第二章 线性时不变系统的时域分析

（1）差分方程 离散系统的基本部件有移位器（ 离散系统的基本部件有移位器（也叫做延时器 或延迟器）、相加器和倍乘器，这些基本部件 或延迟器）、相加器和倍乘器， ）、相加器和倍乘器 常用以下框图来表示： 常用以下框图来表示：
下图是一个简单的离散系统，它由一个延时器、 下图是一个简单的离散系统，它由一个延时器、 是一个简单的离散系统 一个相加器和一个倍乘器组成。 一个相加器和一个倍乘器组成。根据图中各个 部件的连接关系和各个部件的基本功能， 部件的连接关系和各个部件的基本功能，写出 该系统输入 x[n] 和输出 y[n] 之间的关系为： 之间的关系为：
重要意义： （1）零状态响应能够真实地反映系统特性； （2）系统的零状态响应可以用卷积的方法 求解。
2．零输入响应和零状态响应的求解 ．
零输入响应的求解 零输入响应的解的形式应和微分方程齐次解的 形式相同，它应是微分方程齐次解中的一部分。 如果一个 N 阶微分方程的 N 个特征根 αi 都是单 根，则零输入响应 yzi(t) 可写为：
例1-17－例1-20
2.时不变性 时不变性
时不变性的含义是，如果系统的输入在 时间上有一个平移 t0，则由其引起的响 应也产生一个同样的平移.
例1-14－例1-16
3.因果性 因果性
如果一个系统在任何时刻的输出只与系 统当前时刻的输入和过去的输入有关， 而与系统未来的输入无关，则这个系统 就是因果系统。 例1-12
1.冲激响应的特点 冲激响应的特点
y zi (t ) =
N
∑
i =1
Ci e α i t
待定系数 Ci 完全由系统的起始状态 y(k)(0-) 确定
零状态响应的求解 齐次解中剩下的一部分将和特解一起组 成系统的零状态响应 。 零状态响应有3种求解方法 （1）零状态响应＝完全响应－零输入响应； （2）利用系统从起始状态 y(k)(0-) 到初始 状态 y(k)(0+) 的跳变量y(k)(0) 来求解系 统的零状态响应 ； （3）卷积法
第二章 线性时不变系统的时域分析
学习目标： 学习目标： (1) 正确理解零输入响应、零状态响应、冲激 正确理解零输入响应、零状态响应、 响应和阶跃响应的基本概念； 响应和阶跃响应的基本概念； (2)能应用不同的方法求解零状态响应和冲激 能应用不同的方法求解零状态响应和冲激 响应； 响应； (3)掌握用冲激响应卷积求解零状态响应的原 掌握用冲激响应卷积求解零状态响应的原 理和方法 (4) 掌握用冲激响应表征系统的基本特性。 掌握用冲激响应表征系统的基本特性。
框图法就是用一个方框来表示一个系统 或子系统，而方框中的符号表示输入和 输出之间的关系 :
系统分类
线性系统和非线性系统 时不变系统和时变系统 因果系统和非因果系统 稳定系统和不稳定系统 我们主要讨论线性时不变系统。 我们主要讨论线性时不变系统。
二、系统的基本性质
系统的基本特性包括有线性、时不变性、 因果性和稳定性等 。 1.线性 1.线性 如果系统的输入和输出之间满足叠加性 和比例性，则该系统就是线性系统。 叠加性 比例性 线性系统
n
∑C e
k k =1
αkt
⑵ 如果在特征根中， 是 k 重特征根 am ， 则与 am 相对应的齐次解为:
k
∑C t
i i =1
k i
e
ai t
=0
⑶ 如果特征根中有共轭复根 α ± jβ ，则 共轭复根所对应的齐次解为:
e (C1 cos β t + C 2 sin β t )
αt
在上述三种齐次解中，Ci 是待定系数， 它的确定与特解有关。 举例2.14
一、系统的定义及表示
系统：具有特定功能的总体， 系统：具有特定功能的总体，可以看作信号 的变换器、处理器。 的变换器、处理器。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统的表示方法 （1）数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 ）数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 （2）系统框图：形象地表示其功能。 ）系统框图：形象地表示其功能。
在特征根都是单根的情况下，零状态响 应的形式为：
y zs (t ) =
N
∑
i =1
Ai eαit + B(t )
零输入响应和零状态响应的概念同样适 用于离散系统，而且，它们的求解方法 也相同。
dy(t ) + 3 y (t ) = 3u (t ) 举例：已知 dt
y(0-)=3/2，求自由响应、强迫响应、零
如果系统的起始状态y(0－)≠0，则系统的 输出 y(t) 和系统的输入 x(t) 之间就不满 足线性和时不变性。然而，只要 y(0－)=0， y(t) 和 x(t) 之间就能够满足 线性和时不变的关系。
完全响应等于零输入响应加上零状态响 应：
零输入响应：在激励信号 x(t) 为0，或者 不考虑激励信号的作用时，由系统起始 状态 y(k)(0-) 产生的响应； 零状态响应：当系统起始状态 y(k)(0-) 为 0，或者不考虑系统的起始状态时，由激 励信号 x(t) 产生的响应。
y(t)与y[n]计算结果的比较
四、零输入响应和零状态响应
1．起始状态对系统的影响 ． 用线性方程 y ( t ) = a x ( t ) + b 来描 述的系统可能不是一个线性系统！为什 么？ 如果方程中没有常数项 b ，则 y(t)=ax(t) 所描述的系统就是一个线性系统 。
将系统的响应分为两部分： （1）与激励信号无关，完全由某些“常数” 决定； （2）完全由激励信号确定。 结论：完全由激励信号确定的响应与激励 信号之间就可能满足线性关系了。 举例说明
常见激励信号的特解形式
微分方程的特解与激励信号有关，根据 不同的激励信号，特解也有不同的形式。 几种常见的激励信号，特解的形式见表 2.1所示。 特解的求解过程一般是将表2.1中和激励 信号相对应、并具有待定系数 B 的特解 代入微分方程后求出待定系数 B，这样 也就求出了特解。
微分方程的齐次解和特解求出以后， 微分方程的齐次解和特解求出以后 ， 其完全解的 形式也就确定下来了。 但是， 形式也就确定下来了 。 但是 ， 完全解中的待定系 数则需要由方程给定的初值来确定。 数则需要由方程给定的初值来确定。 为求得这些初值， 为求得这些初值 ， 我们将系统在激励信号加入前 瞬间的状态定义为系统的起始状态， 瞬间的状态定义为系统的起始状态，记为 y(k)(0-)； ； 而将系统在激励信号加入后瞬间的状态定义为系 统的初始状态， 记为y 统的初始状态 ， 记为 (k)(0+) ， 确定系统完全响应 所需要的初值是初始状态 y(k)(0+)， （ 系统的初始 ， 时刻的响应） 状态就是系统在 t=0+ 时刻的响应）。
这个常系数线性微分方程， 这个常系数线性微分方程，其完全解由 齐次解和特解两部分组成 。 齐次解是微分方程在输入为0时的齐次 齐次解是微分方程在输入为 时的齐次 方程的解（ 方程的解（式2.111） ） 而特解则是在输入的作用下满足微分方 程式(2.109) 的解。 的解。 程式
对于式(2.109)的微分方程，相应的齐次 方程为
1.连续时间 连续时间LTI系统的微分方程及其求解 连续时间 系统的微分方程及其求解 对连续时间LTI系统，如果 x(t) 为输入， y(t) 为输出，则描述输入和输出之间的 微分方程为：
∑
d y (t ) ak = k dt k =0
N
k
∑
d x(t ) bk dt k k =0
N
k
(2.109)
求解差分方程的方法有两种： （1）迭代法，也叫做递归法，这种方法易 于用计算机求解，但不易给出一个闭式 的解答。 （2）经典法，这种方法完全可以按照微 分方程的求解方式进行，其完全解也分 为齐次解和特解两部分。 例2.15
根据特征根的性质， 根据特征根的性质，差分方程的齐次解也 有以下三种形式： 有以下三种形式： ⑴ 如果特征根 α1、α2 、αn 都是单根， 则齐次解的形式为 ⑵ 如果在特征根中， αm 是 K 重特征根， 则齐次解中与 αm 相对应的有 K 项，其 形式为
数学表达式： 数学表达式：微分方程和差分方程
常用的系统描述方法是数学方程，包括 有用于连续系统的微分方程和用于离散 系统的从差分方程。 列写系统的数学方程有两条基本依据： （1）系统内部元器件或子系统的连接关系 （拓扑约束）； （2）另一条是元器件或子系统的电气特性 （性能约束）。
系统的框图表示法
y[n] ay[n 1] = x[n]
一阶差分方程
N 阶离散系统的差分方程为： 阶离散系统的差分方程为：
∑ a y[n k ] = ∑ b x[n k ]
k k k =0 k =0
N
M
(2.113)
离散系统差分方程的形式类似于连续系统的微分方 程，只不过这里用差分信号替代了微分方程中的微 分信号而已。 分信号而已。 （2）差分方程的求解 ） 对于一阶差分方程式， 对于一阶差分方程式，如果输入信号 x[n]=δ[n] ， 将如何求得呢？ 则输出信号 y[n] 将如何求得呢？
输入响应、零状态响应和完全响应。
解： 自由响应：1/2e-3t 强迫响应 ：1 3 3 t 零输入响应：y zi (t ) = e
2
y zs (t ) = 1 e 3t 零状态响应：
1 3 t y 完全响应 ： (t ) = e + 1 2
t >0
t >0
五、单位冲激响应
单位冲激响应也简称为冲激响应，常用 符号 h ( t ) 或 h [ n ] 表示 。 单位冲激响应是系统在单位冲激信号激 励下的零状态响应； 或者说，是系统在零状态的条件下对单 位冲激信号激励时的响应。
⑶ 如果特征根中有共轭复 根 α ± jβ ，则共轭复根所 对应的齐次解为