大学物理习题1解答

作业1 质点运动学力1-1 有一物体做直线运动，它的运动方程式为x = 6t2 -2t3，x单位为米，t单位为秒．则⑴第2秒内的平均速度为4m/s；⑵第3秒末的速度为-18m/s；⑶第1秒末的加速度为0m/s2；⑷这物体所做运动的类型为加速度减小的加速直线运动．原题1-11-2 一质点在xOy平面内运动，其运动方程为以下五种可能：⑴x=t，y = 19 -2/t；⑵x = 2t，y = 19 - 3t；⑶x = 3t，y = 17- 4t2；⑷x = 4sin5t，y = 4cos5t；⑸x = 5cos6t，y = 6sin6t，那么表示质点作直线运动的方程是⑵，作圆周运动的方程是⑷，作椭圆运动的方程是⑸，作抛物线运动的方程是⑶，作双曲线运动的方程是⑴．原题1-21-3 质点在xOy平面内运动，其运动方程为：x = 10-2t2，y = 2t，⑴计算什么时刻，其速度与位矢正好垂直？⑵什么时刻，加速度与速度间夹角为45？原题1-41-4 两辆车A、B在同一公路上作直线运动，方程分别为x A = 4t + t2，x B = 2t2 + 2t3,若同时发车，则刚离开出发点（t = 0）时，哪辆车行驶的速度快？出发后什么时刻两车行驶距离相等，什么时候B车相对A车速度为零？原题1-51-5在与速率成正比的阻力影响下，一个质点具有加速度a =-0.2υ，求需多长时间才能使质点的速率减小到原来速率的一半．原题1-7υ（式中的c为常数，1-6半径为R作圆周运动的质点，速率与时间的关系为2=ctt以秒计），求：⑴t = 0到t时刻质点走过的路程．⑵t时刻质点加速度的大小．原题1-81-7 离水面高为h 的岸边，有人用绳拉船靠岸，船在离岸s 米处，如图所示，当人以0υ米/秒恒定的速率收绳时，试求船的速度和加速度的大小．原题 1-111-8 一路灯距地面高度为 h ，身高为 l 的人以速度 0υ 在路灯下匀速慢跑，如图所示，求人的影子中头顶的移动速度 υ，并求影长增长的速率 u ． P8 1.3 解：建立坐标系，人坐标为1x ，人影头顶坐标为2x ． 则 t x d d 2=υt x d d 2=υ，txd d 10=υt x d d 10=υ ∵ 12x x - 为人影长度，∴ )(d d 12x x tu -=t xt x d d d d 12-=0υυ-=由图知 122x x l x h -=， 12x lh h x -=∴ t x d d 2=υt x l h h d d 1-=0υl h h -=, 0υυ-=u 0υlh l -=1-9 质点沿半径为0.100 m 的圆周运动，其角位移 θ 随时间 t 的变化规律是θ= 2 + 4t 3（SI ），在 t = 2 s 时，它的法向加速度 =n a ___21030.2⨯=n a ___2s m -⋅，切向加速度=t a _____80.4=t a ____2s m -⋅．参考解：22.1d d t t R ==θυ, 424.14t Ra n ==υ, t t a t 4.2d d ==υ .当 s t 2=时, 21030.2⨯=n a 2s m -⋅, 80.4=t a 2s m -⋅1-10 质点 M 在水平面内运动轨迹如图所示，OA 段为直线，AB 、BC 段分别为不0υhs 题1-7图 hl 题1-8图x x xO同半径的两个 1/4 圆周．设t = 0 时，M 在O 点，已知运动方程为 s = 10 t + 2t 3 （SI ），求 t = 2 s 时刻，质点M 的切向加速度和法向加速度． 解： ∵ s = 10 t + 2t 3 ∴各瞬时质点的速率：=υd s /d t = 10 + 6t 2 切向加速度：22t d d d d ts t a ==υ = 12 t法向加速度：ρυ2n =a∴ t = 2 s 时， s = … = 36 m (在大圆上)， =υ34 m /s ，a t = 24 m /s 2， a n = 57.8 m /s 21-11 质量m 为10 kg 的木箱放在地面上，在水平拉力F 的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间是变化关系如图所示．已知木箱与地面间的摩擦系数 为0.2，求t 为4s 和7s 时，木箱的速度大小．（g = 10 m /s 2）． 原题 2-41-12 某质点质量 m = 2.00 kg ， 沿x 轴做直线运动，受外力2610x F +=(SI 制)．若在0x = 0处，速度 00=υ，求该物体移到 x = 4.0 m 处时速度的大小．解： 因为运动方程为 2610x ma F +==， 又 xt x x t a d d d d d d d d υυυυ===，则 有 2610d d x x m +=υυ 即x x mxvd )610(1d 020⎰⎰+=υυ得 130.4=υ1s m -⋅F (N) 30 0 4 7 题1-11图MO A B 10m20m10ms 题1-10图1-13 光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R ，一物体贴着环带的内侧运动，如图所示，物体与环带间的滑动摩擦系数为 k μ，设物体在某一时刻经A 点时的速率为0υ，求此后t 时间物体的速率以及从A 点开始所经过的路程． 原题 2-61-14．质量为m 的物体在竖直平面内沿着半径为R 的圆形轨道作圆周运动．设t 时刻物体瞬时速度的大小为υ，速度的方向与竖直方向成θ角（如图所示）．求： ⑴ t 时刻物体的切向加速度t a 和法向加速度n a ． ⑵ t 时物体对轨道的压力的大小N ．解：建立切向、法向坐标，列方程 切向：θsin t mg ma = ，法向：N mg ma '+=θcos n ，R a 2n υ=，N N = ⑴ θsin t g a = R a 2n υ= ⑵ θυcos 2mg Rm N -=1-15 质量为m 的静止物体自较高的空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度成正比的阻力的作用，比例系数为k > 0，该下落物体的收尾速度（即最后物体作匀速运动时的速度）．解: υυk mg tm -=d d⎰⎰=-t v t m k g 00d d υυ ⎰⎰-=-t t m k k mg 00d d υυυ t m k k mg -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-υυ0lnt m k k mg k mg -=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-ln ln υt mkkmg kmg -=--υlnt mk ekmg kmg -=--υ)1(t m ke k mg --=υ “最后”,相当于∞→t , 则有 kmgm =υ R A题1-13图 0υOm R 题1-14图θυO mR θυ N 'gm*1-16如图所示，一弯曲杆OA 可绕Oy 的轴转动，OA 上有一个小环，可无摩擦地沿OA 运动．当OA 绕Oy 轴以角速度 转动时，欲使小环与杆OA 保持相对静止，试求杆OA 的形状 （即给出函数关系?)(==x f y ）．原题 2-8*1-17 以初速率 0υ 从地面竖直向上抛出一质量为 m 的小球，小球除受重力外，还受一个大小为 2 υαm 的粘滞阻力（α为常数，υ为小球运动的速率），求当小球回到地面时的速率．P25 2-1 解：取地面为原点，y 轴正向竖直向上．小球上抛时，由牛顿第二定律有 tm m mg d d 2 υυα=--变量替换 y y t y t d d d d d d d d υυυυ==，有 y m m mg d d 2 υυυα=--，即 y m mg m d d 2=+-υαυυ 积分y m mg m h ⎰⎰=+-02 0d d 0υαυυυ 得最大高度 mgm mg h 20ln 21υαα+= ① 小球下落时，由牛顿第二定律有 tm m mg d d 2 υυα=+-变量替换后有 y m m mg d d 2 υυυα=+-， 即 y m mg m d d 2 =--υαυυ 积分y m mg m h ⎰⎰=---02 0d d 1υαυυυ 得 21 ln 21υααm mg mgh -= ②由①、②式有21 20 ln 21ln 21υααυααm mg mgmg m mg -=+，解得： gg +=2001αυυυ 题1-16图 AgmNO αx作业3 刚 体3-1 一飞轮的转动惯量为J ，在 t = 0时角速度为0ω，此后飞轮经历制动过程，阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数k > 0，当30ωω=时，飞轮的 角加速度=β ，从开始制动到30ωω=时，所经过的时间 t = .解：由转动定律：βωJ K M =-=2 将30ωω=代入 得 J k 920ωβ-=由 tJ J K d d 2ωβω==-t Jktod d 0320⎰⎰=-ωωωω解得 k J t 02ω= 3-2 一滑轮半径为10cm, 转动惯量为 22m kg 100.1⋅⨯-,有一变力 230.050.0t t F += (N)沿切线方向作用在滑轮的边沿上，滑轮所受力矩为 203.005.0t t + m N ⋅．如果滑轮最初处于静止状态，则在0.3s 后的角速度为 49.5 rad /s ． 解：()230.050.010.0t t rF M +⨯==()203.005.0t t += m N ⋅tJM d d ω=⎰⎰=ωd d J t M ()()tt t ood 03.005.0d 100.10.322⎰⎰+=⨯-ωω5.49=ωrad/s3-3 如图，滑块A ，重物B 和滑轮C 的质量分别为m A = 50 kg ，m B = 200 kg 和m C = 15 kg ，滑轮半径为R = 0.10 m ，220R m J C =，A 与桌面之间，滑轮与轴承间均无摩擦，绳质量可不计，绳与滑轮间无相对滑动．求滑块A 的加速度及滑轮两边绳中的张力．解：P110 6.3 a M T A A = （1）a m T g m B B B =-（2）2)(2ββR m J R T T C A B ==-（3）βR a = （4）所以 2c B A B m m m gm a ++= = 7.61 m /s 2a M T A A == 381 N )(a g m T B B -== 440 NA BC题3-3图3-4 如图所示，一半径为R 质量为m 的均匀圆盘，可绕水平固定光滑轴转动，转动惯量为 J = mR 2/2，现以一轻绳绕在轮边缘，绳的下端挂一质量为m 的物体，求圆盘从静止开始转动后，它转过的角度和时间的关系．原题 5-23-5 以力F 将一块粗糙平面紧压在轮上，平面与轮之间的滑动摩擦系数为μ，轮的初角速度为 0ω，问转过多少角度时轮即停止转动？已知轮的半径为R ，质量为m ，可视为匀质圆盘，转动惯量为 J = mR 2/2；轴的质量忽略不计；压力F 均匀分布在轮面上． P115 6.13解：以轮心为中心，r 为半径，取宽为d r 的细环，细环上压力为 r r R F F d π2) π(d 2⋅⋅=， 细环上摩擦力为 r r R F F f d )(2d d 2μμ==d f 对轴的力矩为 r r R F f r M d )(2d d 22μμ== 总摩擦力矩为 r r R F M M d )(2d R22⎰⎰==μ32FR μ=由动能定理 020ωθJ M -=∆⋅- ∴ FmR μωθ832=∆3-6 已知滑轮对中心轴的转动惯量为J ，半径为R ，物体的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，斜面的倾角为θ且释放时绳子无伸长（如图所示），求物体下滑x 原题 5－5 解：∵ 仅保守力作功，∴ 机械能守恒θυωsin 212121222mgx m J kx =++而 R ωυ= ∴ R JmR kx mgx ⋅+-=22sin 2θυ题3-6图题3-4图题3-5图粗糙平面轴3-7 氧分子对垂直于两氧原子连线的对称轴的转动惯量为1.944610-⨯2m kg ⋅，氧分子质量为5.302610-⨯kg ．若氧气中有一个氧分子具有500 m /s 的平动速率，且这个分子的转动动能是其平动动能的2/3．这个分子转动角速度大小为 6.75×1012 (rad/s)．解：22kr ωJ E =，2kt υm E =，2kt kr E E =，υω)3(2J m == 6.75×1012(rad/s) P116 6.143-8 一人手执两个哑铃，两臂平伸坐在以0ω角速度旋转的转轴处，摩擦可不计，现突然将两臂收回，转动惯量为原来的1/3，则收臂后的转动动能是收臂前的 3 倍．解：000ωωJ J = 收臂后角速度 03ωω= ，收臂前动能 2200ωJ E k =收臂后动能 ()()232320200ωωJ J E k ==' ∴3='k k E E3-9 质量为m ，半径为R 的匀质薄圆盘，可绕光滑的水平轴 O '在竖直平面内自由转动，如图所示，圆盘相对于轴的转动惯量为 32mR ，开始时，圆盘静止在竖直位置上，当它转动到水平位置时，求：(1) 圆盘的角加速度；(2) 圆盘的角速度；(3) 圆盘中心O 点的加速度． 原题 5－93-10 质量分别为m 和2m ，半径分别为r 和2r 的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr 2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m 的重物，如图所示．求盘的角加速度的大小．原题 5－10题3-9图题3-10图3-11 质量为m ，长为L 的匀质木棒可绕Ｏ轴自由转动，转动惯量为 J = mL 2/3，开始木棒铅直悬挂，现在有一只质量为m 的小猴以水平速度v 0抓住棒的一端（如图），求：⑴ 小猴与棒开始摆动的角速度；⑵ 小猴与棒摆到最大高度时，棒与铅直方向的夹角．原题 5-73-12 如图所示，一质量m 、长 l 的匀质细杆，以O 点为轴，从静止在与竖直方向成0θ角处自由下摆，到竖直位置时与光滑桌面上一质量也为m 的静止物块（可视为质点）发生弹性碰撞，已知杆对O 轴的转动惯量为32l m ．求：⑴棒开始转动时的角加速度;⑵ 棒转到竖直位置碰撞前的角速度1ω及棒中央点C 的速度1C υ． ⑶ 碰撞后杆的角速度2ω和物块的线速度2υ．解：⑴ 由转动定律 βJ M = 0sin 2θlmg M =联立求得 lg 2sin 30θβ=（2s rad ）⑵ 棒从0θ角转到竖直位置过程，机械能守恒有：()21021cos 12ωθJ l mg =-， ()212061cos 12ωθl m l mg =-得： ()l g 01cos 13θω-=①， ()011cos 13212θωυ-==gl l C⑶ 棒与物块在弹性碰撞过程中对转轴的角动量守恒，有：222123131υωωml ml ml += ② 由机械能守恒，得： 222222122131213121υωωm ml ml +⨯=⨯ ③ 联立 ① ② ③ 式得：()02cos 1321θυ-=gl ()02cos 1321θω--=l g （逆时针反转） 题3-12图θmmO CC题3-11图3-13 单摆和直杆等长l ，等质量m ，悬挂于同一点O ，摆锤拉到高度h 0（h 0 ≤ l ）放开，与静止的直杆作弹性碰撞，已知直杆绕O 点的转动惯量32ml J =，求碰撞后直杆下端可上升的最大高度h ．解: 碰撞前摆锤速率 02gh =υ设碰撞后摆锤速率υ，直杆角速率ω，已知 32ml J =，则 碰撞前后角动量守恒 ωυυJ ml ml +=0碰撞前后机械能守恒 222212121ωυυJ m m += 直杆上升过程机械能守恒 222h mg J =ω 解得 l230υω=230h h =*3-14 一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心O 的固定水平轴在铅垂平面内自由转动（转动惯量为 122l m ），开始时杆静止于水平位置．一质量与杆相同的昆虫以速率0υ垂直落到距O 点 4l 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示．若要使杆以匀角速度转动，试求昆虫沿杆爬行的速率．P107 6.5 解：设杆和虫的重量均为m ，碰后角速度为ω，虫落到杆上为完全非弹性碰撞（时间很短，重力可忽略），对杆和虫的系统，合外力矩为零，角动量守恒ωυ])4(12[4220l m l m l m +=得 l0712υω=设碰后t 时刻，杆转过θ角，虫爬到距O 点为r 处，此时杆和虫系统所受合外力矩为θcos mgr M =根据角动量定理有 tJ M d )(d ω=由题设ω不变，∴ tJ M d d ω=t 时刻系统对O 的转动惯量为 2212mr l m J +=，代入上式，有tr r m mgr d d 2cos ωθ=∴ 为了保持ω不变，虫的爬行速录应为l712υω=ωθυ2cos d d g t r ==t gωωcos 2=)(0712cos 2470t l l υυ= h 0l l m mO 题3-13图题3-14图4l O 0υ4l Oθrυmgmm作业5 热力学基础5-1 一定量理想气体从a (2p 1，V 1) 状态经历如图直线过程到 b (p 1，2V 1) 状态，则在ab 过程中系统对外作功 A = 3P 1V 1/2 ，内能改变 E ∆= 0 ．解： 面积111111232)2(21V p V V p p A =-⨯+=）（，又因为b b a a V p V p =，所以B A T T =，0=∆E5-2 图示系统中, 由a 状态沿acb 到b 状态, 有335 J 热量传入系统, 而系统作功126J.⑴ 若沿adb 时，系统作功42 J ，问有多少热量传入系统？⑵ 当系统由b 状态沿线ba 返回a 状态时，外界对系统作功84 J ，试问系统是吸热还是放热？热量传递多少？ ⑶ 若E d - E a = 40 J ，求沿ad 和db 各吸收热量多少？原题 9—15-3 某理想气体在标准状态下的密度为0.0894 kg/m 3，求该气体的摩尔定压热容C p ,m及摩尔定体热容C V ,m ． 原题 9—2题5-2图 题5-1图2P P 1 15-4 图示为1摩尔的理想气体的T-V 图，ab 为直线，其延长线过O 点，则ab 过程是 等压 过程，在此过程中气体对外作功为 RT 0/2 ．原题 9—45-5 20g 的氦气（He ）从初温度为17o C 分别通过（1）等体过程；（2）等压过程，升温至27o C ，求气体内能增量，吸收的热量，气体对外做的功． 原题 9—55-6 理想气体由状态 ( p 0，V 0) 经绝热膨胀至状态( p ，V )，证明在此过程中气体所作的功为 )1()(00--=γpV V p A ．原题 9—7T 0 0 题5-4图5-7 容器内贮有刚性多原子分子理想气体，经准静态绝热膨胀过程后，压强减小为初压强的一半，求始末状态气体内能之比 E 1 : E 2 ． 原题 9—85-8 1 mol 理想气体，23R C V =，进行图示的循环，ab 和cd 为等压过程，bc 和da 为等体过程，已知：510026.2⨯=a p Pa ，0.1=a V L ，510013.1⨯=c p Pa ，0.2=a V L ．试求循环的效率．解： 循环中气体做功 )()(a b c a b a V V p V V p A ---=))((a b c a V V p p --== …… = 1.013 × 102 (J)R V p T a a a ==…= 24.4 (K)；R Vp T b b b ==…= 48.8 (K)；RVp T d d d ==…= 12.2 (K).在 da 等体过程和ab 等压过程中，气体吸热ab da Q Q Q +=1)()(a b p d a V T T C T T C -+-==…= 659 (J)∴ 循环的效率 1Q A=μ=…=15.4%5-9 一卡诺热机工作于温度为1000 K 与300 K 的两个热源之间，如果⑴ 将高温热源的温度提高100 K ，则理论上热机的效率将增加 3 %； ⑵ 将低温热源的温度降低100 K ，则理论上热机的效率各增加 10 %． 解：热机工作在1000 K 与300 K 之间时的效率 121T -=η=…= 70%⑴ 高温热源提高100 K 时的效率 1211T T '-=η=…= 73%，提高ηη-1= 3%； ⑵ 低温热源降低100 K 时的效率 1221T T '-=η=…= 80%，提高ηη-2= 10%；题5-8图p p ab5-10 汽缸内贮有36g 水蒸气（视为刚性分子理想气体），经abcda 循环过程如图所示，其中a →b 、c →d 为等体过程，b →c 为等温过程，d →a 为等压过程，试求： ⑴ A da = ？ ⑵ ∆E ab = ？ ⑶ 循环过程水蒸气作的净功A = ？⑷ 循环效率 η=？( 1atm=1.013×105 Pa)．原题 9—115-11 图示为一定量理想气体所经历循环过程的T-V 图，其中CA 为绝热过程，状态A (T 1,V 1)和状态B (T 1,V 2)为已知．求： ⑴ 状态C 的p 、V 、T 量值（设气体的γ和摩尔数已知）；⑵ 在AB 、BC 两过程中工作物质与热源所交换的热量，是吸热还是放热？ ⑶ 循环的效率． 原题 9—9题5-10图题5-11图5-12 一台电冰箱，为了制冰从260 K 的冷冻室取走热量209 kJ ．如果室温是300 K ，电力做功至少应是多少（假定冰箱为理想卡诺循环致冷机）？如果此冰箱能以0.209 kJ /s 的速率取出热量，试问所需电功率应是多少？ 解：此卡诺循环的致冷系数为 A Q w 2=212T T T -=260300260-==…= 6.5 从冷冻室取走热量209 kJ 时，所需电功至少为wQ A 2==…= 3.22×104 J = 32.2 kJ 如果此冰箱以0.209 kJ /s 的速率取出热量，所需电功率至少为 5.610209.03⨯=P = 32.2 w*5-13 有一套动力装置，用蒸汽机带动致冷机．若蒸汽机锅炉的温度为227℃，用暖气系统作为蒸汽机的制冷器，制冷器温度为57℃；致冷机在温度为7℃的天然蓄水池中吸热，并放给暖气系统．试求每燃烧1 kg 燃料（燃烧值为2.00×107 J /kg ）所能共给暖气系统热量的理想值． 解：蒸汽机的效率为 1211T T Q A -==η273227273571++-== 34% 从1 kg 燃料中吸收的热量为 1Q = 2.00×107 J 对外做功为 1Q A η==…= 6.80×106 J 因此放入暖气系统的热量为 A Q Q -=12 = 1.32×107 J 致冷机的致冷系数为 A Q w 2'=212T T T '-''=)2737()27357(2737+-++== 5.6 它从天然蓄水池中吸热 wA Q ='2= 3.81×107 J每燃烧1 kg 燃料所能共给暖气系统的总热量为12Q Q Q '+=总A Q A Q +'+-=2121Q Q '+==…= 5.81×107 J作业7 振 动7-1 固体中相邻原子之间的作用力类似于用弹簧联接的弹力．在常温下，固体中原子振动的频率约为 1310Hz ，某固体中的一个银原子以此频率振动，假设其余原子都不动．已知一摩尔银（有6.022310⨯个原子）的质量为 108 g ．则原子间的等 效劲度系数为 707 N /m ．P131. 7.4 解：银原子质量 m = 108×10-3/6.02×1023 , m v k 2)π2(== 707 N /m ． 7-2 喇叭膜片作简谐振动，频率为 440 Hz ，其最大位移为 0.75 mm ，则角频率为 880π ；最大速率为 2.07 m /s ；最大加速度为 5.73×103 m /s 2． P132. 7.6 解：)cos(ϕω+=t A x ，νωπ2=；)sin(ϕωωυ+-=t A ，A ωυ=m ax ； )cos(2ϕωω+-=t A a ，A a 2max ω=7-3 一汽车可视为是被支撑在四根相同的弹簧上，可沿铅垂方向振动，频率为3.00Hz ，车的质量为 1450 kg ，设车重均匀的分配在四根弹簧上，则每根弹簧的劲度系数k = 1.288×105 N /m ；若有平均质量为 73.00 kg 的 5 个人坐在车上，仍定车和人的总重量均分于四根弹簧上，则此时车与人所构成系统的振动频率为v = 2.68 Hz ．P137 7.14 解：四根弹簧并联 k k 4='，m k '=ω，m v k 22π== 1.288×105 N /mM = 1450 + 73 × 5， M k v 4)π21(= = 2.68 Hz7-4 图(a)、(b)为两个简谐振动的 x ~t 曲线，用余弦函数表示振动时，它们的初相位分别是 a ϕ= - π/3 ，b ϕ= π/2 ；角频率分别为a ω = 5π/6 rad /s ，b ω= π rad/s ；图(a)曲线上P 点的相位 P ϕ= π/3 ，速度的方向为 负 ，加速度的方向与速度的方向 相同 ，达到P 点的时刻 t = 0.8 s ．原题题7-4图(a)x t (s)A A /2PO 1 x t (s)AO17-5 一个小球和轻弹簧组成的系统，按 )ππ8cos(05.0 +=t x (SI) 的规律振动． ⑴ 求振动的角频率，周期，振幅，初相位，最大速度及最大加速度； ⑵ 求t = 1秒，2秒和10秒等时刻的相位．原题 19-17-6 一长方形木块浮于静水中，其浸入深度为 h ，用手慢慢下压木块，使其浸入深度变为 b ，然后放手任其运动．⑴ 试证明：若不计阻力，木块的运动为谐振动，并写出木块运动的动力学（微分）方程；⑵ 求振动的角频率，周期，振幅，初相位，并写出木块的运动学（余弦函数）方程．P138 7.15 解：⑴ 取如图所示的坐标系， 木块在任一位置x 处所受浮力为 g S x h f )(ρ+=由平衡条件有 g hS mg ρ= 木块所受合力为 x g S f mg F ρ-=-= 木块运动微分方程为 x g S t x m 22d d ρ-=gx hm -= 即 0d d 22=+x h gtx ∴木块的运动为谐振动．⑵ 振动的角频率 h g =ω， 周期 g h T π2= 设木块的运动学方程为 )cos(ϕω+=t A x由初始条件 t = 0时 h b A x -==ϕcos 0，0sin 0=-=ϕωυA ，求得 振幅 h b A -=， 初相位 0=ϕ∴木块的运动学方程为 )cos()(t h g h b x -=7-7有一个与轻弹簧相连的小球，沿x轴作振幅为A的简谐振动，该振动的表达式；②过平衡位置向x 用余弦函数表示，若t = 0时，球的运动状态为：①A=x-轴正向运动；③过x = A/2，且向x轴负方向运动．试用矢量图法确定相应的初相位．原题19-27-8 一质点在一直线上作简谐振动，当它距离平衡位置为+3.0 cm，其速度为9-cm/s，加速度为2ππ3-cm/s2．从此时刻开始计时，写出余弦函数形式的27振动方程，经过多长时间反向通过该点？原题19-37-9 当重力加速度g 改变dg 时，试问单摆的周期T 的变化d T 如何？写出周期的变化TT d 与重力加速度的变化g g d 之间的关系式．在某处（g = 9.80 m /s 2）走时准确的一个单摆挂钟被移至另一地点后每天慢10 s ，试用上关系式计算该地的重力加速度的值．原题 19-67-10 一质点作谐振动，其振动方程为：]4π)3πcos[(100.62-⨯=-t x (SI)⑴ 当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半；⑵ 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？原题 19-77-11 有两个同方向、同频率的谐振动，其合成振动的振幅为0.20米，其相位与第一振动的相位差为6π，已知第一振动的振幅为0.17米，求第二振动的振幅以及第一和第二振动之间的相位差．原题 19-87-12 已知 x 1 = 6.0cos()π75.0π100+t mm ，x 2 = 8.0cos()π25.0π100+t mm ，求合成振动的振幅及相位，并写出余弦函数形式的振动方程．原题 19-97-13 有一根轻弹簧，下面挂一质量为10g 的物体时，伸长为4.9 cm ，用此弹簧和质量为80g 的小球构成一弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0 cm 后，给予向上的速度5.0 cm/s ，试求振动的周期及余弦函数形式的振动方程．原题 19-10*7-14 如图所示，一直角匀质刚性细杆，水平部分杆长为l ，质量为m ，竖直部分杆长为 2l ，质量为2m ，细杆可绕直角顶点处的水平固定轴O 无摩擦地转动，水平杆的末端与劲度系数为k 的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置．试求杆作微小摆动时的周期． P122 7-1 解：设平衡时弹簧伸长0x ，∵细杆系统O 的对合外力矩为零，有20l mg l kx =当细杆摆到任意角度θ位置时，弹簧的伸长量为x x +0，细杆系统所受合外力矩为θθθcos )(sin 2cos )2(0l x x k mg l mg M +--= ② ∵摆动幅度微小， ∴ θl x ≈，1cos ≈，θθ≈sin ， 以上各式与式①一同代入式②，有 θ)2(2kl mgl M +-=由刚体的定轴转动定律，有 θθ)2(d d222kl mgl tJ +-=细杆对O 的总转动惯量为 3)2()2(322l m l m J +=23ml =∴细杆作微小摆动的微分方程为 032d d 22=++θθmlklmg t角频率为 mlklmg 32+=ω， 周期为kl mg ml T +=23π2*7-15 设有两个相互垂直的同频率谐振动t x cos 5ω= 和 )cos(3 δω+=t y ，其中)158arccos(=δ．求合振动的轨迹． P144 7.26 解：由x 方向的振动得 t x ωcos 5= ①由y 方向的振动得 δωδωsin sin 3cos cos 3t t y -=δωδsin sin 3cos )53(t x -= 也可写成 t x y ωδδsin sin ]cos )4()3[(-=- ②将式①和式②平方后相加，有 1sin ]cos )4()3[(25222=-+δδx y x 式中 158cos =δ，225161sin 2=δ，代入上式并化简， 得合振动的轨迹方程 1612516922=+-y xy x 该轨迹为斜椭圆，如图所示．ll2kO题7-14图k作业9 光的干涉9-1 两束平面相干光都以光强I 平行地照射到某一表面上，两光合成可能达到的最大强度是 I 4 ．9-2 在双缝干涉实验中，光的波长为600 nm ，双缝间距为2 mm ， 双缝与屏的间距为3.00 m ，在屏上形成干涉图样的明条纹间距为 0.9 mm ．解：双缝干涉相邻明条纹间距为d D x λ=∆9-3 在真空中波长为λ的单色光，在折射率为n 的透明介质中从A 沿某路径传播到B ．若A 、B 两点相位差为π3，则此路径AB 的光程差为 λ5.1 ．9-4 在双缝干涉实验中，入射光的波长为λ，用透明玻璃纸遮住双缝中的一个缝，若玻璃纸中光程比相同厚度的空气的光程大 2.5λ， 则屏上原来的明纹处变为 暗纹 ．（填明纹、暗纹、无法确定）．9-5 在双缝干涉实验中，用汞弧灯加上绿色滤波片作光源，两缝间距为0.6 mm, 在2.5 m 远处的屏幕上出现干涉条纹，测得相邻两明纹中心距离为2.27 mm ．求入射光的波长． 解：相邻两条纹的间距 d D x λ=∆D d x ⋅∆=λ5.2106.01027.233--⨯⨯⨯= =710448.5-⨯=m 8.544=nm9-6 如图所示，在双缝干涉实验中入射光的波长为550 nm ，用一厚度为μm 85.2 =e 的透明薄片盖住1S 缝，发现中央明纹移动了3个条纹，上移至O '点，求透明薄片的折射率．解：当透明薄片盖住一条缝时，光程差将增加e n e ne )1(-=- ，正是这一附加光程差使中央明纹移动到原来3级明纹的位置，即 λ3)1(=-e n ， 58.111085.21050.531367=+⨯⨯⨯=+=--e n λS O '9-7 在杨氏双缝干涉实验装置中，双缝间距为0.5 mm ，双缝至屏幕的距离为1.0m ，屏上可见到两组干涉条纹，一组由波长为480 nm 的光产生，另一组由波长为600 nm 的光产生，求这两组条纹中的第三级干涉明条纹之间的距离． 原题 21—19-8 薄钢片上有两条紧靠的平行细缝，用波长λ= 546.1 nm 的平面光波正入射到钢片上，屏幕距双缝的距离为D = 2.00m ，可测得中央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为x ∆=12.0 mm ．求： ⑴ 两缝间的距离；⑵ 从任一明条纹（计作0）向一边数到第20条明条纹，共经过多大距离； ⑶ 如果使光波斜射到钢片上，条纹间的距离如何改变？ 原题 21—29-9 一束波长为λ的单色平行光垂直照射在薄膜上，经上、下两表面反射的两束光发生干涉，如图所示，薄膜厚度为e ． ⑴ 若n 1<n 2>n 3，则两束反射光的光程差=δ 222λ+e n ； ⑵ 若321n n n <<，则两束反射光的光程差=δ e n 22 ．解：⑴ n 1<n 2>n 3，上表面反射光1有半波损，下表面反射光2没有半波损，故两束反射光程差为 222λδ+=e n⑵ 若321n n n <<，上、下两表面反射光均有半波损，光程差为 e n 22=δ9-10 一束波长为λ的单色光由空气垂直入射到折射率为n 的透明薄膜上，透明薄膜放在空气中，要使反射光得到干涉加强，则薄膜的最小厚度为 n 4λ ． 解：上表面反射光有半波损，下表面反射光没有半波损，光程差为 22λδ+=ne 干涉加强条件为 22λδ+=ne λk = 取1=k ，n e 4λ=最小9-11 将单色光垂直照射在空气劈尖上，若将整个劈尖装置由空气放入水中，观察3n题9-9图劈尖条纹的变化为 变窄 （填“变窄”或“不变”或“增大”）． 解：由劈尖条纹间距公式 θλ22n l =∆，劈尖由空气放入水中2n 增大，θ不变，∴l∆减小．9-12 在图示的三种透明材料构成的牛顿环装置中，用单色光垂直照射，在反射光中看到干涉条纹，则在接触点P 附近形成的圆斑为：右半部 暗 （填“明”或“暗”），左半部 明 （填“明”或“暗”）． 解：在接触点P ，0=e ．在左半边上下表面反射光均有半波损，光程差为0，为明纹．而在右半边，仅上表面反射光有半波损,光程差为2λ,为暗纹.9-13 如图所示，用波长为λ的单色光垂直照射折射率为2n 的劈尖膜（2321,n n n n >>）观察反射光干涉，从劈尖顶开始，第2条明纹对应的薄膜厚度为=e ___)4(32n λ____．解：劈尖膜仅下表面反射光有半波损．∴ λλ2222=+e n 得 )4(32n e λ= 9-14 为了测量由两平板玻璃构成的空气劈尖的微小夹角,用波长为589 nm 的平行光垂直照射空气劈尖,测得反射光的等厚干涉条纹的间距0.4=∆l mm ．⑴求劈尖的夹角；⑵接着在该空气劈尖中充满待测液体，再测得干涉条纹间距0.3='∆l mm,求液体的折射率．解：⑴ 劈尖等厚干涉条纹间距 θλsin 22n l =∆空气劈尖 12=n ，劈尖的夹角一般很小，63921037.7100.412105892sin ---⨯=⨯⨯⨯⨯=∆=≈l n λθθrad ⑵ 充液后 0.3='∆l mm ，但λ和θ都保持不变，设待测液体的折射率为2n '，则 2222)sin 2/()sin 2/(n n n n l l '='=∆'∆θλθλ 33.10.30.4122=⨯='∆∆='l l n nP题9-12图1n 2n 3n 题9-13图9-15 牛顿环装置中平凸透镜的曲率半径R = 2.00 m ，垂直入射的光波长nm 29.589=λ，让折射率为n = 1.461的液体充满平凸透镜和平板玻璃之间形成的环形薄膜间隙中．求：⑴ 充以液体前后第10暗环条纹半径之比是多少？⑵ 充液之后此暗环的半径（即第10暗环的r 10）为多少？ 解：⑴ 第K 条暗环半径为 n kR r K λ= ∴21.1461.1====液气液液体空气n n n r r k k即由空气到液体牛顿环半径变小，条纹向中心收缩．⑵ 84.2461.11029.58900.210910=⨯⨯⨯==-液n KR r λmm9-16 白光垂直照射到空气中一厚度为380 nm 的肥皂水膜上，问肥皂水膜表面呈现什么颜色？（肥皂水的折射率看作1.33）． 解：从肥皂膜两表面反射的两条光线的光程差 22λδ+=ne ，当22λδ+=ne λk =，⋯=,3,2,1k 时，反射光最强，解得相应波长 124-k ne＝λ，已知33.1=n ，nm 380=e ，在白光范围400 ~ 760 nm 内，k 只能取21=k 和32=k ，相应波长为nm 67412238033.141=-⨯⨯⨯=λ（红色），nm 40413238033.142=-⨯⨯⨯=λ（紫色）所以肥皂水膜表面呈紫红色．9-17 在折射率52.13=n 的照相机镜头表面镀有一层折射率38.12=n 的MgF 2增透膜，若此膜可使波长550=λnm 的光透射增强，问此膜的最小厚度为多少？ 解：321n n n <<，上、下两表面反射光均有半波损，光程差为 e n 22=δ 为使给定波长的透射光增强，要求该波长光反射光干涉相消，应满足条件2)12(22λ+=k e n取0=k ，对应膜的最小厚度 nm 4.9938.1455042min =⨯==n e λ9-18 在迈克尔逊干涉仪的一条光路中，放入一折射率为1n ，厚度为d 的透明薄片，放入后，这条光路的光程改变了 d n )1(2- ．9-19 有一劈尖，折射率n =1.4，尖角θ=10-4 rad ，在某一单色光的垂直照射下，可测得两相邻明条纹之间的距离为2.5 mm ，试求： ⑴ 此单色光在空气中的波长；⑵ 如果劈尖长为35 mm 总共可出现多少条明条纹． 原题 21—59-20 如图所示，牛顿环装置的平凸透镜与平板玻璃有一缝隙e 0，现用波长为λ的单色光垂直照射，已知平凸透镜的曲率半径为R ，求反射光形成的牛顿环的各暗环半径． 原题 21—7题9-20图作业11 光的偏振11-1 一束部分偏振光由自然光和线偏振光相混合而成，使之垂直通过一检偏器．当检偏器以入射光方向为轴进行旋转检偏时，测得透过检偏器的最大光强为I 1，最小光强为I 2，如果所用检偏器在其透光轴方向无吸收，则入射光中自然光的强度 为 2I 2 ；线偏振光的强度为 I 1 - I 2 ． 原23-3题11-2 两偏振片的偏振化方向的夹角由45o 转到60o ，则转动前后透过这两个偏振片的透射光的强度之比为 2 ．原23-5题，解：︒=45cos )2(201I I ，︒=60cos )2(202I I ，……11-3 一束光强为I 0的自然光光波，通过三个偏振片P 1，P 2，P 3后，出射光强为0I I =．已知P 1和P 3偏振化方向相互垂直，若以入射光为轴转动P 2，使出射光强为零，P 2最少要转动角度为 45° ．解：自然光0I 通过1P 光强为20I I =；通过2P 光强为α20cos )2(I ；再通过3P 光强为)90(cos cos )2(0220I I =-⋅αα ．算得︒=45α 若以入射光为轴，转动P 2使出射光强为零，P 2最少要转动角度为45º.11-4 要使一束线偏振光通过偏振片后振动方向转过︒90，至少需要让这束光通过__2__块理想偏振片，在此情况下，透射最大光强是原来光强的__解：至少需2块．线偏振光0I 通过1P 光强 α201cos I I =，通过2P 光强)2(cos212απ-=I I ααα2sin 41sin cos 20220I I == ∴m ax 41I =11-5 光强度为I 0的自然光投射到一组偏振片上，它们的偏振化方向的夹角是：P 2与P 3为︒30、P 2与P 1为︒60．则透射光的光强为多大？将P 2拿掉后又是多大？解：如图(a)示，通过第一偏振片P 1后光强为20I 通过第二偏振片P 2后光强为︒60cos )2(20I通过第三偏振片P 3后光强为30cos 60cos )2(2203I I ︒︒=去掉第二偏振片P 2后有两种情况：⑴如图(a)示，P 1、P 3正交︒=︒+︒=903060θ 有 090cos )2(203=︒=I I⑵如图(b)示， P 1与P 3夹角为 ︒=︒-︒=303060θ 有 330cos )2(0203I I I =︒=3P 1P 2P α图(b)。