七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 点共线与线共点(含答案)
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 质数与合数
第二十讲 质数与合数趣题引路】由超级计算机运算得到的结果2859433－1是一个质数，则2859433＋1是（ ） A ．质数 B ．合数 C ．奇合数 D ．偶合数解析 ∵2859433－1，2859433，2859433＋1．是三个连续正整数，∵2859433－1的末位数字是1．∴2859433是偶合数，∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433－1是质数，∴2859433＋1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433＋1是奇合数．故选C ．同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗？二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6＝3＋3，12＝5＋7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1＋2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”．知识延伸】1．正整数依据不同的标准可以有各种分类，这里依据它们的正约数的个数可以分为三类： （1）只有一个正约数的数，它只能是1；（2）只有两个正约数的数，如2，3，11这样的数叫质数； （3）有两个以上正约数的数，如4，10，12这样的数叫合数． 2．（1）2是最小的质数，也是唯一的偶质数；除2以外，其余的质数都是奇数。
（2）质数有无穷多；合数也有无穷多． 证明 假设只有有限多个质数，设为P 1，P 2，P 3，…，P n 考虑P 1P 2P 3…P n ＋1，由假设可知，P 1P 2P 3…P n ＋1是合数，它一定有一个质因数P ，显然，P 不同于P 1，P 2，P 3，…，P n ，这与假设P 1，P 2，P 3，…，P n 为全部质数矛盾．3．质数可以采用埃拉托色尼筛选法进行判定．如判断2003为质数，可以这样操作：分别用质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，41，43来除2003，它们都不能整除2003，而下一个质数47，它的平方472＝2209大于2003，由此就可判定2003为质数。
线段、射线和直线-2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典(原卷版)【浙教版】
2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题6.2线段、射线和直线姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•温岭市期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（）①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．A．①③B．②④C．①④D．②③2．（2019秋•新都区期末）如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3．（2019秋•来宾期末）下列说法错误的是（）A．图①中直线l经过点AB．图②中直线a、b相交于点AC．图③中点C在线段AB上D．图④中射线CD与线段AB有公共点4．（2018秋•杭州期末）用一笔画出所给图形，不允许重复经过同一条线段，但可以多次经过同一交点，则不同的画法共有（）A．8种B．16种C．24种D．32种5．（2018秋•桥东区期末）如图：点A、B，O是直线l上的三个点，则下列与射线OA表示同一条射线的是（）A．射线OB B．射线AB C．射线BA D．射线AO6．（2017秋•襄汾县月考）根据如图所示的图形，下列语句中：①过A，B两点画直线l；②直线l过A，B 两点；③点A，点B在直线l上；④A，B是直线l上的两点，其中，能正确表达图形的语句有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2019秋•小店区校级月考）下列几何图形与相应语言描述相符的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2019秋•雅安期末）如图所示，下列对图形描述不正确的是（）。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲质数与合数
第二十讲质数与合数趣题引路】由超级计算机运算得到的结果2対川3_1是一个质数，则泸9433+1是（）A.质数B.合数C.奇合数D.偶合数解析V2859433-l, 2溯33, 2*眇*33+1.是三个连续正整数，T2859433 — 1的末位数字是1. 285<M33 是偶合数，I•上述三个数中一泄有一个能彼3整除，而2対"33一1是质数，.・.2劭9433+ 1的末位数字是奇数且能被3整除，故2归《33+ 1是奇合数.故选C.同学们，你们知道什么是“哥徳巴赫猜想”吗？二百多年前，徳国数学家哥徳巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和.如6=3 + 3, 12=5+7等.对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例.到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的"1+2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为"陈氏定理”.知识延伸】1.正整数依据不同的标准可以有各种分类，这里依据它们的正约数的个数可以分为三类：（1）只有一个正约数的数，它只能是1：（2）只有两个正约数的数，如2, 3, 11这样的数叫质数：（3）有两个以上正约数的数，如4, 10, 12这样的数叫合数.2.（1> 2是最小的质数，也是唯一的偶质数：除2以外，苴余的质数都是奇数。
（2）质数有无穷多：合数也有无穷多.证明假设只有有限多个质数,设为P2, P、，…,几考虑P1P2P3…几+1,由假设可知，PxPzPy- 几+1是合数，它一定有一个质因数P,显然，P不同于巴，Pi，A，…，P”，这与假设Pi，B，A，…，几为全部质数矛盾.3.质数可以采用埃拉托色尼筛选法进行判左.如判断2003为质数，可以这样操作：分别用质数2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43来除2003,它们都不能整除2003,而下一个质数47,它的平方472 = 2209大于2003,由此就可判定2003为质数。
初中数学竞赛 几何专题：点共线问题(含答案)
初中数学竞赛 几何专题：点共线问题（含答案）1. 锐角三角形ABC 中，45BAC ∠=︒，BE 、CF 是两条高，H 为ABC △的垂心，M 、K 分别是BC 、AH 的中点.证明：MK 、EF 和OH 共点，这里O 为ABC △的外心.解析 如图，由条件45BAE ∠=︒，可知AEB △和AFC △都是等腰直角三角形，而O 为AB 、BC 的中垂线上的点，故EO AB ⊥，FO AC ⊥，于是EO CF ∥，FO BE ∥，从而四边形EOFH 为平行四边形.故EF 与OH 的交点为EF 的中点.另一方面，M 、K 为BC 、AH 的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知12EM MF BC ==，12EK KF AH ==.即四边形EKFM 为菱形，所以EF 与KM 的交点亦是EF 的中点.从而命题获证.2. 四边形SPNM 与PFET 都是正方形，且点S 、P 、T 共线，点N 、P 、F 共线，连结MT 、SE ，点S 在MT 上的射影是点A ，点T 在SE 上的射影是点B ，求证：点A 、P 、B 共线.解析 设AB 与ST 交于点P '，又设ATS α∠=，TSE β∠=.于是由180ASB ATB ∠+∠=︒，有 tan cot ASB ATB S SP AS BSP T S AT BTαβ'⋅===⋅'⋅△△ MS ST MS SPST TE TE PT =⋅==， 即点P 与点P '重合.3. 在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取异于顶点的K 、L 、M 、N ，已知KL MN ∥.证明KM 与LN 的交点O 在矩形的对角线BD 上.解析 连结OB 、OD .BMNAS P TFED M C NOLA K B因为KL MN ∥，KM 与LN 相交于O ，所以KLO △∽MNO △，可得KL LOMN NO=，KLO MNO ∠=∠. 又因BC AD ∥，所以BLO DNO ∠=∠，则BLK DNM ∠=∠；因此Rt BLK △∽Rt DNM △. 综上，BL LK LODN NM NO ==，BLO DNO ∠=∠，所以BLO △∽DNO △，可得BOL DON ∠=∠，即B 、O 、D 共线.4. 证明：如果一个梯形内的n （2>）个点到梯形四边距离之和相等，那么这n 个点共线.解析 如图，延长梯形ABCD 的腰BA 、CD 交于点E .设P 为这n 个点中的一个点，过P 作一直线，交EB 、EC 于点G 、H ，使得EGH △为等腰三角形（EG EH =）.设Q 是这n 个点中的另一个点，我们证明Q 在直线GH 上.由条件Q 到EG 、EH 的距离和等于P 到EG 、EH 的距离和.若Q 在四边形AGHD 内，则EQG S +△ EQH EGH S S <△△，从而(,)(,)(,)(,)EG d Q EG EH d Q EH EG d P EG EH P EH ⨯+⨯<⨯+⨯，这里(,)d X YZ 表示点X 到直线YZ 的距离.结合EG EH =，可得()(,)(,)d Q EG d Q EH d P EG +<∥ (,)d P EH +，矛盾.类似地，若Q 在四边形BGHC 内，则(,)(,)(,)(,d Q EG d Q EH d P EG d P +>+ )EH ，亦矛盾.故Q 在线段GH 上.5. 设四边形仅有一个内角是直角，且两对角线相等，则对边中垂线交点与直角顶点共线.解析 如图，设四边形ABCD 中，90B ∠=︒，作矩形ABCE ，则BE AC BD ==，又设BC 的中垂线GP 与AD 之中垂线FP 交于P ，则易知PE PA PD ==，于是B 、P 均在DE 中垂线上.同理AB 、CD 中垂线之交点也在DE 中垂线上，故而结论成立.6. 等腰梯形ABCD 中AB CD =.将ABC △绕点C 旋转一个角度，得一个新的A B C ''△.证明：线段A D '、BC 和B C '的中点共线. 解析 如图，设A D '、BC 、B C '的中点分别为X 、Y 、Z ，W 为CA '的中点.并设ACA α'∠=，ABC β∠=， 则ZW A B ''∥，WX CD ∥，且111222ZW A B AB CD WX ''====，即XWZ △为等腰三角形，并且XWZ ∠等于180︒减去A B ''与CD 所成的角γ.AFDEPB G C注意到，(180)2180γβαββα=-︒--=-︒+，所以，3602XWZ αβ∠=︒--，从而1(180)9022XZW XWZ αβ∠=︒-∠=+-︒.于是902CZX XZW αβ∠=-∠=︒-.另一方面，YZ BB '∥，而1(180)9022CB B αα'∠=︒-=︒-，故902CZY α∠=︒-.综上，CZX CZY ∠=∠.故X 、Y 、Z 共线.7. 直角三角形ABC 中，AB 是斜边，CH 为斜边上的高，以A 为圆心、AC 为半径作A ⊙.过B 作A⊙的割线，交A ⊙于点D 和E ，交CH 于点F （D 在B 与F 之间）.在A ⊙上取一点G ，使得ABG ABD ∠=∠，且G 与D 不在AB 的同一侧.证明：E 、H 、G 三点共线.解析 延长EH 交A ⊙于点G '，我们证明G 与G '重合，即证G BA DBA '∠=∠.由90ACB ∠=︒知BC 为A ⊙的切线，故2BC BD BE =⋅.再在Rt ABC △中，CH 为高，从而由身影定理可知2BC BH BA =⋅，所以BD BE BH BA ⋅=⋅，故E 、D 、H 、A 共圆，因此EDA EHA BHG '∠=∠=∠. 注意到EA DA =，故EDA DEA DHB ∠=∠=∠（这里再次用到E 、D 、H 、A 共圆），结合前面的结果，可知BHD BHG '∠=∠.由圆的对称性，即得HBG HBD '∠=∠. 8. 设锐角三角形ABC ，AD 、BE 、CF 为高，H 是垂心，M 、N 分别在BF 、AE 上，且MHF NHE ∠=∠，求证：BM 、CN 的中垂线之交点在BC 上.解析 如图，若设BM 、CN 中垂线分别交BC 于K 、K '（K 、K '在图中未画出），只要证明BK CK BC '+=，即知结论成立.由于2cos BM BK B =，2cos CN CK C '=，而2cos 2cos 22BF CE BC BC BC B C +=+=，故只需证明2cos 2cos BM CNB C+=CZ B'YB W A'DXAG 'AHBDF C EAF M BDCE N H2cos 2cos BF CE B C +或cos cos NE MFC B=即可. 由条件知MFH △∽NEH △，故sin cos sin cos MF FH AH BAD BNE HE AH CAD C∠===∠.结论证毕. 9.ABC △的内切圆切边AC 、BC 于点M 、N ，直线l 与该内切圆切于劣弧¼MN内一点，l 分别交NC 、MC 于点P 、Q .T 为AP 与BQ 的交点.证明：T 在线段MN 上.解析 设AP 交MN 于点1T ，ABC △的内切圆切l 与AB 于点X 、Y .AP 交XY 于点2T ，先证：1T 与2T 重合.由正弦定理，可知11sin sin PT PNCNM PT N =∠∠， 11sin sin AT AMAMN AT M=∠∠， 结合11PT N AT M ∠=∠，180180AMN CMN CNM ∠=-∠=-∠，可知11PT PN AT AM =.同理可证：22PT PXAT AY=.所以，由PX PN =及AM AY =，可知1212PT PT AT AT =，即1T 与2T 重合.这表明AP 过MN 与XY 的交点. 类似可知，BQ 与MN 与XY 的交点.所以，AP 与BQ 的交点在线段MN 上.10. 在ABC △中，90A ∠=︒，AB AC <.D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 上的点，使得四边形AFDE为正方形.设A l 为过A 所作ABC △的外接圆的切线.证明：BC 、EF 和A l 三线共点.解析 设A l 交直线BC 于点G ，连GF 延长交AC 于点E '.只需证明E 与E '重合. 记ABC △的三边长分别为a 、b 、c ，而正方形AFDE 的边长为x .则由DF FB AC AB =，可知x c xb c-=，故C Q XP lMN TAYBCE AD FB Gbcx b c=+. 由AG 为ABC △外接圆的切线，得BAG C ∠=∠，而AGC ∠为公共角，故ABG △∽CAG △，从而AB BG AG CA AG GC==，于是222GB BG AG AG c GC AG GC CA b ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，即22GB c a GB b =+，从而222ac GB b c =-，结合BD DF x BC CA b ==，可知ac BD b c =+，故22222ac ac abc GD b c b c b c =+=-+-，22222b ab GC GB c b c =⋅=-.所以DF CE ='GD c GC b=，即2b CE bc '=+. 而2bc b CE b x b b c b c=-=-=++.所以CE CE '=，故E 与E '重合，命题获证. 11. AC 、BD 均为圆的切线，AB 是该圆的一条能弦，CD 与圆交于点Q 、P ，已知AP BP =，点M为AB 中点，求证：点M 、R 、Q 共线，这里R 为AD 与BC 的交点.解析 连结MC 、MR 、MD ，易知题目无非是要证明 CMR DMR S CQS DQ =△△. 易知12CMRACR S S =△△，12DMR BDR S S =△△，2AC CQ CP =，2BD DQ DP =，于是问题转变为求证 22ACR BDR S AC BDS BD CP⋅=⋅△△. 由切线性质知CAB DBA ∠=∠，于是根据三角形面积公式，有 ACR ABC ACD ACDBDR DBC ABD CBD S S S S AR CR AC S DR BR S S BD S ⋅==⋅=⋅⋅△△△△△△△△， 于是待证式又变为求证 ACD CBD S AC DPS BD CP ⋅=⋅△△. 事实上， ACPACD ACP CBDPBD PBD CDS S S DP DP AC CP CD S CP S CP BD S DP⋅==⋅=⋅⋅△△△△△△， 这是由于AP BP =，且CAP DBP ∠=∠.A MBC QPDR。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第20讲 直线与圆(衡中内参)2021年版
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第二十讲直线与圆直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察．讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：注：点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点．【例题求解】【例1】如图，AB是半圆O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为．思路点拨从C点看，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD，则OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半径．注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用．【例2】如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数是( )A．65°B．115°C．60°和115°D．130°和50°(山西省中考题)思路点拨略【例3】 如图，以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE ⊥AC 于E ，可得结论：DE 是⊙O 的切线．问：(1)若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 为半径的圆的交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由；(2)如果AB=AC=5cm ，sinA=53，那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O 与AC 相切?(2001年黑龙江省中考题)思路点拨 (1)是结论探索题，(2)是条件探索题，从切线的判定方法和性质入手，分别画图，方能求解．【例4】 如图，已知Rt △ABC 中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P 是AB 边上的动点(与点A 、B 不重合)，Q 是BC 边上的动点(与点B 、C 不重合)． (1)当PQ ∥AC ，且Q 为BC 的中点时，求线段PC 的长；(2)当PQ 与AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由． (广州市中考题)思路点拨 对于(2)，易发现只有点P 能作为直角顶点，建立一个研究的模型——以CQ 为直径的圆与线段AB 的交点就是符合要求的点P ，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ 的取值范围．注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有： (1)从直线与圆交点个数入手；(2)利用角证明，即证明半径和直线垂直；(3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径．一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑；【例5】如图，在正方形ABCD 中，AB=1，︵AC 是以点B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧，点E 是边AD 上的任意一点（点E 与点A 、D 不重合），过E 作︵AC 所在圆的切线，交边DC 于点F ，G 为切点．（1）当∠DEF=45°时，求证点G 为线段EF 的中点；（2）设AE=x ，FC=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）将△DEF 沿直线EF 翻折后得△D 1EF ，如图，当EF=65时，讨论△AD 1D 与△ED 1F 是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．思路点拨 图中有多条⊙B 的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问的基础，对于(3)，由(2)求出x 的值，确定E 点位置，这是解题的关键．注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的知识，并结合了待定系数法、数形互 助等思想方法，具有较强的选拔功能．学力训练 1．如图，AB 为⊙O 的直径，P 点在AB 延长线上，PM 切⊙O 于M 点，若OA=a ， FM=a 3，那么△PMB 的周长为 ．2．PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，∠APB=78°，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任意一点，则 ∠ACB= ．3．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠F=46°，∠DCF=32°，则∠A 的度数是 ．4．如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于E ，要使DE ⊥AC ，则△ABC 的边必须满足的条件是 ．5．1l 、2l 表示直线，给出下列四个论断：①1l ∥2l ；②1l 切⊙O 于点A ；③2l 切⊙O 于点B ；④AB 是⊙O 的直径．若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为( ) 1 B ．2 C ．3 D ．46．如图，圆心O 在边长为2的正方形ABCD 的对角线BD 上，⊙O 过B 点且与AD 、DC边均相切，则⊙O 的半径是( )A ．)12(2-B ．)12(2+C ．122-D ．122+7．直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD+BC<DC ，若腰DC 上有一点P ， 使AP ⊥BP ，则这样的点( )A ．不存在B ．只有一个C ．只有两个D ．有无数个8．如图，圆内接△ABC 的外角∠ACH 的平分线与圆交于D 点，DP ⊥AC 于P ，DH ⊥BH于H ，下列结论：①CH=CP ；②A D=DB；③AP ＝BH ；④DH 为圆的切线，其中一定成立的是( )A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O 的半径为1， (1)求弦AC 、AB 的长；(2)若P 为CB 的延长线上一点，试确定P 点的位置，使PA 与⊙O 相切，并证明你的结论． 10．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于E ，且PC 2=PE ·PO ． (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若OE ：EA=1：2，且PA ＝6，求⊙O 的半径；(3)求sin ∠PCA 的值．11．(1)如图a ，已知直线AB 过圆心O ，交⊙O 于A 、B ，直线AF 交⊙O 于F(不与B 重合)，直线l 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E 且与AF 垂直，垂足为G ，连AC 、 AD ，求证：①∠BAD=∠CAG ；②AC ·AD=AE ·AF ．(2)在问题(1)中，当直线l 向上平行移动与⊙O 相切时，其他条件不变． ①请你在图b 中画出变化后的图形，并对照图a 标记字母；②问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立，请给出证明；如不成立，请说明理由．12．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，⊙O 分别与AB 、AC 相切于点E 、F ，圆心O 在BC 上，若AB=a ，AC=b ，则⊙O 的半径等于 ．13．如图，AB 是半圆O 的直径，点M 是半径OA 的中点，点P 在线段AM 上运动(不与点⌒ ⌒M 重合)，点Q 在半圆O 上运动，且总保持PQ=PO ，过点Q 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点C ．(1)当∠QPA=60°时，请你对△QCP 的形状做出猜想，并给予证明． (2)当QP ⊥AB 时，△QCP 的形状是 三角形．(3)由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P 在线段AM 上运动到任何位置时，△QCP 一定是 三角形．14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于B ，CD 切⊙O 于D ，交BA 的延长线于E ，若AB=3，ED=2，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3．5D ．415．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 切点，直线OP 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，AF 为⊙O 的直径，下列结论：(1)∠APB=∠AOP ；(2)BC=DF ；(3)PC ·PD=PE ·PO ，其中正确结论的个数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个16．如图，已知△ABC ，过点A 作外接圆的切线交BC 的延长线于点P ，22=PA PC ，点D 在AC 上，且21=CD AD ，延长PD 交AB 于点E ，则BE AE 的值为( ) A ．41 B ．42 C ．21 D ．2217．如图，已知AB 为半圆O 的直径，AP 为过点A 的半圆的切线． 在AB 上任取一点C(点C 与A 、B 不重合)，过点C 作半圆的切线CD 交AP 于点D ；过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．连结BD ，交CE 于点F ．(1)当点C 为AB 的中点时(如图1)，求证：CF ＝EF ；(2)当点C 不是AB 的中点时(如图2)，试判断CF 与EF 的相等关系是否保持不变，并证明你的结论．⌒ ⌒⌒⌒18．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D 在AC 边上，以D 为圆心的⊙D 与AB 切于点E ．(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)设⊙D 与BC 交于点F ，当CF=2时，求CD 的长； (3)设CD=a ，试给出一个a 值，使⊙D 与BC 没有公共点，并说明你给出a 的值符合的要求．19．如图，PA 、PB 与⊙O 切于A 、B 两点，PC 是任意一条割线，且交⊙O 于点E 、C ，交AB 于点D ．求证：BDADBC AC 2220．如图，⊙O ˊ与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，圆心O ˊ的坐标是(1，一1)，半径是5，(1)求A 、B 、C 、D 四点的坐标； (2)求经过点D 的切线的解析式；(3)问过点A 的切线与过点D 的切线是否垂直?若垂直，请写出 证明过程；若不垂直，试说明理由．21．当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想? 如图，设墙壁上的展品最高处点P 距离地面a 米，最低处点Q 距离地面b 米，观赏者的眼睛点E 距离地面m 米，当过 P 、Q 、E 三点的圆与过点E 的水平线相切于点E 时，视角∠PEQ 最大，站在此处观赏最理想．(1)设点E 到墙壁的距离为x 米，求a 、b 、m ，x 的关系式； (2)当a=2.5，b=2，m=1.6时，求：(a)点E 和墙壁距离x 米；(b)最大视角∠PER 的度数(精确到1度)．参考答案教学反思1 、要主动学习、虚心请教，不得偷懒。
七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线
专题24 相交线与平行线阅读与思考在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行.当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键． 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定(1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行；(3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质(1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；(3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形：例题与求解【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝080，∠CDE ＝0140，则∠BCD ＝__________.（安徽省中考试题）(2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0115，∠A ＝025，则∠E ＝___________.（浙江省杭州市中考试题）DB图②FECA解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解.【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手．A BCDGHEFF DE BCA例2题图 例3题图【例3】 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF .（天津市竞赛试题）解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形．【例4】 如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝43∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题）DEC AB 图1解题思路：分别过点E ，F 作平行线，利用平行线的性质找角之间的关系.ABFCD E例4题图 例5题图【例5】如图，已知∠1＝ ∠2，∠C ＝∠D ，求证：∠A ＝∠F .解题思路：从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系，是解这类问题的基本思路.【例6】(1)已知平面内有4条直线a ，b ，c 和d ，直线a ，b 和c 相交于一点，直线b ，c 和d 也相交于一点，试确定这4条直线共有多少个交点？并说明你的理由．(2)作第5条直线e 与(1)中的直线d 平行. 说明：以这5条直线的交点为端点的线段有多少条？（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：(1)先设直线a ，b ，c 的交点为P ，直线b ，c ，d 的交点为Q ，证得P 与Q 实为同一点，得出结论．(2)绘出图形，帮助解答，注意平行线的性质.FA BC1 DE 2能力训练A 级1．在同一平面内有1a ，2a ，3a …，10a 十条直线，如果1a //2a ，2a ⊥3a ，3a //4a ，4a ⊥5a ，5a //6a ，6a ⊥7a ，…，那么1a 与10a 的位置关系是____________.2．如图，已知AE ∥BD ，∠1＝0130，∠2＝030，则∠C ＝__________．（湖南省常德市中考试题）3．如图，直线a ，b 都与直线c 相交，下列命题中，能判断a ∥b 的条件是_____________（把你认为正确的序号填在横线上）①∠1＝∠2； ②∠3＝∠6； ③∠1＝∠8；④∠5＋∠8＝0180．（陕西省中考试题）第4题图21第3题图第2题图7865432121DA ECBab4. 将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则∠1＋∠2__________.（山东省烟台市中考试题）5．下面四个命题中正确的是( )．A ．相等的两个角是对顶角B ．和等于0180的两个角互为邻补角 C ．连结两点的最短线是过这两点的直线D ．两条直线相交所成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直（“希望杯”邀请赛试题）6．下列命题①两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直．②两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等． ③两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两直线垂直． ④两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直． 其中正确的有( )．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．如图，DH ∥EG ∥BC ，且DC ∥EF ，那么图中与∠BFE 相等的角(不包括∠BFE )的个数是( )． A.2 B ．4 C ．5 D ．6（山东省菏泽地区中考试题）8．如图，AB ∥CD ∥EF ∥GH ，AE ∥DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上，设与∠ɑ相等的角的个数为m （不包括∠a 本身），与∠β互补的角的个数为n ．若a ≠β，则m ＋n 的值是( )．A. 8B. 9C. 10D. 11第8题图第7题图βαCFG AGDHBBEDHE9．如图，已知AB ∥ED ，∠NCB ＝030，CM 平分∠BCE ，CN ⊥CM ，求∠B 的度数．10.如图，已知E 是AB ，CD 外一点，∠D ＝∠B ＋∠E ，求证：AB ∥CD .ABED NCM11.平面上有10条直线，无任何3条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？（吉林省竞赛试题）ABEDC12.如图，已知CD ∥EF ，∠1＋∠2＝∠ABC ，求证：AB //GF .（重庆市竞赛试题）B 级1. 如图，∠A ＝060，∠1＝∠2，则∠ADC 的度数是___________. 2．如图，直线a ∥b ，那么x 的度数是____________.（五城市联赛试题）ba第1题图第2题图第3题图x48°30°30°120°21C'D'EABADBCDC F3．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D '，C '的位置，若∠EFB ＝065，则∠AED '＝__________.（山东省中考试题）4．如图，已知DE ∥BC ，∠2＝070，∠1＝040，那∠EBA 的度数是_____________.AC21EBDlk4321第4题图 第5题图5. 如图，直线k ∥l ，∠4－∠3＝∠3－∠2＝∠2一∠3＝d ＞0．其中∠3＜090，∠1＝050，则∠4最大可能的整数值是( )．A. 1070B ．1080C ．1090D ．11006. 如图，AB ∥CD ∥EF ，EH ⊥CD 于H ，则∠BAC ＋∠ACE ＋∠CEH 等于( )． A ．1800B ．2700C ．3600D ．4500(北京市竞赛试题）7．如图，两直线AB ，CD 平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ ( )． A ．6300B. 7200C ．8000D. 9000（“希望杯”邀请赛试题）BDFAC654321HACBDEF GH第6题图 第7题图8．两条直线a ，b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1，A 2…，A 10，直线b 上顺次有9个点B 1，B 2，…，B 3，将a 上每一个点与b 上每一个点相连可得线段．若没有三条线段相交于同一点，则这些线段的交点个数是( )A. 90B.1620C.6480D.20069．如图，已知两条平行线AB ，CD 被直线EF 所截，交点分别为G ，H ，P 为HD 上任意一点，过P 点的直线交HF 于O 点，求证：∠HOP ＝∠AGF －∠HPO .O PA BCD10．如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD .求FC 的长．(2013年“《数学周报》”杯竞赛试题)D FMBC11．平面上有七条两两不平行的直线，试证：其中必有直线的交角小于260．（莫斯科八年级竞赛试题）12．⑴如图①，MA 1∥NA 2，则∠A 1＋∠A 2＝_________.如图②，MA 1∥NA 3，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＝_________. 如图③，MA 1∥NA 4，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＋∠A 4＝_________. 如图④，MA 1∥NA 5，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＋∠A 4＋∠A 5＝_________.从上述结论中你发现了什么规律？请在图②，图③，图④中选一个证明你的结论.（2）如图5，n NA ||MA 1，则=∠++∠+∠+∠n A A A A 321 .（3）利用上述结论解决问题：如图已知CD ||AB ，AB E ∠和CDE ∠的平分线相交于F ，140E =∠，求B FD ∠的度数.A 6A nA 5A 4A 2A 1 MNA 2（第21题）A 1MNA 3A 2 A 1MNA 3A 4A 2 A 1MNA 3 A 5A 4 A 2 A 1MNA 3 图①图②图③ 图④图⑤FEBACD图⑥专题24 相交线与平行线例1 （1）40° 过点 C 作CF ∥AB ，则∠BCF ＝∠ABC ＝80°．∠DCF ＝180°—140°＝40°，∴∠BCD ＝80°－40°=40°.（2）90° 过点E 作EM ∥AB ，∴AB ∥CD ，∴EM ∥CD ，∠AEM =180°—25°=155°. ∠CEM =180°—115°=65°，∴∠E =∠AE —∠CEM =155°-65°=90°.例2 D 提示：原图可分解为8个基本图形.例3 提示：由DF ∥CE 得，∠BDF =∠BCE ，∠FDE =∠DEC ，AC ∥DE ，得∠DEC =∠ECA .例4 过E 作EM ∥AB .∴AB ∥于CD ，∴EM ∥CD . ∴∠AEC =∠AEM +∠CEM =∠EAB +∠ECD .同理：∠AFC =∠FAB +∠FCD .∴∠AEC =∠FAB +∠FCD +∠EAF +∠ECF =∠AFC +¼∠EAB +14+∠ECD =∠AFC +¼∠AEC .故∠AFC =¾∠AEC .例5 提示：先证BD ∥CE ，再证DF ∥BC .例6 （1）直线a ，b ，c ，d 共有1个交点，理由如下：设直线a ，b ，c 的交点为P ，直线b ，c ，d 的交点为Q .这意味着点P 和点Q都是直线b 和c 的交点.而两条不同直线至多有一个交点.因此P和Q 必为同一个点.即4条直线a ，b ，c 和d 相交于同一个点.因此这4条直线只有一个交点.(2)不妨设（1）中交点为O .因为作的第5条直线e 与（1）中的直线d 平行，所以直线e 和直线d 没有公共点，因此这些e 不过点O .而直线a ，b ，c 与直线e 必然都相交.如图所示.设直线e 与直线a ，b ，c 分别相交于点A ，B ，C .这时有A ，B ，C ，O 共四个不同的点.可以连出OA ，OB ，OC ，AB ，AC ，BC 共6条不同的线段.A 级1. 1a //10a2.20°3.①②③④4.90°5.D6.B7.C8.D提示：m =5，n =6，m +n =5+6=11. 9.60° 10.提示：过点E 作EF ∥AB . 11如图所示.12.作CK ∥FG ，延长GF ，CD 交于H 点，则∠1+∠2=∠ABC ，故∠ABC +∠BCK =180°，即CK ∥AB ，AB ∥GF .B级1.120°2.72°3.50°4.30°5.C 提示：∠2=50°+d，∠3=50°+2d，∠4=50°+3d，又∵∠3=50°+2d<90°，∴d<20°，∠4=50°+3d<110°.故∠4的最大整数值为109°.6.B7.D8.B 提示：由题意知每一个交点由a上两点和b上两点所确定.在a上取两点有种情况，在b上取两点有种情况，故交点个数为45*36=1620个.9.提示：过点O作CD的平行线.10.如图，设N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB.又MF∥AD，∴∠FMN=∠BAD=∠DAC=∠MFN.∴FN=MN=½AB.因此FC=FN+NC=½AB+12AC=½(AB+AC）=½（7+11）=9.11.提示：在平面上任取一点O，将已知的七条直线平移过点O，它们把以O为圆心的圆周角分成14个彼此相邻的角a₁,a₂,……，。
七年级数学培优竞赛训练 ：线段 含答案
【知识纵横】 线段平面几何是研究平面图形(plane flgure)的性质的一门学科，主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系．构成平面图形的基本元素是点和线，在线中，最简单、最常见的就是线段、射线或直线，它们 的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础．几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究．解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法．【例题求解】例 1.平面内两两相交的 6 条直线，其交点个数最少为 个，最多为个．思路点拨 画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑．例 2.如图，已知 B 是线段 AC 上的一点，M 是线段 AB 的中点，N 是线段 AC 的中点，P 为 NA 的中点， Q 为 MA 的中点，则 MN ：PQ 等于( )．A ．1B ．2C ．3D ．4思路点拨 利用中点，设法把 MN 、PQ 用含相同线段的代数式表示．例 3.如图，C 是线段 AB 的中点，D 是线段 AC 的中点，已知图中所有线段的长度之和为 23，求线段 AC 的长度．思路点拨 引人未知数，通过列方程求解．例 4.摄制组从 A 市到 B 市有一天的路程，计划上午比下午多走 100 千米到 C 市吃午饭，由于堵车， 中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了 400 千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从 C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问 A 、B 两市相距多少千米?思路点拨 条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于名段路程之间的关系， 画线段图分析，借助图形思考．例 5.(1)如图 a ，已知 A 、B 在直线 l 的两侧，在 l 上求一点 P ，使 PA+PB 最小；(2)如图 b ，已知 A 、B 在直线 l 的同侧，在 l 上求一点 P ，使 PA+PB 最小；(3)如图 c ，有一正方体的盒子 ABCD —A 1B 1C l D l ，在盒子内的顶点 A 处有一只蜘蛛，而在对角的顶点 C 处有一只苍蝇．蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在 C l 处不动)思路点拨 联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直．例 6.摄制组从且市到月市有一天的路程，计划上午比下午多走 100km 到 C 市吃午饭．由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了 400km ，傍晚才停下来休息， 司机说，再走 C 市到这里路程的一半就到达目的地．问 A 、B 市相距多少千米?例 7.如图 13-7 所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直， 设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从 A 到 B 的距离最短?思路点拨 虽然 A 、B 两点在河两侧，但连结 AB 的线段不垂直于河岸．如图 13-8，关键在于使 AP+BD 最短，但 AP 与 BD 未连起来，要用线段公理就要想办使 P 与 D 重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的。
线段、射线、直线-2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典(解析版)【北师大版】
1 / 112020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】专题4.1线段、射线、直线姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•哈尔滨期末）如图，图中共有（ ）条线段．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据线段的定义解答即可．【解答】解：图中共有3条线段：线段AC 、CB 、AB ．故选：C ．2．（2019秋•沙坪坝区期末）下列叙述正确的是（ ）A ．线段AB 可表示为线段BAB ．射线AB 可表示为射线BAC ．直线可以比较长短D ．射线可以比较长短【分析】分别根据直线、射线以及线段的定义判断得出即可．【解析】解：A 、线段AB 可表示为线段BA ，此选项正确；B 、射线AB 的端点是A ，射线BA 的端点是B ，故不是同一射线，此选项错误；C 、直线不可以比较长短，此选项错误；D 、射线不可以比较长短，此选项错误；故选：A ．3．（2019秋•杏花岭区校级期末）如图，下列说法正确的是（ ）A ．点O 在射线AB 上B ．点B 是直线AB 的一个端点C．射线OB和射线AB是同一条射线D．点A在线段OB上【分析】根据射线、直线以及线段的定义即可作出判断．【解析】解：A、点O不在射线AB上，点O在射线BA上，故此选项错误；B、点B是线段AB的一个端点，故此选项错误；C、射线OB和射线AB不是同一条射线，故此选项错误；D、点A在线段OB上，故此选项正确．故选：D．4．（2019秋•宜城市期末）下列说法中错误的是（）A．线段AB和射线AB都是直线的一部分B．直线AB和直线BA是同一条直线C．射线AB和射线BA是同一条射线D．线段AB和线段BA是同一条线段【分析】据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解．【解析】解：A、线段AB和射线AB都是直线的一部分，正确，不合题意；B、直线AB和直线BA是同一条直线，正确，不符合题意；C、射线AB和射线BA不是同一条射线，错误，符合题意；D、线段AB和线段BA是同一条线段，正确，不合题意；故选：C．5．（2019秋•大东区期末）下列语句中：正确的个数有（）①画直线AB＝3cm，②延长直线OA③直线AB与直线BA是同一条直线，所以射线AB与射线BA也是同一条射线④在同一个图形中，线段AB与线段BA是同一条线段A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用直线、射线、线段的定义分别分析得出答案．【解析】解：①画直线AB＝3cm，说法错误，直线没有长度；②延长直线OA，直线向两方无限延伸，不能延长，故此说法错误；2/ 11。
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第二十讲 点共线与线共点趣题引路】例1 证明梅涅劳斯定理：如图20-1，在△ABC 中，一直线截△ABC 的三边AB 、AC 及BC 的延长线于D 、E 、F 三点。
求证：1=⋅⋅DBADEA CE FC BF 解析:左边是比值的积，而右边是1，转化比值使其能约简，想到平行线分线段成比例作平行线即可. 证明过点C 作CG /∥EF 交AB 于G . ,,BF BD EC DGCF DG AE AD∴== ∴1=⋅⋅=⋅⋅BDADAD DG DG BD BD AD EA CE FC BF例2 证明塞瓦定理：如图20-2，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与BC 、CA 、AB 相交于D 、E 、F ，求证：1=⋅⋅FBAF EA CE DC BD 证明,,.BCP ACPABP ACP BAP BCPS S S BD CE AF DC S EA S FB S ∆∆∆∆∆∆===∴1=⋅⋅=⋅⋅∆∆∆∆∆∆BCPACPABP BCP ACP ABP S S S S S S FB AF EA CE DC BD知识拓展】1.证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一定要掌握好证三点共线和三线共点的基本方法。
2.证明三点共线的方法是：（1）利用平角的概念，证明相邻两角互补、 （2）当AB ±BC =AC 时，A 、B 、C 三点共线。
（3）用同一方法证明A 、B 、C 中一点必在另两点的连线上。
（4）当AB 、BC 平行于同一直线时，A 、B 、C 三点共线。
（5）若B 在PQ 上，A 、C 在P 、Q 两侧，∠ABP =∠CBQ 时，A 、B 、C 三点共线. （6）利用梅涅劳斯定理的逆定理. 3.证明三线共点的基本方法是：（1）证明其中两条直线的交点在第三条直线上 （2）证明三条直线都经过某一个特定的点.（3）利用已知定理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线交于一点以及三条高所在直线交于一点等。
（4）利用塞瓦定理的逆定理。
在证题过程中要根据题意灵活选用方法。
例1 如图20-3，已知BD =CE ，求证：AC ·EF =AB ·DF .图20-1图20-2图20-3BF解析 等积转化为等比，由比例式可看出直线BCF 截△ADE 的三边， 即可用梅氏定理加以证明.证明直线BF 交△ADE 三边所在直线于B 、C 、F .由梅氏定理得：1=⋅⋅ACECEF DF BD AB ∵CE BD = ∴AB ·DF =EF ·AC .例2（1995年河北省初中竞赛题）如图20-4，在正△ABC 的边BC 、CA 、AB 上分别有内分点D 、E 、F ，将边分成2：（n -2）（其中n >4），线段AD ，BE ，CF 相交所成的△PQR 的面积是△ABC 面积的17，则n 的值是（ ）A :5B :6C :7D :8图20-4B解析22BD CE AF DC EA FB n ===-，由梅氏定理有 1222=-⋅⋅=⋅⋅n n PD AP EA CE BC DB PD AP (2)(2),,4(2)4AP n n AP n n PD AD n n --∴=∴=-+ ∴()()()()()()ABC ABC ABD ABP S n n n S n n n n n S n n n n S ∆∆∆∆+--=⋅⋅+--=+--=42222422422同理2(2)(2)4BCQ CAR ABC n S S S n n ∆∆∆-==-+6(2)(2)4ABP BCQ CAR ABC n S S S S n n ∆∆∆∆-++=-+由已知6(2)6(2)47n n n -=-+，解得n =6.故选B .例3 如图20-5，△ABC 的∠A 的外角平分线与边BC 的延长线交于P ，∠B 的平分线交AC 于Q ，∠C 的平分线交AB 于R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.图20-5图20-6解析：∵ AP 为∠BAC 的外角平分线， AB BPAC PC∴=∴BQ 为角平分线，AB AQ BC QC ∴=同理得：BC BRAC RA=∵1=⋅⋅=⋅⋅AB BC AC AB BC AC QA CQ PC BP RB AR ∴P 、Q 、R 三点共线.例4 求证：三角形的三条角平分线交于一点已知：如图20-6，AD 、BE 、CF 分别为角平分线，求证：AD 、BE 、CF 交于一点解析：∵ AD 为∠BAC 的平分线，BD ABDC AC∴=同理得：,CE BC AF ACEA AB BF BC==1=⋅⋅=⋅⋅BCACAB BC AC AB FB AF EA CE DC BD ∴由塞瓦定理得AD 、BE 、CF 交于一点。
好题妙解】佳题新题品味例 如图20-7，已知G 是△ABC 的重心，M 、N 是GB 、CC 的中点延长AC 至E ，使CE =12AC ；又延长AB 至F ，使BF =12AB .求证：AG 、ME 、NF 三线共点。
图20-7解析:设AG 、BG 、CG 交BC 、CA 、AB 于X 、Y 、Z ，则GY =13BY =MG ，YC =12AC =CE ，从而GC //ME .又M 是BC 的中点，故ME 过BC 的中点X ，同理NF 也过BC 的中点X ,从而AG 、EM 、NF 三线共点.中考真题欣赏例 如图20-8，已知等边△ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取点E ，使得AD =AE ，作等边△PCD ，等边△QAE 和等边△RAB .问R 、B 、P 三点是否共线，若共线判断△PQR 是什么三角形，若不共线，请说明理由。
图20-8CR解析：要判断R 、B 、P 三点是否共线，可判断∠RBC 与∠PBC 的和是否等于180°于是，我们以C 点为中心，将△CAD 逆时针旋转60°，这时A 点与B 点重合，D 点与P 点重合。
不难证明∠RBC +∠PBC =180°，故R 、B 、P 三点共线，△PQR 是等边三角形。
证明连结BP ，∵△ABC 和△DPC 都是等边三角形， ∴AC =BC ，DC =PC ，又∠ACD =60°-∠DCB =∠BCP ， ∴△CAD ≅△CBP∴∠PBC =∠BAC =60°. 又∠RBC =60°+60°=120° ∴∠RBC +∠PBC =180°. 故R 、B 、P 三点共线.易知∠RAQ =60°+60°+60°=180°，R 、A 、Q 三点共线. 而△CAD ≅△CBP ， ∴BP =AD =AE =AQ .∴RP =RQ ，且∠R =60°， 故△PQR 是等边三角形。
竞赛样题展示例1 如图20-9，已知AD 、BE 、CF 为△ABC 外接圆的切线，AD 、BE 、CF 分别交BC 、AC 、AB 于D 、E 、F ，求证：D 、E 、F 共线图20-9证明连接DE 、EF .∵AD 是圆的切线，∴∠DBA =∠DAC ，∠ADB =∠CDA ， ∴△DBA △DAC ，DC DA ACDA DB AB∴==22DC DC DA AC DB DA DB AB ∴==同理得：2222,EA BA FB BC EC BC FA AC ==1222222=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅AC BC BC BA AB AC FA BF DB CD EC AE FA FB EC EA DB DC ∴由梅氏定理的逆定理得：D 、E 、F 三点共线.例2（1994年“祖冲之杯”初中竞赛）如图20-10，已知54,23AD AC DB CE ==求BFFC的值 图20-10解析由43,37AC CE CE EA ==得 在△ABC 中，由梅氏定理得，1=⋅⋅EACEFC BF DB AD ， 即17325=⋅⋅FC BF 故1514=FC BF过关检测】A 级1.（1996年江苏省初中竞赛题）如图20-11，如果ABCD 是2×2正方形，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，AF 与DE 相交于I ，BD 和AF 相交于H ，那么四边形BEIH 的面积是（ ）A 13B 25.C 715D .815图20-11E2.（1996年武汉市初中竞赛题）在△ABC 中，AD 是中线，E 在AB 上，且AE =13AB ，CE 与AD 交于F ，则DEFACFS S ∆∆的值是_______3.（“祖冲之杯”初中竞赛题）如图20-12，D 、F 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，且AD :DB =CF :F A =2:3.求EFFD的值 图20-124.如图20-13，已知P 为△ABC 内任意一点，连AP 、BP 、CP ，并延长分别交对边于D .E 、F ，求证：1PD PE PFAD BE CF++= 图20-135.（1995年上海市初中竞赛题）已知P 是△ABC 内一点，AP 、BP 、CP 的延长线分别交BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，设AP =x ，BP =y ，CP =z ，DP =EP =FP =d ，若x +y +z =43，d =3.求x 、y 、z 这三个数的乘积。
B 级1.（塞瓦定理的逆定理）设D 、E 、F 分别是△ABC 三边BC 、CA 、AB 内的一点满足1=⋅⋅FBAFEA CE DC BD .求证：AD 、BE 、CF 三线共点。
2.证明：三角形三条高所在的直线共点.3.如图20-14，凸四边形ABCD 的对角线互相垂直，过AB 、AD 的中点K 、M 分别引对边CD 、CB 的垂线KP 、MT .证明：KP 、MT 、AC 三直线交于一点。
图20-144.（1998年全国初中数学竞赛题）如图20-15，已知P 为▱ABCD 内一点，O 为AC 与BD 的交点，M 、N 分别为PB 、PC 的中点，Q 为AN 与DM 的交点，求证：（1）P 、Q 、O 三点在一条直线上； （2）PQ =2OQ .图20-15A。