结构力学02结构的几何构造分析共59页
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结构力学第二讲
计算自由度：
W =（各部件自由度总和）-（全部约束数）
1、一般公式（研究对象：平面杆件体系）
组成 = m个自由刚片+（ n个单铰+r个支座链杆）
计算自由度= m个自由刚片的自由度数–
（n个单铰+r个支座链杆） W = 3m – 2n - r (2.1)
例：
m = 4, n = 4 , r=3 W=3×4-(2×4+3) = 1
FN1 A’ FN2 θ FP
θ趋近于零，则FN趋近于无穷大。 表明：瞬变体系即使在很小的荷载作用下，
也会产生很大的内力，从而导致体系迅速破坏。
结论：工程结构不能采用瞬变体系，接近瞬 变的体系也应避免使用。
几何组成分析举例
例1：用基本规律分析图示体系 的几何构造。
E
G G
F
解Ⅰ：用固定一个点的装配方式。
刚片1
二元体
2、两刚片之间的联接方式 规律2： 两刚片用一个铰和一根 B
Ⅱ
A
C
链杆相联结，且三个铰不
在一直线上，则组成几何
不变的整体，并且没有多 余约束。
Ⅰ
另一种叙述：两个刚片上用三根不交于一点、也不全平行 的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系。
O C 刚片2 E A B
刚片1
B A
Ⅲ 3 2
o
yⅡ
x
还有4个自由度
还有1个自由度
（3）刚结点 一个刚结点能减 少三个自由度，相 当于三个约束。
用刚节点连接
还有3个自由度 相当于2个刚节点
3.约束代换和瞬铰
一个简单铰相当于两个约束，两根链杆也相当于两个约束， 而约束是可以代换的，因此引入瞬铰概念。
结构力学第2章 结构的几何构造分析
有一根链杆是多余约束
§2-1 几何构造分析的几个概念
5. 瞬变体系
特点：从微小运动的角度看，这是一个可变体系；
经微小位移后又成为几何不变体系；
在任一瞬变体系中必然存在多余约束。 瞬变体系：可产生微小位移 常变体系：可发生大位移
可变体系
§2-1 几何构造分析的几个概念
6. 瞬铰 O为两根链杆轴线的交点，刚片I
可发生以O为中心的微小转动， O点
称为瞬时转动中心。 两根链杆所起的约束作用相当于在链 杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个 铰称为瞬铰。
§2-1 几何构造分析的几个概念
7. 无穷远处的瞬铰 两根平行的链杆把刚片I与基础相
连接， 则两根链杆的交点在无穷远处。
两根链杆所起的约束作用相当于无穷远 处的瞬铰所起的作用。
体系计算自由度：
W=2j-b
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
若W＞0，则S ＞0，体系是几何可变的
若W=0， 则S=n， 如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则 为几何可变 若W＜0，则n＞0， 体系有多余约束 例 2-4 试计算图示体系的W。 方法一：
m=7，h=9，b=3， g=0
W=3m-2h-b=3×7-2×9-3=0 方法二： j=7，b=14
W=2j-b=2×7-14=0
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
例 2-5 试计算图示体系的W。
将图(a)中全部支座去掉，在G处切开，如图(b) m=1，h=0，b=4， g=3 W=3m-（3g+2h+b）=3×1-（3×3+2×0+4）=-10 体系几何不变，S=0 n=S-W=0-（-10）=10
第2章
§2-1 §2-2
结构力学结构的几何构造分析
B
C D
七、无限远处的瞬铰：
关于∞ 点和∞线的下列四个结论 1、每个方向有一个 ∞点（即该方向各平行线
的交点） 2、不同方向有不同的 ∞点 3、各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线
。 4、各有限点都不在∞线上。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
1. 一个点与一个刚片之间的组成方式 规律1：一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三 铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。 2. 两个刚片之间的组成方式
三、混合体系的自由度
W ( 3m 2 j ) ( 3g 2h b )
四、自由度与几何体系构造特点
W 0 体系几何可变；
m2 j2
W 0 无多余约束时，体系几何不变；h 1 b 8
W 0 体系有多余约束。W (3 2 2 2) (2 1 8) 0
分析实例 1
F
D
E
C
A
B
F
第二章
结构的几何构造分析
Geometrical Constitution Analysis Of Plane Systems
几何构造分析的目的主要是分析、判断一个体系是否几何
可变，或者如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系 才可以作为结构。
§2-1 几何构造分析的几个概念 一、几何不变体系和几何可变体系
9－2×（2）=5
复铰：连接两个以上刚片的铰结点。相当于（n-1）个单铰。
１
１ １
１ １
２
２
m＝４ h＝４ b＝３ W=3×４－（２×４)－３＝１
m＝7 h＝9 b＝３ Ｗ＝３×７－（２×９）－３＝０
刚片本身不 应包含多余约束
C D
七、无限远处的瞬铰：
关于∞ 点和∞线的下列四个结论 1、每个方向有一个 ∞点（即该方向各平行线
的交点） 2、不同方向有不同的 ∞点 3、各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线
。 4、各有限点都不在∞线上。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
1. 一个点与一个刚片之间的组成方式 规律1：一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三 铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。 2. 两个刚片之间的组成方式
三、混合体系的自由度
W ( 3m 2 j ) ( 3g 2h b )
四、自由度与几何体系构造特点
W 0 体系几何可变；
m2 j2
W 0 无多余约束时，体系几何不变；h 1 b 8
W 0 体系有多余约束。W (3 2 2 2) (2 1 8) 0
分析实例 1
F
D
E
C
A
B
F
第二章
结构的几何构造分析
Geometrical Constitution Analysis Of Plane Systems
几何构造分析的目的主要是分析、判断一个体系是否几何
可变，或者如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系 才可以作为结构。
§2-1 几何构造分析的几个概念 一、几何不变体系和几何可变体系
9－2×（2）=5
复铰：连接两个以上刚片的铰结点。相当于（n-1）个单铰。
１
１ １
１ １
２
２
m＝４ h＝４ b＝３ W=3×４－（２×４)－３＝１
m＝7 h＝9 b＝３ Ｗ＝３×７－（２×９）－３＝０
刚片本身不 应包含多余约束
结构力学第二章结构的几何组成分析
结构系统结构系统 结构系统 平面中的固定铰支座能消去2个自由度（2个线位移），但不能消除转动，因此对应2个约束，c =2空间中的固定铰支座能消去3个自由度, 因此对应3个约束，c =3 平面固支，c =3空间固支，c
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
结构力学第二章结构的几何组成分析
链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
结构力学第二章 结构的几何构造分析
刚片2
例2：
刚片3 没有多余约束的几何不变体系
没有多余约束 的几何不变体系
§2-3 几何构造分析方法
2）分析已组成的体系 例1：
上部作为 刚片1 地基作为刚片2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
例2：
1 2
二元体
结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
§2-3 几何构造分析方法
例3：
o
虚铰
难点：
单铰、复铰、实铰、虚铰、瞬铰、无穷铰、的区别。 如何准确计算平面杆系结构的计算自由度，计算自 由度和实际自由度的关系。 如何正确分析平面杆系结构的几何属性。
§2-1 几何构造分析的几个概念
结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座 联接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证 结构的几何构造是不可变的。例如：
例2:
两组 平行
4
2 3 1 5 6 一组 平行
§2-5 几何构造分析举例
例3：
3 1 Ⅱ
2
结论： 杆1、杆2、杆3不交与 一点，因此该体系是无 多余约束的不变体系。
Ⅰ
例4:
1 Ⅰ 3 Ⅱ 2
结论： 杆1、杆2、杆3不交于 一点，该体系是无多余 约束的几何不变体系。
§2-5 几何构造分析举例
例5：
①
②
②
B
D
D
应注意形成虚铰 的两链杆必须连 接相同的两个刚 片
Ⅰ Ⅰ 实铰 1 2 3
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ O 虚铰
虚铰-瞬铰
O .
.
O’
A
C
B
D
无穷铰
实铰 单铰 虚铰（瞬铰） 无穷铰
§2-2 几何不变体系的组成规律
结构力学I-第二章-结构的几何构造分析报告
FG
1 3
2
W = 3×8 - (2 ×10+1+3) = 0
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LOGO
平面杆件体系的计算自由度
算例
例2：计算图示体系的自由度
1
2
方法1：按刚片计算
9根杆, 9个刚片
有几个单铰？
3根支座链杆
3
3
W = 3 ×9-(2×12+3) = 0
方法2：按铰接链杆计算
W = 2 ×6 - (9+3) = 0
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基本概念
多余约束
定义：并不能使体系自由度减少的约束称为多余约束
1 杆：限制 A 在Ⅰ方向上运动； 2 杆：限制 A 在Ⅱ方向上运动； 结论：1、2两杆非多余约束。
任意取2根杆， A点都已固定， 第3根杆已不能再减少自由度； 结论：3根杆中1根是多余约束。
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平面杆件体系的计算自由度
讨论
计算自由度和几何可变
1
2
2
2
3
3
3
3
2
1
1
1
W = 3 ×9-(2×12+3) = 0 几何不变体系
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W = 3 ×9-(2×12+3) = 0 几何不变还是几何可变？
18:16
LOGO
平面杆件体系的计算自由度
讨论
计算自由度和几何可变
减少3个自由度.
x
φ
1个自由杆件3个自由度 2个自由杆件有6个自由度
刚结点约束后 N = 3
基本概念
第2章结构的几何构造分析
29/35
2.6.4 关于计算自由度 W 、自由度 S 和多余约束数 n
自由度 S 和多余约束 n 都与具体的构造有关，但 W = S - n 只与体系所 具有的部件和约束的个数有关。 根据 W 的数值，可对体系的几何构造特性得出一些结论，如下表所示：
W 的数值 对象的自由度数 S > n ； 体系为几何可变，不能用作结构。 对象的自由度数 S = n ； W=0 如体系为几何不变，则无多余约束，体系为静定结构； 如体系为几何可变，则有多余约束。 对象的自由度数 S < n ； W<0 体系有多余约束； 如体系为几何不变，则为超静定结构。 几何构造特性
二、几何可变体系：
在不考虑杆件应变的假定下，体系的位置和形状是可以改 变的体系（图2）。
P
P
（图1）
（图2）
2/35
几何组成分析
三、几何组成分析的目的： 1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否 作为结构。 2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算 方法。
3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计 算顺序。
六、自由度与几何体系构造特点
W > 0 则 S > 0 几何可变； W = 0 则 S = n 若 n = 0 几何不变； W = 0 则 S = n 若 n > 0 几何可变； W < 0 则 n > 0 体系有多余约束,但不一定几何不变。 结论：W ≤0只是几何不变的必要条件，不是充分条件。
1、几何可变体系 一般无静力解答。 2、无多余联系的几何不变体系 静力解答唯一确定。 3、几何瞬变体系 其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊情况下，解答不确定。 4、具有多余联系的几何不变体系 静力解答有无穷多组解。
2.6.4 关于计算自由度 W 、自由度 S 和多余约束数 n
自由度 S 和多余约束 n 都与具体的构造有关，但 W = S - n 只与体系所 具有的部件和约束的个数有关。 根据 W 的数值，可对体系的几何构造特性得出一些结论，如下表所示：
W 的数值 对象的自由度数 S > n ； 体系为几何可变，不能用作结构。 对象的自由度数 S = n ； W=0 如体系为几何不变，则无多余约束，体系为静定结构； 如体系为几何可变，则有多余约束。 对象的自由度数 S < n ； W<0 体系有多余约束； 如体系为几何不变，则为超静定结构。 几何构造特性
二、几何可变体系：
在不考虑杆件应变的假定下，体系的位置和形状是可以改 变的体系（图2）。
P
P
（图1）
（图2）
2/35
几何组成分析
三、几何组成分析的目的： 1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否 作为结构。 2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算 方法。
3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计 算顺序。
六、自由度与几何体系构造特点
W > 0 则 S > 0 几何可变； W = 0 则 S = n 若 n = 0 几何不变； W = 0 则 S = n 若 n > 0 几何可变； W < 0 则 n > 0 体系有多余约束,但不一定几何不变。 结论：W ≤0只是几何不变的必要条件，不是充分条件。
1、几何可变体系 一般无静力解答。 2、无多余联系的几何不变体系 静力解答唯一确定。 3、几何瞬变体系 其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊情况下，解答不确定。 4、具有多余联系的几何不变体系 静力解答有无穷多组解。