线性代数基础知识点
线性代数基础知识点
(),n
T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，
0总有唯一解 是正定矩阵 12,s i
A p p p p n
B AB E AB E
??
???
???????
??=????==?? 是初等阵
存在阶矩阵使得 或 ○
注：全体n 维实向量构成的集合n
叫做n 维向量空间.
()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的??
??
?????特征向量
○
注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+
+=?+=???
有非零解=-
?
?
?????
→????
具有
向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ???： ①称为
n
的标准基，
n
中的自然基，单位坐标向量；
②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr =E n ；
⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示.
12
1212
1112121222()
1212
()n n n
n n j j j n j j nj j j j n n nn
a a a a a a D a a a a a a τ=
=
-∑
1
√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则
=
=()mn A O
A A O A B
O B
O B
B
O A A
A B B O B O
*
=
=*
*=-1（拉普拉斯展开式）
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④关于副对角线：
(1)2
1121
21
1211
1
()n n n
n
n n n n n n n a O
a a a a a a a O
a O
---*
==-1 （即：所有
取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和）
⑤范德蒙德行列式：()1
22
22
12
11
11
12
n i
j
n
j i n
n n n n
x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-
∏111
由m n ?个数排成的m 行n 列的表111212122
212n n m m mn a a a a a a A a a a ??
?
?
= ?
???
称为m n ?矩阵.记作：
()
ij m n
A a ?=或m n A ?
()
1121112222*12n T
n ij
n
n
nn A A A A A A A A A A A ?? ? ?
== ? ???
，ij A 为A 中各个元素的代数余子式.
√ 逆矩阵的求法:
① 1
A A A *-= ○注： 1
a b d b c d c a ad bc --????= ? ?--????
1
主换位副变号
②1()()A E E A -????
→初等行变换
③1
2
3111
1
2
13a a a a a a -????
? ?
=
? ? ? ? ??
??
?
3
2
1
1
1
112
13a a a a a a -????
? ?
=
? ? ? ? ?????
√ 方阵的幂的性质：m n m n
A A A
+= ()()
m n
mn
A A =
√ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，
则
m s
AB C ?=?
()()
111212122
2121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα??
?
?
???= ?
???
?
i i
A c β= ，
(,,)i s =1,2?
i
β为
i
Ax c =的解
?()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ???=???=?12,,
,s c c c 可由12,,,n ααα???线性表
示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，T
A 为系数矩阵.
即： 11121112122
22212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ??????
??? ?
??? ?= ??? ?
??? ????????111122121
211222
22211222n n m m mn m
a a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=??+++=?
???++
+=?
√ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量； 用对角矩阵Λ○
右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○
列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
√ 分块矩阵的转置矩阵：T
T
T T
T A B A C C D B
D ??
??= ? ?????
分块矩阵的逆矩阵：1
11A A B B ---????
=
? ????
? 1
11A B B
A
---?
?
??= ? ?????
1
111A C A A CB O B O
B ----????
= ? ????? 1
111A O A O C B B CA
B ----????
= ? ?
-???? 分块对角阵相乘：11
112222,A B A B A B ????
==
? ??
????1111
2222A B
AB A B ??= ???,1122n
n n A A A ??
= ???
分块对角阵的伴随矩阵：
*
*
*A BA B AB ????=
? ??
??? *
(1)(1)mn mn A A B B B A
**?
?
-?
?= ? ?
?-????
√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) ① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）
④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα???中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组12,,,n ααα???线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα???线性无关?向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα???线性相关()r A n ?<； m 维列向量组12,,,n ααα???线性无关()r A n ?=.
⑨ 若12,,,n ααα???线性无关，而12,,,,n αααβ???线性相关,则β可由12,,,n ααα???线性表示,且表示法唯
一.
⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是
0? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ； 对A 施行一次初等○
列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○
右乘A .
如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作
()r A r =
向量组12,,
,n ααα的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作
12(,,,)n r ααα
A 经过有限次初等变换化为
B . 记作：A B =
12,,,n ααα???和12,,,n βββ???可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ???=??? ? 矩阵A 与B 等价?PAQ B =，,P Q 可逆?()(),,,r A r B A B A B =≠>为同型矩阵列（行）向量
组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.
矩阵A 与B 列向量组等价?1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ???=???=1212(,,,,,,)n n r αααβββ??????? 矩阵A 与B 等价.
? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示?AX B =有解
?12(,,,)=n r ααα???1212(,,,,,,)n s r αααβββ???????12(,,,)s r βββ???≤12(,,,)n r ααα???.
? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且s n >，则12,,,s βββ???线性相关.
向量组12,,,s βββ???线性无关,且可由12,,,n ααα???线性表示,则s ≤n .
? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且12(,,,)s r βββ???12(,,,)n r ααα=???,则两向
量组等价；
? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 设A 是m n ?矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关；
若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα???线性无关. √ 矩阵的秩的性质：
①()A O r A ≠?若≥1 ()0A O r A =?=若 0≤()m n r A ?≤min(,)m n
②()()()T
T
r A r A r A A ==
③()()r kA r A k =≠ 若0
④()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ??+≤?=??=?
若若0的列向量全部是的解
⑤()r AB ≤{}min (),()r A r B
⑥
()()()()
A r A
B r B B r AB r A ?=?=若可逆若可逆 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
⑦若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O
A A
B A
C B C ο??=??
=??=???=?=??????=?=??
? 只有零解
在矩阵乘法中有左消去律；
⑧()r
r E O E O r A r A A O O O O ????
=?
? ?????
若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + ⑩()()A O O A r r A r B O B B O ????==+
? ????? ()()
A C r r A r
B O B ??
≠+ ???
精品
121212,,,0,,,()(),,,?=?????→=
有无穷多解0
表示法不唯一线性相关有非零解 可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一 线A n n A n Ax A n Ax Ax r A r A Ax A n 12()(),,,()()()1()
??
???
?
?
??
?=??
?≠??
?=?
οββαααβββ 性无关只有零解 不可由线性表示无解
n Ax r A r A Ax r A r A r A r A ○
注：
Ax Ax ββ?
=<≠
?=<≠
有无穷多解
其导出组有非零解有唯一解
其导出组只有零解
Ax β=1122n n x x x αααβ+++=
111211121
22
22212
,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β??????
? ? ? ? ? ?=== ? ? ?
? ? ??????? 12,,2,
,j j j mj j n αααα?? ? ?
== ? ? ???
1
1212(,,
,)n n x x x αααβ?? ? ?= ? ???
精品
线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+??=??
=??++?
==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解
211212112212112212),(7),,,,1
00k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλλη
ληληλλλ?????
????
???
?=?-=?
=??++=?++=?
?++=?++=? 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则
也是的解 是的解
√ 设A 为m n ?矩阵,若()r A m =?()()r A r A β=?Ax β=一定有解，
当m n <时,一定不是唯一解?
<方程个数未知数的个数
向量维数向量个数
,则该向量组线性相关.
m 是()()r A r A β和的上限. √ 判断12,,
,s ηηη是Ax ο=的基础解系的条件：
① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,
,s ηηη都是Ax ο=的解；
③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.
√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若η*
是Ax β=的一个解，1,,
,s ξξξ是Ax ο=的一个解?1,,,,s ξξξη*线性无关
√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 两个齐次线性线性方程组Ax ο=与Bx ο=同解?()()A r r A r B B ??
==
???
.
√ 两个非齐次线性方程组Ax β=与Bx γ=都有解，并且同解?()()A r r A r B B βγ??
==
???
. √ 矩阵m n A ?与l n B ?的行向量组等价?齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解?PA B =（左乘可逆矩阵P ）；101p 教材 矩阵m n A ?与l n B ?的列向量组等价?AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）. √ 关于公共解的三中处理办法：
① 把(I)与(II)联立起来求解；
② 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；
当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设123,,ηηη是(I)的基础解系, 45,ηη是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解?基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.
即：1231231425(,,)(,,)r r c c ηηηηηηηη=+
当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设11122c c ξηη++是(I)的通解，233c ξη+是(II)的通解，两方程组有公共解?2331c ξηξ+-可由12,ηη线性表示. 即：12122331(,)(,)r r c ηηηηξηξ=+-
③ 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求公共解。
n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
1
(,)n
i i i a b αβ===∑
(,)0αβ=. 记为：αβ⊥
21
n
i i a α====∑
1α==. 即长度为1的向量.
√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=?=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=
③ 双线性：1212(,)(,)(,)
αββαβαβ+=+
1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c c c αβαβαβ==
E A λ-
()E A λ?λ-=. ()?λ是矩阵A 的特征多项式?()A O ?=
E A λ-=0. Ax x x Ax x λ=→ (为非零列向量)
与线性相关
√ 12
n A λλλ= 1
n
i A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.
√ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.
√ ()1r A =?A 一定可分解为A =()12
12,,
,n n a a b b b a ?? ? ? ? ???
、21122()n n A a b a b a b A =++
+,从而A 的特征值为：
11122n n A a b a b a b λ==++
+tr , 23n λλλ====0 p 指南358.
○注()12
,,,T
n a a a 为A 各行的公比，()12,,
,n b b b 为A 各列的公比.
√ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f A 是多项式,则:
① 若A 满足()f A O =?A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0 ②()f A 的全部特征值为12(),(),
,()n f f f λλλ；12()()()()n f A f f f λλλ=.
√ 初等矩阵的性质：
√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++
++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++
++为A 的
一个多项式.
√ 1231
122,T A m
m k kA
a b aA bE A A A A A A
λ
λλλλλλλλλλ-*
??++???= 是的特征值则:分别有特征值 .???
??? √ 123
1122,A m
m k kA
a b aA bE
A
x A x A A A
λλλλλλλλλλ-*??++????=????? 是关于的特征向量则也是关于的特征向量.
√ 2
,m
A A 的特征向量不一定是A 的特征向量. √ A 与T A 有相同的特征值，但特征向量不一定相同.
1P AP B
-= （P 为可逆矩阵） 记为：A B 1P
AP B -= （P 为正交矩阵）
A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ （称Λ是A
√ A 可相似对角化?()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数?A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1
P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：
1
2
1212112212(,,
,)(,,,)(,,,)(,,
,)n n n n n n P
P
A A A A λλααααααλαλαλααααλΛ
??
?
?=== ? ??
?
. ○注：当i
λ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化?i λ的重数()n r A =-= Ax ο=基础解系的个数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值?A 可相似对角化.
√ 若A 可相似对角化,则其非零特征值的个数（重根重复计算）()r A =.
√ 若A Λ?k A =1k P P -Λ，1211()()
()()()n g g g A Pg P P P g λλλ--??
?
?=Λ= ? ??
?
√ 相似矩阵的性质：
①
E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
○注x 是A 关于0λ的特征向量,1
P x -是B 关于0
λ的特征向量. ②A B =tr tr
③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④()()r A r B = ⑤T
T A
B ；11A B -- （若,A B 均可逆）；*
*A B
⑥k
k A B （k 为整数）；()()f A f B ，()()f A f B =
⑦,A B A
B C
D C D ????
? ? ??
???
○
注前四个都是必要条件. √ 数量矩阵只与自己相似. √ 实对称矩阵的性质：
① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 不同特征值对应的特征向量必定正交；
○
注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③一定有n 个线性无关的特征向量.
若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--；
④必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；
⑥两个实对称矩阵相似?有相同的特征值.
T AA E =
√ A 为正交矩阵?A 的n 个行（列）向量构成n
的一组标准正交基.
√ 正交矩阵的性质：① 1T A A -=；
② T T AA A A E ==；
③ 正交阵的行列式等于1或-1；
④ A 是正交阵,则T A ，1A -也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；
⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.
1211
(,,
,)n n
T
n ij i j i j f x x x x Ax a x x ====∑∑ ij
ji a a =，即A 为对称矩阵，12(,,
,)T n x x x x
=
T C AC B =. 记作：A B （,,
A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵）
二次型的规范形中正项项数p q 或者r-p 或者（2p-r ） (r 为二次型的秩)
√
两个矩阵合同?它们有相同的正负惯性指数?他们的秩与正惯性指数分别对应相等. √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =
√ 12(,,
,)T
n f x x x x Ax =经过正交变换
合同变换
可逆线性变换
x Cy =化为21
n
i i f d y =∑√ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由()
r A +正惯性指数负惯性指数
唯一确定的.
√ 当标准形中的系数i d 为-1或0或1时,√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.
√ 惯性定理：任一实对称矩阵A 与唯一对角阵111
1
0?? ? ? ? ?-
?
? ?- ? ? ? ? ??
?
合同. √ 用正交变换化二次型为标准形:
① 求出A 的特征值、特征向量； ② 对n 个特征向量正交规范化； ③ 构
造
C
（正交矩阵
）,作变换
x Cy
=,则
11122
21()()T
T T T T n n n y d y y
d y Cy A Cy y C ACY y C ACY y d y -??
???? ?
??? ?
???=== ? ??? ? ?????
????
新的二次型为21n i i f d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.
123,,ααα线性无关,
1121221113132331
21122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=????=-??
?=--??
正交化 单位化：111βηβ= 222β
ηβ= 333βηβ=
技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方
程，确定其自由变量. 例如：123x x x +-=0取1β-?? ?= ? ???1 1 0，2β??
?
= ? ???
112.
12,,
,n x x x 不全为零，12(
,,,)n f x x x >0.
正定二次型对应的矩阵.
√ ()T
f x x Ax =为正定二次型?（之一成立）：
① x ο?≠ ，T
x Ax >0； ② A 的特征值全大于0； ③ f 的正惯性指数为n ； ④ A 的所有顺序主子式全大于0；
⑤ A 与E 合同，即存在可逆矩阵C 使得T
C AC E =； ⑥ 存在可逆矩阵P ，使得T A P P =；
⑦ 存在正交矩阵C ，使得1
2
1
T n C AC C AC λλλ-??
?
?== ? ??
?
（i
λ大于0）.
√ 合同变换不改变二次型的正定性. √ A 为正定矩阵?ii a >0 ； 0A >. √ A 为正定矩阵?1
,,T
A A A -*
也是正定矩阵. √ A 与B 合同，若A 为正定矩阵?B 为正定矩阵
√ ,A B 为正定矩阵?A B +为正定矩阵，但,AB BA 不一定为正定矩阵.
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线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
线性代数 基础和常考知识点
线性代数基础知识点 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ??????? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+
√ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1（拉普拉斯展开式） ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 （即：所有 取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和） ⑤范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M M L 称为m n ?矩阵.记作：() ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112 222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ??? L L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A * -= ○注： 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ?--???? 1 L L 主换位副变号 ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换
线性代数必考知识点归纳
线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解；
线性代数总结归纳
行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
线性代数知识点归纳
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1
⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
数三线性代数必考知识点
线性代数必考知识点 1、行列式 1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、和的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为； 3. 代数余子式和余子式的关系： 4. 设行列式： 将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则； 将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则； 将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则； 将主副角线翻转后，所得行列式为，则； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积； ③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积； ④、和：副对角元素的乘积； ⑤、拉普拉斯展开式：、 ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式； 7. 证明的方法：
①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. 是阶可逆矩阵： （是非奇异矩阵）； （是满秩矩阵） 的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组有非零解； ，总有唯一解； 与等价； 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0； 是正定矩阵； 的行（列）向量组是的一组基； 是中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于阶矩阵：无条件恒成立； 3. 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：
若，则： Ⅰ、； Ⅱ、； ②、；（主对角分块） ③、；（副对角分块） ④、；（拉普拉斯） ⑤、；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：； 等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵、，若； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、若，则可逆，且； ②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：； ③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； ③、对调两行或两列，符号，且，例如：；
《线性代数》的主要知识点
《线性代数》的主要知识点 第一部分 行列式 概念： 1． n 阶行列式展开式的特点：①共有n!项，正负各半； ②每项有n 个元素相乘，且覆盖所有的行与列； ③每一项的符号为（列） 行）ττ+-() 1( 2． 元素的余子式以及代数余子式 ij j i ij M )1(A +-= 3． 行列式的性质 计算方法： 1． 对角线法则 2． 行列式的按行（列）展开 (另有异乘变零定理) 第二部分 矩阵 1． 矩阵的乘积 注意：①不满足交换率（一般情况下B A A B ≠） ②不满足消去率 （由AB=AC 不能得出B=C ） ③由AB=0不能得出A=0或B=0 ④若AB=BA ，则称A 与B 是可换矩阵 2．矩阵的转置 满足的法则：T T T B A )B A (+=+，T T T T T A B AB kA kA ==)(,)( 3．矩阵的多项式 设n n x a x a a x +++=Λ10)(?，A 为n 阶方阵，则 n n A a A a E a A +++=Λ10)(?称为A 的n 次多项式。 对与对角矩阵有关的多项式有结论如下： （1）如果 1 -Λ=P P A ，则n n A a A a E a A +++=Λ10)(? 11110---Λ++Λ+=P Pa P Pa EP Pa n n Λ= 1)(-ΛP P ?
（2）若),,(21n a a a diag Λ=Λ，则))(),(),(()(21n a a a diag ????Λ=Λ 4．逆矩阵：n 阶矩阵A,B ，若E BA AB ==，则A,B 互为逆矩阵。 n 阶矩阵A 可逆0A ≠?； n A r =?)( （或表示为n A R =)(）即A 为满秩矩阵； ?A 与E 等价； ?A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的列（行）向量组线性无关； ?A 的所有的特征值均不等于零 求法：①伴随矩阵法：*1 1 A A A ?= - ②初等变换法：()() 1,,-???→?A E E A 初等行变换或??? ? ?????→????? ??-1A E E A 初等列变换 ， E 是单位矩阵 性质：（1）矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的 （2）设A 是n 阶矩阵，则有下列结论 ①若A 可逆，则1 -A 也可逆，且A A =--1 1)( ②若A 可逆，则T A 也可逆，且T T A A )() (11 --= ③若A 可逆，数0≠k ，则kA 可逆，且111)(--= A k kA ④若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111 )(---=A B AB 5．方阵A 的行列式： 满足下述运算规律（设B A ,为n 阶方阵，λ为数） ①A A T = ②A A n λλ= ③B A AB = 6．伴随矩阵：行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下的矩阵 ???? ?? ? ??=nn n n n n A A A A A A A A A A Λ M M M ΛΛ212221212111* ，称为矩阵A 的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同） 伴随矩阵具有性质：E A A A AA ==* *
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；
线性代数知识点总结汇编
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
《线性代数》知识点 归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 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线性代数知识点总结第二章doc资料
线性代数知识点总结 第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 定义 由m n ?个数() 1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表 11 12 1212221 2n n m m mn a a a a a a a a a L L M M M L 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L L L L L L ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。 说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展 几种特殊的矩阵： 方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可 表示为E )（课本P29—P31） 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 第二节 矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个m n ?矩阵() () ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +， 规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? L L L L L L L 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++