2020-2021学年数学初一培优和竞赛讲练-10-二元一次方程组解的讨论
数学竞赛】七年级数学思维探究(10)二元一次方程组(含答案)
数学竞赛】七年级数学思维探究(10)二元一次方程组(含答案)___是三国时期吴国著名的数学家，他为《周髀算经》作注，其中有一篇《勾股圆方图注》总结了我国东汉以来勾股算术的重要成果，在世界上最早给出并证明了有关直角三角形勾、股、弦三边及其和、差关系的二十多个命题。
___在《勾股圆方图注》中推导出了二次方程的求根公式。
二元一次方程组是在一元一次方程的基础上发展的。
解方程组的基本思想是“消元”，即通过消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解。
代入法和加减法是常见的消元方法。
解决未知数系数较大、方程个数较多等复杂的方程组时，常用到整体叠加、整体叠乘、换元转化、辅助引参等技巧方法。
这些技巧方法的运用是建立在对方程组系数特点的观察和对方程组整体特征的把握基础上的。
方程组的解是方程组理论中的一个重要概念。
代解法、求解法是处理方程组的解的基本方法。
对于含有字母系数的二元一次方程组，可进一步探究解的个数、解的特征。
基本思路是在消元的基础上，把方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论。
已知方程组 $\begin{cases} ax+by=-16 \\ x=8\end{cases}$ 的解应为 $\begin{cases} cx+20y=-224 \\ y=-10\end{cases}$。
试将相应的解代入原方程组，先求出$a$、$b$、$c$ 的值。
然后求 $a^2+b^2+c^2$ 的值。
关于二元一次方程组 $\begin{cases} x+ay+1=y \\ bx-2y+1=0 \end{cases}$，有无整数解，则$a$、$b$ 的值为（）。
解下列方程组：begin{cases} 23x+17y=63 \\ x-16y-3=0 \end{cases}$。
begin{cases} 17x+23y=57 \\ 2x-22y-1=0 \end{cases}$。
begin{cases} x_1+x_2=x_2+x_3=x_3+x_4=。
苏科版数学七年级下册第十章《二元一次方程组》实际应用培优专练习(四)(附答案)
2020-2021学年七年级下册第十章《二元一次方程组》实际应用培优专练习（四）1．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是我市的电价标准（每月）．（1）已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．（2）7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量．阶梯电量x（单位：度）电费价格一档0＜x≤180 a元/度二档180＜x≤350 b元/度三档x＞350 0.9元/度2．我区某中学积极响应国家号召，落实垃圾“分类回收，科学处理”的政策，准备购买A、B两种型号的垃圾分类回收箱共20只，放在校园各个合适位置，以方便师生进行垃圾分类投放．若购买A型14只，B型6只，学校共支付费用4240元；若购买A型8只，B 型12只，学校共支付费用4480元．求A型、B型垃圾分类回收箱的单价．3．节约用水和合理开发利用水资源是每个公民应尽的责任和义务，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段引导市民节约用水．某城市实行阶梯水价，月用水量在6吨以内按正常收费，超出部分则收较高水费，该市某户居民今年2月份用水9吨，交水费27元；3月份用水11吨，交水费37元，请回答下列问题．（1）每月在6吨以内的水费每吨多少元？每月超出6吨部分的水费每吨多少元？（2）某户居民4月份用水x吨，请用含有x的代数式表示该户居民4月份应交的水费．4．杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？（2）若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人（a＞n），使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求n的值．5．为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元，如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？6．某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，5个福娃2枚徽章145元，10个福娃3枚徽章280元（5个福娃为1套），则：（1）一套“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？（2）买5套“福娃”玩具和10枚徽章共需要多少元？7．某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了黑白两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：批发价（元）零售价（元）黑色文化衫25 45白色文化衫20 35 （1）学校购进黑、白文化衫各几件？（2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．8．某商店决定购进A、B两种纪念品出售，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要215元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品10件，需要205元．（1）求A、B两种纪念品的购进单价；（2）已知商店购进两种纪念品（A、B都要有）共花费750元，那么该商店购进这A、B两种纪念品有几种可行的方案，并写出具体的购买方案．9．某商场出售A、B两种型号的自行车，已知购买1辆A型号自行车比1辆B型号自行车少20元，购买2辆A型号自行车与3辆B型号自行车共需560元，求A、B两种型号自行车的购买价各是多少元？10．某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？参考答案1．解：（1）依题意得：，解得：．答：a的值为0.6，b的值为0.7．（2）若一个月用电量为350度，电费为180×0.6+（350﹣180）×0.7＝227（元），∵285.5＞227，∴小明家7月份用电量超过350度．设小明家7月份用电量为x度，依题意得：180×0.6+（350﹣180）×0.7+（x﹣350）×0.9＝285.5，解得：x＝415．答：小明家7月份的用电量为415度．2．解：设A型垃圾分类回收箱的单价为x元/只，B型垃圾分类回收箱的单价为y元/只，依题意，得：，解得：，答：A型垃圾分类回收箱的单价为200元/只；B型垃圾分类回收箱的单价为240元/只．3．解：（1）设该市居民用水基本价格为a元/吨，超过6吨部分的价格为b元/吨，根据题意，得，解这个方程组，得．答：该市居民用水基本价格为2元/吨，超过6吨部分的价格为5元/吨．（2）①当x≤6时，该户居民4月份应交的水费为2x元．②当x＞6时，该户居民4月份应交的水费为：2×6+5（x﹣6）＝5x﹣18（元）．综上所述，该户居民4月份应交的水费是2x元或（5x﹣18）元．4．解：（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意得：，解得：．答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．（2）根据题意得：30×（8n+12a）×（1﹣5%）＝5700，整理得：n＝25﹣a，∵n，a均为正整数，且n＜a，∴，，．∴n的值为1或4或7．5．解：设每盒羊角春牌绿茶需要x元，每盒九孔牌藕粉需要y元，依题意，得：，解得：．答：每盒羊角春牌绿茶需要120元，每盒九孔牌藕粉需要60元．6．解：（1）设一套“福娃”玩具的价格为x元，一枚徽章的价格为y元，依题意，得：，解得：．答：一套“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元．（2）125×5+10×10＝725（元）．答：买5套“福娃”玩具和10枚徽章共需要725元．7．解：（1）设学校购进黑文化衫x件，白文化衫y件，依题意，得：，解得：．答：学校购进黑文化衫160件，白文化衫40件．（2）（45﹣25）×160+（35﹣20）×40＝3800（元）．答：该校这次义卖活动共获得3800元利润．8．解：（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A种纪念品的购进单价为15元，B种纪念品的购进单价为13元．（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，依题意，得：15m+13n＝750，∴m＝50﹣n．∵m，n均为正整数，∴n为15的倍数，∴或或，∴该商店共有3种进货方案，方案1：购进37件A种纪念品，15件B种纪念品；方案2：购进24件A种纪念品，30件B种纪念品；方案3：购进11件A种纪念品，45件B 种纪念品．9．解：设A型号自行车的购买价为x元，B型号自行车的购买价为y元，依题意，得：，解得：．答：A型号自行车的购买价为100元，B型号自行车的购买价为120元．10．解：设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，依题意，得：，解得：．答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．。
2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典 专题2
专题2.7平行线的性质与判定（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共20小题）1．（2020秋•长春期末）如图，∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．在下列解答中，填空：证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．∵∠P＝∠Q（已知），∴PB∥（CQ）（内错角相等，两直线平行）．∴∠PBC＝（∠BCQ）（两直线平行，内错角相等）．∵∠1＝∠ABC﹣（∠PBC），∠2＝∠BCD﹣（∠BCQ），∴∠1＝∠2（等量代换）．【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．【解析】证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．∵∠P＝∠Q（已知），∴PB∥（CQ）（内错角相等，两直线平行）．∴∠PBC＝（∠BCQ）（两直线平行，内错角相等）．∵∠1＝∠ABC﹣（∠PBC），∠2＝∠BCD﹣（∠BCQ），∴∠1＝∠2（等量代换）．故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CQ，内错角相等，两直线平行；∠BCQ；∠PBC；∠BCQ．2．（2020秋•松北区期末）完成下面的证明：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD＝∠CED，连接BE交DF于点G，求证：∠EGF+∠AEG＝180°．证明：∵DE∥AB（已知），∴∠A＝∠CED（两直线平行，同位角相等）又∵∠BFD＝∠CED（已知），∴∠A＝∠BFD（等量代换）∴DF∥AE（同位角相等，两直线平行）∴∠EGF+∠AEG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）【分析】依据两直线平行，同位角相等以及等量代换，即可得到∠A＝∠BFD，再根据同位角相等，两直线平行，即可得出DF∥AF，进而得出∠EGF+∠AEG＝180°．【解析】证明：∵DE∥AB（已知），∴∠A＝∠CED（两直线平行，同位角相等）又∵∠BFD＝∠CED（已知），∴∠A＝∠BFD（等量代换）∴DF∥AE（同位角相等，两直线平行）∴∠EGF+∠AEG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．3．（2020春•丰润区期中）完成下面的证明：已知：如图，∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B．求证：∠1＝∠2．证明：∵∠AED＝∠C（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠B+∠BDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠DEF＝∠B（已知），∴∠DEF+∠BDE＝180°（等量代换），∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．【分析】先判断出DE∥BC得出∠B+∠BDE＝180°，再等量代换，即可判断出EF∥AB即可．【解析】∵∠AED＝∠C（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠B+∠BDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠DEF＝∠B（已知），∴∠DEF+∠BDE＝180°（等量代换），∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行），∴∠1＝∠2 （两直线平行，内错角相等）．故答案为：DE；BC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；EF；AB；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．4．（2020秋•昌图县期末）如图，MN，EF分别表示两面镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经过镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，且AB∥CD．求证：MN∥EF．【分析】先由平行线的性质得∠ABC＝∠BCD，再由平角定义和已知进而得∠2＝∠3，即可得出结论．【解析】证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠1+∠ABC+∠2＝∠3+∠BCD+∠4＝180°，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＝∠3，∴MN∥EF．5．（2019秋•埇桥区期末）如图，一条直线分别与直线AF、直线DF、直线AE、直线CE相交于点B，H，G，D且∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：∠B＝∠C．【分析】由∠1＝∠2利用“内错角相等，两直线平行”可得出AE∥DF，由AE∥DF利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠AEC＝∠D，结合∠A＝∠D可得出∠AEC＝∠A，利用“内错角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，再利用“两直线平行，内错角相等”可证出∠B＝∠C．【解析】证明：∵∠1＝∠2，∴AE∥DF，∴∠AEC＝∠D．又∵∠A＝∠D，∴∠AEC＝∠A，∴AB∥CD，∴∠B＝∠C．6．（2019秋•上蔡县期末）如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°，（1）求证：DG∥AB；（2）若DG是∠ADC的角平分线，∠1＝30°，求∠B的度数．【分析】（1）根据平行线的性质定理以及判定定理即可解答；（2）根据角平分线的定义以及平行线的性质定理即可求解．【解析】（1）证明：∵AD∥EF（已知），∴∠2+∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠1＝∠BAD（同角的补角相等），∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）；（2）∵DG是∠ADC的角平分线，∴∠GDC＝∠1＝30°，又∵DG∥AB，∴∠B＝∠GDC＝30°．7．（2019秋•泉州期末）如图，AD⊥BC于D点，EF⊥BC于F点，∠ADG＝35°，∠C＝55°．（1）证明：DG∥AC；（2）证明：∠FEC＝∠ADG．【分析】（1）依据题意得出∠BDG＝∠C，即可得出DG∥AC；（2）依据平行线的性质即可得到∠CEF＝∠CAD，∠ADG＝∠CAD，进而得到∠FEC＝∠ADG．【解析】证明：（1）∵AD⊥BC于D点，∠ADG＝35°，∴∠BDG＝90°﹣35°＝55°，又∵∠C＝55°，∴∠BDG＝∠C，∴DG∥AC；（2）∵AD⊥BC于D点，EF⊥BC于F点，∴AD∥EF，∴∠CEF＝∠CAD，又∵DG∥AC，∴∠ADG＝∠CAD，∴∠FEC＝∠ADG．8．（2019秋•乐至县期末）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠B；（1）求证：EF∥AB；（2）求证：DE∥BC；（3）若∠C＝80°，求∠AED的度数．【分析】（1）根据∠1＝∠2，即可得∠EF∥AB；（2）根据（1）的结论可得∠3＝∠ADE，由已知∠3＝∠B，等量代换后即可证明DE∥BC；（3）根据∠C＝80°，即可求∠AED的度数．【解析】（1）证明：∵∠1＝∠2，∴EF∥AB；（2）∵EF∥AB，∴∠3＝∠ADE，∵∠3＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC；（3）∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∵∠C＝80°，∴∠AED＝80°．9．（2020春•单县期末）已知：如图EF∥CD，∠1+∠2＝180°．（1）试说明GD∥CA；（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．【分析】（1）利用同旁内角互补，说明GD∥CA；（2）由GD∥CA，得∠A＝∠GDB＝∠2＝40°＝∠ACD，由角平分线的性质可求得∠ACB的度数．【解析】（1）∵EF∥CD∴∠1+∠ECD＝180°又∵∠1+∠2＝180°∴∠2＝∠ECD∴GD∥CA（2）由（1）得：GD∥CA，∴∠BDG＝∠A＝40°，∠ACD＝∠2，∵DG平分∠CDB，∴∠2＝∠BDG＝40°，∴∠ACD＝∠2＝40°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD＝80°．10．（2020春•溧阳市期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，EF∥AD，分别交AB、BC于点E、F，DG平分∠ADC，交AC于点G，∠1+∠2＝180°．（1）求证：DG∥AB；（2）若∠B＝32°，求∠ADC的度数．【分析】（1）由平行线的性质和∠1+∠2＝180°，可推出DG∥AB；（2）由（1）的结论和DG平分∠ADC，可得结论．【解析】（1）证明：∵EF∥AD，∴∠2+∠3＝180°．∵∠1+∠2＝180°．∴∠1＝∠3．∴DG∥AB；（2）∵DG平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠1＝2∠4．由（1）知DG∥AB，∴∠4＝∠B＝32°，∴∠ADC＝2∠4＝64°．11．（2019秋•万州区期末）如图，∠AEM+∠CDN＝180°，EC平分∠AEF．若∠EFC＝62°，求∠C的度数．根据提示将解题过程补充完整．解：∵∠CDM+∠CDN＝180°（平角），又∵∠AEM+∠CDN＝180°（已知），∴∠AEM＝∠CDM∴AB∥CD，（同位角相等，两直线平行）∴∠AEF+（∠EFC）＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）∵∠EFC＝62°，∴∠AEF＝（118°）∵EC平分∠AEF，∴∠AEC＝（59°）．（角平分线的定义）∵AB∥CD，∴∠C＝∠AEC＝（59°）（两直线平行，内错角相等）【分析】根据同角的补角相等可得出∠AEM＝∠CDM，利用“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，由“两直线平行，同旁内角互补”及∠EFC＝62°可求出∠AEF＝118°，结合角平分线的定义可求出∠AEC的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠C的度数．【解析】∵∠CDM+∠CDN＝180°（平角），又∵∠AEM+∠CDN＝180°（已知），∴∠AEM＝∠CDM（同角的补角相等），∴AB∥CD，（同位角相等，两直线平行）∴∠AEF+（∠EFC）＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）∵∠EFC＝62°，∴∠AEF＝（118°）∵EC平分∠AEF，∴∠AEC＝（59°）．（角平分线的定义）∵AB∥CD，∴∠C＝∠AEC＝（59°）（两直线平行，内错角相等）．故答案为：同位角相等，两直线平行；∠EFC；118°；59°；59°．12．（2020春•润州区期末）结合图形填空：已知：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F．证明：∵∠1＝∠2（已知），又∠1＝∠DMN（对顶角相等），∴∠2＝∠DMN（等量代换），∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），∴∠DBC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．又∵∠C＝∠D（已知），∴∠DBC+∠D＝180°（等量代换），∴DF∥AC（同旁内角互补，两直线平行），∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．【分析】由∠1＝∠2及∠1＝∠DMN可得出∠2＝∠DMN，利用“同位角相等，两直线平行”可得出DB ∥EC，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出∠DBC+∠C＝180°，结合∠C＝∠D可得出∠DBC+∠D＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得出DF∥AC，再利用“两直线平行，内错角相等”即可证出∠A＝∠F．【解析】证明：∵∠1＝∠2（已知），又∠1＝∠DMN（对顶角相等），∴∠2＝∠DMN（等量代换），∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），∴∠DBC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．又∵∠C＝∠D（已知），∴∠DBC+∠D＝180°（等量代换），∴DF∥AC（同旁内角互补，两直线平行），∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．故答案为：对顶角相等；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．13．（2020秋•文山市期末）如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．【分析】推出EF∥BC，根据平行线性质求出∠ACB，求出∠FCB，根据角平分线求出∠ECB，根据平行线的性质推出∠FEC＝∠ECB，代入即可．【解析】∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∴∠ACB+∠DAC＝180°，∵∠DAC＝120°，∴∠ACB＝60°，又∵∠ACF＝20°，∴∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，∵CE平分∠BCF，∴∠BCE＝20°，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠ECB，∴∠FEC＝20°．14．（2019春•桥西区校级期中）已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，延长BC至点E，连接AE交CD于点F，使∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝∠CFE（1）求证：∠BAF＝∠CAD；（2）求证：AD∥BE；（3）若BF平分∠ABC，请写出∠AFB与∠CAF的数量关系2∠AFB+∠CAF＝180°．（不需证明）【分析】（1）根据∠BAC＝∠DAE，运用等式性质即可得出∠BAC+∠CAF＝∠DAE+∠CAF，进而得到∠BAF＝∠CAD；（2）根据∠BAC＝∠DAF，∠ACB＝∠CFE＝∠AFD，可得∠B＝∠D，最后根据∠B+∠BCD＝180°，可得∠D+∠BCD＝180°，进而判定AD∥BE；（3）根据AD∥BE，可得∠E＝∠1＝∠2，再根据BF平分∠ABC，可得∠3＝∠4，根据∠AFB是△BEF 的外角，得出∠AFB＝∠4+∠E＝∠4+∠1，即∠AFB＝3+∠2，最后根据AD∥BC，得到∠ABC+∠BAD ＝180°，进而得到2∠AFB+∠CAF＝180°．【解析】（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAF＝∠DAE+∠CAF，∴∠BAF＝∠CAD；（2）∵∠BAC＝∠DAF，∠ACB＝∠CFE＝∠AFD，∴∠B＝∠D，∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∴∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥BE；（3）如图2，∵AD∥BE，∴∠E＝∠1＝∠2，∵BF平分∠ABC，∴∠3＝∠4，∵∠AFB是△BEF的外角，∴∠AFB＝∠4+∠E＝∠4+∠1，∴∠AFB＝3+∠2，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2＝180°，即2∠AFB+∠CAF＝180°．故答案为：2∠AFB+∠CAF＝180°．15．（2020秋•南岗区期末）已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N∠FGN，求∠MHG的度数．【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；（2）如图2，过点M作MR∥AB，可得AB∥CD∥MR．进而可以证明；（3）如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，过点N作HT∥GN，可得∠MHT ＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，进而可得结论．【解析】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．∴∠BGF+∠DHE＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠EGF＝∠AEG+∠GFC；（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射线GH是∠BGM的平分线，∴，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵，∴，∴∠FGN＝2β，过点N作HT∥GN，则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，∠CGH＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CGH＝180°，∴90°+α+2α+3β＝180°，∴α+β＝30°，∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．16．（2020春•汉阳区校级期中）（1）如图1，AB∥CD，点M为直线AB，CD所确定的平面内的一点，若∠A＝105°+α，∠M＝108°﹣α，请直接写出∠C的度数147°；（2）如图2，AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点，点E在直线CD上，AN平分∠P AB，射线AN的反向延长线交∠PCE的平分线于M，若∠P＝30°，求∠AMC的度数；（3）如图3，点P与直线AB，CD在同一平面内，AN平分∠P AB，射线AN的反向延长线交∠PCD的平分线于M，若∠AMC＝180°∠P，求证：AB∥CD．【分析】（1）直接添加辅助线AC，结合三角形内角和以及平行线的性质即可求解；（2）延长BA与CP交于Q，根据AN平分∠P AB，用含有∠BAN的式子表示∠MHC，再由AB∥CD，得到∠ECQ＝∠CQA＝210°﹣2∠BAN，通过CM平分∠PCE，得到∠MCH可以用含有∠BAN的式子表示，最后利用三角形内角和即可求出答案；（3）添加辅助线AC，证明∠BAC+∠DAC＝180°，就得到了AB∥CD．【解析】（1）如图1，连接AC，在△AMC中，∠AMC+∠MAC+∠MCA＝180°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠BAM+∠M+∠MCD＝180°+180°＝360°，∵∠BAM＝105°+α，∠M＝108°﹣α，∴∠MCD＝360°﹣[105°+α+（108°﹣α）]＝147°，故答案为：147°；（2）如图2，延长BA与CP交于点Q，CQ与AM交于点H，∵AN平分∠P AB，∴∠BAN＝∠P AN，∴∠QAP＝180°﹣2∠BAN，∵∠P＝30°，∴∠CQA＝∠P+∠QAP＝30°+180°﹣2∠BAN＝210﹣2∠BAN，∠MHC＝∠NHP＝∠NAP﹣∠P＝∠BAN﹣30°，∵AB∥CD，∴∠ECQ＝∠CQA＝210°﹣2∠BAN，∵CM平分∠PCE，∴∠MCH∠ECP（210°﹣2∠BAN）＝105°﹣∠BAN，∵∠AMC＝180°﹣∠MHC﹣∠MCH，∴∠AMC＝180°﹣（∠BAN﹣30°）﹣（105°﹣∠BAN）＝105°；（3）如图3，连接AC，则∠P AC+∠PCA＝180°﹣∠P，∠MAC+∠MCA＝180°﹣∠M，∵∠AMC＝180°∠D，∴∠MAC+∠MCA∠P，∴∠MAC+∠MCA+∠P AC+∠P A＝180°∠P，即∠P AM+∠PCM＝180°∠P，∵AN平分∠P AB，MC平分∠PCD，∴∠BAM＝∠P AM，∠DCM＝∠PCM，∴∠BAM+∠DCM＝180°∠P，∴∠BCA+∠DCA＝180°180°，∴AB∥CD．17．（2020春•黄陂区期末）如图，直线AB与CD交于点F，锐角∠CDE＝α，∠AFC+α＝180°．（1）求证：AB∥DE；（2）若G为直线AB（不与点F重合）上一点，∠FDG与∠DGB的角平分线所在的直线交于点P．①如图2，α＝50°，G为FB上一点，请补齐图形并求∠DPG的度数；②直接写出∠DPG的度数为90°（结果用含α的式子表示）．【分析】（1）利用邻补角的意义，得出∠D＝∠AFD，根据内错角相等，两直线平行即可得结论；（2）①根据题意画出图形结合（1）即可求出∠DPG的度数；②结合①即可写出∠DPG的度数．【解析】（1）证明：∵∠AFC+∠AFD＝180°，∠AFC+α＝180°，∴∠AFD＝α＝∠CDE，∴AB∥DE；（2）解：①如图即为补齐的图形，∵∠FDG与∠DGB的角平分线所在的直线交于点P，∴∠FDG＝2∠FDP＝2∠GDP，∠DGB＝2∠DGQ＝2∠BGQ，由（1）知AB∥DE，∴∠DFB＝180°﹣α＝180°﹣50°＝130°，∵∠DGB＝∠FDG+∠DFG，∴2∠DGQ＝2∠GDP+130°，∴∠DGQ＝∠GDP+65°，∵∠DGQ＝∠GDP+∠DPG，∴∠DPG＝65°；②由①知∠DPG DFB（180°﹣α）＝90°．故答案为：90°．18．（2020秋•南岗区期中）已知，AE∥BD，∠A＝∠D．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论；（2）过点E作EP∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EP，设∠F AB＝α，∠CFH＝β，根据平行线的判定与性质和角平分线定义，可得∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；（3）延长DC至点Q，过点M作MN∥AB，结合（2）问可得∠EAF+∠GMH的度数．【解析】（1）证明：∵AE∥BD，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠D，∴∠D+∠B＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，过点E作EP∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EP，∴∠PEA＝∠EAB，∠PEC＝∠ECF，∵∠AEC＝∠PEC﹣∠PEA，∴∠AEC＝∠ECF﹣∠EAB，即∠ECF＝∠AEC+∠EAB，∵AF是∠BAE的平分线，∴∠EAF＝∠F AB EAB，∵FH是∠CFG的平分线，∴∠CFH＝∠HFG CFG，∵CD∥AB，∴∠BHF＝∠CFH，∠CF A＝∠F AB，设∠F AB＝α，∠CFH＝β，∵∠AFH＝∠CFH﹣∠CF A＝∠CFH﹣∠F AB，∴∠AFH＝β﹣α，∠BHF＝∠CFH＝β，∴∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+∠EAB+2∠AFH＝∠AEC+2α+2（β﹣α）＝∠AEC+2β，∴∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；（3）解：如图，延长DC至点Q，∵AB∥CD，∴∠QCA＝∠CAB，∠BGM＝∠DFG，∠CFH＝∠BHF，∠CF A＝∠F AG，∵∠ACE＝∠BAC+∠BGM，∴∠ECQ+∠QCA＝∠BAC+∠BGM，∴∠ECQ＝∠BGM＝∠DFG，∵∠ECQ+∠ECD＝180°，∠DFG+∠CFG＝180°，∴∠ECF＝∠CFG，由（2）问知：∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+2∠BHF，∠CFG＝2∠CFH＝2∠BHF，∴∠AEC＝2∠AFH，∵2∠AEC﹣3∠AFH＝20°，∴∠AFH＝20°，由（2）问知：∠CFM＝2β，∠FHG＝β，∵FH⊥HM，∴∠FHM＝90°，∴∠GHM＝90°﹣β，过点M作MN∥AB，∴MN∥CD，∴∠CFM+∠NMF＝180°，∠GHM＝∠HMN＝90°﹣β，∴∠HMB＝∠HMN＝90°﹣β，由（2）问知：∠EAF＝∠F AB，∴∠EAF＝∠CF A＝∠CFH﹣∠AFH＝β﹣20°，∴∠EAF+∠GMH＝β﹣20°+90°﹣β＝70°，∴∠EAF+∠GMH＝70°．19．（2020春•汉阳区期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；（2）若∠C＝63°，求∠DEC的度数．【分析】（1）根据平行线的判定得出AB∥EF，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠3，求出∠ADE＝∠B，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质得出∠C+∠DEC＝180°，即可求出答案．【解析】（1）DE∥BC．理由：∵∠1+∠2＝180°，∴AB∥EF，∴∠ADE＝∠3，∵∠B＝∠3，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC；（2）∵DE∥BC，∴∠C+∠DEC＝180°，∵∠C＝63°，∴∠DEC＝117°．20．（2020秋•南岗区期中）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠CEA＝∠BAE，根据平行线的判定得出即可；（2）过F作FM∥AB，求出AB∥FM∥CD，根据平行线的性质得出∠BAF+∠AFE＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，即可求出答案；（3）设∠GEF＝∠C＝x°，求出∠GED＝2x°，根据平行线的性质得出∠BAC＝180°﹣x°，根据角平分线的定义得出∠BAE BAC＝90°x°，根据平行线的性质得出∠BAE+∠AED＝180°，得出方程90x+x﹣35+2x＝180，求出x即可．【解析】（1）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠BAE，∴AB∥CD；（2）证明：过F作FM∥AB，如图，∵AB∥CD，∴AB∥FM∥CD，∴∠BAF+∠AFE＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；（3）解：设∠GEF＝∠C＝x°，∵∠GEF＝∠C，∠GED＝2∠GEF，∴∠GED＝2x°，∵AB∥CD，∴∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣x°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE BAC（180°﹣x°）＝90°x°，由（1）知：AB∥CD，∴∠BAE+∠AED＝180°，∵∠AEF＝35°，∴90x+x﹣35+2x＝180，解得：x＝50，即∠C＝50°．。
2020—2021年湘教版七年级数学下册《二元一次方程组的解法》同步练习题及参考答案二.docx
新课标 2017-2018学年湘教版七年级数学下册第2课时 加减消元法（2）要点感知 __________和__________是解二元一次方程组的两种方法，它们都是通过__________其中一个未知数（消元），使二元一次方程组转化为__________，从而__________，只是消元的方法不同.可以根据方程组的具体情况灵活选择适合它的消元方法.预习练习1-1 解以下两个方程组：①21,758;y x x y =-+=⎧⎨⎩ ②8625,17648,s t s t +=-=⎧⎨⎩较为简便的方法是( )A ．①②均用代入法B ．①②均用加减法C ．①用代入法，②用加减法D ．①用加减法，②用代入法1-2 解方程组323,5 2.x y x y -=--=⎧⎨⎩①② （1）若用代入法解，可把②变形，得y=__________，代入①，得__________；（2）若用加减法解，可把②×2，把两个方程的两边分别__________，得到的一元一次方程是__________.知识点1 用适当的方法解二元一次方程组1.用代入法解方程组1,24y x x y =--=⎧⎨⎩时，代入正确的是( ) A.x-2-x=4 B.x-2-2x=4 C.x-2+2x=4D.x-2+x=42.解方程组①2,359;x y x y =-=⎧⎨⎩②427,3210;x y x y -=+=⎧⎨⎩ ③0,341;x y x y +=-=⎧⎨⎩④459,237.x y x y +=-=⎧⎨⎩比较适宜的方法是( ) A ．①②用代入法，③④用加减法B ．②③用代入法，①④用加减法C ．①③用代入法，②④用加减法D ．②④用代入法，①③用加减法3.方程组326,254,x y x y -⎨=-=⎧⎩①②将①×2-②×3得( )A.3y=2B.4y+1=0C.y=0D.7y=104.同时满足方程23x+12y=1与3x+2y=5的解是( )A.x=2,y=3B.x=-3,y=4C.x=3,y=-2D.x=-3,y=-25.已知x 、y 满足方程组25,24,x y x y +=+=⎧⎨⎩则x-y 的值是__________.知识点2 利用二元一次方程组求未知系数6.在等式y=mx+n 中，当x=2时，y=1，当x=3时，y=3，则m ，n 的值为( )A.m=2，n=-3B.m=-2，n=-3C.m=2，n=3D.m=-2，n=37.若方程mx+ny=6的两个解是1,1,x y ==⎧⎨⎩2,1,x y ==-⎧⎨⎩则m ，n 的值为( )A.4,2B.2,4C.-4,-2D.-2,-48.如果二元一次方程组1,3223ax by ax by -=+=⎧⎨⎩的解是5,4.x y ==⎧⎨⎩那么a-b=__________.9.解方程组:(1)23,511;y x x y =-+=⎧⎨⎩①② (2)3416,5633;x y x y +=⎨=-⎧⎩①② (3)12,43230.y x x y -+=+⎧+⎪⎩=⎪⎨①②10.已知2,1x y ==⎧⎨⎩是方程组5,1ax by bx ay +=+=⎧⎨⎩的解，则a-b 的值是( )A.-1B.2C.3D.411.解方程组①3,252;y x x y =-=⎧⎨⎩②236,251;x y x y -=-=⎧⎨⎩③328,322;x y x y +=-=-⎧⎨⎩④,27 3.x y x y =--=-⎧⎨⎩方程组__________适宜用代入消元法，__________适宜用加减消元法.12.解方程组：(1)()()221,2215;x y x y -=--+-=⎧⎪⎨⎪⎩①② (2)13,2323.342x y x y ⎧⎪⎪⎨+=-=⎪⎪⎩①②13.若方程组,ax y b x by a +=-=⎧⎨⎩的解是1,1,x y ==⎧⎨⎩求(a+b)2-（a-b)(a+b)的值.14.对于有理数，规定新运算：x*y=ax+by+xy ，其中a ，b 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知2*1=7，(-3)*3=3，求13*6的值.挑战自我15.阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组191817,171615x y x y +⎨=+=⎧⎩①②时，我们如果直接考虑消元，那将是繁不胜繁的，而采用下面的解法则是轻而易举的.解：①-②得，2x+2y=2，所以x+y=1.③将③×16，得16x+16y=16.④②-④，得x=-1，从而由③，得y=2.所以方程组的解是1,2.x y =-=⎧⎨⎩(1)请用上述的方法解方程组201420132012,201220112010;x y x y +=+=⎧⎨⎩(2)猜想关于x ，y 的方程组()()()21,12a x a y a ax a y a +++=+-=-⎧⎪⎨⎪⎩的解是什么？参考答案要点感知 加减消元法 代入消元法 消去 一元一次方程 求解 预习练习1-1 C1-2 (1)5x-2 3x-2（5x-2）=-3(2)相减 7x=7或-7x=-71.C2.C3.C4.C5.-16.A7.A8.09.(1)2,1.x y ==⎧⎨⎩ (2)6,1.2x y ==-⎧⎪⎨⎪⎩ (3)2,1.x y =-=⎧⎨⎩10.D 11.①④②③12.(1)把①代入②，得4（y-1）+y-1=5，解得y=2.把y=2代入①，得x-2=2×（2-1），解得x=4.故此方程组的解为4,2.x y ==⎧⎨⎩ (2)原方程组可化为3239,4318.x y x y +=⎨=-⎧⎩③④③×3+④×2，得17x=153，解得x=9.把x=9代入④，得36-3y=18，解得y=6.故此方程组的解为9,6.x y ==⎧⎨⎩ 13.解法1:把1,1x y ==⎧⎨⎩代入方程组,ax y b x by a +=-=⎧⎨⎩得1,1,a b b a +=-=⎧⎨⎩解得0,1.a b ==⎧⎨⎩ 把a=0,b=1代入(a+b)2-(a-b)(a+b),得原式=(0+1)2-(0-1)(0+1)=1-(-1)×1=2.解法2:把1,1x y ==⎧⎨⎩代入方程组,ax y b x by a +=-=⎧⎨⎩得1,1,a b b a +=-=⎧⎨⎩ 整理得1,1.a b a b -=-+=⎧⎨⎩由1,1.a b a b -=-+=⎧⎨⎩得(a+b)2-(a-b)(a+b)=12-(-1)×1=2. 14.由2*1=7得2a+b+2=7.①,由(-3)*3=3得-3a+3b-9=3.②,由①②得关于a 和b的方程组为：25,4.a b a b +=-=-⎧⎨⎩解得1,313.3a b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩ 所以13*6=13×13+133×6+13×6=2819. 15.(1)201420132012,201220112010.x y x y +=⎨=+⎧⎩①② ①-②得，2x+2y=2，即x+y=1.③将③×2 011，得2 011x+2 011y=2 011，④②-④，得x=-1.把x=-1代入③,得y=2.所以方程组的解是1,2.x y =-=⎧⎨⎩ (2)根据系数的特点猜想关于x ，y 的方程组()()()21,12a x a y a ax a y a +++=+-=-⎧⎪⎨⎪⎩的解是1,2.x y =-=⎧⎨⎩。
人教版数学七年级培优竞赛讲练教程(10)二元一次方程组解的讨论
2021年人教版数学七年级培优和竞赛二合一讲练教程（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：1．当212121c c b b a a 时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效）①当212121c c b b a a 时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1"`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可2．按二元一次方程整数解的求法进行。
求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再3．解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）【分类解析】例1. 选择一组a,c 值使方程组c y ax y x 275有无数多解， ②无解， ③有唯一的解①解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。
当 5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。
②解得a=10, c"`14。
③当 5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解，即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组得23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是6311051 a 答：当a 的取值为6311051 a 时，原方程组的解是正数。
例3. m 取何整数值时，方程组1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。
《第8章二元一次方程组》期末复习培优提升训练2020-2021学年人教版七年级数学下册
2021年人教版七年级数学下册《第8章二元一次方程组》期末复习培优提升训练（附答案）1．方程（m﹣2021）x|m|﹣2020+（n+3）y|n|﹣2＝2022是关于x、y的二元一次方程，则（）A．m＝±2021；n＝±3B．m＝2021，n＝3C．m＝﹣2021，n＝﹣3D．m＝﹣2021，n＝32．若，是方程ax+by＝6的两组解，则a、b的值为（）A．4，2B．2，4C．﹣4，﹣2D．﹣2，﹣43．由x+2y＝1得到用x的代数式表示y的式子为（）A．x＝1﹣2y B．x＝1+2y C．y＝（1﹣x）D．y＝（1+x）4．某人带了100元去市场买水果，他买了1千克的哈密瓜，2千克的青提葡萄，还剩30元．设哈密瓜每千克x元，青提葡萄每千克y元，得方程x+2y＝70．下列说法中，正确的（）A．1千克青提葡萄的价格可以是36元B．若1千克哈密瓜的价格是12元，则1千克青提葡萄的价格是20元C．若是方程x+2y＝70的解，则m，n都可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价D．若m，n分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则m，n一定是方程x+2y＝70的解5．某宾馆有三人间、四人间两种客房供游客居住（房间足够多），某旅行团24人入住该宾馆，要求入住的房间都住满，则入住方案有（）种．A．4B．3C．2D．16．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A．B．C．D．7．若二元一次方程组的解为，则m﹣n的值是（）A．1B．2C．﹣D．38．若方程组的解中x+y＝16，则k等于（）A．15B．18C．16D．179．在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意可列方程组为（）A ．B ．C ．D ．10．一个长方形周长是16cm，长与宽的差是1cm，那么长与宽分别为（）A．5cm，3cm B．4.5cm，3.5cmC．6cm，4cm D．10cm，6cm11．方程组的解是（）A ．B ．C ．D ．12．一种营养粥是由糯米、黑米和红豆三种主要原料配比后熬制而成，且权重之比为5：4：1．经市场了解发现，糯米、黑米和红豆的价格分别为6元/千克、8元/千克和20元/千克，仅从主要原料角度考虑，这种营养粥的成本价为（）A．8.5元/千克B．6.8元/千克C．7.6元/千克D．8.2元/千克13．若关于x，y的方程2x|n|+3y m﹣2＝0是二元一次方程，则m+n ＝．14．已知是二元一次方程2x﹣7y＝8的一个解，则代数式17﹣4a+14b的值是．15．对于方程2x+3y＝8，用含x的代数式表示y，则可以表示为．16．将一摞笔记本分给若干个同学，每个同学分8本，则差了7本．若设共有x个同学，y 本笔记本，则可列方程为．17．普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的倍．18．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值是．19．方程组：的解为．20．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y 尺，则符合题意的方程组是．21．点点去文具店购买水笔和笔记本（水笔的单价相同，笔记本的单价相同）．已知购买3支水笔和2本笔记本，则需要支付12元，够买1支水笔和2本笔记本，则需要支付8元．若点点购买1支水笔和1本笔记本，则需要支付元．22．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝与x＝时，y的值相等，则a﹣b+c＝．23．规定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c有无数组解，每组解记为M（x，y），称M （x，y）为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，回答下列问题：（1）已知A（﹣1，3），B（4，﹣1），C（1，2），则是“合作线”2x+3y＝8的“团结点”的是；（2）设P（1，﹣1），Q（4，4）是“合作线”（m2+1）x+ny＝8的两个“团结点”，求关于x，y的二元一次方程的正整数解；（3）已知h，t是实数，且，若是“合作线”2x﹣4y＝s的一个“团结点”，求s的最大值与最小值的和．24．某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲、乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表：甲型乙型丙型价格（元/台）1000800500销售获利（元/台）260190120（1）购买丙型设备台（用含x，y的代数式表示）；（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品（每种型号至少有一台），恰好用了56000元，则商场有哪几种购进方案？（3）在第（2）题的基础上，为了获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？25．已知关于x，y的方程组，其中a是实数．（1）若x＝y，求a的值；（2）若方程组的解也是方程x﹣5y＝3的一个解，求（a﹣4）2021的值；（3）求k为何值时，代数式x2﹣kxy+9y2的值与a的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值．26．解方程组：．27．某体育器材店有A、B两种型号的篮球，已知购买3个A型号篮球和2个B型号篮球共需310元，购买2个A型号篮球和5个B型号篮球共需500元．（1）A、B型号篮球的价格各是多少元？（2）某学校在该店一次性购买A、B型号篮球共96个，总费用为5700元，这所学校购买了多少个B型号篮球？28．已知x﹣2y+z＝2x﹣y+z＝3，且x，y，z的值中仅有一个为0，解这个方程组．29．购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元．问购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需多少元？参考答案1．解：∵（m﹣2021）x|m|﹣2020+（n+3）y|n|﹣2＝2022是关于x、y的二元一次方程，∴m﹣2021≠0，n+3≠0，|m|﹣2020＝1，|n|﹣2＝1，解得：m＝﹣2021，n＝3．故选：D．2．解：把，代入方程得：，①+②得：3a＝12，解得：a＝4，把a＝4代入①得：4+b＝6，解得：b＝2．故选：A．3．解：方程x+2y＝1，解得：y＝（1﹣x）．故选：C．4．解：∵设哈密瓜每千克x元，青提葡萄每千克y元，得方程x+2y＝70，∴当y＝36时，x＝﹣2，此种情况不合实际，故选选项A不正确；当x＝12时，12+2y＝70，解得y＝29，故选项B不正确；若是方程x+2y＝70的解，则m，n不一定可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价，如m ＝﹣2，n＝36，故选项C不正确；若m，n分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则m，n一定是方程x+2y＝70的解，故选项D正确；故选：D．5．解：设入住三人间x间，入住四人间y间，则3x+4y＝24，∴y＝6﹣x，∵x、y都是非负整数，∴当x＝0时，y＝6，当x＝4时，y＝3，当x＝8时，y＝0，∴入住方案有3种：①入住四人间6间，②入住三人间4间，入住四人间3间，③入住三人间8间．故选：B．6．解：A．此方程组属于三元一次方程组，不符合题意．B．此选项方程组是二元一次方程组，符合题意．C．此方程组属于二元二次方程组，不符合题意；D．此方程组属于分式方程组，不符合题意；故选：B．7．解：①+②，得6x﹣6y＝12，∴x﹣y＝2．由于x＝m，y＝n，∴m﹣n＝2．故选：B．8．解：由题意得，①+③得：4x＝4k+11④，①×6+②得：20x＝25k﹣30，即4x＝5k﹣6⑤，⑤﹣④得：k＝17，故选：D．9．解：设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意，得：，故选：D．10．解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意得：，解得：．故选：B．11．解：，②+③得：x+y＝﹣1④，把④代入①得﹣1﹣z＝8，解得：z＝﹣9，把z＝﹣9代入②得：y＝10，把z＝﹣9代入③得：x＝﹣11，则方程组的解为．故选：D．12．解：设营养粥的总质量是10a千克，则糯米、黑米和红豆分别是5a千克、4a千克、a千克，总成本价是：6×5a+8×4a+20×a＝82a（元），∴成本价为：82a÷10a＝8.2（元/千克）．故选：D．13．解：根据题意得：|n|＝1，m﹣2＝1，解得：n＝±1，m＝3，∴m+n＝3+1＝4，m+n＝3﹣1＝2，∴m+n的值是2或4，故答案为：2或4．14．解：将代入二元一次方程2x﹣7y＝8得：2a﹣7b＝8．∴原式＝17﹣2（2a﹣7b）＝17﹣2×8＝1．故答案为：1．15．解：方程2x+3y＝8，解得：y＝．故答案为：y＝．16．解：设共有x个同学，有y个笔记本，由题意，得y＝8x﹣7．故答案是：y＝8x﹣7．17．解：设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米，依题意得：x+y＝2x，解得：y＝2x，∴＝2．故答案为：2．18．解：把代入方程组，得．∴＝＝＝．故答案为：．19．解：，①+②得：3x＝15，解得：x＝5，把x＝5代入①得：5﹣y＝3，解得：y＝2，则方程组的解为．故答案为：．20．解：依题意得，故答案为：．21．解：设笔记本的单价为x元，水笔的单价为y元，依题意有，解得．∴点点购买1支水笔和1本笔记本，则需要支付2+3＝5（元）；故答案为：5．22．解：根据题意得：，解得：a＝6，b＝﹣11，c＝3．∴a﹣b+c＝20．故答案为：20．23．解：（1）将A，B，C三点坐标代入方程2x+3y＝8，只有是方程2x+3y＝8的解，∴“合作线”的团结点的是C（1，2）．故答案为：C（1，2）．（2）将代入P（1，﹣1），Q（4，4）方程（m2+1）x+ny＝8得：得：．解得：．代入方程得：5x+6y＝26．∴此方程的正整数解为：．（3）∵，∴＝6﹣2|t|，|t|＝．∵是“合作线”2x﹣4y＝s的一个“团结点”，∴s＝2﹣4|t|．∴s＝2（6﹣2|t|）﹣4|t|＝12﹣8|t|，或s＝2﹣4×＝4﹣12．∵≥0，|t|≥0，∴由s＝12﹣8|t|，可得s有最大值12．由s＝4﹣12，可得s有最小值﹣12．∴s的最大值与最小值的和为12﹣12＝0．24．解：（1）购买丙型设备（60﹣x﹣y）台．故答案为：（60﹣x﹣y）．（2）依题意，得：1000x+800y+500（60﹣x﹣y）＝56000，整理得：5x+3y＝260，∴x＝52﹣y．又∵x，y，（60﹣x﹣y）均为正整数，∴y为5的倍数，当y＝5时，x＝49，60﹣x﹣y＝6；当y＝10时，x＝46，60﹣x﹣y＝4；当y＝15时，x＝43，60﹣x﹣y＝2；当y＝20时，x＝40，60﹣x﹣y＝0，不合题意，舍去．∴共有3种购进方案，方案1：购进甲型设备49台，乙型设备5台，丙型设备6台；方案2：购进甲型设备46台，乙型设备10台，丙型设备4台；方案3：购进甲型设备43台，乙型设备15台，丙型设备2台．（3）选择方案1的销售利润为260×49+190×5+120×6＝14410（元）；选择方案2的销售利润为260×46+190×10+120×4＝14340（元）；选择方案3的销售利润为260×43+190×15+120×2＝14270（元）．∵14410＞14340＞14270，∴购进甲型设备49台，乙型设备5台，丙型设备6台，获利最多，此时利润为14410元．25．解：（1）方程组，①×3+②得：5x＝15a﹣5，解得：x＝3a﹣1，把x＝3a﹣1代入①得：y＝a﹣2，则方程组的解为，令3a﹣1＝a﹣2，解得a＝；（2）把方程组代入方程得：3a﹣1﹣5a+10＝3，解得：a＝3，则（a﹣4）2021＝（﹣1）2021＝﹣1；（3）∵x2﹣kxy+9y2＝（x﹣3y）2+6xy﹣kxy＝25+（6﹣k）xy，且代数式x2﹣kxy+9y2的值与a的取值无关，∴当k＝6时，代数式x2﹣kxy+9y2的值与a的取值无关，定值为25．26．解：，①+②×3，得10a＝50，解得：a＝5，把a＝5代入②，得10+b＝13，解得：b＝3，所以方程组的解是．27．解：（1）设A型号篮球的价格为x元，B型号的篮球的价格为y元，依题意得：，解得：．答：A型号篮球的价格为50元、B型号篮球的价格为80元．（2）设这所学校买了m个A型号篮球，买了n个B型号篮球，依题意得：，解得：．答：这所学校购买了30个B型号篮球．28．解：原式化为，②﹣①得，x+y＝0，∵x，y，z的值中仅有一个为0，∴z＝0，由解得，∴原方程组的解为．29．解：设铅笔的单价为x元，作业本的单价为y元，圆珠笔的单价为z元，依题意得：，3×①﹣②得：11x+5y+2z＝5．答：购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需5元．。
初一数学培优,二元一次方程组解的讨论
二元一次方程组解的讨论内容提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。
解得a=10, c ≠14。
③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=23152331a y a x ∵⎩⎨⎧>>00y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-0231502331a a解不等式组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><531331a a 解集是6311051<<a 答：当a 的取值为6311051<<a 时，原方程组的解是正数。
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论一、二元一次方程组的定义二元一次方程组是由两个方程组成的方程集合，其中每个方程都是二元一次方程。
二元一次方程的一般形式为：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f是已知的实数，而x和y是未知数。
二、二元一次方程组的求解方法1.消元法：通过消去其中一个未知数的系数，将方程组化简为只包含一个未知数的方程。
然后可以通过代入的方法求解另一个未知数的值，从而得到方程组的解。
2. Cramer法则：利用行列式的性质求解二元一次方程组。
具体步骤如下：a)计算系数行列式:D=，abdb)x的系数行列式:Dx=，cbfc)y的系数行列式:Dy=，acdd)计算方程组的解:x=Dx/D，y=Dy/D3.代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，从而得到只包含一个未知数的方程。
然后可以通过消元法或其他方法求解。
三、解的情况讨论1.唯一解：当二元一次方程组存在一个有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组有唯一解。
2.无解：当二元一次方程组不存在有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组无解。
3.无穷多解：当二元一次方程组存在无穷多个有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组有无穷多解。
这种情况下，方程组的两个方程是两个平行直线。
四、实例演示考虑以下二元一次方程组：2x+3y=74x-y=2通过消元法可得：2x+3y=78x-2y=4将第二个方程化为y的表达式：y=4x-2将y的表达式代入第一个方程：2x+3(4x-2)=7化简得到：2x+12x-6=7合并同类项：14x-6=7解方程得到：14x=13，x=13/14将x的值代入y的表达式：y=4(13/14)-2，化简得到：y=3/7所以，方程组的解为(x,y)=(13/14,3/7)。
总结：二元一次方程组的解的讨论涉及到三种情况：唯一解、无解和无穷多解。
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2020-2021学年人教版数学初一讲练
（培优和竞赛二合一）
（10）二元一次方程组解的讨论
【知识精读】
二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：
1．当21212
1c c b b a a 时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效）①当21212
1c c b b a a 时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1
"`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得）
方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元2．一次方程整数解的求法进行。
求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待3．定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）
【分类解析】
例1. 选择一组a,c 值使方程组
c y ax y x 275有无数多解， ②无解， ③有唯一的解
①解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解
解比例得a=10, c=14。
当 5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。
②解得a=10, c"`14。
③当 5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解，
即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组
3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组
得
23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是63
11051 a 答：当a 的取值为631105
1 a 时，原方程组的解是正数。
例3. m 取何整数值时，方程组
1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得
82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。
∵y 是整数，∴m －8取2的约数±1，±2。
取它们的公共部分，m －8＝±1，±2。
解得 m=9，7，10，6。
经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。
例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。
问桃，李，榄橄各买几粒？
解：设桃，李，榄橄分别买x, y, z 粒,依题意得
)2(1007143)1(100z y x z y x 由（1）得x= 100－y －z (3)
把（3）代入（2），整理得
y=－200+3z －7z
设k
z 7(k 为整数) 得z=7k, y=－200+20k, x=300－27k
∵x,y,z 都是正整数∴ 07020200027300k k k 解得 0.10.9100k k k （k 是整数）
∴10＜k<9111, ∵k 是整数， ∴k=11
即x=3（桃）, y=20（李）, z=77（榄橄） (答略)
【实战模拟】
不解方程组，判定下列方程组解的情况：1．① 96332y x y x ② 32432y x y x ③
153153y x y x a 取什么值时方程组 2
29691322a a y x a a y x 的解是正数？
2．a 取哪些正整数值，方程组
a y x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？3．要使方程组
12y x k ky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？4．（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡
5．翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？
练习10①无数多个解 ②无解 ③唯一的解1.
a>1 3. a=1 4. –5,-3,-1,1
2.5. 78154鸡雏＝鸡母＝鸡翁＝ 81118鸡雏＝鸡母＝鸡翁＝
84412鸡雏＝鸡母＝鸡翁＝
------------------------- 赠予------------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒
风月乍起
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷和其中的一字一句
幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了被你默诵过，懂了
被你翻开又合起被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
和过往的你
记挂你的现今
和现今的你
遐想你的将来
和将来的你
难了难了
相思可以这一世。