职高数学知识点的总结

实用标准文案

职高数学概念与公式

初中基础知识：

1.相反数、绝对值、分数的运算；

2.因式分解：

提公因式： xy-3x=(y-3)x

3 252(31)(2)

十字相乘法如： x x x x

配方法如： 2x2x 32( x 1 )225

48

公式法：（x+y）2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y 2 x 2-y 2=(x-y)(x+y)

3.一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法：

（1）代入法

（2）消元法

6.完全平方和（差）公式：a22ab b2(a b)2a22ab b 2( a b) 2

7.平方差公式：2

b 2()(

a

)

a a

b b

8.立方和（差）公式： a3b3(a b)(a2ab b 2 ) a 3 b 3(a b)( a 2ab b 2 )

第一章集合

1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。

2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。

注：

｛ x

|x,x} ；另重点类型如：｛y | y x23x1, x( 1,3]｝描述法

元素元素性质取值范围

3.常用数集： N （自然数集）、 Z （整数集）、 Q （有理数集）、 R （实数集）、 N *（正

整数集）、 Z （正整数集）

4.元素与集合、集合与集合之间的关系：

（1）元素与集合是“”与“ ”的关系。

（2）集合与集合是“” “ ”“ ”“ ”的关系。

注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑是否满足题意）（ 2）一个集合含有 n 个元素，则它的子集有2n个，真子集有 2n 1 个，非空真子集有 2n2

个。

5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）

（ 1） A B { x | x A且x B} ：A与B的公共元素（相同元素）组成的集合

（2） A B { x | x A或x B} ：A与B的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。

（ 3） C U A ：U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。

注：C U(A B) C U A C U B C U(A B) C U A C U B

6.逻辑联结词：

且（）、或（）非（）如果,,那么,,（）

量词：存在（）任意（）

真值表：

p q ：其中一个为假则为假，全部为真才为真；

p q ：其中一个为真则为真，全部为假才为假；

p ：与 p 的真假相反。

（同为真时“且”为真，同为假时“或”为假，真的“非”为假，假的“非”为真；真“推”假为假，假“推”真假均为真。）

7.命题的非

（ 1）是不是

都是不都是（至少有一个不是）

（ 2）,, ，使得p 成立对于,, ，都有p 成立。

对于,, ，都有p 成立,, ，使得p 成立

（ 3）( p q)p q( p q)p q

8.充分必要条件

p 是 q 的,,条

件充分

p q

不必要

不充分

p q

必要

充分

p q

必要

不充分

p q

不必要

p 是条件， q 是结论

p是q的充分不必要条件（充分条件）

p是q的必要不充分条件（必要条件）

p是 q的充分必要条件 ( 充要条件 )

p是q的既不充分也不必要条件

第二章不等式

1.不等式的基本性质：

注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法如：20102009与20092008 （倒数法）等。

（ 2）不等式两边同时乘以负数要变号！！

（ 3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。

2.重要的不等式：（均值定理）

（ 1）a2 b 22ab ，当且仅当 a b 时，等号成立。

（ 2）

a b 2( ,

R

)，当且仅当 a b 时，等号成立。ab a b

（ 3）

a b c 3( , ,

R

) ，当且仅当a b c 时，等号成立。abc a b c

注：a b

（算术平均数）ab （几何平均数）2

3.一元一次不等式的解法

4.一元二次不等式的解法

（ 1）保证二次项系数为正

（2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：

（3）定解：（口诀）大于两根之外，大于大的，小于小的；

小于两根之间

注：若0或0 ，用配方的方法确定不等式的解集。

5.绝对值不等式的解法

若 a0 ，则| x | a a x a

|或

|

x a x a

x a

6.分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.

第三章函数

1.映射:

一般地，设 A、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的映射，记作：f : A B 。

注：理解原象与象及其应用。

（1）A中每一个元素必有惟一的象；

（2）对于A中的不同的元素，在B中可以有相同的象；

（3）允许B中元素没有原象。

2.函数 :

（1）定义：函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。

（2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析式法。

注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。

3.函数的三要素：定义域、值域、对应法则

（1）定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的 x 的取值范围主要

依据：

①分母不能为0

②偶次根式的被开方式0

③特殊函数定义域

y x0 , x0

y a x ,( a 0且a 1), x R

y log a x, (a 且

0 a 1), x 0

y tan x, x k,( k Z)

2

（ 2）值域的求法：y 的取值范围

①正比例函数： y kx 和一次函数： y kx b 的值域为 R

②二次函数： y ax2bx c 的值域求法：配方法。如果x 的取值范围不是R则还需画图

像

③反比例函数： y 1

的值域为 { y | y 0} x

④y ax b

的值域为 { y | y a}

cx d c

⑤y

mx n

的值域求法：判别式法ax2bx c

⑥ 另求值域的方法：换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。（ 3）解析式求法：

在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。

4.函数图像的变换

（1）平移

y f ( x)向右平移

f ( x a)y

向左平移

y f ( x a) y f ( x)

a个单位a个单位

y f ( x)向上平移

f ( x) a y

向下平移

y f ( x) a y f ( x)

a个单位a个单位

（2）翻折

y f ( x)

沿 x轴

f ( x)

保留 x轴上方图像

y | f ( x) | y y f ( x)

上、下对折下方翻折到上方

y f ( x)保留 y轴右边图像

y f (| x |)右边翻折到左边

5.函数的奇偶性 :

（ 1）定义域关于原点对称

（ 2）若f ( x) f ( x)奇若 f ( x) f ( x)偶注：①若奇函数在x0处有意义，则 f (0) 0

②常值函数 f ( x)a（ a0 ）为偶函数

③ f ( x) 0既是奇函数又是偶函数

6.函数的单调性 :

对于 x1、x2 [ a,b] 且 x1x2，若

f ( x1 ) f ( x2 ),称在上为增函数

f ( x) [ a,b]

f ( x1 ) f ( x2 ), 称f ( x)在[a, b]上为减函

数

增函数： x 值越大，函数值越大； x 值越小，函数值越小。

减函数： x 值越大，函数值反而越小；x 值越小，函数值反而越大。

复合函数的单调性： h(x) f (g( x))

f ( x) 与 g( x) 同增或同减时复合函数h( x) 为增函数； f ( x) 与

g (x) 相异时（一增一减）复合函数 h( x) 为减函数。

注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。

7.二次函数 :

（ 1）二次函数的三种解析式 :

①一般式： f ( x)ax2bx c（a0 ）

②顶点式： f ( x)a(x k )2h（ a0 ），其中 (k , h) 为顶点

③两根式： f ( x)a(x x1 )( x x2 )（ a0 ），其中x1、x2是 f (x)0 的两根

（ 2）图像与性质 :

二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：

①开口a 0开口向上 a 0 开口向下

②对称轴： x b 2a

③顶点坐标： ( b , 4ac b 2)

2a4a

0有两交点

④与 x 轴的交点：0有1交点

0无交点

⑤一元二次方程根与系数的关系：（韦达定理）

x1x2

b a

c

x1 x2

a

⑥ f ( x) ax 2 bx c 为偶函数的充要条件为 b 0

⑦二次函数（二次函数恒大（小）于0）

a0

a 0图像位于 x轴下

方

f ( x) 0

⑧若二次函数对任意 x 都有f (t x) f (t x) ，则其对称轴是x t 。

⑨若二次函数 f ( x)0的两根x1、x2

ⅰ . 若两根 x1、x2一正一负，则0

x1 x2

ⅱ . 若两根 x1、x2同正（同负）

00

若同正，则 x1 x20若同负，则 x1 x20 x1x20x1 x2 0

ⅲ . 若两根 x1、 x2位于(a, b)内，则利用画图像的办法。

00若a0,则 f ( a) 0若a0,则 f (a)0

f (b) 0 f (b)0

注：若二次函数 f ( x)0的两根x1、x2；x1位于 (a, b) 内，x2位于 (c, d ) 内，同样利用

画

图像的办法。

8.反函数 :

（ 1）函数y f ( x) 有反函数的条件

x与 y 是一一对应的关系

（ 2）求y f ( x) 的反函数的一般步骤：

①确定原函数的值域，也就是反函数的定义域

②由原函数的解析式，求出x

③将 x, y 对换得到反函数的解析式，并注明其定义域。

（ 3）原函数与反函数之间的关系

① 原函数的定义域是反函数的值域

原函数的值域是反函数的定义域

②二者的图像关于直线y x 对称

③原函数过点 (a, b) ，则反函数必过点 (b,a)

④ 原函数与反函数的单调性一致

第四章指数函数与对数函数

（ 1）根式的性质：

① n 为任意正整数， (n a) n a

②当 n 为奇数时，n a n a ；当 n 为偶数时，n a n | a | ③

零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。

（ 2）零次幂：a01(a 0)

（ 3）负数指数幂：a n1(a0, n N * )

a n

m

（ 4）分数指数幂： a n n a m(a0, m, n N 且 n 1)

（ 5）实数指数幂的运算法则：(a0,m, n R)

① a m a n a m n② (a m ) n a mn③ ( a b) n a n b n

2.幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一

个数的 n 次方。

3. 幂函数 y x a 当

a

时，

y x

a在（，）上单调递增当

00

）上单调递减a

时，

y x

a 在（，

00

4.指数与对数的互化

a b N log a N b(a 0且a 1)、 ( N0)

① 对数基本性质：①log a a1② log a 10③a log a N N④log a a N N

⑤ log a b与 log b a互为倒数log a b log b a 1

1

⑥log a b

log b a

log a m b n n

log a b m

5.对数的基本运算：log a ( M N )log a M log a N log a M log a M log a N

N

6.

log b N

0且b1)换底公式： log a N(b

log b a

7.指数函数、对数函数的图像和性质

指数函数对数函数

定y a x (a 0, a 1的常数 )y log a x(a 0, a 1的常数 )义

图

像

(1)x R, y0(1)x R, y0

性

图像经过 (0,1)点(2)图像经过 (1,0)点

(2)

质a1, y a x为增函数；

（3）a1, y log a x在(0,)上为增函数；

（3）

0a1, y a x为减函数0a1, y log a x在(0, )上为减函数

8.利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂

（次）或用换底公式或是利用中间值 0，1 来过渡。

9.指数方程和对数方程

（1）指数式和对数式互化

（2）同底法

（3）换元法

（4）取对数法

注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。

第五章数列

等差数列等比数列

每一项与前一项之差为同一个常数每一项与前一项之比为同一个常数

定

a2 a1a3a2a n a n 1 d a2a3a n

q (q 0)

a1a2a n

义1

注：当公差 d00；

时，数列为常数列注：等比数列各项及公比均不能为

当公比为 1 时，数列为常数列

通项a n a1(n 1)d a n a1q n 1

公式

推（1）d a n a m

（1） q n m

a n n m a m

论（2） a

n a

m

(

n m d

（2） a n

n m

)a m q

（3）若m n p q ，则（ 3）若m n p q ，则a m a n a p a q a m a n a p a q

中项 三个数 a 、 b 、 c 成等差数列，则有

三个数 a 、 b 、 c 成等比数列，则有

公式

2b

a c

b

a c

b 2

ac

前 n

2

S n

n( a 1 a n )

n(n 1)

S n

a 1 (1 q n ) a 1

a n q （ q 1）

项和

2

na 1

d

1 q

1 q

公式

2

其 S

2n 1

(2n 1) a n 如： S 7

7a 4

它

等差数列的连续 n 项之和仍成等差 等比数列的连续 n 项之和仍成等比数

数列 列

1. 已知前 n 项和 S n 的解析式，求通项 a ： a n

S 1

( n 1)

n

S n S n 1

(n 2)

第六章 三角函数

1. 弧度和角度的互换： 180

o

弧度，1

o

弧度 0.01745 弧度，1弧度 (

180

) o 57o 18'

2.

180

扇形弧长公式和面积公式

扇

扇

1

1 2

（记忆法：与 S

1

ah 类似）

L | | r ，

S

2 Lr|

| r

ABC

2

2

注：如果是角度制的可转化为弧度制来计算。 3. 任意三角函数的定义：

对边 sin

斜边

邻边 cos

斜边

对边 tan

邻边

倒数

倒数

倒数

1

csc

记忆法： S 、 C 互为倒数 sin

1

sec

记忆法： C 、S 互为倒数 cos

1 cot

tan

4. 特殊三角函数值 :

00

300

45 0

60 0

900

一象限

6

4

3

2

sin

0 1 2 3 4

2 2 2 2 2

cos

4 3 2 1 0

2 2 2 2

2

tan

3 1

3

不存在

3

5. 三角函数的符号判定 :

（ 1） 口诀：一全二正弦，三切四余弦。 （三角函数中为正的，其余的为负）

（ 2） 图像记忆法 6. 三角函数基本公式 :

实用标准文案

tan sin1

（可用于化简、证明等）coscot

sin 2cos21（1.可用于已知sin求 cos；或者反过来运用。 2. 注意 1 的运用）

1 tan 2sec2（可用于已知 cos（或 sin）求 tan 或者反过来运用）

7.诱导公式 :

（1）口诀：奇变偶不变，符号看象限。

解释：指 k( k Z ) ，若 k 为奇数，则函数名要改变，若k 为偶数函数名不变。

2

（ 2）分类记忆

①去掉偶数倍（即2k）

② 将剩下的写成（一象限）、（二象限）、（三象限）、（四象限）再看象

限定正负号（函数名称不变）；或写成-（一象限）、（二象限），再看象限定正

22

负号（要变函数名称）

③要特别注意以上公式中互余、互补公式及运用；做题时首先观察两角之间是否是互余或

互补的关系。

8.已知三角函数值求角

（ 1）确定角所在的象限

（ 2）求出函数值的绝对值对应的锐角'

（ 3）写出满足条件的0 ~ 2的角

（ 4）加上周期（同终边的角的集合）

9.和角、倍角公式 :

sin()sin cos cos sin注意正负号相同

cos()cos cos sin sin注意正负号相反

tan()

tan tan

tan tan tan()(1tan tan ) 1tan tan

sin 2 2 sin cos， cos2cos2sin 2 2 cos211 2 sin 2

tan 2 2 tan，tan 1 cos sin1cos

1tan 2sin1cos1cos

2

10.三角函数的图像与性质

性质

函数图像奇

值域同期偶单调性

定义域

性

[ 2k,2k]

y sin x

[1,1]22

奇3 x R T 2

,2k

[ 2k]

22

y cos x

[1,1][ 2k,2k ]

偶

x R T 2

[ 2k,2k]

y tan x x k

R T奇 (k, k) 2

22 k Z

11.正弦型函数 y Asin( x)( A 0,0)

(1) 定义域R，值域[ A, A]

2（2）周期：T

（3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将 x 的系数提出来，再看是怎样平移的。

（ 4）y a sin x b cos x 类型，y a sin x b cos x a 2b2 sin(x)

12. 正弦定理

a b c :

sin B sin C sin A

其他形式：

（ 1）a 2R sin A b2R sin B （2）a : b : c sin A : sin B : sin C

13. 余弦定理 : a2b2c22bc cos A

14. 三角形面积公式S ABC 1

ab sin C

2

2R（R为ABC 的外接圆半径）

c2R sin C （注意理解记忆，可只记一个）

b 2

c 2 a 2

cos A2bc

1

bc sin A

1

ac sin B

22

15.三角函数的应用中，注意同次、同角、同边的原则，以及三角形本身边、角的关系。如

两边之各大于第三边、三内角和为 1800，第一个内角都在 (0, ) 之间等。

第七章平面向量

1.向量的概念

（ 1）定义：既有大小又有方向的量。

（2）向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为 A，终点为 B 的向量表示为 AB 。

（3）向量的模（长度）： | AB | 或| a |

（4）零向量：长度为 0，方向任意。

单位向量：长度为 1 的向量。

向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。

反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。

2.向量的运算

（ 1）图形法则

三角形法则平形四边形法则

（ 2）计算法则

加法： AB BC AC减法： AB AC CA

（ 3）运算律：加法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律

3.数乘向量： a （ 1）模为： | || a |（ 2）方向：为正与 a 相同；为负与 a 相反。

4.AB 的坐标：终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标。AB( x B x A , y B y A )

5.向量共线（平行）：惟一实数，使得 a b 。（可证平行、三点共线问题等）

6.平面向量分解定理：如果 e1 ,e2是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任

一向量 a ，都存在惟一的一对实数a1 ,a2，使得 a a1 e1a2 e2。向量 a 在基 e1 ,e2下的坐标为 (a1 , a2 ) 。

7.中点坐标公式：M为AB的中点，则OM 1 (OA OB )

2

8.注意 ABC 中，（1）重心(三条中线交点)、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、内

心（内切圆圆心：三角平分线交点）、垂心（三高线的交点）的含义

（ 2）若D为BC边的中点，则AD1 ( AB AC) 坐标：两点坐标相加除以2

2

（ 3）若O为ABC 的重心，则AO BO CO 0 ; (重心坐标：三点坐标相加除以3)

9.向量的内积（数量积）:

（ 1）向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围[ 0,] 。

（ 2）内积公式： a b | a || b | cos a,b

10.向量内积的性质：

（ 1）cos

a b

（夹角公式）（2） a ⊥ b a b 0 a, b

| a || b |

（ 3）a a| a |2或 | a | a a（长度公式）

11.向量的直角坐标运算：

（ 1） AB ( x B x A , y B y A )

（ 2）设 a ( a1 , a2 ), b (b1 , b2 ) ，则 a b (a1b1 ,a2b2 )

a ( a1 , a2 ) a

b a1b1a2b2（向量的内积等于横坐标之积加纵坐标之积）

12.向量平行、垂直的充要条件

设 a(a1 , a2 ), b(b1 , b2 )

a1b1

（相对应坐标比值相等），则 a ∥ b

b2

a2

a ⊥

b a b 0a1b1a2b2 0（两个向量垂直则它们的内积为0）

13.长度公式 :

（ 1）向量长度公式：设 a(a1 , a2 ) ，则| a |a12a22

（ 2）两点间距离公式：设点(,

y1), (,

y2

)则|AB|(x

2

x ) 2( y

2

y) 2

A x1

B x211

14. 中点坐标公式：设线段AB 中点为 M ，且A(x1, y1), B( x2, y2), M ( x, y)，则

x1x2

x

2（中点坐标等于两端点坐标相加除以2）y1y2

y

2

第八章平面解析几何

1.曲线C上的点与方程F ( x, y)0 之间的关系：

（ 1）曲线C上点的坐标都是方程 F ( x, y)0 的解；

（ 2）以方程F ( x, y)0 的解 ( x, y) 为坐标的点都在曲线 C 上。

则曲线 C 叫做方程 F (x, y) 0 的曲线，方程 F (x, y) 0 叫做曲线 C 的方程。

2.求曲线方程的方法及步骤

（ 1）设动点的坐标为( x, y)

（2）写出动点在曲线上的充要条件；

（3）用x, y的关系式表示这个条件列出的方程

（4）化简方程（不需要的全部约掉）

3.两曲线的交点：联立方程组求解即可。

4.直线

（ 1）倾斜角：一条直线 l 向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是 [ 0, )

（ 2）斜率：①倾斜角为900的直线没有斜率；② k tan（倾斜角的正切）注：当倾斜角增大时，斜率 k 也随着增大；当倾斜角减小时，斜率 k 也随着减小！

③已知直线

l 的方向向量为 (,) ，则v2

v v1v2k l v1

④经过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 )

y2y1

( x1x2 )的直线的斜率 K

x1

x2

⑤直线 Ax By C 0的斜率 K A

B （ 3）直线的方程

①两点式：y y

1

x x

1

y2y1x2x1

②斜截式：y kx b

③点斜式：y y0k( x x0 )

④ 截距式：x

y1a为l 在x轴上的截距， b为l 在y轴上的截距a b

⑤一般式： Ax By C0其中直线 l 的一个方向向量为 ( B, A)

注：( Ⅰ ) 若直线l方程为 3x 4 y 5 0 ，则与 l 平行的直线可设为 3x 4 y C0 ；与 l 垂直的直线可设为 4x 3y C0 。

（ 4）两条直线的位置关系

①斜截式： l1: y k1x b1与 l2: y k 2 x b2l1∥ l 2k1 k2且 b1 b2

l 1与 l 2重合k1k2且b1b2，l1⊥ l 2k1 k21，l1与 l 2相交k1 k2

②一般式： l1: A1 x B1 x C10 与 l 2 : A2 x B2 x C20

l 1∥ l 2A1B1C2

l1与 l 2

A1B1C2 A2B2C2

重合

B2C2

A2

l 1⊥ l 2A1 A2B1 B20l1与 l 2

A1B1相交

B2

A2

（ 5）两直线的夹角公式

① 定义：两直线相交有四个角，其中不大于的那个角。

2

②范围： [0,]

2

③斜截式： l1 : y k1x b1与 l2 : y k 2 x b2

tan | k1 k 2|（可只记这个公式，如果是一般式方程可化成斜截式来解）

1 k1k2

一般式： l1 : A1 x B1 x C1 0 与 l 2 : A2 x B2 x C2 0

| A1A2B1B2 |

cos

B12A22B22

A12

(6)点到直线的距离

①点 P( x0 , y0 ) 到直线Ax By C0 的距离：d

| Ax0By0 C |

A2 B 2

③两平行线 Ax By C10 和 Ax By C20的距

离：d

| C1C2|

A2B2

5. 圆的方程

（ 1）标准方程： ( x a)2( y b) 2r 2（r0 ）其中圆心 ( a, b) ，半径r。（ 2）一般方程： x2y2Dx Ey F0（D2 E 24F0 ）圆心（ D , E ）半径： r D 2 E 24F

222

(3) 参数方程： ( x a)2( y b) 2r 2的参数方程为x r cos a

[0,2 )) y r cos

(

b

（ 4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离 d 和半径r比较。

d r相交； d r相切； d r相离

（ 6）圆 O1与圆 O2的位置关系：利用两圆心的距离 d 与两半径之和r1r 2及两半径之差r1r2比较，再画个图像来判定。（总共五种：相离、外切、内切、相交、内含）（ 7）圆的切线方程：

①过圆 x 2y 21上一点 P( x0 , y0 ) 的圆的切线方程： x0 x y0 y r 2

②过圆 ( x a) 2( y b) 2r 2外一点 P(x0 , y0 ) 的圆的切线方程：肯定有两条，设切线的

斜率为 k ，写出切线方程（点斜式），再利用圆心到直线的距离等于半径列出方程解出k 。

6.圆锥曲线的定义：动点到定点（焦点）的距离和到定直线（准线）的距离之比为常数 e（离

心率）的点的轨迹。当0 e 1 时，为椭圆；当 e 1时，为双曲线；当 e 1时为抛物线。

7.椭圆

动点与两定点（焦点）的距离之和等于常数2a 几何定义

|PF1 || PF2 | 2a

标准方程x 2y2

1（焦点在x轴上）

x2y 2

（焦点在 y 轴上）a 2b2b2

1

a 2

图像

a,b,c 的关系

对称轴与对称中心顶点坐标

焦点坐标

准线方程

离心率a2 b 2 c 2注意：通常题目会隐藏这个条件x 轴：长轴长2a；y轴：短轴长2b；O(0,0)

( a,0) (0, b)

( c,0)焦距2c注：要特别注意焦点在哪个轴上

a 2

x

c

e c1 b 21

a a 2

曲线范围 a x a, b y b 渐近线无

中心在 ( x0 , y0 ) 的方程(x x0 ) 2( y y0 )2

1 中心O'( x0, y0)

a 2b2

8. 双曲线

动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数2a 几何定义

||PF1 || PF2 || 2a

标准方程x 2y2

1 （焦点在x轴上）

y 2x 2（焦点在

y 轴上）a 2b2 a 2

1

b 2

图像

a,b,c 的关系c2 a 2 b 2注意：通常题目会隐藏这个条件对称轴与对称中心x 轴：实轴长2a； y 轴：虚轴长2b； O(0,0)

顶点坐标(a,0)

焦点坐标(c,0) 焦距 2c注：要特别注意焦点在哪个轴上

准线方程x a 2 c

离心率e c1 b 21

a a2

曲线范围x a和 x a ， y R

渐近线y b

x （焦点在x轴上）y

a

x （焦点在 y 轴上）a b

中心在 ( x0 , y0 ) 的方程(x x0 ) 2( y y0 ) 2

1中心 O'( x0 , y0 )

a 2b2

注：1. 等轴双曲线：（1）实轴长和虚轴长相等

a

（ 2）离心率 e2（3）渐近线

yx b

2. （1）以y mx 为渐近线的双曲线方程可设为( y mx)( y mx)(0)

（ 2）与双曲线x

2

y 21有相同渐近线的双曲线可设为：x 2y 2 a 2b2 a 2b2

9.抛物线

几何

到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹

定义| MF | d （ d 为抛物线上一点 M 到准线的距离）

焦点

x 轴正半轴x 轴负半轴y 轴正半轴y 轴负半轴位置

图像

标准

y 2 2 px ( p 0)y 2 2 px ( p 0)x 2 2 py ( p 0)x2 2 py ( p 0)方程

焦点

F (p p

,0) F (0,

p

F (0,

p

坐标

,0) F ()) 2222

准线

x p p

y

p p

方程2x

2

y 22

顶点O(0,0)

对称

x 轴y 轴

轴

离心

e1

率

注：（1）p的几何意义表示焦点到准线的距离。

（ 2）掌握焦点在哪个轴上的判断方法

（ 3）AB 是抛物线y2 2 px ( p 0)的焦点弦， A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则①弦长

| AB | x1x2p ②x1x2p2； y1 y2p2

4

第九章立体几何

1.空间的基本要素：点、线、面

2.平面的基本性质

（ 1）三个公理：

① 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

② 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一

条直线。

③ 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（ 2）三个推论：

① 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

② 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

3.两条直线的位置关系：

（1）相交：有且只有一个公共点，记作“ a b A”

（2）平行： a.过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。

b.平行于同一条直线的两条直线平行

（3）异面：

① 定义：不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于的角。注

2意在找异面直线之间的夹角时可作其中一条的平行线，让它们相交。

③异面直线间的距离：与两异面直线都垂直相交的直线为其公垂线；夹在两异面直线间的

部分为公垂线段；公垂线段的长度为异面直线间的距离。

4.直线和平面的位置关系：

（ 1）直线在平面内：l

（ 2）直线与平面相交：l A

（ 3）直线与平面平行

①定义：没有公共点，记作：l ∥

② 判定：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。

③性质：如果一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交

线平行。

5.两个平面的位置关系

（ 1）相交：l

（ 2）平行：

① 定义：没有公共点，记作：“∥”

② 判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，则两平面平行

③性质： a.两个平行平面与第三个平面都相交，则交线互相平行

b.平行于同一平面的两个平面平行

c.夹在两平行平面间的平行线

段相等

d.两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例

6.直线与平面所成的角：

（1）定义：直线与它在平面内的射影所成的角

（2）范围：[0, ]

2

重要定理： cos cos 1 cos 2

7.直线与平面垂直

（1）判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与平面垂直

（2）性质：

① 如果一条直线垂直于一平面，则它垂直于该平面内任何直线；

② 垂直于同一平面的两直线平行；

③ 垂直于同一直线的两平面平行。

8.三垂线定理及逆定理：

① 三垂线定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和斜线

垂直。

②三垂线逆定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线

的射影垂直。

9.两个平面垂直

（1）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直。

（2）性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直。

10.二面角

（ 1）定义：过二面角l的棱上一点O，分别在两半平面内引棱l 的垂线 OA、 OB ，则AOB 为二面角的平面角

（2）范围：[0, ]

（3）二面角的平面角构造：

①按定义，在棱上取一点O ，分别在两半平面内引棱的垂线OA、 OB ，则AOB 即是

②作一平面与二面角的棱垂直，与两半平面分别交于OA、 OB ，AOB 即是

③由三垂线逆定理，在一平面内找一点 A ，分别作 AO ⊥棱 l 于 O ， AB 垂直于另一平面

于点 B ，连结 OB ，则AOB 即是

第十章排列、组合与二项式定理

1.分类用加法： N m1m2m n分步用乘法： N m1m2m n

2.有序为排列： P n m n(n1)(n2)(n m1)n!

(n m)!

无序为组合：

m

P n m n(n1)(n2)(n m 1)n!

C n

P m m m!m!(n m)!

阶乘： P n n!n( n1)(n2) 3 2 1

n

规定： 0! 1C n01

3. 组合数的两个性质：（1） C n m C n n m（2）C n m1C n m C n m 1

4.二项式定理：

( a b) n C n0a n b0C n1 a n 1b1C n r a n r b r C n n 1 a1 b n 1C n n a 0 b n 通项： T r 1 C n r a n r b r，其中 C n r叫做第 r 1项的二项式系数。