探索方阵、周期、搭配中的规律
巧解公务员考试行测方阵问题五规律
公务员考试⾏测中的横竖排问题，我们将横着排称为⾏，竖着排称为列。
如⾏数与列数相等，则正好排成⼀个正⽅形，此图形被称为⽅阵(也被称为乘⽅问题)。
对于解答此类问题，⼈事考试的专家在多年辅导公务员考试的基础上，总结出⽅阵各要素之间存在如下的关系： (1)⽅阵总⼈(物)数＝最外层每边⼈(物)数的平⽅； (2)⽅阵最外⼀层总⼈(物)数⽐内⼀层总⼈(物)数多8(⾏数和列数分别⼤于2)； (3)⽅阵最外层每边⼈(物)数＝(⽅阵最外层总⼈数÷4)＋1； (4)⽅阵最外层总⼈数＝[最外层每边⼈(物)数－1]×4； (5)去掉⼀⾏、⼀列的总⼈数＝去掉的每边⼈数×2－1。
以下⾯真题为例验证： 例题1.(2007年浙江省第15题) 某部队战⼠排成了⼀个6⾏、8列的长⽅阵。
现在要求各⾏从左⾄右1,2,1,2,1,2,1,2报数，再各列从前到后1,2,3,1,2,3报数。
问在两次报数中，所报数字不同的战⼠有( )。
A.18个B.24个C.32个D.36个 【解析】此题可画出直观图进⾏解答。
当从左⾄右报1时，从前⾄后报2的有8⼈，报3的也有8⼈，当从左⾄右报2时，同理可得，从前⾄后报1的有8⼈，报3的也有8⼈，即所报数字不同的战⼠有32⼈。
故选C。
例题2.(2007年⿊龙江省(A类)第15题) 某学校学⽣排成⼀个⽅阵，最外层的⼈数是60⼈，问这个⽅阵共有学⽣多少⼈？( )A.272B.256C.225D.240 【解析】本题考查⽅阵问题。
⽅阵最外层每边⼈数为60÷4＋1＝16，所以这个⽅阵共有162＝256⼈。
故选B。
周期规律 Microsoft Word 文档
周期规律姓名：我们在研究简单周期问题时，首先要仔细审题判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。
例题1：有些棋子，按“二黑三白”排列起来，想想，第31个是白子还是黑子？第40个呢？●●○○○●●○○○●●○○○……【思路导航】这堆棋子的排列规律是“二黑三白”，5个棋子组成一组依次不断重复出现的。
我们先算出31个棋子可以排成这样的几组：31÷5=6（组） (1)（个），余数是1，这1个棋子表示第七组的第一个，即黑子。
例题2：有一列数：2、3、1、2、3、1、2、3、1、2、3……（1）第28个数是几？（2）这28个数的和是多少？例题3： 28个3相乘，积的个位数字是几？【思路导航】这题我们只要考虑积的个位数的排列规律。
1个3，积的个位数是3，2个3相乘积的个位数是9，3个3相乘积的个位数是7，4个3相乘积的个位数是1，5个3相乘积的个位数是3，……可以发现积的个位数分别是3、9、7、1不断重复出现，即每4个3积的个位数为一周期。
28÷4=7（个）,即是第7个周期中的最后一个，是1.例题4：小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文字。
如果这本书有36页，而第1页是文字，这本童话书共有多少页插图？【思路导航】题意是这本书是按“1页文字3页插图”的规律重复排列的，那么把“1页文字3页插图”看做一周期，同学们想想该怎么做吧。
例题5： 2001年10月1日是星期一，问10月25日是星期几？【思路导航】我们知道每7天为一个周期不断重复出现。
从10月1日到25日经过了24天，24÷7=3（星期）……3（天），所以从10月1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起再过3天就应是星期四。
课堂练习：1. 根据规律算出第16个图形是什么。
○△□□○△□□○△□□……2. 有一列数：1、3、5、1、3、5、1、3、5、1、3……（1）第31个数是几？（2）这31个数的和是多少？3. 40个2相乘，积的个位数字是几？4.校门口摆了一排鲜花。
数学方阵问题解题技巧
数学方阵问题解题技巧
解题技巧：数学方阵是一个非常重要的数学概念，涉及到线性代数和矩阵理论。
在解题过程中，我们可以采用以下技巧：
1. 理解方阵的定义，方阵是一个行数和列数相等的矩阵。
通常用n×n来表示，其中n代表方阵的阶数。
2. 熟练掌握方阵的性质，方阵具有许多特殊的性质，比如可逆性、对角线元素、转置等。
熟练掌握这些性质对于解题非常重要。
3. 理解行列式的概念，行列式是方阵的一个重要性质，它可以用来判断方阵是否可逆，以及计算方阵的特征值等。
4. 掌握矩阵运算规则，矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法等规则在解题过程中经常用到，需要熟练掌握。
5. 熟练掌握方阵的求逆方法，求逆是方阵中常见的操作，需要掌握高斯-约当消元法、伴随矩阵法等方法。
6. 熟练掌握特征值和特征向量的计算，特征值和特征向量是方
阵的重要性质，熟练掌握如何计算和应用它们对于解题非常重要。
7. 多练习题目，通过多做一些方阵相关的题目，可以提高对方阵的理解和运用能力。
总之，掌握数学方阵的解题技巧需要对方阵的性质、运算规则和相关概念有深入的理解，同时需要通过大量的练习来提高解题能力。
希望以上技巧能够帮助你更好地理解和运用数学方阵。
数与代数 第6章 探索规律
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例2 用小棒按照如下的方式摆图形： (1)摆n个这样的八边形需要( )根小棒。 (2)照这种方式，用2010根小棒可摆出( )个八边形。
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例：12345679×9＝1 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×54＝？
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在上面这一组算式中，第一个因数都是12345679(“缺八数”)，与9相乘，得到 一个由9个1组成的九位数。在第二个算式中，12345679不变，9变成18，扩大到 原来的2倍，积变成由9个2组成的九位数，也扩大到原来的2倍。也就是说，这 组算式的规律实际上就是：一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积 也就扩大到原来的几倍。根据这一规律，就可以求出其他算式的积。
4．方阵中的规律 日常生活中，我们经常会遇到一些有关正方形的问题，如运动会上大型团体操 表演的正方形队列，正方形棋盘上摆棋子，正方形操场上插彩旗等有趣的数学 问题，我们称为方阵问题。 方阵一般分为实心方阵和空心方阵两种。方阵问题的特点是：方阵同一层上， 每边的人或物的数量相等；相邻两层，每边上的数量相差2，即四边形四条边上 的数量相差8。
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【解析】(1)通过观察发现，摆好第一个八边形后，以后每增加一个八边形，都 与前一个八边形共用一条边，所以只增加7根小棒。因此摆n个这样的八边形， 需要小棒的根数是：8＋(n－1)×7＝7n＋1。 (2)现有2010根小棒，问能摆出多少个八边形， 列式为：7n＋1＝2010，解得n＝287。 【答案】(1)7n＋1 (2)287
初中数学找规律题型解题技巧
初中数学找规律题型解题技巧
初中数学中的找规律题型是考察学生观察、归纳和推理能力的一种题目。
这种题目通常会给出一些数列、图形或者操作方式，让学生找出其中的规律，然后根据这个规律继续填写后面的数列或图形。
解题技巧如下：
1.观察和分析：首先要仔细观察给出的数列或图形，尝试找出它们之间的规律。
可以从数
列的项、项与项之间的关系、图形的形状和结构等方面入手。
2.归纳规律：在观察的基础上，尝试归纳出数列或图形的变化规律。
这个规律可以是递增、
递减、周期性变化等。
3.应用规律：根据归纳出的规律，推算出数列或图形中缺失的部分。
4.检验答案：最后，需要检验得出的答案是否符合数列或图形的变化规律，以确保解题正
确。
例如，对于数列“1，2，4，8，16...”，我们可以观察到每一项都是前一项的2倍。
因此，根据这个规律，我们可以推算出接下来的项应该是32（因为16 * 2 = 32）。
再如，对于图形题，如果一个三角形每次增加一条边，那么我们可以根据这个规律画出接下来的图形。
找规律题目的解题关键在于观察、归纳和推理。
通过不断练习这种题目，可以提高自己的数学思维和解决问题的能力。
同时，也要注意耐心和细心，不要因为题目复杂而放弃。
对排列 组合中的一些规律的总结
对排列组合中的一些规律的总结南郑县高台中学张振江每年高考试题中总会涉及排列、组合问题，所占分值不高，可是学生的得分情况却是不太好，一遇到这类问题多数学生感到无从下手。
可是，其中的规律性是存在的，而且是可以被我们理解和掌握的。
下面笔者将自己的理解和感悟作一个概括总结。
一．捆绑法:例1. 有A、B、C、D、E五人排队排成一排，其中A与B必须相邻，则共有多少种排法？分析：相邻问题其要点是将要求相邻的元素看作一个整体，即一个元素，然后与其他元素进行排列，当然这个整体中各元素之间按要求也要进行排列，故排法为A44。
将这一思想方法加以推广就可以解决类似的问题。
二、插空法：例1．有A、B、C、D、E五人排队排成一排，其中A与B不相邻，则排法有多少种？分析：A与B不相邻，那么就先处理其余的部分即，然后将A、B二人插入空位即可，即，总数为A33A24.类似的，关于相离问题可灵活运用这个方法。
例2:学楼走廊每层共有七个完全相同的路灯，如图○○○○○○○，每个灯泡均可亮或不亮，为节约用电，现要求夜间只亮其中三个路灯，且相邻两个路灯不同时亮，则最多可设计多少种不同变换方式？分析：四盏路灯可构成五个空，将三盏亮灯插入五个空位有 种方法A 35。
例3.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是多少？解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种。
三、插版法：例1．将编号为1、2、3、4、5、6、7的七个完全相同的小球放入甲、乙、丙三个盒子中，若每个盒子都不空，则有几种不同的放法？分析：显然应分两步，先将小球分成三个部分，然后再分别放入三个盒子中。
即可将7个小球排成一排，各球间共有6个空，在这6个空当中插入2个档板即 ，自然就将7个小球分成三个部分，然后分别放入3个盒子 。
四、缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。
探索规律
） ； ） 。
4
3
5
2
2
48
6 A=(
2
36 ), B=(
6 ) 。
3
A
2
4
72
B
3、三个数字 1、2、3 与五个字母 A、B、C、D、E 不断重复出现，一个数字与一个字母对应一组， 如下表：问第 75 组是什么数字和字母。 1 A 2 B 3 C 1 D 2 E 3 A 1 B 2 C 3 D 1 E … …
4、A 城与 B 城之间有 10 座车站（包括 A 城与 B 城这两站） ，每两座车站之间的距离都不相同， 车 票也不相同，那么往返于 A 城与 B 城之间的火车，有多少种不同的票价？有多少种不同的车票？
例 4. 如图，如果正方形每个端点各摆一个花盆，n 个正方形端点可摆放多少
个花盆？
……
n个 解析：1 个正方形可摆 4 个花盆，以后每增加一个正方形可多摆 2 个花盆，所以就形成了一个首 项是 4，公差为 2 的等差数列，正方形个数就是数列的项数。所以利用通项公式：
）个“我”字。
（2） “北、我、我”下一次同时出现是在第（
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第十五讲
探索规律
解析： （1）每一行的周期都不相同，所以我们要分别去求：第一行，周期是 5，用 100÷5=20 可 知，第 100 个是“你” ；第二行周期是 4，用 100÷4=25，可知，第 100 个是“星” ；第三行周期是 3，100÷3=33……1，可知，第 100 个是“我” ，所以第 100 组是“你、星、我”. 第二行每组有 1 个“我”字，所以 25 组共有 25 个“我”字，第三行每组有 1 个“我”字，所以 33 组共有 33 个“我”字，还余下一个，所以有 34 个，所以一共有 59 个“我”字。 解： （1）100÷5=20，没余数，是“你” ；100÷4=25，没余数，是“星” 100÷3=33……1，是“我” ，所以第 100 组是“你、星、我” 。
12探索规律(基础)知识讲解及其练习
探索规律（基础）知识讲解【学习目标】1. 通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运算验证规律是否正确的过程；2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确；3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程.【要点梳理】要点一、规律探索型问题常见类型1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.2、图形规律根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.3、数表规律解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.要点二、规律探索型问题解题技巧1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.3、要进行计算尝试找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.4、寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 【典型例题】类型一、数式规律1．按某种规律在横线上填上适当的数： （1）1，3，5，7，9，11， ，………； （2）3，6，12，24，48，96， ，………； （3）1，4，9，16，25，36， ，………； （4）0，3，8，15，24，35， ，………； （5）2，-2，2，-2，2，-2， ，……….【答案】（1）13；（2）192；（3）49；（4）48；（5）2. 【解析】 解：（1）这个数列中，后一项与前一项差为定值2，所以第7个数为：11213+=； （2）这个数列中，后一项总是前一项的2倍，所以第7个数为：962192⨯=； (3) 这个数列中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方，所以第7个数为：2749=；(4) 这个数列中，后一项与前一项的差依次多2，所以第7个数为：351348+=； （5）这个数列中，每两个数一个循环，奇数位上的数为2，偶数位的数为-2．所以第7个数为：2． 【总结升华】（1）一列数中，后一项与前一项的差是一个固定的数，则这列数的第n 个数为：从左往右数第一个数＋固定数值×（n-1）.（2）一列数中，相邻两项的后一项与前一项的商为固定值q （q ≠0），则这列数的第n 个数为：从左往右数第一个数×1n q-.(3) 一列数中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方,则第n 个数为：2n 或3n . （4）此数列满足：差值呈固定值2增长，第n 个数为21n -. （5）此数列中的第n 个数可表示为1(1)2n +-⨯.举一反三：【变式1】按某种规律在横线上填上适当的数： (1) －5，－2，1，4， ； (2) 2，5，10，17， ，37；(3) 1，8，27，64， ，216 ． 【答案】（1） 7 （2）， 26 （3） 125【变式2】（•德州）一组数1，1，2，x ，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表示的数为（ ） A ．8 B ．9 C ．13 D ．15 【答案】A ．解：∵每个数都等于它前面的两个数之和， ∴x=1+2=3， ∴y=x+5=3+5=8，即这组数中y 表示的数为8．2.（•丹东）观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．【思路点拨】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．【答案】﹣．【解析】解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，∴第11个数据是：﹣=﹣．故答案为：﹣．【总结升华】此题主要考查了数字变化类，正确得出分子与分母的变化规律是解题关键，另外要注意符号的变化.举一反三：【变式】根据以下等式：1=12，1+2+1=22，1+2+3+2+1=32，…．对于正整数n（n≥4），猜想：1+2+ … +（n-1）+n+（n-l）+ … +2+1= ．【答案】n2类型二、图表规律3．用火柴棒按下图的方式搭三角形:（1）填写下表：三角形个数 1 2 3 4 5 火柴棒根数（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？【思路点拨】每多搭一个三角形，就多用两根火柴棒.【答案与解析】三角形个数 1 2 3 4 5火柴棒根数 3 5 7 9 11 （2）搭n个这样的三角形需要 2n+1 根火柴棒【总结升华】将“形”的规律转换为“数”的规律.举一反三：【变式】观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个★．n【答案】314．（•泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A.135 B．170 C．209 D．252【答案】C．【解析】解：首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4﹣1=3，6﹣2=4，8﹣3=5，10﹣4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209【总结升华】此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．举一反三：【变式】观察下列有序整数对：（1，1）．（1，2），（2，1）．（1，3），（2，2），（3，1）（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10行从左到右第5个整数对是【答案】（5,6）5．如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012个图案中“♣”，共个．【思路点拨】本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2012被4整除，从而确定是共第503♣．【答案】503【解析】解：根据题意可知梅花是1，2，3，4即4个一循环．所以2012÷4＝503．所以共有503个♣．【总结升华】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．举一反三：【变式】观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星）．若第一个图形是三角形，则第18个图形是．（填图形的名称）▲■★■▲★▲■★■▲★▲…【答案】五角星提示：6个一循环．【巩固练习】一、选择题1.（•黄冈中学自主招生）对正整数n，记n!=1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为（）A．0 B．1 C．3 D．52.（•东莞市一模）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n 的值是（）A．48 B．56 C．63 D．743.小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围成三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）．A．2010 B．2012 C．2014 D．20164．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二．若这种细菌由1个分裂到16个，那么这个过程要经过 ( ) ．A．1.5小时； B．2小时； C．3小时； D．4小时．5. 观察下列算式：12345678 22242821623226421282256========， ， ， ， ， ， ， ，根据上述算式中的规律，你认为202的末位数字是（）．A. 2B. 4C. 6D. 86.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（）．A．50 B．64 C．68 D．72二、填空题7. 观察下列等式：9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20，49－25=24，…这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用含字母n的等式表示这个规律 .8.观察下面一列有规律的数：111111,,,,,2612203042，……，根据规律可知第7个数是________，第n个数应是________（n是正整数）．9．有一列数：1，2，3，4，5，6，……当按顺序从第二个数数到第n个数时，共数了________个数；当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时, 共数了________个数．10. 今天是星期一，58天后是星期．11.（•南宁）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第层．12.（•绥化）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c= ．三、解答题13.（春•郑州期末）任意一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数字的百位．百位数字乘十位数的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，如果积大于9，则将积的个位数与十位数相加，若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程…例如，以832开始，运算以上规则依次可得到：832，766，669，999，999，…（1）你选择的三位数是什么？按上述规则进行运算你都得到了哪些数？你得到了什么结论？（2）换个数试试，你有什么进一步的猜想？14.如图a是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图b，再分别连接图b中各小三角形三边中点，得到图c，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：图a 图b 图c图形编号 1 2 3 4 5 ……三角形个数 1 5 9（2）在第n个图形中有多少个三角形（用含n的式子表示）.15．从2开始，连续的偶数相加（特别地，把1个2相加也看成和）.和的情况如下：＝＝，＋＝＝，＋＋＝＝，＋＋＋＝＝， (221224623246123424682045)⨯⨯⨯⨯（1）推测从2开始，n个连续偶数相加，和是多少？（2）取n=6，验证（1）的结论是否正确.【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C ．【解析】∵1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，而5!、…、10!的数中都含有2与5的积，∴5!、…、10!的末尾数都是0， ∴1!+2!+3!+…+10!的末尾数为3．2．【答案】C ；【解析】解：从方格上方的数的数1、3、5、可以推出m=7，第一个方格中：3=1×2+1， 第二个方格中：15=3×4+3， 第三个方格中：35=5×6+5， ∴第四个方格中：n=7×8+7=63． 故选：C ．3. 【答案】D ；【解析】既是三角形数又是正方形数，应是12的倍数． 4. 【答案】B ；【解析】16＝24，所以这个过程要经过了4个半小时，即2小时． 5．【答案】C ；【解析】末位数字以2，4，8，6为一个循环，20÷4＝5，所以202的末位数字应与42的末位数字相同． 6. 【答案】D ；【解析】第⑥个图形中五角星的个数：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2＝72． 二、填空题7. 【答案】22(2)4(1)n n n +-=+； 8．【答案】156，1(1)n n +； 【解析】111111;;;;2126231234===⨯⨯⨯第n 个代数式为1(1)n n +.9．【答案】n －1,n －m ＋1； 10.【答案】三；【解析】58/7=8（星期）……2（天），所以是星期三. 11.【答案】44；【解析】解：第一层：第一个数为12=1，最后一个数为22﹣1=3，第二层：第一个数为22=4，最后一个数为32﹣1=8，第三层：第一个数为32=9，最后一个数为42﹣1=15，∵442=1936，452=2025， 又∵1936＜2016＜2025，∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层，故答案为：44．12.【答案】110【解析】根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，可得6+4=a，6+3=c，ac+1=b，可得：a=10，c=9，b=91，所以a+b+c=10+9+91=110.三、解答题13.【解析】解：（1）如选择的三位数是123，运用以上规则依次可得到：123，326，963，999，999，…这组数的后面都是999；（2）如选择的三位数是788，运用以上规则依次可得到：788，221，242，488，551，575，788，…如选择的三位数是255，运用以上规则依次可得到：255，117，717，477，114，414，744，117，…猜想：无论给出一个什么样的三位数，总能得到重复出现的一组数：都是999或6个数为一组重复出现．14．【解析】解：（1）13，17 ；（2）1＋4（n－1）＝4n－3.15. 【解析】解：（1）n（n+1）；（2）n=6，n（n+1）=6×7=42=2+4+6+8+10+12，（1）的结论正确.。
【小升初】小学数学《探索规律专题课程》含答案
11.探索规律知识要点梳理探索规律一般分为重复的规律(周期问题)和变换的规律，其中变换的规律又分为数字排列律，计算式规律，图形排列规律，图形变换规律。
数字排列规律:数列填空，要在数列中相邻两个数的和、差、积、商中发现共同点，寻找规律。
数组填空，一般先看到每组第一个数与组数的关系，再分别看每组中后几个数与本组中的第一个数的关系。
数阵或数表填空，要分析数的横行或竖列中各数的关系，找出规律。
图形的变化规律:先确定有儿种图形，然后观察每种图形在不同组的位置变化，最后找出图形的排列规律。
颜色交替规律:通过发现两组颜色的变化来找出规律。
间隔排列物体个数之问的变化规律:两种物体间隔着排成一行，排在两端的物体个数比中间多1个。
或者说排在中问的物体个数比两端的少1个。
解决周期问题主要是找到循环重复的部分，用有余除法进行解答，而探索变换的规律时要注意观察，比较和归纳总结，对学生的综合能力要求较高，学生要多加练习不同的题型。
考点精讲分析典例精讲考点1 数字排列规律【例1】找规律填空。
(1)1，5，9，13，17，( )，（）……(2)10，11，13，16，( )，25……(3)1，3，7，15，31，( )……(4)1，1，2，3，5，8，( )，（）……(5)4，9，16，25，( )，（）……【精析】本题先比较相邻两个数的差，发现规律，(1)的差都相等是4,(2)的差是1 ,2,3,4……的有序自然数，(3)的差是2,4,8,16……的倍数关系数列，(4)的差是0,1,1,2,3又重复本来的数列，再总结下可以发现从第三个数开始每个数等于前两个数的和，(5)的差是5,7,9...…奇数列，再总结下发现每个数是自然数的平方。
然后根据规律填空即可。
【答案】(1)1,5,9,13,17,( 21),(25)……(2)10，11，13，16，(20),25……(3)1，3，7，15，31，(63)……(4)1，1，2，3，5，8，(13)，(21)……(5)4，9，16，25，(36)，(49)……【归纳总结】此类题是数列找规律题目，解决时可以先观察数字之间的联系，如果直接看不出来的话通常可以算出数列相邻两个数字的差，然后再观察差的规律，根据规律推出差，进行加法计算，算出空的数字，此题中的(I)是小学比较重要的等差数列，(2)和(3)可以称为二阶数列(相邻两数差构成基本数列),(4)是著名的兔子数列(也叫斐波那切数列),(5)是平方数列，总结这些数列的特点，可以帮助我们更好的解答数列找规律的题目。
中考数学专题复习探索规律问题
专题探索规律问题解读考点考点归纳归纳 1：数字猜想型基础知识归纳：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系,先猜想,然后通过适当的计算回答问题．注意问题归纳：要认真分析比较,从而发现题中蕴涵的数量关系,通过猜想,再通过计算解决问题．例1一列数：0,-1,3,-6,10,-15,21,……,按此规律第n个数为归纳 2：数式规律型基础知识归纳：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式即函数关系式为主要内容．注意问题归纳：要注意观察、分析、归纳、并验证得出结论．例2有一个计算程序,每次运算都是把一个数先乘以2,再除以它与1的和,多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次运算的结果yn= 用含字母x和n的代数式表示．归纳 3：图形规律型基础知识归纳：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式描述其中的规律,要注意对应思想和数形结合．注意问题归纳：要注意分析图形的组成与分拆过程中的特点,要注意数形结合．例3如图,是由一些点组成的图形,按此规律,在第n个图形中,点的个数为．归纳 4：数形结合猜想型基础知识归纳：数形结合猜想型问题首先要观察图形,从中发现图形的变化方式,再将图形的变化以数或式的形式反映出来,从而得出图形与数或式的对应关系,数形结合总结出图形的变化规律,进而解决相关问题．注意问题归纳：要注意观察图形,发现图形的变化方式,用好数形结合思想解决问题．例4如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,且AC边在直线a上,将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1,此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=2+；……,按此规律继续旋转,直至得到点P2014为止．则AP2014= ．归纳5：动态规律型基础知识归纳：动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律,解答此类问题时,要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较,明确哪些结果发生了变化,哪些结果没有发生变化,从而逐步发现规律．注意问题归纳：要注意探求图形的变化规律,明确发生变化的与没有发生变化的量,从而逐步发现规律．例5如图,在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1,A2,A3,A4,……,An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=1x的图象相交于点P1,P2,P3,P4,……Pn作P2B1⊥A1P1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,……,PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1,垂足分别为B1,B2,B3,B4,……,Bn﹣1,连接P1P2,P2P3,P3P4,……,Pn﹣1Pn,得到一组Rt△P1B1P2,Rt△P2B2P3,Rt△P3B3P4,……,Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn,则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为．2年中考2015年题组1．2015绵阳将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放,观察每个“龟图”中的“○”的个数,若第n个“龟图”中有245个“○”,则n=A．14 B．15 C．16 D．17考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．2．2015十堰如图,分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形,公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍,并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个,那么能连续搭建正三角形的个数是A．222 B．280 C．286 D．2923．2015荆州把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,…,现有等式Am=i,j表示正奇数m 是第i组第j个数从左往右数,如A7=2,3,则A2015=A．31,50 B．32,47 C．33,46 D．34,424．2015包头观察下列各数：1,43,97,1615,…,按你发现的规律计算这列数的第6个数为A．2531 B．3635 C．47 D．6263考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．5．2015重庆市下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有6个小圆圈,第②个图形中一共有9个小圆圈,第③个图形中一共有12个小圆圈,…,按此规律排列,则第⑦个图形中小圆圈的个数为A．21 B．24 C．27 D．306．2015泰安下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为A．135 B．170 C．209 D．252考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．7．2015重庆市下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成,图①中有2个黑色正方形,图②中有5个黑色正方形,图③中有8个黑色正方形,图④中有11个黑色正方形,…,依次规律,图⑩中黑色正方形的个数是A．32 B．29 C．28 D．26考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．8．2015崇左下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第4个图形中所有正三角形的个数有A．160 B．161 C．162 D．1639．2015贺州观察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,…,解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是A．0 B．3 C．4 D．8考点：1．尾数特征；2．规律型；3．综合题．10．2015宜宾如图,以点O为圆心的20个同心圆,它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20,阴影部分是由第1个圆和第2个圆,第3个圆和第4个圆,…,第19个圆和第20个圆形成的所有圆环,则阴影部分的面积为A ．231π B．210π C．190π D．171π11．2015鄂州在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置,其中点B1在y 轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是A ．201421）（B ．201521）（C ．201533）（D ．201433）（答案D ．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．12．2015庆阳在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2nA2n+1B2n+1n 是正整数的顶点A2n+1的坐标是A ．4n ﹣3．2n ﹣3．3 D ．313．2015宁德如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3…都在x 轴上,点B1,B2,B3…都在直线y x 上,△OA1B1,△B1A1A2,△B2B1A2,△B2A2A3,△B3B2A3…都是等腰直角三角形,且OA1=1,则点B2015的坐标是A ．20142,20142B ．20152,20152C ．20142,20152D ．20152,20142考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等腰直角三角形；3．规律型；4．综合题．14．2015河南省如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3,…组成一条平滑的曲线,点P 从原点O 出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒2π个单位长度,则第2015秒时,点P 的坐标是A ．2014,0B ．2015,﹣1C ．2015,1D ．2016,0考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．15．2015张家界任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和,如：5323+=,119733++=,1917151343+++=,…按此规律,若3m 分裂后其中有一个奇数是2015,则m 的值是A ．46B ．45C ．44D ．4316．2015邵阳如图,在矩形ABCD 中,已知AB=4,BC=3,矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转2015次后,顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是A ．2015π B．π C ．3018π D．3024π17．2015威海如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2,正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切,正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切,…按这样的规律进行下去,A10B10C10D10E10F10的边长为A ．92432B ．98132C ．9812 D ．88132考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．18．2015日照观察下列各式及其展开式：222()2a b a ab b +=++；33223()33a b a a b ab b +=+++；4432234()464a b a a b a b ab b +=++++；554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++；…请你猜想10()a b +的展开式第三项的系数是A ．36B ．45C ．55D ．66考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．19．2015宁波如图,将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠,使点A 落在BC 边上的A2处,称为第1次操作,折痕DE 到BC 的距离记为h1；还原纸片后,再将△ADE 沿着过AD 中点D1的直线折叠,使点A 落在DE 边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC 的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…,经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC 的距离记为h2015,到BC 的距离记为h2015．若h1=1,则h2015的值为A ．201521B ．201421C ．2015211- D ．2014212-考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．翻折变换折叠问题；4．规律型；5．综合题．20．2015常州数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式,作出了一个着名的猜想． 4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5； 16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式,你发现的规律是 请用文字语言表达．21．2015淮安将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a 行,第b 列,则a+b= ．22．2015雅安若1m ,2m ,…,2015m 是从0,1,2这三个数中取值的一列数,若122015...m m m +++=1525,222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=,则1m ,2m ,…,2015m 中为2的个数是 ．23．2015桂林如图是一个点阵,从上往下有无数多行,其中第一行有2个点,第二行有5个点,第三行有11个点,第四行有23个点,…,按此规律,第n 行有 个点．24．2015梧州如图是由等圆组成的一组图,第①个图由1个圆组成,第②个图由5个圆组成,第③个图由12个圆组成…按此规律排列下去,则第⑥个图由 个圆组成．25．2015百色观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是 用含n 的式子表示26．2015北海如图,直线22y x =-+与两坐标轴分别交于A 、B 两点,将线段OA 分成n等份,分点分别为P1,P2,P3,…,Pn﹣1,过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T1,T2,T3,…,Tn ﹣1,用S1,S2,S3,…,Sn ﹣1分别表示Rt△T1OP1,Rt△T2P1P2,…,Rt△Tn ﹣1Pn ﹣2Pn ﹣1的面积,则当n=2015时,S1+S2+S3+…+Sn﹣1= ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型；3．综合题．27．2015南宁如图,在数轴上,点A 表示1,现将点A 沿x 轴做如下移动,第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1,第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2,第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点,按照这种移动规律移动下去,第n次移动到点An,如果点An 与原点的距离不小于20,那么n 的最小值是 ．28．2015常德取一个自然数,若它是奇数,则乘以3加上1,若它是偶数,则除以2,按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1,即：,如果自然数m 最少经过7步运算可得到1,则所有符合条件的m 的值为 ．29．2015株洲“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式,公式表达式为12b S a =+-,孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积,a 和b 中有一个表示多边形边上含顶点的整点个数,另一个表示多边形内部的整点个数,但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数,请你选择一些特殊的多边形如图1进行验证,得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 ,并运用这个公式求得图2中多边形的面积是 ．30．2015内江填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ；3223()()a b a a b ab b -+++= ．2猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= 其中n 为正整数,且2n ≥．3利用2猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+． 31．2015南平定义：底与腰的比是51-的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图,已知△ABC 中,AB=BC,∠C=36°,BA1平分∠ABC 交AC 于A1．AB=AA1A C；122探究：△ABC是否为黄金等腰三角形请说明理由；提示：此处不妨设AC=13应用：已知AC=a,作A1B1∥AB交BC于B1,B1A2平分∠A1B1C交AC于A2,作A2B2∥AB 交B2,B2A3平分∠A2B2C交AC于A3,作A3B3∥AB交BC于B3,…,依此规律操作下去,用含a,n的代数式表示An﹣1An．n为大于1的整数,直接回答,不必说明理由考点：1．相似形综合题；2．新定义；3．探究型；4．综合题；5．压轴题；6．规律型．33．2015重庆市如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是：1,2,3,2,1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1,2,3,2,1,因此12321是一个“和谐数”,再加22,545,3883,345543,…,都是“和谐数”．1请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除并说明理由；2已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设其个位上的数字x1≤x≤4,x为自然数,十位上的数字为y,求y与x的函数关系式．2014年题组1．2014年南平中考如图,将1,若规定a,b表示第a排第b列的数,则8,2与2014,2014表示的两个数的积是A．B．C． D．12．2014年株洲中考在平面直角坐标系中,孔明做走棋的游戏,其走法是：棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位,第4步向右走1个单位……依此类推,第n步的走法是：当n能被3整除时,则向上走1个单位；当n被3除,余数为1时,则向右走1个单位；当n被3除,余数为2时,则向右走2个单位,当走完第100步时,棋子所处位置的坐标是A．66,34 B．67,33 C．100,33 D．99,343．2014年宜宾中考如图,将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,……An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是A．n B．n-1 C.n11()4D．n1()4考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．4．2014年崇左中考如图,在平面直角坐标系中,A1,1,B﹣1,1,C﹣1,﹣2,D1,﹣2．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点A处,并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的规律绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是A．﹣1,0 B．1,﹣2 C．1,1 D．﹣1,﹣15．2014年百色中考观察以下等式：32﹣12=8,52﹣12=24,72﹣12=48,92﹣12=80,……由以上规律可以得出第n个等式为．6．2014年衡阳中考 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点0M 的坐标为()10，,将线段0OM 绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点1M ,使得100M M OM ⊥,得到线段1OM ；又将线段1OM 绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点2M ,使得211M M OM ⊥,得到线段2OM ；如此下去,得到线段3OM 、4OM 、5OM 、……．根据以上规律,请直接写出线段2014OM 的长度为 ．答案2014．7．2014年抚顺中考如图,已知CO1是△ABC 的中线,过点O1作O1E1∥AC 交BC 于点E1,连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC 交BC 于点E2,连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC 交BC 于点E3,……,如此继续,可以依次得到点O4,O5,……,On 和点E4,E5,……,En ．则OnEn= AC ．用含n 的代数式表示考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．8．2014年资阳中考如图,以O0,0、A2,0为顶点作正△OAP1,以点P1和线段P1A 的中点B 为顶点作正△P1BP2,再以点P2和线段P2B 的中点C 为顶点作△P2CP3,……,如此继续下去,则第六个正三角形中,不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是9．2014年宜宾中考在平面直角坐标系中,若点Px,y 的坐标x 、y 均为整数,则称点P 为格点,若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L,例如图中△ABC 是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4．1求出图中格点四边形DEFG 对应的S,N,L 的值．2已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b,其中a,b为常数,若某格点多边形对应的N=82,L=38,求S的值．考点：1．规律型：图形的变化类； 2．二元一次方程组的应用．10．2014年凉山中考实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第n行有n个点……容易发现,10是三角点阵中前4行的点数约和,你能发现300是前多少行的点数的和吗如果要用试验的方法,由上而下地逐行的相加其点数,虽然你能发现1+2+3+4+……+23+24=300．得知300是前24行的点数的和,但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n,可以发现．2×1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n=1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n+n+n﹣1+n﹣2+……3+2+1把两个中括号中的第一项相加,第二项相加……第n项相加,上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1,整个式子等于nn+1,于是得到1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n=12nn+1这就是说,三角点阵中前n项的点数的和是12nn+1下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n行的点数的和为300,则有12nn+1整理这个方程,得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24,n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24,即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：1三角点阵中前n行的点数的和能是600吗如果能,求出n；如果不能,试用一元二次方程说明道理．2如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、……、2n、……,你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗如果能,求出n；如果不能,试用一元二次方程说明道理．1年模拟1．2015届山东省济南市平阴县中考二模在平面直角坐标系xOy中,对于点Px,y,我们把点P-y+1,x+1叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,…．例如：点A1的坐标为3,1,则点A2的坐标为0,4,…；若点A1的坐标为a,b,则点A2015的坐标为A．-b+1,a+1 B．-a,-b+2 C．b-1,-a+1 D．a,b2．2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模如图,下面是按照一定规律画出的“树形图”,经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”,图A3比图A2多出4个“树枝”,图A4比图A3多出8个“树枝”,…,照此规律,图A6比图 A2多出“树枝”A．32 B．56 C．60 D．643．2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的是①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形AnBnCnDn面积为．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④4．2015届广东省深圳市龙华新区中考二模如图,已知直线y=-12x+2与x轴交于点B,与y轴交于点A．过线段AB的中点A1做A1B1⊥x轴于点B1,过线段A1B的中点A2作A2B2⊥x轴于点B2,过线段A2B的中点A3作A3B3⊥x轴于点B3…,以此类推,则△AnBnBn-1的面积为A ．112n -B ．12nC ．114n -D ．14n5．2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模如图放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,边AO 在y 轴上,点B1,B2,B3,…都在直线y=33x 上,则A2015的坐标是 ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．规律型．6．2015届北京市平谷区中考二模在平面直角坐标系中,点A,B,C 的坐标分别为()1,0,()0,1,()1,0-．一个电动玩具从坐标原点O 出发,第一次跳跃到点P1,使得点P1与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点P2,使得点P2与点P1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P3,使得点P3与点P2关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点P5,使得点P5与点P4关于点B 成中心对称；．…照此规律重复下去．则点P3的坐标为 ；点Pn 在y 轴上,则点Pn 的坐标为 ．7．2015届北京市门头沟区中考二模在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 如图放置,动点P 从0,3出发,沿所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第2次碰到矩形的边时,点P 的坐标为 ；当点P 第6次碰到矩形的边时,点P 的坐标为 ；当点P 第2015次碰到矩形的边时,点P 的坐标为____________．答案7,4, 0,3 ,1,4．8．2015届安徽省安庆市中考二模一组按规律排列的式子：,,,,…则第n 个式子是 n为正整数．9．2015届山东省威海市乳山市中考一模在直角坐标系xOy中,对于点Px,y,我们把点P′y+1,-x+1叫做点P的影子点．已知点A1的影子点为A2,点A2的影子点为A3,点A3的影子点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,…若点A1的坐标为a,b,对于任意的正整数n,点An均在y轴的右侧,则a,b应满足的条件是．10．2015届山东省日照市中考模拟如图,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3,已知A1,3,A12,3,A24,3,A38,3,B2,0,B14,0,B28,0,B316,0．1观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是．2若按1题找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到的△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推出Bn的坐标是．11．2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去．已知第一个矩形的两条邻边长分别为6和8,则第n个菱形的周长为．12．2015届湖北省黄石市6月中考模拟如图,点A1,A2,A3,A4,…,An在射线OA上,点B1,B2,B3,…,Bn﹣1在射线OB上,且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1,△A1A2B1,△A2A3B2,…,△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形,若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1、4,则△A1A2B1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．13．2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试若a是不为1的有理数,我们把11a-称为a的差倒数．如：2的差倒数是112-=-1,-1的差倒数是111(1)2=--．已知a1=-13,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数,…,依此类推．1分别求出a2,a3,a4的值；2求a1+a2+a3+…+a2160的值．。
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练习
有一列数：1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、 4、5、4、3、4、5、6、5、4、……这列数中，第 2006个数是多少？第2008个呢？
一、方阵中的规律
方阵一般分为实心方阵和空心方阵两种。
方阵问题的特点： 方阵同一层上每边的人或物的数量相等；相
邻两层，每边上的数量相差2，即四边形四条边 的数量相差8。
一、方阵中的规律
1、方阵问题中每边数和四周数之间的数量关 系为：
四周数=（每边数-1）×4 每边数=四周数÷4+1
一、方阵中的规律
பைடு நூலகம்
练习
有一列数：1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、 4、5、4、3、4、5、6、5、4、……这列数中，第 2006个数是多少？第2008个呢？
练习
有一列数：1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、 4、5、4、3、4、5、6、5、4、……这列数中，第 2006个数是多少？第2008个呢？
练习
下图是某同学在沙滩上用石子摆的小房子，观察 图形的变化规律，写出第6个小房子用了（60）个石 子。
三、周期中的规律
解答周期问题的关键是找出周期，确定周期后
用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为 周期里的最后一个数，如果比整数个周期多n个，那 么结果为下一个周期里的第n个，如果不是从第一个 开始循环，可以从总量里先减去不是循环的个数， 再继续算。
2、实心方阵的数量关系为：
总数=最外层每边数×最外层每边数
3、空心方阵的数量关系为：
总数=（最外层每边数-层数）×层数 ×4
练习
小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外 层摆满，用了40个棋子，最外边每边有多少个棋子？ 如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少个棋子？
练习
小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外 层摆满，用了40个棋子，最外边每边有多少个棋子？ 如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少个棋子？
最外层每边棋子数: 40÷4+1=11（个） 从外数第二层每边棋子数: 11-2=9（个） 还需要棋子数： 9×9=81（个）
二、数与形结合的规律
在探索数与形结合的规律中，一方面需要考虑图 形的特点，另一方面，需要考虑数的排列规律，通 过数形结合，对应等思想去解决问题。
练习
下图是某同学在沙滩上用石子摆的小房子，观察 图形的变化规律，写出第6个小房子用了（ ）个石 子。
2015年8月8日是星期六，2016年10月1日是 星期（ ）。
探索规律（2）
探索规律：
算式中的规律 数列中的规律 图形中的规律 方阵中的规律 数与形结合的规律 周期中的规律 搭配中的规律
一、方阵中的规律
日常生活中，我们经常会遇到一些有关正方 形的问题，如运动会上，大型团体操表演的正 方形队列正方形棋盘上摆棋子，正方形操场上 插彩旗等趣的数学问题，我们称为方阵问题。
练习
由1，2，3，4，5五个数字组成的五位数共有120个， 将它们从小到大排列起来，第95个数是（ ）。
练习
由1，2，3，4，5五个数字组成的五位数共有120个， 将它们从小到大排列起来，第95个数是（45312 ）。
万 千 百十 个 五位数有 5 ×4 ×3 ×2 ×1=120（个）。
1在万位上的情况有4 ×3 ×2 ×1=24（个） 2、3分别在万位上的情况也各有24个，那么将这 些数从小到大排列下来，第96个数（因为 24×4=96）为4在万位上的最大数，就是45321， 第95个数就是45312.
2006÷5=401（组）……1（个） 则第2006个数是第402组的第1个数.也就是402. 第2008就是404。
四、搭配中的规律
解决搭配问题，主要运用的是加法原理和乘法原 理。
加法原理：做一件事，完成它有n类办法，第一 类办法有m1种不同方法，第二类办法中有m2种不同 的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完
成这件事，共有N=m1+m2+……+mn种不
同的方法。
四、搭配中的规律
乘法原理：
做一件事，完成它需要分成n个步骤做，第一步 有m1种不同的方法做，第二步有m2种不同的方 法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事
有N=m1 ×m2 ×…×mn种不同的方法。
练习
练习
数长方形的个数的巧算方法与乘法原理相似。 长方形长上的线段条数×宽上的线段条数=长方形的总个数。
练习
图甲中，（3+2+1）×1=6（个） 图乙中，（3+2+1）×（2+1）=18（个） 图丙中，（3+2+1）×（3+2+1）=36（个）
• 用2个3、1个和1个2可组成不同的四位数， 这些四位数共有（ ）个。
• 4男2女6个人站在一排合影留念，要求2个女 的紧挨着排在正中间，有（ ）种不同的排 法。
• 用2个3、1个和1个2可组成不同的四位数， 这些四位数共有（ 12 ）个。
• 4男2女6个人站在一排合影留念，要求2个女 的紧挨着排在正中间，有（ 48 ）种不同的排 法。
• 有20张连号的“海底世界”参观券，要拿 出5张连号卷，一共有（ ）种不同的拿法。
• 有20张连号的“海底世界”参观券，要拿 出5张连号卷，一共有（ 16 ）种不同的拿 法。