人教版数学八年级下册代数部分综合复习讲义
初二数学秋季讲义 第15讲.代数综合 教师版
整式乘法部分：一、幂的运算：整数指数幂运算性质1. n m m n a a a +⋅=(m 、n 是正整数)2. ()m n mn a a =(m 、n 是正整数)3. ()nn nab a b =(n 是正整数)4. m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 是正整数，m >n )5. 01a =，1p p a a-=（0a ≠，p 是正整数） 二、乘法公式1. 完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+ 2．平法差公式：()()22a b a b a b +-=- 三、主要题型1. 基本运算2. 化简求值3. 整体法4. 消元法5. 降次法 思路导航15名校期末试题点拨——代数部分题型一：整式乘除与因式分解因式分解部分： 一、知识结构因式分解提公因式法乘法分配律的逆用 公式法完全平方公式()2222+=a ab b a b ±±平方差公式()()22a b a b a b -=+-十字相乘法 分解某些二次三项式 分组分解法分组后能提公因式分组后能运用公式二、注意事项：1. 分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
例如()()422111x x x -=+-，就不符合因式分解的要求，因为()21x -还能分解成()()11x x +-；2. 在没有特别规定的情况下，因式分解是在有理数范围内进行的。
三、因式分解的一般步骤：可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。
1. 一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来；2. 二“套”：若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或十字相乘法分解；3. 三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分到一组，使之分组后能“提”或能“套”；4. 四“查”：可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。
八年级下册数学全册讲义
同大取大；例如：X>-1，X>2，不等式组的解集是X>2
同小取小；例如：X<-4，X<-6，不等式组的解集是X<-6
大小小大中间找；例如，x<2,x>1,不等式组的解集是1<x<2
大大小小不用找例如，x<2,x>3，不等式组无解
例3.3解不等式组
解：解不等式(1)得x>-1,
解不等式(2)得x≤1,
4．如果 ，那么 [ ]．
A． B． C． D．
5．某数的2倍加上5不大于这个数的3倍减去4，那么该数的范围是 [ ]．
A． B． C． D．
6．不等式组 的正整数解的个数是 [ ]．
A．1B．2 C．3D．4
7．关于x的不等式组 有四个整数解，则a的取值范围是 [ ]．
A． B．
C． D．
8．已知关于x的不等式组 的解集为 ，则 的值为[]．
单元测试
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组整章水平测试
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．若代数式 的值不小于-3，则t的取值范围是_________．
2．不等式 的正数解是1，2，3，那么k的取值范围是________．
3．若 ，则x的取值范围是________．
4．若 ，用“＜”或“＞”号填空：2a______ ， _____．
例3.1、解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。
（1） ；（2）
例3.2直接想出不等式的解集：
（1） x＋3＞6的解集;（2）2x＜12的解集;
（3）x－5＞0的解集;（4）0.5x＞5的解集；
例3.3、一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是＿＿＿
人教版八年级下册数学知识点全面总结
人教版八年级下册数学知识点全面总结一、实数与代数式1.1 有理数- 概念：整数和分数的统称，包括正整数、0、负整数、正分数、负分数。
- 加减乘除法则：同号相加（减）取其相加（减）后的结果，并保留原来的符号；异号相加（减）取其相加（减）后的结果，并保留绝对值较大的数的符号。
乘法法则：同号得正，异号得负。
除法法则：除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数。
1.2 代数式- 概念：由数字、字母和运算符号组成的式子。
- 代数式的运算：加减乘除、乘方、开方等。
二、方程（组）与不等式（组）2.1 方程- 概念：含有未知数的等式。
- 一元一次方程：形式为ax+b=0，解法：移项、合并同类项、化系数为1。
- 二元一次方程：形式为ax+by=c，解法：消元法、代入法、矩阵法等。
2.2 不等式- 概念：含有不等号的式子。
- 一元一次不等式：形式为ax+b>0或ax+bc或ax+by<c，解法：同二元一次方程。
2.3 方程（组）与不等式（组）的应用- 线性方程组的解法：代入法、消元法、矩阵法等。
- 不等式组的解法：同线性方程组。
三、函数3.1 一次函数- 概念：形式为y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数。
- 图像：一条直线。
- 性质：随着x的增大，y的值会按照k的正负和大小变化。
3.2 二次函数- 概念：形式为y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
- 图像：一个开口向上或向下的抛物线。
- 性质：开口方向由a的正负决定，顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
四、几何4.1 平面几何- 点、线、面的基本概念。
- 线段的性质：长度、中点、垂直平分线等。
- 角的性质：度量、分类、补角、对顶角等。
- 三角形的基本性质：边长、角度、高、中线、角平分线等。
- 四边形的基本性质：边长、对角线、内角和等。
4.2 立体几何- 空间点、线、面的基本概念。
- 三角形、四边形、圆锥、球等立体图形的性质和计算。
八年级下册数学各章知识点
八年级下册数学各章知识点第一章理解代数式一、代数式的概念代数式是用数和字母以及加、减、乘、除、括号等符号表示出来的式子。
二、代数式的分类1.单项式：只含有一个项的代数式，如3x、5y^2等。
2.多项式：含有两个或两个以上的项的代数式，如2x^2+3y、5ab-6b^2等。
3.常数：不含字母的代数式，如2、3.14等。
三、代数式的运算1.加减法同类项相加减法则将同类项的系数相加减，不同类项不能进行加减运算。
2.乘法将系数相乘，字母并在一起，注意指数相加。
3.除法同除同乘，当除数为单项式时即可进行。
四、代数式的应用代数式在问题中的运用，需要注意列式子和解方程的方法。
第二章二次根式一、二次根式的概念含有根号并且根号下是一个含有字母的代数式的式子称为二次根式。
二、二次根式的化简1.单项式的情况将单项式的因式分解，然后用根号内的因式。
2.多项式的情况用因式分解法将多项式化为单项，然后再用单项的方法进行化简。
三、二次根式的加减同根号下的项相加减，不同根号下的项不能进行运算。
四、应用二次根式在三角形的运用和与之配套的勾股定理，需要掌握化简和运算的方法。
第三章一次函数一、函数的概念一个数集合和另一个数集合之间的对应关系称为函数。
二、函数的表示函数可以用函数表、函数图和函数式三种方式表示。
三、一次函数的概念1.一次函数定义：y=kx+b，其中k、b是常数，x是自变量，y 是因变量。
2.一次函数的图像：是一条直线，记为L。
四、一次函数的图像特点1.斜率为k，决定了直线的倾斜程度。
2.截距为b，表示函数图像与y轴的交点。
五、应用一次函数在实际生活中的运用，如图像和方程的应用。
第四章勾股定理一、勾股定理的三种形式1.勾股定理的几何形式：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
2.勾股定理的代数形式：a^2+b^2=c^2，其中c为斜边，a、b为两直角边。
3.勾股定理的反证法：如果a^2+b^2不等于c^2，则三角形不是直角三角形。
八年级数学代数总复习人教版知识精讲
初二数学代数总复习人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：代数总复习［学习目标］1. 全面掌握因式分解的方法及应用熟练进行分式的运算2. 熟练解分式方程既含字母系数方程3. 列方程解应用题二. 重点、难点：重点：分式的概念及运算，分式方程及应用。
难点：区分分式的运算和解分式方程。
［内容概要］1. 掌握分式概念熟练进行分式的运算2. 熟练解分式方程既含字母系数方程3. 列方程解应用题［知识网络］因式分解：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧+二二分组一三分组分组分解法”相乘法“公式法首先提取公因式法方法概念.4.3.2.1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧+÷⨯≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧÷÷=⨯⨯=⎪⎩⎪⎨⎧验根步骤解法解应用题：约分！注意点：整式的运算，解法：母系数概念：分清未知数和字字母系数方程：注意点：验根同乘公分母）解法：去分母。
（两边概念：分式方程最后运算的次序：先乘方后混合运算加减运算乘除法运算分式运算：分式的性质分式的值的正负问题分式的值为零分式的意义问题概念.3.2.1.6.3.2.1.5.3.2.1.4-:.3.2.1.3)0...(:.2.3.2.1:.1M M B M A B A M B M A B A【典型例题】分式概念中的几个要点：（1）形如A B的式子，其中A 、B 均为整式。
（2）分母B 必须含有字母，分子即可以含字母也可以不含。
（3）分母的代数式的值不得为零，否则分式无意义。
简要概括为分母中含字母的式子叫分式。
分式的值为零的必要条件：分母分子≠=⎧⎨⎩00 例1. x 为何值时，分式212x x -：（1）有意义；（2）无意义。
解：（1）当x 210-≠时，即()()x x +-≠110即x ≠-1且x ≠1时，分式212x x -有意义。
（2）当x 210-=，即()()x x +-=110即x =±1时，分式212x x -无意义例2. （1）x 为何值时231x x -+：（1）有意义；（2）的值为零。
人教版八年级下册数学各单元知识点归纳总结
人教版八年级下册数学各单元知识点归纳总结第一章算法初步- 整数、质数、合数、因数、倍数的概念- 分解因数，最大公因数，最小公倍数- 带余除法，求模运算，同余方程- 算术基本定理，一元一次方程，解方程的步骤第二章分数- 分数的基本概念，分数的大小比较- 分数的加减乘除，分数的化简- 分数的整数运算，带分数的简单四则运算- 分数运算的应用第三章代数式- 代数式的基本概念，同类项的概念- 代数式的加减乘除，开平方- 代数式乘法公式，因式分解- 代数式的应用第四章方程式初步- 方程组的基本概念- 二元一次方程组，三元一次方程组- 解方程组的方法- 方程的应用第五章图形初步- 轴对称图形，中心对称图形，旋转图形- 面积的应用- 三角形的分类，特殊的三角形- 四边形的分类，判断各种四边形第六章数据的收集与统计- 数据的收集，数据的整理，数据的描述- 中心值，散布度，直方图- 规律的总结，归纳，样本容量的选择- 无偏性，可靠性，误差分析第七章立体图形的计算- 立体图形的基本概念，正方体，长方体- 表面积，体积的计算- 圆锥、圆柱、金字塔、棱锥的表面积、体积的计算- 建立立体图形的模型第八章概率初步- 随机事件，样本空间的概念- 频率与概率，事件的独立性- 树形图与概率，基本统计数量- 离散型随机变量的分布总结本篇文章总结了人教版八年级下册数学各单元的知识点。
每章节都包括基本概念、计算方法和应用场景等内容。
阅读本文可以使学生更好地掌握知识点，提高学习效率，为考试打下基础。
八年级数学下册辅导讲义(人教版)专题01 二次根式及其运算知识基础巩固+技能提升(解析版)
专题01 基础巩固+ 技能提升【基础巩固】1. （荆州市月考）下列说法错误的是（）A．2a与()2a-相等BC．D．a与a-互为相反数【答案】D.【解析】解：A、()2a-=2a,故A正确；B=,,故B正确；C、互为相反数,故C正确；-=,故D错误；D、a a故答案为：D.2．（山东淄博月考）如图,1/x、2x三个按键,以下是这三个按键的功能．1/x：将荧幕显示的数变成它的倒数；③2x：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后,按照以下步骤操作,依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为10,那么第2018步之后,显示的结果是（）A．B．100C．0.01D．0.1 10【答案】C .【解析】解：根据题意得各步显示的数如下：第一步：102＝100,第二步：1100＝0.01,＝0.1；第四步：0.12＝0.01,第五步：10.01＝100,＝10；第七步：102＝100,第八步：1100＝0.01,＝0.1； … 所以显示的数是六步一个循环∵2018÷6=336 (2)∴按了第2018下后荧幕显示的数与第二步相同,所以显示的数是0.01．故答案为：C ．3．（四川达州期末）若,x y 为实数,且满足26||0x y --=,则2021x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是________．【答案】-1. 【解析】解：由题意得：260220x y x y --=⎧⎨+-=⎩, 解得：22x y =⎧⎨=-⎩, ∴2021202122x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=-1；故答案为：-1．4．（北京月考）已知3m =,则2019()m n +的值为______． 【答案】1.【解析】解：由题意得：16-n 2≥0,16-n 2≤0,故n 2=16,即n =±4,又n ≠-4,∴n =4,m =-3∴原式=（4-3）2019=1故答案为：1．-= 5．与,则a b________．【答案】2.【解析】解：根据题意得：a-1=2,b+2=5-2b,∴a=3,b=1∴a-b=2故答案为：2．6．（克东县期中）当x时,式子x2﹣4x+2017=________．【答案】2016.【解析】解：x2﹣4x+2017=（x﹣2）2+2013=2+2013=2016．故答案为：2016．7．（江苏扬州市期末）已知5=+,当x分别取1、2、3、…、2021时,所对y x应y值的总和是_____．【答案】2033.【解析】解：当x＜4时,y=-2x+9,即当x=1时,y=9-2=7；当x=2时,y=9-4=5；当x=3时,y=9-6=3；当x≥4时,y=1,即当x分别取4,5,…,2021时,y的值均为1,综上所述,当x分别取1,2,3,…,2021时,所对应的y值的总和是7+5+3+2018×1=2033,故答案为：2033．8．（浙江杭州市期中）已知ABC的三边长分别为1,k,3,则化简92k-的结果是_______．【答案】12-4k.【解析】解：由题意可知：2＜k＜4,∴1＜9-2k＜5,1＜2k-3＜5,∴原式=92k--=9-2k-2k+3=12-4k,故答案为：12-4k．9．（北京顺义区期末）为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根,许多数学家进行了探索,期间经历了400余年,直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的,她在《代数备旨》中把图1?=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________,计算结果为_______________.a+3.【解析】解：根据题意可知图中的甲代表a,图2所示题目（字母代表正数）∵a＞0,=a+3a+3.10．a,小数部分是b,求ab的值．32=,23<,∴532,∴a=2,b2=-=,即)41263ab++===.11．2++【解析】解：原式32=+--2332=+--=12．（云南曲靖市期末）先化简,再求值：2241244x xx x x-⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭,其中2x=-【答案】22x-+,.【解析】解：2241244x xx x x-⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭22(2)22(2)(2)x x xx x x x--⎛⎫=-⨯⎪--+-⎝⎭2222xx x--=⨯-+22x=-+,当2x=-+,原式==13．（浙江杭州期末）计算：（13-+++（2）(222【答案】（1）；（2）8-【解析】解：（13+=5+=+=；++（2）(222=5243+--=8-14．（浙江绍兴市期末）定义：若一个三角形两边的平方差等于第三边上高的平方,则称这个三角形为勾股高三角形,这两边的交点称为勾股顶点．（1）如图①,已知△ABC为勾股高三角形,其中A为勾股顶点,AD是BC边上的高．若BD ＝1,CD＝2,求高AD的长；-,求证：△ABC是勾股高三角形．（2）如图②,△ABC中,AB＝AC＝3,BC＝3【答案】（1（2）见解析.【解析】解：（1）解：∵AD是BC边上的高,BD＝1,CD＝2,∴AB 2＝AD 2＋1,AC 2＝AD 2＋4,∵△ABC 为勾股高三角形,A 为勾股顶点,∴ AC 2－AB 2＝AD 2,即（AD 2＋4）－（AD 2＋1）＝AD 2,∴ AD（2）∵AB ＝AC ＝3 ,∴点A 不可能为勾股顶点过B 作BH 垂直AC 于D 点H ,设HC ＝x ,由题意,得BC 2－CH 2＝BH 2＝AB 2－AH 2,∴()()2222333x x -=--,x ＝6-∴BH 2＝BC 2－CH 2＝()(223627--=∵AB 2－BC 2＝()223327-=∴BH 2＝AB 2－BC 2∴△ABC 是勾股高三角形．15．（河南省孟津县月考）根据下图,b c a c -+++．【答案】﹣b ．【解析】解：由数轴可以看出：a ＞0,b ＜0,c ＜0,a ＜﹣c ,b c a c ++,=|b |-|b +c |+|a -c |+|a +c |,＝﹣b ﹣[﹣（b +c ）]+（a ﹣b ）+[﹣（a +c ）],＝﹣b+（b+c）+a﹣b﹣a﹣c,＝﹣b．16．（2019·南阳市月考）如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B,再直爬向点C停止,已知点A表示,点C表示2,设点B所表示的数为m．（1）求m的值（2）求2m m的值1(1)（3）直接写出蚂蚁从点A到点C所经过的整数中,非负整数有个【答案】（1）2m=-（2）6-（3）3.【解析】解：（1）由题意可得：m-2=2,∴m=2-（2）把m=2-2m m1(1)2|221|2213232=-；6（3）从点A到点C所经过的整数有-1,0,1,2,其中非负整数有0,1,2,所以蚂蚁从点A到点C所经过的整数中,非负整数有3个．=,17．（成都市温江区月考）观察下列一组式的变形过程,1==（1＝；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．（3）利用上面的结论,求下列式子的值：)++⋅．1【答案】（1）（21=-n 为正整数）,证明见解析；（3）2007.【解析】解：（1故答案为：（2=-n 为正整数）．1=n 为正整数）；（3）原式＝12008++⋅1+)﹣1）+1）＝2008﹣1＝2007.18．阅读下列材料,并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中,利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题,这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”,该公式是：设△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,△ABC 的面积为S ． （1）（举例应用）已知△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,且a ＝4,b ＝5,c ＝7,则△ABC 的面积为 ；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示,现测得AB ＝（）m ,BC ＝5m ,CD＝7m ,AD ＝m ,∠A ＝60°,求该块草地的面积．【答案】（1）（2）（）m 2【解析】解：（1）△ABC 的面积为S＝故答案为：；（2）解：过点D 作DE ⊥AB ,垂足为E ,连接BD ,在Rt △ADE 中,∵∠A ＝60°,∴∠ADE ＝30°,∴AE ＝12AD ＝∴BE ＝AB ﹣AE ＝＝DE ==∴BD ==∴S △BCD =∵S △ABD ＝112422AB DE ⋅=⨯⨯=∴S 四边形ABCD ＝S △BCD +S △ABD ＝ 24+ 19．（江苏南通市期末）（1）判断下列各式是否成立？并选择其中一个说明理由；===． （2）用字母表示（1）中式子的规律,并给出证明． 【答案】（1）成立,理由见解析；（2）2211n nn n n n +=--（n ＞1）,理由见解析.【解析】解：（1）成立,===（2====,1)n =>,1)n ==>． 20．（2019·兰州市期中）先阅读下列的解答过程,然后再解答：,只要我们找到两个正数a 、b ,使a +b ＝m ,ab ＝n ,使得22m +===（a＞b ）这里m ＝7,n ＝12,由于4+3＝7,4×3＝12即227+==2=（1＝ ,＝ ；（2【答案】（11 , ；（22.【解析】解：（1中,m =4,n =3,由于3+1=4,3×1=3+==即22411；,m＝9,n＝20,由于4+5＝9,4×5＝20+==即229=2（2这里m＝19,n＝60,由于15+4＝19,15×4＝60+==即2219=2221．（洛阳市期中）像2）2）＝1a（a≥0）、＋1）﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式．例如＋1﹣﹣有理化因式．进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1；（2）计算：（3的大小,并说明理由．【答案】（12）2＋；（3.【解析】解：（12＋（22＋；（3,,,．22．（江苏盐城市期中）先观察下列等式,再回答问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+；1111133112=+-=+；（1）根据上面三个等式,(直接写出结果) （2）根据上述规律,解答问题：设...m =+求不超过m 的最大整数是多少？【答案】（1）1120；（2）不超过m 的最大整数是2019．【解析】解：（1）观察可得1120；（2）m ＝112+116+1112+…+1120192020⨯ ＝1×2019+（12+16+112+…+1120192020⨯）＝2019+（1﹣12+12﹣13+13﹣14+…+1120192020-）＝2019+（1﹣1 2020）=2019 20192020,∴不超过m的最大整数是2019．【拓展提升】1.数；③实数与数轴上的点是一一对应的关系；④两个无理数的和一定是无理数；⑤已知a＝2b＝2则a、b是互为倒数．其中错误的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B.【解析】解：①带根号的数是无理数,,正确；③实数与数轴上的点是一一对应的关系,正确；④两个无理数的和一定是无理数,错误；⑤已知a＝2b＝2则a、b是互为倒数,正确．故答案为：B.2．（偃师市月考）设a,b部分,则21b a-的值为（）A1B1+C1D1【答案】B.∴a ,∴b ,∴21b a -, 故答案为：B ．3．（湖南邵阳市期末）若表示a ,b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示,则化简a b - ）A ．2b -B ．2bC ．2a -D ．2a【答案】C .【解析】解：∵由数轴可得a ＜0＜b ,|a |＞|b |, ∴a −b ＜0,a ＋b ＜0,∴a b -+|a −b |＋|a ＋b |＝b - a −（a ＋b ） ＝b - a –a -b =−2a ． 故答案为：C ．4.（四川期末）化简正确的是（ ）A B C D 【答案】C . 【解析】解：﹣1x＞0,得x ＜0,x. 故答案为：C ．5．（浙江杭州市）化简二次根式 ）A B C D 【答案】B .【解析】解：由题意知：a +2≤0,即a ≤-2,原式=a a ==故答案为：B .6．（2019·孟津县月考）把根号外的因式移入根号内,得________【解析】解：∵310a -≥, ∴a ＜0,∴a===．故答案为：a．7．将(0)a a -<化简的结果是___________________.【答案】 【解析】解：∵a ＜0 ∴a －3＜0,∴(a -=-故答案为：8．（北京期中）我们学完二次根式后,爱思考的小鲍和小黄提出了一个问题：我们可以算22,23-的值,我们可以算122,233的值吗？金老师说：也是可以的,你们可以查阅资料来进行学习.他们查阅资料后,发现了这样的结论：0)nmaa =≥,例如：122=,3248===,那请你根据以上材料,写出123=____________,238=___________.4.【解析】123=,2384===．9．（龙口市期中）已知实数a 满足|2014-a |+a ,那么a -20142+1的值是______ ． 【答案】2016.【解析】解：∵a -2015≥0, ∴a ≥2015,∴原式可变形为：a -=a , ∴a -2015=20142, ∴a =20142+2015,∴a -20142+1=20142+2015-20142+1=2016. 故答案为：2016.10．（灌南县月考）已知a 满足2019a a -=．（1有意义,a 的取值范围是 ；则在这个条件下将2019a -去掉绝对值符号可得2019a -=（2）根据（1）的分析,求22019a -的值． 【答案】（1）a ≥2021；a -2019；（2）2021. 【解析】解：（2）由（1）可知,∵2019a a -=,∴2019a a -=,2019=, ∴220202019a -=, ∴202019220a =-.11．先阅读下列解答过程,437+=,4312⨯=,即：227+=,=所以2====+问题：（1==____________﹔（2,只要我们找到两个正数a ,b （a b >）,使a b m +=,ab n =,即22m +== =__________．（3（请写出化简过程）【答案】（11（2)a b >；（3.【解析】解：（11===；；（2)a b ===>；（3．12．（广东茂名市月考）阅读下述材料：我们在学习二次根式时,熟悉的分母有理化以及应用．其实,有一个类似的方法叫做“分子有理化”:与分母有理化类似,分母和分子都乘以分子的有理化因式,从而消掉分子中的根式比如：-==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：-==>再例如：求y=的最大值．做法如下：解：由20,20x x+≥-≥可知2x≥,而y==当2x=时,2,所以最大值是2．解决下述问题：（1）比较4和（2）求y=【答案】（1）4-<（2）y的最大值为2,1．【解析】解：（1）4===而4>4∴>4∴<（2）由10x -,10x +,0x 得01x ,y +∴当x =0时,有最大值1,1,所以y的最大值为2；当x =1时,1,0,所以y 1．13．仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标,设两条直角边的边长为a ,b ,则面积为12ab ,四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：222a b ab +≥,当且仅当a b =时取等号．在222a b ab +≥中,若0a >,0b >,代替a ,b 得,a b +≥,即2a b+≥（*）,我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求代数式的最小值．我们以“已知x 取实数,2”为例给同学们介绍．2=0>0>,≥=,=时取等号,即当x =,最小值为总结：利用基本不等式0,0)2a b a b +≥>>求最值,若ab 为定值,则+a b 有最小值． 请同学们根据以上所学的知识求下列代数式的最值,并求出取得最值时相应x 的取值．（1）若0x >,求22x x+的最小值； （2）若2x >,求12x x +-的最小值； （3）若0x ≥,的最小值． 【答案】见解析.【解析】解：（1）由题知42=222x x x x++,∴422x x +≥,当且仅当242=x x 时取等号, 即当x =1时,最小值为4；（2）由题知11=2222x x x x +-++--, ∴1222x x -++≥-,当且仅当12=2x x --时取等号, 即当x =3时,最小值为4；（32922+,26≥,2, 即当x =1时,最小值为6.。
人教版八年级数学下册专题复习(二) 有关二次根式的规律性问题
思维特训(二)有关二次根式的规律性问题方法点津规律性问题的解决方法：1．把已知式子(代数式或等式)按照所给顺序从上往下依次排开，并把式子变成结构大体相同的形式．2．结合式子的序号，自左向右，横向观察式子自身数的变化与序号的数量关系．3．从上至下，纵向观察式子对应位置上数的变化规律．4．熟悉完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.典题精练类型一二次根式的化简1．有如下二次根式：①52－42；②172－82；③372－122；④652－162.(1)求各式的值；(2)仿照①②③④写出第⑤个二次根式；(3)写出第n(n为正整数)个二次根式，并化简．2．观察下面的计算过程，回答下列问题：12＋1＝1×（2－1）（2＋1）（2－1）＝2－1，13＋2＝1×（3－2）（3＋2）（3－2）＝3－2，同理可得：14＋3＝4－3，….(1)17＋6＝________；(2)求13 2＋17的值；(3)利用上面算式中的规律计算：(12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋12019＋2018)×(2019＋1)．类型二 含有二次根式的等式3．观察下列各式： ①1＋13＝213；②2＋14＝314； ③3＋15＝415. (1)请观察规律，并写出第④个等式：________________________；(2)请用含n (n 为正整数)的式子写出猜想的规律：________________________；(3)请证明(2)的结论．4．观察下列各式及其验证过程： 12－13＝1223， 验证：12－13＝12×3＝222×3＝12 23； 12×（13－14）＝13 38， 验证：12×（13－14)＝12×3×4＝32×32×4＝13 38； 13×（14－15）＝14 415， 验证：13×（14－15）＝13×4×5＝43×42×5＝14415. (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想14×（15－16）的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为正整数)表示的等式(不需要验证)．5．先观察下列等式，再回答问题： ①12＋2＋（11）2＝1＋1＝2； ②22＋2＋（12）2＝2＋12＝212； ③32＋2＋（13）2＝3＋13＝313. (1)根据上面的三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；(2)请按照上面各等式的规律，试写出用n (n 为正整数)表示的等式，并用所学知识证明．6．观察下列各式： 1＋112＋122＝1＋11－12＝112； 1＋122＋132＝1＋12－13＝116； 1＋132＋142＝1＋13－14＝1112. 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：(1)猜想：1＋172＋182＝________＝________； (2)归纳：根据你的观察、猜想，请写出一个用n (n 为正整数)表示的等式； (3)应用：计算8281＋1100.典题讲评与答案详析1．解：(1)①3 ②15 ③35 ④63 (2)1012－202(3)第n (n 为正整数)个二次根式为（4n 2＋1）2－16n 2.（4n 2＋1）2－16n 2 ＝（4n 2－4n ＋1）（4n 2＋4n ＋1)＝（2n －1）2（2n ＋1）2＝(2n －1)(2n ＋1)．2．解：(1)7－ 6(2)13 2＋17 ＝ 3 2－17（3 2＋17）（3 2－17） ＝3 2－1718－17＝3 2－17.(3)原式＝(2－1＋3－2＋4－3＋…＋2019－2018)×(2019＋1)＝(2019－1)×(2019＋1)＝2018.3．解：(1)4＋16＝516 (2)n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(3)证明：n ＋1n ＋2＝n 2＋2n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2. 4．解：(1)14×（15－16）＝15 524. 验证： 14×（15－16）＝14×5×6＝54×52×6＝15 524. (2)1n （1n ＋1－1n ＋2）＝1n ＋1 n ＋1n （n ＋2）(n 为正整数)． 5．解：(1)42＋2＋（14）2＝4＋14＝414. (2)n 2＋2＋（1n ）2＝n ＋1n ＝n 2＋1n . 证明：n 2＋2＋（1n ）2 ＝n 2＋2×n ×1n ＋（1n ）2 ＝（n ＋1n ）2＝n ＋1n ＝n 2＋1n.6．解：(1)1＋17－18 1156(2)1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋1n －1n ＋1＝1＋ 1n （n ＋1）. (3)8281＋1100＝1＋181＋1100＝1＋192＋1102＝ 1＋19－110＝1190.。
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A B C D h t tt t h h h 0 0 0 0 代数复习基础知识点1．若二次根式5x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞－5B ．x ＜－5C ．x ≠－5D ．≥x －5 2．下列各式中，最简二次根式是（ ）A ．27B ．6C ．a1D ．23a 3．在平面直角坐标系中，直线y kx b =+()0, 0k b <>不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．将直线1y kx =-向上平移2个单位长度，可得直线的解析式为（ ）A ．3y kx =-B ．1y kx =+C ．3y kx =+D ．1y kx =-5．已知()()1122P 3, P 2, y y -，是一次函数21y x =+的图象上的两个点，则12, y y 的大小关系是（ ） A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．不能确定6．某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月四个市场的价格平均值相同，方差分别为，，，，则二月份白菜价格最稳定的市场是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：80，90，75，80，75，80．下列关于这组数据描述错误的是（ ）A ．众数是80B ．平均数是80C ．中位数是75D ．极差是158．如图是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果以固定流速向这个蓄水池注水，下面能大致表示水的最大深度h 和时间t 之间的变化关系的图象的是（ ）9．计算：368⨯-=_________． 10．如图，若设用户上网的时间为x 分钟，A 、B 两种收费方式的费用分别为A y （元）、B y （元），它们的函数图象如图所示，则当上网时间 多于400钟时，选择 种方式省钱．重点题型1【二次根式】 例题1：（1）12123524⨯÷（2） ()3482273-÷y O x yy =ax +bx 0 变式练习1：（1）()232a a- （2）()()11x x x x +---例题2：一次函数y ax b =+的图象如图所示，请化简()()2211a b --+．变式练习2：实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图，请化简式子： ()22________.a b b a b ---+=重点题型2【一次函数的图象和性质】 例题3：已知正比例函数)0(≠=k kx y 的函数值随x 的增大而增大，则一次函数k x y +=的图象大致是（ ）变式练习3-1： 已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n 的图象如图所示， 则2n m m --可化简为 ． 变式练习3-2：如图，已知函数y 1＝ax ＋b 和y 2＝kx 的图象交于点P ，根据图象可得，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是________．变式练习3-3：如图，直线b kx y +=经过A （2，1），B （－1，－2）两点，则不等式221->+>b kx x 的解集为 ．D C B A o y x x y o x y o o y x两步一回头1．直线2y kx =+过点（－1，0），则k 的值是（ ）． A ．2 B ．－2C ．－1D ．12．下列计算正确的是（ ）．A ．236⨯=B ．235+=C ．842=D ．422-= 2＋1的图象可能正确的是（ ）．A B C D4．（11广州）当实数x 的取值使得2x -有意义时，函数y ＝4x ＋1中y 的取值范围是（ ）． A ．y ≥－7 B ．y ≥9 C ．y ＞9 D ．y ≤9 5．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示， 则2______a a b +-=．问题探究例题4： 一条直线经过点A （2，－6）和B （－4，3）．（1）求这条直线所表达函数解析式；（2）在所给的直角坐标系中直接画出这条直线； （3）直接写出△OAB 的面积．变式练习4-1：已知点P （x ，y ）是第一象限内的一个动点，且满足x +y ＝4．请先在所给的平面直角坐标系中画出函数2+1y x =的图象，该图象与x 轴交于点A ，然后解答下列问题：（1）利用所画图象，求当－1≤y ≤3时x 的取值范围； （2）若点P 正好也在直线2+1y x =上，求点P 的坐标；（3）设△OP A 的面积为S ，求S 关于点P 的横坐标x 的函数解析式．变式练习4-2：如图，已知点B 的坐标是（0，3），点E 的坐标是（0，y0 0 0y y y x x x x 023-），直线1l 经过B ，E 两点． （1）求直线1l 的解析式； （2）点A 是x 轴正半轴上的一点， 当45ABE ∠=︒时，求点A 的坐标；（3）直线2l 的解析式为4y x =-+，点D 是直线2l 上的动点，试探究在直线1l 上是否存在一点C ，使得以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有可能的C 点的坐标；若不存在，请说明理由．拓展延伸1．2008年6月1日起，我国实施“限塑令”，开始有偿使用环保购物袋．为了满足市场需求，某厂家生产A ，B 两种款式的布质环保购物袋，每天共生产4500个，两种购物袋的成本和售价如下表，设每天生产A 种购物袋x 个，每天共获利y 元．成本（元/个） 售价（元/个） A 2 2.3 B 3 3.5（1）求出y 与x （2）如果该厂每天最多投入成本10000元，那么每天最多获利多少？EABl 1l 22．如图，直线1l 过点A （0，4）、D （4，0）两点，直线2l ：121+=x y 与x 轴交于点C ，两直线1l 、2l 相交于点B ．（1）求直线1l 的函数关系；（2）求点B 的坐标；（3）若直线AC 的函数关系式是b kx y +=，请根据图象直接写出不等式：x b kx ->+4的解集．3．甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如下图所示： （1）根据图中的数据填写下表：平均数（环） 众数（环） 方差甲乙4.（11营口）为提高初中生的身体素质，教育行政部门规定：初中生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时． 为了了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成图1、图2两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）这次调查共调查了________名学生；（2）户外活动时间为1小时的人数为________人，并补全图1；（3）在图2中表示户外活动时间0.5小时的扇形圆心角的度数是________．（4）本次调查中学生参加户外活动时间的众数是________、中位数是________；户外活动的平均时间是否符合要求？图1 图22小时 0.5小时1小时 40%1.5小时24%5．如图，平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过A （0，4）和B （－2，0）两点．（1）求直线l 的解析式；（2）C D 、两点的坐标分别为C （4，2）、D （m ，0），且ABO △与OCD △全等；①则m 的值为 ；（直接写出结论）②若直线l 向下平移n 个单位后经过点D ，求n 的值．课堂加油站谁偷吃了水果和小食品？赵女士买了一些水果和小食品准备去看望一个朋友，谁知，这些水果和小食品被他的儿子们偷吃了，但她不知道是哪个儿子．为此，赵女士非常生气，就盘问4个儿子谁偷吃了水果和小食品．老大说道：“是老二吃的．”老二说道：“是老四偷吃的．”老三说道：“反正我没有偷吃．”老四说道：“老二在说谎．”这4个儿子中只有一个人说了实话，其他的3个都在撒谎．那么，到底是谁偷吃了这些水果和小食品？课后练习1．下列计算中，正确的是（ ）A ．562432=+B ．3327=÷C ．632333=⨯D ．3)3(2-=-2．函数()12y m x m =-+-中y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是___________． 3．已知：一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过（0，2），（1，3）两点． （1）求k ，b 的值；（2）若一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交点为（a ，0），求a 的值．【参考答案】【基础知识点】【重点题型1】例题1（1）10；（2）6； 变式练习1：（1）(5a -；（2）1； 例题2：a b --；变式练习2：2a b +【重点题型2】例题3：A ； 变式练习3-1：n ； 变式练习3-2：3x ＜； 变式练习3-3：2x -1＜＜【两步一回头】【问题探究】例题4：（1）332y x =--；（2）略；（3）9 变式练习4-1：（1）11x -≤≤；（2）(1)P ，3；（3） 44xS -= 变式练习4-2：（1）y ＝2x ＋3；（2）（0，1）；（3）存在，分别为：C 1（－1，1），C 2（1，5），C 3⎪⎭⎫ ⎝⎛-37,31【拓展延伸】1．解：（1）根据题意得：()()()2.32 3.534500=y x x -+--0.22250=+x -（2）根据题意得：()23450010000≤x x +-解得3500≥x 元，∵0.20k =-<，∴y 随x 增大而减小，∴当3500x =时，0.2350022501550y =-⨯+=，答：该厂每天至多获利1550元．2．（1）4y x =-+；（2）(22)B ，；（3）x ＞0 3．（1）6；6；0.4；6；6；2.8；（2）在这5次射靶中，甲的成绩更稳定， 理由为：甲的方差小于乙的方差．4． 解：（1）50．（2）20．补全的图（1）如图所示： （3）72°．（4）1小时；1小时．100.520112 1.58250x ⨯+⨯+⨯+⨯=＝1.18＞1，∴ 户外活动的平均时间符合要求．5．解：（1）设直线l 的解析式为y kx b =+（0k ≠）．∵直线l 经过点()A 0, 4，∴4b =．∵直线l 经过点()B 2, 0-，∴240k -+=．∴2k =．∴直线l 的解析式为24y x =+． （2）①4m =．②设平移后的直线1l 的解析式为12y x b =+．∵直线1l 经过点()D 4, 0，∴1240b ⨯+=．∴18b =-． ∴直线1l 的解析式为28y x =-．∴12n =．【课后练习】1．B 2．1m ＜3．解：（1）由题意，得23b k b =⎧⎨+=⎩ ，解得12k b =⎧⎨=⎩∴k 、b 的值分别是1和2；（2）由（1）得y ＝x ＋2，∴当y ＝0时，x ＝－2，即a ＝－2．。