生活中的优化问题举例(公开课)
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高； 当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低．
y
从图中，你 还能看出什 么吗？
r 2 f (r ) 0.8 ( r ) 3
3
2
o
3
r
从图中可以看出: 1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0, 2、当半径为6cm时，利润最大。
[解析]
每月生产 x 吨时的利润为
1 2 f(x)＝(24200－5x )x－(50000＋200x) 1 3 ＝－5x ＋24000x－50000 (x≥0)． 3 2 由 f ′(x)＝－5x ＋24000＝0 解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)． 因 f(x)在[0，＋∞)内只有一个点 x＝200 使 f ′(x)＝0， 1 故它就是最大值点，且最大值为：f(200)＝ － 5 ×2003 ＋ 24000×200－50000＝3150000(元)
[例3]某种圆柱形的饮料罐的容积一定时, 如何确定它的高与底半径,使得所用材料 最省?
h R
解 ：设圆柱的高为h,底面半径为R.
S ( R) 2Rh 2R 2 则表面积为
V . 又V R h (定值), 则h 2 R V 2V 2 2R 2 . S ( R ) 2R 2 2R R R
x
128 dm，则版心的宽为 dm,此时四周 x
于是宽为 x
128
'
128 8 16
S ' ( x) x S <0；当 (16, )时， >0. 当x (0,16)时， ( x)
因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当 版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
解法二：由解法(一)得
512 512 8 8 2 2x S (x) 2 x x x
2 32 8 72
256 当且仅当4 x ,即x 8( x 0)时S 取最小值 x
128 此时y= 16 8
答：应使用版心宽为8dm，长为 dm，四周空白面积最小 16
2
由S ( R )
2V V 3 4R 0. 解得R . 2 R 2
V V 3 从而h 2 2 R 2
即h=2R.
可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点. 答 ：罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
练1：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报 进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴 128dm 2 , 上、下两边 的海报，要求版心面积为 各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报 的尺寸，才能使四周空心面积最小？
∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值 就是V(x)的最大值． 答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm 时，箱子的体积最大． [点评] 在解决实际应用问题中，如果函数 在区间内只有一个极值点，那么只需根据 实际意义判定是最大值还是最小值．不必 再与端点的函数值进行比较．
问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
[例 3]
某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量
x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系为 P＝24200 1 2 －5x ，且生产 x 吨的成本为 R＝50000＋200x 元．问该产 品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润 是多少？(利润＝收入－成本)．
[分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝px 月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋200x) (x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利 用导数求最大值．
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最 大利润为315万元．
[点评] 建立数学模型后，注意找准函数的定义域 ，这是此类题解答过程中极易出错的地方．
回顾总结: 利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
建立数学模型
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题
解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。
解：设版心的高为 空白面积为 : 128 512 S ( x) ( x 4)( 2) 128 2 x 8, x 0 x x 512 S ' ( x) 2 2 求导数，得 x 512 S ' ( x) 2 2 0 解得 x 16( x 16 舍去）。 令 x
• 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗? • 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
[例2]某制造商制造并出售球形瓶装饮料. 瓶子制造成本是0.8π r2分.已知每出售 1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大 半径为6cm. １）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？ ２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润 最小？
生活中的优化问题举例
-----优化问题与导数的综合应用
[例1]在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去四
个边长均为相等的小正方形，再把它的边沿虚 线折起，做成一个无盖的方底箱子，高是多少 时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
x
[分析]
根据所给几何体的体积公式建模．
[解析] 设箱高为xcm，则箱底边长为(60－ 2x)cm，则得箱子容积V是x的函数， V(x)＝(60－2x)2·x(0<x<30) ＝4x3－240x2＋3600x. ∴V′(x)＝12x2－480x＋3600， 令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去) 当0<x<10时，V′(x)>0， 当10<x<30时，V′(x)<0.
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
令
4 3 2 y f (r ) 0.2 r 0.8r 3 3 r 0.8 ( r 2 ), 0 r 6 3 2
f '( x) 0.8(r 2r ) 0 当 r 2时, f '(r ) 0 当r (0,2)时, f ' ( x) 0 当r (2,6)时, f ' ( x) 0
合集下载
生活中的优化问题举例课件
综上，当 v0≥16 时，v＝16 km/h 全程燃料费最省， 为 32 000 元；当 v0<16，即 v＝v0 时全程燃料费最省，为 1 000v20元．(12 分) v0－8
归纳升华 本题是用料最省问题．先根据特殊情况求出比例系 数，进而求出解析式，再利用导数求最值是常用方法．需 要注意的对参数的讨论．
综上每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润 为 315 万元．
归纳升华 (1)经济生活中优化问题的解法：经济生活中要分析 生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自 变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研 究、指导生产活动．
(2)关于利润问题常用的两个等量关系： ①利润＝收入－成本； ②利润＝每节产品的利润×销售件数．
2．解决优化问题的一般步骤
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)磁盘的最大存储量问题是优化问题．( ) (2)求某长方体容器的容积问题是优化问题．( ) (3)汽油的使用效率的提高问题是优化问题．( ) 解析：(1)(2)是优化问题，(3)不是优化问题．
答案： (1)√ (2)√ (3)×
答案：5
类型 1 用导数解决面积、容积最大问题(自主 研析)
[典例 1] 有一块边长为 a 的正方形铁板，现从铁板的四个 角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖 容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
解：设截下的小正方形边长为 x，容器容积为 V(x)，
则做成的长方体形无盖容器底面边长为 a－2x，高为 x， V(x)＝(a－2x)2x，0<x<a2. 即 V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，0<x<a2. 实际问题归结为求 V(x)在区间0，a2上的最大值
生活中的优化问题举例 公开课一等奖课件
又由于每条磁道上的比 特数 相同, 为获得最大存储量 , 最内 一条磁道必须装满 , 即每条磁 2 πr 道上的比特数可达到 .所 n 以, 磁盘总存储量 R r 2 πr 2 π f r r R r . m n mn
R
r
图1.4 3
1它是关于 r的二次函数 , 从函数的解析式上可
以判断,不是r越小, 磁盘的存储量越大 .
mn 2 R R R ' ' 当r 时, f r 0;当r 时, f r 0.因此,当r 2 2 2 πR 2 时, 磁盘具有最大存储量 , 最大存储量为 . 2mn
2为求f r 的最大值 ,计算f ' r 0. 2π R ' ' R 2r , 令 f r 0, 解得 r . f r
研究汽油的使用效率 单位 : L / km 就是研究汽 油消耗量与汽车行驶路 程的比值 .如果用 G表示 w 每千米平均的汽油消耗 量,那么 G , 其中, w s 表示汽油消耗量 单位 : L , s表示汽车行驶的路 程 单位 : km . 这样,求" 每千米路程的汽车消耗 量最少 " , 就是求 G的最小值问题 . 解决" 优化问题 "的途径之一是通过搜集 大量的 统计数据 , 并对数据进行整理 和分析, 建立与其 相应的函数模 型 ; 再通过研究相应函数的 性 质, 提出优化方案 , 使问题得到解决 .在这个过程中 , 导数往往是一个有力的 工具.
例2
磁盘的最大存储量问题
1 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗? 2 你知道磁盘的结构吗? 3 如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的
信息 ?
背景知识 计算机把信息存储在磁 盘上.磁盘是带 有磁性介质的圆盘 ,并由操作系统将其格式 化成磁 道和扇区 .磁道是指不同半径所构 成的同心圆轨道 , 扇区是指被圆心角分割 成扇形 R 区域.磁道上的定长的弧可作 为 r 基本存储单元 , 根据其磁化与否 可分别记录数据 0 或1, 这个基本 单元通常称为比特 bit .磁盘的 图1.4 3 构造如图 1.4 3所示. 为了保障磁盘的分辩率 , 磁道之间的宽度必须大于 m, 每比特所占用的磁道长度不得小于 n .为了数据 检索的方便, 磁盘格式化时要求要求所有磁道具有 相同的比特数.
生活中的优化问题举例 课件
生活中的优化问题举例
题型一 成本最低用料最省
例 1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处， 乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处，乙厂到 河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元与 5a 元．问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？
铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍，问如何设计使总 造价最小 ?
【解析】 设圆柱体高为 h，底面半径为 r，又设单位面积铁的 造价为 m，桶总造价为 y，则
y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．
由于 V＝πr2h，得 h＝ V . πr2
所以 y＝4mπr2＋2mr V(r＞0)．
所以 y′＝8mπr－2mr2V. 令 y′＝0，得 r＝(4Vπ)13，此时 h＝πVr2＝4(4Vπ)13.
为常数且 t∈(0，2]．
(1)求 y＝f(x)的表达式及定义域； (2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成 本，求 y 的最大值及相应的 x 值． 【解析】 (1)设 y＝f(x)＝k(a－x)x2， 当 x＝2a时，y＝a3，即 a3＝ka42·2a，所以 k＝8. 所以 f(x)＝8(a－x)x2. 因为 0<2（a－x x）≤t， 所以函数的定义域是 0<x≤2t2＋at1.
S′＝R2(2cos2θ＋cosθ－1)．
π
π
令 S′＝0，得 θ＝ 3 (0＜θ＜ 2 )．
π 由于函数在(0， 2 )内连续可导，且只有一个导数为 0 的点，
π 问题中面积的最大值显然存在．故当 θ＝ 3 时面积取最大值，最
大面积为
Smax＝R2(cosπ3 ＋1)sinπ3 ＝R2(21＋1) 23＝34 3R2.
题型一 成本最低用料最省
例 1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处， 乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处，乙厂到 河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元与 5a 元．问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？
铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍，问如何设计使总 造价最小 ?
【解析】 设圆柱体高为 h，底面半径为 r，又设单位面积铁的 造价为 m，桶总造价为 y，则
y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．
由于 V＝πr2h，得 h＝ V . πr2
所以 y＝4mπr2＋2mr V(r＞0)．
所以 y′＝8mπr－2mr2V. 令 y′＝0，得 r＝(4Vπ)13，此时 h＝πVr2＝4(4Vπ)13.
为常数且 t∈(0，2]．
(1)求 y＝f(x)的表达式及定义域； (2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成 本，求 y 的最大值及相应的 x 值． 【解析】 (1)设 y＝f(x)＝k(a－x)x2， 当 x＝2a时，y＝a3，即 a3＝ka42·2a，所以 k＝8. 所以 f(x)＝8(a－x)x2. 因为 0<2（a－x x）≤t， 所以函数的定义域是 0<x≤2t2＋at1.
S′＝R2(2cos2θ＋cosθ－1)．
π
π
令 S′＝0，得 θ＝ 3 (0＜θ＜ 2 )．
π 由于函数在(0， 2 )内连续可导，且只有一个导数为 0 的点，
π 问题中面积的最大值显然存在．故当 θ＝ 3 时面积取最大值，最
大面积为
Smax＝R2(cosπ3 ＋1)sinπ3 ＝R2(21＋1) 23＝34 3R2.
生活中的优化问题举例 课件
令 f(x)＝16(x3－6x2＋9x)， 由 f′(x)＝12(x－1)·(x－3)＝0，且 0＜x＜3，解得 x＝1. 当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0； 当 x∈(1,3)时，f′(x)＜0. 所以当 x＝1 时，f(x)取得最大值 f(1)＝23， 即 VA-BCD 取得最大值23. 故当|BD|＝1 时，三棱锥 A-BCD 的体积最大．
解：设广告牌的高和宽分别为 x cm，y cm， 则每栏的高和宽分别为 x－20，y－225，其中 x>20，y>25. 两栏面积之和为 2(x－20)·y－225＝18 000， 由此得 y＝1x8－02000＋25. 广告牌面积为 S(x)＝x1x8－02000＋25＝1x8－00200x＋25x， ∴S′(x)＝18 000x[－x－20202 －x]＋25＝－x3－60200020＋25.
∴v＝80 千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，
且 Qmin＝Q(80)＝2 0300(元).
利用导数解决利润最大问题
[例 3] 某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的 资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费 t(单位：百万元)， 可增加销售额约为－t2＋5t(单位：百万元，且 0≤t≤5)．
[类题通法] 利用导数解决优化问题的一般步骤
(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式 y＝ f(x)．
(2)求函数 f(x)的导数 f′(x)，并解方程 f′(x)＝0，即求 函数可能的极值点．
(3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函 数值的大小，得出函数 f(x)的最大值或最小值．
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例 [提出问题] 某厂家计划用一种材料生产一种盛 500 mL 溶液的圆 柱形易拉罐． 问题 1：生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？
生活中的优化问题举例 课件
练习：某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为
C, 100 4q 价格p与产量q的函数关系式为 p 25 1 q
8
求产量 q 为何值时，利润 L 最大？练习P37 T6
解：利润L pq C (25 1 q)q (100 4q)
1
q2
21q
8
100
L'
1
8
q
21,
令L
'
0,
求得q 84
一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个 正方形，要使两个正方形的面积和最小， 两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
=
s1
+ s2
=( x)2 4
+( l
- x)2 4
=
1 (2x2 16
-
2lx
+
l2
)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
类型一：求面积、容积的最大问题
例1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报 进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为128cm2,上下边各 空2cm,左右各空1cm,如何设计海报的尺寸，才 能使四周空白面积最小？
解：设版心的高为xcm,则宽为
128 cm 此时四周空白面积为
xHale Waihona Puke s(x)(
x
128 4)(
2)
128
x
=
2x
+
512 x
+
8,
x
>
0
令s'
生活中的优化问题举例 公开课课件(人教A版选修2-2)
• 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
[例2]某制造商制造并出售球形瓶装饮料. 瓶子制造成本是0.8πr2分.已知每出售 1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大 半径为6cm.
１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？
２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润 最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低．
从图中，你 还能看出什
么吗？
y
f
(r)
0.8
r3 (
r2)
3
2
o
3
r
从图中可以看出: 1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0, 2、当半径为6cm时，利润最大。
[例3]某种圆柱形的饮料罐的容积一定时, 如何确定它的高与底半径,使得所用材料 最省?
答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm 时，箱子的体积最大．
[点评] 在解决实际应用问题中，如果函数 在区间内只有一个极值点，那么只需根据 实际意义判定是最大值还是最小值．不必 再与端点的函数值进行比较．
问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
• 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗?
[点评] 建立数学模型后，注意找准函数的定义域 ，这是此类题解答过程中极易出错的地方．
回顾总结: 利用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题 建立数学模型 用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题
解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。
[例2]某制造商制造并出售球形瓶装饮料. 瓶子制造成本是0.8πr2分.已知每出售 1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大 半径为6cm.
１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？
２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润 最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低．
从图中，你 还能看出什
么吗？
y
f
(r)
0.8
r3 (
r2)
3
2
o
3
r
从图中可以看出: 1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0, 2、当半径为6cm时，利润最大。
[例3]某种圆柱形的饮料罐的容积一定时, 如何确定它的高与底半径,使得所用材料 最省?
答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm 时，箱子的体积最大．
[点评] 在解决实际应用问题中，如果函数 在区间内只有一个极值点，那么只需根据 实际意义判定是最大值还是最小值．不必 再与端点的函数值进行比较．
问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
• 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗?
[点评] 建立数学模型后，注意找准函数的定义域 ，这是此类题解答过程中极易出错的地方．
回顾总结: 利用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题 建立数学模型 用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题
解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。
课件14：1.4 生活中的优化问题举例
2．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V，则其表面积 最小时，底面边长为 ( C )
A．3 V
B．3 2V
C．3 4V
D．23 V
【解析】 如图，设底面边长为 x(x>0)，
则底面积
S＝
43x2，∴h＝VS＝
4V 3x2.
S 表＝x·43Vx2×3＋ 43x2×2＝4 x3V＋ 23x2，
S′表＝ 3x－4 x32 V，令 S′表＝0 得 x＝3 4V，
1.4 生活中的优化问题举例
情景导入 低碳生活(low-carbon life)可以理解为减少二氧化
碳的排放，就是低能量、低消耗、低开支的 生活．低碳生活节能环保，势在必行．现实 生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望 汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油 消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长．
广告的面积 S＝xy＝x1x－802000＋25＝1x8－00200x＋25x 整理得 S＝3x6－002000＋25(x－20)＋18500. 因为 x－20>0
所以 S≥2 3x6－002000＋25(x－20)＋18500＝24500. 当且仅当3x6－002000＝25(x－20)时等号成立，
又 l＝36r42－43r>0⇒r<234，所以定义域为(0,243)． (2)因为 y′＝－12r82 π＋16πr＝16π(rr23－8)， 所以令 y′>0 得 2<r<234；令 y′<0 得 0<r<2， 所以当 r＝2 时，该容器的建造费用最小为 96π 千元， 此时 l＝83.
学科核心素养 利用基本不等式处理优化问题 在解决生活中遇到的优化问题时，基本不等式在解
位：万件)的函数关系式为 y＝－31x3＋81x－234，则使该
公开课 1.4 生活中的优化问题举例(一)
1．4 生活中的优化问题举例（一）三维教学目标知识与技能：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会利用导数知识解决一些生活中简单的实际问题。
-------面积、容积最大（最小）问题.过程与方法：解决优化问题的关键是建立函数模型,再利用导数作为工具，求最值。
情感、态度与价值观：引导学生实现自我探索,培养学生的探究精神。
教学重点：利用导数知识解决一些生活中简单的优化问题。
教学难点：对一些生活中简单的优化问题建立数学模型。
教学过程：一、复习前节(一)、如何判断函数的单调性？（二）、如何求函数的极值与最值？1.求函数极值的一般步骤2.求f (x )在闭区间[a ,b ]上的最值的步骤：二、导入新课(三)、优化问题生活中经常遇到求利润最大、产量最大、用料最省、成本最低、效率最高等实际问题，这些问题通常称为优化问题。
(解决优化问题的本质就是求函数的最值。
)通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题。
三、 例题讲解例1、海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2，上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm ，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？分析：思考1：版心面积为定值128dm 2，海报的面积是否也为定值？思考2：设版心的高为x ，则海报的面积为多少？ 海报四周空白的面积为多少？思考3：设海报四周空白的面积为S (x )，则S (x )的最简表达式如何？其定义域是什么？ 思考4：如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 解法一（导数）：解法二（均值不等式）：128(4)(2)x x ++128(4)(2)128x x ++-x 512()28,0S x x x x =++>四、课堂练习练习1：将一段长为12cm 的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为多少？解法一（导数）：解法二（均值不等式）：结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。
生活中的优化问题举例 课件
取值可能引起函数最值的变化，这时要注意分类讨论．
就是最大值点，且最大值为：f(200)＝－
1 5
×2003＋24000×200
－50000＝3150000(元)
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315
万元． [方法规律总结] 利润最大、效率最高等实际问题，关键
是弄清问题的实际背景，将实际问题用函数关系表达，再求
解．
费用(用料)最省问题
由y′＝s b－va2 ＝0得v＝±
a b
，又0<v≤c，所以当v＝
bab(※)时，全程运输成本y来自小．[辨析]第(2)问中
ab b
与c未进行比较大小而直接得出结
论，故错误．
[正解]
上接错解※处，①若
ab b
≤c，则v＝
ab b
是使y的
导数为0的点，且当v∈ 0，
a b
时，y′≤0；v∈
ab，c
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小) 者为最大(小)值；
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情 况并下结论．
其基本流程是
2．面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几 何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示 为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
[解析] 如图所示，依题意，点C在直线AD上，设C点距D 点x km.
因为BD＝40，AD＝50，所以AC＝50－x. 所以BC＝ BD2＋CD2＝ x2＋402. 又设总的水管费用为y元，则 y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．
所以y′＝－3a＋
5ax x2＋402 .
生活中的优化问题举例课件
＝972(9x－5)(x－3)． 令 f′(x)＝0，解得 x＝59或 x＝3(舍去)． 当 0＜x＜59时，f′(x)＞0，当59＜x＜1 时，f′(x)＜0， 所以 x＝59时，f(x)有最大值 f 59＝20 000. 所以当 x＝59时，本年度的年利润最大，最大年利润为 20 000 万元．
生活中的优化问题举例
几何中的最值问题 [典例] 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角 各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器． 为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
[解] 设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做 成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，
y′＝2－1x228，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8. 因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0， 所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8 m，长为16 m. 即当堆料场的长为16 m，宽为8 m时，可使砌墙所用材料最省.
利润最大问题
[典例] 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成 本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆，本 年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成 本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相 应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝ (每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．
1．经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快 慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可 以利用导数来分析、研究、指导生产活动． 2．关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润＝收入－成本． (2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
[活学活用] 工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p＝