2020-2021学年湖南省永州市高一上学期期末考试数学试题 Word版
湖南省永州市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题注意事项：1．全卷满分150分，时量120分钟．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集{1,2,3}U =，{1,2}A =，则U C A = A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{1,3}2．365°是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．命题“x R ∃∈，12x ->”的否定是 A ．x R ∃∈，12x -< B ．x R ∃∈，12x -≤C ．x R ∀∈，12x -<D ．x R ∀∈，12x -≤4．半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是 A ．1B ．2C ．3D ．45．已知21log 2a =，21()2b -=，122c =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<6．王昌龄是盛唐著名边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，内容为：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”由此推断，“返回家乡”是“攻破楼兰”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7． 函数()cos f x x x =+的零点所在的区间为A ．1(1,)2--B ．1(,0)2-C ．1(0,)2D ．1(,1)28． 设函数()f x 的定义域为R ，1(1)()2f x f x +=，当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若存在[,)x m ∈+∞，使得3()64f x =有解，则实数m 的取值范围为 A ．1(,]2-∞ B ． 3(,]2-∞ C ．9(,]4-∞ D ．11(,]4-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9． 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质． 下列函数中，在(0,)+∞上单调递增且图象关于y 轴对称的是A ．3()f x x =B ．2()f x x =C ．2y x -=D ．()||f x x =10．设, , a b c R ∈，a b <，则下列不等式一定成立的是A ．a c b c +<+B ．a b e e -->C ．22ac bc <D ．a b b a< 11．将函数()sin(2)(0)2f x x πϕϕ=-<<的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，得到偶函数()h x 的图象，则下列结论中正确的有 A ．()h x 的图象关于点(,0)4π-对称 B ．()h x 的图象关于2x π=对称 C ．()h x 在2[,]123ππ上的值域为1[2- D ．()h x 在[,]62ππ上单调递减12．若函数()f x 对12,(1,)x x ∀∈+∞，12()x x ≠，不等式122212()()1f x f x x x -<-成立，则称()f x 在(1,)+∞上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有A ．()21f x x =-+B ．2()21f x x x +=+C ．22()log f x x x =-D ．22()f x x x x=-+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f = ．14．已知5sin 13α=，则3cos()2πα+= .15．若2,0()21,0x x f x x x ⎧≥=⎨-+<⎩，则不等式()4f x >的解集为 .16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰⋅纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=，现已知3log 6a =，236b=，则123ab a b+⨯=（） . 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知集合{2}A x x =≥，{35}B x x =<≤．（1）求AB ；（2）定义{|}M N x x M x N -=∈∉且，求A B -．18．（本小题满分12分）给定两个条件：①充分不必要，②必要不充分，从上述两个条件中，任选一个补充在下面问题中，并加以解答．问题：已知p ：实数x 满足22203x ax a +<-,0a >． （1）若1a =，求实数x 的取值范围；（2）已知q ：实数x 满足23x <≤．若存在实数a ，使得p 是q 的_______条件，则求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．19．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45．（1）求sin α的值； （2）求αβ+． 20．（本小题满分12分）已知函数44()cos 2sin cos sin ([0,])2f x x x x x m x π=--+∈的最大值为1．（1）若x R ∈，求函数()f x 的最小正周期；（2）求使()0f x ≥成立时自变量x 的集合．21．（本小题满分12分）某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶． （1）根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶．要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到x 元，并投入212x 万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用．试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量t （万瓶）的最小值，以及t 取最小值时的每瓶饮料的售价．22．（本小题满分12分）已知函数()x f x e =,()ln()2021x x g x e e -=++．（1）判断函数()g x 的奇偶性并证明；（2）若1(0,)x ∀∈+∞，2x R ∃∈，使得112(2)()()0f x mf x g x +->成立，求实数m 的取值范围．永州市2020年下期高一期末质量监测试卷数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）,有多项符三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．2 14．51315． 3{2}2x x x <->或 16四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解：（1）{2}A B x x =≥ (4)分（注：若在数轴上画对了已知集合的范围，则酌情给分） （2）{|}M N x x M x N -=∈∉且，∴有{|}A B x x A x B -=∈∉且235x x x x ⎧≥⎫⎧⎪⎪=⎨⎨⎬≤>⎪⎪⎩⎩⎭或 ……………………………………7分 {235}x x x =≤≤>或 ……………………………………10分 18. 解：（1）因为1a =，解不等式2203x x +<-，得12x <<，所以实数x 的取值范围为(1,2) . …………………………………5分（2）由2220(03)x x a a a +<>-，得2a x a <<， …………………………………8分 若选择①：因为p 是q 的充分不必要条件，则223a a ≥⎧⎨≤⎩，此不等式组无解，所以实数a 的值不存在； …………………………12分若选择②：因为p 是q 的必要不充分条件， 则223a a ≤⎧⎨>⎩，解得322a <≤，所以实数a 的取值范围为3(,2]2.……………………………………12分19. 解：（1）依题意，35P y =，单位圆半径1r = ， 由三角函数定义可得，3sin 15P y α==， ……………………………………5分 （2）由三角函数定义可得，4sin 5β=， ……………………………………6分 α，β为锐角，∴4cos 5α=，3cos 5β=． ……………………………………8分4343cos()cos cos sin sin 05555αβαβαβ∴+=-=⨯-⨯=…10分α，β为锐角，0∴<+<αβπ． 2παβ∴+=． ……………………………………12分20. 解：（1）因为44()cos 2sin cos sin f x x x x x m =--+2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x m =+--+ ……………………………………2分cos2sin2x x m =-+ ……………………………………3分)4x mπ=-+……………………………………5分（若化成())4f x x m π++同样给分）所以22T ππ==. ……………………………………6分（2）因为02x π≤≤，所以32444x πππ-≤-≤， ……………………………………7分所以sin(2)14x π≤-≤，故()1m f x m +≤≤+，………………………………9分 又因为()f x 在区间[0,]2π上的最大值为1，所以11m +=，即0m =，故())4f x x π=-， ………………………………10分又因为()0f x ≥，即)04x π-≥，sin(2)04x π∴-≤，由222,4k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，………………11分故[0,]2x π∈时，使()0f x ≥成立时自变量x 的集合为[0,]8π. ………………12分21．解：（1）设每瓶饮料的售价为a 元，依题意，有[9(14)0.5]149a a --⨯≥⨯，………………………………………………2分 整理得2322520a a -+≤，解得1418a ≤≤，…………………………………………4分 故，要使月销售收入不低于原来的月销售收入，每瓶饮料售价最多为18元．……5分 （2）设该饮料的月销售量为t 万瓶，每瓶售价x 元， ……………………………6分 则2114922tx x ≥⨯++…………………………………………………………8分211282128162tx x x t x ≥+⇒≥+≥= ……………………………………………10分当且仅当1282xx =，即16x =时，等号成立． ………………………………………11分 故月销售量t 的最小值为16万瓶，此时每瓶饮料的售价16元． ………………12分22．解：（1）()ln()2021x x g x e e -=++的定义域为R , ……………………………1分且()ln()2021()x x g x e e g x --=++=， ……………………………3分∴函数()g x 在R 上为偶函数． ……………………………4分（2）12x x x x e e e e-+=+≥，当且仅当0x =时取等号， ………………………6分 由题意1(0,)x ∀∈+∞，2x R ∃∈，使得112(2)()()0f x mf x g x +->成立即1(0,)x ∀∈+∞，112ln 22021x x e me +>+恒成立， ………………………………8分 ∴11ln 22021x x m e e +>-对于1(0,)x ∀∈+∞恒成立， ………………………………9分令1,1x t e t =>,则ln 22021m t t+>-, 设ln 22021()(1)h t t t t +=->，易知12ln 22021,y y t t+==-在(1,)+∞为减函数， ∴()h t 在(1,)+∞为减函数，则()(1)ln 22020h t h <=+,………………………………10分∴ln22020m ≥+． ……………………………………………………………………12分。
2022-2023学年湖南省永州市双牌县第二中学高一数学第一学期期末经典试题含解析
在 中，令 可得 ，则
令 可得 ，可得
任取 且 ，则 ，所以
则
即 ，所以 是R上的增函数
【小问2详解】
（i）由 在 上是单减单减函数，又 单调递增
由复合函数的单调性规律可得 在 上是单减单减函数.
（ii）由 ，
所以 的解为
从而不等式 的解为
，即
即 ，整理可得
即 ，解得 或 ，所以 或
所以原不等式的解集为
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知点 ， ， ，且满足 ，若点 在 轴上，则 等于
A. B.
C. D.
9．如图是某班 名学生身高的频率分布直方图，那么该班身高在 区间内的学生人数为
A. B.
C. D.
10．函数 零点所在的区间是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（当且仅当 时等号成立）
则 的最小值为9
故答案为：9
12、
【解析】先求出半径，再用扇形 面积公式求解即可.
【详解】由已知半径为 ，
则这条弧所在的扇形面积为 .
故答案为： .
13、
【解析】函数 定义域为
故答案为 .
14、
【解析】根据分段函数的单调性，列出式子 ，进行求解即可.
【详解】由题可知：函数 在 上是减函数
【详解】解：函数 的周期为 ，值域为 , ，
则 的值域为 , ，
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） ；
（2） .
【解析】(1)根据给定条件可得 ，再利用诱导公式化简计算作答.
湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期入学考试《数学》试卷含答案
永州一中2022年高三年级暑假入学考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|−1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=( )A. {x|−1<x<1}B. {x|1<x<2}C. {x|x>−1}D. {x|x>1}2.设函数f(x)=ln |x|,x⩽−1e−x,x>−1则f(f(−2))的值为( )A. 1e B. 2eC. 12D. 23.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(−2)=1，则使f(x−2)≤1成立的x的取值范围是( )A. [0,4]B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. (−∞,0]∪[4,+∞)D. [−2,2]4．已知命题p：∃x∈(0,1)，e x－a≥0，若p是假命题，则实数a的取值范围是( ) A．a>1 B．a≥e C．a≥1 D．a>e5.若函数f(x)=x3−(a2+3)x2+2ax+3在x=2处取得极小值，则实数a的取值范围是( )A. (−∞,−6)B. (−∞,6)C. (6,+∞)D. (−6,+∞)6.若log2(a−2)+log2(b−1)=1，则2a+b取到最小值时，a+2b的值为( )A. 3+22B. 9C. 8D. 1527.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparcℎus)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1−m2= 2.5(lgE2−lgE1).其中星等为m i的星的亮度为E i(i=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1+ 2.3x+ 2.7x2)A. 1.22B. 1.24C. 1.26D. 1.288.设a，b∈R，函数f(x)=<0,3−12(a+1)x2+ax,x≥0．若函数y=f(x)−ax−b恰有3个零点，则( )A. a<−1，b<0B. a<−1，b>0C. a >−1，b <0D. a >−1，b >0二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的函数是（ ）A ．2y x =B ．y= |x-1|C ．1y x =-D ．2x y =10．已知01a b <<<，则下列不等式中成立的是（ ）A ．11(()22a b<B ．ln ln a b <C ．33a b <D ．11a b<11.已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f(1+x)=−f(1−x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2+x −2，则( )A. f(x)是以4为周期的周期函数B. f(2021)+f(2022)=−2C. 函数y =f(x)−log 2(x +1)有3个零点D. 当x ∈[3,4]时，f(x)=x 2−9x +1812.已知函数f(x)=x 2π+cosx −π4(x ∈R)，则下列说法正确的有( )A. 直线y =0为曲线y =f(x)的一条切线；B. f(x)的极值点个数为3；C. f(x)的零点个数为4；D. 若f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)，则x 1+x 2=0．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=e x 在点A(0,f(0))处的切线方程为______．14.某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f (x )(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f (x )=−2,0≤x ≤1⋅(13)x ,x > 1. 《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过______小时后才能开车．(精确到1小时)15.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x +1)=f (1−x )，当x ∈[0,1]时，f (x )=x ，若函数y =f (x )−log a (x +1)(a >0且a ≠1)有且仅有6个零点，则a 的取值范围是______．16.已知函数f(x)=a x 2−2x +lnx 有两个不同的极值点x 1，x 2，且不等式f(x 1)+f(x 2)<x 1+x 2+t 恒成立，则实数t 的取值范围是________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．已知数列{}n a 满足()*112,22n n n a a a n n +-+=+∈N ….(1)求证：{}1n n a a +-是等差数列；(2)若121,2a a ==，求{}n a 的通项公式.18．如图，在圆内接四边形ABCD 中，120B ∠=︒，2AB =，AD =，ABC 的面积(1)求AC ；(2)求ACD ∠.19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为PA ，BC 的中点．(1)证明：EF ∥平面PCD(2)若PD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠= ，且24PD AD ==，求直线AF 与平面DEF 所成角的正弦值．20.我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.该企业为了了解研发资金的投入额x(单位：百万元)对年收入的附加额y(单位：百万元)的影响，对往年研发资金投入额x i 和年收入的附加额y i 进行研究，得到相关数据如下：投入额x i 234568911年收入的附加额y i3.64.14.85.46.27.57.99.1(1)求年收入的附加额y 与投入额x 的线性回归方程;(2)在(1)的条件下，若投入额为15百万元，估计年收入的附加额为多少;(3)若年收入的附加额与投入额的比值大于1，则称对应的投入额为“优秀投资额”，现从上面8个投入额中任意取3个，用X 表示这3个投入额为“优秀投资额”的个数，求X 的分布列及数学期望．【参考数据】∑8i=1x i y i =334.1，∑8i=1y i =48.6，∑8i=1x 2i =356．【附】在线性回归方程y =bx +a 中，b =∑ni=1(x i −x )(y i −y )∑ni=1(x i −x )2=∑ni=1x i y i −n xy∑ni=1x 2i−n x2，a=y −bx ．21.已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线y 2=8x 的焦点重合，且椭圆的离心率为63，过x 轴正半轴一点(m,0)且斜率为−33的直线l 交椭圆于A ，B两点(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在实数m 使得以AB 为直径的圆过原点，若存在求出实数m 的值;若不存在需说明理由22.已知函数()ln f x a x x =-（e 是自然对数的底数）.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当2a =时，若对于0k ∀>，曲线C ：2y m kx =-与曲线()y f x =都有唯一的公共点，求实数m 的取值范围.永州一中2022年高三年级暑假入学考试数学参考答案题号123456789101112答案C C A B B B C C AC BCACDAB13. x−y +1=0 14. 4 15.(6,8) 16. [−5,+∞) 部分题答案：8解：当x <0时，y =f(x)−ax−b =x−ax−b =(1−a)x−b ，最多一个零点；当x ≥0时，y =f(x)−ax−b =13x 3−12(a +1)x 2+ax−ax−b =13x 3−12(a +1)x 2−b ，y′=x 2−(a +1)x ，当a +1≤0，即a ≤−1时，y′≥0，y =f(x)−ax−b 在[0,+∞)上递增，y =f(x)−ax−b 最多一个零点，不合题意；当a +1>0，即a >−1时，令y′>0得x ∈[a +1,+∞)，函数递增，令y′<0得x ∈[0,a +1)，函数递减，函数最多有2个零点；根据题意函数y =f(x)−ax−b 恰有3个零点，所以函数y =f(x)−ax−b 在(−∞,0)上有一个零点，在[0,+∞)上有2个零点，如右图：∴b 1−a<0>0+1)3−12(a +1)(a +1)2−b <0,解得b <0，1−a >0，b >−16(a +1)3，∴−16(a +1)3<b <0，−1<a <1，故选：C ．12解：函数f (x )为偶函数，当x ⩾0时，f ′(x)=2x π−sin x ，令f ′(x )=0，可得x =π2或0，易知当x >π2时，2xπ>1,sin x ⩽1，f ′(x )>0恒成立，即f (x )在(π2,+∞)上单增；当x ∈[0,π2]，令g(x)=f ′(x)=2xπ−sin x ，则g ′(x)=2π−cos x ，因为x ∈[0,π2]，cosx ∈[0,1]且单减，2π∈(0,1)，所以∃x 0∈(0,π2)，使得g ′(x 0)=0，当x ∈[0,x 0),g ′(x )⩽0,g (x )单调递减，当x ∈(x 0,π2],g ′(x)⩾0,g(x)单调递增，又g(0)=g(π2)=0，所以对∀x ∈[0,π2]，恒有g (x )⩽0，即∀x ∈[0,π2]，f ′(x )⩽0，故函数f (x )在[0,π2]单调递减，因为函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )在(−∞,−π2),[0,π2]单调递减，在[−π2,0],(π2,+∞)上单调递增，在x =−π2,0,π2处取得极值．选项A ：直线y =0为曲线y =f(x)的一条切线，因为f ′(π2)=0，f(π2)=0，所以函数f (x )在x =π2处切线方程为y =0，故A 对；选项B ：由上面分析可知f (x )在x =−π2,0,π2处取得极值，共三个极值点，故B 对；选项C ：因为f(π2)=0，当x ⩾0时，f (x )在[0,π2]单调递减，在(π2,+∞)单调递增，所以x ⩾0时，f (x )仅有一个零点x =π2，又因为f (x )为偶函数，所以f (x )在R 上有两个零点，故C 错；选项D ：因为f (x )在[0,π2]单调递减，在(π2,+∞)单调递增，所以∃x 1∈[0,π2]，x 2∈(π2,+∞)，使得f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)，此时x 1+x 2>0，故D 错；故答案选AB ．16.解：f(x)=a x 2−2x +lnx,(x >0)，f ′(x)=2ax 2−2x +1x(x >0)，若函数f(x)=a x 2−2x +lnx 有两个不同的极值点x 1，x 2，则方程2a x 2−2x +1=0有2个不相等的实数根，故 △=4−8a >0 x 1+x 2= 1 a >0x 1x 2= 12 a >0,解得：0<a <12,而f(x 1)+f(x 2)=a x 12−2x 1+lnx 1+a x 22−2x 2+lnx 2=a[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−2(x 1+x 2)+ln(x 1x 2)=−1a−1−ln2a ，若不等式f(x 1)+f(x 2)<x 1+x 2+t 恒成立，即−1a−1−ln2a <1a+t ，即−2a−1−ln2a <t ，令ℎ(a)=−2a−1−ln2a(0<a <12)，ℎ′(a)=2−a a2>0，故ℎ(a)在(0,12)递增，故ℎ(a)<ℎ(12)=−5，所以t ≥−5，因此实数t 的取值范围是[−5,+∞)．17解(1)由题1124n n n a a a +-+=+，即114n n n n a a a a +--=-+，{}1n n a a +∴-是公差为4的等差数列.(2)()()211211,42472n n a a a a a a n n n --=∴-=-+-=-…12411n n a a n ---=-⋯⋯，累加可得()()()()()21471147411125322n n n a a n n n n n -+--=-+-++==-+ …()22542n a n n n =-+…，当1n =时1a 也满足上式2254n a n n ∴=-+.18.解;（1）因为ABC1sin 2AB BC B ⋅∠.又因为120B ∠=︒，2AB =，所以2BC =.由余弦定理得，222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅∠，22222222cos120AC =+-⨯⨯︒12=，所以AC =（2）因为ABCD 为圆内接四边形，且120B ∠=︒，所以60D ∠=︒.又AD =，由正弦定理可得，sin sin AD AC ACD D =∠∠，故sin sin AD D ACD AC ∠∠===因为AC AD >，所以060ACD ︒<∠<︒，所以45ACD ∠=︒.19.(1)证明：取PD 的中点G ，连接CG ，EG ，因为E ，F 分别为PA ，BC 的中点，所以1//,2EG AD EG AD =，又底面ABCD 为菱形，所以1//,2CF AD CF AD =，所以//,EG CF EG CF =，所以四边形EGCF 为平行四边形，所以//.EF CG 又CG ⊂平面PCD ．EF ⊄平面PCD ，所以EF //平面PCD ．(2)解：连接BD ，因为PD ⊥平面ABCD ，,DF DA ⊂平面ABCD ，所以,PD DF PD DA ⊥⊥，因为四边形ABCD 为菱形，120ADC ∠= ，所以BCD △为等边三角形，因为F 为BC 的中点，所以DF BC ⊥，因为BC ∥DA ，所以DF DA ⊥，所以,,DF DA DP 两两垂直，所以以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz ．因为2AD PD ==，所以D （0，0，0），F0，0），A （0，2，0），E （0，1，2），则(0,1,2),2,0)DE DF AF ===- ．设平面DEF 的法向量(,,)m x y z =，则200m DE y z m DF ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =，得(0,2,1)m =- ．设直线AF 与平面DEF 所成的角为θ，则||sin cos ,||||m AF m AF m AF θ⋅====所以直线AF 与平面DEF20.【答案】解：(1)x =2+3+4+5+6+8+9+118=6，y =18∑8i=1y i =48.68=6.075，b =∑n i=1x i y i−n x y∑n i=1x i2−n x 2=334.1−8×6×6.075356−8×36=0.625，又因为a =y −bx ，所以a =6.075−0.625×6=2.325，所以年收入的附加额y 与投入额x 的线性回归方程为y =0.625x +2.325．(2)由(1)知，b =0.625>0，所以随着研发资金投入额的增加，年收入的附加额也增加．研发资金投入额每增加1百万元，年收入的附加额增加0.625百万元．所以y =0.625x +2.325，所以当x =15时，y =11.7，所以当投入额为15百万元时，估计年收入的附加额为11.7百万元．(3)8个投入额中，“优秀投资额”的个数为5个，故X 的所有可能取值为0，1，2，3，P(X =0)=C 33C 38=156;P(X =1)=C 23C 15C 38=1556;P(X =2)=C 13C 25C 38=3056;P(X =3)=C 35C 38=1056则X 的分布列为X 0123P15615561528528则E (X )=1×1556+2×3056+3×1056=10556．21.【答案】解：(1)根据题意，抛物线y 2=8x 的焦点是(2,0)，则F(2,0)，即c =2，又椭圆的离心率为63，即e =c a=63，解可得a =6，则a 2=6，则b 2=a 2−c 2=2，故椭圆的方程为x 26+y 22=1；(2)由题意得直线l 的方程为y =−33(x−m)(m >0)，y 22=1−33(x−m),消去y 得2x 2−2mx +m 2−6=0．由Δ=4m 2−8(m 2−6)>0，解得−23<m <23．又m >0，∴0<m <23．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=m ，x 1x 2=m2−62．则y 1y 2=[−33(x 1−m)]⋅[−33(x 2−m)]=13x 1x 2−m3(x 1+x 2)+m 23．又由以AB 为直径的圆过原点，则OA ⋅OB =0，即x 1x 2+y 1y 2=43x 1x 2−m3(x 1+x 2)+13m 2=0，得m 2=6，又0<m <23．∴m =6，即存在m =6使得以AB 为直径的圆过原点．22．解：(1)因为，f ′(x)= ax-1=a−xx (x>0)当a ≤0时，()0f x '<，函数在()0,∞+单调递减；当a>0时，令()0f x '=，解得x=a ，当x ∈(0,a)时，()0f x '>，当x ∈(a,+∞)时，()0f x '<，∴函数()f x 在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减，综上，当a ≤0时，函数()f x 在()0,∞+单调递减；当a>0时，函数()f x 在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减．(2)因为曲线2:C y m kx =-与曲线()y f x =有唯一的公共点，所以方程22ln m kx x x -=-有唯一解，即方程22ln kx x x m +-=有唯一解，令()22ln ,0g x kx x x x =+->，所以()222221kx x g x kx x x-'+=+-=，当1−16k ≤0，k ≥116时，g’(x)≥0，函数()y g x =单调递增，易知()g x 与y m =有且只有一个交点，满足题意；当11160,016k k -><<时，2220kx x -+=有两个根，且两根之和为182k >，两根之积为116k>，若两根一个大于4，一个小于4，此时函数()g x 先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，要使22ln kx x x m +-=有唯一实数根，则m 大于极大值或小于极小值.记3x 为极大值点，则34x <，则()233332ln g x kx x x m =+-<恒成立，又233220kx x -+=，即23322kx x =-，则极大值()()2333333333112ln 22ln 2ln 122g x kx x x x x x x x =+-=--+=--，因为()()3332142g x x x '=-<，所以()()330,g x g x >'在()0,4上单调递增，()()344ln23g x g <=-，则m ≥4ln2−3；记4x 为极小值点，则44x >，则()244442ln g x kx x x m =+->，又244220kx x -+=，所以4412ln 12x x m -->恒成立，令()44412ln 12h x x x =--，又()44212h x x ='-，所以44x >时，42102x -<，所以()44412ln 12h x x x =--单调递减，无最小值，所以不存在m ，使得4412ln 12x x m -->恒成立.若两根都大于4，设5x 为极大值点，54x >，则同理可得()55512ln 12h x x x =--单调递减，所以()()5ln 2344h x h <-=，则m ≥4ln2−3；设6x 为极小值点，64x >，可得不存在m ，使得6612ln 12x x m -->恒成立.综上，要使对0k ∀>，曲线2:C y m kx =-与曲线()y f x =都有唯一的公共点，m 的取值范围为[)4ln23,∞-+.。
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。
答案：A={(-∞,1]}。
B={2}。
A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。
答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。
3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。
答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。
答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。
答案：选项A是正确的。
因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。
6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。
答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。
根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。
而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。
将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。
我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。
答案：点P的坐标为(1,2)。
因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。
2020-2021学年高一下学期数学期末复习卷(一)统计与概率(word版,含答案)
2020-2021学年度高一数学期末复习卷（一）——统计与概率一、单选题1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】A 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确． ①原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ①()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由①易知，C 不正确．①原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.2．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10①8①7，从中随机抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A ．280 B ．320C ．400D ．1000【答案】C 【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果 【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++每人被抽取的概率为0.2，∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C 【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题． 3．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ） A ．至多有1次中靶 B ．2次都中靶 C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶【答案】C 【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件． 【详解】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件.再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”.故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”， 故选：C .4．掷一枚骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥【答案】B 【详解】事件{2,4,6}A =，事件{3,6}B =，事件{6}AB =，基本事件空间{1,2,3,4,5,6}Ω=，所以()3162P A ==，()2163P B ==，()111623P AB ==⨯，即()()()P AB P A P B =，因此，事件A 与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．故选B ．5．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为 A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C 【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,列出样本空间，有9个样本点，“齐王的马获胜”包含的样本点有6个，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,Ω={()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c }，9)(=Ωn ，因为每个样本点等可能，所以这是一个古典概型。
湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
绝密★启用前湖南省三湘名校教育联盟2020-2021高一期中考试试题数学本试卷共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{2，3，4，6，7}，B＝{2，3，5，7}，则A∩B＝A.{2，3，5}B.{2，3，7}C.{2，3，5，7}D.{2，3，4，5，6，7}2.“a>c且b>d”是“a＋b>c＋d”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.中文“函数(function)”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中两个函数相等的是A.f(x)g(x)＝|x| B.f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝x(x∈Z)C.f(x)＝|x|与g(x)＝x0x x0≥⎧⎨-<⎩，，D.f(x)＝x－1与g(x)＝2x1x1-+4.设a－b<0，c<0，则下列结论中正确的是A.ac2<bc2B.a2c>b2cC.11ab bc< D.c ca b>5.函数y的单调递增区间为A.(－∞，32] B.[32，＋∞) C.[32，2] D.[1，32] 6.若不等式x 2＋1>2mx 在R 上恒成立，则实数m 的取值范围是A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.(－∞，－1]∪[1，＋∞)C.[－1，1]D.(－1，1)7.已知函数f(x)＝()2x 4ax x 12a 3x 4a 5x 1⎧-+≤⎪⎨+-+>⎪⎩，，，若f(x)在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是 A.(12，1] B.[12，32] C.(12，＋∞) D.[1，2] 8.在R 上定义运算：A B ＝(A －2)·B ，若不等式(t －x)(x ＋t)<4对任意的x ∈R 恒成立，则实数t 的取值范围是A.(－3，1)B.(－1，2)C.(－1，3)D.(－∞，－1)∪(3，＋∞)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省永州市2022-2023学年高一上学期期末质量监测化学试题含解析
C．向包有 粉末的脱脂棉上滴加几滴水，脱脂棉燃烧，说明 与水反应产生 且反应放热，C正确；
D．向淀粉 溶液中加入溴水，溶液变成蓝色，说明有碘单质的生成，发生反应 ，根据方程式可知：氧化性： ，则非金属性： ，D正确；
故本题选AD。
第II卷(非选择题共54分)
三、非选择题：(本题共4道小题，共54分)
15.下表是现行中学化学教科书中元素周期表的一部分，表中的每个编号表示一种元素，请根据要求回答问题。
（1）①的元素符号是_______，④在元素周期表中的位置是_______。
（2）③与⑥所形成的化合物的电子式为_______。
C．③中盐酸不足，二氧化碳的物质的量为： ，由于碳酸钠和碳酸氢钠的物质的量之比为1∶1，故碳酸钠的物质的量为0.03mol，结合反应方程式 ，可得碳酸钠消耗盐酸的物质的量为0.03mol，再结合方程式 ，当生成0.02mol二氧化碳时，消耗盐酸的物质的量为0.02mol，故盐酸总的物质的量为0.05mol，盐酸的物质的量浓度 ，C错误；
下列说法不正确的是
A.“反应I”中包含的反应类型有置换反应、复分解反应和化合反应
B.“过滤”所得滤液中溶质主要是
C.“反应II”对应的离子方程式
D.合理处理废铁屑有利于环境保护和资源再利用
【答案】B
【解析】
【分析】废铁屑加入足量稀硫酸，“反应I”中涉及 反应为： 、 、 与硫酸反应，生成 ，调节pH使 反应生成氢氧化铝沉淀，滤液溶质为 ，滤液中加入硫酸和亚硝酸钠，反应得到碱式硫酸铁，据此分析。
【详解】A．为了满足某些尖端技术发展的需要，新型合金材料储氢合金是一类能够大量吸收H2，并与H2结合成金属氢化物的材料，A不符合题意；
2020年湖南省永州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
永州市2020年初中学业水平考试数学（试题卷）（满分150分，考试时量120分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项）1．﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020 C．﹣2020 D．2．永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风3．永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人4．下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a55．已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8 B．平均数是6 C．中位数是8 D．方差是96．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA7．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25 C．35 D．639．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4 B．2 C．D．210．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1 C．﹣1 D．2（第8题图）（第9题图）（第10题图）二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．方程组的解是．13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60人数25 15 5 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．15．已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．16．已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．17．如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．18．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．（第16题图）（第17题图）（第18题图）三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．答案与解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项）1．﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020 C．﹣2020 D．【知识考点】相反数．【思路分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答过程】解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．【总结归纳】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风【知识考点】轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．【解答过程】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．【总结归纳】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．【解答过程】解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．【总结归纳】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，4．下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．【解答过程】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．【总结归纳】本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5．已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8 B．平均数是6 C．中位数是8 D．方差是9【知识考点】算术平均数；中位数；众数；方差．【思路分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．【解答过程】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．【总结归纳】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【知识考点】全等三角形的判定．【思路分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答过程】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．【总结归纳】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【知识考点】三角形的外接圆与外心；切线的性质．【思路分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．【解答过程】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．8．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25 C．35 D．63【知识考点】相似三角形的判定与性质．【思路分析】由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S△ABC，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE＝S△ABC是解题的关键．9．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4 B．2 C．D．2【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．【解答过程】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD＝，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2．故选：D．【总结归纳】本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1 C．﹣1 D．2【知识考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【思路分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．【解答过程】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．【总结归纳】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．【知识考点】函数自变量的取值范围．【思路分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答过程】解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．【总结归纳】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．方程组的解是．【知识考点】解二元一次方程组．【思路分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答过程】解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：【总结归纳】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．【知识考点】根的判别式．【思路分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答过程】解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．【总结归纳】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60人数25 15 5 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布表．【思路分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．【解答过程】解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．【总结归纳】本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15．已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．【知识考点】圆锥的计算．【思路分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答过程】解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．【总结归纳】本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．16．已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．【知识考点】平行线的性质．【思路分析】过点B作EF∥a．利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．【解答过程】解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．【总结归纳】本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键．17．如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB＝AB＝OD ＝CD＝，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答过程】解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，故答案为：6．【总结归纳】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．【知识考点】坐标与图形性质；轴对称﹣最短路线问题．【思路分析】分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．【解答过程】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．【总结归纳】此题考查了轴对称﹣最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答过程】解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．【总结归纳】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答过程】解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．【总结归纳】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【知识考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．【思路分析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．【解答过程】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【思路分析】（1）作AD⊥BC于D，由题意得AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，则BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，即可得出结论；（2）由（1）得BD＝30，AD＝30，求出DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，由勾股定理求出AC即可．【解答过程】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．【总结归纳】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【知识考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．【解答过程】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．【知识考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得BE＝CE＝DE，可得∠ECB＝∠EBC，由切线的性质可得∠ABD＝90°，可证OC⊥CE，可得结论；（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．【解答过程】证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD的长是本题的关键．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组求得|x1﹣x2|，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，由OP＝OQ列出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．【解答过程】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，。
湖南省永州市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 (解析版)
2020-2021学年湖南省永州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设全集U＝{1，2，3}，A＝{1，2}，则∁U A＝（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，3} 2．365°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．命题“∃x∈R，x﹣1＞2”的否定是（）A．∃x∈R，x﹣1＜2B．∃x∈R，x﹣1≤2C．∀x∈R，x﹣1＜2D．∀x∈R，x﹣1≤2 4．扇形的半径为1，圆心角为2，则扇形的面积为（）A．1B．2C．3D．45．已知a＝log2，b＝（）﹣2，c＝2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，内容为：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”由此推断，“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．函数f（x）＝x+cos x的零点所在的区间为（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣）C．（0，）D．（）8．设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）＝f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝x（1﹣x）．若存在x∈[m，+∞），使得f（x）＝有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]二、多项选择题（共4小题）.9．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．下列函数中，在（0，+∞）上单调递增且图象关于y轴对称的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝x2C．y＝x﹣2D．f（x）＝|x| 10．设a，b，c∈R，a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＜b+c B．e﹣a＞e﹣b C．ac2＜bc2D．＜11．将函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（0＜φ＜）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到偶函数h（x）的图象，则下列结论中正确的有（）A．h（x）的图象关于点（，0）对称B．h（x）的图象关于x＝对称C．h（x）在[，]上的值域为[，]D．h（x）在[]上单调递减12．若函数f（x）对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则称f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（）A．f（x）＝﹣2x+1B．f（x）＝x2+2x+1C．f（x）＝x2﹣log2x D．f（x）＝x2﹣x+三、填空题（共4小题）.13．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（4）＝．14．已知sinα＝，则cos（）＝．15．若f（x）＝，则不等式f（x）＞4的解集为．16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b＝N⇔b＝log a N，现已知a＝log36，2b＝36，则（）×3＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|3＜x≤5}．（1）求A∪B；（2）定义M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，求A﹣B．18．（12分）给定两个条件：①充分不必要，②必要不充分，从上述两个条件中，任选一个补充在下面问题中，并加以解答．问题：已知p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，a＞0．（1）若a＝1，求实数x的取值范围；（2）已知q：实数x满足2＜x≤3．若存在实数a，使得p是q的_____条件，则求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，．（1）求sinα的值；（2）求α+β．20．（12分）已知函数f（x）＝cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x+m（x∈[0，]）的最大值为1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求使f（x）≥0成立时自变量x的集合．21．（12分）某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶．（1）根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶．要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到x元，并投入x2万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用．试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量t（万瓶）的最小值，以及t取最小值时的每瓶饮料的售价．22．（12分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ln（e x+e﹣x）+2021．（1）判断函数g（x）的奇偶性并证明；（2）若∀x1∈（0，+∞），∃x2∈R，使得f（2x1）+mf（x1）﹣g（x2）＞0成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．设全集U＝{1，2，3}，A＝{1，2}，则∁U A＝（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，3}解：∵U＝{1，2，3}，A＝{1，2}，∴∁U A＝{3}．故选：C．2．365°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解：因为365°＝360°+5°，5°是第一象限角，所以365°是第一象限角．故选：A．3．命题“∃x∈R，x﹣1＞2”的否定是（）A．∃x∈R，x﹣1＜2B．∃x∈R，x﹣1≤2C．∀x∈R，x﹣1＜2D．∀x∈R，x﹣1≤2解：命题“∃x∈R，x﹣1＞2”的否定是∀x∈R，x﹣1≤2，故选：D．4．扇形的半径为1，圆心角为2，则扇形的面积为（）A．1B．2C．3D．4解：扇形的半径为1，圆心角为2，扇形的弧长为2，所以扇形的面积为：故选：A．5．已知a＝log2，b＝（）﹣2，c＝2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c解：∵，∴a＝﹣1，∵＝4，∴b＝4，∵，∴c＝，∴a＜c＜b，故选：C．6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，内容为：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”由此推断，“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件，故选：A．7．函数f（x）＝x+cos x的零点所在的区间为（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣）C．（0，）D．（）解：根据题意，f（x）＝x+cos x，则f（﹣1）＝﹣1+cos1＜0，f（﹣）＝﹣+cos＞﹣+cos＞0，则函数f（x）＝x+cos x的零点所在的区间为（﹣1，﹣），故选：A．8．设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）＝f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝x（1﹣x）．若存在x∈[m，+∞），使得f（x）＝有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]解：f（x+1）＝f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝x（1﹣x）．当x∈（1，2]时，f（x）＝﹣（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（2，3]时，f（x）＝﹣（x﹣2）（x﹣3）．当x∈（3，4]时，f（x）＝﹣（x﹣3）（x﹣4）．根据f（x）＝，结合图象可得，＝﹣（x﹣2）（x﹣3），所以x＝，所以m，所以m的取值范围为．故选：C．二、多项选择题（共4小题）.9．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．下列函数中，在（0，+∞）上单调递增且图象关于y轴对称的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝x2C．y＝x﹣2D．f（x）＝|x|解：对于A，f（x）＝x3为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意；对于B，f（x）＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于C，y＝x﹣2＝为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；对于D，f（x）＝|x|为偶函数，图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意．故选：BD．10．设a，b，c∈R，a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＜b+c B．e﹣a＞e﹣b C．ac2＜bc2D．＜解：对于A，因为a＜b，所以a+c＜b+c，故A正确；对于B，因为a＜b，所以﹣a＞﹣b，所以e﹣a＞e﹣b，故B正确；对于C，若c＝0，则ac2＝bc2，故C错误；对于D，取a＝﹣2，b＝﹣1，则＝2，＝，则＞，故D错误．故选：AB．11．将函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（0＜φ＜）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到偶函数h（x）的图象，则下列结论中正确的有（）A．h（x）的图象关于点（，0）对称B．h（x）的图象关于x＝对称C．h（x）在[，]上的值域为[，]D．h（x）在[]上单调递减解：将函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（0＜φ＜）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数h（x）＝sin（2x+﹣φ）的图象，由于函数h（x）为偶函数，故﹣φ＝kπ，所以φ＝kπ+，由于0＜φ＜，所以当k＝0时，φ＝．所以h（x）＝sin（2x+）＝sin（2x+）＝cos2x，对于A：当x＝﹣时，h（﹣）＝0，故A正确；对于B：当x＝时h（）＝cos（﹣π）＝﹣1，故B正确；当x时，，所以，故C错误；对于D：，所以，根据函数的性质，函数在该区间上单调递减，故D正确．故选：AD．12．若函数f（x）对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则称f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（）A．f（x）＝﹣2x+1B．f（x）＝x2+2x+1C．f（x）＝x2﹣log2x D．f（x）＝x2﹣x+解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣x2，若f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则有﹣1＝＝×＝＜0，则有＜0，则函数g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）为减函数，反之，若函数g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）为减函数，则有＝（x1+x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，分析选项：对于A，f（x）＝﹣2x﹣1，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x2﹣2x﹣1，为开口向下，对称轴为x ＝﹣1的二次函数，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；对于B，f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝f（x）﹣x2＝2x+1，g（x）在区间[1，+∞）为增函数，则f（x）在（1，+∞）上不是“平方差减函数”；对于C，f（x）＝x2﹣log2x，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣log2x，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；对于D，f（x）＝x2﹣x+，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x+，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；故选：ACD．三、填空题（共4小题）.13．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（4）＝2．解：设幂函数y＝f（x）＝xα，α∈R，其图象过点（2，），∴2α＝，解得α＝，∴f（x）＝，∴f（4）＝＝2．故答案为：2．14．已知sinα＝，则cos（）＝．解：∵sinα＝，∴cos（）＝sinα＝，故答案为：．15．若f（x）＝，则不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）．解：x≥0时，由2x＞4，解得x＞2，x＜0时，由﹣2x+1＞4，解得x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）．16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b＝N⇔b＝log a N，现已知a＝log36，2b＝36，则（）×3＝．解：因为a＝log36，2b＝36，所以b＝log236，故，，所以，故（）×3＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|3＜x≤5}．（1）求A∪B；（2）定义M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，求A﹣B．解：（1）∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|3＜x≤5}，∴A∪B＝{x|x≥2}；（2）∵M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，A＝{x|x≥2}，B＝{x|3＜x≤5}，∴A﹣B＝{x|2≤x≤3或x＞5}．18．（12分）给定两个条件：①充分不必要，②必要不充分，从上述两个条件中，任选一个补充在下面问题中，并加以解答．问题：已知p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，a＞0．（1）若a＝1，求实数x的取值范围；（2）已知q：实数x满足2＜x≤3．若存在实数a，使得p是q的_____条件，则求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）因为a＝1，解不等式x2﹣3x+2＜0，可得1＜x＜2，所以实数x的取值范围为（1，2）；（2）由x2﹣3ax+2a2＜0，a＞0，可得a＜x＜2a，若选①：因为p是q的充分不必要条件，则有a≥2且2a≤3，不等式组无解，所以实数a的值不存在；若选②：因为p是q的必要不充分条件，则有a≤2且2a＞3，解得，所以实数a的取值范围为．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，．（1）求sinα的值；（2）求α+β．解：（1）以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，．∴sinα＝，sinβ＝．（2）由题意可得cosα＝＝，cosβ＝＝．∵α+β∈（0，π），cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝﹣＝0，∴α+β＝．20．（12分）已知函数f（x）＝cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x+m（x∈[0，]）的最大值为1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求使f（x）≥0成立时自变量x的集合．解：（1）函数f（x）＝cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x+m＝（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x+m ＝cos2x﹣sin2x+m＝sim（﹣2x）+m，（x∈[0，]）．∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π；（2）∵x∈[0，]，∴（﹣2x）∈[﹣，]，∴sim（﹣2x）∈[﹣，]，∴sim（﹣2x）+m∈[m﹣1，m+1]，∵f（x）的最大值为1，∴m+1＝1，解得m＝0．使f（x）≥0成立，即sim（﹣2x）≥0，化为：sim（2x﹣）≤0，∴﹣≤2x﹣≤0，解得：0≤x≤，∴使f（x）≥0成立时自变量x的集合为[0，]．21．（12分）某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶．（1）根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶．要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到x元，并投入x2万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用．试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量t（万瓶）的最小值，以及t取最小值时的每瓶饮料的售价．解：（1）设饮料每瓶售价最多为x元，则[9﹣0.5（x﹣14）]x≥14×9，即x2﹣32x+252≤0，解得：14≤x≤18，所以要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为18元．（2）当x＞14时，由题意可得，tx≥14×9++2，即当x＞14时，t，∵＝16，当且仅当即x＝16时，等号成立，∴t≥16，所以技术革新后，该饮料月销售量t至少达到16万个时，可使月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，此时每瓶饮料的售价为16元．22．（12分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ln（e x+e﹣x）+2021．（1）判断函数g（x）的奇偶性并证明；（2）若∀x1∈（0，+∞），∃x2∈R，使得f（2x1）+mf（x1）﹣g（x2）＞0成立，求实数m 的取值范围．解：（1）g（x）＝ln（e x+e﹣x）+2021为偶函数．理由：g（x）的定义域为R，且g（﹣x）＝ln（e﹣x+e x）+2021＝g（x），所以g（x）为偶函数；（2）由e﹣x+e x≥2＝2，当且仅当x＝0时，取得等号，可得g（x）≥ln2+2021，由∀x1∈（0，+∞），∃x2∈R，使得f（2x1）+mf（x1）﹣g（x2）＞0成立，可得f（2x）+mf（x）＞ln2+2021对x∈（0，+∞）恒成立，即为e2x+me x＞ln2+2021对x∈（0，+∞）恒成立，可令t＝e x（t＞1），则t2+mt＞ln2+2021对t∈（1，+∞）恒成立，可得m＞＝﹣t对t∈（1，+∞）恒成立，设h（t）＝﹣t，可得h（t）在t∈（1，+∞）递减，则h（t）＜h（1）＝ln2+2020，则m≥ln2+2020．即m的取值范围是[ln2+2020，+∞）．。
2020-2021学年新教材高一数学上学期期末复习练习(四)
2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（ ）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个． 故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确； 对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确； 对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确； 对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =， 所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <， 即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确； 由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误； 最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--， 则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集； （3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===； （2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0， 即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0； （2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦， 由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>， 当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π， 所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+， 又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=， 可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-， 所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-， 令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+， 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】 解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元． 【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可． （2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =． 所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3． 答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
（1）若 ，则 ；
（2） 且 ；
（3） 且 为等差数列；
（4） 为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到 ，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，所以 ，即 ，
又因为 为 的内角，
所以 ．
解得 ， ，
， ；
（2） ，
，
又 ，由题得 ，即 ，
，即
由题知 且 ，故 ，
故 ，
故只需考虑 ， 时 ， 时 ， 时 ，
17.（10分）已知 中，点 .
（1）求直线 的方程；
（2）求 的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于x的不等式 的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量 ， .
（1）若 ，其中 ，求 坐标；
（2）若 与 的夹角为 ，求 的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故 ，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量 垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将 变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】 ，
，等号成立时 ， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.