对灰色关联度计算方法的改进(精)

对灰色关联度计算方法的改进■曹明霞党耀国张蓉陆建峰计算方法记折线００一、引言在系统分析中，为了研究系统的结构和功能，就要建立适当的数学模型去描述系统。

而这样做时，首要的工作就是要分析各种因素间的关系，找出系统的主要特征及主要关系，为分析研究提供必要的基础。

灰色系统理论提出了灰色关联分析方法，自提出以来，众多学者就自己对灰色关联度的实质的理解而提出了不同的量化模型。

就目前的情况来看，主要有以下的几种计算模型：邓氏关联度、Ｔ型关联度、斜率关联度、Ｂ型关联度、广义灰色关联度、灰色Ｃ型关联度、欧几里德关联度等。

灰色关联分析方法是灰色系统理论中一个重要的组成部分，其基本思想是根据数据序列曲线的相似程度来判别因素间的关联程度，即曲线形状越相似，其关联度越大，否则越小。

所以关联度的合理计算显得非常重要，然而目前有关关联度的各种计算方法中存在如下的欠缺。

（１）不具有规范性。

这里的规范性是指：０＜γ≤１且γｉ＝１当且仅当Ｘｉ（ｋ）＝Ｘ０（ｋ）轻的程度。

（６）当Ｘｉ围绕Ｘ０摆动时，且Ｘｉ位于００（ｘｉ（１）－ｘｉ（１），ｘｉ（２）－ｘｉ（１），…，ｘｉ（ｎ）－ｘｉ（１））为Ｘｉ。

令ｓｉ＝Ｘ０之上部分的面积与位于之下的面积相等时，ε０ｉ＝１。

这样，就不能正确地反映曲线相似的实质。

二、改进的灰色绝对关联度的计算以及灰关联空间的定义目前提出的几种主要的灰关联度计算模型中存在着某种欠缺，主要是因为灰色关联理论体系不是很完备，因此有必要重新定义曲线的相似性及灰色关联空间。

既然灰关联度是通过数据序列的几何关系的相似程度来度量的，我们首先要准确地给出曲线相似的定义，并且要充分地利用曲线相似这一点来给定一个比较合理的灰色关联度的计算公式，计算灰色关联度的前提条件是我们定义的灰关联映射应满足对称性。

设系统行为数据序列为０#Ｘｄｔｎ０ｉｌ（ｉ＝０，１，２，…，ｍ），则（１）当Ｘｉ为增长序列时，ｓｉ≥０；（２）当Ｘｉ为衰减序列时，ｓｉ≤０；（３）当Ｘｉ为振荡序列时，ｓｉ符号不定。

命题２设系统行为数据序列Ｘｉ＝（ｘｉ（１），ｘｉ（２），…，ｘｉ（ｎ））Ｘｊ＝（ｘｊ（１），ｘｊ（２），…，ｘｊ（ｎ））的始点零化像为：Ｘｉ＝（ｘｉ（１）－ｘｉ（１），ｘｉ（２）－ｘｉ（１），…，ｘｉ（ｎ）－ｘｉ（１）），记Ｘｊ＝（ｘｊ（１）－ｘｊ（１），ｘｊ（２）－ｘｊ（１），…，ｘｊ（ｎ）－ｘｊ（１））｜ｓｉ－ｓｊ｜＝｜００#（Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ））ｄｔ｜０ｉ０ｊ设两个始点零化像曲线除了始点ｔ０，终点ｔｎ以外还有ｌ个交点，交点记为ｔｋ（ｋ＝１，２，…，ｌ），其中ｌ为有限整数，则｜ｓｉ－ｓｊ｜＝＋…＋＝% ｋ＝０ｌ－１Ｘｉ＝（ｘｉ（１），ｘｉ（２），…，ｘｉ（ｎ））（ｉ＝０，１，２，…，ｍ）记折线（ｘｉ（１）－ｘｉ（１），ｘｉ（２）－ｘｉ（１），…，ｘｉ（ｎ）－ｘｉ（１）为Ｘｉ，（ｉ＝０，１，２，…，ｍ），令０#Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ）ｄｔ＋#Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ）ｄｔ#Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ）ｄｔ＋#Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ）ｄｔ０ｉ０ｊ０ｉ０ｊ０１ｔ１０ｉ０ｊｔｎ０ｉ０ｊｔ－１ｔｔｋ＋１０ｉ０ｊｋｔ１ｔ２＋ｃ（其中ｋ＝１，２，…，ｎ；ｃ为任意常数），即两个序列平行或者重合。

（２）关联度的值不具有唯一性和对称性。

因与其有关的因素很多，如系统行因素序列Ｘｉ的规为特征映射量序列Ｘ０、范化方式、序列长度、分辨系数不同，特别是规范化方式或取值不同，关联度就不同，从而不唯一。

又Ｘ０对Ｘｉ的关联度与Ｘｉ对Ｘ０的关联度一般不等，即γ０ｉ≠#Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ）ｄｔ０＋０#Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ）ｄｔｔｎ０ｉ０ｊｔ（１）ｓｉ＝ｎ０ｉ１#Ｘｄｔ（ｉ＝０，１，２，…，ｍ），｜ｓ－ｓ｜＝ｎ０ｉｌｉ０００上式中的ｔｋ∈Ｒ，则（１）当Ｘｉ与Ｘｊ除了原点外无交点时：#（Ｘ－Ｘ）ｄｔ则灰色绝对关联度为：１＋｜ｓ０｜＋｜ｓｉ｜ε０ｉ＝０ｉｉ０当Ｘｉ围绕Ｘ０摆动，且Ｘｉ位于Ｘ０之上部分的面积与位于Ｘ０之下的面积相等时ε０ｉ＝１，此时的关联度明显具有不合理性。

所以下面我们针对这种灰色关联度的计算公式来进行改进。

首先定义曲线的相似性及灰关联空间。

命题１设系统行为数据序列Ｘｉ＝０００００｜ｓｉ－ｓｊ｜＝%（ｘｉ（ｋ）－ｘｊ（ｋ））＋１００ｋ＝２ｎ－１（ｘｉ（ｎ）－ｘｊ（ｎ））００（２）（２）当Ｘｉ与Ｘｊ除原点还有其它交点时，｜ｓｉ－ｓｊ｜不可以简化为（２）式的形式，只能先求出两数据序列始点零化像曲线的交点，然后带入（１）式来计算。

定义１设系统行为特征序列Ｘ０＝Fｘ０００γｉ０，即关联度不具有对称性。

（３）不同的分辨系数值会出现不同的关联序。

（４）如按一般取ρ＝０．５，则恒有γｉ＞０．３３３３０。

（５）在通常的关联度的计算中，一般取相同的权重来计算。

体现不出此重彼（ｋ），ｋ＝１，２，…，ｎG，因素序列Ｘｉ＝Fｘｉ（ｋ），ｋ＝１，２，…，ｎG（ｉ＝１，２，…，ｍ），若ｘｉ（ｋ）＝ｘ０（ｋ）＋ｂ，（ｋ＝１，２，…，ｎ；ｂ为常数），则称Ｘｉ与Ｘ０完全相似。

（ｘｉ（１），ｘｉ（２），…，ｘｉ（ｎ））（ｉ＝０，１，２，…，ｍ）基金项目：国家自然科学基金资助项目（７０４７３０３７）；国家教育部博士点基金资助项目（２００２０２８７００１）；江苏省自然科学基金重点项目（ＢＫ２００３２１１）；南京航空航天大学博士创新基金资助项目（０１９００４）２９性质１若因素数据序列０Ｘｉ＝*ｘｉ（ｋ），ｋ＝１，２，…，ｎ3（ｉ＝０，１，２，…，ｍ）与系统行为特征数据序列Ｘ０＝（０，１．０，２．０，３．０，６．０）Ｘ１＝（０，１．５，１．５，３．０，６．０）Ｘ２＝（０，２．０，３．０，３．５，７．０）Ｘ３＝（０，４．０，３．０，２．０，２．５）再由有关文献给出的绝对关联度计算结果为：０００计算，得到的绝对关联度为：ε０１＝０．９６５５，ε０２＝０．８８００，ε０３＝０．７６４２故灰色绝对关联序为：Ｘ１$Ｘ２$Ｘ３该结果与我们根据实际发展势态进行定性分析的结论相吻合，说明改进的计算方法克服了原来计算式中的欠缺，从而使得计算出来的结果比较客观、合理、实用。

四、结束语刘思峰等在《灰色系统理论及其应（第三版）中所述关联度是从整体上用》把握曲线的相似的，把离散的问题连续化，用积分的思想来解决，这种思路更适合于现实问题。

因为不妨设我们研究的序列是时间序列，而时间是连续的，我们所收集到的数据只是它的发展过程中的某些离散点而已，所以，我们更应该从连续的角度来考虑问题。

而且这种计算是建立在不改变序列的形状的基础之上的，并且避免了像其它几种由各个对应点关联系数赋予权重相同而求平均得到的关联度，所以这样计算出来的结果不容易失真。

因而我们就在这种更具合理性的广义灰色关联度的基础之上做一些改进，克服了本文在引言中提到的问题，使得计算结果更加合理地体现了灰色关联度的实质：从序列曲线的相似程度来判定其数据序列间的联系紧密与否，两数据序列曲线之间所夹的面积越小，即两数据序列越相似，其关联度但是还有一些问题尚就越大，反之越小。

待探讨，比如许多学者提出的正负关联性问题等。

即有些文献提出的给数据序列每点的相关性定义正负相关性。

本文认为这些先定义了每一点的关联系数的正负性，然后求平均得到的关联度的计算可能出现正负抵消现象，本来关联度很大而随之变为很小，甚至为零。

这样就使得关联计算失去了意义。

（作者单位／南京航空航天大学经济与管理学院）（责任编辑／亦民）Ｘ０＝*ｘ０（ｋ），ｋ＝１，２，…，ｎ3完全相似，则它们的始点零化像序列相等，即Ｘ０＝Ｘｉ。

定义２若灰关联度ε０ｉ满足０＜ε０ｉ≤００１，且ε０ｉ＝１充要条件是Ｘ０＝*ｘ０（ｋ），ｋ＝１，２，…，ｎ3与Ｘｉ＝*ｘｉ（ｋ），ｋ＝１，２，…，ｎ3完全相似，则称关联度ε０ｉ满足规范性。

定义３设Ｘ＝（Ｘｉ｜ｉ＝１，２，…，ｎ）为一个序列集，"Ｘｉ，Ｘｊ∈Ｘ，灰关联度满足：εｉｊ＝ε－ｊｉγ０１＝１．００００，γ０２＝０．８８００，γ０３＝０．９４１８故灰色绝对关联序为：Ｘ１$Ｘ３$Ｘ２由上面的关联度的计算结果，我们得到的结论是Ｘ０与Ｘ１的关联程度最高，从而它们的序列曲线最相似，而Ｘ０与Ｘ２，则称关联度满足对称定义４｜ｓ０－ｓｉ｜越小，ε０ｉ性。

越大，则称关联度满足接近性。

定义５设Ｘ为系统因素集，Ｄ为灰关联算子集，"ｄ∈Ｄ满足以上定义的规范性、对称性、接近性，则（Ｘ，Ｄ）称为灰关联空间。

在上面改进的灰关联空间的基础之上，我们来构造关联度的计算公式。

定义６设序列Ｘ０＝*ｘ０（ｋ），ｋ＝１，２，…，ｎ3和Ｘｉ＝*ｘｉ（ｋ），ｋ＝１，２，…，ｎ3，ｓ０，ｓｉ如上面命题１所示，｜ｓｉ－ｓ０｜如命题２所示，则称１＋｜ｓ０｜＋｜ｓｉ｜０ｉｉ０为Ｘ０与Ｘｉ的灰色关联ε０ｉ＝度。

所构造的关联度计算公式满足如下性质。

（１）唯一性：因为计算公式只与序列有关。

的序列曲线最不相似。

但是我们直观的从序列的发展势态来看，Ｘ１，Ｘ２与Ｘ０都呈现出比较接近的稳步增长的势头，显然要比Ｘ３与Ｘ０更接近一些；另外，单从（２）规范性：即０＜ε０ｉ≤１，且ε０ｉ＝１充要条件是Ｘ０＝*ｘ０（ｋ），ｋ＝１，２，…，ｎ3与Ｘｉ＝*ｘｉ（ｋ），ｋ＝１，２，…，ｎ3完全相似。

（３）对称性：显然ε０ｉ＝εｉ０。

三、实例例１已知Ｘ０为参考序列，Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３为比较序列，其具体数据如下：Ｘ１与Ｘ０两个序列的发展势态来看，其关联度为１也不是很合理。

出现计算结果与定性分析结果不太一致的主要原因是：当遇到Ｘｉ围绕Ｘ０摆动这种情况时，我们用原始的绝对关联度的计算公式来求关联度不是很合理，这是由于｜ｓｉ－ｓ０｜中出现正负积分抵消掉一部分而造成的。

下面我们再用改进的绝对关联度来００Ｘ０＝（３．０，４．０，５．０，６．０，９．０）Ｘ１＝（１．０，５．０，４．０，３．０，３．５）Ｘ２＝（１．０，３．０，４．０，４．５，８．０）Ｘ３＝（１．０，５．０，４．０，３．０，３．５）我们先求出其始点零化像分别是：３０。