第六章 线性空间与线性变换
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间是线性代数的一个重要概念，扮演着理解线性变换的基础角色。
本文将介绍线性空间的定义、性质以及线性变换的概念和特性。
一、线性空间的定义与性质线性空间，也被称为向量空间，是指一个集合，其中包含一些向量，满足特定的性质。
具体而言，线性空间需要满足以下几个条件：1. 封闭性：对于线性空间中的任意两个向量，它们的线性组合也属于该空间。
即，如果向量a和向量b属于线性空间V，那么对于任意标量α和β，αa + βb也属于V。
2. 加法封闭性：线性空间中的向量满足加法封闭性，即对于任意的向量a和b，它们的和a + b也属于该空间。
3. 数乘封闭性：线性空间中的向量满足数乘封闭性，即对于任意的向量a和标量α，它们的积αa也属于该空间。
4. 满足加法和数乘的运算性质：线性空间中的向量满足加法和数乘的交换律、结合律和分配律。
线性空间的性质还包括零向量、负向量和线性相关性。
零向量表示线性空间中存在一个使其与任何向量相加得到自身的向量，负向量表示线性空间中的向量存在一个加法逆元。
线性相关性指的是线性空间中存在一组向量线性组合为零向量的关系。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指在两个线性空间之间的映射，它保持了向量空间中的线性结构。
具体而言，线性变换需要满足以下几个条件：1. 保持加法运算：对于线性变换T，对任意的向量a和b，有T(a +b) = T(a) + T(b)。
2. 保持数乘运算：对于线性变换T和标量α，有T(αa) = αT(a)。
线性变换的性质还包括零变换、恒等变换和可逆性。
零变换表示线性变换将所有向量映射为零向量。
恒等变换表示线性变换将每个向量映射为其本身。
可逆性表示存在一个逆变换，使得两个线性变换进行复合后得到恒等变换。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换密切相关，线性变换本质上是线性空间之间的映射，它将一个线性空间中的向量映射到另一个线性空间中。
线性变换保持了向量空间的线性结构，在线性代数中起到了重要的作用。
线性空间与线性变换
研究。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
*例3 设R22中向量组{Ai}
1 1
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}得线性相关性、 2求向量组得秩与极大线性无关组、 3把其余得向量表示成极大线性无关组得
求 V1 V2, V1 V2.
§1、3 线性空间V与Fn得同构
坐标关系
V
Fn
V得基{1,2,。。。 n}
由此建立一个一一对应关系
V,X Fn, ()=X
(1+2)=(1)+(2) (k)=k()
在关系下,线性空间V与Fn同构。
同构得性质
定理1、3、1:数域F上两个有限维线性空 间同构得充分必要条件就是她们得维数 相同。 同构保持线性关系不变。 应用: 借助于空间Fn中已经有得结论与方法研 究一般线性空间得线性关系。
1. 求从基(I)到基(II)得过渡矩阵C。
2. 求向量 7 3 在基(II)得坐标Y。 1 2
§1、2 子空间
概述:线性空间V中,向量集合V可以有集合得 运算与关系:
Wi V, W1W2, W1W2, 问题: 这些关系或运算得结果就是否仍然为 线性空间 ？
1、 子空间得概念
定义: 设非空集合WV,W ,如果W中得 元素关于V中得线性运算为线性空间,则称W 就是V得子空间。 判别方法:Important Theorem W就是子空间 W对V得线性运算封闭。
定义: T 得秩=dim R(T); T 得零度=dim N(T)
例 (P018) Rn中得变换 T:设A Rn×n就是一个给定 得 矩阵,XRn,T(X)=AX。 (1)T就是线性变换; (2)Ker(T)就是AX=0得解空间; (3)Im(T)=Span{a1,a2,…,a n}, 其中ai就是矩阵A得列 向量;
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中的重要概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性空间和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合，满足以下条件：1. 加法运算闭合性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于该集合。
2. 加法交换律：对于任意两个向量u和v，有u+v = v+u。
3. 加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w =u+(v+w)。
4. 存在零向量：存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v，有v+0 = v。
5. 对于任意向量v，存在其负向量-u，使得v+(-u) = 0。
6. 数乘运算闭合性：对于任意标量c和向量v，它们的乘积cv仍然属于该集合。
7. 数乘结合律：对于任意标量c和d以及向量v，有(c+d)v = cv+dv。
8. 数乘分配律1：对于任意标量c以及向量u和v，有c(u+v) =cu+cv。
9. 数乘分配律2：对于任意标量c和d以及向量v，有(cd)v = c(dv)。
线性空间的例子包括n维向量空间和函数空间等。
它们满足上述定义中的所有条件。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射，满足以下条件：1. 对于任意向量v和w以及标量c，线性变换T满足T(v+w) =T(v)+T(w)和T(cv) = cT(v)。
2. 线性变换T保持向量的线性组合关系，即对于任意向量v1、v2、...、vn和标量c1、c2、...、cn，有T(c1v1+c2v2+...+cnvn) =c1T(v1)+c2T(v2)+...+cnT(vn)。
3. 线性变换T将零向量映射为目标线性空间的零向量。
线性变换的例子包括平移、旋转和缩放等。
它们保持向量空间的线性结构和线性关系。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换之间存在着密切的联系。
给定一个线性空间V，定义一个线性变换T：V→W，其中W是另一个线性空间。
第讲-线性空间与线性变换
V x1, x2, x3, x4 x1 x2 x3 x4 0, x2 x3 x4 0, x1, x2 , x3, x4 R
（1）求V的基和维数；
（2）求V的一组标准正交基。
解 由V的构成可知，V是4元齐次线性方程组
x1 x2
x2 x3
x3 x4 x4 0
证 （1）由加法的定义知 V1 V2 对加法封闭，并容 易验证加法满足交换律与结合律。且
设 1,2分别是V1,V2 中的零元，则1,2 是V1 V2 的
零元。
对1,2 V1 V2 , 存在 1, 2 V1 V2 , 使得
1,2 1, 2 1,2 .
其次由数乘的定义知 V1 V2 对数乘封闭，且
构成V的一个子空间，称之为由1,2, ,s 生成的子空
间，记为L 1,2, ,s .
验证线性空间V的非空子集W是否构成子空间，只 要验证W对于V的两种线性运算的封闭性。
2、线性子空间的有关结果
（1）如果数域P上的线性空间V的非空子集W对于V的
两种线性运算封闭，即对于任意, W 有 W ,又 对于任意 k P, W 有 k W ，则W是V的子空间。
a1, a2 , , an .
设1,2, ,s 是线性空间V中的一组元素，则
dim L 1,2, ,n r1,2, ,n
且元素组 1,2, ,s 的任一极大线性无关组都是生成
子空间 L 1,2, ,s 的基。
设W是数域P上 n 维线性空间V的一个m 维子空间，
1,2, ,m 是W的一组基，则这组元素必可扩充成V 的一组基。即在V中必可找到n m个元素m1,m2, ,n 使得1,2, m,m1, ,n 是V的一组基。
dimV . 即V 不是有限维线性空间。
第六章 线性变换
ξ = x1α 1 + x 2α 2 + ⋯ + x nα n
σ (ξ )仍是 的一个向量，设 仍是V的一个向量 的一个向量，
过标坐标来 刻画
σ (ξ ) = y1α 1 + y2α 2 + ⋯ + ynα n
σσ
−1
= σσ
−1
=t
§6.3 线性变换和矩阵
教学目标：渗透现代代数学同构、 教学目标：渗透现代代数学同构、代数表示论的思 和化归的数学思想方法， 想，和化归的数学思想方法，让学生了解 向量空间的线性变换关于基的矩阵之间的 关系，理解矩阵相似这一重要概念， 关系，理解矩阵相似这一重要概念，掌握 线性变换关于基的矩阵和线性变换作用下 的向量关于基的坐标的计算方法。 的向量关于基的坐标的计算方法。 重 线性变换关于基的矩阵之间的关系， 点：线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵 相似概念， 相似概念，线性变换关于基的矩阵和线性 变换作用下的向量关于基的坐标的计算。 变换作用下的向量关于基的坐标的计算。 线性变换关于基的矩阵之间的关系， 点：线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵 相似概念。 相似概念。
证明：显然 σ是R 2 到R 3 的一个映射。
σ (aξ + bη ) = aσ (ξ ) + bσ (η ) ∵由σ (aξ + bη ) = σ (aξ ) + σ (bη ) = aσ (ξ ) + bσ (η )
∴ σ是R 2 到R 3 的一个线一个线性
又 ∀a, b ∈ R, ∀ξ = (x 1, x 2 ),η = ( y1 , y 2 ) ∈ R ,
从而一个线性变换的任何非负整数幂都有意义
设f ( x) = a 0 + a1 x + ... + a n x ,
线性空间与线性变换
映射：设M 和M'是两个非空集合，如果对M 中的每个元素，按照某种法则T 都有M'中的一个确定的元素与之对应，则称T 是从M 到M'中的一个映射，记作T ：M →M'称M 为T 的定义域。
如果映射T 使α∈M 与β∈M'相对应，则称β是α在映射T 下的象，而称α为β的一个原象，记作T （α）=β（α∈M ）集合M 到自身的映射称为M 上的变换。
设T 和S 都是集合M 到M'的映射。
如果对任一元素α∈M 都有T （α）=S （α），则称T 和S 相等，记作T=S如果对于M'中的每一个元素β，都有α∈M 使T （α）=β，则称T 是一个满射。
如果对于任意α1，α2∈M ，当α1≠α2时，都有T （α1）≠T （α2），则称T 是单射。
如果映射T 既是满射又是单射，则称之为一一映射（或一一对应）映射T 下所有象所成的集合称为T 的值域（或象集合），记作R （T ），即R(T)={ T （α）︱α∈M}显然R(T)⊂ M'，一个集合M 到M'的映射T 是满射的充分必要条件是R （T ）= M'；而T 是单射的充分必要条件是，对任意α1，α2∈M ，由T （α1）= T （α2）可以推出α1=α2 设M 是一个非空集合，定义E （α）=α（α∈M ）则E 是M 上的变换，称为M 的单位映射（或恒等映射）,记作M I 。
E 是一一映射。
对于映射，定义它的乘积如下（ST ）（α）﹦S （T （α））（α∈M ）所确定的从M 到M''的映射ST 称为S 与T 的乘积。
映射的乘积是复合函数的推广，但不是任意两个影射都可以求他们的乘积。
由映射T 和S 得到乘积ST 的充分必要条件是T 的值域含与S 的定义域。
例1 设M=K n ×n .定义 T 1（A ）=det A （A ∈K ）则T 是K n ×n 到K 的一个映射，它是满射，但不是单射。
线性空间及线性变换
是V1的一组基, 1 , 2 , , l 是V2的一组基.
(1) V1+V2的基与维数. 令矩阵 A ( 1 , 2 , , k , 1 , 2 , , l ) ,求A的秩,则 V1+V2的维数等于A的秩r,A中r个线性无关的列即为 V1+V2的基. (2) V1∩V2的基与维数. 令 x 1 1 x 2 2 x k k y 1 1 y 2 2 y l l ,解这 个方程组求它的一个基础解系: (xi1,xi2,…,xik,yi1,yi2,…,yil)/,i=1,2,…,d,d=k+l-r,则 z y i=1,2,…,d是V1∩V2的一组基, V1∩V2的维数等于 d=k+l-r. 4.线性变换的值域与核 线性变换/A的值域 / AV { y | y V , y / A , V } ,/A的 核/A-1(0)={y|y∈V,/Ay=0}.
二、基本方法 1.V1,V2是线性空间V的两个子空间,证明V=V1△V2 只要证明以下两点: (1)V1∩V2={0}; (2)dimV=dimV1+dimV2. 2.求线性空间V的基与维数,可先找到V的一个生成 元组 , , , ,然后证明 , , , 线性无关.
f ( ) ( 1 ) ( 2 )
r1 r2
生成
( s )
rs
则V可分解为A的不变子空间的直和
V=V1 △V2△…△Vs,其中: V i
是A属于 i 的根子空间.
{ X | ( i I A) i X 0, X V }
r
2.子空间的性质 我们用dimV表示线性空间V的维数. (1) 设V1和V2是线性空间V的子空间,则 dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2). (2) 设V1,V2,…,Vm是线性空间V的真子空间,则必存 在 V ,使 V ,1 i m , (3) 设V1=L(u1,u2,…,um),v1,v2,…,vr是V1中的r个线性 无关的向量,且r<m,则可以从u1,u2,…,um中去掉r个向 量,使剩下的m-r个向量与v1,v2,…,vr合在一起仍生成 子空间V1. 3.子空间的和与交的基与维数的求法 设V1和V2是线性空间V的子空间, 1 , 2 , , k
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间（也称为向量空间）是线性代数的基本概念之一。
它是指由向量集合组成的集合，满足特定的运算规则。
线性空间中的向量可以是实数域上的实向量，也可以是复数域上的复向量。
线性空间的定义涵盖了许多重要的数学概念和定理，在各个领域中都有广泛的应用。
一、线性空间的定义线性空间的定义遵循以下几个基本条件：1. 封闭性：对于线性空间V中任意向量u和v，它们的线性组合也属于V。
即对于任意的标量a和b，有a*u + b*v∈V。
2. 加法结合性：对于线性空间V中任意向量u、v和w，有(u+v)+w = u+(v+w)。
3. 加法交换性：对于线性空间V中任意向量u和v，有u+v = v+u。
4. 零向量存在性：存在一个特殊的向量0，满足对于线性空间V中任意向量u，有u+0 = u。
5. 加法逆元存在性：对于线性空间V中任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v) = 0。
6. 数量乘法结合性：对于线性空间V中任意的标量a、b和向量u，有(a*b)*u = a*(b*u)。
7. 标量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和向量u、v，有a*(u+v) = a*u + a*v。
8. 向量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和b，以及向量u，有(a+b)*u = a*u + b*u。
二、线性变换的定义与性质线性变换是一种将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。
线性变换也被称为线性映射或线性算子。
线性变换保持线性空间的线性结构，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有以下性质：1. 线性变换将零向量映射到零向量，即T(0) = 0，其中T表示线性变换。
2. 线性变换保持向量的线性组合，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有T(a*u + b*v) = a*T(u) + b*T(v)。
3. 线性变换的像空间是一个线性空间，即对于线性空间V中的线性变换T，其像空间W也是一个线性空间。
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其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别 地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
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第六章 线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
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第六章 线性空间与线性变换
运算规则：
（1） ((ε1,ε 2 ,L,ε n )A)B = (ε1,ε 2 ,L,ε n )(AB)；
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高等代数讲义
例4 实系数的 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的所有解向量构成 R 上的一个线性空 间．称之为方程组 Ax = 0 的解空间．
例5 闭区间[a,b] 上的所有连续实函数，构成一个实线性空间，记为 C[a,b] ．
例6 零空间．
注：线性空间中的元素仍称为向量．然而其涵义比 n 维有序数组向量要广泛的多．
我们称表示矩阵
⎜⎛ a11 a12 L a1n ⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a21 M an1
a22 M an2
L O L
a2n ⎟
M ann
⎟ ⎟⎟⎠
为由基 ε1,ε 2 ,L,ε n 到基η1,η2 ,L,ηn 的过渡矩阵，(6.3.1表示α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n 形式地写为
空间．
例2 数域 F 上的全体 m × n 矩阵构成一个 F 上的线性空间，记为 M m×n (F) ．
例3 数域 F 上的一元多项式全体，记为 F[x] ，构成数域 F 上的一个线性空间．如果 只考虑其中次数小于 n 的多项式，再添上零多项式也构成数域 F 上的一个线性 空间，记为 F[x]n ．
（1） 加法交换律：α + β＝β＋α ；
（2） 加法结合律： (α + β ) + γ＝α + (β＋γ )；
（3） 在V 中存在一个元素 0 ，对于V 中的任一元素α ，都有α＋0＝α ； （4） 对于V 中的任一元素α ，存在元素 β ，使α＋β＝0 ； （5） 1⋅α =α ； （6） k(α＋β )＝kα＋kβ ， k ∈ F ；
( ) 系数 a0 , a1 ,L, an−1 T ．
考虑 F[x]n 中的另一组基
β1 = 1, β2 = x − a,L, βn = (x − )a n−1 ．
由泰勒(Taylor)公式，多项式 f (x) 可表示为
f (x) =
f (a) +
f '(a)(x − a) + L +
( ) f (n−1) (a) ( x − a) n−1 ，
σ (α1),σ (α2,)L,σ (αn ) 线性相关．
推论 同构的线性空间具有相同的维数． 性质３ 同构关系是一个等价关系，即
(1) 反身性：V ≅ V ; (2) 对称性：若V ≅ U ，则U ≅ V ；
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高等代数讲义
(3) 传递性：若V ≅ U ,U ≅ W ,则V ≅ W ．
ε
n
=
⎜0⎟
⎜ ⎜⎜⎝
1M ⎟⎟⎟⎠
,
是 F n 的一组基．对任一向量α = (a1, a2 ,L, an )T 都可表示成
α = a1ε1 + a2ε 2 + L+ anε n ，
所以 (a1, a2 ,L, an )T 就是向量α 在这组基下的坐标．
选取另一组基：
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛1⎟⎞
我们称 x1, x2 ,L, xn 为向量α 在基 ε1,ε 2 ,L,ε n 下的坐标，记作 (x1, x2,L, xn )T ．
例1 在 n 维向量空间 F n 中，显然
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ 0 ⎟⎞
⎜⎛ 0 ⎟⎞
ε1
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
00M ⎟⎟⎟⎟⎠,
ε
2
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
10M ⎟⎟⎟⎟⎠,L,
( ) 所以α 在这组基下的坐标为 a1 − a2 , a2 − a3 ,L, an−1 − an , an T ．
例2 在线性空间 F[x]n 中，容易验证
α1 = 1,α2 = x,L,αn = xn−1
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高等代数讲义
是 F[x]n 的一组基．在这组基下，多项式 f (x) = a0 + a1 x + L + an−1 x n−1 的坐标就是它的
组基，其秩就是维数．
推论 2 n 维线性空间V 中的任意 n 个线性无关的向量组成V 的一组基．
定义 2 设 ε1,ε 2 ,L,ε n 是 n 维线性空间V 的一组基，则对V 中的任意向量α ，存在唯
一数组 x1, x2 ,L, xn ，使得
α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n ，
注 2：如果在线性空间V 中存在无穷多个线性无关的向量，则称V 为无限维线性空间，
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第六章 线性空间与线性变换
例：连续函数空间 C[a,b] 就是一个无限维空间．
推论 1 n 维线性空间中的任意 n +1个向量必线性相关． 注 3： 将线性空间V 看成一个向量组，那么它的任意一个极大线性无关组就是V 的一
n −1!
因此， f (x) 在基 β1, β2 ,L, βn 下的坐标为
⎜⎜⎝⎛
f
(a),
f
' (a), L ,
f (n
(n
−1)
−
(a)
1)!
⎟⎟⎠⎞
T
．
例3 在所有二阶实矩阵构成的线性空间 M 2×2 (R) 中，考虑向量组
E11
=
⎜⎜⎝⎛
1 0
0 0
⎟⎟⎠⎞,
E12
=
⎜⎜⎝⎛
0 0
1 0
⎟⎟⎠⎞,
（2） (ε1,ε2 ,L,εn )A + (ε1,ε 2 ,L,ε n )B = (ε1,ε 2 ,L,ε n )(A + B)；
（3） (ε1,ε2 ,L,εn )A + (ε1',ε2 ',L,εn ')A = (ε1 + ε1',ε 2 + ε 2 ',L,ε n + ε n ')A ，
坐标变换公式：
一、过渡矩阵
设 ε1,ε 2 ,L,ε n 和η1,η2 ,L,ηn 是数域 F 上 n 维线性空间V 的两组基，它们之间的关系
为
η1 = a11ε1 + a21ε 2 + L+ an1ε n
η2 = a12ε1 LLLL
+
a22ε 2
+L+
an2ε n
，
（1）
ηn = a1nε1 + a2nε 2 + L+ annε n
则称线性空间V 与U 同构，记为V ≅ U ．称σ 为线性同构映射
定理 1 数域 F 上任一 n 维线性空间都与 F n 同构．
4．同构的性质．
性质１ σ (0) = 0, σ (−α) = −α ．
性 质 ２ 线 性 同 构 保 持 线 性 关 系 不 变 ， 即 α1,α2,L,αn 线 性 相 关 当 且 仅 当
定理 6.2-2 数域 F 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数．
注 4：作为两个线性空间之间的一一对应，同构映射与其逆映射都保持线性关系不变．这 样，一个空间具有的代数性质在与之同构的空间上也成立．也就是说，同构的空间具有相同 的代数性质．
§6.3 基变换和坐标变换
本节讨论同一个向量在不同基下坐标之间的关系
实矩阵
可表示为
A
=
⎜⎜⎝⎛
a11 a 21
a12 a 22
⎟⎟⎠⎞
,
A = a11E11 + a12 E12 + a21E21 + a22 E22 ，
因此 E11 , E12 , E21 , E22 是 M 2×2 的一组基， M 2×2 是 4 维实线性空间，并且 A 在这组基下的
( ) 坐标为 a11, a12 , a21 , a22 T ．