探索方阵、周期、搭配中的规律
巧解公务员考试行测方阵问题五规律
公务员考试⾏测中的横竖排问题，我们将横着排称为⾏，竖着排称为列。
如⾏数与列数相等，则正好排成⼀个正⽅形，此图形被称为⽅阵(也被称为乘⽅问题)。
对于解答此类问题，⼈事考试的专家在多年辅导公务员考试的基础上，总结出⽅阵各要素之间存在如下的关系： (1)⽅阵总⼈(物)数＝最外层每边⼈(物)数的平⽅； (2)⽅阵最外⼀层总⼈(物)数⽐内⼀层总⼈(物)数多8(⾏数和列数分别⼤于2)； (3)⽅阵最外层每边⼈(物)数＝(⽅阵最外层总⼈数÷4)＋1； (4)⽅阵最外层总⼈数＝[最外层每边⼈(物)数－1]×4； (5)去掉⼀⾏、⼀列的总⼈数＝去掉的每边⼈数×2－1。
以下⾯真题为例验证： 例题1.(2007年浙江省第15题) 某部队战⼠排成了⼀个6⾏、8列的长⽅阵。
现在要求各⾏从左⾄右1,2,1,2,1,2,1,2报数，再各列从前到后1,2,3,1,2,3报数。
问在两次报数中，所报数字不同的战⼠有( )。
A.18个B.24个C.32个D.36个 【解析】此题可画出直观图进⾏解答。
当从左⾄右报1时，从前⾄后报2的有8⼈，报3的也有8⼈，当从左⾄右报2时，同理可得，从前⾄后报1的有8⼈，报3的也有8⼈，即所报数字不同的战⼠有32⼈。
故选C。
例题2.(2007年⿊龙江省(A类)第15题) 某学校学⽣排成⼀个⽅阵，最外层的⼈数是60⼈，问这个⽅阵共有学⽣多少⼈？( )A.272B.256C.225D.240 【解析】本题考查⽅阵问题。
⽅阵最外层每边⼈数为60÷4＋1＝16，所以这个⽅阵共有162＝256⼈。
故选B。
周期规律 Microsoft Word 文档
周期规律姓名：我们在研究简单周期问题时，首先要仔细审题判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。
例题1：有些棋子，按“二黑三白”排列起来，想想，第31个是白子还是黑子？第40个呢？●●○○○●●○○○●●○○○……【思路导航】这堆棋子的排列规律是“二黑三白”，5个棋子组成一组依次不断重复出现的。
我们先算出31个棋子可以排成这样的几组：31÷5=6（组） (1)（个），余数是1，这1个棋子表示第七组的第一个，即黑子。
例题2：有一列数：2、3、1、2、3、1、2、3、1、2、3……（1）第28个数是几？（2）这28个数的和是多少？例题3： 28个3相乘，积的个位数字是几？【思路导航】这题我们只要考虑积的个位数的排列规律。
1个3，积的个位数是3，2个3相乘积的个位数是9，3个3相乘积的个位数是7，4个3相乘积的个位数是1，5个3相乘积的个位数是3，……可以发现积的个位数分别是3、9、7、1不断重复出现，即每4个3积的个位数为一周期。
28÷4=7（个）,即是第7个周期中的最后一个，是1.例题4：小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文字。
如果这本书有36页，而第1页是文字，这本童话书共有多少页插图？【思路导航】题意是这本书是按“1页文字3页插图”的规律重复排列的，那么把“1页文字3页插图”看做一周期，同学们想想该怎么做吧。
例题5： 2001年10月1日是星期一，问10月25日是星期几？【思路导航】我们知道每7天为一个周期不断重复出现。
从10月1日到25日经过了24天，24÷7=3（星期）……3（天），所以从10月1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起再过3天就应是星期四。
课堂练习：1. 根据规律算出第16个图形是什么。
○△□□○△□□○△□□……2. 有一列数：1、3、5、1、3、5、1、3、5、1、3……（1）第31个数是几？（2）这31个数的和是多少？3. 40个2相乘，积的个位数字是几？4.校门口摆了一排鲜花。
数学方阵问题解题技巧
数学方阵问题解题技巧
解题技巧：数学方阵是一个非常重要的数学概念，涉及到线性代数和矩阵理论。
在解题过程中，我们可以采用以下技巧：
1. 理解方阵的定义，方阵是一个行数和列数相等的矩阵。
通常用n×n来表示，其中n代表方阵的阶数。
2. 熟练掌握方阵的性质，方阵具有许多特殊的性质，比如可逆性、对角线元素、转置等。
熟练掌握这些性质对于解题非常重要。
3. 理解行列式的概念，行列式是方阵的一个重要性质，它可以用来判断方阵是否可逆，以及计算方阵的特征值等。
4. 掌握矩阵运算规则，矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法等规则在解题过程中经常用到，需要熟练掌握。
5. 熟练掌握方阵的求逆方法，求逆是方阵中常见的操作，需要掌握高斯-约当消元法、伴随矩阵法等方法。
6. 熟练掌握特征值和特征向量的计算，特征值和特征向量是方
阵的重要性质，熟练掌握如何计算和应用它们对于解题非常重要。
7. 多练习题目，通过多做一些方阵相关的题目，可以提高对方阵的理解和运用能力。
总之，掌握数学方阵的解题技巧需要对方阵的性质、运算规则和相关概念有深入的理解，同时需要通过大量的练习来提高解题能力。
希望以上技巧能够帮助你更好地理解和运用数学方阵。
数与代数 第6章 探索规律
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例2 用小棒按照如下的方式摆图形： (1)摆n个这样的八边形需要( )根小棒。 (2)照这种方式，用2010根小棒可摆出( )个八边形。
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例：12345679×9＝1 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×54＝？
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在上面这一组算式中，第一个因数都是12345679(“缺八数”)，与9相乘，得到 一个由9个1组成的九位数。在第二个算式中，12345679不变，9变成18，扩大到 原来的2倍，积变成由9个2组成的九位数，也扩大到原来的2倍。也就是说，这 组算式的规律实际上就是：一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积 也就扩大到原来的几倍。根据这一规律，就可以求出其他算式的积。
4．方阵中的规律 日常生活中，我们经常会遇到一些有关正方形的问题，如运动会上大型团体操 表演的正方形队列，正方形棋盘上摆棋子，正方形操场上插彩旗等有趣的数学 问题，我们称为方阵问题。 方阵一般分为实心方阵和空心方阵两种。方阵问题的特点是：方阵同一层上， 每边的人或物的数量相等；相邻两层，每边上的数量相差2，即四边形四条边上 的数量相差8。
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【解析】(1)通过观察发现，摆好第一个八边形后，以后每增加一个八边形，都 与前一个八边形共用一条边，所以只增加7根小棒。因此摆n个这样的八边形， 需要小棒的根数是：8＋(n－1)×7＝7n＋1。 (2)现有2010根小棒，问能摆出多少个八边形， 列式为：7n＋1＝2010，解得n＝287。 【答案】(1)7n＋1 (2)287
初中数学找规律题型解题技巧
初中数学找规律题型解题技巧
初中数学中的找规律题型是考察学生观察、归纳和推理能力的一种题目。
这种题目通常会给出一些数列、图形或者操作方式，让学生找出其中的规律，然后根据这个规律继续填写后面的数列或图形。
解题技巧如下：
1.观察和分析：首先要仔细观察给出的数列或图形，尝试找出它们之间的规律。
可以从数
列的项、项与项之间的关系、图形的形状和结构等方面入手。
2.归纳规律：在观察的基础上，尝试归纳出数列或图形的变化规律。
这个规律可以是递增、
递减、周期性变化等。
3.应用规律：根据归纳出的规律，推算出数列或图形中缺失的部分。
4.检验答案：最后，需要检验得出的答案是否符合数列或图形的变化规律，以确保解题正
确。
例如，对于数列“1，2，4，8，16...”，我们可以观察到每一项都是前一项的2倍。
因此，根据这个规律，我们可以推算出接下来的项应该是32（因为16 * 2 = 32）。
再如，对于图形题，如果一个三角形每次增加一条边，那么我们可以根据这个规律画出接下来的图形。
找规律题目的解题关键在于观察、归纳和推理。
通过不断练习这种题目，可以提高自己的数学思维和解决问题的能力。
同时，也要注意耐心和细心，不要因为题目复杂而放弃。
对排列 组合中的一些规律的总结
对排列组合中的一些规律的总结南郑县高台中学张振江每年高考试题中总会涉及排列、组合问题，所占分值不高，可是学生的得分情况却是不太好，一遇到这类问题多数学生感到无从下手。
可是，其中的规律性是存在的，而且是可以被我们理解和掌握的。
下面笔者将自己的理解和感悟作一个概括总结。
一．捆绑法:例1. 有A、B、C、D、E五人排队排成一排，其中A与B必须相邻，则共有多少种排法？分析：相邻问题其要点是将要求相邻的元素看作一个整体，即一个元素，然后与其他元素进行排列，当然这个整体中各元素之间按要求也要进行排列，故排法为A44。
将这一思想方法加以推广就可以解决类似的问题。
二、插空法：例1．有A、B、C、D、E五人排队排成一排，其中A与B不相邻，则排法有多少种？分析：A与B不相邻，那么就先处理其余的部分即，然后将A、B二人插入空位即可，即，总数为A33A24.类似的，关于相离问题可灵活运用这个方法。
例2:学楼走廊每层共有七个完全相同的路灯，如图○○○○○○○，每个灯泡均可亮或不亮，为节约用电，现要求夜间只亮其中三个路灯，且相邻两个路灯不同时亮，则最多可设计多少种不同变换方式？分析：四盏路灯可构成五个空，将三盏亮灯插入五个空位有 种方法A 35。
例3.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是多少？解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种。
三、插版法：例1．将编号为1、2、3、4、5、6、7的七个完全相同的小球放入甲、乙、丙三个盒子中，若每个盒子都不空，则有几种不同的放法？分析：显然应分两步，先将小球分成三个部分，然后再分别放入三个盒子中。
即可将7个小球排成一排，各球间共有6个空，在这6个空当中插入2个档板即 ，自然就将7个小球分成三个部分，然后分别放入3个盒子 。
四、缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。
探索规律
） ； ） 。
4
3
5
2
2
48
6 A=(
2
36 ), B=(
6 ) 。
3
A
2
4
72
B
3、三个数字 1、2、3 与五个字母 A、B、C、D、E 不断重复出现，一个数字与一个字母对应一组， 如下表：问第 75 组是什么数字和字母。 1 A 2 B 3 C 1 D 2 E 3 A 1 B 2 C 3 D 1 E … …
4、A 城与 B 城之间有 10 座车站（包括 A 城与 B 城这两站） ，每两座车站之间的距离都不相同， 车 票也不相同，那么往返于 A 城与 B 城之间的火车，有多少种不同的票价？有多少种不同的车票？
例 4. 如图，如果正方形每个端点各摆一个花盆，n 个正方形端点可摆放多少
个花盆？
……
n个 解析：1 个正方形可摆 4 个花盆，以后每增加一个正方形可多摆 2 个花盆，所以就形成了一个首 项是 4，公差为 2 的等差数列，正方形个数就是数列的项数。所以利用通项公式：
）个“我”字。
（2） “北、我、我”下一次同时出现是在第（
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第十五讲
探索规律
解析： （1）每一行的周期都不相同，所以我们要分别去求：第一行，周期是 5，用 100÷5=20 可 知，第 100 个是“你” ；第二行周期是 4，用 100÷4=25，可知，第 100 个是“星” ；第三行周期是 3，100÷3=33……1，可知，第 100 个是“我” ，所以第 100 组是“你、星、我”. 第二行每组有 1 个“我”字，所以 25 组共有 25 个“我”字，第三行每组有 1 个“我”字，所以 33 组共有 33 个“我”字，还余下一个，所以有 34 个，所以一共有 59 个“我”字。 解： （1）100÷5=20，没余数，是“你” ；100÷4=25，没余数，是“星” 100÷3=33……1，是“我” ，所以第 100 组是“你、星、我” 。
12探索规律(基础)知识讲解及其练习
探索规律（基础）知识讲解【学习目标】1. 通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运算验证规律是否正确的过程；2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确；3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程.【要点梳理】要点一、规律探索型问题常见类型1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.2、图形规律根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.3、数表规律解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.要点二、规律探索型问题解题技巧1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.3、要进行计算尝试找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.4、寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 【典型例题】类型一、数式规律1．按某种规律在横线上填上适当的数： （1）1，3，5，7，9，11， ，………； （2）3，6，12，24，48，96， ，………； （3）1，4，9，16，25，36， ，………； （4）0，3，8，15，24，35， ，………； （5）2，-2，2，-2，2，-2， ，……….【答案】（1）13；（2）192；（3）49；（4）48；（5）2. 【解析】 解：（1）这个数列中，后一项与前一项差为定值2，所以第7个数为：11213+=； （2）这个数列中，后一项总是前一项的2倍，所以第7个数为：962192⨯=； (3) 这个数列中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方，所以第7个数为：2749=；(4) 这个数列中，后一项与前一项的差依次多2，所以第7个数为：351348+=； （5）这个数列中，每两个数一个循环，奇数位上的数为2，偶数位的数为-2．所以第7个数为：2． 【总结升华】（1）一列数中，后一项与前一项的差是一个固定的数，则这列数的第n 个数为：从左往右数第一个数＋固定数值×（n-1）.（2）一列数中，相邻两项的后一项与前一项的商为固定值q （q ≠0），则这列数的第n 个数为：从左往右数第一个数×1n q-.(3) 一列数中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方,则第n 个数为：2n 或3n . （4）此数列满足：差值呈固定值2增长，第n 个数为21n -. （5）此数列中的第n 个数可表示为1(1)2n +-⨯.举一反三：【变式1】按某种规律在横线上填上适当的数： (1) －5，－2，1，4， ； (2) 2，5，10，17， ，37；(3) 1，8，27，64， ，216 ． 【答案】（1） 7 （2）， 26 （3） 125【变式2】（•德州）一组数1，1，2，x ，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表示的数为（ ） A ．8 B ．9 C ．13 D ．15 【答案】A ．解：∵每个数都等于它前面的两个数之和， ∴x=1+2=3， ∴y=x+5=3+5=8，即这组数中y 表示的数为8．2.（•丹东）观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．【思路点拨】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．【答案】﹣．【解析】解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，∴第11个数据是：﹣=﹣．故答案为：﹣．【总结升华】此题主要考查了数字变化类，正确得出分子与分母的变化规律是解题关键，另外要注意符号的变化.举一反三：【变式】根据以下等式：1=12，1+2+1=22，1+2+3+2+1=32，…．对于正整数n（n≥4），猜想：1+2+ … +（n-1）+n+（n-l）+ … +2+1= ．【答案】n2类型二、图表规律3．用火柴棒按下图的方式搭三角形:（1）填写下表：三角形个数 1 2 3 4 5 火柴棒根数（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？【思路点拨】每多搭一个三角形，就多用两根火柴棒.【答案与解析】三角形个数 1 2 3 4 5火柴棒根数 3 5 7 9 11 （2）搭n个这样的三角形需要 2n+1 根火柴棒【总结升华】将“形”的规律转换为“数”的规律.举一反三：【变式】观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个★．n【答案】314．（•泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A.135 B．170 C．209 D．252【答案】C．【解析】解：首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4﹣1=3，6﹣2=4，8﹣3=5，10﹣4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209【总结升华】此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．举一反三：【变式】观察下列有序整数对：（1，1）．（1，2），（2，1）．（1，3），（2，2），（3，1）（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10行从左到右第5个整数对是【答案】（5,6）5．如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012个图案中“♣”，共个．【思路点拨】本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2012被4整除，从而确定是共第503♣．【答案】503【解析】解：根据题意可知梅花是1，2，3，4即4个一循环．所以2012÷4＝503．所以共有503个♣．【总结升华】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．举一反三：【变式】观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星）．若第一个图形是三角形，则第18个图形是．（填图形的名称）▲■★■▲★▲■★■▲★▲…【答案】五角星提示：6个一循环．【巩固练习】一、选择题1.（•黄冈中学自主招生）对正整数n，记n!=1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为（）A．0 B．1 C．3 D．52.（•东莞市一模）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n 的值是（）A．48 B．56 C．63 D．743.小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围成三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）．A．2010 B．2012 C．2014 D．20164．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二．若这种细菌由1个分裂到16个，那么这个过程要经过 ( ) ．A．1.5小时； B．2小时； C．3小时； D．4小时．5. 观察下列算式：12345678 22242821623226421282256========， ， ， ， ， ， ， ，根据上述算式中的规律，你认为202的末位数字是（）．A. 2B. 4C. 6D. 86.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（）．A．50 B．64 C．68 D．72二、填空题7. 观察下列等式：9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20，49－25=24，…这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用含字母n的等式表示这个规律 .8.观察下面一列有规律的数：111111,,,,,2612203042，……，根据规律可知第7个数是________，第n个数应是________（n是正整数）．9．有一列数：1，2，3，4，5，6，……当按顺序从第二个数数到第n个数时，共数了________个数；当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时, 共数了________个数．10. 今天是星期一，58天后是星期．11.（•南宁）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第层．12.（•绥化）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c= ．三、解答题13.（春•郑州期末）任意一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数字的百位．百位数字乘十位数的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，如果积大于9，则将积的个位数与十位数相加，若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程…例如，以832开始，运算以上规则依次可得到：832，766，669，999，999，…（1）你选择的三位数是什么？按上述规则进行运算你都得到了哪些数？你得到了什么结论？（2）换个数试试，你有什么进一步的猜想？14.如图a是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图b，再分别连接图b中各小三角形三边中点，得到图c，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：图a 图b 图c图形编号 1 2 3 4 5 ……三角形个数 1 5 9（2）在第n个图形中有多少个三角形（用含n的式子表示）.15．从2开始，连续的偶数相加（特别地，把1个2相加也看成和）.和的情况如下：＝＝，＋＝＝，＋＋＝＝，＋＋＋＝＝， (221224623246123424682045)⨯⨯⨯⨯（1）推测从2开始，n个连续偶数相加，和是多少？（2）取n=6，验证（1）的结论是否正确.【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C ．【解析】∵1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，而5!、…、10!的数中都含有2与5的积，∴5!、…、10!的末尾数都是0， ∴1!+2!+3!+…+10!的末尾数为3．2．【答案】C ；【解析】解：从方格上方的数的数1、3、5、可以推出m=7，第一个方格中：3=1×2+1， 第二个方格中：15=3×4+3， 第三个方格中：35=5×6+5， ∴第四个方格中：n=7×8+7=63． 故选：C ．3. 【答案】D ；【解析】既是三角形数又是正方形数，应是12的倍数． 4. 【答案】B ；【解析】16＝24，所以这个过程要经过了4个半小时，即2小时． 5．【答案】C ；【解析】末位数字以2，4，8，6为一个循环，20÷4＝5，所以202的末位数字应与42的末位数字相同． 6. 【答案】D ；【解析】第⑥个图形中五角星的个数：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2＝72． 二、填空题7. 【答案】22(2)4(1)n n n +-=+； 8．【答案】156，1(1)n n +； 【解析】111111;;;;2126231234===⨯⨯⨯第n 个代数式为1(1)n n +.9．【答案】n －1,n －m ＋1； 10.【答案】三；【解析】58/7=8（星期）……2（天），所以是星期三. 11.【答案】44；【解析】解：第一层：第一个数为12=1，最后一个数为22﹣1=3，第二层：第一个数为22=4，最后一个数为32﹣1=8，第三层：第一个数为32=9，最后一个数为42﹣1=15，∵442=1936，452=2025， 又∵1936＜2016＜2025，∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层，故答案为：44．12.【答案】110【解析】根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，可得6+4=a，6+3=c，ac+1=b，可得：a=10，c=9，b=91，所以a+b+c=10+9+91=110.三、解答题13.【解析】解：（1）如选择的三位数是123，运用以上规则依次可得到：123，326，963，999，999，…这组数的后面都是999；（2）如选择的三位数是788，运用以上规则依次可得到：788，221，242，488，551，575，788，…如选择的三位数是255，运用以上规则依次可得到：255，117，717，477，114，414，744，117，…猜想：无论给出一个什么样的三位数，总能得到重复出现的一组数：都是999或6个数为一组重复出现．14．【解析】解：（1）13，17 ；（2）1＋4（n－1）＝4n－3.15. 【解析】解：（1）n（n+1）；（2）n=6，n（n+1）=6×7=42=2+4+6+8+10+12，（1）的结论正确.。
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练习
有一列数：1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、 4、5、4、3、4、5、6、5、4、……这列数中，第 2006个数是多少？第2008个呢？
一、方阵中的规律
方阵一般分为实心方阵和空心方阵两种。
方阵问题的特点： 方阵同一层上每边的人或物的数量相等；相
邻两层，每边上的数量相差2，即四边形四条边 的数量相差8。
一、方阵中的规律
1、方阵问题中每边数和四周数之间的数量关 系为：
四周数=（每边数-1）×4 每边数=四周数÷4+1
一、方阵中的规律
பைடு நூலகம்
练习
有一列数：1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、 4、5、4、3、4、5、6、5、4、……这列数中，第 2006个数是多少？第2008个呢？
练习
有一列数：1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、 4、5、4、3、4、5、6、5、4、……这列数中，第 2006个数是多少？第2008个呢？
练习
下图是某同学在沙滩上用石子摆的小房子，观察 图形的变化规律，写出第6个小房子用了（60）个石 子。
三、周期中的规律
解答周期问题的关键是找出周期，确定周期后
用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为 周期里的最后一个数，如果比整数个周期多n个，那 么结果为下一个周期里的第n个，如果不是从第一个 开始循环，可以从总量里先减去不是循环的个数， 再继续算。
2、实心方阵的数量关系为：
总数=最外层每边数×最外层每边数
3、空心方阵的数量关系为：
总数=（最外层每边数-层数）×层数 ×4
练习
小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外 层摆满，用了40个棋子，最外边每边有多少个棋子？ 如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少个棋子？
练习
小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外 层摆满，用了40个棋子，最外边每边有多少个棋子？ 如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少个棋子？
最外层每边棋子数: 40÷4+1=11（个） 从外数第二层每边棋子数: 11-2=9（个） 还需要棋子数： 9×9=81（个）
二、数与形结合的规律
在探索数与形结合的规律中，一方面需要考虑图 形的特点，另一方面，需要考虑数的排列规律，通 过数形结合，对应等思想去解决问题。
练习
下图是某同学在沙滩上用石子摆的小房子，观察 图形的变化规律，写出第6个小房子用了（ ）个石 子。
2015年8月8日是星期六，2016年10月1日是 星期（ ）。
探索规律（2）
探索规律：
算式中的规律 数列中的规律 图形中的规律 方阵中的规律 数与形结合的规律 周期中的规律 搭配中的规律
一、方阵中的规律
日常生活中，我们经常会遇到一些有关正方 形的问题，如运动会上，大型团体操表演的正 方形队列正方形棋盘上摆棋子，正方形操场上 插彩旗等趣的数学问题，我们称为方阵问题。
练习
由1，2，3，4，5五个数字组成的五位数共有120个， 将它们从小到大排列起来，第95个数是（ ）。
练习
由1，2，3，4，5五个数字组成的五位数共有120个， 将它们从小到大排列起来，第95个数是（45312 ）。
万 千 百十 个 五位数有 5 ×4 ×3 ×2 ×1=120（个）。
1在万位上的情况有4 ×3 ×2 ×1=24（个） 2、3分别在万位上的情况也各有24个，那么将这 些数从小到大排列下来，第96个数（因为 24×4=96）为4在万位上的最大数，就是45321， 第95个数就是45312.
2006÷5=401（组）……1（个） 则第2006个数是第402组的第1个数.也就是402. 第2008就是404。
四、搭配中的规律
解决搭配问题，主要运用的是加法原理和乘法原 理。
加法原理：做一件事，完成它有n类办法，第一 类办法有m1种不同方法，第二类办法中有m2种不同 的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完
成这件事，共有N=m1+m2+……+mn种不
同的方法。
四、搭配中的规律
乘法原理：
做一件事，完成它需要分成n个步骤做，第一步 有m1种不同的方法做，第二步有m2种不同的方 法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事
有N=m1 ×m2 ×…×mn种不同的方法。
练习
练习
数长方形的个数的巧算方法与乘法原理相似。 长方形长上的线段条数×宽上的线段条数=长方形的总个数。
练习
图甲中，（3+2+1）×1=6（个） 图乙中，（3+2+1）×（2+1）=18（个） 图丙中，（3+2+1）×（3+2+1）=36（个）
• 用2个3、1个和1个2可组成不同的四位数， 这些四位数共有（ ）个。
• 4男2女6个人站在一排合影留念，要求2个女 的紧挨着排在正中间，有（ ）种不同的排 法。
• 用2个3、1个和1个2可组成不同的四位数， 这些四位数共有（ 12 ）个。
• 4男2女6个人站在一排合影留念，要求2个女 的紧挨着排在正中间，有（ 48 ）种不同的排 法。
• 有20张连号的“海底世界”参观券，要拿 出5张连号卷，一共有（ ）种不同的拿法。
• 有20张连号的“海底世界”参观券，要拿 出5张连号卷，一共有（ 16 ）种不同的拿 法。