2019年云南师大附中高三文科数学第四次月考试卷(含答案)
【百强市校】云南省师范大学附属中学2019届高三第五次月考数学(文)答案
x1 x2 p x1 x2 2 p ，所以四边形 AABB 的面积与
2
图4
11．如图 5，设 A( x1，y1 )，B( x2，y2 ) ，则四边 1 p | y1 y2 | ， S△AOB S△AOF S△BOF | y1 y2 | 2 2 2 p | y1 y2 | ，根据抛物线的定义及已知条件，得 3 p 4
云南师大附中 2019 届高考适应性月考卷（五） 文科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 答案 【解析】 1．由图 1 可知圆 ( x 1) 2 y 2 1 与 y ( x 1) 2 有两个交点，故选 B． 2．因 为 (a i)2 bi ， 所 以 a 2 1 (2a b)i 0 ， 所 以 a 2 1 0 且 1 B 2 B 3 D 4 A 5 A 6 C 7 A 8 D 9 D 10 C 11 C 12 A
图3
28 8 AB AC 4 ，故选 D． 9 9
10 ． 设 点 A 到 平 面 BCD 的 距 离 为 h ， 三 棱 锥 的 体 积 为 V ， 则 1 3 V S△BCD h h ，当 h 最大时，V 最大，此时平面 ABD 平 3 3
面 BCD ，如图 4 所示，取 BD 的中点 M ，则 CM BD ，所以
2 nπ
π (n Z) ，即 3n ；又 0 ，所以当 n 1 时， 取最小值 3，则 f ( x) 6
π π kπ π π (k Z) ，故选 D． 2sin 3x ．由 3x kπ (k Z) ，得 x 6 2 3 9 6 9．依题意， AM ，BN 是 △ABC 的两条中线，设它们相交于点 O ， 则 点 O 为 △ABC 的 重 心 ， 因 为 | AM | 2， | BN | 3 ， 所 以
云南省昆明市云南师大附中2023届高考适应性月考(四)数学试题 扫描版含答案
数学参考答案·第1页（共8页）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C B B D A B【解析】1．4(12i)(12i)41441z z -=+--=+-= ，故12i 4z z z z ==-- ，故选B ．2．杜牧认为没有东风，则赤壁之战东吴将输给曹操，则说明东风是打败曹操的必要条件．但有了东风，若没有其他的地利人和，也未必能打败曹操，故东风不是充要条件，故选C ． 3．223(1)(3)0x x x x --=+-≤∵，{10123}A =-，，，，∴，由x A -∈知道，x 可以取3-，2101--，，，，又101A A A -∈∈∈，，，故知{32}B =--，，故选C ．4．由题意知205μσ==，，故1()10.6827(15)()22P X P X P X μσμσμσ--<<+-=-==≤≤ 0.1587≈，故选B ． 5．πππππcos cos 66336f x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题意知π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于π12x =轴对称，则ππππ()1236k k ωω+-=∈Z ，即412()k k ω=-∈Z ，又因为0ω>，故当0k =时，ω有最小值4，故选B ．6．一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，则甲被抽取的两张牌的点数之和应更小．若甲被抽取的两种牌中有点数为10的牌，则这两张牌的点数之和肯定更大，不合题意．故甲只能被抽取两张3，故其抽取的两张牌的点数之和为6，而乙抽取的两张牌点数之和要大于6，则必然要至少有一张5．综上2112446422610C C C C 66244C C 154515P ++==⨯= ，故选D ． 7．设两个正四棱锥分别为P ABCD -和Q ABCD -，P ABCD -和Q ABCD -的高分别为1h 和2h ，外接球半径为r ，则由题意知道211232h h h h r =⎧⎨+=⎩，，故12322r r h h ==，．设PQ 与平面ABCD数学参考答案·第2页（共8页）交点为1O ，球心为O ，故12r OO =，故1AO ===，故12AB r ==．设AB 的中点为E ，则4PE ===，同理可得4QE r =，故1442142142PABQAB AB PE S PE S QE AB QE ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯△△，故选A ． 8．构造函数π()sin 02f x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，，，则()1cos 0f x x '=-≥，故函数()y f x =在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故1(0)011f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11sin 1111>，又313111>，故a b <．构造函数()ln 1g x x x =+-，则1()1g x x'=-，易知函数()y g x =在1x =处取得最大值(1)0g =，故10011g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1010ln 101111+-<，即11011ln ln ln1.1111110<-==，由前面知11sin 1111<，故a c <．构造函数3()ln(1)3x h x x x =+-+，则22219(3)9(1)()1(3)(1)(3)x x h x x x x x +-+'=-==++++ 2(3)(1)(3)x x x x -++，故知函数()y h x =在(03)，上单调递减，故(0.1)(0)0h h <=，即0.33ln1.1 3.131<=，故c b <，综上，故选B ． 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 12 答案BD AC ACD BCD【解析】 9．2(123)a b k +=+ ，，由(2)a b a +⊥ 知道(2)0a b a += ，即1(23)0k k ++=，解得12k =- 或1k =-，故选BD ．10．如图1，11C D AB ∥∵，而AB ⊂平面ABP ，故11C D ∥平面ABP ，故A 正确；显然1B C 与BP 不垂直，故1B C ⊥平面ABP 不可能成立，故B 错误；易知AB ⊥平面11BCC B ，故有平面11BCC B ⊥平面ABP ，故C 正确；直线1AA 与平面ABP 所成角即为直线1BB 与平面ABP 的数学参考答案·第3页（共8页）所成角，取BC 的中点Q ，易知1B Q BP ⊥，故由C 选项知1B Q ⊥平面ABP ，故1B BP ∠即为直线1BB 与平面ABP 的所成角，设正方体棱长为a，则1cos sin 52aB BP CBP ∠=∠==，故D 错误．综上，故选AC ． 11．由题意知道cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，，故A 选项显然正确；对于B选项，4π2cos 134π2sin 3x y ⎧==-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，故B 错误；对于C选项，20y --=化为极坐标方程为cos sin 20θρθ--=，化简得πcos 16ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，2sin ρθ=，则22sin ρρθ=，故直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1x y +-=．综上，故选ACD ．12．如图2所示，由题意知12122221212222AF AF a F F c AF AF F F -==⎧⎪==⎨⎪+=⎩，，解得1211AF AF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，，故知A 不正确，在12Rt AF F △中，由等面积法知121211||||||||22A AF AF F F y =，解得||A y =，代入双曲线方程得225123A A y x =+=，又因为点A 在双曲右支上，故A x =，故B 正确；由图知121213tan 2AF AF k AF F AF =∠===，1132AB AF k k +=-=-，由对称性可知，若点A 在第四象限，则32AB k +=，故C 正确；1ABF △的内切圆半径11122111()()22r AF AB BF AF AF BF BF =+-=++-1112)12=+-=-，故D 正确．综上，故选BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图1图2数学参考答案·第4页（共8页）【解析】13．63662661C ()C 2r rr r r r x x x --⎛⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝⎝，故当4r =时取得常数项，故常数项为1516．14．若12π3AO B ∠=，设圆心1O 到直线AB 的距离为d，则d ==．两圆方程相减得直线AB 的方程：22260x y r ++-=，故圆心1(11)O ，到直线AB 的距离为22d ===，解得r =或r =15．()sin 33sin sin(2)3sin sin 2cos cos 2sin 3sin f x x x x x x x x x x x =+=++=++=2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin 6sin x x x x x x x -+-+=-+，令sin t x =，则[11]t ∈-，，则只需求函数3()46g t t t =-+在[11]t ∈-，上的值域即可．22()1266(21)g t t t '=-+=--，故知函数()g t在12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减，在22⎛ ⎝⎭，上单调递增，12⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减．故极小值为2g ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，极大值为2g ⎫=⎪⎪⎝⎭，又(1)2g -=-，(1)2g =．故()g t 在[11]t ∈-，上的值域为[-，即函数()f x的值域为[-． 16．考虑(1)f ，显然可以有四种结果，记其可以满足的结果数为1a ，则14a =，记{1}f n B → ：，，中满足{11}i n ∀∈- ，，，都有|(1)()|2f i f i +-≥的函数个数为(2)n a n ≥．考虑2a ，当(1)1f =和(1)4f =时，(2)f 的选取都各有两个；当(1)2f =和(1)3f =时，(2)f 只有唯一的选择(2)4f =和(2)1f =，故222216a =⨯+⨯=．以此类推，当()1f i =和()4f i =时，(1)f i +的选取都各有两个；当()2f i =和()3f i =时，(1)f i +只有唯一的选择(1)4f i +=和(1)1f i +=，设i a 个函数中满足()1f i =和()4f i =的函数个数有m 个，满足()2f i =和()3f i =的函数个数有n 个，则12i a m n +=+．对于这2m 个函数，其中有一半会使得(1)1f i +=和(1)4f i +=，另一半使得(1)2f i +=和(1)3f i +=；而那n 个函数，必然使得(1)1f i +=和(1)4f i +=，故知212()32i i i a m n m m n a a ++=++=+=+．由递推公式可得345671016264268a a a a a =====，，，，．故满足条件的函数f 的个数为68．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）1142n n n a a ++=-∵，112122n n n n a a ++=- ∴，1112122n n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴，数学参考答案·第5页（共8页）又1122a -=∵，故12nn a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列． 112222n n n n a --== ，则42n n n a =+．…………………………………………………（5分） （2）由题意可得：122n n n n a b =-=，{}n c 是以4为首项，3为公差的等差数列， 则43(1)31n c n n =+-=+．故214272(32)2(31)2n n n T n n -=+++-++ ①，23124272(32)2(31)2n n n T n n +=+++-++ ②，①−②得231183(2222)(31)2n n n n T n -+-=+++++-+231123(22222)(31)2n n n n -+=++++++-+112(12)23(31)2(23)2412n n n n n ++-=+-+=--- ， 1(32)24n n T n +=-+ ∴．………………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）（1）证明：连接AM ，DM ，32BM MC =∵，5BC =，3BM AB ==∴， 又AD BC ∥∵，ABMD ∴为菱形，AM BD ⊥∴，又PA ⊥∵平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥∴，又PA AM A = ∵，BD ⊥∴平面PAM ，BD PM ⊥∴．……………………………（5分）（2）解：在ABC △中，3AB =，4AC =，5BC =，故AB AC ⊥，又PA ⊥∵底面ABCD ，建系如图3．则(040)C ，，，(004)P ，，，(022)N ，，，(044)PC =- ，，，在底面ABCD 中，令AC MD E = ，由ADE CME △∽△得9612555DE EM AE ===， 则612912005555M D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， (300)MD =- ，，∴，92255ND ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，， 设平面MND 的一个法向量为()n x y z = ，，，图3数学参考答案·第6页（共8页） 则有30922055x x y z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，，得(051)n = ，，， 设PC 与平面MND 所成角为θ，则sin |cos |PC n θ=〈〉== ，，即为所求．……………………………（12分） 19．（本小题满分12分） 解：（1）在ABD △中，由余弦定理可得：2222cos 31211BD AB AD AB AD BAD =+-∠=+-= ， 1BD AD ==，π6ABD BAD ∠=∠=∴，故π3ADC ∠=， 在Rt ACD △中，12π1cos 32AD CD ===， 故3BC BD CD =+=．……………………………………………………………………（5分） （2）设AB x =，则2AC x =，1πsin 42241πsin 26ACD ABD AC AD S CD x BD S x AB AD ==== △△ ， 设BD y =，则45CD y BC y ==，，在Rt ACD △中，由勾股定理222AC AD CD +=，即224116x y +=，在ABC △中，由余弦定理得2222π2cos3BC AB AC AB AC =+- ， 即222225(2)27y x x x x x =++= ，联立解得22512x =，故212πsin 23224ABC S AB AC x === △ ．………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分） 解：（1）X 可能的取值为0，1，2，4（显然，若小狗取对了三件物品，则第四件物品也一定是取对的，故X 不可能为3．） 4411(4)A 24P X ===，2444C 1(2)A 4P X ===，1444C 21(1)A 3P X === ， 1113(0)124438P X ==---=．数学参考答案·第7页（共8页）故分布列为3111()0124183424E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………（8分）（2）小狗连续两次得分都大于2分，即小狗每一次都得四分．若小狗取物品都是随机的，那么连续两次得4分的概率仅为2110.001724576⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭，这个概率非常小，所以小明认为小狗取物品应该不是随机的，是他对小狗的训练起了作用，这个认为是合理的．……………………………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分） 解：（1）由(4)P m -，是C 上一点知：162pm =，故8m p=． 由抛物线定义可知：8||522p pPF m p =+=+=， 化解得210160p p -+=，解得2p =或8p =， 又因为P 位于F 的上方，故82pp >，故2p =， 故抛物线方程为24x y =．………………………………………………………………（4分） （2）由（1）知(44)P -，，(01)F ，，显然，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，设点22121244x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，得2440x kx --=，故121244x x k x x +==-，， 若PF 平分角APB ∠，则12||||||||||||x PA AF PB BF x ==，故221222||||x PA PB x =， 即22211212222222(4)44(4)44x x x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，即421211142222228321683216x x x x x x x x -++=-++， 即2222222222221212112122221211218328321616x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=-++ ，数学参考答案·第8页（共8页）将124x x =-代入化简得22221131323132x x x x -=-，即21212131()()32()0x x x x x x +---=，因为12x x ≠，故2131()32x x +=，即31432k ⨯=，得831k =， 故直线l 的方程为8131y x =+．…………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分12分）（1）证明：当2a ≥时，22()ln 3ln 23f x x x ax x x x x x =-+-+≤， 欲证()1f x ≤，只需证2ln 231x x x x -+≤，0x >∵，只需证1ln 23x x x-+≤，即证：1ln 230x x x -+-≤，令1()ln 23g x x x x =-+-，则22221121(21)(1)()2x x x x g x x x x x -+++-'=-+==-， 故知函数()g x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减， 故max ()(1)0g x g ==，故()0g x ≤，即1ln 23x x x -+≤，得证．………………………（5分）（2）解：ln 4()1ln 2322x f x x ax x a x +⎛⎫'=+-+=-⎪⎝⎭． 令ln 4()2x h x x +=，则22122(ln 4)62ln ()44x x x x h x x x -+--'==， 故知()h x 在3(0e )-，上单调递增，在3(e )-+∞，上单调递减，故33maxe ()(e )2h x h -==，①若3e 2a ≥，则()0f x '<恒成立，则()f x 在(0)+∞，上单调递减，无最大值；②若3e 02a <≤．0lim ()lim ()0x x h x h x →→+∞=-∞=，， 则()f x '在(0)+∞，上有两个零点，设为12x x ，，且12x x <．显然312e x x -<<， 故当1(0)x x ∈，时，1()()h x h x a <=，故()0f x '<，函数()f x 此时单调递减． 同理可知函数()f x 在12()x x ，上单调递增，在2()x +∞，上单调递减． 又0lim ()0x f x →=，故()f x 有最大值等价于2()0f x ≥， 故有2222222ln 402ln 30x a x x x ax x +⎧-=⎪⎨⎪-+⎩，≥，化简得222ln 02x x x +≥，解得22e x -≥， 又2()a h x =，且()h x 在2(e )-+∞，上单调递减， 故22(e )e a h -=≤，故20e a <≤；③若0a ≤，当e x ≥时，2()34f x x ax x x -+≥≥，()f x 显然无最大值，综上，20e a <≤．………………………………………………………………………（12分）。
2019届云师大附中高三高考适应性月考(三)数学(文)试题(解析版)
2019届云师大附中高三高考适应性月考（三）数学（文）试题一、单选题1．已知集合41M x x N x ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭，，则M 的非空子集的个数是（ ）A ．15B ．16C ．7D ．8【答案】C【解析】先把集合M 的所有元素求出，再求其非空子集. 【详解】{}1,2,3M =,所以M 的非空子集为{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3共7个，故选C. 【点睛】本题主要考查集合的子集求解.可以采用列举法，也可以采用公式，集合M 若有m 个元素，则M 的子集个数为2m 个，非空子集的个数为21m -个.2．若等差数列{}n a 的前n 项和为489,1,9n S a a a =+=, 则9S =（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】B【解析】由等差数列的基本量法计算． 【详解】设数列的公差为d ，首项为1a ，则41891312159a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得14379a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴91984799()3616239S a d ⨯=+=⨯-+⨯=． 故选：B. 【点睛】本题考查求等差数列的前n 项和，掌握等差数列的基本量法是解题关键．3．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．18B ．36C ．54D ．54185+【答案】C【解析】由三视图还原出原几何体，由体积公式计算． 【详解】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面为平行四边形，故体积33654V Sh ==⨯⨯=， 故选：C ． 【点睛】本题考查棱柱的体积，考查三视图，解题关键是由三视图还原出原几何体． 4．已知1sin cos 2αα+=，则cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．34 B ．34-C ．38D ．38-【答案】A【解析】把已知平方求得sin 2α，再由诱导公式得出结论． 【详解】 由已知，()2133sin cos 1sin 2,sin 2,cos 2sin 24424παααααα⎛⎫+=+==-+=-= ⎪⎝⎭， 故选：A 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查二倍角公式和诱导公式，解题关键是确定已知角和未知角的联系，确定选用什么公式计算．5．如图所示的流程图，最后输出的x 的值为（ ）A ．54B ．55C ．108D ．110【答案】B【解析】模拟程序运行，确定程序功能，然后由等差数列前n 项和公式计算． 【详解】有题可知，2,2i x ==；3,24i x ==+； 4,246i x ==++； L ，55,24?··108i x ==+++，∴246+1085554x +++==L ，故选：B 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题关键是确定程序功能，由等差数列的求和公式计算．6．已知向量, m n u r r 的夹角为60︒，且13213m m n -==u r r u r ，则n =r （ ）A ．32- B ．32C ．32D ．2【答案】D【解析】把向量的模用向量的数量积表示出来，由数量积的定义求解． 【详解】222232(32)912cos 60413m n m n m m n n ︒-=-=-+=u r r u r r u r u r r r ，又1m =u r ， ∴22320n n --=r r，解得2n =r ，故选：D 【点睛】本题考查求向量模，掌握数量积的定义和性质是解题关键．7．“ATM ”自动取款机设定: 一张银行卡一天最多允许有三次输人错误，若第四次再错则自动将卡吞收一天晚上，李四在“ATM ”自动取款机上取款，一时想不起该卡的密码，但可以确定是五个常用密码中的一个，他第一次输入其中的一个密码是错误的，则他在确保不被吞卡的前提下取到款的概率是（ ） A ．15B ．14C ．12D ．34【答案】C【解析】还有4个密码，其中只有一个正确，只能试两次．第一次正确和第二次正确是互斥事件，每次正确的概率都是14．由此可得． 【详解】他只能再试两次，第一次试成功的概率是14， 第二次试成功的概率是311434=g ，两次是互斥事件111442P ∴=+=， 故选：C 【点睛】本题考查互斥事件概率，解题关键是剩下两次试验中第二次试验正确的概率为311434⨯=，不是13． 8．在封闭的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB=6，AA 1=4，则V 的最大值是（ ）A ．16πB ．32π3C ．12πD ．【答案】D【解析】先利用正三棱柱的特征，确定球半径的最大值，再利用球的体积公式求解. 【详解】正三角形ABC 的边长为6，其内切圆的半径为2r =<，所以在封闭的正三棱柱ABC－A 1B 1C 1343V r π==，故选D. 【点睛】本题主要考查组合体中球的体积的求解.球的体积和表面积的求解关键是求出球半径.9．定义在R 上的函数f （x ）满足()()()()2log 1,0,12,0,x x f x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨--->⎪⎩则f （2019）的值为（ ） A ．－2 B ．－1C ．2D ．0【答案】D【解析】先根据函数解析式求解出周期，利用周期求值. 【详解】0x >时，()(1)(2)f x f x f x =---①，(1)(2)(3)f x f x f x -=---②，两式相加可得()(3)f x f x =--，所以周期为6.2(2019)(3)(2)(1)(0)10f f f f f log ==-=-=-=,故选D. 【点睛】本题主要考查利用函数的周期求值.先利用周期把所求化到已知区间，再代入对应的解析式即可.10．已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点P 满足22OPF POF ∠=∠（O 为坐标原点），则E 的离心率为（ ）A ．B ．2C D【解析】先利用对称求出点P 的坐标，结合∠OPF 2＝∠POF 2可知2PF c =，利用两点间距离公式可求得离心率. 【详解】设00(,)P x y 是1F 关于渐近线b y x a =-的对称点，则有000022y a x c by x cb a ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=-⋅⎪⎩；解得222(,)b a abP c c-；因为∠OPF 2＝∠POF 2，所以2PF c =，222222()()b a ab c c c c--+=；化简可得2e =，故选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求,,a b c 之间的关系式. 11．已知定义在R 上的函数()(),'f x f x 是其导函数，且满足()()()212f x f x f e '->=-，,则不等式()2x f x e +≥的解集为（ ）A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】B【解析】构造新函数()()2xf x F x e+=，由已知确定()F x '的正负，得()F x 的单调性，不等式变为()(1)F x F >，然后可求解． 【详解】 令()()2x f x F x e +=，则()()()()'2'0,xf x f x F x F x e --=>∴在R 上为增函数，又()12f e =-，()()()1211,22x f F f e e +∴==+>Q 可化为()21xf x e+>，即()()1F x F >，()1,x ∴∈+∞【点睛】本题考查利用导数解不等式，解题关键是构造新函数()()2xf x F x e+=．二、填空题12．已知实数x ，y 满足条件04010,x y x y x -≤⎧⎪+-<⎨⎪-≥⎩，，则22(2)x y +-的取值范围是________．【答案】[1,4)【解析】作出可行域，结合图形可得. 【详解】作出可行域，如图，()222x y +-可以看做可行域内的点到点(0,2)A 的距离的平方，可以看出在点,B C处取临界值，所以可得()222x y +-的范围为[1,4). 【点睛】本题主要考查二元一次不等式表示的区域及最值求解.作出图形，结合表达式的几何意义，可以方便求解.13．曲线()31xy x e =-+在点()0, 1处的切线方程为__________．【答案】21y x =-+.【解析】求出导数，得切线斜率，从而得切线方程． 【详解】()()33132x x x y e x e x e '=-+-+=--，所以0'2x k y ===-,故切线方程为()120y x -=--.即21y x =-+.故答案为：21y x =-+． 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是求出导数得出切线斜率．14．在正项等比数列{}n a 中，1008101110091010210ma a a a +=⨯,则122018lg lg lg a a a +++=L ______. (用数字及m 表示)．【答案】1009m .【解析】由等比数列的性质结合对数运算法则计算． 【详解】在正项等比数列{}n a 中，12018220171008101110091010···10ma a a a a a a a ====()()100912201812201812018lg lg lg lg lg 1009lg101009m a a a a a a a a m∴+++=⋅⋅⋅=⋅==L L 故答案为：1009m ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，即数列{}n a 是等比数列，正整数,,,m n p l 满足m n p l +=+，则m n p l a a a a =．15．已知F 是抛物线24y x =的焦点，其准线与x 轴交于P 点，过P 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，设,FA FB 的斜率分别为,m n ,则mn=__________． 【答案】-1.【解析】求出,F P 坐标，设()()()1122,,,,:1A x y B x y l y k x =-，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，把这个结论代入mn可得． 【详解】()()1,0,1,0,F P -Q 设()()()1122,,,,:1A x y B x y l y k x =-，由()214y k x y x ⎧=+⎨=⎩，得()2222212242240k k x k x k x x k-+-+=⇒+=，121x x =g ，()()11221212111111k x y x x m n x y x k x +--==--+g g()()()()()()1212121212121111111x x x x x x x x x x x x +----===--++--g g g ．故答案为：1-． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题时设交点坐标与直线方程，()()()1122,,,,:1A x y B x y l y k x =-，由直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得1212,x x x x +，再代入其他条件计算求解．这是设而不求思想．三、解答题16．在ABC ∆中，中线AD 交边BC 于点54,16,sin ,cos 135D BD B ADC ==∠= （1）求AD 的长 （2）求ABC ∆的面积 【答案】（1）25；（2）240.【解析】（1）由两角差的正弦公式求得sin BAD ∠，再由正弦定理可得AD ； （2）再由正弦定理求出AB ，然后由面积公式计算面积． 【详解】()541sin ,cos 135B ADC =∠=Q 123cos ,sin 135B ADC ∴=∠= ()sin sin sin cos BAD ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠Q cos sin ADC B -∠312451651351365=⨯-⨯=， 由正弦定理，得655sin 1625sin 1613BD AD B BAD =⨯=⨯⨯=∠()()32sin sin sin 5BDA ADC ADC π∠=-∠=∠=Q 由正弦定理，得133sin 2539sin 55AD AB BDA B =⨯∠=⨯⨯=115sin 39322402213ABC S BA BC B ∆∴==⨯⨯⨯=g g 【点睛】本题考查正弦定理，三角形面积公式，考查两角差的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理是解题关键．17．某学校为更好进行校纪、校风管理，争创文明学校，由志愿者组成“小红帽”监督岗，对全校的不文明行为进行监督管理，对有不文明行为者进行批评教育，并作详细的登记，以便跟踪调查下表是5个周内不文明行为人次统计数据:（1）请利用所给数据求不文明人次y 与周次x 之间的回归直线方程y bx a =+$$$,并预测该学校第9周的不文明人次;（2）从第1周到第5周的记录得知，高一年级有4位同学，高二年级有2位同学已经有3次不文明行为.学校德育处决定先从这6人中任选2人进行重点教育,求抽到的两人恰好来自同一年级的概率参考公式：()()()1122211n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bxnxx x ====---==--∑∑∑∑$，$$a y bx=-$ 【答案】（1）$8.5125.5y x =-+，49；（2）715P =. 【解析】（1）由所给公式计算回归直线方程中的系数，得方程，代入9x =得估计值； （2）把6人编号，用列举法列出任选2人的所有基本事件，然后得出2人是同一年级的基本事件，计数后可求概率． 【详解】解：()1由表中数据知1234512010510090853,10055x y ++++++++====，5152215141515008.555455i ii i i x y x ybx x==--==-∴=--∑∑$$125.5ay bx =-=$ ∴所求回归直线方程为$8.5125.5y x =-+令9x =，则$8.59125.5=49y =-⨯+∴该学校第9周的不文明人次为49人次，()2设高一年级的4位同学的编号分别为1234,,,a a a a .高二年级的2位同学的编号分别为12,b b从这6人中任选2人包食以下基本事件:()()()()()1213141112,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b ()()()()()2324212231,,,,,,,,,,a a a a a b a b a b ()()()()32414212,,,,,,,,a b a b a b b b共15个基本事件，其中两人恰好来自同一年级包含7个基本事件，∴所求概率715P =【点睛】本题考查线性回归直线方程，考查古典概型，用列举法列出所有基本事件是古典概型常用方法．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面1,1,2ABCD AB AD CD BAD ===∠90,2,CDA PC PD E ︒=∠===为PB 的中点（1）求证:平面PAD ⊥平而PBC ; （2）求三棱锥E PAD -的体积 【答案】（1）证明见解析；（2）112.【解析】（1）由勾股定理得PC PD ⊥，再由面面垂直的性质定理得AD 与平面PCD 垂直，得线线垂直，从而有线面垂直，再得面面垂直；（2）由E 是PB 中点得P ADE B ADE V V --=，求出P ABD -的体积即可得． 【详解】()1证明:在PCD ∆中，2222,2.PC PD CD PC PD CD ===+=，PC PD ∴⊥.90,CDA AD CD ︒∠=∴⊥Q .又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD I 平面ABCD CD =，AD ∴⊥平面,PCD AD PC ∴⊥.又,PD AD D PC ⋂=∴⊥平面PAD .PC ⊂Q 平面PBC 。
2019-2020学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(理科)(含答案)
2019－2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题.1.（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A .{|01}x x <<B .{|02}x x <C .{|22}x x -<<D .{0，1}2.（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= )A .2iB .2i -C .2D .2-3.（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a a b -=-，则||(b = )AB .2C .3D .44.（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则yx 的最大值为( )A .2B .32C .1D .235.（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点“发生的概率为( ) A .13B .12C .23D .16.（5分）已知3(21)()x x a -+展开式中各项系数之和为27，则其展开式中2x 项的系数为( )A .24B .18C .12D .47.（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( )A .3πB .2πC .23πD .34π8.（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A .B .C .D .9.（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A 21B .22C .3D .51-10.（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A .12a a >B .17a a >C .63T =D .76T T <11.（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形。
云南师大附中2019届高考适应性月考卷(三)文数
文科数学参考答案·第1页（共7页）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（三）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CBBCABDCDCBB【解析】1．41{123}M x x x ⎧⎫=>∈=⎨⎬⎩⎭N ，，，，则M 的非空子集的个数为3217-=，故选C ． 2．(i 1)(1i)(2i 1)(1i)13i z +-=--=+，1313i i 2222z z =+=-，，故选B ． 3．172635489229a a a a a a a a a +=+=+==+=，，∴916S =，故选B ．4．由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面为平行四边形，故体积33654V Sh ==⨯⨯=，故选C ．5．213π3(sin cos )1sin 2sin2cos 2sin 24424αααααα⎛⎫+=+==-+=-= ⎪⎝⎭，，，故选A ．6．由题意可知22i x ==，；324i x ==+，；4246i x ==++，；L ；5524108i x ==+++L ，， 最后输出的2461085554x ++++==L ，故选B ．7．2222|32|9||12||||cos604||132||3||20m n m m n n n n -=-︒+=--=u r r u r u r r r r r ，，解得||2n =r ，故选D ．8．他只能再试两次，第一次试成功的概率是14，第二次试成功的概率是311434=g ，两次是互斥事件，∴111442P =+=，故选C ． 9．由题意知，当球与正三棱柱的部分面相切时，体积最大，若球与三个侧面都相切时，选取3时球的半径为2，而23>球放不进去，所以半径为3，球的体积最大，文科数学参考答案·第2页（共7页）∴3max 44ππ3333V R ==⨯43π=，故选D ．10．由题可知(1)1(0)0f f -==，，∴(1)(0)(1)011(2)(1)(0)1f f f f f f =--=-=-=-=--，01=-，(3)(2)(1)110(4)(3)(2)011f f f f f f =-=-+==-=+=，，(5)(4)(3)f f f =-=101(6)(5)(4)110f f f -==-=-=，，L ，当123n =L ，，，时，()f n 的取值依次是11--，，011011--L ，，，，，，，故()f x 的取值是以6为周期，∴(2019)(3)0f f ==，故选C ．11．由题意可知12(0)(0)F c F c -，，，，一条渐近线方程为by x a=-，1F 到它的距离为d =22a b+b =，1PF 与渐近线交于M ，则1F M MP b ==，由22OPF POF ∠=∠，得OP =2OF c =，又O 为12F F 的中点，∴2//OM F P ，∴21F PF ∠为直角，∴22244c c b =+⇒22234()c c a =-，∴2242cc a e a=⇒==，故选B ． 12．令()2()e x f x F x +=，则()()2()0e xf x f x F x '--'=>，∴()F x 在R 上为增函数，又(1)e 2f =-，∴(1)2(1)1e f F +==，∵()2e x f x +>可化为()21e xf x +>，即()(1)F x F >，∴(1)x ∈+∞，，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16答案(14]，21y x =-+1009m 1-【解析】13．如图，画出不等式组的区域，(13)(11)(22)A B C ，，，，，，22(2)x y +-表示ABC △内部的点()M x y ，到(02)P ，的距离的平方，所以221(2)4x y <+-≤．14．3e (31)e (32)e x x x y x x '=-+-+=--，所以0|2x k y ='==-，故切线方程为12(0)y x -=--，即21y x =-+．文科数学参考答案·第3页（共7页）15．在正项等比数列{}n a 中，12018220171008101110091010a a a a a a a a ====L 10m =，∴12lg lg a a ++L+2018122018lg lg()a a a a ==g gL g 100912018lg()1009lg101009m a a m ==g ．16．∵(10)(10)F P -，，，，设1122()()A x y B x y ，，，，l ：(1)y k x =+，由2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，，得22k x 22(24)0k x k +-+=212122421k x x x x k -⇒+==g ，，mn =121211y x x y --g 1212(1)11(1)k x x x k x +-=-+g 1212(1)(1)(1)(1)x x x x +-=-+g 12121212()11()1x x x x x x x x ---==-+--g g ．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）∵54sin cos 135B ADC =∠=，， ∴123cos sin 135B ADC =∠=，， ∵3124516sin sin()sin cos cos sin 51351365BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠=⨯-⨯=，由正弦定理，得655sin 1625sin 1613BD AD B BAD =⨯=⨯⨯=∠．………………………………………………………………………………（6分）（2）∵3sin sin(π)sin 5BDA ADC ADC ∠=-∠=∠=， 由正弦定理，得133sin 2539sin 55AD AB BDA B =⨯∠=⨯⨯=， ∴115sin 39322402213ABC S BA BC B ==⨯⨯⨯=g g △． ……………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由表中数据知3x =，100y =， …………………………………………（2分）∴5152215141515008.555455i ii ii x yx ybxx ==--===---∑∑$，………………………………………（3分）文科数学参考答案·第4页（共7页）$125.5ay bx =-=$， ∴所求回归直线方程为$8.5125.5y x =-+． ……………………………………（5分） 令9x =，则$8.59125.549y =-⨯+=， ∴该学校第9周的不文明人次为49人次． ……………………………………………（6分） （2）设高一年级的4位同学的编号分别为1a ，2a ，3a ，4a ，高二年级的2位同学的编号分別为1b ，2b ，从这6人中任选2人包含以下基本事件：1213141112()()()()()a a a a a a a b a b ，，，，，，，，，， 23242122343132414212()()()()()()()()()()a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，其中两人恰好来自同一年级包含7个基本事件， ∴所求概率715P =． ……………………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（1）证明：在PCD △中，22PC PD CD ===，，222PC PD CD +=， ∴PC PD ⊥，∵90CDA ∠=︒，∴AD CD ⊥，又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD I 平面ABCD CD =， ∴AD ⊥平面PCD ，∴AD PC ⊥， 又PD AD D =I ，∴PC ⊥平面PAD ， ∵PC ⊂平面PBC ，∴平面PAD ⊥平面PBC ． ……………………………………………………………（6分） （2）解：取CD 的中点O ，连接PO ， ∵2PC PD ==1PO CD PO ⊥=，，又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD I 平面ABCD CD =， ∴PO ⊥平面ABCD ，因为E 为PB 的中点，所以点E 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离的一半，文科数学参考答案·第5页（共7页）∴11111111111222323212E PAD B PAD P ABD ABD V V V S PO ---===⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=△．……………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由已知得2145AF F ∠=︒，所以由1AB AF ⊥和椭圆的定义，得12AF AF a ==， 并且2222242a c a c =⇒=，又124F AF S =△， 得28a =，24c =，故2224b a c =-=，所以椭圆E ：22184x y +=．……………………………………………………（4分） （2）直线1l ：2y x =-+，代入2228x y +=，得2380x x -=， 从而得82(02)33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，此时8||23AB又设直线2l ：y x m =+，由条件知1023m -<<， 将y x m =+代入2228x y +=，得2234280x mx m ++-=， 设1122()()C x y D x y ，，，，则2121242833m x x m x x -+=-=，， ……………………………………………………（7分）所以22221212164(28)2||2()42896933m m CD x x x x m -=+-=-=-+ 又1023m -<<，∴210009m <≤，∴264896969m <-+≤， ………………………（10分）∴828293=<28||96333CD =当且仅当0m =时取等号， ∵1||||2ACBD S AB CD =g ， ∴188642223927ACBD S >=，12ACBD S ⨯≤8832236339=文科数学参考答案·第6页（共7页）综上，四边形ACBD 面积的取值范围是64326279⎛ ⎝，．…………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）当1a =-时，21()5ln 2f x x x =+-， ∴211()(0)x f x x x x x-'=-=>，由()0f x '>，解得1x >；由()0f x '<，解得01x <<，故()f x 在(01)，上为减函数，在(1)+∞，上为增函数． ………………………………（4分） （2）2(1)(1)()()(1)= (0)a x a x a x x a f x x a x x x x-++--'=-++=>，当1a ≤时，()f x 在[1e]，上为增函数，∴min 9()(1)2f x f a ==-； 当1e a <<时，()f x 在(1)a ，上为减函数，在(e)a ，上为增函数， ∴2min()()5ln 2a f x f a a a a ==--++；当e a ≥时，()f x 在[1e]，上为减函数，∴2min e ()(e)(1)e 52f x f a a ==-+++，综上所述，当1a ≤时，min 9()2f x a =-； 当1e a <<时，2min ()5ln 2a f x a a a =--++；当e a ≥时，2mine ()(1)e 52f x a a =-+++．………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）∵2ρ=，∴24ρ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=． …………………………………………（1分） 由点A 的极坐标为π26⎛⎫⎪⎝⎭，，知点A 的直角坐标为(31)，， 菱形ABCD 的顶点都在圆2C 上，所以菱形ABCD 是正方形，文科数学参考答案·第7页（共7页）故知各顶点的直角坐标为(31)(13)(31)(13)A B C D ----，，，，，，，． ………………………………………………………………………………（5分）（22222||||||||MA MC MB MD ++22222222(3)(1)(3)(1)(1)(3)(1)(3)x y x y x y x y -+-++++++-+-++g222222228228228x y x y x y ++++++g ，将22440x y --=22222||||||||10MA MC MB MD x ++=，∵||1x ≥，∴21x ≥2222||||||||10MA MC MB MD ++，当1x =±时，取得最小值10． ………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：当12a =时，1221111()12222122x x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=++-=-⎨⎪⎪>⎪⎩，，，≤≤，，，结合图象知，不等式()2f x <的解集{|11}M x x =-<<， …………………………（2分） 同理可得，当14a =时，不等式()1f x <的解集1122P x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．………………………………………………………………………………（4分）（2）证明：∵m M n P ∈∈，， ∴22111114122m n m n -<<-<<<<，，，， 22222222(2)(12)441(1)(14)0m n mn m n m n m n +-+=+--=--<，∴22(2)(12)m n mn +<+，即|2||12|m n mn +<+． ………………………………（10分）。
云南师大附中2019年高考适应性抽考卷(四)文数-解析
云南师大附中2019年高考适应性抽考卷（四）文数-解析文科数学参考答案【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕【解析】1．{|13}A x x =-R ≤≤ð，故[14]A B =-R U ，ð，应选A 、2．因为1i 1i 1i 1i ||z z =+--++=+∴=，，应选C 、32222221sin sin sin C A B c a b =∴=+∴=+，，，故三角形为直角三因为D 为BC 边的中点，2233OB OC OD OA AO OD ∴+==-∴=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，，应选B 、5．由(2)(2)f x f x +=-知()f x 的周期为4，又()f x 是定义在R 上的奇函数，故11(4)(0)0(1)(1)(1)(4)22f f f f f f ===--=∴+=，，，应选B 、6．1n =时2162a b ==，，不满足a b ≤；2n =时63124a b ==，，不满足a b ≤；3n =时189248a b ==，，满足a b ≤，输出3n =，应选D 、7．函数3()3log x f x x =+在(0)+∞，是增函数，故零点是唯一的，又00m x <<，那么0()()0f m f x <=，应选B 、8．由三视图知，该几何体下面是三棱柱，上面是三棱锥，故其表面积为：11112221211222282222S =⨯⨯+⨯+⨯++⨯⨯+⨯+⨯=+D 、9. π())cos(2)2sin 26f x x x x ϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，所以将()f x 的图象向左平移π4个单位后，得到πππ()2sin 22cos 2466g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，其对称中心为点 π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，πππ2cos 200π263ϕϕϕ⎛⎫∴⨯++=<<∴= ⎪⎝⎭Q ，又，，应选C 、 10．因为双曲线22221(00)x yC a b a b-=>>：，，那么双曲线C 为等轴双曲线，即a b =，其渐近线为y x =±，与抛物线22(0)x py p =>交于A B ，两点，可得(22)(22)A p p B p p -，，，，所以14282OAB S p p p ==∴g g △，为2x =，应选C 、11．设外接球O 的半径为R ，ABC △外接圆1O 的半径为r ，那么22164ππ169S R R ==∴=，，2sin 60a r r =∴=∴︒，，棱锥的高h ==，1O O ∴=22⎫∴+⎪⎪⎝⎭⎝⎭2=⎝⎭，1213a ∴=，12．由题意，325420172016462018a a a a a a +=+=-+=-L ，，，，以上各式相加得：201711008S a -=-，又20171110071(0)S b a b a b =--∴+=>，，11111323232()55ab a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭≥当且仅当1132a b a b=时等号成立，应选D 、【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕【解析】13．由题意所求圆的圆心坐标为(01)-，，所以所求圆的标准方程为22(1)5x y ++=．14．由不等式组所表示的平面区域知：当2z x y =+过点(12)，时，max 4z =；当2z x y =+过点(21)-，时，min 3z =-，所以2z x y =+的取值范围是[34]-，．15．设扇形OAB 的半径为r ，那么扇形OAB 的面积为221505ππ36012r r ︒=︒，以OA为直径的半圆的面积为2211ππ228r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故所求概率为221π781510π12rr -=． 16．条件等价于在平面直角坐标系中有点(22)A ， ，存在点P 到y 轴的距离为该点到A 点距离的2倍，求该点到x . 设()P x y ，，由题意得：x =2y =为2+．【三】解答题〔共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕设等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >， 由1304n a a a >=，得22a =，……………………………………………………………〔2分〕又3a 是22a -与4a 的等差中项，故232422222222a a a q q q =-+∴=-+∴=g ，，或=0q 〔舍〕．……………………〔4分〕所以2122n n n a a q --==，122.n b n n n a b n +∴==∴=，……………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，121211111122(21)(21)22121n n n n n n c a b b n n n n +-+⎛⎫=+=+=+- ⎪-+-+⎝⎭g ， ………………………………………………………………………………………〔8分〕所以数列{}n c 的前n 项和12(12)11122.1222121n n n n n +-⎛⎫=+-=-+ ⎪-++⎝⎭ ………………………………………〔12分〕18．〔本小题总分值12分〕〔Ⅰ〕证明：正方形ABCD 中，AD AB ⊥，又AD AF ⊥，且AB AF A =I ，所以AD ABEF ⊥平面，又AD BC BC ABEF BC EF ∴⊥∴⊥Q ∥，平面，， 因为ABE △和AFE △都是等腰直角三角形， 所以4590AEF AEB BEF ∠=∠=︒∴∠=︒，， 即EF BE ⊥，且BC BE B =I ，所以EF BCE ⊥平面．……………………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知，BC ABEF BC AE AE AB AB BC B ⊥∴⊥⊥=I 平面，，又，，设点A 到平面BMP 的距离为h ，那么 即点A 到平面BMP的距离为2112分〕19．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕因为x y z ，，成等差数列，所以25a b ，，也成等差数列， 即225b a =+，且125a b +=， 所以7550a b ==，．………………………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕第4，5，6组的总人数为150，那么第4组抽取的人数为7563150⨯=，第5组抽取的人数为5062150⨯=，第6组抽取的人数为2561150⨯=．…………………………………〔7分〕 〔Ⅲ〕记第4组的3人分别为123a a a ，，，第5组的2人分别为12b b ，，第6组的1人为c ，那么从抽取的6人中选3人的所有情况为12312112212()()()()a a a a a b a a b a a c ，，，，，，，，，，，，共20种，其中至少有1人在第5组的情况有16种， 所以，所求概率164205P ==．…………………………………………………………〔12分〕20．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为(0)+∞，，当0a =时，1()1(0)f x bx b=++>，那么22211()bx f x b x x-'=-+=，()0()00f x x f x x''>⇒><⇒<所以()f x在0⎛ ⎝单调递减，在+∞⎪⎪单调递增，x ∴=()f x 的极小值为131f b ==∴=，．…………………〔6分〕〔Ⅱ〕由题意，当2a -≥时，()F x 在区间(02]，上的最大值max ()2F x ≥．…………〔7分〕由〔Ⅰ〕知，121()ln 1ln 1F x a x x a x x x x x=+++-=-++，那么221()(02)x ax F x x x ++'=<≤. ①当22a -≤≤时，222124()0a a x F x x⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭'=>，故()F x 在(02]，上单调递增，max ()(2)F x F =；②当2a >时，设2210(40)x ax a ++=∆=->的两根分别为12x x ，，那么1212120100x x a x x x x +=-<=∴<<g ，，，，所以在(02]，上221()0x ax F x x ++'=>，故()F x 在(02]，上单调递增，max ()(2)F x F =．综上，当2a -≥时，()F x 在区间(02]，上的最大值max 1()(2)ln 22122F x F a ==-++≥， 解得12ln 2a -≥，所以实数a 的取值范围是12ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，．………………………〔12分〕 21．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕由题意知，当点E 是椭圆的上、下顶点时，12EF F △的面积最大，此时12EF F △的面积123S c b c ===g g ，①又椭圆的离心率2ce a ==，②由①②得：222633a c b ===，，，所以，椭圆C 的标准方程为22163x y +=．………………………………………………〔5分〕 〔Ⅱ〕设直线l 的方程为11223()()x my P x y Q x y =+，，，，，那么直线AP 的方程为1111(2)2y y x x --=--，那么111201y x M y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，即11(2)301m y M y ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，， 同理可得22(2)301m y N y ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，．…………………………………………………………〔7分〕由22326x my x y =+⎧⎨+=⎩，，得22(2)630m y my +++=， 由223612(2)0m m ∆=-+>得21m >且1212226322m y y y y m m+=-=++，，…………〔9分〕所以1212(2)3(2)355||||2121m y m y DM DN y y ----=----g g 故||||DM DN g 为定值14．……………………………………………………………〔12分〕22．〔本小题总分值10分〕【选修4−解：〔Ⅰ〕由直线l 的参数方程：2xy ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得直线l 的普通方程为20x y+-， 由ρθ=得220x y +-=，配方得22(3x y +-=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3xy +=．………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得222322⎛⎫⎫-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 即210t -+=，因为0∆>，所以可设12t t ，是点A B ，所对应的参数，那么12121t t t t+==g ．又直线过点(2P ，所以1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=〔10分〕23．〔本小题总分值10分〕【选修4−5：不等式选讲】解：〔Ⅰ〕由()2f x ≥得|3|2x t +≥，解得23t x -≥或23t x --≤， 由题意2132133t t -⎧=⎪⎪⎨--⎪=-⎪⎩，，所以1t =-．………………………………………………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，()|31|f x x =-，所以(1)(1)|32||34||(32)(34)|6f x f x x x x x +--=+--+--=≤， 当且仅当43x ≥时等号成立，所以6m >，故实数m 的取值范围为(6)+∞，．……………………………………………………〔10分〕。
2019-2020学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(文科)(含答案)
2019-2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）（六）一、选择题1．（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A ．{|01}x x <<B ．{|02}x x <C ．{|22}x x -<<D ．{0，1}【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【解答】解：{|02}A x x =<<，{0B =，1}，{|02}AB x x ∴=<．故选：B ．【点评】本题考查了描述法的定义，对数函数的定义域和单调性，绝对值不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= ) A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：32(1)(1)(1)(1)12i i i i i --=-+=-=． 故选：C ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a ab -=-，则||(b = )A B ．2 C ．3 D ．4【分析】根据条件进行数量积的运算即可得出31()1||22a ab b -=-=-，解出||b 即可． 【解答】解：a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a ab -=-，∴231()1||22a ab a a b b -=-=-=-， ∴||3b =．故选：A ．【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则y x 的最大值为( )A ．2B ．32C ．1D ．23【分析】由约束条件作出可行域，再由yz x=的几何意义，即可行域内的动点与定点(0,0)O 连线的斜率求解．【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，作出可行域如图，联立122y x y =⎧⎨-=⎩，解得3(2A ，1)，yz x=的几何意义为可行域内的动点与定点(0,0)O 连线的斜率． 32y z x ==， y z x ∴=的最大值为32． 故选：B ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．5．（5分）某校为了解高一高二各班体育节的表现情况，统计了高一高二各班的得分情况并绘成如图所示的茎叶图，则下列说法正确的是( )A．高一年级得分中位数小于高二年级得分中位数B．高一年级得分方差大于高二年级得分方差C．高一年级得分平均数等于高二年级得分平均数D．高一年级班级得分最低为34【分析】由茎叶图求出高一、高二得分的中位数，判断A错误；根据高一、高二得分分布情况，判断方差大小，得出B错误；计算高一、高二的平均数，判断C正确；写出高一年级得分的最低分，判断D错误．【解答】解：由茎叶图知，高一得分的中位数是1(5556)55.52⨯+=，高二得分的中位数是1(5253)52.32⨯+=，所以高一得分的中位数大，A错误；高一得分数据分布在43~70内，高二得分分布在36~77之间，所以高二得分更分散些，高二得分方差更大些，B错误；计算高一的平均数为1(43454651555657636470)55 10⨯+++++++++=，高二的平均数为1(36454750525361646577)55 10⨯+++++++++=，所以高一得分的平均分与高二得分平均数相等，C正确；高一年级得分的最低分为43，D错误．故选：C．【点评】本题考查了利用茎叶图求中位数、平均数和极值的应用问题，也考查了判断方差的应用问题，是基础题．6．（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k，则事件“直线y kx=与双曲线22:1C x y-=有两个不同的交点“发生的概率为()A．13B．12C．23D．1【分析】故联立方程组成方程组，利用判别式大于0求解，同时应注意二次项系数不为0，求出k 的范围，以及对应区间长度即可求解．【解答】解：将直线y kx =代入双曲线221x y -=，化简得22(1)10k x --=直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点∴△0>且210k -≠1k ∴≠±且11k -<<；即11k -<<； 故所求概率为：101303-=-． 故选：A ．【点评】本题的考点是几何概型以及直线与圆锥曲线的关系，主要考查直线与双曲线有两个不同的交点，关键是联立方程组成方程组，根据判别式求解．7．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( ) A ．3π B ．2π C ．23π D ．34π 【分析】由已知利用正弦定理可得sin B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求cos A ，cos B 的值，进而根据两角和的余弦函数公式可求cos C 的值，结合范围(0,)C π∈，可得C 的值．【解答】解：sin A =，a =，c a >，∴由正弦定理可得sin A B ，可得sinB ===c a b >>，cos A ∴=，cos B =cos cos()sin sin cos cos C A B A B A B ∴=-+=-==， (0,)C π∴∈，可得34C π=． 故选：D ．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】在A 和B 中，平面EFG 平行于棱柱中AB 所在平面，直线AB 与平面EFG 平行；在C 中，直线AB 与平面EFG 相交；在D 中，//AB FG ，直线AB 与平面EFG 平行．【解答】解：A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，在A 中，平面EFG 平行于棱柱中AB 所在平面，∴直线AB 与平面EFG 平行，故A 错误； 在B 中，平面EFG 平行于棱柱中AB 所在平面，∴直线AB 与平面EFG 平行，故B 错误； 在C 中，直线AB 与平面EFG 相交，∴直线AB 与平面EFG 不平行，故C 正确； 在D 中，//AB FG ，AB ⊂/平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，∴直线AB 与平面EFG 平行，故D 错误． 故选：C ．【点评】本题考查直线与平面平行的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A ．12a a >B ．17a a >C ．63T =D ．76T T <【分析】运用对数的换底公式和运算性质，结合基本不等式，作差比较1a ，2a 与1a ，7a 的大小，可判断A ，B ；再由对数的换底公式和运行性质可判断C ，D ． 【解答】解：由1log (2)n n a n +=+，2222212243()343249820233223423lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg a a lg lg lg lg lg lg lg lg +----=-=>=>，可得12a a >，故A正确； 12392790288lg lg lg lg a a lg lg lg --=-=>，可得12a a >，故B 正确； 又1232341log 3log 4log 5log (2)n n n T a a a a n +=⋯=⋯+ 345(2)(2)234(1)2lg lg lg lg n lg n lg lg lg lg n lg ++=⋯=+， 则6832lg T lg ==，故C 正确； 由7932lg T lg =>，可得76T T >，故D 错误． 故选：D ．【点评】本题考查数列的各项的大小和前n 项之积，考查对数的运算性质和基本不等式的运用，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．10．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a ba b+=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A 1B ．2C D 【分析】由题意求出抛物线及椭圆的解得可得p 与c 的关系，再由两个曲线的交点与焦点共线可得可得交点A 的坐标横坐标与F 的相同，代入抛物线可得A 的纵坐标，将A 代入椭圆由a ，b ，c 的关系及离心率的取值范围可得离心率的值 【解答】解：由抛物线2:2(0)E y px p =>可得解得坐标为：(2p，0)， 再由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>可得焦点坐标为：(,0)c ±，由于两个曲线的焦点坐标相同，所以可得2pc =，即2p c =，由于椭圆及抛物线的对称性可得：A ，B ，F 三点共线，可得A x c =，2A y c =，即(,2)A c c ，而A 在椭圆上，所以222241c c a b+=，整理可得22222(4)c b a ab +=，即2222222(4)()c a c a a a c -+=-整理可得：42610e e -+=， (0,1)e ∈，解得1e =，故选：A ．【点评】本题考查椭圆及抛物线的性质对称性可得A ，F ，B 三点共线的性质，属于中档题．11．（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形．已知点B ，C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且AE AB =，点F 为EC 的中点．设2AC r =，DAC α∠=，那么下列结论：①2cos DC r α=，②2cos2AB r α=， ③(1cos2)FC r α=-， ④2(2)DC r r AB =- 其中正确的是( )A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④【分析】根据题意，依次分析四个结论是否正确，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析4个结论： 对于①，在ADC ∆中，2AC r =，DAC α∠=，2ADC π∠=，则sin 2sin DC AC r αα==，①错误；对于②，在ABC ∆中，2AC r =，22BAC DAC α∠=∠=，2ADC π∠=，则cos 2cos2AB AC BAC r α=∠=，②正确；对于③，1111()()(22cos2)(1cos2)2222FC EC AC AE AC AB r r r αα==-=-=-=-，③正确； 对于④，在ADC ∆中，sin 2sin DC AC r αα==，则222224sin 2(1cos2)(22cos2)(2)DC r r r r r DC r r AB ααα==-=-==-，④正确； 综合：②③④正确； 故选：D ．【点评】本题考查弧度制、三角函数的计算，涉及正余弦定律的应用，属于基础题． 12．（5分）已知定义在R 上的偶函数||()sin()(0x f x e x ωϕω=+>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示，设0x 为()f x 的极大值点，则0cos (x ω= )A B C ．35D ．45【分析】根据题设条件，可得||()cos2x f x e x =，考虑0x 的情况，利用导数可得当22,2x k k Z πβπ+=+∈时，()f x 有极大值，由此即可得解．【解答】解：依题意，函数sin()y x ωϕ=+为偶函数， 又0ϕπ<<，故2πϕ=，由图象可知，3()()044f f ππ==，可得2ω=， ||()cos2x f x e x ∴=，由函数()f x 为偶函数，故只需考虑0x 的情况， 当0x 时，()cos 2x f x e x=，()(cos22sin )cos(2),sin x x f x e x x x βββ'=-=+=， 当22,2x k k Z πβπ+=+∈时，()f x 有极大值，故0cos2cos()sin 2x πββ=-==．故选：B ．【点评】本题涉及了三角函数的恒等变换，三角函数的图象及性质，利用导数研究函数的极值，函数的奇偶性等知识点，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）命题“(0,)x ∀∈+∞，220x x m -- “为真命题，则实数m 的最大值为 1- ． 【分析】问题等价于“(0,)x ∀∈+∞，22m x x -”恒成立，求出2()2f x x x =-在(0,)x ∈+∞上的最小值即可．【解答】解：命题“(0,)x ∀∈+∞，220x x m --”为真命题， 等价于“(0,)x ∀∈+∞，22m x x -”恒成立， 设2()2f x x x =-，(0,)x ∈+∞， 所以()f x f （1）1=-， 所以1m -，即实数m 的最大值为1-． 故答案为：1-．【点评】本题考查了全称量词命题的应用问题，是基础题．14．（5分）设a R ∈，已知直线:20l ax y a +-=与圆22:(2)4C x y -+=交于A ，B 两点，则弦AB 的长为 4 ．【分析】由直线系方程可得直线过已知圆的圆心，则答案可求． 【解答】解：由20ax y a +-=，得(2)0a x y -+=，可得直线:20l ax y a +-=过定点(2,0)，即过圆22:(2)4C x y -+=的圆心．∴弦AB 的长为圆的直径等于4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查直线系方程，是基础题．15．（5分）已知函数1,(0,2]()(2),(2,)x f x x f x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈+∞⎩，则()f x 在3x =处的切线方程为40x y +-= ．【分析】依题意，可求得()f x 在3x =处的切线方程的斜率及切点的坐标，从而利用直线的点斜式即可得到答案． 【解答】解：1,(0,2]()(2),(2,)x f x xf x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈+∞⎩， f ∴（3）(32)f f =-=（1）1=，又当(0x ∈，2]时，1()f x x=， 21()f x x ∴'=-，f '（1）1=-，()f x ∴在3x =处的切线方程为：1(3)y x -=--，即40x y +-=， 故答案为：40x y +-=．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求得()f x 在3x =处的切线的斜率是关键，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知平面内一正六边形ABCDEF 的边长为1，中心为点O ，将该正六边形沿对角线AD 折成二面角E AD C --，则当二面角E AD C --的平面角余弦值为13时，三棱锥O CEF -的外接球表面积为 2π ．【分析】首先对正六边形进行折叠，求出该直观图形，进一步利用余弦定理的应用求出三角形CEF 为等腰直角三角形，最后利用勾股定理的应用，求出外接球的半径，最后求出球的表面积．【解答】解：平面内一正六边形ABCDEF 的边长为1，中心为点O ， 如图所示：将该正六边形沿对角线AD 折成二面角E AD C --， 如图所示：则当二面角E AD C --的平面角余弦值为13时，即在线段OD 上取中点G ，所以EG GC = 在EGC ∆中，利用余弦定理2222cos EC EG GC EG GC EGC =+-⨯⨯⨯∠，解得23312443EC =+-， 解得1EC =．由于//EF AD ，EG AD ⊥，GC AD ⊥， 所以AD ⊥平面EGC ， 所以AD EC ⊥，故EFC ∆为等腰直角三角形． 由于1OE OF OC ===，所以三棱锥O CEF -的外接球的球心在过EFC ∆斜边CF 的中点，且垂直于CF 的直线上，整理得1OF OE OC ===，CF解得FK CK OK ===． 如图所示：设外接球的球心为H ， 故：设外接球的半径为r ，所以222)r r +-=，解得r =． 即球心H 和K 重合． 故：24()22S ππ=⨯=． 故答案为：2π【点评】本题考查的知识要点：折叠问题的应用，线面垂直的应用，余弦定理的应用，三棱锥体和外接球的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万件提升到2018年的507.1亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利．已知某市某快递点的收费标准为：首重（重量小于等于1)kg 收费10元，续重5元/kg （不足1kg 按1kg 算）．（如：一个包裹重量为2.5kg ，则需支付首付10元，续重10元，一共20元快递费用）（1）若你有三件礼物A ，B ，C 重量分别为0.4kg ，1.2kg ，1.9kg ，要将三个礼物分成两个包裹寄出（如:A ，B 合为一个包裹，C 一个包裹），那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？（2）对该快递点近5天的每日揽包裹数（单位：件）进行统计，得到的日揽包裹数分别为56件，89件，130件，202件，288件，那么从这5天中随机抽出2天，求这2天的日揽包裹数均超过100件的概率．【分析】本题第（1）题根据题意将三个礼物分成两个包裹共有3中分法，然后具体计算每一种所花费的快递费，综合可得花费的快递费最少的情况；第（2）题应用组合及概率的知识可解决．【解答】解：（1）由题意，可知①当A ，B 合为一个包裹，C 一个包裹时，AB 包裹的重量为0.4 1.2 1.6()kg +=，C 包裹的重量为1.9kg ，AB 包裹的快递费为10515+=（元)，C 包裹的快递费为10515+=（元)，此时快递费一共为151530+=（元)． ②当A ，C 合为一个包裹，B 一个包裹时，AC 包裹的重量为0.4 1.9 2.3()kg +=，B 包裹的重量为1.2kg ，AC 包裹的快递费为105220+⨯=（元)，B 包裹的快递费为10515+=（元)，此时快递费一共为201535+=（元)． ③当B ，C 合为一个包裹，A 一个包裹时，BC 包裹的重量为1.2 1.9 3.1()kg +=，A 包裹的重量为0.4kg ，BC 包裹的快递费为105325+⨯=（元)，A 包裹的快递费为10（元)，此时快递费一共为251035+=（元)．经过比较，可发现当A ，B 合为一个包裹，C 一个包裹时，花费的快递费最少．（2）由题意，可知这5天中日揽包裹数均超过100件的天数为3天， 故从这5天中随机抽出2天，求这2天的日揽包裹数均超过100件的概率为 2325310C p C ==．【点评】本题主要考查应用数学知识解决实际问题的能力．考查了分类讨论思想，转化思想，及数学运算能力．本题属中档题．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，当*n N ∈时，122n n S n +=--． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当*n N ∈时，证明： 111()22n n na i a +-+ 3124123()22n na a a a ii n a a a a ++++⋯+<+ 【分析】（1）由122n n S n +=--，得111a S ==；当2n 时，再由1n n n a S S -=-求数列{}n a 的通项公式；（2）（ⅰ）11212(21)112212121n n n n n n n a a ++--+===+---，下面利用数学归纳法证明1212n n --，则由111122212n n n n a a +-=++-； （ⅱ）由（ⅰ）知，11122n n na a +-+，代入后利用等比数列的前n 项和证明结论． 【解答】解：（1）由122n n S n +=--，得111a S ==； 当2n 时，11222(1)221n n n n n n a S S n n +-=-=---+-+=-． 11a =适合上式，∴21n n a =-；证明：（2）（ⅰ）11212(21)112212121n n n n n n n a a ++--+===+---． 下面利用数学归纳法证明1212n n --．当1n =时，左边1=，右边1=，左边=右边，不等式成立； 当2n =时，左边3=，右边2=，左边>右边，不等式成立；假设当n k =时不等式成立，即1212k k --，则当1n k =+时，左边11(1)1212212(21)1212k k k k k +-+-=-=-+-=+． 即1n k =+时，不等式成立． 综上，明1212n n --．∴111122212n n n n a a +-=++-； （ⅱ）由（ⅰ）知，11122n n na a +-+． 则312401*********(2)(2)(2)(2)2222n n n a a a a a a a a +-+++⋯+++++++⋯++ 2111(1)11112(1)222(1)2221222212n n n n n n n -⨯-=+++⋯++=+=-+<+-． 【点评】本题考查由数列递推式求数列的通项公式，考查等比数列的前n 项和，训练了利用放缩法与数学归纳法证明数列不等式，是中档题．19．（12分）如图，圆台12O O 的轴截面为等腰梯形1221A A B B ，1212//A A B B ，12122A A B B =，112A B =，圆台12O O 的侧面积为6π．若点C ，D 分别为圆1O ，2O 上的动点且点C ，D 在平面1221A A B B 的同侧． （1）求证：12AC A C ⊥； （2）若1260B B C ∠=︒，则当三棱锥12C A DA -的体积取最大值时，求多面体1221CDA A B B 的体积．【分析】（1）设圆1O ，2O 的半径分别为r ，2r ，依题意可得1r =，分析可知1212111224,2,A A B B A B O O ====22CO =，21212CO A A =，由此即可得证；（2）利用基本不等式及已知条件可得点D 为弧12A A 的中点时，V 此时能求出四棱锥1221111(24)322C A A B B V -=⨯⨯⨯+，由此求得多面体1221CDA A B B 的体积．【解答】解：（1）证明：设圆1O ，2O 的半径分别为r ，2r ， 圆台的侧面积为6π，∴162(24)2r r πππ=⨯+，解得1r =，∴在等腰梯形1221A A B B 中，1212111224,2,A A B B A B O O ====连接12O O ，1O C ，2O C ，在圆台12O O 中，12O O ⊥平面12B CB ，1O C 在平面12B CB 内， 121O O O C ∴⊥，又11O C =，故在△12O CO 中，22CO =， 在△12CA A 中，21212CO A A =，故1290ACA ∠=︒，即12ACA C ⊥；（2）由题意可知，三棱锥12C A DA -的体积为1212121||||||3A DA V O O SA D A D =，又在Rt △12A DA 中，222121212162||||A D A D A A A D A D +==，当且仅当12||||A D A D ==取等号，即点D 为弧12A A 的中点时，V 过点C 作12CM O B ⊥交12O B 于点M ， 12O O ⊥平面12B CB ，CM 在平面12B CB 内，12O O CM ∴⊥，12O O 在平面1221A A B B 内，12O B 在平面1221A A B B 内，12121O O O B O =，CM ∴⊥平面1221A A B B ，又2130B O C ∠=︒，则点C 到平面1221A A B B 的距离12CM =，∴四棱锥1221111(24)322C A A B B V -=⨯⨯⨯+， 综上，当三棱锥12C A DA -的体积取最大值时，多面体1221CDA A B B 的体积121221C A DA C A A B B V V V --=+．【点评】本题考查线线垂直的判定以及多面体体积的求法，还涉及了基本不等式的运用，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题． 20．（12分）已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且||||(2)AF BF λλ=． （1）求直线l 斜率的取值范围；（2）过点A ，B 分别作抛物线C 的切线交于点P ，求FP AB ．【分析】（1）设出直线方程，与抛物线方程联立，可得22(1)11(2)44k λλλλ-==+-，结合2λ即可得解；（2）利用导数可得直线21111:24AP y x x x =-，直线22211:24BP y x x x =-，进而得到点(2,1)P k -，由此求得FP AB ．【解答】解：（1）抛物线21:4C y x =的焦点(0,1)F ，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线:1l y kx =+，代入抛物线方程21:4C y x =，可得2440x kx --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x k +=，124x x =-，||||AF BF λ=， 12x x λ∴=-，又222(1)4,4x k x λλ-=-=-，可得22(1)11(2)44k λλλλ-==+-，当2λ时，218k ，∴24k -或24k ；（2）对214y x =求导得12y x '=，则直线1111:()2AP y y x x x -=-， 又21114y x =，所以直线21111:24AP y x x x =-， 同理可得直线22211:24BP y x x x =-， ∴点1212(,)24x x x x P +，即(2,1)P k -， ∴2121(2,2),(,)FP k AB x x y y =-=--，∴222121212112()2()2()()02FP AB k x x y y k x x x x =---=---=， ∴0FP AB =．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也涉及了导数的运用，考查运算求解能力，属于中档题．21．（12分）已知函数2()2f x lnx x x =+-． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）判断并说明函数()()cos g x f x x =-的零点个数．若函数()g x 所有零点均在区间[m ，](,)n m Z n Z ∈∈内，求n m -的最小值【分析】（1）求导，判断导函数与0的关系，即可求得单调性情况；（2）分(0,1)x ∈，[1,)2x π∈，[,3)2x π∈以及[3x ∈，)+∞四种情况，利用导数结合零点存在性定理即可得出结论．【解答】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，21221()22x x f x x x x-++'=+-=，令()0f x '=，得12x x ==（舍)， 当1(0,)x x ∈时，()0f x '>，当1(x x ∈，)+∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在1(0,)x 单调递增，在1(x ，)+∞单调递减．（2）2()2cos g x lnx x x x =+--， ①当(0,1)x ∈时，1()22sin g x x x x'=+-+， 又1()22f x x x'=+-单调递减，故()12201g x '>+-+=， ()g x ∴在(0,1)单调递增，又11111(1)1cos10,()cos 0442164g g ln =->=+--<，∴存在唯一1(0,1)x ∈，使得1()0g x =；②当[1,)2x π∈时，1()22sin g x x x x '=+-+，21()2cos 0g x x x''=--+<，()g x ∴'单减，又2()2102g πππ'=+-+>，故()0g x '>，()g x ∴在[1,)2π上单增，又g （1）1cos10=->，故()0g x >，此时不存在零点；③当[,3)2x π∈时，1()22sin g x x x x '=+-+，21()2cos 0g x x x''=--+<，()g x ∴'单减，又1()0,(2)24sin 2022g g π'>'=+-+<，∴存在0[,2)2x π∈，使得0()0g x '=，且当0[,)2x x π∈时，()0g x '>，()g x 单增，当0(x x ∈，3)时，()0g x '<，()g x 单减，又2()0,(2)2cos20,(3)369cos30224g ln g ln g ln ππππ=+->=->=+--<，∴存在唯一2(2,3)x ∈，使得2()0g x =；④当[3x ∈，)+∞时，22()12130g x x x x x x <-+-+=-+，故不存在零点． 综上，()g x 存在两个零点1(0,1)x ∈，2(2,3)x ∈， n m ∴-的最小值为3．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于较难题目．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为1cos sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩，(α为参数，且(0,))απ∈，若点M 为曲线C 上的动点，直线OM 交直线2x =于点P ．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C 的极坐标方程及点P 轨迹的极坐标方程； （2）当||3PM =时，求点P 的极坐标．【分析】（1）由曲线C 的参数方程化为普通方程，再由普通方程与极坐标cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得极坐标的方程，由三角形相似可得对应比成比例，可得P 的极坐标方程； （2）由P ，M 的极坐标可得极角，进而可得极径，求出P 的极坐标．【解答】解：（1）曲线C 的方程为1cos sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩，(α为参数，且(0,))απ∈，可得：1cos sin x y αα-=⎧⎨=⎩可得22(1)1x y -+=，(0)y >整理可得：2220x y x +-=所以极坐标方程为：22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=， 设(M ρ'，)(P θρ，)θ，由三角形相似可得：22ρρ='，所以4422cos cos ρρθθ===' 所以P 的轨迹的极坐标方程为：2cos ρθ=； （2）由||3PM =可得：22cos 3cos θθ-=，整理可得22cos 3cos 20θθ+-=，可得1cos 2θ=，所以3πθ=，所以2412ρ==， 所以P 的极坐标(4,)3π【点评】本题考查简单曲线的极坐标，参数方程与普通方程之间的互化，即在极坐标形式中由两点间的距离求极坐标，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数()|1||1|f x x x =+--的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）设正数a ，b ，c 满足a b c M ++，求证：43ab ac bc ++． 【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：||||||||a b a b --，可得()f x 的最大值M ；（2）运用三个数的完全平方公式和重要不等式222a b ab +，以及累加法，结合不等式的传递性，即可得证．【解答】解：（1）由||1||1|||1(1)|2x x x x +--+--=，则2|1||1|2x x -+--，当1x 时，取得最大值2， 可得()f x 的最大值2M =；（2）证明：正数a ，b ，c 满足2a b c ++， 可得2()4a b c ++，即为2222224a b c ab bc ca +++++， 又222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，可得222a b c ab bc ca ++++，（当且仅当a b c ==取得等号）， 则2223332224ab bc ca a b c ab bc ca +++++++， 可得43ab bc ca++（当且仅当a b c ==取得等号）． 【点评】本题考查绝对值不等式的性质和运用：求最值，考查不等式的证明，注意运用重要不等式和不等式的性质，考查运算能力、推理能力，属于基础题．。
2019师大附中高三月考(四)文数答案
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高考数学精品复习资料
2019.5
云南师大附中高考适应性月考卷（四）
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1.教材中定义函数：“设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称f ：A B →为集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈”；对于函数：||,{1,1}y x x =∈-，有A B 为（ ）
A ．{1}
B ．{-1}
C ．{-1,1}
D ．{1}或{-1,1} 2.设0x >，若2
()x i -是纯虚数（其中i 为虚数单位）则2
()x i -的共轭复数为（ ） A ．2i - B ．2i C ．2 D ．-2 3.由圆2
2
2x y +=与平面区域0
y x y x -≥⎧⎨+≤⎩所围成的图形（包括边界）的面积
为（ ） A ．
2π B ．3π C ．4
π
D ．π 4.图1是计算函数2,1
0,12,2x x y x x x ⎧-≤-⎪
=-<≤⎨⎪>⎩
的值的程序框图，则在○
1、○
2、○3处应分别填入的是（ ）
A ．2
,,0y x y x y =-== B ．2
,0,y x y y x =-== C ．2
0,,y y x y x ===- D ．2
0,,y y x y x ==-=
5.若某几何体的三视图如图2所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）
6.已知向量a b 、
的模都是2，其夹角是60︒，又=32,3OP a b OQ a b +=+，则P 、Q 两点间的距离为（
A ．
B
C ． D
7.已知ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=，且sin cos B B =
，则ABC ∆是（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形或等腰直角三角形
8.点D 是ABC ∆的BC 边上不与B 、C 重合的某一点，数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若
22013(3)AD a AB a AC =-+，则2014S =（ ）
A ．1007
B ．2013
C ．2014
D ．4028
9.对于01a <<，给出下列四个不等式：○11log (1)log (1)a a a a +<+；○21log (1)log (1)a a
a a
+>+； ○
31
11a
a
a a ++<；○
4111a
a
a a
++>。
其中成立的是（ ）
A ．○
1与○3 B ．○1与○4 C ．○2与○4 D ．○2与○3 10.设函数()2cos()23
f x x π
π
=-，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x ≤≤，则12||x x -的
最小值为（ ） A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．4 11.在空间直角坐标系O xyz -中，棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1在空间移动，A 、B 分别在x 、y 轴上，则OC 1的长的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．4
12.定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图3.
若两正数a b 、满足(2)1f a b +<，则2
2
b a ++的取值范围是（ ） A ．11(,)32 B ．1
(,3)2
C ．1
(,)(3,)2
-∞-+∞ D ．(,3)-∞
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22—24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.11
<2+<3+<；…，则第n 个不等式为 。
14.正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是棱BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为 。
15.设函数()sin cos f x a x b x =-的图象的一条对称轴为4
x π=
，则直线0ax by c -+=的倾斜角为
16.已知函数3
()ln f x x x x =+的图象与函数()y g x =有一个公共点P(1，1)，若
232
()l n 2g x x x x '=-，则
()()f e g e '+= 。
三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的n N *
∈满足关系式233n n S a =-。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 的通项公式是331
1
log log n n n b a a +=，前n 项和为n T 。
求证：对于任意的正
整数n ，总有1n T <。
18.（本小题满分12分）
如图4，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=︒，AC ∩BD=O 。
将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B —ACD ，点M 是棱BC 的中点，
DM=
（Ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面MOD ； （Ⅱ）求三棱锥M —ABD 的体积。
19.（本小题满分12分）
已知复数(,)z x yi x y R =+∈在复平面上对应的点为M 。
（Ⅰ）设集合{4,3,2,0},{0,1,2}P Q =---=，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；
（Ⅱ）设[0,3],[0,4]x y ∈∈，求点M 落在不等式组23000x y y x +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域内的概率。
20.（本小题满分12分）
已知P 是圆O ：22
4x y +=上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PM MQ =。
设动点M 的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点（m ，0）（||1m
>）作圆22
1x y +=的切线，设切线l 交曲线C 于A 、B 两点，求弦||AB 的最大值。
21.（本小题满分12分）
已知函数2
()(2)ln ,()ln ()g x a x h x x ax a R =-=+∈。
令()()()f x g x h x '=+。
（Ⅰ）当0a <时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当32a -<<-时，若存在12,[1,3]λλ∈，使得12|()()|(ln 3)2ln 3f f m a λλ->+-成立，求m 的取值范围。
请考生在第22—24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】
如图5，ABC ∆为直角三角形，90ABC ∠=︒。
以AB 为直径的圆O 交AC 于点E 。
点D 是BC 边的中点。
（Ⅰ）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； （Ⅱ）设AB=4，AC=6，求DE 的长。
23.（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，已知点P
（，曲线C
的参数方程为(x y ϕ
ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）。
以原点O 为极点。
x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，直线l
的极坐标方程为2cos()
6
ρπ
θ=
-。
（Ⅰ）判断点P 与直线l 的位置关系，说明理由；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点为A 、B ，求||||PA PB 的值。
24.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】
已知函数()|2||5|f x x x =---
（Ⅰ）证明：3()3f x -≤≤；（Ⅱ）求不等式2
()815f x x x ≥-+的解集。