴=2πϕ<，3πϕ∴=，则函数tan(2)3y x π=+，令232k x ππ+=()k Z ∈，求得46k x ππ=-，k Z ∈， 则该函数的对称中心为(46k ππ-，0)，k Z ∈. 故选：A.【点睛】本题考查正切函数的图象和性质，以及利用整体代入法求正切型函数的对称中心，考查分析和运算能力.9.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 472πB. 47π+C. 872π+D. 872π【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可得该几何体为长方体中挖去半个圆锥，根据所给数据可计算出表面积. 【详解】由三视图可得该几何体为长方体中挖去半个圆锥，如图所示： 其中2AD DC ==3 所以2PA PB ==，22PC PD == 所以侧面PAD 和侧面PBC 面积相等，均为12222⨯⨯=， 侧面PCD 的面积为()221222172⨯-=半个圆锥的侧面积为1122ππ⨯⨯⨯=，底面积为21221422ππ⨯-⨯=-， 所以该几何体的表面积为22748722πππ++-=，故选：C.【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，属于中档题.10.已知函数21,2()log ,2x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则不等式(21)(4)f x f x +<的解集为（ ） A. 11(,)(,)64-∞-+∞ B. 11(,)(,)42-∞-+∞ C. (,1)(1,)-∞⋃+∞ D. 11(,)(,)22-∞-+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数图象解不等式求解可得.【详解】画出函数图象，由图得：()f x 是偶函数且在(,2)-∞-上单减，在(2+)∞，上单减； (21)(4)f x f x +<，由偶函数性质得当2214x x ≤+<，满足不等式，则12x >因为22x -<<时()1f x = 42x ∴<-时，满足不等式，则21x <- 综上有11(,)(,)22x ∈-∞-+∞ 故选：D【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式.利用指对数函数的单调性，要特别注意底数的取值范围，并在必要时进行讨论 11.若面积为1的ABC 满足2AB AC =，则边BC 的最小值为（ ）A. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由已知利用三角形的面积公式可得21sin AC A=，由余弦定理可求2sin 4cos 5BC A A +=，利用辅助角公式和正弦函数的性质即可求解． 【详解】解：ABC 的面积1S =，且2AB AC =，21sin sin 12ABC S AB AC A AC A ∴===△， 21sin AC A∴=， 根据余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅ 22422cos AC AC AC AC A =+-⋅⋅⋅ 22254cos 54cos (54cos )sin AAC AC A A AC A-=-⋅=-=，即254cos sin ABC A-=，可得2sin 4cos 5BC A A +=，2sin 4cos )5BC A A A α∴+=+=，55sin()A α=≥+，解得：BC ≥即边BC 故选：C.【点睛】本题考查三角形的面积公式、余弦定理和辅助角公式的应用，以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了化简和运算能力.12.当[],x m n ∈时，函数()2sin cos 2310f x x x x x ππ=--++≥恒成立，则n m -的最大值为（ ）A.52B. 2C.32D. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将原不等式恒成立转化为2sin cos 231x x x x ππ---恒成立，设()sin cos g x x x ππ=-，2()231h x x x =--，转化为()()g x h x ≥恒成立，求得它们的交点(0,1)-，3(2，1)-，画出()y g x =和()y h x =的图象，即可得到所求区间和n m -的最大值．【详解】解：由题可知，[],x m n ∈时，函数2()sin cos 2310f x x x x x ππ=--++恒成立， 即为2sin cos 231x x x x ππ---恒成立，设()sin cos g x x x ππ=-，即()2sin()4g x x ππ=-，()g x 为最小正周期为2的函数，且(0)1g =-，35()2sin124g π==-， 设2()231h x x x =--，可得3(0)()12h h ==-，分别作出()y g x =和()y h x =的图象，可得它们有两个交点(0,1)-，3(2，1)-，由题意可得当[0x ∈，3]2时，()()g x h x ≥恒成立，即()0f x 恒成立，此时n m -取得最大值32. 故选：C .【点睛】本题考查不等式恒成立问题，以及正弦函数和二次函数的图象和性质，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.若命题“[]01,2x ∃∈-，00x a ->”为假命题，则实数a 的最小值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据命题为假得到[]1,2x ∀∈-，0x a -≤恒成立，简单计算，可得答案. 【详解】命题“0x R ∃∈，20020x x a --=”为假命题， 故[]1,2x ∀∈-，0x a -≤恒成立.所以[]1,2x ∀∈-，a x ≥恒成立， 故2a ≥ 所以实数a 的最小值为2 故答案为：2.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，掌握等价转化的思想，化繁为简，意在考查学生的推断能力，属基础题.14.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入的a ，b ，c 分别为0.61.5，1.50.6，0.6log 1.5，则输出的结果为________.（结果用a ，b ，c 表示）【答案】b 【解析】 【分析】模拟程序运算，确定变量值．【详解】模拟程序运算，变量值变化如下：开始输入 1.50.60.60.6, 1.5,log 1.5a b c ===， 1.50.6x =，判断0.6 1.51.510.6x >>=，0.61.5x =，判断0.60.61.50log 1.5x =>>，输出0.61.5x =，故答案为：b ．【点睛】本题考查程序框图，考查选择结构，模拟程序运行，观察变量值的变化，判断条件是否满足，可得结论．15.已知点()A ，)B ，动点P 满足APB θ∠=且2cos 12PA PB θ⋅⋅=，则点P 的轨迹方程为__________【答案】2213x y +=【解析】 【分析】根据题意得||AB =由半角公式和余弦定理可得||||PA PB +的值为定值，且大于两个定点A ，B 的距离，由椭圆的定义可得P 的轨迹为椭圆，根据椭圆的几何性质求出a ，c ，b 的值，进而求出椭圆的方程．【详解】解：根据题意，可知||AB = 由2||||cos12PA PB θ=，(0,)θπ∈，则1cos ||||12PA PB θ+=， ||||||||cos 2PA PB PA PB θ∴+=，在ABP △中22222||||||||||8cos 2||||2||||PA PB AB PA PB PA PB PA PB θ+-+-==，222||||cos 8PA PB PA PB θ∴=+-，即22||||cos 42PA PBPA PB θ+=-，22||||||||cos ||||422PA PBPA PB PA PB PA PB θ+∴+=+-=，22||||||||62PA PB PA PB +∴+=，即222||||||||12PA PB PA PB ++=，2(||||)12PA PB ∴+=，所以||||PA PB +=为定值且大于||AB ， 可得P 的轨迹为椭圆，且长轴长223a =，焦距222c =，焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆， 即3a =，2c =，所以2221b a c =-=，所以P 的轨迹方程为：2213x y +=.故答案为：2213x y +=.【点睛】本题考查点的轨迹方程和椭圆的定义及性质的应用，还涉及半角公式及余弦定理的应用，考查化简和计算能力，属于中档题．16.已知四棱锥S ABCD -，底面ABCD 是边长为6的菱形，ACBD O =，SO ⊥底面ABCD 且8SO =.若此四棱锥的内切球的表面积为16π，则该四棱锥的体积为_______. 【答案】642 【解析】 【分析】利用数形结合，根据题意可知球心1O 在SO 上，作1,⊥⊥OE CD O F SE ，可知11,O F O O 为内切球的半径，然后计算SE ，利用等体积法，求得ABCD S ，最后根据体积公式可得结果. 【详解】由题可知：球心1O 在SO 上，作1,⊥⊥OE CD O F SE ，如图由SO ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，则SO CD ⊥⋂=SO OE O ，所以，CD ⊥平面SOE ，又1,⊂O F SE 平面SOE所以1,⊥⊥SE CD O F CD ，又1⊥O F SE ，⋂=SE CD E ，所以1O F ⊥平面SCD 由此四棱锥的内切球的表面积为16π，可知半径为2 所以1112,6===O F O O SO ，由111∠+∠=∠+∠SO F O SF O SF SEO ，所以1∠=∠SO F SEO11121cos cos 63∠=∠===O F SEO SO F O S，则sin 3∠=SEO所以sin ∠==⇒=OS SEO SE SE则11142332⎛⎫⋅=⋅⋅⋅⋅+⋅⇒= ⎪⎝⎭ABCD ABCD ABCD S SO CD SE S S所以13-=⋅=S ABCD ABCD V S SO故答案为：【点睛】本题考查几何体内切球问题，本题关键在于找到球心，以及计算底面菱形的面积，考验分析能力以及计算能力，同时结合数形结合的方法，形象直观，便于理解与计算，属难题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答 （一）必考题：共60分17.已知等差数列{}n a 中，11a =且1a ，2a ，74a -成等比数列、数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足321n n b S -=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）将数列{}n a ，{}n b 的公共项12,,,n k k k a a a ⋅⋅⋅按原来的顺序组成新的数列，试求数列{}n k 的通项公式，并求该数列的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；13n n b -=（2）13122n n k -=+；31424n n n T =+-【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质，可求等差数列{}n a 的公差，从而求得数列{}n a 的通项公式，由()()1112n nn S n b S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，可求得数列{}n b 的通项公式； （2）由（1）得1213n nk --=，所以可得13122n n k -=+，再求和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1a ，2a ，74a -成等比数列，所以()21274a a a -=，即()()112164a a d a d +-=+，()()21631d d -=+⨯，解得2d =.所以21n a n =-.当1n =时，111321b S b -==，因为321n n b S -=，得11321n n b S ---=，（2n ≥） 所以()()1132320n n n n b S b S -----=，得13n n b b -=， 所以数列{}n b 是首项为1，公比3q =的等比数列，所以13n n b -=.（2）依题意，n k n a b =，由（1）得1213n nk --=，113131222n n n k --+==+，所以()0121131333322424n n n n n T -=+++++=+-.【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等，属于中档题.18.如图，在ABC 中，AC BC ⊥，30BAC ∠=︒，4AB =，E ，F 分别为AC ，AB 的中点,PEF 是由AEF 绕直线EF 旋转得到，连结AP ，BP ，CP .（1）证明：AP ⊥平面BPC ；（2）若PC 与平面ABC 所成的角为60°，求二面角P CF B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13- 【解析】 【分析】（1）要证AP ⊥平面BPC ，则证AP PC ⊥和BC AP ⊥；证AP PC ⊥由平面几何知识可得，证BC AP ⊥，只需证EF AP ⊥，即证EF ⊥平面APC ，利用线面垂直判定可得.（2）建立空间直角坐标系，根据PC 与平面ABC 所成的角为60°，可知PEC 为等边三角形，分别计算平面CFB 、平面PCF 的一个法向量，然后根据向量的夹角公式，可得结果. 【详解】解法一：（1）因为PEF 由AEF 沿EF 旋转得到，且E 为AC 中点， 所以AE EC EP ==.所以AP PC ⊥ 又因为F 为AB 的中点，所以EF BC ∥， 又BC AC ⊥，所以EF AC ⊥， 从而EF EP ⊥，又ACEP E =，所以EF ⊥平面ACP ，即BC ⊥平面ACP ，又AP ⊂平面ACP ，所以BC AP ⊥， 又AP PC ⊥且PC BC C ⋂=，所以AP ⊥平面BPC （2）由（1）得EF ⊥平面AEP ，因为EF ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACP 过点P 作PM AC ⊥，交AC 于M 又平面ACP平面ABC AC =，故PM ⊥平面ABC ，所以PCM ∠为PC 与平面ABC 所成的角， 所以60PCM ∠=︒，又EC EP =，所以PEC 为等边三角形， 得MEC 中点，由BC ⊥平面ACP ，AC BC ⊥分别以CA ，CB 为x ，y 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，()0,0,0C ，()23,0,0A ，()0,2,0B ，)3,1,0F，3M ⎫⎪⎪⎝⎭，332P ⎫⎪⎪⎝⎭， 易得平面CFB 的一个法向量为()10,0,1n =，()3,1,0CF =，332CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设()2,,n x y z =为平面PCF 的一个法向量，则：2200n CF n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即303302x y x z +=+=， 令3x =，得()23,3,1n =--，12121213cos ,13n n n n n n ⋅==又因为二面角P CF B --的大小为钝角， 故二面角P CF B --的余弦值为1313- 解法二：（1）因为PEF 由AEF 沿EF 旋转得到，所以EP AE =，又因为E 为AC 的中点，所以AE EC EP ==. 所以2APC π∠=，即AP PC ⊥，同理，AF BF PF ==，得AP BP ⊥， 又BPCP P =，所以AP ⊥平面BPC（2）由（1）得⊥AP BC ，又AC BC ⊥，所以BC ⊥平面APC ，又因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACP . 过点P 作PM AC ⊥，垂足为M ， 因为平面ACP平面ABC AC =，所以PM ⊥平面ABC ，所以PCM ∠为PC 与平面ABC 所成的角，所以60PCM ∠=︒， 因为EC EP =，所以PEC 为等边三角形，所以M 为EC 中点， 取FB 的中点N ，连接MN ，所以MN EF ∥，所以MN ⊥平面PAC ， 分别以MN ，MC ，MP 为x ，y ，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，()0,0,0M ，330,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，32,2B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,2F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 易得平面CFB 的一个法向量为()10,0,1n =，()1,3,0CF =-，330,22CP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设()2,,n x y z =为平面PCF 的一个法向量，则：2200n CF n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即303302x x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 令3x =，得()23,3,1n =，12121213cos ,n n n n n n ⋅==又因为二面角P CF B --的大小为钝角， 故二面角P CF B --的余弦值为13-【点睛】本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，以及线面角，面面角知识，考查推理论证能力、运算求解能力，审清题意细心计算，属中档题.19.某药业公司统计了2010-2019年这10年某种疾病的患者人数，结论如下：该疾病全国每年的患者人数都不低于100万，其中有3年的患者人数低于200万，有6年的患者人数不低于200万且低于300万，有1年的患者人数不低于300万.（1）药业公司为了解一新药品对该疾病的疗效，选择了200名患者，随机平均分为两组作为实验组和对照组，实验结束时，有显著疗效的共110人，实验组中有显著疗效的比率为70％.请完成如下的2×2列联表，并根据列联表判断是否有99.9％把握认为该药品对该疾病有显著疗效；（2）药业公司最多能引进3条新药品的生产线，据测算，公司按如下条件运行生产线：每运行一条生产线，可产生年利润6000万元，没运行的生产线毎条每年要亏损1000万元.根据该药业公司这10年的统计数据，将患者人数在以上三段的频率视为相应段的概率、假设各年的患者人数相互独立.欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进多少条生产线？附：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为该药品对该疾病有显著疗效；（2）应引进2条生产线. 【解析】 【分析】（1）通过计算，直接列出2×2列联表，根据公式计算2K ，即可判断出结果；（2）分引进1条，2条，3条生产线三种情况，分别求解总利润的期望值，即可得出结论. 【详解】（1）列联表如下：由于()222007060403020018.210.8281001001109011K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为该药品对该疾病有显著疗效； （2）根据提议：()31002000.310P x ≤<==，()62003000.610P x ≤<==， ()13000.110P x ≥==， 记药业公司年总利润为ξ（单位：万元）， ①引进1条生产线的情形：由于每年的患者人数都在100万以上，因此运行1条生产线的概率为1，对应的年利润，()600016000E ξ=⨯=；②引进2条生产线的情形：当100200x ≤<时，运行1条生产线，此时600010005000ξ=-=，因此()()5000 1002000.3P P x ξ==≤<=）， 当200x ≥时，运行2条生产线，此时6000212000ξ=⨯=， 因此()()12000200= 0.60.10.7P P x ξ==≥+=， 由此得ξ与的分布列如下：所以()50000.3120000.79900E ξ=⨯+⨯=； ③引进3条生产线的情形：当100200x ≤<时，运行1条生产，此时6000100024000ξ=-⨯=， 因此()()40001002000.3P P x ξ==<<=，当200300x ≤<时，运行2条生产线，此时60002100011000ξ=⨯-=， 因此()()11000 2003000.6P P x ξ==<<=，当300x ≥时，运行3条生产线，此时6000318000ζ=⨯=， 因此()()18000 3000.1P P x ξ==≥=， 由此得ξ与的分布列如下：所以()40000.3110000.618000 0.19600E ξ=⨯+⨯+⨯=，因为9900＞9600＞6000，所以欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进2条生产线.【点睛】本题主要考查随机变量的分布列与期望的计算，考查了独立性检验的应用，考查学生的运算求解能力、数据处理能力与应用意识.20.已知函数()()1ln 0x e f x a x a x x ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()1ln 0xf x a x x +->，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）0e a -<≤ 【解析】 【分析】（1）求出导数后，对a 分类讨论，利用导数可求得函数的单调区间； （2）分离参数后得n 11l xx a e +->在(0,)+∞上恒成立，再构造函数利用导数求出最大值即可得到答案. 【详解】（1）()222(1)e e (1)11()xx x a x f x a x xx x -+-⎛⎫'=+-+= ⎪⎝⎭， 由定义域为()0,∞+，所以e 1x >.当10a -≤≤时，0x e a +>，由()0f x '>，得1x >，由()0f x '<，得01x <<， 所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞； 当1a <-时，令()0f x '=，则1x =或()ln x a =-， 当a e =-时，()ln 1a -=，()0f x '≥恒成立， 所以函数()f x 的递增区间为()0,∞+，无减区间；当1e a -<<-时，()0ln 1a <-<，由()0f x '>，得0ln()x a <<-或1x >，由()0f x '<，得ln()1a x -<<，所以函数()f x 的单调递减区间为()()ln ,1a -，递增区间为()()0,ln a -和()1,+∞；当a e <-时，()ln 1a ->，由()0f x '>，得01x <<或ln()x a >-，由()0f x '<，得1ln()x a <<-， 所以函数()f x 的单调递减区间为()()1,ln a -，递增区间为()0,1和()()ln ,a -+∞.综上，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞； 当a e =-时，函数()f x 的递增区间为()0,∞+，无减区间；当1e a -<<-时，函数()f x 的单调递减区间为()()ln ,1a -，递增区间为()()0,ln a -和()1,+∞； 当a e <-时，函数()f x 的单调递减区间为()()1,ln a -，递增区间为()0,1和()()ln ,a -+∞. （2）依题意得，()()1ln ln 0xxf x a x x e a a x +-=++>在()0,∞+恒成立.①当0a =时，不等式显然成立； ②当0a <时，()1ln xa x e -+<，即n 11l x x a e+->成立， 设()1ln xx g x e +=，则()11ln xxx g x e --'=，设()11ln h x x x=--，则()h x 在()0,∞+单调递减，()10h =，所以，当()0,1x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减. 所以()()max 11g x g e== 所以11a e->，解得(),0a e ∈-. 综上，当0e a -<≤时，()()1ln 0xf x a x x +->.【点睛】本题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.属于中档题. 21.平面直角坐标系xOy 中，动直线AB 交抛物线2:4y x Γ=于A ，B 两点.（1）若90AOB ∠=︒，证明直线AB 过定点，并求出该定点；（2）点M 为AB 的中点，过点M 作与y 轴垂直的直线交抛物线2:4y x Γ=于C 点；点N 为AC 的中点，过点N 作与y 轴垂直的直线交抛物线2:4y x Γ=于点P .设△ABC 的面积1S ，△APC 的面积为2S . （i ）若AB 过定点()2,1，求使1S 取最小值时，直线AB 的方程；（ii ）求12S S 的值.【答案】（1）证明见解析；定点()4,0（2）（i ）230x y --=（ii ）128S S = 【解析】 【分析】（1）设直线AB 的方程，并代入抛物线方程，利用韦达定理和12120x x y y +=可解决；（2）（i ）得到M 、C 的坐标，得到||CM ，进而得到31121211||232S CM y y y y =⋅-=-，再根据二次函数可求得最小值；（ii ）求出122112111||||||2222y y S PN y PN y y +=⋅⋅-=⋅-，求出2121||||64PN y y =-代入12||2||S CM S PN =即可得到结果. 【详解】（1）证明：依题意可设直线AB 的方程为x ty m =+， 代入24y x =消去x 得：2440y ty m --=，216160t m ∆=+>，即20t m +>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y m =-， 因为90AOB ∠=︒，所以12120x x y y +=， 又21114x y =，22214x y =，所以2212121016y y y y +=，故1216y y =-，（120y y =已舍去） 所以416m -=-，得4m =，因此直线AB 的方程为4x ty =+，该直线过定点()4,0. （2）（i ）因为AB 过定点()2,1，所以由（1）得2t m =+，即2mt ，()2216161620t m t t ∆=+=-+>恒成立，124y y t +=，12448y y m t =-=-，由题知得1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21212,162y y y y C ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()()2222212121212121144||21621616y y y y y y y y x x CM +++-+=-=-=， 所以31121211||232S CM y y y y =⋅-=-， 因为12y y -==≥12t =时等号成立，所以331121132324S y y=-≥=当1S取到最小值4时，12t=，32m=，直线AB的方程为1322x y=+，即230x y--=.（ii）依题知可得1121||2S CM y y=⋅-，122112111||||||2222y yS PN y PN y y+=⋅⋅-=⋅-，所以12||2||S CMS PN=，由（2）（i）可知212||16y yCM-=（此处12y y-可以理解为A，B两点的纵向高度差）同理可得22121212121()122||161664y y y yyPN y y⎛⎫+-- ⎪⎝⎭===-，所以21212122||1628||64y ySy yS-==-.【点睛】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.（二）选考题共10分・请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cossinx ry rθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0r>）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的圾坐标方cos4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭l与曲线C相交于A，B两点.（1）求曲线C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）若4r>，点()4,0P满足11PA PB-=r的值.【答案】（1）222x y r +=，40x y --=（2）r =【解析】 【分析】（1）曲线C 的普通方程为222x y r +=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的极坐标方程中，可得到l 的直角坐标方程.（2）写出l的参数方程可设为422x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程与曲线C的普通方程联立，得22160t r ++-=，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则由韦达定理得1221216t t t t r ⎧+=-⎪⎨⋅=-⎪⎩得所求值.【详解】（1）曲线C 的普通方程为222x y r +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的极坐标方程中，得到l 的直角坐标方程为40x y --=.（2）点()4,0P 在直线l 上，则l的参数方程可设为422x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程与曲线C的普通方程联立，得22160t r ++-=，()()2232416432>4r r r ∆=--=->0，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则由韦达定理得1221216t t t t r⎧+=-⎪⎨⋅=-⎪⎩4r >时，212160t t r =-<⋅.所以21212212111616t t t t PA B t P t r r----====--⋅r =. 【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()1f x x a x =-+-.（1）当0a =时，求不等式()1f x ≤的解集A .（2）设()32f x x ≤-的解集为B ，若A B ⊆，求这数a 的值. 【答案】（1）{|01}A x x =≤≤（2）12【解析】 【分析】（1）将0a =代入，则|||1|1x x +-，再利用绝对值不等式的性质即可得解； （2）问题等价于1122x a --在[0x ∈，1]上恒成立，由此建立关于a 的不等式组，解出即可． 【详解】解：（1）当0a =时，()|||1|f x x x =+-，即解不等式|||1|1x x +-， 由绝对值不等式知，|||1||(1)|1x x x x +---=，当且仅当(1)0x x -时取等号，因此()1f x 的解集{|01}A x x =；（2）由A B ⊆，即[0x ∈，1]，不等式3()||2f x x -恒成立，即3||12x a xx -+--，整理得1||2x a -， 故1122x a --在[0x ∈，1]上恒成立， 则1212a x a x ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩在[0x ∈，1]上恒成立，得1212a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 故12a =． 【点睛】本题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等，属于中档题.。
2022届新高考版数学小题狂练09(含解析)
小题专练09解析几何(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:直线的斜率与倾斜角的关系,★)下列命题中,正确的是( ). A .若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大 B .若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α C .若直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是αD .当直线的倾斜角α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增2.(考点:求直线的方程,★)已知直线l 过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l 的方程是( ). A .3x+2y-1=0 B .3x+2y+7=0 C .2x-3y+5=0 D .2x-3y+8=03.(考点:椭圆的标准方程,★)“-1<m<3”是“方程x 2m+1+y 27-m =1表示椭圆”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件4.(考点:求双曲线的渐近线方程,★)若双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为53,则该双曲线的渐近线方程为( ). A .y=±45x B .y=±54xC .y=±43xD .y=±34x5.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,√3),且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4√7x 的准线上,则该双曲线的方程为( ). A .x 221-y 228=1 B .x 228-y 221=1 C .x 23-y 24=1 D .x 24-y 23=16.(考点:求双曲线的离心率,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),以点P (b ,0)为圆心,a 为半径作圆P ,圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若∠MPN=90°,则双曲线C 的离心率为( ). A .√2B .√3C .√52 D .√727.(考点:抛物线定义的应用,★★)已知F 是抛物线x 2=6y 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=9,则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ).A .3B .92C .4D .328.(考点:点差法的应用,★★★)已知椭圆x 236+y 29=1的一条弦被点A (4,2)平分,则此弦所在的直线方程是( ).A .x-2y=0B .x+2y=4C .2x+3y=14D .x+2y=8二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:直线方程的应用,★★)下列说法正确的是( ). A .当x 1≠x 2,y 1≠y 2时,过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为y -y 1y 2-y 1=x -x 1x2-x 1B .点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)C .直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2D .经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=010.(考点:圆的对称性的应用,★★)已知圆O 的方程为x 2+y 2-4x-1=0,则圆O ( ). A .关于点(2,0)对称 B .关于直线y=0对称 C .关于直线x+3y-2=0对称 D .关于直线x-y+2=0对称11.(考点:双曲线的简单几何性质的应用,★★)已知双曲线E :x 24-y 212=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是双曲线右支上的一点,则下列结论正确的是( ). A .|PF 1|-|PF 2|=4B .双曲线E 的离心率是√3C .|PF 1|的最小值是6D .点P 到两渐近线的距离的乘积是312.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 且斜率为√3的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点(点A 在第一象限),与抛物线的准线交于点D ,若|AF|=8,则下列结论正确的是( ). A .p=4B .DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA⃗⃗⃗⃗⃗ C .|BD|=2|BF| D .|BF|=4三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:抛物线的应用,★)已知抛物线y 2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y 2=16相切,则p 的值为 . 14.(考点:直线与圆的位置关系,★★)已知a ,b 为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a )2+(y-b )2=4所得的弦长为2√2,则ab 的最大值为 .15.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线C :x 24-y 2b 2=1(b>0)的左、右顶点分别为A ,B ,点P 在双曲线C 上,且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1,则该双曲线C 的焦距为 .16.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l :y=4x+b 截抛物线C 所得的弦长为17,设点A 为抛物线C 上的动点,点B (2,6),过点A 作抛物线C 的准线l 1的垂线,垂足为D ,则p 的值为 ,|AB|+|AD|的最小值为 .答案解析：1.(考点:直线的斜率与倾斜角的关系,★)下列命题中,正确的是( ). A .若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大 B .若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α C .若直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是αD .当直线的倾斜角α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】当直线的倾斜角α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故A 错误,D 正确;当α=π2时,斜率不存在,故B 错误;只有当α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的倾斜角才是α,故C 错误.故选D . 【答案】D2.(考点:求直线的方程,★)已知直线l 过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l 的方程是( ). A .3x+2y-1=0 B .3x+2y+7=0 C .2x-3y+5=0 D .2x-3y+8=0【解析】因为直线2x-3y+4=0的斜率为23,所以直线l 的斜率为-32,所以直线l 的方程为y-2=-32(x+1),即3x+2y-1=0. 【答案】A3.(考点:椭圆的标准方程,★)“-1<m<3”是“方程x 2m+1+y 27-m =1表示椭圆”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【解析】因为方程x 2m+1+y 27-m =1表示椭圆,所以{m +1>0,7-m >0,m +1≠7-m ,解得-1<m<3或3<m<7.故“-1<m<3”是“方程x 2m+1+y 27-m =1表示椭圆”的充分不必要条件. 【答案】A4.(考点:求双曲线的渐近线方程,★)若双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为53,则该双曲线的渐近线方程为( ). A .y=±45x B .y=±54x C .y=±43x D .y=±34x【解析】因为双曲线的离心率为53,即e=c a =53, 所以c=53a ,又c 2=a 2+b 2,所以b=43a ,所以b a =43,所以该双曲线的渐近线方程为y=±43x. 【答案】C5.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,√3),且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4√7x 的准线上,则该双曲线的方程为( ). A .x 221-y 228=1 B .x 228-y 221=1C .x 23-y 24=1D .x 24-y 23=1【解析】由题意可得√3=2ba . ①因为抛物线y 2=4√7x 的准线是x=-√7,所以c=√7,即a 2+b 2=c 2=7. ② 联立①②,解得{a =2,b =√3,所以双曲线的方程为x 24-y 23=1. 【答案】D6.(考点:求双曲线的离心率,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),以点P (b ,0)为圆心,a 为半径作圆P ,圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若∠MPN=90°,则双曲线C 的离心率为( ).A .√2B .√3C .√52 D .√72【解析】设双曲线C 的一条渐近线为bx-ay=0,且与圆P 交于M ,N 两点,因为∠MPN=90°,所以圆心P 到直线bx-ay=0的距离为2√a 2+b2=b 2c =√22a ,即2c 2-2a 2=√2ac ,因为e=ca >1,解得e=√2.【答案】A7.(考点:抛物线定义的应用,★★)已知F 是抛物线x 2=6y 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=9,则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ). A .3 B .92 C .4 D .32【解析】由题意可得F (0,32),抛物线的准线方程为y=-32.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|=y 1+y 2+3=9,解得y 1+y 2=6,∴线段AB 中点的纵坐标为3,即线段AB 的中点到x 轴的距离为3. 【答案】A8.(考点:点差法的应用,★★★)已知椭圆x 236+y 29=1的一条弦被点A (4,2)平分,则此弦所在的直线方程是( ).A .x-2y=0B .x+2y=4C .2x+3y=14D .x+2y=8【解析】设过点A 的直线与椭圆相交于E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)两点,则有x 1236+y 129=1,x 2236+y 229=1,两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)36+(y 1-y 2)(y 1+y 2)9=0.又∵A 为弦EF 的中点,且A (4,2),∴x 1+x 2=8,y 1+y 2=4,∴836(x 1-x 2)+49(y 1-y 2)=0, ∴k EF =y 1-y 2x 1-x 2=-12,∴过点A 且被该点平分的弦所在直线的方程是y-2=-12(x-4),即x+2y-8=0.【答案】D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:直线方程的应用,★★)下列说法正确的是( ). A .当x 1≠x 2,y 1≠y 2时,过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为y -y 1y 2-y 1=x -x 1x2-x 1B .点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)C .直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2D .经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 【解析】对于A,当x 1≠x 2,y 1≠y 2时,过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为y -y 1y2-y 1=x -x 1x2-x 1,故A 正确;对于B项,点(0,2)与(1,1)的中点坐标为(12,32),满足直线方程y=x+1,并且两点连线的斜率为-1,所以点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1),所以B正确;对于C项,直线x-y-2=0在两坐标轴上的截距分别为2,-2,故直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是12×2×2=2,所以C正确;对于D项,经过点(1,1),且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0或y=x,所以D不正确.【答案】ABC10.(考点:圆的对称性的应用,★★)已知圆O的方程为x2+y2-4x-1=0,则圆O().A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称【解析】x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5,所以圆心O的坐标为(2,0).对于A项,圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,所以A选项正确;对于B项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,所以B选项正确;对于C项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线x+3y-2=0过圆心,所以C选项正确;对于D项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线x-y+2=0不过圆心,所以D选项不正确.【答案】ABC11.(考点:双曲线的简单几何性质的应用,★★)已知双曲线E:x24-y212=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上的一点,则下列结论正确的是().A.|PF1|-|PF2|=4B.双曲线E的离心率是√3C.|PF1|的最小值是6D.点P到两渐近线的距离的乘积是3【解析】由双曲线E:x 24-y212=1,得a2=4,b2=12,c2=a2+b2=16,解得a=2,b=2√3,c=4,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=4,所以A正确;离心率e=ca =42=2,所以B错误;当点P在右顶点时,|PF1|取得最小值,即|PF1|min=a+c=6,所以C正确;因为双曲线的渐近线方程为y=±bax=±√3x,设点P(x0,y0),则x024-y0212=1,即3x02-y02=12,则点P 到直线y=√3x 和y=-√3x 的距离的乘积为|√3x 0-y 0|2×|√3x 0+y 0|2=|3x 02-y 02|4=124=3,所以D 正确.【答案】ACD12.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 且斜率为√3的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点(点A 在第一象限),与抛物线的准线交于点D ,若|AF|=8,则下列结论正确的是( ). A .p=4B .DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA⃗⃗⃗⃗⃗ C .|BD|=2|BF| D .|BF|=4 【解析】如图所示,分别过点A ,B 作抛物线C 的准线m 的垂线,垂足分别为点E ,M.抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ,则|PF|=p ,由于直线l 的斜率为√3,其倾斜角为60°,又∵AE ∥x 轴,∴∠EAF=60°,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF 为等边三角形,∴∠EFP=∠AEF=60°,则∠PEF=30°,∴|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8,解得p=4,故A 选项正确;∵|AE|=|EF|=2|PF|,又PF ∥AE ,∴F 为AD 的中点,则DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 选项正确; ∵∠DAE=60°,∴∠ADE=30°,∴|BD|=2|BM|=2|BF|,故C 选项正确; ∵|BD|=2|BF|,∴|BF|=13|DF|=13|AF|=83,故D 选项错误.【答案】ABC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:抛物线的应用,★)已知抛物线y 2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y 2=16相切,则p 的值为 . 【解析】抛物线的准线方程为x=-p2,准线与圆相切,则3+p2=4,解得p=2.【答案】214.(考点:直线与圆的位置关系,★★)已知a ,b 为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a )2+(y-b )2=4所得的弦长为2√2,则ab 的最大值为 .【解析】由题意可得圆心(a ,b )到直线x+y+1=0的距离d=√22-(2√22)2=√2,故√2=√2.又a ,b 为正实数,故a+b=1,所以ab ≤(a+b 2)2=14,当且仅当a=b=12时取等号.【答案】1415.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线C :x 24-y 2b2=1(b>0)的左、右顶点分别为A ,B ,点P 在双曲线C 上,且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1,则该双曲线C 的焦距为 . 【解析】由双曲线方程可知A (-2,0),B (2,0), 设P (x 0,y 0),则k PA ·k PB =y 0x+2·y 0x-2=y 02x 02-4=1,即x 02-y 02=4. 又x 024-y 02b 2=1,∴b 2=4,∴c 2=a 2+b 2=8,∴双曲线C 的焦距2c=4√2. 【答案】4√216.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l :y=4x+b 截抛物线C 所得的弦长为17,设点A 为抛物线C 上的动点,点B (2,6),过点A 作抛物线C 的准线l 1的垂线,垂足为D ,则p 的值为 ,|AB|+|AD|的最小值为 .【解析】抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为(p2,0),直线l 过焦点,故b=-2p ,即直线l :y=4x-2p.设直线l 与抛物线C 交点的横坐标分别为x 1,x 2,联立{y 2=2px ,y =4x -2p ,得8x 2-9px+2p 2=0,所以x 1+x 2=98p ,故x 1+x 2+p=178p=17,解得p=8,所以y 2=16x.易知点B (2,6)在抛物线外,所以|AB|+|AD|=|AB|+|AF|≥|BF|=2√10,当B ,A ,F 三点共线时等号成立. 【答案】8 2√10。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试(九)数学(理科)
2021届全国天一大联考新高考模拟考试（九）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1.已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A. {|0}x x <B. {|01}x xC. {|10}x x -<D. {|1}x x -【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 补集，然后求()RAB【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<，所以 (){|1}RA B x x =-.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题. 2.若复数z 与其共轭复数z 满足213z z i -=+，则||z =（ ）A.B.C. 2D.【解析】 【分析】设z a bi =+，则2313z z a bi i -=-+=+，得到答案.【详解】设z a bi =+，则222313z z a bi a bi a bi i -=+-+=-+=+，故1a =-，1b =，1z i =-+，z =.故选：A .【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.3.已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为ˆ12yx a =+，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A. 100万元 B. 101 万元C. 102万元D. 103万元．【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算出x 、y ，进而可得12a y x =-，代入9x =即可得解. 【详解】由题意()18.27.887.98.185x =++++=，()19289898793905y =++++=， 所以12901286a y x =-=-⨯=-，所以ˆ126y x =-， 当9x =时，ˆ1296102y=⨯-=. 故选：C.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 4.已知向量()()3,2,1,1a x b =-=，则“1x >”是“a 与b 夹角为锐角”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当51x =>时，()()2,2,1,1,a b a ==与b 的夹角为0， 不是锐角，所以充分性不成立，若a 与b 的夹角为锐角，则320,1a b x x ⋅=-+>>必要性成立，∴“1x >”是“a 与b 夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：A .5.已知函数()y f x =的部分图象如图，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()tan f x x x =+B. ()sin 2f x x x =+ C. 1()sin 22f x x x =- D. 1()cos 2f x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】首先通过函数的定义域排除选项A ，再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数的单调性排除选出B ，确定答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为R ，而函数()tan f x x x =+的定义域不是R,所以选项A 不符合题意； 由图象可知函数是一个奇函数，选项D 中，存在实数x ， 使得1()cos ()2f x x x f x -=--≠-，所以函数不是奇函数，所以选项D 不符合题意； 由图象可知函数是增函数，选项B ，()12cos 2[1,3]f x x =∈-'+，所以函数是一个非单调函数，所以选项C 不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项C ，()1cos 20f x x =-≥，所以函数是增函数，所以选项C 符合题意. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.已知二项式121(2)n x x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A. 240 B. 120 C. 48 D. 36【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n =即6n =，写出二项式展开式的通项公式3362162r rr r T C x--+=⋅⋅，令3302r -=即可得解. 【详解】由题意264n=，解得6n =，则1162211(2)(2)n x x x x+=+，则二项式1621(2)x x +的展开式的通项公式为6133622166122rrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=即2r ，则6426622240rr C C -⋅=⋅=.故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7.已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）A. B.323π C. 12π D.643π【答案】B 【解析】 【分析】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、221OA m ⎫=+-⎪⎪⎝⎭，利用22OD OA =即可得m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解.【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，由题意可得1O 为BCD 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ， 过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形，ABC 是边长为3，2CD =，∴33AG =，13BD =11O G =，设1OO m =，则33HA m =， ∴222211134OD DO OO m =+=+，22223312OA OH HA m ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 由22OD OA =可得22133314m m ⎫+=+⎪⎪⎝⎭，解得32m =， ∴三棱锥A BCD -外接球的半径21324R m =+=， ∴此三棱锥外接球的体积343233V R ππ==. 故选：B.【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.8.已知数列{}n a 的通项公式是6n n a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()sin()0||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭， 的部分图像如图所示，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为（ ）A. 1-B. 0C.12D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像得到()sin(2)3f x x π=+，sin 33n n a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，6n n a a +=，计算每个周期和为0，故20201234S a a a a =+++，计算得到答案.【详解】741234T πππ=-=，故T π=，故2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，2sin()033f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故2,3k k Z ϕππ+=∈，故2,3k k Z πϕπ=-∈，当1k =时满足条件，故3πϕ=， ()sin(2)3f x x π=+，sin 633n n n a f πππ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()66sin 33n n a n a ππ++⎛⎫= ⎪⎝⎭=+， 13a =，20a =，332a =-，432a =-，50a =，632a =，每个周期和为0， 故202012343S a a a a =+++=. 故选：D .【点睛】本题考查了数列和三角函数的综合应用，意在考查学生计算能力和综合应用能力. 9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数中任取6个不同的数，则这6个数的中位数恰好是112的概率为（ ） A.11050B.1525C.435D.635【答案】D 【解析】 【分析】首先利用组合求出任取6个不同的数的取法，然后再分类讨论：以5,6为中间两个数或以4,7为中间两个数，利用组合分别求出取法，再利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】从10个数中任取6个不同的数的取法有610210C =种，其中中位数是112的取法要分两类： 一类以5,6为中间两个数，取法共有225330C C =种；另一类以4,7为中间两个数，取法共有22426C C =. 则所求的概率为306621035+=. 故选：D【点睛】本题考查了计数原理、古典概型，考查了计算能力，属于基础题.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11B C 的中点，点F 是线段1CD 上的一个动点．有以下三个命题：①异面直线1AC 与1B F 所成的角是定值； ②三棱锥1B A EF -的体积是定值；③直线1A F 与平面11B CD 所成的角是定值． 其中真命题的个数是( ) A. 3 B. 2C. 1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】以A 点为坐标原点，AB,AD,1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系, 可得1AC =(1,1,1),1B F =(t-1，1，-t)，可得11AC B F =0,可得①正确； 由三棱锥1B A EF -的底面1A BE 面积为定值，且1CD ∥1BA ,可得②正确；可得1A F =(t ，1，-t)，平面11B CD 的一个法向量为n =（1，1，1），可得1cos ,A F n 不为定值可得③错误，可得答案.【详解】解:以A 点为坐标原点，AB,AD,1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，可得B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0),1A (0,0,1),1B (1,0,1),1C (1,1,1),1D (0,1,1),设F(t ，1，1-t)，（0≤t≤1），可得1AC =(1,1,1),1B F =(t-1，1，-t)，可得11AC B F =0，故异面直线1AC 与1B F 所的角是定值，故①正确；三棱锥1B A EF -的底面1A BE 面积为定值，且1CD ∥1BA ,点F 是线段1CD 上的一个动点，可得F 点到底面1A BE 的距离为定值，故三棱锥1B A EF -的体积是定值，故②正确；可得1A F =(t ，1，-t)，1B C =(0,1,-1),11B D =(-1,1,0),可得平面11B CD 的一个法向量为n =（1，1，1），可得1cos ,A F n 不为定值，故③错误; 故选B.【点睛】本题主要考查空间角的求解及几何体体积的求解，建立直角坐标系，是解题的关键. 11.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=，点,A B 在l 上的投影分别为点,M N ，若四边形ABNM 的面积为S ，则2S AB的最大值为（ ）A.12B. 1C.32D. 2【答案】B 【解析】 【分析】设AF x =，BF y =，由抛物线的定义得AF AM x ==，BF BN y ==，在ABF 中，根据余弦定理可得()22AB x y xy --=，从而求出梯形ABNM =，利用梯形的面积公式结合基本不等式即可求解.【详解】设AF x =，BF y =，则由抛物线的定义得AF AM x ==，BF BN y ==， 在ABF 中，由余弦定理得2222cos AB AF BF AF BF AFB =+-⋅∠ ()2222cos3x y xy x y xy π=+-=-+，即()22AB x y xy --=， 所以梯形ABNM=，所以四边形ABNM的面积为S =故()22222222x yx y S x y AB x y ++⋅=≤⎛⎫++- ⎪⎝⎭()()()22222222222122x y x y x y xy x y x y +++++=≤=++， 当且仅当x y =时取等号，所以2S AB的最大值为1.故选：B【点睛】本题考查了抛物线的定义与几何性质、基本不等式的应用、余弦定理，属于中档题.12.已知2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ）A. 1(]46e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， B. 1(,]6-∞C. 1[0]46e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭，D. 1(,]4-∞【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合导数转化条件得()22x t e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，求导后确定函数()g x 的值域即可得解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()0,∞+， 对函数()f x 求导得()()()2221212()2(1)21xx x e x e f x t x x xt x x ⎡⎤-+⎣⎦'--=-+-=，2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，∴()220xe x t +=-在()0,∞+上无解，即()22xt e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，则()()()()()222222102222x x x e x e e x g x x x +-+'==>++， ∴函数()g x 在[)0,+∞单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()104g x g >=， ∴14a ≤. 故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题.二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应的位置上．13.已知0a >，0b >，且2a b +=，则515a b+的最小值是________. 【答案】185【解析】 【分析】 由条件可得511511526()525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为2a b +=，所以511511526()525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,0a b >>，所以525b a a b +≥(当且仅当53a =，13b =时，等号成立)， 所以511261825255a b ⎛⎫+≥⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：185【点睛】本题考查的是利用基本不等式求最值，属于典型题.14.已知正项等比数列{}n a 中， 11a =，其前n 项和为()*n S n N ∈，且123112a a a -=，则4S =__________． 【答案】15 【解析】解：由题意可知：2111111a a q a q -= ，结合11,0a q => 解得：2q ，则4124815S =+++= .15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为34yx ，点P 是双曲线的左支上异于顶点的一点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，M 为12PF F ∆的内心，若1MPF ∆，2MPF ∆，12MF F ∆的面积满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=-，则λ的值为_____． 【答案】45【解析】 【分析】先根据双曲线的渐近线方程为34yx ，得到34b a，再根据1212MPFMPF MF F S S S λ∆∆∆=-，结合双曲线的定义得到a c λ==.【详解】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为34yx ， 所以34b a ， 设内切圆的半径为r ，因为1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=-， 所以1212111222PF r PF r F F r λ⋅=⋅-⋅， 所以2112PF PF F F λ-=， 所以22a c λ=，所以a c λ==45===.故答案为：45【点睛】本题主要考查双曲线定义和几何性质以及内切圆问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16.已知定义在R 上的函数()y f x =为增函数，且函数()1y f x =+的图象关于点()1,0-成中心对称，若实数a 、b 满足不等式()()224230f a a f bb -+--≤，则当24a ≤≤时，()221a b +-的最大值为_________． 【答案】20 【解析】 【分析】推导出函数()y f x =为奇函数，且在R 上为增函数，由()()224230f a af bb -+--≤得出()()130a b a b --+-≥，由此将问题转转化为在约束条件()()13024a b a b a ⎧--+-≥⎨≤≤⎩下求()221a b +-的最大值，作出不等式组所表示的平面区域，将代数式()221a b +-转化为点()0,1P 到平面区域内的动点(),M a b 的距离的平方，数形结合可得出结果.【详解】函数()1y f x =+的图象关于点()1,0-成中心对称，则函数()y f x =的图象关于原点对称，所以，函数()y f x =为奇函数，且该函数在R 上为增函数， 由()()224230f a af bb -+--≤，得()()22423f a a f b b -≥--，22423a a b b ∴-≥--，()()2221a b ∴-≥-，则有()()130a b a b --+-≥，不等式组()()13024a b a b a ⎧--+-≥⎨≤≤⎩所表示的平面区域如下图所示的ABC ：联立410a a b =⎧⎨--=⎩，得43a b =⎧⎨=⎩，可得点()4,3A ，同理可得点()4,1B -，代数式()221a b +-可视为点()0,1P 到平面区域内的动点(),M a b 的距离的平方， 由图象可知，当点M 与点A 或点B 重合时，()221a b +-取最大值()2243120+-=. 故答案为：20.【点睛】本题考查抽象函数单调性与奇偶性的应用，将问题转化为线性规划下非线性目标函数的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用，属于难题.三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．17.在锐角△ABC 中，3a =________， （1）求角A ；（2）求△ABC 的周长l 的范围．注：在①(cos ,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos(),()344f x x x f A π=--=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．【答案】（1）若选①，3π（2）(623,63+ 【解析】 【分析】（1）若选①，12m n ⋅=-，得到1cos 2A =，解得答案. （2）根据正弦定理得到4sin sin sin a b c ABC ===，故43236ABC l B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△到答案.【详解】（1）若选①，∵(cos,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-221cos sin 222A A ∴-+=-，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）4sin sin sin a b cA B C===， 故24sin 4sin 234sin 4sin 233ABC l B C B B π⎛⎫=++=-++⎪⎝⎭△， 43sin 236ABClB π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，锐角△ABC ，故62B ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，.2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,(623,63ABC l ⎤∴∈+⎦△. （1）若选②，()cos 2cos A b c a C =-，则2cos cos cos b A a C c A =+，2sin cos sin B A B =，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭，（2）问同上；（1）若选③131()cos (cos sin )224f x x x x =+-＝21cos 2x ＋3cos sin x x －14＝12×1+cos 22x ＋3×sin 22x －141131=(cos 2sin 2)=sin(2)2226x x x π++， ()11sin 2462f A A π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）问同上；【点睛】本题考查了向量的数量积，正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18.2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在[2585]，之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：（Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(6073.4)P X <<；（ii ）央视媒体平台从年龄在[4555]，和[6575]，的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[4555]，的人数是Y ，求变量Y13.4≈，若2~(,)X N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+=，(22)0.954P X μσμσ-<<+=【答案】（1）60x =,2180s =；（2）（i ）0.3415；（ii ）详见解析. 【解析】 【分析】(1) 利用离散型随机变量的期望与方差的公式计算可得答案；（2）（i ）由(1)知，~(60180X N ，)，从而可求出(6073.4)P X <<； （ii ）可得Y 可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可列出Y 的分布列，求出其Y 的数学期望. 【详解】解：（1）这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s 分别为300.05400.1500.15600.35700.2800.1560x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()()222222300.05200.1100.1500.35100.2200.15180s =-⨯+-⨯+-⨯⨯+⨯+⨯+⨯=（2）（i ）由（1）知，()~60180X N ，， 从而1(6073.4)(6013.46013.4)0.34152P X P X <<=-<<+=； （ii ）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在[]4555，内有3人，在[]6575，内有4人， 故Y 可能的取值为0，1，2，3()0334374035C C P Y C ===，()12343718135C C P Y C ===， ()21343712235C C P Y C === ()3034371335C C P Y C === 所以Y 的分布列为P 435 1835 1235 135所以Y 的数学期望为()41812190123353535357E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，正态分布的应用，其中解答涉及到离散型随机变量的期望与方差公式的计算、正态分布曲线的概率的计算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题，解答问题的能力及推理与运算的能力，属于中档题型. 19.如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CM CP的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CMCP=λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于12，解方程得出λ的值,即可得解． 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形， 且//AB DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=,所以22BD = 又因为4,4CD BDC π=∠=．根据余弦定理得22,BC =所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==,所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ， 平面ABCD平面PBD BD =，PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤，即CM CP λ=， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM由00n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)n λλ=-.因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π22412224(2)λλλ=+-， 解得2,23λλ==-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. 【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．20.己知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：过点2P ，1(0,1)F -，2(0,1)F 是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为()0r r >的圆， （1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围．【答案】（1）22:12y C x +=（2）【解析】 【分析】（1）由题意结合椭圆性质可得122|a PF PF =+=2221b a c =-=，即可得解； （2）当直线斜率不存在时，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =， ()11,G x y ，()22,H x y ，联立方程后利用弦长公式可得||GH =||AB =||||AB GH =，可得24212132r k k ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意1c =，122|a PF PF =+=，所以22a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212y x +=；（2）当直线斜率不存在时，圆M 过原点，符合题意，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ，由直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点，则2212y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()22220k x +-=，>0∆， 则1212220,2x x x x k+==-+，所以||H G ==点M到直线l的距离d =，则||AB =， 因为AG BH =，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上， 只需||||AG BH =即||||AB GH =，所以()2222812421k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 则()()2422224242212332*********k k k r k k k k k k +++⎛⎫=+==+ ⎪++++++⎝⎭因为24223132224k k k ⎛⎫++=+-≥ ⎪⎝⎭，所以42110322k k <≤++，所以(]22,3r ∈，r ∈；综上，r 的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线、圆、椭圆的综合应用，属于中档题. 21.已知函数()1ln f x ax x =++． （1）221()()(1)2g x af x x a a x =+-++，求函数()g x 的单调区间： （2）对于任意0x >，不等式()xf x xe ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a ≤ 【解析】 【分析】（1）求导后，按照1a >、1a =、01a <<与0a ≤分类，分别解出不等式()0g x '>，即可得解；（2）转化条件得对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x --≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x --=，则22ln ()x x e x F x x +'=，设2()ln xh x x e x =+，求导后可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=，则()0()F x F x ≥，设()()0xx xe x ϕ>=，求导后可得()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，即可证000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，代入求出()0F x 后，即可得解.【详解】（1）由题意21()ln (1),(0)2g x a x x a x a x =+-++>， 则2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a g x x a x x x'-++--=+-+==， （i ）当1a >时，()0g x '>的解集为((,1))0,a +∞，则()g x 的单调增区间为(0,1)和(,)a +∞，单调减区间为(1,)a ；（ii ）当1a =时，()0g x '≥，则()g x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间； （iii ）当01a <<时，()0g x '>的解集为(0,)(1,)a +∞，则()g x 的单调增区间为(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间为(,1)a ；（iiii ）当0a ≤时，()0g x '>的解集为(1,)+∞，则()g x 的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1).（2）由已知，问题等价于对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x--≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x --=，则22ln ()x x e xF x x+'=， 设2()ln xh x x e x =+，则()21()2xh x x x e x'=++， 在(0,)+∞上，()0h x '>，()h x 单调递增，又12110e h e e -⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，(1)0h e =>，所以1(1)0h h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=，在()00,x 上，()0F x '<，()F x 单调递减； 在()0x +∞上，()0F x '>，()F x 单调递增； 所以()0()F x F x ≥，又有00001ln 20000000111ln ln ln x x x x x e x x e x e ex x x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔⇔，设()()0xx xe x ϕ>=，则有()001ln x x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()(1)0x x x e ϕ'=+>， 所以在(0,) +∞上，()x ϕ单调递增，所以000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭， 所以()0000000ln 111()1x x e x x F x F x x x --+-≥===， 故实数a 的取值范围为1a ≤.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于难题.选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为6cos 0ρθ-=. （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,0)A ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，,P Q 中点为M ，求||||||AP AQ AM 的值. 【答案】（1）10x y --=.22(3)9x y -+=.（2）2【解析】【分析】 （1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入方程得到125t t =-，12t t +=. 【详解】（1）直线:cos 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故cos sin 10ρθρθ--=， 即直线l 的直角坐标方程为10x y --=.因为曲线:6cos 0C ρθ-=，则曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，即22(3)9x y -+=.（2）设直线l的参数方程为1,x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线C的直角坐标系方程得250t --=.设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则125t t =-，12t t +=所以M对应的参数1202t t t +==120|t ||t |||||=||||AP AQ AM t ==【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果； （2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-.所以a的取值范围为2 2,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。
2021年高考数学小题综合狂练(文科数学)(9)(解析版)
文科数学小题狂练9（旧高考）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知U =Z ，A ={1，3，5，7，9}，B ={1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{1，3，5}B ．{1，2，3，4，5}C ．{7，9}D ．{2，4}【答案】D 【解析】 【分析】图中的含义是集合B 中去掉A 中所含有的元素，结合选项可求解 【详解】图中阴影部分表示的集合是(){}U2,4A B =.故选：D 【点睛】本题考查由维恩图判断具体集合，交集与补集的混合运算，属于基础题2．角A 是ABC ∆的一个内角，若命题:3p A π<，命题3:sin q A <则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由题意知命题q ：03A π<<或23A ππ<<，所以p 是q 的充分不必要条件. 3．已知复数z 满足13z i =-+（其中i 为虚数单位），则zz=（ ） A ．132-+ B ．132-- C ．132+ D ．132- 【答案】B 【解析】 【分析】求出z ，结合共轭复数的概念可求出zz的值. 【详解】13z i =-+，()()22132z ∴=-+=，因此，13132z i z --==-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了共轭复数，考查计算能力，属于基础题. 4．已知两个单位向量a ，b 满足|23|7a b +=，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C 【解析】 【分析】将|23|7a b +=平方整理求出12a b ⋅=-，再由cos ,a b a b a b ⋅〈〉=⋅即可求解. 【详解】 由|23|7a b +=，所以2222341297a b a a b b +=+⋅+=，又因为单位向量,a b ，所以11262a b a b ⋅=-⇒⋅=-， 所以向量,a b 的夹角为1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==-⋅，且,[0,]a b π∈，所以2,3a b π〈〉=， 故选：C . 【点睛】本题考查了转化法求向量的数量积、求向量夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.5．已知函数()sin(2)(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><其图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π．将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，得到的图象关于原点对称，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π对称C ．函数()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点 D ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象的相邻两条对称轴之间的距离求出周期，则A 错误；根据周期公式求出ω，根据函数图象的对称性求出ϕ，这样可得函数解析式，代入点(,0)6π可知B 错误；根据()06f π-=和()03f π=可知C 错误；由123x ππ≤≤得223x πππ≤+≤，可知D 正确.【详解】∵函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， ∴22T π=，T π=，故A 错误； 由22ππω=得1ω=，()sin(2)f x x ϕ=+， 将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后的图象对应的解析式为 2()sin 2()sin(2)33f x x x ππϕϕ⎡⎤=++=++⎢⎥⎣⎦，其图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数，所以(0)0f =，所以2sin 03πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以2,3k k Z ϕππ+=∈，因为||2ϕπ<，所以1k =，3πϕ=，于是()sin(2)3f x x π=+．∵3()sin 206632f πππ⎛⎫=⨯+=≠ ⎪⎝⎭，∴B 错误； ∵()sin 20663f πππ⎡⎤⎛⎫-=⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2()sin 0333f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，故C 错误； 由123x ππ≤≤得223x πππ≤+≤，所以函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故D 正确；故选：D ． 【点睛】本题考查了由三角函数的性质求解析式，考查了正弦函数的周期性、奇偶性、对称中心、零点、单调性，属于基础题.6．设0.302a =.，2log 3b =，3log 4c =，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b a c <<【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的性质可判断出a 的范围，再利用对数函数的性质判断,b c 的范围，从而可得结论 【详解】解：因为0.2xy =在R 上为减函数，且0.30>，所以...030002021<<=，即01a <<， 因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且32234<<， 所以32222log 2log 3log 4<<，得23log 322<<，即322b <<，因为3log y x =在(0,)+∞上为增函数，且32343<<， 所以32333log 3log 4log 3<<，得331log 42<<，即312c <<， 所以a c b <<， 故选：B 【点睛】此题考查对数式、指数式比较大小，利用了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题 7．电影《达.芬奇密码》中，有这样一个情节:故事女主人公的祖父雅克.索尼埃为了告诉孙女一个惊天的秘密又不被他人所知，就留下了一串奇异的数字13-3-2-21-1-1-8-5，将这串数字从小到大排列，就成为1-1-2-3-5-8-13-21， 其特点是从第3个数字起，任何一个数字都是前面两个数字的和，它来自斐波那契数列，斐波那契数列与黄金分割有紧密的联系，苹果公司的logo (如图乙和丙)就是利用半径成斐波那契数列(1，1，2，3，5，8，13)的圆切割而成，在图甲的矩形ABCD 中，任取一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A．731092πB．891092πC．1621092πD．161092π【答案】A【解析】【分析】根据图甲，分别求出阴影部分的面积，以及整个长方形的面积，面积比即为所求概率.【详解】由题意，阴影部分包括半径为8和半径为3的两个圆，面积分别为64π和9π， 而整个长方形的宽为161026+=，长为261642+=， 所以该点落在阴影部分的概率是64973π42261092P ππ+==⨯.故选：A ． 【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，属于基础题型.8．教育部日前出台《关于普通高中学业水平考试的实施意见》，根据意见，学业水平考试成绩以“等级”或“合格、不合格”呈现.计入高校招生录取总成绩的学业水平考试的3个科目成绩以等级呈现，其他科目一般以“合格、不合格”呈现.若某省规定学业水平考试中历史科各等级人数所占比例依次为：A 等级15％，B 等级35％，C 等级30％，D 、E 等级共20％.现采用分层抽样的方法，从某省参加历史学业水平考试的学生中抽取100人作为样本，则该校本中获得A 或B 等级的学生中一共有（ ）. A ．45人 B ．60人 C ．50人 D ．90人【答案】C 【解析】 【分析】由已知求得A 或B 等级所占比例，乘以100即得答案． 【详解】由题意，A 、B 等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级35%， 则A 或B 等级所占比例为50%，100∴人的样本中，获得A 或B 等级的学生一共有50人．故选：C【点睛】本题主要考查分层抽样，明确分层抽样中每一层所占比例数相等是关键，是基础题．-中，底面是边长为2的正方形ABCD，AC与BD的交点9．如图，四棱锥S ABCD为O，SO⊥平面ABCD且2SO=，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，⊥，则动点P的轨迹的周长为( )并且总保持PE ACA．22B．23C．12++D．13【答案】D【解析】【分析】分别取CD、SC的中点F、G，连接EF、FG和EG，证明平面EFG∥平面BDS，再由题意证明AC⊥平面EFG，得出点P在△EFG的三条边上，求出△EFG的周长即可.【详解】解：分别取CD、SC的中点F、G，连接EF、FG和EG，如图所示；则EF∥BD，EF⊄平面BDS，BD ⊂平面BDS∴EF∥平面BDS同理FG∥平面BDS又EF∩FG＝F，EF ⊂平面EFG，FG ⊂平面EFG，，∴平面EFG∥平面BDS，由AC⊥BD，AC⊥SO，且AC∩SO＝O，则AC⊥平面BDS，∴AC⊥平面EFG，∴点P在△EFG的三条边上；又EF＝12BD＝1222＝1，FG＝EG＝12SB＝1222(2)1+3∴△EFG的周长为EF+2FG＝3故选：D.【点睛】本题考查了四棱锥结构特征的应用问题，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系应用问题，是中档题.10．数列{}n F：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，记该数列{}n F的前n项和为nS，则下列结论中正确的是（）A ．202020221S F =+B ．202020221S F =-C ．202020211S F =+D ．202020211S F =-【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用叠加法即可求解. 【详解】因为321432543202220212020F F F F F F F F F F F F -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，将上述各式两边相加得，202222020F F S -=，所以202020221S F =-. 故选：B 【点睛】本题考查了叠加法的应用，叠加法求数列的前n 项和，考查了学生的基本运算能力，属于基础题.11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy 中，()()2,0,4,0,A B -点P 满足12PA PB=.设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是（ ） A ．当,,A B P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的平分线B ．在C 上存在点M ，使得2||MO MA =C ．在x 轴上不存在异于,A B 的两定点,DE ，使得12PD PE=D ．C 的方程为()2249x y ++= 【答案】A 【解析】 【分析】A .利用已知条件，以及OA OB的比值，根据角平分线定理的逆定理作出判断；B .根据长度关系列出方程，并判断方程是否有解； C.D .代入坐标表示出线段长度，根据线段长度比值得到C 的方程； 【详解】A ．当A ，B ，P 三点不共线时，因为12PA PB =，2,4OA OB ==， 所以12OAOB =，所以PA OA PB OB =，由角平分线定理的逆定理可知：射线PO 是APB∠的平分线，故正确；D ．设(),P x y ，因为12PA PB =()()22222124x y x y ++=-+，所以2280x x y ++=， 所以()22:416C x y ++=，故D 错误；B ．设存在()00,M x y 满足，因为2MO MA =，()2222000022x y x y +=++所以()()2222000042x y x y +=++，所以220001616033x x y +++=， 又因为2200080x x y ++=，所以02x =，又因为02x =不满足()22:416C x y ++=，所以不存在M 满足条件，故错误；C. 假设x 轴上不存在异于,A B 的两定点,D E ，使得12PD PE=， 可设(,0),(,0)D m E n 2222()2()x n y x m y -+=-+，由P 的轨迹方程为2280x y x ++=，可得228224,40m n m n -=--=，解得6,12m n =-=-或2,4m n =-=（舍去），即存在(6,0),(12,0)D E --，故C 错误. 故选：A. 【点睛】本题考查阿波罗尼斯圆的定义及应用，属于新定义问题，难度较难.(1)证明角平分线除了可以通过线段的长度比来证明，还可以通过点到线段两边的距离相等来证明；(2)和圆有关的线段长度问题，可以利用坐标法来解决问题.12．已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆上一点（异于左、右顶点）2为半径的圆内切于12PF F △，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．23⎛ ⎝⎦C ．12,33⎛ ⎝⎦D ．2,13⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的面积关系，可得(12122222p a c c y +=，再根据||P y b ≤可得关于,a c 的不等式，从而可求得离心率的取值范围.【详解】12PF F 的面积关系可得：(12122222p a c c y +=， ∴()22p a c c c y bc +=≤，∴()2a c b +≤，∴()222a c b +≤，则22023a ac c ≤--，()()30a c a c +-≥，∴3a c ≥，∴103e <≤. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆的定义运用、三角形内切圆、椭圆的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意不等关系的建立.二、填空题13．数学老师给同学们出了一道证明题，A ，B ，C 三名同学中只有一名同学写对了，当他们被问到谁写对了时，C 说：“A 没有写对”；B 说：“我写对了”；A 说：“C说得是真话”.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么说假话的同学是______.【答案】B【解析】【分析】利用反证法即可得出结论【详解】假如A说的是假话，则C说的也是假话，不成立；假如B说的是假话，即B没有写对，又A没有写对，故C写对了；假如C说的是假话，即A写对了，则B说的也是假话，不成立.故说假话的同学是B.故答案为：B【点睛】此题考查简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题14．函数()212log412y x x=+-的单调递增区间是【答案】(,6)-∞-【解析】【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定结果【详解】因为2412026x x x x +->∴><-或，因为12log y x =为单调递减函数，所以函数()212log 412y x x =+-的单调递增区间是(,6)-∞-【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题.15．m R ∈，动直线1:10l x my +-=过定点A ，动直线2:230l mx y m --=过定点B ，若直线1l 与2l 相交于点P （异于点,A B ），则PAB ∆周长的最大值为_________【答案】222+【解析】 【分析】 【详解】由条件得直线1l 过定点(1,0)A ，直线2l 过定点3)，且221(3)2AB =+=，又直线12l l ⊥，所以222||||4PA PB AB +==,，22||2222PA PB PA PB ++≤=当且仅当||||PA PB =时等号成立，，222PA PB AB ++≤+，即PAB ∆周长的最大值为222+，答案，222+16．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.己知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为______立方寸.（注：一丈=10尺=100寸，53.14,sin 22.513π≈≈，答案四舍五入，只取整数．．．．．．．．．．．）【答案】317 【解析】 【分析】根据弓形的锯口深1寸，锯道长1尺，求出圆的半径，从而求出弓形（阴影部分）面积后，由柱体体积公式得木材体积 【详解】如图，设圆半径为r 寸（下面长度单位都是寸），连接,OA OD ，已知152AD AB ==，1OD OC CD r =-=-，在Rt ADO 中，222AD OD OA ，即2225(1)r r +-=，解得13r =，由5sin 13AD AOD AO ∠==得22.5AOD ∠=︒，所以45AOB ∠=︒， 图中阴影部分面积为S S =扇形214131012 6.332522AOB S πππ-=⨯⨯-⨯⨯≈△（平方寸），镶嵌在墙体中木材是以阴影部分为底面，以锯刀长为高的柱体， 所以其体积为 6.332550317V Sh =≈⨯≈（立方寸） 故答案为：317．【点睛】本题考查柱体的体积，关键是求底面面积，方法是由扇形面积减去相应三角形面积得弓形面积，属基础题．。
2021年高考数学小题综合狂练(理科数学)(3)(解析版)
2021年高考理科数学小题狂练3（非新高考地区）解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注：满分80份，选择题12小题，填空题4小题，每小题5分。
限时：40分钟 一、单选题（每小题5分，共12小题，满分60分）1．已知全集U =R ，104x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则UA（ ）A ．{}14x x -<< B ．{1x x ≤-或}4x ≥C ．{}14x x -≤≤D ．{}14x x -<≤【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A ，利用补集的定义可求得集合UA .【详解】U R =，{1014x A xx x x ⎧⎫+=≥=≤-⎨⎬-⎩⎭或}4x >，{}14U A x x ∴=-<≤． 故选：D ． 【点睛】本题考查补集的计算，同时也考查了分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．i 是虚数单位，则231i i i +++=（ ） A ．1 B ．i C ．1-i D ．0【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，2311+i-1-i=0i i i +++=,故可知答案为0，选D. 考点：复数的运算点评：主要是考查了虚数单位的运算，属于基础题3．某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．18种 D ．24种【答案】B【解析】方法数有1134C C 12=种.故选B.4．函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()22x xf x -=-B ．2()x e ef x x-= C ．31()f x x x =- D ．1()ln ||f x x x=-【答案】B 【解析】 【分析】由函数的定义域、奇偶性、单调性及函数图像的特点一一进行判断可得答案. 【详解】解：A 选项，由函数图像可得在0x =处没有定义，故排除A ； C 选项，由函数图像可得函数不为奇函数，故排除C ；D 选项，由函数图像可得当x →+∞时，函数变化趋势不符，1()ln ||f x x x=-越来越平（增加越来越慢），而不会向上扬起（增加越来越快）, 故排除D ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别及函数的定义域、单调性、奇偶性等基本性质，属于基础题型.5．设0.213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 5b =，ln5c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】B【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0和1的大小关系，利用换底公式和不等式的基本性质可得出b 、c 的大小关系，进而可得出这三个数的大小关系. 【详解】指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，则0.2110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即01a <<； 对数函数13log y x =在()0,∞+上为减函数，则113311log log 153b =>=； 对数函数ln y x =在()0,∞+上为增函数，则ln5ln 1c e =>=.1331ln 5log log 5ln 55ln 3b c ∴===<=. 因此，c b a >>. 故选：B. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.6．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（ ） A ．七尺五寸 B ．六尺五寸 C ．五尺五寸 D ．四尺五寸【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式以及求和公式列出方程组，求出首项和公差，由此可求得立夏日影长. 【详解】从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，设十二节气第()N n n *∈个节气的日影长为n a ，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，前n 项和为n S，则567817114223276772173.52a a a a a dS a d a d+++=+=⎧⎪⎨⨯=+=+=⎪⎩，解得12721ad⎧=⎪⎨⎪=-⎩，1012799922a a d∴=+=-=，因此，立夏日影长为四尺五寸.故选：D.【点睛】本题考查新文化中的等差数列问题，考查等差数列与前n项和中基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.7．我们打印用的A4纸的长与宽的比约为2，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为2，纸张的形状不变．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD为一张A4纸，若点E为上底面圆上弧AB的中点，则异面直线DE与AB所成的角约为（）A．6πB．4πC．3πD．23π【答案】C【解析】【分析】设CD的中点为O，过E作EF⊥底面⊙O，连接OE，OF，证明OD⊥OE，计算tan∠EDO即可得出答案．【详解】∵AB//CD，∴∠EDC（或补角）为异面直线DE与AB所成的角，设CD的中点为O，过E作EF⊥底面⊙O，连接OE，OF，∵E是AB的中点，∴F是CD的中点，∴CD⊥OF，又EF⊥平面⊙O，∴EF⊥CD，EF OF F=∴CD ⊥平面OEF ，∴OD ⊥OE ． 设AD ＝1，则CD 2=，故OF 2=，EF ＝1， 于是OE 22261()22=+=， ∴tan ∠EDO 6232OEOD ===， ∴∠EDO 3π=．故选：C ． 【点睛】本题考查了异面直线所成的角，解题的关键是找出与异面直线所成角相等的相交直线所成的角，此题要求有一定的计算能力，属于中档题.8．已知向量(),12OA k =，()4,5OB =，(),10OC k =-，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是（ ） A ．23-B ．43C ．12D ．13【答案】A 【解析】 【分析】首先求向量AB 和AC ，再将三点共线转化成向量共线求参数的取值. 【详解】()4,7AB OB OA k =-=--，()2,2AC OC OA k =-=--.因为A ，B ，C 三点共线，所以,AB AC 共线， 所以()()2472k k -⨯-=-⨯-，解得23k =-.故选：A【点睛】本题考查根据三点共线求参数的取值范围，重点考查向量共线的公式，属于基础题型.9．《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（）(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体水平优于甲【答案】D【解析】【分析】根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A错误根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B错误根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确故答案选D【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.10．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sin x(x∈(0，π))及直线x＝a(a∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若该点落在阴影部分的概率为316，则a的值为( ) A．712πB．23πC．34πD．56π【答案】B【解析】依题意，阴影部分的面积为sinaxdx⎰＝(－cosx)|a＝－cosa＋cos0＝1－cosa，由几何概型知识得，1cos8aaa-⋅＝316，即cosa＝－12，而a∈(0，π)，故a＝23π．11．设1F和2F为双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的两个焦点，若1F，2F，()0,2P b是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A．2 B．32C．52D．3【答案】A【解析】试题分析：如图，()2222211tan6034343PO POb c c a cFO FO=∴==∴-=222442c a e e ∴=∴=∴=考点：双曲线方程及性质 12．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．23πC ．πD ．43π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，知当7π3x ω=时，π5π62x ω+=，由对称轴的性质可知122π3x x ω+=和238π3x x ω+=，即可求出w ，即可求出()f x 的最小正周期. 【详解】解：由于()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ， 当7π3x ω=时，π5π62x ω+=， ∴由对称轴可知1x ，2x 满足12πππ2662x x ωω+++=⨯， 即122π3x x ω+=. 同理2x ，3x 满足23ππ3π2662x x ωω+++=⨯，即238π3x x ω+=， ∴12310π5π233x x x ω++==，2ω=， 所以最小正周期为：2ππ2T ==. 故选：C . 【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分） 13．已知α为锐角，且1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α=_______． 322+【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系可得22sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由α为锐角，且1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以222sin 1cos 663ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1322132232+==322+【点睛】本题考查了两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题． 14．如图的几何体，是在用密度等于38/g cm 的钢材铸成的底面直径和高都等于()221cm 的圆维内部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，另四个顶点在圆锥底面上)，这个几何体的质量等于_____g (对小数部分四舍五入进行取整).【答案】172【解析】【分析】设被挖去的正方体的棱长为x cm，由（半）轴截面中的直角三角形相似，即PBF△相似于HBC，利用PF PBHC HB=，代入数据计算求得2x=.再利用体积公式求得最后结果.【详解】如图，设被挖去的正方体的棱长为x cm，由（半）轴截面中的直角三角形相似，即PBF△相似于HBC，由21HC=+，()221HB=+，2,2xHG PF HP x===，则PF PBHC HB=，得(()2221221221x x+-=++，解得：2x=.则该模型的体积()()2313.1421221221.453V≈⨯⨯+⨯+-≈，所以制作该模型所需材料质量约为21.458172m Vρ=≈⨯≈.故答案为：172.【点睛】本题考查立体几何的体积的求法，结合相似的知识点，考查运算求解能力，属于中档题. 15．设()f x是定义在R上的函数，其导函数为()'f x，若()()'1f x f x+>，()02020f=，则不等式()2019x xe f x e>+(其中e为自然对数的底数)的解集为__________.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11【答案】()0,∞+【解析】【分析】构造函数()()2019x x g x e f x e =--，由题意，只需解()0>g x 即可，利用导数研究()g x 的单调性即可得到答案.【详解】设()()2019x x g x e f x e =--，不等式()2019x xe f x e >+的解等价于不等式()0>g x 的解， 因为''()(()()1)0x g x e f x f x =+->，所以()g x 在R 上单调递增，又(0)(0)120190g f =--=，所以()0(0)g x g >=，所以0x >，所以原不等式的解集为()0,∞+故答案为：()0,∞+【点睛】本题主要考查构造函数利用函数的单调性解不等式，考查学生转化与化归思想，是一道中档题. 16．已知抛物线2:4C y x =，其焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上第一象限内的点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q .当PFQ △的周长为12时，PFQ △的面积为______. 【答案】43【解析】【分析】设||PQ a =，用a 表示出P ，Q 的坐标，根据PFQ △的周长为12，求得a ，判断PFQ ∆的形状，进而求PFQ △的面积.【详解】由24y x =得焦点(1,0)F ，准线:1l x =-.如图所示，试卷第12页，总12页设||||PQ PF a ==，由抛物线性质知||||1=PF OF ，即1a >， ∴(1,1)--P a a ，(1,1)--Q a . ∴2||4(21)2=+-=QF a a ∵PFQ △的周长为12，∴2212+=a a ，解得4a =.∴||4QF =，∴PFQ △是边长为4的等边三角形.∴PFQ △的面积为234434=故答案为：3【点睛】本题主要考查抛物线的方程及性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
狂刷58 不等式选讲-学易试题君之小题狂刷2021年高考数学(理)(解析版)
专题十三 选考内容狂刷58 不等式选讲1．不等式|a −b |≤|a −1|+|b −1|取等号的条件是 A ．(a −1)(b −1)<0 B ．(a −1)(b −1)>0 C ．(a −1)(b −1)≤0 D ．(a −1)(b −1)≥0【答案】C【解析】由题可得|a −1|+|b −1|=|a −1|+|1−b|≥|(a −1)+(1−b )|=|a −b|，当且仅当(a −1)(1−b )≥0，即(a −1)(b −1)≤0时取等号，故选C ． 2．不等式|1|3x +≤的解集是 A ．{|4x x ≤-或2}x ≥ B ．{|42}x x -<< C ．{|4x x <-或2}x ≥ D ．{|42}x x -≤≤ 【答案】D【解析】|1|3x +≤，即313x -≤+≤，即42x -≤≤， 故不等式|1|3x +≤的解集是{|42}x x -≤≤，故选D. 3．若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33x x -<<，则a = A ．35或3- B ．3- C ．35D ．35-【答案】B【解析】∵|2|3ax -<，∴323ax -<-<，∴15ax -<<，若0a >，则15x a a -<<，∴153a -=-，513a =，无解； 若0a <，则51x a a <<-，∴113a -=，553a =-，∴3a =-.故选B ．4．函数|1||2|y x x =++-的最小值及取得最小值时x 的值分别是 A ．1，[1,2]x ∈- B ．3，0 C ．3，[1,2]x ∈- D ．2，[]1,2x ∈【答案】C【解析】依题意12123y x x x x =++-≥++-=，当且仅当()()120x x +-≥，即12x -≤≤时等号成立，故选C ．5．已知函数()|3||7|f x x x =-+-，则函数()f x 的最小值为 A ．3 B ．4 C ．7 D ．10【答案】B【解析】当7x ≥时，()372104f x x x x =-+-=-≥；当37x <<时，()374f x x x =-+-=；当3x ≤时，()371024f x x x x =-+-=-≥，所以函数()f x 的最小值为4，故选B ．6．x 为实数，且|5||3|x x m -+-<有解，则m 的取值范围是 A ．1m B ．1m ≥ C ．2m >D ．2m ≥【答案】C【解析】53x x m -+-<有解，只需m 大于53x x -+-的最小值，532x x -+-≥，所以2m >，此时53x x m -+-<有解． 故选C ．7．若实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为 A ．1 B ．34 C ．611D ．58【答案】C【解析】即22262311x y z ++≥，故选C ． 8．下列不等式推理正确的是 A ．若x y z >>，则||||xy yz > B ．若110a b<<，则2ab b > C ．若a b >，c d >，则ac bd > D ．若22a x a y >，则x y >【答案】D【解析】对于A ，123>->-，但|1(2)||(2)(3)|⨯-<-⨯-，A 不正确；对于B ，若110a b<<，则0b a <<，则2b ab >，B 不正确； 对于C ，12->-，34->-，但1(3)2(4)-⨯-<-⨯-，C 不正确；对于D ，若22a x a y >，则2()0a x y ->，则0x y ->，则x y >，D 正确．故选D ．9．已知关于x 的不等式21x a x -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为 A ．](),13,⎡-∞+∞⎣ B ．[]1,3 C ．](),31,⎡-∞--+∞⎣D ．[]3,1--【答案】C【解析】∵22x a x a -++≥+，∴由21x a x -++≥的解集为R ，得21a +≥，解得31a a ≤-≥-或． 故选C ．10．已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c++的最小值为 A ．9 B ．8 C ．3 D ．13【答案】A【解析】由题可得222222111]a b c ++=++++≥+29+=，当且仅当13a b c ===时取等号，所以111a b c++的最小值为9，故选A ． 11．不等式|x +1|<2x −1的解集为________________．【答案】(2，+∞)【解析】∵|x +1|<2x −1，∴{x ≥−1x +1<2x −1 或{x <−1−x −1<2x −1 ，解得x ＞2，故所求不等式的解集为(2，+∞)．12．若函数()1f x x x a =+++的最小值为1，则实数a =________________.【答案】0或2【解析】由绝对值不等式的性质有，1(1)()1x x a x x a a +++≥+-+=-，即11a -=， 即0a =或2，故答案为0或2.13．若不等式log 2(|x+1|+|x -2|−m )≥2恒成立，则实数m 的取值范围为________________．【答案】(−∞，-1]【解析】由题意可知|x+1|+|x−2|−m ≥4恒成立，即m ≤(|x+1|+|x−2|-4)min ．又|x+1|+|x−2|-4≥|(x+1) − (x−2)| −4=−1，故m ≤−1，所以实数m 的取值范围为(−∞，-1]． 14．若11||,||36x y ≤≤，则2x y +的最大值是________________. 【答案】23【解析】由绝对值三角不等式可得1122222363x y x y x y +≤+=+≤+⨯=， 当且仅当0xy >时，等号成立，因此，2x y +的最大值为23，故答案为23.15．若实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为________________．【答案】611【解析】由柯西不等式可得222211(23)(1)()123x y z x y z ++++≥++=，所以22262311x y z ++≥，故22223x y z ++的最小值为611． 16．设函数g(x)=|x −3m|+|x −1|，m ∈R ．若存在x 0∈R ，使得g(x 0)−4<0成立，则m 的取值范围为________________． 【答案】(−1，53)【解析】因为函数g (x )=|x −3m |+|x −1|≥|(x −3m )−(x −1)|=|3m −1|，所以函数g (x )的最小值为|3m −1|，因为存在x 0∈R ，使得g(x 0)−4<0成立，所以|3m −1|<4，故有−4<3m −1<4，解得513m -<<，故m 的取值范围为(−1，53)． 17．不等式125x x -++≥的解集为A ．(][),22,-∞-+∞B ．(][),12,-∞-+∞C ．(][),23,-∞-+∞D ．(][),32,-∞-+∞【答案】D【解析】原不等式等价于2125x x x <-⎧⎨---≥⎩或21125x x x -≤≤⎧⎨-++≥⎩或1125x x x >⎧⎨-++≥⎩，即23x x <-⎧⎨≤-⎩或2135x -≤≤⎧⎨≥⎩或12x x >⎧⎨≥⎩3x ⇒≤-或x ∈∅或2x ≥3x ⇒≤-或2x ≥．故D 正确．18．已知a ∈R ，则“2a ≤”是“|2|||x x a -+>恒成立”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为|2||||2|2x x x x -+≥--=，且|2|||x x a -+>恒成立，所以2a <，所以“2a ≤”是“|2|||x x a -+>恒成立”的必要不充分条件，故选B ．19．已知f (x )=|x −1|+|x +2|，若关于x 的不等式f (x )>a 2−2a 对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(−1，3) B ．(−1，1) C ．(1，3) D ．(−3，1) 【答案】A【解析】因为|x −1|+|x+2|≥|(x −1)−(x+2)|=3，所以函数f (x )的最小值为3，要使不等式f (x )>a 2−2a 对于任意的x ∈R 恒成立，只需a 2−2a <3，即(a+1)(a −3)<0，解得−1<a <3，故a 的取值范围为(−1，3)．故选A ． 20．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是A ．(,3)-∞B ．(3,)-+∞C ．(,3]-∞-D ．(,3)-∞- 【答案】C【解析】由绝对值不等式的性质可得||1||2|||(1)(2)|3x x x x +--≤++-=， 即|1||2|3x x +--≥-.因为|1||2|x x a +--<无实数解，所以3a ≤-. 故选C.21．已知A ，B ，C 是ABC △的三个内角的弧度数，则111A B C ++与9π的大小关系为 A ．1119πA B C ++≥ B ．1119πA B C ++≤C ．1119πA B C ++>D ．1119πA B C ++<【答案】A【解析】由柯西不等式，可得2111()()9A B CA B C ++++≥=，因为A B C ++=π，所以1119πA B C ++≥，当且仅当π3A B C ===时等号成立，故选A ． 22．若0b a <<，则下列不等式：①||||a b >；②a b ab +<；③2b a a b +>；④22a a b b<-中，正确的不等式有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】因为0b a <<，所以||||a b <，①不正确；因为0b a <<，所以0a b +<，0ab >，所以a b ab +<，②正确；因为0b a <<，所以0b a >，0a b >，且a b ≠，所以2b a a b +>=，③正确； 因为222a b ab +>，所以222a ab b >-，因为0b <，所以22a a b b<-，④正确；综上，正确的不等式有3个．故选C ．23．已知函数()1f x x x a =++-，若()2f x ≥恒成立，则a 的取值范围是A ．(][),22,-∞-+∞B ．(][),31,-∞-+∞C ．(][),13,-∞-+∞D ．(][),04,-∞+∞【答案】B【解析】根据绝对值三角不等式，得1(1)()1x x a x x a a ++-≥+--=+，∴()1f x x x a =++-的最小值为1a +，∵()2f x ≥恒成立，∴12a +≥，∴12a +≥或12a +≤-，则1a ≥或3a ≤-，故选B.24．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=A ．3B ．C ．18D ．9【答案】B【解析】由柯西不等式，得()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦，≤13a b c ===时，等号成立，故选B ． 25．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+【答案】C【解析】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+， 故()()24f x f a a -≤+一定成立. 故选C ．26．已知命题p ：113x x a -++≥恒成立，命题q ：(21)x y a =-为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是 A ．23aB ．102a <<C ．121a << D ．1223a <≤ 【答案】D【解析】对于命题p ，()()1111112x x x x x x -++=-++≥-++=，故232,3a a ≤≤. 对于命题q ，10211,12a a <-<<<. 由于p 且q 为真命题，故,p q 都为真命题，所以1223a <≤.故选D ． 27．若函数f(x)=|x −2|+|2x −1| −ax 没有零点，则实数a 的取值范围是A ．−3≤a <32B ．−3≤a <1C ．a ≥32或a <−3 D ．a ≥1或a <−3【答案】A【解析】因为函数f(x)=|x −2|+|2x −1| −ax 没有零点， 所以方程|x −2| +|2x −1| =ax 无实根，即函数g(x)=|x −2| +|2x −1| 与ℎ(x)=ax 的图象无交点， 如图所示，则ℎ(x)的斜率a 应满足−3≤a <32，故选A.28．若关于x 的不等式2|1|30ax x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为A ．1[,+)6∞B ．1[,+)3∞C ．1[,+)2∞D ．1[,+)12∞【答案】C【解析】由题可知对于任意的x ∈R ，2|1|30ax x a -++≥恒成立，即2|1|3x a x +≥+恒成立，令()g x =2|1|3x x ++．当1x =-时，()0g x =；当1x ≠-时，211()||43|12|1x g x x x x +==+++-+，若10x +>，则412221x x ++-≥=+，当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号；若10x +<，则4412[(1)]2261(1)x x x x ++-=--++-≤-=-+-+，当且仅当(1)x -+4(1)x =-+，即3x =-时取等号，所以4|12|[2,)1x x ++-∈+∞+，所以1()(0,]2g x ∈，所以12a ≥，故实数a 的取值范围为1[,+)2∞．故选C ．29．关于x 的不等式2315x x a a +--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为________________．【答案】(][),14,-∞+∞【解析】由题意知，存在x ∈R ，使得2315x x a a +--≤-，则()2min531a a x x -≥+--.由绝对值三角不等式得()()31314x x x x +--≤+--=，4314x x ∴-≤+--≤，()2min 5314a a x x ∴-≥+--=-，即2540a a -+≥，解得1a ≤或4a ≥.因此，实数a 的取值范围是(][),14,-∞+∞.故答案为(][),14,-∞+∞.30．在区间[1,4]上的最大值是5，则实数a 的取值范围为________________． 【答案】(,]2-∞【解析】由题可知，当14x ≤≤5a ≤，455a x a a x-≤+-≤-， 故25a -≤45x x +≤，因为14x ≤≤，45x x ≤+≤，所以254a -≤，解得92a ≤，故实数a 的取值范围为9(,]2-∞．31．若不等式23x a x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________________．【答案】[]1,3-【解析】不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+，即3223x x ax a x --≤-⎧⎨-≤+⎩对任意[]0,2x ∈恒成立，变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩. 所以a 的取值范围是[]1,3-.32．已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为________________．【答案】(,9]-∞【解析】由40x y xy +-=可得4x y xy +=，因为x ，y 均为正实数，所以等式两边同时除以xy 可得411x y +=，所以414()()559y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当4y x x y =，即当26x y ==时取等号，因为x y m +≥恒成立，所以9m ≤，故实数m 的取值范围为(,9]-∞．。
2021年高考数学小题综合狂练(理科数学)(8)(解析版)
2021年高考理科数学小题狂练8（非新高考地区）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：满分80份，选择题12小题，填空题4小题，每小题5分。
限时：40分钟一、单选题（每小题5分，共12小题，满分60分）1.已知R是实数集，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的值域求法，不等式的解法，以及求两个集合的补集和交集的方法．先化简集合M、N到最简形式，依照补集的定义求出，再按照交集的定义求出【解答】解：，或，，即，，，，故选：B．2.复数z满足其中i是虚数单位，则z的虚部为A. 2B.C. 3D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了复数运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题．利用复数运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：，，则z的虚部为．故选：B．3.已知向量，，若，则实数x的值为A. B. C. D. 2【答案】C【解析】解：向量，，，，，，解得，故选：C．由向量和向量的坐标求出向量和向量的坐标，再利用，即可求出x的值．本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的模长公式，是基础题．4.希尔宾斯基三角形是一种分形，它的原理是先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形在如图中的大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可知，每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的，不妨设第一个三角形的面积为1，则第三个三角形的面积为1，所以阴影部分的面积之为，第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为，故选：D．我们要根据已知条件，求出第3个大正三角形的面积，及黑色区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．本题主要考查归纳推理，考查几何概型的概率公式，属于基础题．5.已知实数x，y满足，则的最小值为A. B. C. 1 D. 6【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故选：A．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 8B. 18C.D. 14【答案】D【解析】【分析】本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的性质，合理运用公式是快速解决问题的关键，属于基础题．数列为等差数列，，所以，又，所以，所以公差，即可得到【解答】解：因为数列为等差数列，设其公差为d，前n项和为，则．所以，即，又，所以，所以公差，．故选D．7.若，则A. 或B.C. 或D.【答案】D【解析】解：，，由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．8.函数的部分图象大致是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：函数的定义域为，由于为偶函数，为奇函数，故函数为奇函数，可排除选项A，D；又时，，，此时，故可排除选项B．故选：C．利用函数的奇偶性及趋近性，结合选项即可得解．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查极限思想及数形结合思想，属于基础题．9.已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【解析】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得，，，设PA的倾斜角为，则，当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为，代入，可得，即，，，，双曲线的实轴长为，双曲线的离心率为．故选：B．过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合，可得，设PA的倾斜角为，则当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，是解题的关键．10.的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则cos B的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，由余弦定理可得：，化简可得：，由余弦定理可得；，，即：．故选：D．由余弦定理化简已知等式可得，由余弦定理，基本不等式可求，结合余弦函数的性质即可得解．本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．11.已知直三棱柱，，，和的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如图，以B为坐标原点，分别以BA，BC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，0，，2，，1，．，，．与CF夹角的余弦值为．故选：C．以B为坐标原点，分别以BA，BC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．分别求出与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得AE与CF夹角的余弦值．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．12.已知函数与的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围，数形结合思想，属于中档题．将条件转化为在有解，构造，利用导数得到其单调性，作出图象，数形结合．【解答】解：定义域为，则关于x对称的曲线为，即，则条件等价为在有解，所以，设，则，当时，，当时，，此时函数为减函数，当时，，此时函数为增函数，即当时，函数取得极大值也是最大值，最大值为，作出的图象如图：即要使在上有解，则，故选：A．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13.已知e为自然对数的底数，过原点与函数图象相切的直线方程为______．【答案】【解析】解：过原点与函数图象相切的切点设为，可得，函数的导数为，则切线的斜率为，切线的方程为，即为，代入原点，可得，解得，则切线的方程为．故答案为：．设切点为，可得，求得的导数，可得切线的斜率和方程，代入原点，可得m的值，进而得到所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.记为等比数列的前n项和，若，，则______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，是基础题．根据等比数列的通项公式和前n项和公式进行计算即可．【解答】解：，，，解得或，，，，，故答案为：．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1115. 已知函数在区间上有最小值4，则实数______．【答案】4 【解析】解：依题意，，则， 则，解得．故答案为：4． 由函数在上有最小值可知，，再由基本不等式即可求得k 的值．本题考查已知函数最值求参数的值，考查分析能力及计算能力，属于基础题．16. 已知三棱锥中，，，，，平面平面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】【解析】【分析】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题． 由已知证明，过斜边中点D 作面PAB 的垂线，则球心在该垂线上，再证明CD 垂直于面PAB ，得球心在CD 上，由勾股定理列式求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．【解答】解：取AB 的中点D ，连接PD ，CD ， ，，， ，得，则， 又，，且， 又平面平面ABC ，平面平面，平面ABC ，平面PAB ，外接球的球心在直线CD上，设球心为O，连接OA ，则OA为外接球的半径，设为R ，则，即，解得，外接球的表面积，故答案为：．试卷第12页，总12页。
2021年高考数学小题综合狂练(理科数学)(9)(解析版)
12021年高考理科数学小题狂练9（非新高考地区）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注：满分80份，选择题12小题，填空题4小题，每小题5分。
限时：40分钟 一、单选题（每小题5分，共12小题，满分60分）1. 已知复数z 的共轭复数是z ，且|z |=z +1−2i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了复数相等、复数的模，共轭复数，复数的几何意义，复数的运算，属于基础题．设z =x +yi(x,y ∈R)，代入|z|=z −+1−2i ，可得{√x 2+y 2=x +1y +2=0，解方程组即可解决问题． 【解答】解：设z =x +yi(x,y ∈R)， ∵|z|=z −+1−2i ，∴√x 2+y 2=x −yi +1−2i =(x +1)−(y +2)i ，∴{√x 2+y 2=x +1y +2=0,解得：{x =32y =−2, ∴复数z 在复平面内对应的点为(32,−2)，此点位于第四象限． 故选D ．2. 设集合A ={x|x 2−4≤0}，B ={x|2x +a ≤0}，且A ∩B ={x|−2≤x ≤1}，则a =( )A. −4B. −2C. 2D. 42【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了集合的交集运算，属于基础题． 化简集合A 和集合B ，再利用条件即可求解． 【解答】解：由已知可得A ={x|−2⩽x ⩽2}，B ={x|x ⩽−a2}， 又因为A ∩B ={x|−2⩽x ⩽1}， 所以−a2=1，从而a =−2, 故答案选B ．3. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B. 16πC. 9πD.27π4【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查四棱锥外接球的表面积，属于基础题．利用正四棱锥的底面边长和高求出外接球的半径，进而可得表面积． 【解答】解：由题可知正四棱锥P −ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1上，记为O ，设球的半径为R ，∵棱锥的高为4，底面边长为2， ∴R 2=(4−R)2+(√2)2，3∴R =94，∴该球的表面积为4π×(94)2=81π4．故选A ．4. 点P 是抛物线y 2=4x 上一动点，则点P 到点A(0,−1)的距离与点P 到直线x =−2的距离和的最小值是( )A. √5B. √2C. √2−1D. √2+1【答案】D【解析】解：由题可知，焦点F(1,0)，准线为x =−1，过P 作PN ⊥准线于N ，连接PF 、AF ，由抛物线的定义可知，|PN|=|PF|，|FA|≤|PA|+|PF|，所以当P 为AF 与抛物线的交点时，点P 到点A 的距离与点P 到直线x =−1的距离之和的最小值为|FA|=√2，所以点P 到点A 的距离与P 到直线x =−2的距离和的最小值是√2+1． 故选：D ．过P 作PN ⊥准线于N ，连接PF 、AF ，由抛物线的定义可知，|PN|=|PF|，|FA|≤|PA|+|PF|，所以当P 为AF 与抛物线的交点时，点P 到点A 的距离与点P 到直线x =−1的距离之和最小，此时与到直线x =−2的距离和也最小．本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的数学结合思想和运算能力，属于中档题． 5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(，)(i =1，2，，20)得到下面的散点图：4由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A. y =a +bxB. y =a +C. y =a +D. y =a +b x【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数模型的应用，属于基础题．连接各点，判断图象的大致走向，可判断函数为对数模型． 【解析】解：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y =a +bln x ． 故选D ．6. 已知曲线y =x 24−3lnx 的一条切线的斜率为−12，则切点的横坐标为( )A. 3B. 2C. 1D. 12【答案】B 【解析】5【分析】本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题和易错题．【解答】解：因为y =x 24−3lnx ，所以y′=x 2−3x ．再由导数的几何意义，令x2−3x =−12，解得x =2或x =−3(舍去)． 故选B ．7. 已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的最大值为√2，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2，且f(x)的图像关于点(−π12,0)对称，则下列判断正确的是( )A. 函数f(x)在[π6,π3]上单调递增 B. 函数f(x)的图像关于直线x =512π对称 C. 当x ∈[−π6,π6]时，函数f(x)的最小值为−√2D. 要得到函数f(x)的图像，只需要y =√2cos2x 将的图像向右平移π6个单位【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质及函数图象变换，由题意可求A ，f(x)的周期T ，利用周期公式可求ω，利用正弦函数的对称性可求φ，可得f(x)的解析式，利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可判断求解． 【解答】解：∵函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)，函数的最大值是√2，∴A =√2， ∵其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴T =2πω=π，解得，ω=2，∵f(x)的图象关于点(−π12,0)对称，∴2×(−π12)+φ=kπ,(k ∈Z)， 解得，φ=kπ+π6，k ∈Z ，又∵|φ|<π2，解得，φ=π6，6所以f(x)=√2sin(2x +π6)，对于A ，由x ∈[π6,π3]，可得：2x +π6∈[π2,5π6]，由正弦函数的图象和性质可得函数f(x)在[π6,π3]上单调递减，故错误；对于B ，f(x)的对称轴由2x +π6=kπ+π2,(k ∈Z)，可得x =12kπ+π6,(k ∈Z)，直线x =512π不是其对称轴，故错误；对于C ，x ∈[−π6,π6]时，2x +π6∈[−π6,π2]，可得f(x)=√2sin(2x +π6)∈[−√22,√2]，故错误；对于D ，将y =2cos2x 的图象向右平移π6个单位，可得，y =√2πcos[2(x −π6)]=√2cos(2x −π3)=√2cos(2x +π6−π2)=√2sin(2x +π6)的图象，故正确． 故选D ．8. 在(√x −2)5的展开式中，x 2的系数为( )A. −5B. 5C. −10D. 10【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得x 2的系数． 【解答】解：(√x −2)5的展开式中，通项公式为T r+1=C 5r ⋅(−2)r ⋅x5−r2，令5−r 2=2，求得r =1，可得x 2的系数为C 51⋅(−2)=−10，故选：C ．9. 设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π3)的值为( )A. 1225B. 2425C. −2425D. −1225【解析】【分析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式、二倍角公式，属于基础题．利用同角三角函数基本关系式，求出sin(α+π6)，再利用二倍角公式，即可求出结果．【解答】解：∵α为锐角，cos(α+π6)=45，，，则sin(2α+π3)=2sin(α+π6)cos(α+π6)=2×35×45=2425．故选B．10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 3π2+1+√32B. 3π+12+√32C. 3π+1+√32D. 3π+1+√32【答案】C【解析】【分析】本题考查了常见几何体的三视图和表面积计算，属于中档题．几何体上部为三棱锥，下部为半球，根据三视图得出棱锥的棱长和半球的半径，代入数据计算即可．7解：由三视图可知几何体上部为三棱锥，下部为半球，三棱锥的底面和2个侧面均为等腰直角三角形，直角边为1，另一个侧面为边长为√2的等边三角形，半球的直径2r=√2，故r=√22．∴S表面积=12×1×1×2+√34×(√2)2+12×4π×(√22)2+π×(√22)2−12×1×1=12+√3 2+3π2．故选：C．11.已知M:+−2x−2y−2=0，直线l:2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，且切点为A，B，当|PM||AB|最小时，直线AB的方程为()A. 2x−y−1=0B. 2x+y−1=0C. 2x−y+1=0D. 2x+y+1=0【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式，切线的性质，属较难题．由题意，根据切线的性质及圆的对称性可知，要使|PM|·|AB|最小，只需|PA|最小，即|PM|最小，此时，进而利用点到直线的距离公式以及切线的性质求解即可．【解答】解：圆M方程化为：(x−1)2+(y−1)2=4，圆心M(1,1)，半径r=2，根据切线的性质及圆的对称性可知，则|PM|⋅|AB|=4S△PAM=2|PA|⋅|AM|，要使其值最小，只需|PA|最小，即|PM|最小，此时，89∴|PM|=5=√5，|PA|=√|PM|2−|AM|2=1，过点M 且垂直于l 的方程为y −1=12(x −1)，联立l 的方程解得P(−1,0)， 以P 为圆心，|PA |为半径的圆的方程为(x +1)2+y 2=1，即x 2+y 2+2x =0， 结合圆M 的方程两式相减可得直线AB 的方程为2x +y +1=0， 故答案为D ．12. 若2a +log 2a =4b +2log 4b ，则( )A. a >2bB. a <2bC. a >b 2D. a <b 2【答案】B 【解析】 【分析】本题考查指数及对数的运算性质，指数及对数函数的单调性，属中档题．根据指数及对数的运算性质，4b +2log 4b =22b +log 2b ，根据指数及对数的运算性质，4b +2log 4b =22b +log 2b ，由此可得答案． 【解答】解：根据指数及对数的运算性质，4b +2log 4b =22b +log 2b ， ∵log 2(2b )=log 2b +1>log 2b ，∴22b +log 2(2b )>22b +log 2b =2a +log 2a ， 根据函数f (x )=2x +log 2x 是定义域上的增函数， 由f (2b )>f (a )，得a <2b ， 故答案为B ．10二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x 、y 满足线性约束条件{x ≥1y ≥−1x +y ≤4，则目标函数z =2x +y 的最大值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z =2x +y 过点A(5,−1)时，z 最大值即可． 【解答】解：先根据实数x 、y 满足线性约束条件{x ≥1y ≥−1x +y ≤4画出可行域，然后平移直线z =2x +y ，如图，当直线z =2x +y 过点A(5,−1)时，z 最大值为9． 故答案为：9．14. 已知向量|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=2，|2a ⃗ +b ⃗ |=2√13，则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为_____________． 【答案】π3 【解析】11 【分析】本题主要考查了向量的数量积和向量的夹角，属于基础题．对|2a ⃗ +b ⃗ |=2√13平方，运用向量的数量积公式即可解得答案．【解答】解：因为|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=2，|2a ⃗ +b ⃗ |=2√13， 所以|2a ⃗ +b ⃗ |2=4×9+4+4a ⃗ ·b ⃗ =52， a ⃗ ·b ⃗ =3，所以cos <a ⃗ ，b ⃗ >=a ⃗ ·b ⃗ |a ⃗ |·|b ⃗ |=36=12， 因为夹角范围为， 所以a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为． 15. 已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．【答案】√3−1；2【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题．根据题意，可得正六边形的一个顶点(c 2,√3c 2)，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；再根据双曲线渐近线斜率求出双曲线离心率即可．【解答】解：椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1， 若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，又椭圆的一个焦点为(c,0)，可得正六边形的一个顶点(c 2,√3c2)， 可得：c 24a 2+3c 24b 2=1，可得14e 2+34(1e 2−1)=1，可得e 4−8e 2+4=0，e ∈(0,1)， 解得e =√3−1．12 同时，双曲线的渐近线的斜率为√3，即n m =√3，可得：n 2m 2=3，即m 2+n 2m 2=4，可得双曲线的离心率为√m2+n 2m 2=2．故答案为：√3−1；2．16. 如图，在三棱锥P −ABC 的平面展开图中，AC =1，AB =AD =√3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos∠FCB =__________．【答案】−14【解析】【分析】本题考查利用正余弦定理解三角形，属于中档题．现在△ACE 中由余弦定理求得CE ，则CE =CF =1，再在△ABC 中由勾股定理求得BC ，最后在△BCF 中由余弦定理即可得解．【解答】解：由已知得BD =√2AB =√6，∵D 、E 、F 重合于一点，∴AE =AD =√3，BF =BD =√6，∴△ACE 中，由余弦定理得，∴CE=CF=1，BC²=AC²+AB²，BC=2，∴在△BCF 中，由余弦定理得．故答案为．13。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年高三数学小题狂做（9）理
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、若集合，，则（）
A． B．
C． D．
3、如图，在正四棱柱中，点是面内一点，则三棱锥的正视图与
侧视图的面积之比为（）
A． B． C． D．
4、已知过定点的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的
面积取到最大值时，直线的倾斜角为（）
A． B． C． D．不
存在
5、已知实数，满足，若目标函数的最大值与最小值的差为，则实数的值为（）
A． B． C． D．
6、在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，则等于（）
A． B． C． D．
7、以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（）
A．或 B．或 C． D．
8、如图所示程序框图，其功能是输入的值，输出相应的值．若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有（）
A ．个
B ．个
C ．个
D ．个 9、给出下列命题：
①若()5
2
3
4
5
0123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则
②，，是三个不同的平面，则“，”是“”的充分条件 ③已知，则
其中正确命题的个数为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 10、如图，，分别是函数（，）的图象与两条直线，（）的两个交点，记，则图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 11、设无穷数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（无论多小），总存在正整数，使得时，恒有成立，就称数列的极限为．则四个无穷数列：①；②
()()11111335572121n n ⎧⎫⎪⎪
+++⋅⋅⋅+⎨⎬⨯⨯⨯-+⎪⎪⎩⎭
；③；④，其极限为2共有（ ） A ．个 B ．个 C ．个 D ．个 12、设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、，，，四封不同的信随机放入，，，个不同的信封里，每个信封至少有一封信，其中没有放入中的概率是 ．
14、已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为 ． 15、已知三角形中，，，，，若是边上的动点，则的取值范围是 ．
16、已知函数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为 ．
xx高三理科数学小题狂做（9）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
13、 14、 15、 16、E26669 682D 栭25499 639B 掛32920 8098 肘sI 38809 9799 鞙V35153 8951 襑29348 72A4 犤%-39980 9C2C 鰬。