圆锥曲线定点问题中的重要定理
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圆锥曲线定点问题中的重要定理
作者：念家桃
来源：《福建中学数学》2012年第03期
文[1]介绍了圆锥曲线定点问题中的两个定理及其推论：
笔者研读之后发现：上述两个定理及其推论中的定点都是在焦点所在的坐标轴上，且没有进一步推广到抛物线，不免有点遗憾.
下面笔者对定理及其推论进行推广，使定点在另一坐标轴上时也有类似结论，并将其推广到所有有心圆锥曲线.再进一步推广到抛物线，使此结论得以在圆锥曲线上完整体现，并得到
一个有关圆锥曲线过定点的一个重要定理.供读者参考（为行文方便，笔者约定文中均是在问
题存在的前提下讨论的）.
定理8 已知抛物线y2=2px( p>0)，过x轴上一点(m，0)任作两相互垂直的弦AB，CD，设M，N分别为弦AB，CD的中点，则直线MN必经过定点(m?p，0).
定理9 已知抛物线x2=2py( p>0)，过y轴上一点(0，m)任作两相互垂直的弦AB，CD，设M，N分别为弦AB，CD的中点，则直线MN必经过定点(0，m+p).
定理10 已知抛物线x2=2py( p>0)，过y轴上一点(0，m)任作两相互垂直的弦AB，CD，
设M，N分别为弦AB，CD的中点，则直线MN必经过定点(0，m?p).
综合上面十个定理，可以得到有关圆锥曲线过
定点的重要定理：
定理过圆锥曲线对称轴上的定点作两相互垂直的弦，则过两弦中点的直线必经过该对称
轴上的另一定点.
注若此定点是圆锥曲线的端点的话，可得到与文[1]相类似的上述各定理的推论.
参考文献。
拉格朗日中值定理圆锥曲线-概述说明以及解释
拉格朗日中值定理圆锥曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述拉格朗日中值定理以及圆锥曲线作为数学中的两个重要概念，都在不同领域发挥着重要的作用。
拉格朗日中值定理是微积分中的一个基本定理，它为我们提供了一种有力的工具，用于研究函数在某个区间内的性质。
而圆锥曲线则是解析几何中的一个重要分支，它涉及到平面上的曲线形状与其代数方程之间的联系。
拉格朗日中值定理是法国数学家拉格朗日于18世纪所提出的，在微积分学中占据着举足轻重的地位。
它描述了函数在某个闭区间内连续且导数存在的条件下，必然存在着某个点，使得该点的导数等于函数在该区间两端点的函数值之差与两端点之差的比值。
也就是说，拉格朗日中值定理给出了函数在某个区间内平均变化率等于瞬时变化率的条件。
这个定理被广泛应用于微积分、最优化等领域，为我们研究函数的增减性、最值等问题提供了便利。
而圆锥曲线是一个由平面与一个圆锥相交所形成的曲线。
它的特点是在平面上的每个点，到一个定点和一个定直线的距离之比是一个常数，该常数称为离心率。
由于离心率的不同取值，圆锥曲线可以分为椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
椭圆是离心率小于1的情况，抛物线是离心率等于1的情况，而双曲线是离心率大于1的情况。
圆锥曲线的研究在解析几何、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
它们可以描述光学系统中的折射和反射现象，也可以用于建模天体运动的轨迹等。
通过对拉格朗日中值定理和圆锥曲线的研究，我们可以深入理解函数的变化规律以及几何形状的特性。
这两个概念的结合为我们提供了一种数学工具的扩展和应用的可能性。
在本文中，我们将首先介绍拉格朗日中值定理的基本原理和证明方法，然后探讨圆锥曲线的定义和性质，最后总结两者的研究意义。
通过这样的分析，我们可以更好地理解这两个概念在数学和相关学科中的重要性和应用价值。
1.2文章结构文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
1. 引言部分会对拉格朗日中值定理和圆锥曲线进行概述，明确文章的主要研究内容和目的。
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论1.圆锥曲线的定义：（1）定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。
若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
抛物线定义中，定点和定直线是焦点和准线，要注意定点不在定直线上，否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线.（2）抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此点到准线距离间的关系，要善于运用定义对它们进行相互转化。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。
方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。
方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。
（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
圆锥曲线专题：定点问题中常见4种考法-高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)
圆锥曲线专题：定点问题中常见的4种考法一、常用方法技巧 1、参数无关法把直线或者曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
2、特殊到一般法根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
3、关系法对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
二、手电筒模型解题步骤1、概念：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如AP BP k k ⋅=定值，+AP BP k k =定值），直线AB 依然会过定点，因为三条直线形似手电筒，故称为手电筒模型。
2、解题步骤：第一步：由AB 直线y kx m =+，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围； 第二步：由AP 与BP 关系，得到一次函数()k f m =或()m f k =； 第三步：将()k f m =或()m f k =代入y kx m =+，得到()y y k x x =-+定定. 三、交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤第一步：设其中一条直线的斜率为1k ，求出直线方程；第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示出这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；第三步：由上述两部，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程； 第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。
四、圆锥曲线的切点弦方程1、过抛物线()220y px p =>外一点()00,M x y 作抛物线的切线，切点弦方程为()00yy p x x =+；2、过椭圆()222210x y a b a b +=>>外一点()00,M x y 作椭圆的切线，切点弦方程为00221x x y ya b +=；3、过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>外一点()00,M x y 作双曲线的切线，切点弦方程为00221x x y ya b-=； 五、几个重要的定点模型1、过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点(),0F c -作两条相互垂直的弦AB ，CD ，若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，则直线MN 恒过定点222,0ac a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论） 2、动点()00,P x y 在直线0Ax By C ++=上，由P 引椭圆22221x y a b+=的两条切线，切点分别是M ，N ，则直线MN 恒过定点22,a A b B CC ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）3、（1）过椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点20000222,y b x x y m ma ⎛⎫--- ⎪⎝⎭； （2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点0002,2y y x p m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭4、（1）过椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点()()2222002222,b ma x b ma y b ma b ma ⎛⎫++ ⎪- ⎪--⎝⎭（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点002,p x y m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3、4两个结论对于圆与双曲线也成立，当22b a =时就是圆中的结论，用2b -替代2b 就可得到双曲线中的结论）题型一 手电筒模型恒过定点问题【例1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，且椭圆C 过点()2,1P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点,A B 是椭圆C 上异于点P 的两个不同的点，直线PA 与PB 的斜率均存在，分别记为12,k k ，若1212k k =-，试问直线AB 是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（1）22+=182x y ；（2）过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，所以28a =，因为椭圆C 过点()2,1P ，所以22411a b +=，24118b+=，得22b =， 所以椭圆方程为22+=182x y ，（2）①当直线AB 的斜率存在时，设其方程为1122,(,),(,)y kx t A x y B x y =+，由22=++4=8y kx t x y ⎧⎨⎩，得222(41)8480k x ktx t +++-=， 222222644(41)(48)820k t k t k t ∆=-+-=-+>，所以12221228+=4+148=4+1kt x x k t x x k --⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 所以121222()241ty y k x x t k +=++=+， 22221212121228()()()41t k y y kx t kx t k x x kt x x t k -=++=+++=+，因为1212k k =-，所以12121212121211()11222()42y y y y y y x x x x x x ---++⋅==----++，所以1212121222()22()4y y y y x x x x -++=-++-，所以2222222824882222441414141t k t t ktk k k k ---⋅-⋅+=-+⋅-++++， 所以222222164824816164t k t k t kt k --++=-+---， 化简得22438210k t kt t ++--=，即(21)(231)0k t k t +-++=， 所以12t k =-或123kt +=-， 当12t k =-时，直线AB 的方程为12(2)1y kx k k x =+-=-+， 则直线过定点(2,1)（舍去）， 当123k t +=-时，直线AB 的方程为1221333k y kx k x +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，②当直线AB 的斜率不存在时，设直线为=x m （2m ≠），由22=+4=8x m x y ⎧⎨⎩，得22218m y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以=y所以21222111241(2)442m k k m m m ⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===---+， 解得=2m （舍去），或23m =， 所以直线也过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上，直线AB 恒过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式1-1】已知直线2y =与双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>交于A ，B 两点，F 是C 的左焦点，且AF AB ⊥，2BF AF =. （1）求双曲线C 的方程；（2）若P ，Q 是双曲线C 上的两点，M 是C 的右顶点，且直线MP 与MQ 的斜率之积为23-，证明直线PQ 恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2212y x -=；（2）证明见解析，直线PQ 恒过定点（-2，0）【解析】（1）因为AF AB ⊥，所以2AF =，4BF =，||AB =设双曲线C 的焦距为2c，由双曲线的对称性知||2AB c ==设双曲线C 的右焦点为F '，则22BF AF BF BF a '-=-==，得1a =，则b ==C 的方程为2212y x -=.（2）由已知得()1,0M ，设直线MP 与MQ 的斜率分别为1k ，2k ，①当直线PQ 不垂直于x 轴时：设直线PQ 的斜率为k ，PQ 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22,1,2y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2222220k x kmx m -+++=，当()22820m k ∆=-+>时，12222km x x k -+=-，212222m x x k +=-，那么()()()()()()()()2121212111212121212211111kx kx k y y m m x x km x x k k x x x m x x x x x ===----+++++-++ ()()()()()222222222222222222312222k m k mm k m k m k m k k m kmk mk m k k -++----====-++++-+-+， 得2m k =，符合题意.所以直线PQ 的方程为()2y k x =+，恒过定点（-2，0）. ②当直线PQ 垂直于x 轴时：设(),P t h ，因为P 是C 上的点，所以2222h t =-， 则()()()221222212221311t h t k k tt t +--====----，解得2t =-， 故直线PQ 过点（-2，0）. 综上，直线PQ 恒过定点（-2，0）.【变式1-2】已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，过F 且倾斜角为45︒的直线交抛物线于A ，B 两点，||8AB =. （1）求抛物线的方程：（2）已知()0,1P x -为抛物线上一点，M ，N 为抛物线上异于P 的两点，且满足2PM PN k k ⋅=-，试探究直线MN 是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.【答案】（1）24y x = （2）过定点，9,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）由已知,02PF ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p y x =-联立直线与抛物线222y px p y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消y 可得，22304p x px -+=， 所以3A B x x p +=，因为||A B AB x x p =++4p =8=，所以24p =，即抛物线的方程为24y x =.（2）将()0,1P x -代入24y x =可得1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不妨设直线MN 的方程为(0),x my t m =+≠()11,,M x y ()22,N x y ，联立24y x x my t⎧=⎨=+⎩，消x 得2440y my t --=，则有124,y y m +=124,y y t =-21616m t ∆=+， 由题意1212111144PM PN y y k k x x ++⋅=⨯--124411y y =⨯--()1212161y y y y =-++2=-， 化简可得，94t m =-，代入21616m t ∆=+29164m m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭21163202m ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭此时直线MN 的方程为9(1)4x m y =-+，所以直线MN 过定点9,14⎛⎫⎪⎝⎭.【变式1-3】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，12,F F 为C 的左、右焦点，M 为C 上任意一点，12MF F S 最大值为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设不过点F 2的直线l ：y ＝kx +m （m ≠0）交椭圆C 于A ，B 两点．若x 轴上任意一点到直线AF 2与BF 2距离相等，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析，定点坐标为()2,0【解析】（1）由抛物线的方程24y x =得其焦点为()10，，则1c =， 当点M 为椭圆的短轴端点时，12MF F △面积最大，此时121212MF F Sc b =⋅⋅=，则1b =，所以a =故椭圆的方程为2212x y +=.（2）联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()222124220k x kmx m +++-=，()()()22222216412228210k m k m k m ∆=-+-=-+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，1122121122,1111y kx m y kx mk k x x x x ++====----，由题意可得120k k +=，1212011kx m kx m x x +++=--，即()()1212220kx x m k x x m +-+-=， ()2222242201212m km k m k m k k -⎛⎫⋅+-⋅--= ⎪++⎝⎭，解得2m k =-， 所以直线l 的方程为()2y k x =-，故直线l 恒过定点，该定点坐标为()2,0题型二 切点弦恒过定点问题【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是直线420y x =-+上的动点，过点P 做椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【答案】（1）221124x y +=；（2）是过定点，定点为121,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由题意得2221222,c a b c a b ⎧=⎪⎪⨯⋅=⎨⎪=-⎪⎩解得22212,4,8,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的标准方程为221124x y +=．（2）当椭圆C 的切线斜率存在时，设点()11,M x y ，()22,N x y，1x ≠±2x ≠±(),420P d d -+， 切线PM 的方程为y kx m =+．联立22,1,124y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2221363120k x kmx m +++-=．因为直线PM 与椭圆C 相切，故()()2222364133120k m k m ∆=-+-=，即22124m k =+，1223312134km km kx m k m --===-+，2221112124k m k y kx m m m m m-=+=-+==， 所以14m y =，113x k y =-，则切线PM 的方程为11143x y x y y =-+，即11312x x y y +=， 同理，切线PN 的方程为22312x x y y +=．当椭圆C的切线斜率不存在时，切点()或()-，当切点为()时，切线为x =3012y +⨯⨯=；当切点为()-时，切线为x =-3012y -+⨯⨯=． 又切点()11,M x y ，()22,N x y ，则切线PM 方程为11312x x y y +=， 切线PN 方程为22312x x y y +=．因为直线PM 与直线PN 相交于点P ，故()()1122342012,342012,x d y d x d y d ⎧+-+=⎪⎨+-+=⎪⎩由两点确定一条直线有直线MN 的方程为()342012xd y d +-+=， 整理得()1260120d x y y -+-=，联立120,60120,x y y -=⎧⎨-=⎩解得12,51,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故直线MN 过定点121,55⎛⎫⎪⎝⎭．【变式2-1】如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A（1）求椭圆C 的方程;（2）若过点A 作圆222:(1)(01)M x y r r ++=<<的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点若是，求出该定点;若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y += （2） 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】（1） 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A∴可得2221b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,1a b ==∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）设切线方程为1y kx =+r =即()2221210r k k r --+-=设两切线,AB AD 的斜率分别为()1212,k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，根据韦达定理可得:121k k ⋅=由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消掉y 得:()221480k x kx ++=设()()1122,,,B x y D x y∴ 211112211814,1414k k x y k k -=-=++同理可得222121222222212188144,144144k k k k x y k k k k --=-=-==++++221122211111122114144141883414BDk k k k k k k k k k k ---+++==--+++∴∴直线BD 方程为2211122111141814314k k k y x k k k ⎛⎫-+-=-+ ⎪++⎝⎭ 令0x =，得()2221111222111114185205143143314k k k k y k k k k -+---=+⨯==-+++，∴ 故直线BD 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式2-2】抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 是椭圆22134x y +=的一个焦点．（1）求C 的准线方程；（2）若P 是直线240x y --=上的一动点，过P 向C 作两条切线，切点为M ，N ，试探究直线MN 是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由. 【答案】（1）1y =-；（2）直线MN 恒过定点(1,2)Q .【解析】（1）椭圆22134x y +=的焦点坐标为(0,1)和(0,1)-，又因为C 的焦点在y 轴正半轴上，所以C 的焦点坐标为(0,1)， 从而准线方程为1y =-；（2）由（1）知C 的方程为24x y =，即为24x y =，则2x y '=，设00(,)P x y ，切点11(,)M x y ，22(,)N x y ， 从而切线PM 方程为1111()2y y x x x -=-，即1112y x x y =-， 同理切线PN 方程为2212y x x y =-分别代入00(,)P x y 有010*******12y x x y y x x y⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 从而11(,)x y 和22(,)x y 均满足直线方程0012y xx y =-， 所以直线MN 的方程为0012y xx y =-，即0012y x x y =-， 又因为00(,)P x y 在直线240x y --=上，所以00122y x =-，所以直线MN 的方程为01(1)22y x x =-+， 从而直线MN 恒过定点(1,2)Q .【变式2-3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)F ，点P 到点F 的距离比点P 到直线3y =-的距离小1，记P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）在直线2y =-上任取一点M ，过M 作曲线C 的切线12l l 、，切点分别为A 、B ，求证直线AB 过定点．【答案】（1）28x y =；（2）证明见解析【解析】（1）设曲线C 上任意一点P 的坐标为(,)x y ，由题意知3y >-(3)1y =+-，即222(2)(2)x y y +-=+，化简得28x y =，所以曲线C 的方程为28x y = （2）证明：设222121,,,88x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB l 的方程为y kx n =+，联立方程28y kx n x y=+⎧⎨=⎩，整理得2880x kx n --=，所以264320k n ∆=+>，且12128,8x x k x x n +==-，又由28x y =，即28x y =，可得4x y '=，所以抛物线C 在点A 处的切线1l 的方程为()211148x x y x x =-+，即21148x x y x =-，同理直线2l 的方程为22248x x y x =-，联立方程2112224848x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得128x x y =， 又因为直线1l 与2l 的交点恰好在直线2y =-上，所以1228x x =-，即1216x x =-， 所以12816x x n =-=-，解得2n =.故直线l 的方程为2y kx =+，所以直线l 恒过定点()0,2题型三 相交弦中恒过定点问题【例3】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点P ⎝⎭在E 上. （1）求E 的方程；（2）过点2F 作互相垂直且与x 轴均不重合的两条直线分别交E 于点A ，B 和C ，D ，若M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，证明：直线MN 过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析【解析】（1）设122F F c =，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以b c =，因为点P ⎝⎭在E 上，所以2223144a b +=，又222a b c =+， 解得222,1a b ==，所以E 的方程为2212x y +=.（2）由（1）知2(1,0)F ，由题意知直线AB 和直线CD 的斜率都存在且不为0，设直线AB 方程为：1(0)x my m =+≠，与E 的方程联立221,21,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理，得()222210m y my ++-=，且()224420m m ∆=++>，设()()1122,,,A x y B x y ，则12222m y y m +=-+，所以()12122422x x m y y m +=++=+， 所以点M 的坐标为222,22mm m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为AB CD ⊥，则直线CD 的方程为11x y m=-+， 同理得2222,2121m m N m m ⎛⎫⎪++⎝⎭，当22222212m m m ≠++，即1m ≠±时，直线MN 的斜率()22222232122221212MNm mm m m k m m m m +++==--++， 所以直线MN 的方程为()222322221m m y x m m m ⎛⎫+=- ⎪++-⎝⎭，所以()()()()2222222213232222212132m m m m y x x m m m m m m ⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=--=-- ⎪+++--+⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因为()()()()()()222222221621222223323232m m m m m m m -+-++===++++， 所以直线MN 的方程即为()232321m y x m ⎛⎫=-⎪-⎝⎭，显然直线MN 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭； 当22222212m m m =++，即1m =±时，则2121,,,3333M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或2121,,,3333M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时直线MN 的方程为23x =，也过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，直线MN 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.【变式3-1】在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到点()2,0F 的距离与它到直线32x =的距离P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l .1l 交曲线C 于A ，B 两点，2l 交曲线C 于S ，T 两点，线段AB 的中点为M ，线段ST 的中点为N ．证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析，直线MN 过定点()3,0【解析】（1）设(),P x y， 化简得曲线C 的方程为2213x y -=.（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，①若直线1l ，2l 都存且不为零，设直线1l 的方程为()2y k x =-，则直线2l 的方程为()12y x k=--，由()22213y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，得()222231121230k x k x k --++=， 当2310k -=时，这个方程变为470x -+=只有一解， 直线1l 与曲线C 只有一个交点，不合题意，当2310k -≠时，()()()42221444311231210k k k k ∆=--+=+>，直线1l 与曲线C 恒有两个交点，由韦达定理， 21221231k x x k +=-，故线段AB 的中点为222623131k k M k k ，⎛⎫⎪--⎝⎭，同理，线段PQ 的中点为226233k N k k ，-⎛⎫⎪--⎝⎭， 若1k ≠±，则()2222222223136631313MNk kk k k k k k k k +--==----， 直线MN 的方程为()2222263331k k y x k k k ⎛⎫+=- ⎪---⎝⎭，即()()22331k y x k =--， 此时，直线MN 恒过点()3,0．若1k =±，则()3,1M ，()3,1N -或()3,1M -，()31N ,，直线MN 的方程为3x =， 此时直线MN 也过点()3,0，②若直线1l ，2l 中其中一条的斜率为0，另一条的斜率不存在， 不妨设1l 的斜率为0，则直线1l ：0y =，2l ：2x =x ＝2， 此时，直线MN 的方程为0y =，此时，直线MN 也过点()3,0， 综上，直线MN 恒过点()3,0．【变式3-2】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>A ，右顶点为B ，上顶点为C ，ABC的内切圆的半径为4． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）点M 为直线:1l x =上任意一点，直线AM ，BM 分别交椭圆E 于不同的两点P ，Q ．求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）2214x y +=；（2）()40，. 【解析】（1）ABC的内切圆的半径为4，2,,,AB a AO a OC b CB AC ====由等面积法得 11112222AC r CB r AB r AB OC ∴⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯，22111222222a b r ar ab +⨯⨯+⨯=⨯， 32223c a b c a ==+，解得2a b =， 22111222222a b r ar ab +⨯⨯+⨯=⨯得1,2b a ==.综上所述椭圆E 的标准方程为：2214x y +=.（2）设()()1122(1,),,,,M t P x y Q x y ，则直线AM 的方程为()23t y x =+与2214x y +=联立， 解得22281812,4949t t P t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭ 同理可得222824,4141t t Q t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.则直线PQ 的斜率为22222221242494181882434941t tt t t t t t t t -++=--+-+-++， 所以直线PQ 的方程为：2222122818494349t t t y x t t t ⎛⎫-+-=-- ⎪+++⎝⎭，即22(4)43ty x t =--+ 故直线PQ 恒过定点，定点坐标为()40，.【变式3-3】双曲线221169x y -=，过点P （5，0）的直线AB 和CD 相互垂直（斜率存在），M 、N分别是线段AB 和线段CD 的中点．求证：直线MN 过定点．【答案】证明见解析【解析】设AB 直线为(5)y k x =-，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，可得0121()2x x x =+且0121()2y y y =+，由22111169x y -=，22221169x y -=，两式相减得到12121212916y y y y x x x x +-⋅=+-，即00916y k x ⋅=， 又由0011916(5)y k x y k x ⎧⋅=⎪⎨⎪=-⎩，解得211228045,169169k x k y k k ==--，即2228045,169169k k M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 当0k ≠时，将上式M 点坐标中的k 换成1k -，同理可得228045,169169k N k k -⎛⎫⎪--⎝⎭． ①当直线MN 不垂直于x 轴时，直线MN 的斜率()222222454571691698080161169169MNk kk k k k k k k k +--==----， 其方程()22245780169169161k k y x k k k -⎛⎫-=- ⎪---⎝⎭，化简得278016(1)7k y x k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， 此时直线MN 过定点80,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．②当直线MN 垂直于x 轴时，2228080169169k k k =--，此时1k =±，直线MN 也过定点80,07⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述，直线MN 过定点80,07⎛⎫⎪⎝⎭．题型四 动圆恒过定点问题【例4】如图，已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>，其左､右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于第一象限的点P ，且121sin 3PF F ∠=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，()0,1.【解析】（1）法一：2121211sin ,23PF PF F PF PF a PF ∠==+=，123,22aPF a PF ∴==,222212112,2,PF F F PF F F c +==a ∴=，221a c =+,1,c a ∴=∴椭圆方程为：22 1.2x y +=. 法二：设()0,P c y ，代入椭圆方程，由221a c =+，解得201PF y a==， 21211sin ,3PF PF F PF ∠==1123,2,PF PF PF a a∴=+=a ∴=∴椭圆方程为：2212x y +=.（2）设动直线l 的方程为：13y kx =-，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()22416210,39k k x x +--=设()()1122,,,A x y B x y ， 则()()121222416,321921k x x x x k k +==-++，()222166464Δ12160.999k k k =++=+> 由对称性可设存在定点()0,M m 满足题设， 则()()1122,,,MA x y m MB x y m =-=-，由0MA MB ⋅=，可得()()12120x x y m y m +--=， 所以()()221212111033kx x k m x x m ⎛⎫⎛⎫+-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()()2222161411033921321k k k m m k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+--+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()()222613250m k m m -++-=，由题意知上式对k ∀∈R 成立，210m ∴-=且23250m m +-=，解得1m =.∴存在定点M ，使得以AB 为直径的适恒过这个点，且点M 的坐标为()0,1.【变式4-1】已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>1F ，2F ，T 为椭圆C 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知()0,1A ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析【解析】（1）因为椭圆Cc a =. 又当T 位于上顶点或者下顶点时，12TF F △面积最大，即1bc =. 又222a b c =+，所以1b c ==，a =所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）由题知，直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为12y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线l 代入椭圆C 的方程得：()2242430k x kx ++-=，由韦达定理得：122442k x x k -+=+，122342x x k -=+， 直线AM 的方程为1111y y x x -=+，直线AN 的方程为2211y y x x -=+，所以11,01x P y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，22,01x Q y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，所以以PQ 为直径的圆为21212011x x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()221212121201111xxx xx y x y y y y ⎛⎫++++= ⎪----⎝⎭.①因为()()()121212222212121212412611114211284222x x x x x x y y k x x k x x k k k kx kx -====----++-+++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令①中的0x =，可得26y =，所以，以PQ为直径的圆过定点(0,.【变式4-2】已知定点()1,0A -，()2,0F ，定直线l ：12x =，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N ． （1）求E 的方程；（2）试判断以线段MN 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2213y x -=（0y ≠）．；（2）以线段MN 为直径的圆过定点()2,0和()1,0-．【解析】（1）设(),P x y122x =-，化简可得2213y x -=（0y ≠）．（2）解法1：假设以线段MN 为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在x 轴上，设(),0D t ．设直线BC 的方程为2x my =+，由22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 可得()22311290m y my -++=，由题意知2310m -≠．设()11,B x y ，()22,C x y ， 则1221231my y m +=--，122931y y m =-． 因为直线AB 的方程为()1111y y x x =++，所以点M 的坐标为()1131,221y x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭， 同理()2231,221y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭， 于是()1131,221y DM t x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭，()2231,221y DN t x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭． 由0DM DN ⋅=可得()()212129102411y y t x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭，即()212212129102439y y t m y y m y y ⎛⎫-+= ⎪⎡⎤+++⎝⎭⎣⎦， 即2222228113102936493131m t m m m m ⎛⎫--+= ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪--⎝⎭，即219024t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得2t =或1t =-，所以以线段MN 为直径的圆过定点()2,0和()1,0-．解法2：假设以线段MN 为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在x 轴上． 若BC 垂直于x 轴，则()2,3B ，直线AB 方程为1y x =+，所以点M 坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，此时以MN 为直径的圆的方程为21330222x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该圆与x 轴交于点()12,0D 和()21,0D -．下面进行验证．设直线BC 的方程为2x my =+，由22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 可得()22311290m y my -++=，由题意知2310m -≠．设()11,B x y ，()22,C x y ， 则1221231my y m +=--，122931y y m =-． 因为直线AB 的方程为()1111y y x x =++，所以点M 的坐标为()1131,221y x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y N x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭． 因为()11133,221y D M x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭，()21233,221y D N x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭， 所以()()()1212112121212999944114439y y y y D M D N x x m y y m y y ⋅=+=+=++⎡⎤+++⎣⎦222228193104936493131m m m m m -=+=⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭． 同理220D M D N ⋅=．所以以线段MN 为直径的圆过定点()2,0和()1,0-．【变式4-3】已知抛物线()2:20C y px p =>与直线:20l x y +=交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为()8,p P y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作直线m 交抛物线于点A ，B ，是否存在定点M ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点M ．若存在，请求出点M 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）存在,()4,4.【解析】（1）将12y x =-代入22y px =，得280x px -=； ∴882p =，可得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =． （2）设直线():84m x t y -=+，()11,A x y ，()22,B x y ．联立248(4)y x x t y ⎧=⎨-=+⎩，整理得2416320y ty t ---=， 所以124y y t +=，121632y y t =--．假设存在以AB 为直径的圆恒过(),M m n ， 则221212,,044y y MA MB m y n m y n ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 化简得()()222164488432160m t m n t m n m -+--+++-=，令2216404884032160m m n m n m ⎧-=⎪--=⎨⎪++-=⎩，可得4m n ==， 故以弦AB 为直径的圆恒过()4,4．。
圆锥曲线定值,定点
过圆锥曲线上定点和斜率和积为定值直线，则直线过定点（一）一般性推论：过圆锥曲线上一定点产生的两条直线斜率和积为定，则另外两点的连线过定点。
数学表达：若点定一上线曲锥圆为点定过线直值定者或值定⎩⎨⇒⎧∙=+=P k k k k PA PB PA PB AB点定一上线曲锥圆为值定者或值定点定过线直⎩⎨⇒∙=+=⎧P k k k k PA PB PA PB AB 其次法的使用要点：“齐次”即次数相等的意思，例如=++x cy f ax bxy 22)(称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x )(中每一项都是关于x 、y 的二次项。
当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，注意此处因为是在y 同侧进行加减，故为“上减下加”，而我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。
例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，可将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为+=mx ny 1（为什么这样设？因为这样齐次化能更加方便解题），与圆锥曲线方程联立，一次项乘以+mx ny ，常数项乘以+mx ny 2)(，构造++=ay bxy cx 022，然后等式两边同时除以x 2（前面注明x 不等于0），得到⎝⎭⎪++=⎛⎫x x a b c y y 02，化简为++=ak bk c 02，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在就如何反平移回去。
解题的方法步骤为： （1）平移直线； （2）联立方程并齐次化； （3）同除x 2：（4）利用韦达定理证明，如果过定点，还需要还原直线。
优点；大大减小了计算量，提高准确率，缺点：+=mx ny 1不能表示过原点的直线。
一． 构造法解整式问题在抛物线中的应用引题：证明：已知直线l 与抛物线 ２ｐ （ｐ＞０，ｐ为常数）交于点A ，B 两点，若OA ⊥OB,则直线l 恒过定点（2p,0）设,B(x ,y )）x ,y （A 1122，⊥⇒∙=∙=-x x OA OB k k y y OA OB 11212设AB 直线方程为+=mx ny 1（截距式的变形式可以表示任意直线，该种设法可以利用１的妙用，快速制作齐次式）联立⎩=⎨⎧+=y pxmx ny 212第一步：构造齐次式-∙+=⇒--=y px ny pnxy pmx 2(mx )0y 220222易知A ，B 两点不与O 点重合，所以ｘ ０令则==y p 0,x 2，所以直线过定点(2p,0) 常规证明方法（略）例1：（2017•新课标Ⅰ文）设A ，B 为曲线C ：y ＝上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．第一步：平移抛物线，将抛物线沿→M O 方向平移，及左移２个单位，下移１个单位，及抛物线方程变为=+-y 4(x 2)112化简得+-x x 42联立方程=0⎩⎧+=-⎨-y y mx m x x 4142第二步：构造齐次式--∙-=⇒+-+=x mxy my 4(x y)m(x y)0(14m)x 840222，第四步平移回去：右２，上１，=-++=+y x x 28171．（2020春•江西月考）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（1，﹣2）作直线交抛物线E于另一点N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为1，求线段|MN|的长；（Ⅱ）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．题型拓展：２．（2021•齐齐哈尔一模）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．（1）求抛物线C1的方程；（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN．求证：直线MN过定点．斜率和积为定值，直线过定点问题在椭圆中的数学模型建立k k PA PB ⋅=定值或者k k PA PB +=定值，直线过定点，P 点坐标之间的转化证明 将椭圆C 按向量--x y ,00)(平移得椭圆C x x ay y b'+++=2222:001)()(又点P x y ,00)(在椭圆xa yb+=22221上，所以x a y b +=2222001，代入上式得+++=a b a b x y x y x y 022********①。
圆锥曲线中的定点问题及解决方法
圆锥曲线中的定点问题及解决方法1. 引言1.1 背景介绍圆锥曲线是几何学中一个重要的概念，指的是由一个平面与一个圆锥体相交而得到的曲线。
在数学中，圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。
这些曲线在几何学和代数学中有着广泛的应用，涉及到许多重要的定理和性质。
圆锥曲线中的定点问题是指关于曲线上或曲线与其他几何图形的交点位置和性质的问题。
这些问题在实际应用中具有重要意义，例如在天文学中描述行星轨道的形状，或在工程学中设计湖面上的浮标位置等。
研究圆锥曲线中的定点问题不仅可以加深对这些曲线的理解，更可以拓展数学知识的应用范围。
通过研究不同的解决方法，可以进一步提高解决问题的能力和技巧，为数学领域的发展贡献力量。
深入探讨圆锥曲线中的定点问题具有重要的研究意义和价值。
1.2 问题提出圆锥曲线中的定点问题是一个重要而复杂的数学问题，其研究有着深远的理论和应用意义。
在圆锥曲线中，定点问题是指在已知曲线的情况下，找到曲线上满足一定条件的点的位置。
这种问题涉及到几何、代数和分析等多个数学领域，需要综合运用不同的数学方法来求解。
定点问题在圆锥曲线中具有广泛的实际应用。
比如在工程领域中，定点问题可以帮助我们确定某个位置的几何特性，从而设计出更加精确的结构。
在物理学中，定点问题可以帮助我们分析物体的运动轨迹和速度方向。
在计算机图形学和机器人领域中，定点问题也有着重要的应用价值。
研究圆锥曲线中的定点问题不仅有助于深化数学理论，还能推动相关领域的发展和创新。
在本文中，我们将介绍不同的解决方法来解决圆锥曲线中的定点问题，探讨其适用场景和未来研究方向，以期为相关领域的研究工作提供一定的参考和启发。
1.3 研究意义在圆锥曲线中，定点问题具有重要的研究意义。
通过对定点问题的研究，我们可以深入理解圆锥曲线的性质和特点，进一步探索其数学规律和几何意义。
定点是曲线上的固定点，对于圆锥曲线而言，定点的位置和性质对曲线的形状和特征具有决定性影响。
圆锥曲线中的定点问题(解析版)
圆锥曲线中的定点问题一、考情分析定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题．二、解题秘籍(一)求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略1.处理定点问题的思路：(1)确定题目中的核心变量(此处设为k )(2)利用条件找到k 与过定点的曲线F x ,y =0的联系，得到有关k 与x ,y 的等式(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点x 0,y 0 ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k 与x ,y 的等式进行变形，直至易于找到x 0,y 0.常见的变形方向如下：①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“k ⋅ ”的形式，从而x 0,y 0只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含k 的分式，x 0,y 0的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式)2.处理定点问题两个基本策略：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【例1】(2023届河南省顶级名校高三上学期月考)设F 1,F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点，M 是C 上一点，MF 2与x 轴垂直.直线MF 1与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为24.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设D 0,1 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A ，B 两点，证明直线AB 过定点，并求出定点坐标.【解析】(1)由题意知，点M 在第一象限，∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c .当x =c 时，y =b 2a ，即M c ,b 2a.又直线MN 的斜率为24，所以tan ∠MF 1F 2=b 2a2c =b 22ac =24，即b 2=22ac =a 2-c 2，即c 2+22ac -a 2=0,则e 2+22e -1=0，解得e =22或e =-2(舍去)，即e =22.(2)已知D 0,1 是椭圆的上顶点，则b =1，由(1)知e =22=1-b a 2，解得a =2，所以，椭圆C 的方程为x 22+y 2=1，设直线AB 的方程为y =kx +m ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立y =kx +m x 2+2y 2=2可得1+2k 2 x 2+4km x +2m 2-1 =0* ，所以x 1+x 2=-4km1+2k 2,x 1x 2=2m 2-1 1+2k 2，又DA =x 1,y 1-1 ,DB=x 2,y 2-1 ，DA ⋅DB=x 1x 2+y 1-1 y 2-1 =x 1x 2+kx 1+m -1 kx 2+m -1 =k 2+1 x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +(m -1)2=k 2+1 ⋅2m 2-1 1+2k 2+k m -1 ⋅-4km 1+2k2+(m -1)2=2m 2-1 k 2+1 -4k 2m 2-m +1+2k 2 (m -1)21+2k 2=0，化简整理有3m 2-2m -1=0，得m =-13或m =1.当m =1时，直线AB 经过点D ，不满足题意；.当m =-13时满足方程* 中Δ>0，故直线AB 经过y 轴上定点G 0,-13.【例2】椭圆C 的焦点为F 1-2,0 ，F 22,0 ，且点M 2,1 在椭圆C 上．过点P 0,1 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点B 关于y 轴的对称点为点D (不同于点A )．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标．【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，由已知得c =2,2a =MF 1 +MF 2 =2-2 2+1+2+2 2+1=4.所以a =2，b 2=a 2-c 2=2，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0)．由x 24+y 22=1y =kx +1得(2k 2+1)x 2+4kx -2=0.设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，D (-x 2,y 2)，则Δ=16k 2+82k 2+1 >0x 1+x 2=-4k2k 2+1x 1x 2=-22k 2+x，特殊地，当A 的坐标为(2，0)时，k =-12，所以2x 2=-43，x 2=-23，y 1=43，即B -23,43 ，所以点B 关于y 轴的对称点为D 23,43，则直线AD 的方程为y =-x +2.当直线l 的斜率不存在时，直线AD 的方程为x =0.如果存在定点Q 满足条件，则为两直线交点Q (0，2)，k QA =y 1-2x 1=y 1-1-1x 1=k -1x 1，k QD =y 2-2-x 2=-k +1x 2，又因为k QA -k QD =2k -1x 1+1x 2 =2k -x 1+x 2x 1x 2=2k -2k =0.所以k QA =k QD ，即A ,D ,Q 三点共线，故直线AD 恒过定点，定点坐标为(0，2)．【点评】本题是先根据两条特殊的曲线的交点Q (0，2)，然后再根据A ,D ,Q 三点共线，判断直线AD 恒过定点，(二)直线过定点问题1.直线过定点问题的解题模型2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：y =kx +b ，然后利用题中条件整理出k ,b 的关系，若b =km +n m ,n 为常数 ，代入y =kx +b 得y =k x +m +n ，则该直线过定点-m ,n .【例3】(2023届福建省泉州市高三毕业班质量监测(一))已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点A -2,0 ．右焦点为F ，纵坐标为32的点M 在C 上，且AF ⊥MF ．(1)求C 的方程：(2)设过A 与x 轴垂直的直线为l ，纵坐标不为0的点P 为C 上一动点，过F 作直线PA 的垂线交l 于点Q ，证明：直线PQ 过定点．【解析】(1)设点F c ,0 ，其中c =a 2-b 2>0，则M c ,32，因为椭圆C 过点A -2,0 ，则a =2，将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，可得c 2a 2+94b 2=1可得4-b 24+94b2=1，解得b =3，因此，椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)证明：由对称性可知，若直线PQ 过定点T ，则点T 必在x 轴上，设点T t ,0 ，设点P x 0,y 0 x 0≠±2,y 0≠0 ，则k PA =y 0x 0+2，所以，直线PA 的垂线的斜率为k =-x 0+2y 0，故直线FQ 的方程为y =-x 0+2y 0x -1 ，在直线FQ 的方程中，令x =-2，可得y =3x 0+2 y 0，即点Q -2,3x 0+2y 0，所以，直线PQ 的方程为y -y 0=y 0-3x 0+2y 0x0+2x -x 0 ，因为点T 在直线PQ 上，所以，-y 0=y 0-3x 0+2 y 0x 0+2t -x 0 ，即y 20t +2 =3x 0+2 t -x 0 ，①又因为x 204+y 203=1，所以，y 20=3-3x 204，②将②代入①可得3-3x 204t +2 =3x 0+2 t -x 0 ，即t -2 x 0+2 2=0，∵x 0≠-2，则t =2，所以，直线PQ 过定点2,0 .(三)圆过定点问题圆过定点问题的常见类型是以AB 为直径的圆过定点P ，求解思路是把问题转化为PA ⊥PB ，也可以转化为PA ⋅PB =0【例4】(2022届广西“智桂杯”高三上学期大联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，与x 轴不重合的直线l 过焦点F ，l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AB =3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左顶点为P ，PA ，PB 的延长线分别交直线x =4于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆过定点.【解析】(1)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点F (1,0)，则半焦距c =1，当l ⊥x 轴时，弦AB 为椭圆的通径，即|AB |=2b 2a ，则有2b 2a =3，即b 2=32a ，而a 2=b 2+c 2，于是得a 2-32a -1=0，又a >0，解得a =2，b =3，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1.(2)依题意，直线AB 不垂直于y 轴，且过焦点F (1,0)，设AB 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12x =my +1 得3m 2+4 y 2+6my -9=0，y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，因点P (-2,0)，则直线PA 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，令x =4，得M 4,6y 1x 1+2 ，同理可得N 4,6y 2x 2+2 ，于是有FM =3,6y 1x 1+2 ,FN =3,6y 2x 2+2 ，则FM ⋅FN =9+6y 1x 1+2⋅6y 2x 2+2=9+36y 1y 2my 1+3 my 2+3 =9+36y 1y 2m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=9+36⋅-93m 2+4-9m 23m 2+4+-18m 23m 2+4+9=9+36×(-9)36=0，因此，FM ⊥FN ，即F 在以MN 为直径的圆上，所以以MN 为直径的圆过定点F (1,0).(四)确定定点使某个式子的值为定值求解此类问题一般先设出点的坐标，然后把所给式子用所设点的横坐标或纵坐标表示，再观察该式子为定值的条件，确定所设点的坐标.【例5】(2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断)如图，椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1((a >b >0)，|A 1B 1|=7，F 1是椭圆C 的左焦点，A 1是椭圆C 的左顶点，B 1是椭圆C 的上顶点，且A 1F 1 =F 1O ，点P (n ,0)(n ≠0)是长轴上的任一定点，过P 点的任一直线l 交椭圆C 于A ,B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在定点Q (x 0,0)，使得QA ⋅QB 为定值，若存在，试求出定点Q 的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知知a 2+b 2=7a -c =c a 2=b 2+c 2 ，解得a =2b =3c =1，所以椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)假设存在Q (x 0,0)满足题意，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，QA =(x 1-x 0,y 1),QB=(x 2-x 0,y 2)，①当直线l 与x 轴不垂直时，设l ：y =k (x -n )，代入x 24+y 23=1并整理得(4k 2+3)x 2-8k 2nx +4k 2n 2-12=0∴x 1+x 2=8k 2n 4k 2+3，x 1x 2=4k 2n 2-124k 2+3QA ⋅QB=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+y 1y 2=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+k 2(x 1-n )(x 2-n )=(k 2+1)x 1x 2-(k 2n +x 5)(x 1+x 2)-x 20+k 2n 2=k 2+1 4k 2n 2-124k 2+3-k 2n +x 0 8k 2n 4k 2+3-x 20+k 2v 2=7n 2-8nx 0+4x 20-12 k 2+3x 20-124k 2+3 (*)(*)式是与k 无关的常数，则3(7n 2-8nx 0+4x 20-12)=4(3x 20-12)解得x 0=12n +7n 8，此时QA ⋅QB =x 20-4=12n +7n 82-4为定值；②当直线l 与x 垂直时，l :x =n ，A n ,31-n 24 ，B n ,-31-n 24，QA ⋅QB =(n -x 0)2-31-n 24 =x 20-4=12n +7n 82-4也成立，所以存在定点Q 12n +7n 8,0 ，使得QA ⋅QB =12n +7n 82-4为定值．(五)与定点问题有关的基本结论1.若直线l 与抛物线y 2=2px 交于点A ,B ，则OA ⊥OB ⇔直线l 过定点P 2p ,0 ；2.若直线l 与抛物线y 2=2px 交于点A ,B ，则k OA ⋅k OB =m ⇔直线l 过定点P p +m +p 2,0 ；3.设点P 2pt 02,2pt 0 是抛物线y 2=2px 上一定点，M ,N 是该抛物线上的动点，则PM ⊥PN ⇔直线MN 过定点Q 2p +2pt 02,-2pt 0 .4.设点A x 0,y 0 是抛物线y 2=2px 上一定点，M ,N 是该抛物线上的动点，则k AM ⋅k AN =m ⇔直线MN 过定点P x 0-2pm ,-y 0 ；5.过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A ,B ，则PA ⊥PB ⇔直线AB 过点Q -a a 2-b 2a 2+b 2,0；6.过双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A ,B ，则PA ⊥PB ⇔直线AB 过点Q -a a 2+b 2a 2-b 2,0；7.设点P m ,n 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一定点，点A ,B 是椭圆C 上不同于P 的两点，若k PA +k PB =λλ≠0 ，则直线AB 过定点m -2n λ,-n -2b 2ma 2λ；8.设点P m ,n 是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 一定点，点A ,B 是双曲线C 上不同于P 的两点，若k PA +k PB =λλ≠0 ，则直线AB 过定点m -2n λ,-n +2b 2ma 2λ .【例6】(2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测)已知点P 1,32 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，且点P 到椭圆右顶点M 的距离为132．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点A ，B 是椭圆C 上不同的两点(均异于M )且满足直线MA 与MB 斜率之积为14．试判断直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．【解析】(1)点P 1,32 ，在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上代入得：1a 2+94b2=1，点P 到椭圆右顶点M 的距离为132，则132=a -1 2+94，解得a =2，b =3，故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)由题意，直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为y =kx +m (k ≠0)，M 2,0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．联立y =kx +m3x 2+4y 2=12得3+4k 2 x 2+8km x +4m 2-12=0．Δ=64k 2m 2-43+4k 2 4m 2-12 =484k 2-m 2+3 >0．∴x 1+x 2=-8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2-123+4k 2，∵直线MA 与直线MB 斜率之积为14．∴y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=14，∴4kx 1+m kx 2+m =x 1-2 x 2-2 ． 化简得4k 2-1 x 1x 2+4km +2 x 1+x 2 +4m 2-4=0，∴4k 2-1 4m 2-123+4k 2+4km +2 -8km 3+4k 2+4m -4=0， 化简得m 2-2km -8k 2=0，解得m =4k 或m =-2k ．当m =4k 时，直线AB 方程为y =k x +4 ，过定点-4,0 ．m =4k 代入判别式大于零中，解得-12<k <12(k ≠0)．当m =-2k 时，直线AB 的方程为y =k x -2 ，过定点2,0 ，不符合题意． 综上所述：直线AB 过定点-4,0 ．【例7】(2022届海南华侨中学高三上学期月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，点M 0,-1 是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ,MB 交椭圆于A ,B 两点，设两直线的斜率分别为k 1,k 2，且k 1+k 2=4，求证：直线AB 过定点12,1.【解析】(1)由题意可得b =1c =b a 2=b 2+c 2，解得a =2,b =1,所以椭圆的方程为x 22+y 2=1.(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y =kx +m ，联立y =kx +mx 22+y 2=1得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-2=0.由Δ=16k 2m 2-42k 2+1 2m 2-2 =82k 2-m 2+1 >0，得2k 2+1>m 2.所以x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1⋅x 2=2m 2-22k 2+1．所以k 1+k 2=y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+m +1x 1+kx 2+m +1x 2=2k +m +1 x 1+x 2x 1x 2=4，即2k -2km m -1=4，所以kmm -1=k -2，即km =k -2 m -1 =km -k -2m +2，所以m =1-k 2，所以y =kx +m =kx +1-k 2=k x -12 +1，所以直线AB 过定点12,1 .②当直线AB 斜率不存在时，A x 1,y 1 ,B x 1,-y 1 ，则k 1+k 2=y 1+1x 1+-y 1+1x 1=2x 1=4，所以x 1=12，则直线AB 也过定点12,1 .综合①②，可得直线AB 过定点12,1 .三、跟踪检测1.(2023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期10月联考)在一张纸上有一个圆C ：x +5 2+y 2=4，定点M 5,0 ，折叠纸片使圆C 上某一点M 1好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线M 1C 的交点为T ．(1)求证：TC -TM 为定值，并求出点T 的轨迹C 方程；(2)设A -1,0 ，M 为曲线C 上一点，N 为圆x 2+y 2=1上一点(M ，N 均不在x轴上)．直线AM ，AN 的斜率分别记为k 1，k 2，且k 2=-14k 1，求证：直线MN 过定点，并求出此定点的坐标．【解析】(1)由题意得TM =TM 1 ，所以TC -TM =TC -TM 1 =2<25=CM ，即T 的轨迹是以C ，M 为焦点，实轴长为2的双曲线，即C：x 2-y 24=1；(2)由已知得l AM ：y =k 1x +1 ，l AN ：y =k 2x +1 ，联立直线方程与双曲线方程y =k 1x +1x 2-y 24=1⇒4-k 21 x 2-2k 21x -k 21-4=0，由韦达定理得x A x M =-k 21-44-k 21，所以x M =k 21+44-k 21，即y M =k 1x M +1 =8k 14-k 21，所以M k 21+44-k 21,8k 14-k 21，联立直线方程与圆方程y =k 2x +1 x 2+y 2=1⇒1+k 22 x 2+2k 22x +k 22-1=0，由韦达定理得x A x N =k 22-11+k 22，所以x N =-k 22+11+k 22，即y N =k 2x N +1 =2k 21+k 22，因为k AN =-14k AM ，即k 2=-14k 1，所以N -k 21+1616+k 21,-8k 116+k 21，若直线MN 所过定点，则由对称性得定点在x 轴上，设定点T t ,0 ，由三点共线得k MT =k NT ，即8k 14-k 21k 21+44-k 21-t =-8k 116+k 21-k 21+1616+k 21-t ⇒k 21+4+k 21-4 t =k 21-16+k 21+16 t ⇒t =1，所以直线MN 过定点T 1,0 ．2.(2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月测试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22．圆O (O 为坐标原点)在椭圆C 的内部，半径为63．P ，Q 分别为椭圆C 和圆O 上的动点，且P ，Q 两点的最小距离为1-63．(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上不同的两点，且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．【解析】(1)设椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，半焦距为c ，由圆的性质，|PQ |≥|PO |-63当点P 在椭圆上运动时，当P 处于上下顶点时|PO |最小，故|PQ |≥|PO |-63≥b -63，即b -63=1-63依题意得c a =22b -63=1-63a 2=b 2+c2，解得a =2b =1c =1，所以C 的方程为x 22+y 2=1.(2)因为直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上，所以直线AB 与圆O 相切.(i )当直线AB 垂直于x 轴时，不妨设A 63,63，B 63,-63 ，此时OA ⋅OB=0，所以OA ⊥OB ，故以AB 为直径的圆过点O .(ii )当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 .因为AB 与圆O 相切，所以O 到直线AB 的距离|m |k 2+1=63，即3m 2-2k 2-2=0.由y =kx +m ,x 22+y 2=1,得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-2=0，所以x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1x 2=2m 2-22k 2+1，OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+m kx 2+m =1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=1+k 2 2m 2-22k 2+1 +km -4km2k 2+1+m 2=1+k 2 2m 2-2 +km (-4km )+m 22k 2+1 2k 2+1=3m 2-2k 2-22k 2+1=0，所以OA ⊥OB ，故以AB 为直径的圆过点O .综上，以AB 为直径的圆过点O .3.(2023届湖南省永州市高三上学期第一次考试)点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上，离心率e =72.(1)求双曲线C 的方程；(2)A ,B 是双曲线C 上的两个动点(异于点P )，k 1,k 2分别表示直线PA ,PB 的斜率，满足k 1k 2=32，求证：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点的坐标.【解析】(1)由题意点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上，离心率e =72可得；16a 2-9b 2=1a 2+b 2a =72，解出，a =2,b =3，所以，双曲线C 的方程是x 24-y 23=1(2)①当直线AB 的斜率不存在时，则可设A n ,y 0 ,B n ,-y 0 ，代入x 24-y 23=1，得y 02=34n 2-3，则k 1k 2=y 0-3n -4⋅-y 0-3n -4=9-y 20(n -4)2=12-34n 2(n -4)2=32，即9n 2-48n +48=0，解得n =43或n =4，当n =4时，y 0=±3，A ,B 其中一个与点P 4,3 重合，不合题意；当n =43时，直线AB 的方程为x =43，它与双曲线C 不相交，故直线AB 的斜率存在；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程y =kx +m 代入x 24-y 23=1，整理得，3-4k 2 x 2-8km x -4m 2-12=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1x 2=-4m 2+123-4k 2，由Δ=(-8km )2-43-4k 2 -4m 2-12 >0,∴m 2+3>4k 2，所以k 1k 2=y 1-3x 1-4⋅y 2-3x 2-4=kx 1+m -3x 1-4⋅kx 2+m -3x 2-4=k 2x 1x 2+k m -3 x 1+x 2 +(m -3)2x 1x 2-4x 1+x 2 +16=32所以，2k 2-3 x 1x 2+2km -6k +12 x 1+x 2 +2m 2-12m -30=0，即2k 2-3 ⋅-4m 2-123-4k 2+2km -6k +12 ⋅8km 3-4k 2+2m 2-12m -30=0,整理得3m 2+16k -6 m +16k 2-9=0，即3m +4k +3 m +4k -3 =0，所以3m +4k +3=0或m +4k -3=0，若3m +4k +3=0，则m =-4k +33，直线AB 化为y =k x -43 -1，过定点43,-1 ；若m +4k -3=0，则m =-4k +3，直线AB 化为y =k x -4 +3，它过点P 4,3 ，舍去综上，直线AB 恒过定点43,-1 4.(2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，O 是坐标原点，F 是C 的焦点，M 是C 上一点，|FM |=4，∠OFM =120°．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点Q x 0,2 在C 上，过Q 作两条互相垂直的直线QA ,QB ，分别交C 于A ，B 两点(异于Q 点)．证明：直线AB 恒过定点．【解析】(1)由|FM |=4,∠OFM =120°，可得M p2+2,±23 ，代入C :12=2p p2+2=p 2+4p ．解得p =2或p =-6(舍)，所以抛物线的方程为：y 2=4x ．(2)由题意可得Q (1,2)，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x =my +n ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，由y 2=4x x =my +n，得y 2-4my -4n =0，从而Δ=16m 2+16n >0，则y 1+y 2=4m y 1y 2=-4n．所以x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =4m 2+2n ，x 1x 2=my 1+n my 2+n =m 2y 1y 2+mn y 1+y 2 +n 2=n 2，∵QA ⊥QB ，∴QA ⋅QB=x 1-1 x 2-1 +y 1-2 y 2-2 =0，故x 1x 2-x 1+x 2 +1+y 1y 2-2y 1+y 2 +4=0，整理得n 2-4m 2-6n -8m +5=0．即(n -3)2=4(m +1)2，从而n -3=2(m +1)或n -3=-2(m +1)，即n =2m +5或n =-2m +1．若n =-2m +1，则x =my +n =my -2m +1=m (y -2)+1，过定点(1,2)，与Q 点重合，不符合；若n =2m +5，则x =my +n =my +2m +5=m (y +2)+5，过定点(5,-2)．综上，直线AB 过异于Q 点的定点(5,-2)．5.(2023届四川省部分重点中学高三上学期9月联考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右顶点是M(2，0)，离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T (4，0)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(1)由右顶点是M (2，0)，得a =2，又离心率e =12=ca，所以c =1，所以b2=a2-c2=3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．(2)设A x1,y1，B x2,y2，显然直线l的斜率存在．直线l的方程为y=k x-4，联立方程组y=k x-4, 3x2+4y2=12消去y得4k2+3x2-32k2x+64k2-12=0，由Δ>0，得-12<k<12，所以x1+x2=32k24k2+3，x1x2=64k2-124k2+3．因为点D x2,-y2，所以直线AD的方程为y=y1+y2x1-x2x-x1+k x1-4．又y1+y2=k x1+x2-8，所以直线AD的方程可化为y=24kx2-x14k2+3x+kx1x1+x2-8x2-x1+k x1-4x2-x1x2-x1，即y=24kx2-x14k2+3x-24kx2-x14k2+3=24kx2-x14k2+3x-1，所以直线AD恒过点(1，0)．(方法二)设A x1,y1，B x2,y2，直线l的方程为x=my+4，联立方程组x=my+4,3x2+4y2=12消去x得3m2+4y2+24my+36=0，由Δ>0，得m>2或m<-2，所以y1+y2=-24m3m2+4，y1y2=363m2+4．因为点D x2,-y2，则直线AD的方程为y=y1+y2x1-x2x-x1+y1．又x1-x2=my1+4-my2-4=m y1-y2，所以直线AD的方程可化为y=-y1+y2m y2-y1x-my1-4+y1=-y1+y2m y2-y1x+y1+y2my1+4+y1m y2-y1m y2-y1=-y1+y2m y2-y1x+2my1y2+4y1+y2m y2-y1=243m2+4y2-y1x-1，此时直线AD恒过点(1,0)，当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0，也过点(1，0)．综上，直线AD恒过点(1，0)．6.(2023届安徽省滁州市定远县高三上学期9月月考)设直线x=m与双曲线C:x2-y23=m(m>0)的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形OAB的面积为3．(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为M ，F为C的右焦点，若M ，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．【解析】(1)双曲线C:x2-y23=m(m>0)的渐近线方程为y=±3x，则不妨令点A(m,3m),B(m,-3m)，|AB|=23m，而点O到直线AB的距离为m，因此S△OAB=12⋅23m⋅m=3m2=3，解得m=1，所以m=1．(2)由(1)知，双曲线C 的方程为C :x 2-y 23=1，右焦点F (2,0)，因直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，设直线l 与x 轴交于点(t ,0)，直线l 的方程为y =k (x -t )(k ≠0)，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则Mx 1,-y 1 ，由y =k (x -t )x 2-y 23=1消去y 并整理得3-k 2 x 2+2tk 2x -k 2t 2+3 =0，显然有3-k 2≠0且Δ=2tk 2 2+43-k 2 k 2t 2+3 >0，化简得k 2≠3且t 2-1 k 2+3>0，则x 1+x 2=-2tk 23-k 2,x 1x 2=-k 2t 2+33-k 2，FM=(x 1-2,-y 1),FN =(x 2-2,y 2)，而M，F ，N 三点共线，即FM ⎳FN，则-y 1x 2-2 =y 2x 1-2 ，因此-k x 1-t x 2-2 =k x 2-t x 1-2 ，又k ≠0，有x 1-t x 2-2 +x 2-t x 1-2 =0，整理得2x 1x 2-(t +2)x 1+x 2 +4t =0，于是得2⋅-k 2t 2+33-k 2 -(t +2)-2tk 23-k 2+4t =0，化简得t =12，即直线l ：y =k x -12 ，k ≠0过定点12,0 ，所以直线l 经过x 轴上的一个定点12,0 ．7.(2023届江西省智慧上进高三上学期考试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS 长度的最小值为2，C 的离心率为22．(1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，P (2,0)，且总存在实数λ∈R ，使得PF=λPA PA +PB PB，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【解析】(1)由线段RS 长度的最小值为2，得2b 2a=2，又c a =22，所以a 2-b 2a 2=12，解得a 2=2,b 2=1, 所以C 的标准方程为x 22+y 2=1．(2)由PF =λPA PA +PBPB ，可知PF 平分∠APB ，∴k PA +k PB =0．设直线AB 的方程为x =my +t ，A my 1+t ,y 1 ，B my 2+t ,y 2 ，由x =my +t x 2+2y 2=2得m 2+2 y 2+2mty +t 2-2=0，Δ=8m 2-t 2+2 >0，即m 2>t 2-2，∴y 1+y 2=-2mt m 2+2，y 1y 2=t 2-2m 2+2，∴k PA +k PB =y 1my 1+t -2+y 2my 2+t -2=0，∴2my 1y 2+t -2 y 1+y 2 =0，∴2m t 2-2 -t -2 ⋅2mt =0，整理得4m t -1 =0，∴当t =1时，上式恒为0，即直线l 恒过定点Q 1,0 ．8.(2023届山西省高三上学期第一次摸底)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别是F 1-1,0 ，F 21,0 ，点A 0,b ，若△AF 1F 2的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点F 1作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若DE ⋅MN =0，证明：直线PQ 过定点．【解析】(1)由题设c =1，又|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=|A 1F 2|=a ，若内切圆半径为r ，则外接圆半径为2r ，所以12r ×2(a +c )=12×2c ×b ，即r (a +c )=bc ，c 2+(2r -b )2=4r 2，而a 2=b 2+c 2，即a 2=4rb ，综上，a 2(a +c )=4b 2c ，即a 2(a +1)=4b 2=4a 2-4，可得a =2，所以a 2=4，b 2=3，则C :x 24+y 23=1.(2)当直线斜率都存在时，令DE 为x =ky -1，联立C :x 24+y 23=1，整理得：(3k 2+4)y 2-6ky -9=0，且Δ=144(k 2+1)>0，所以y D +y E =6k 3k 2+4，则x D +x E =k (y D +y E )-2=-83k 2+4，故P -43k 2+4,3k3k 2+4，由DE ⋅MN =0，即DE ⊥MN ，故MN 为x =-y k-1，联立C :x 24+y 23=1，所以3k 2+4 y 2+6k y -9=0，有y M +y N =-6k 3+4k 2，则x M +x N=-y M +y N k -2=-8k 23+4k 2，故Q -4k 23+4k 2,-3k3+4k 2 ，所以k PQ =7k 4(k 2-1)，则PQ 为y -3k 3k 2+4=7k 4(k 2-1)x +43k 2+4，整理得k (7x +4)=4(k 2-1)y ，所以PQ 过定点-47,0 ；当一条直线斜率不存在时P ,Q 对应O ,F 1，故PQ 即为x 轴，也过定点-47,0 ；综上，直线PQ 过定点．9.(2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知D (2,0),E ,F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ⋅DF=0,DG ⊥EF 于G ，证明：存在定点H ，使|GH |为定值.【解析】(1)因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C 的标准方程为x 2-4y 2=λ代入点A 坐标，解得λ=4所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 2=1(2)(i )当直线EF 斜率存在时，设EF :y =kx +m ，设E x 1,y 1 F x 2,y 2 ，联立y =kx +m 与双曲线x 24-y 2=1，化简得4k 2-1 x 2+8km x +4m 2+1 =0，Δ=(8km )2-44m 2+4 4k 2-1 >0，即4k 2-m 2-1<0，则有x 1+x 2=-8km4k 2-1x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，因为DE ⋅DF=x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，所以k 2+1 ⋅x 1x 2+km -2 ⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，所以k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+km -2 ⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简，得3m 2+16km +20k 2=0，即3m +10k m +2k =0，所以m 1=-2k ,m 2=-103k ，且均满足4k 2-m 2-1<0，当m 1=-2k 时，直线l 的方程为y =k x -2 ，直线过定点2,0 ，与已知矛盾，当m 2=-103k 时，直线l 的方程为y =k x -103 ，过定点103,0 (ii )当直线EF 斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：y =x -2，与双曲线C 方程联立解得x E =x F =103，此时EF 也过点M 103,0 ，综上，直线EF 过定点M 103,0 .由于DG ⊥EF ，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，所以存在定点H 83,0 ，使GH 为定值23.10.(2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点．(1)求p 的值；(2)是否存在定点T ，使得TA ⋅TB为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．【解析】(1)因为F p 2,0 ,P 0,2 ，且点A 恰好为线段PF 中点，所以A p4,1 ，又因为A 在抛物线上，所以12=2p ⋅p4，即p 2=2，解得P =2(2)设T m ,n ，可知直线l 斜率存在；设l ：y =kx +2，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 联立方程得：y 2=22xy =kx +2 ，所以k 2y 2-22y +42=0，所以y 1+y 2=22k ,y 1y 2=42k，又：TA ⋅TB =x 1-m x 2-m )+(y 1-n y 2-n=24y 21-m 24y 22-m +y 1-n y 2-n=18y 21y 22-24m y 21+y 22 +m 2-n y 1+y 2 +n 2=4k 2-24m 8k 2-82k +m 2+42k -22n k +n2=4-22m k 2+4m +42-22n k +m 2+n 2，令4m +42-22n =04-22m =0，解之得：m =2n =4 ，即T 2,4 ，此时TA ⋅TB =m 2+n 2=1811.(2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试)设F 为椭圆C ：x 22+y 2=1的右焦点，过点F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.(1)当BF=2FA 时，求FA ；(2)在x 轴上是否存在异于F 的定点Q ，使k QAk QB为定值(其中k QA ，k QB 分别为直线QA ，QB 的斜率)？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设直线l 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立x =my +1x 2+2y 2=2，得m 2+2 y 2+2my -1=0，又因为BF=2FA ，所以y 1+y 2=-2m m 2+2y 1y 2=-1m 2+2y 2=-2y 1，解得m 2=27，y 1 =2m m 2+2=148，所以FA =1+m 2y 1 =328，即FA =328.(2)假设在x 轴上存在异于点F 的定点Q t ,0 t ≠1 ，使得k QAk QB为定值.设直线AB 的方程为x =my +1，联立x 22+y 2=1x =my +1，得m 2+2 y 2+2my -1=0，则y 1+y 2=-2m m 2+2，y 1y 2=-1m 2+2，所以y 1+y 2=2my 1y 2.所以k QA k QB =y 1x 1-t y 2x 2-t=y 1⋅x 2-t y 2⋅x 1-t =y 1my 2+1-t y 2my 1+1-t =my 1y 2+(1-t )y 1my 1y 2+(1-t )y 2=2my 1y 2+2(1-t )y 12my 1y 2+2(1-t )y 2=(3-2t )y 1+y 2y 1+(3-2t )y 2.要使k QA k QB为定值，则3-2t 1=13-2t ，解得t =2或t =1(舍去)，此时k QAk QB=-1.故在x 轴上存在异于F 的定点Q 2,0 ，使得k QAk QB为定值.12.(2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，点M (x 0,4)在C 上，且MF =5p2．(1)求点M 的坐标及C 的方程；(2)设动直线l 与C 相交于A ,B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【分析】(1)利用抛物线定义求出x 0，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x =my +n ，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系，再根据k MA ⋅k MB =1求解.【解析】(1)抛物线C :y 2=2px 的准线：x =-p 2，于是得MF =x 0+p 2=5p 2，解得x 0=2p ，而点M 在C 上，即16=4p 2，解得p =±2，又p >0，则p =2，所以M 的坐标为4,4 ，C 的方程为y 2=4x .(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，直线l 的方程为x =my +n ，由x =my +ny 2=4x消去x 并整理得：y 2-4my -4n =0，则Δ=16m 2+n >0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4n ，因此，k MA ⋅k MB =y 1-4x 1-4⋅y 2-4x 2-4=y 1-4y 214-4⋅y 2-4y 224-4=4y 1+4⋅4y 2+4=1，化简得y 1y 2+4y 1+y 2 =0，即n =4m ，代入l 方程得x =my +4m ，即x -m y +4 =0，则直线l 过定点0,-4 ，所以直线l 过定点0,-4 .13.(2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2.离心率等于63，点P 在y 轴正半轴上，△PF 1F 2为直角三角形且面积等于2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.【解析】(1)根据题意，由对称性得△PF 1F 2为等腰直角三角形，且∠F 1PF 2=90°，因为△PF 1F 2的面积等于2，所以F 1F 2 =22，即c =2，因为椭圆C 的离心率等于63，即e =63=2a，解得a =3，所以b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆C 的标准方程为：x 23+y 2=1.(2)由(1)得P 0,2 ，设直线l 的方程为y =kx +m k ≠0 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，因为点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上，所以直线PB 与直线PA 的斜率互为相反数，即k PB +k PA =0，因为k AP =y 1-2x 1,k BP =y 2-2x 2，所以y 1-2x 1+y 2-2x 2=0，整理得x 2(y 1-2)+x 1(y 2-2)=0又因为y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ，所以2kx 1x 2+m -2 x 1+x 2 =0，由y =kx +m x 2+3y 2=3消去y 得(3k 2+1)x 2+6km x +3m 2-3=0,所以Δ>0，即m 2<3k 2+1，x 1+x 2=-6km 3k 2+1,x 1x 2=3m 2-33k 2+1,所以2k ⋅3m 2-33k 2+1+(m -2)⋅-6mk3k 2+1 =0，整理得2k ⋅(3m 2-3)-6mk (m -2)=0,由于k ≠0，故解方程得m =22，此时直线l 的方程为y =kx +22，过定点0,22 所以直线l 恒过定点0,22 .14.(2022届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a 、b 为正常数)的右顶点为A ，直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且P 、Q 均不是双曲线的顶点，M 为PQ 的中点．(1)设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1·k 2的值；(2)若AM PQ=12，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．【解析】(1)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，因为P 、Q 在双曲线上，所以x 12a 2-y 12b 2=1，x 22a 2-y 22b2=1，两式作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2-(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0，即2x 0(x 1-x 2)a 2=2y 0(y 1-y 2)b 2，即y 0(y 1-y 2)x 0(x 1-x 2)=b 2a2，即k 1·k 2=b 2a 2；(2)因为AM PQ=12，所以△APQ 是以A 为直角顶点的直角三角形，即AP ⊥AQ ；①当直线l 的斜率不存在时，设l ：x =t ，代入x 2a 2-y 2b2=1得，y =±bt 2a 2-1，由|t -a |=b t 2a2-1得，(a 2-b 2)t 2-2a 3t +a 2(a 2+b 2)=0，即[(a 2-b 2)t -a (a 2+b 2)](t -a )=0，得t =a (a 2+b 2)a 2-b 2或a (舍)，故直线l 的方程为x =a (a 2+b 2)a 2-b 2；②当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，代入x 2a 2-y 2b2=1，得(b 2-k 2a 2)x 2-2km a 2x -a 2(m 2+b 2)=0，Δ=a 2b 2(m 2+b 2-k 2a 2)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1+x 2=2km a 2b 2-k 2a 2，x 1x 2=-a 2(m 2+b 2)b 2-k 2a 2；因为AP ⊥AQ ，所以AP ·AQ=0，即(x 1-a ，y 1)·(x 2-a ，y 2)=0，即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+y 1y 2=0，即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0，即(km -a )(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+m 2+a 2=0，即-2km a 3-k 2a 2b 2-m 2a 2+m 2b 2-k 2a 4b 2-k 2a 2=0，即a 2(a 2+b 2)k 2+2ma 3k +m 2(a 2-b 2)=0，即[a (a 2+b 2)k +m (a 2-b 2)](ak +m )=0，所以k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)或k =-ma ；当k =-m a 时，直线l 的方程为y =-ma x +m ，此时经过A ，舍去；当k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)时，直线l 的方程为y =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)x +m ，恒过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2，0，经检验满足题意；综上①②，直线l 过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2，0．15.已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，当l ⊥x 轴时，AB=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点D ，过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ，直线PF 交抛物线C 于另一点Q .①是否存在定点M ，使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.②求证：S △QAF ⋅S △QBF 为定值.【解析】(1)当l ⊥x 轴时，易得AB =2p ，所以2p =2，解得p =1，所以抛物线C 的方程为y 2=2x ；(2)①解：易知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x =my +12m ≠0 ，代入抛物线C 的方程y 2=2x ，并整理得y 2-2my -1=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由根与系数的关系得y 1+y 2=2m ，y 1y 2=-1.所以x 1+x 22=my 1+my 2+12=2m 2+12，所以线段AB 的中点N 的坐标为2m 2+12,m ，连接QM ，若四边形AQBM 为平行四边形，则N 是QM 的中点，易知D 0,-12m ，因此P 18m2,-12m ，设直线PQ 的方程为x =ty +12，代入抛物线C 的方程y 2=2x ，整理得y 2-2ty -1=0，所以y P y Q =-12m ⋅y Q=-1， 故y Q =2m ，因此Q 2m 2,2m ，故可得x M =2m 2+12×2-2m 2=1，y M =2m -2m =0，故点M 的坐标为M 1,0 ，因此存在定点M 1,0 ，使得四边形AQBM 为平行四边形；②证明：点Q2m2,2m到直线l:x=my+12的距离d=2m2-m⋅2m-12m2+1=12m2+1，由A x1,y1，F12,0，可得AF =m2+1y1 ，因此S△QAF=12AF⋅d=14y1 ，同理可得S△QBF=14y2 ，所以S△QAF⋅S△QBF=116y1y2=116，为定值.。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线的定值、定点问题
圆锥曲线中的定值、定点问题一、直线恒过定点问题例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2:4C x y =的切线,EA EB ， 切点为A 、B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设),2,(-a E )4,(),4,(222211x x B x x A ，x y x y 214'2=∴=,)(2141121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(21421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x同理可得：222280x ax --=8,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程)24,(2+a a AB 中点为可得，又2212121212124442ABx x y y x x a k x x x x --+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2ay x AB =+∴即过定点0,2.例2. 已知点是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x xy y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。
解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(1,0)G 二、恒为定值问题例3. 已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。
高考数学圆锥曲线知识点总结
高考数学圆锥曲线知识点总结高考数学里啊，圆锥曲线可是个让不少同学头疼的“大怪兽”。
但别怕，咱们今天就来好好把它“解剖”一下，把它的知识点都理清楚！先来说说椭圆。
椭圆就像是被压扁了的圆，它的定义是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的动点的轨迹。
打个比方，想象一下你在操场上跑步，有两个固定的杆子，你跑的路线使得你到这两个杆子的距离加起来总是不变的，这跑出来的轨迹可能就是个椭圆。
椭圆的标准方程有两种形式，焦点在 x 轴上时是\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），焦点在 y 轴上时则是\（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。
这里的 a 和 b 都有特别的含义，a 表示椭圆长半轴的长度，b 表示短半轴的长度。
而且还有个关键的关系\（c^2 ＝ a^2 b^2\），其中 c 是椭圆的半焦距。
再来说说双曲线。
双曲线长得有点像两个背靠背的抛物线，它的定义是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的动点的轨迹。
比如说，你想象有两个机器人，一个在前面跑，一个在后面追，它们之间的距离差始终不变，那它们跑的轨迹可能就是双曲线。
双曲线的标准方程也有两种，焦点在 x 轴上时是\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），焦点在 y 轴上时是\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。
同样有\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
然后是抛物线。
抛物线就像一个抛出去的物体的轨迹。
它的定义是平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的动点的轨迹。
比如你拿着喷壶浇水，水喷出来形成的曲线就可能是抛物线。
抛物线的标准方程也有多种，比如\（y^2 ＝ 2px\）、＼（y^2 ＝－2px\）、＼（x^2 ＝ 2py\）、＼（x^2 ＝－2py\），这里的 p 表示焦点到准线的距离。
圆锥曲线定点定值问题背后的定理
圆锥曲线定点定值问题背后的定理
圆锥曲线定点定值问题是指在给定圆锥曲线上求出两个定点和一个定值，使得该圆锥曲线上的任意一点都满足一定的条件。
该问题的背后定理是费马点定理。
费马点定理是指在一个圆锥曲线上，存在三个点，其中一个为该曲线的焦点，另外两个点在该曲线上，这三个点构成的三角形面积最大。
这个定理是由法国数学家费马在17世纪提出的，被认为是代数几何中的一个重要定理。
圆锥曲线定点定值问题是费马点定理的一个扩展，其背后的定理也是费马点定理。
具体来说，圆锥曲线定点定值问题的条件是，给定圆锥曲线上的一点和一个定点，要求在该圆锥曲线上找到另外一个点，使得该三角形的面积最大。
这个问题的解法可以通过应用费马点定理来解决，即通过构造一个新的圆锥曲线，使得该曲线上的一个点和给定的定点以及另一个已知点构成一个三角形，然后通过求解该三角形的面积最大值来得到所需的点。
需要注意的是，圆锥曲线定点定值问题并不总是有解，这取决于给定的条件和曲线的类型。
在某些情况下，可能需要采用更加复杂的方法来解决该问题。