甘肃省武威第五中学2020学年高二数学上学期期末考试试题
甘肃省2020学年高二数学上学期期末考试试题理含解析 (2)
高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.） 1.已知a b >，则下列不等式：①22a b >；②11<a b；③11>ab a .其中不成立的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质，可举一正一负的例子对三个不等式进行判断. 【详解】由题意可令a ＝1，b ＝﹣1，此时①不对，②不对， ③ab ＝﹣1，此时有11ab a＜，故③不对． 故选：D ．【点睛】本题考查不等关系与不等式，解题的关键是找到合适的反例说明问题不成立，如果成立则需证明.2.若“x y >，则22x y >”的逆否命题是（ ） A. 若x y ≤，则22x y ≤ B. 若x y >，则22x y < C. 若22x y ≤，则x y ≤D. 若x y <，则22x y <【答案】C 【解析】 【分析】互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题【详解】由题意，原命题的结论的否定：若x 2≤y 2，原命题的条件的否定为x ≤y ， 所以逆否命题是若x 2≤y 2，则x ≤y ， 故选：C ．【点睛】本题考查四种命题的关系判断，考查基本知识的应用． 3.“x a >”是“x a >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.【详解】当“x a >”时，如1,1x a ==-，x a =，故不能推出“x a >” .当“x a >”时，必然有“x a >”.故“x a >”是“x a >”的必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题. 4.不等式102xx-≥+的解集为（ ） A. []2,1- B. (]2,1-C. ()(),21+∞∞--，D.(](),21,-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】将不等式等价转化后，由一元二次不等式的解法求出解集．【详解】由102xx -≥+得()()12020x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，即()()12020x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得21x -<≤，所以不等式的解集是(]2,1-，故选B ．【点睛】本题主要考查分式不等式的转化，一元二次不等式的解法，注意分母不为零，属于基础题．5.已知命题2000:,0p x R x ax a ∃∈++<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. []0,4B. ()0,4C. ()(),04,-∞⋃+∞D. (][),04,-∞⋃+∞【解析】试题分析：命题2000:,0p x R x ax a ∃∈++<的否定为命题p ⌝：，∵命题为假命题，∴命题p ⌝为真命题，即恒成立，∴，解得，故答案为A.考点：命题的真假判断与应用.【方法点睛】本题考查含量词的命题的否定形式、考查命题与命题p ⌝真假相反、考查二次不等式恒成立的充要条件从开口方向及对称轴上考虑．特称命题的否定为全称命题，将变为，结论否定写出命题的否定；利用命题与命题p ⌝真假相反得到p ⌝为真命题；令判别式小于等于求出即可． 6.已知,a b ∈+R 且1a b +=，则ab 的最大值等于 A. 1 B.14C.12D.22【答案】B 【解析】∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．选B. 7.椭圆22125x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，再由点P 到一个焦点的距离为2，可得点P 到另一个焦点的距离．【详解】由椭圆22125x y +=，可得a ＝5、b ＝1，设它的两个焦点分别为F 、F ′，再由椭圆的定义可得|PF |+|PF '|＝2a ＝10，由于点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为8，【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程的应用，属于中档题． 8.已知双曲线的离心率为2，焦点是()4,0-，()4,0，则双曲线方程为（ ）A. 221412x y -=B. 221124x y -=C. 221106x y -=D. 221610x y -=【答案】A 【解析】由题意e=2，c=4， 由e=ca，可解得a=2， 又b 2=c 2﹣a 2，解得b 2=12所以双曲线的方程为22x y 1412-=．故答案为 22x y 1412-=．故答案选A. 9.正数,a b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. [3,)+∞B. (,3]-∞C. (,6]-∞D. [6,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】先用基本不等式求+a b 最小值，再根据配方法求二次函数的最大值. 【详解】190,0,1a b a b>>+=，1999()1010216b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭当且仅当3a b =，即4, 12a b ==时，“=”成立，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立， 则241816x x m -++-≤，即242x x m -++≤对任意实数x 恒成立，2242(2)66x x x -++=--+≤6m ∴≥实数m 的取值范围是[6,)+∞. 故选D.【点睛】本题考查基本不等式与二次不等式恒成立.10.不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于A.32B.23C.43D.34【答案】C 【解析】 【分析】在坐标平面中画出可行域，求出直线1:34l x y +=与直线2:34l x y +=的交点后可求面积. 【详解】不等式组对应的可行域如图所示：由3434x y x y +=⎧⎨+=⎩得到()1,1A ，两条直线的纵截距分别为43和4，故不等式组对应的可行域的面积为14414233⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故选C. 【点睛】平面区域面积的计算，关键是确定区域是由什么图形确定的，如果是规范图形，则利用面积公式计算，如果不是规范图形，则需要把其分割成规范图形分别计算． 11.在R 上定义运算：2ab ab a b =++，则满足()20xx -<的实数x 的取值范围为（ ） A {}02x x << B. {}21x x -<< C. {|2x x <-或}1x > D. {}12x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】按照定义，先写出常规不等式形式，再解一元二次不等式即可求出． 【详解】∵()()2222220xx x x x x x x -=-++-=+-<，∴()()210x x +-<，∴21x -<<. 故选B ．【点睛】本题主要考查新定义应用以及一元二次不等式的解法．12.设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 2 3 C.312D.512【答案】D 【解析】 【分析】设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），得点B （0，b ），焦点为F （c ，0），直线FB 的斜率为bc-,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a 、b 、c 的等式，变形整理为关于离心率e 的方程，解之即可得到该双曲线的离心率.【详解】设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为b y x a =±，焦点为F （c ，0），点B （0，b ）是虚轴的一个端点，∴直线FB 的斜率为00FB b b k c c-==--， ∵直线FB 与直线b y x a =互相垂直，1b bc a∴-⨯=-, 2b ac ∴=,22222b c a c a ac =-∴-=，,210e e ∴--=,15e ±∴=, 双曲线的离心率e ＞1， 51+,故选D.考点：双曲线的简单性质第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.命题“[)30,0x x x ，∀∈+∞+≥”的否定是______.【答案】[)30000,.0x x x ∃∈+∞+<【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出结论.【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，所以原命题的否定是“[)30000,.0x x x ∃∈+∞+<”.【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，除了形式上的否定外，还要注意否定结论，属于基础题.14.若不等式240x ax ++<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞) 【解析】分析：不等式240x ax ＜++的解集不是空集，只需相应方程有两个不同的根即可． 详解：∵240x ax ＜++的解集不是空集，240x ax ∴++= 有两个不同的实数根， 则需2160a =-＞，4a ∴-＜或4a ＞. 即答案为(4)(4)∞⋃∞－，－，＋.点睛：本题是考查二次函数，二次不等式，二次方程间的相互转化和相互应用，这是函数中综合性较强的问题，需熟练掌握15.已知x ，y 满足条件220{240330x y x y x y +-≥-+≥--≤，则目标函数34z x y =+的最大值为 .【答案】18 【解析】【详解】试题分析：画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为344zy x =-+，当z 取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线34y x =-向上平移到过点C 时，目标函数取到最大值，240{330x y x y -+=--=，得(2,3)C ，故max 324318z =⨯+⨯=．考点：线性规划．16.若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为________．【答案】x＋y－1＝0【解析】设直线l1的方程是y－1＝k(x－1)，则直线l2的方程是y－1＝－1k(x－1)，所以直线l1与x轴的交点为A(1－1k，0)，l2与y轴的交点为B(0,1＋1k)，设AB的中点为M(x，y)，则有，两式相加消去k得x＋y＝1，即x＋y－1＝0，所以AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0．三、解答题（本题共6小题，共70分.）17.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【答案】顶点坐标(－3，0)，(3，0)；焦点坐标为F1(130)，F2130)；实轴长6，虚轴长是4，离心率13e=，渐近线方程：23y x=±.【解析】【分析】将双曲线229436y x -=-，化为标准方程22194x y -=，求得3,2,13a b c ===，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，将双曲线229436y x -=-，化为标准方程22194x y -=，可得3,2a b ==，则2213c a b =+=， 所以双曲线的顶点为A 1(－3，0)，A 2(3，0)， 焦点坐标为F 1(130)，F 2130)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率133c e a ==，渐近线方程：23b y x x a =±=±. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 18.已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为1(3,)F 0－，且右顶点为0(2)D ，．设点A 的坐标是11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求该椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）2214x y ＋＝ （2）()222112142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得,a c 的值，结合222a b c =+求得b 的值，由此求得椭圆方程. （2）设出,P M 的坐标，根据中点坐标公式表示M 点坐标，由此用M 的坐标表示P 点坐标，将此坐标代入椭圆方程，由此求得M 点的轨迹方程.【详解】(1)因为2,3a c ==所以221b a c -=所以椭圆标准方程为2214xy ＋＝.(2)设00()()P x y M x y ，，，，由中点坐标公式，得()00112,,22y x x y ⎛⎫+ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以0021122x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩.又因为22001x y +=，所以()222112142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即为中点M 的轨迹方程． 【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查相关点法求轨迹方程，属于中档题.19.若不等式2520ax x +->的解集是122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， (1) 求a 的值；(2) 求不等式22510ax x a -+->的解集.【答案】（1）2a =-（2）{x|132x -<<} 【解析】【分析】（1）由已知不等式的解集得到252ax x +-=0的两个实数根为12和2，利用韦达定理即可求出a 的值；（2）直接利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】解：（1）依题意可得：252ax x +-=0的两个实数根为12和2， 由韦达定理得：1522a+=-，解得：2a =-；. （2） 则不等式22510ax x a -+->，可化为22530x x --+>，解得 {x|132x -<<}， 故不等式22510ax x a -+->的解集{x|132x -<<}．. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及一元二次不等式的解法与韦达定理的应用，属于简单题.20.设有两个命题：2:22p x x m -+≥的解集为R ；q ：函数()(73)xf x m =--是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围.【答案】12m <<【解析】【分析】分别求得p 真q 真时，实数m 的取值范围，依题意，知p 真q 假，或p 假q 真，分别解之，取并即可．【详解】命题：p ：x 2﹣2x +2≥m 的解集为R ⇔m ≤[（x ﹣1）2+1]min ＝1恒成立，即m ≤1； 命题q ：函数f （x ）＝﹣（7﹣3m ）x 是减函数⇔7﹣3m ＞1，解得：m ＜2；若这两个命题中有且只有一个是真命题，则p 真q 假，或p 假q 真．若p 真q 假，则12m m ≤⎧⎨≥⎩，解得：m ∈∅； 若p 假q 真，则12m m ⎧⎨⎩＞＜，解得：1＜m ＜2； 综上所述，实数m 的取值范围为（1，2）．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查复合命题的真假判断与恒成立问题，考查分类讨论思想与方程思想，属于中档题．21.已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a∈R.(1)若a ＝2，试求函数y ＝()f x x (x>0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a 成立，试求a 的取值范围．【答案】（1）2-；（2）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】 （1）根据基本不等式求最值，注意等号取法，（2）先化简不等式，再根据二次函数图像确定满足条件的不等式，解不等式得结果.【详解】(1)依题意得y=()f x x =2-41x x x+=x+1x -4. 因为x>0,所以x+1x ≥2.当且仅当x=1x时, 即x=1时,等号成立.所以y≥-2. 所以当x=1时,y=()f x x 的最小值为-2. (2)因为f(x)-a=x 2-2ax-1,所以要使得“对任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a 成立”只要“x 2-2ax-1≤0在[0,2]恒成立”.不妨设g(x)=x 2-2ax-1,则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可. 所以(0)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩ 即0-0-10,4-4-10,a ≤⎧⎨≤⎩解得a≥34,则a 的取值范围为3,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭. 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.22.设直线y x b =+与椭圆2212x y +=相交于,A B 两个不同的点. （1）求实数b 的取值范围；（2）当1b =时，求AB【答案】（1） (3,3-（2）423AB =【解析】【分析】（1）将直线y ＝x +b 与椭圆联立，利用△＞0，即可求；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当b ＝1 时，可求A ，B 的坐标，利用两点间距离公式可求结果. 【详解】（1）将y ＝x +b 代入2212x y +=，消去y ，整理得3x 2+4bx +2b 2﹣2＝0．① 因为直线y ＝x +b 与椭圆2212x y += 相交于A ，B 两个不同的点， ∴△＝16b 2﹣12（2b 2﹣2）＝24﹣8b 2＞03b 3∴-<<（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当b ＝1 时，方程①为3x 2+4x ＝0．解得1240,3x x ==-,此时121y 1,y 3==- ()()22121242||3AB x x y y =-+-=【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查直线与椭圆相交所得弦长问题，考查计算能力，属于基础题.。
甘肃省2020学年高二数学上学期期末联考试卷文含解析
第一学期期末高二年级学业水平质量检测数学（文科）试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可得焦点坐标．【详解】由题意得抛物线的标准方程为，∴焦点在轴的负半轴上，且，∴，∴抛物线的焦点坐标为．故选B．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，解题的关键是把曲线方程化为标准形式，然后得到相关参数，进而得到所求，属于基础题．2.若，则是方程表示椭圆的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】求出方程表示椭圆时k的范围，然后根据充分必要条件的定义进行判断. 【详解】若方程表示椭圆，则解得k>3,故是方程表示椭圆的充要条件，故选：C.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查充分必要条件的判断，属于基础题.3.下列说法正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”B. “”是“”的必要不充分条件C. 命题“若，则”的逆否命题是真命题D. “”是“”的充分不必要条件【答案】C【解析】试题分析：对A，若，则”的否命题是“若，则”；对B，当时，成立，但时，或，所以应为充分不必要条件；对D，，则，反之，若则，所以为必要不充分条件，所以选C．考点：1．充分必要条件的判定；2．四种命题．4.已知，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．详解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（，﹣）时直线在y轴上的截距最小，z最小，为2×﹣=．故选：A．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.在上定义运算：，则满足的实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由定义运算⊙可知不等式x⊙（x－2）＜0为，解不等式得解集为（－2,1）考点：一元二次不等式解法【此处有视频，请去附件查看】6.已知函数，则的值为（）A. 10B. -10C. -20D. 20【答案】C【解析】【分析】根据导数的定义，计算函数f（x）在x＝1处的导数即可．【详解】函数f（x）＝2lnx+8x+1，所以f′（x）＝+8；所以＝-2＝-2f′（1）＝-2×(2+8）＝-20．故选：C．【点睛】本题考查导数的定义及其应用，是基础题．7.在中，角，，所对应的边分别是，，，若，则三角形一定是（）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】C【解析】【分析】先根据正弦定理化为角的关系，再根据诱导公式以及两角和与差关系化简得角的关系，进而确定三角形的形状.【详解】因为所以,即三角形一定是等腰三角形，选C.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．8.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（）A. 2B. 4C. 16D. 8【答案】D【解析】【分析】利用等比数列性质求出a7，然后利用等差数列的性质求解即可．【详解】等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，可得a72＝4a7，解得a7＝4，且b7＝a7，∴b7＝4，数列{b n}是等差数列，则b5+b9＝2b7＝8．故选：D．【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．9.曲线在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，求在x＝1处的导数值即为切线斜率，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．【详解】∵y＝e x+1，∴y'＝e x，∴f'（1）＝e，f（1）＝1+e，在点（1，1+e）处的切线方程为：y﹣1﹣e＝e（x﹣1）,即y=ex+1,与坐标轴的交点为：（0，1），（﹣，0），S＝，故选：A．【点睛】本题考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率，考查函数在某点处的切线方程的求法，属基础题．10.已知，是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，与轴垂直，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在直角中，由得到a,b,c的等量关系，结合计算即可得到离心率. 【详解】由已知，得，则,又在椭圆中,,故,即,解得e=,故选：A【点睛】本题考查椭圆简单的几何性质，考查椭圆离心率的求法，属于基础题.11.已知双曲线：的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为，则其一条渐近线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】画出图形，由图形找到a,b,c的等量关系，然后得到渐近线的斜率，从而得到倾斜角. 【详解】由已知可设双曲线的顶点A到渐近线x的距离|AB|=1,焦点到渐近线的距离|，由AB//得,则设渐近线倾斜角为，则tan所以故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，关键是构造a,b,c的等量关系，属于基础题.12.设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．【详解】设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）•g （x）=﹣F（x）．故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选：D．【点睛】本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题。
甘肃省2020学年高二数学上学期期末考试试题理含解析
高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）（时间120分钟，分值150分）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上) 1.设集合{}220M x x x =--，{}1|128x N x -=≤≤，则M N ⋂=（ ）A. (]2,4 B. []1,4C. (]1,4-D. [)4,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】集合M 与集合N 的公共元素构集合M ∩N ，由此利用集合M={x|x 2﹣x ﹣2>0}={x|x<﹣1或x>2}，N={x|1x 4≤≤}，能求出M ∩N．【详解】∵集合M={x|x 2﹣x ﹣2>0}={x|x<﹣1或x>2}， N={}1|128x x -≤≤={x|1x 4≤≤}，∴M∩N={x|2＜x 4≤}． 故选A【点睛】本题考查集合的交集及其运算，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，是基础题． 2.不等式1021x x -≤+的解集为 ( ) A. 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦ B. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. [)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D. [)1,1,2⎛⎤-∞-+∞⎥⎝⎦【答案】A 【解析】试题分析：不等式1021x x -≤+等价于(1)(21)0{210x x x -+≤+≠解得112x -<≤，所以选A.考点：分式不等式的解法.3.命题甲：动点P 到两个定点,A B 的距离之和2(PA PB a +=常数0)a >；命题乙：P 点的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】由题意得，当动点P 到两个定点,A B 的距离之和2(PA PB a AB +=> 常数0)a >时，点P 的轨迹为椭圆，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B ．4.记等差数列{}n a 的前n 项和为.n S 若141,20,2a S ==则6S = A. 16 B. 24C. 36D. 48【答案】D 【解析】本题考查数列求和公式的简单应用，直接代入即可 由得3d =，故．5.在ABC ∆中，23,22,45a b B ︒==∠=，则∠A 等于( ) A. 30°或150° B. 60°C. 60°或120°D. 30°【答案】C 【解析】 【分析】直接使用正弦定理，即可求得结果. 【详解】根据正弦定理a b sinA sinB=， 23245sin =︒，解得3sinA =A 为60°或120°； 又a b >，则A B >，显然两个结果都满足题意.故选：C.【点睛】本题考查正弦定理的直接使用，属基础题.6.一个等比数列{}n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A. 63 B. 108C. 75D. 83【答案】A 【解析】试题分析：因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即成等比数列，题中，根据等比中项性质有，则，故本题正确选项为A.考点：等比数列连续相同项和的性质及等比中项.7.已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 5【答案】D 【解析】【详解】由题意知,23cos 2A+2cos 2A-1=0, 即cos 2A=125, 又因△ABC 为锐角三角形, 所以cosA=15. △ABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6×15, 即b 2-125b-13=0, 即b=5或b=-135(舍去),故选D.8.若抛物线22y x =上有两点,A B ，且AB 垂直于x 轴，若22AB =，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A.12B.14C.16D.18【答案】A 【解析】 【分析】设出两点的坐标，根据弦长求得两点的横坐标，即可求解. 【详解】因为AB 垂直于x 轴， 设()()11111,,,(0)A x y B x y y ->、因为AB =，故可得12y =1y =代入抛物线方程，可得11x =，又抛物线的焦点为1,?02⎛⎫ ⎪⎝⎭故抛物线的焦点到直线AB 的距离为11122-=. 故选：A.【点睛】本题考查求抛物线上的点的坐标，以及由抛物线方程求焦点坐标，属基础题. 9.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( ) A. 55986只 B. 46656只 C. 216只 D. 36只【答案】B 【解析】 【分析】先由题得到{a n }是公比为6的等比数列，再利用等比数列的通项求出a 6得解. 【详解】设第n 天所有的蜜蜂都归巢后共有a n 只蜜蜂，则有a n ＋1＝6a n ，a 1＝6， 则{a n }是公比为6的等比数列，则a 6＝a 1q 5＝6×65＝46656. 故答案为B【点睛】本题主要考查等比数列性质的判定和等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.10.已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A.34B. 1C.54D.74【答案】C 【解析】 【分析】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离.【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==， 所以3AE BG AF BF +=+=，又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.11.（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 A. 2 B.32C. 3D. 2【答案】A 【解析】试题分析：由已知可得，故选A.考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.12.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线与抛物线22y px =（0p >）的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若223b a =，△AOB 3则p =（ ） A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线，利用三角形面积建立方程即可求解【详解】由2222333b bb a a a=⇒=⇒=3y x =，与抛物线的准线交于3322p p p p A ,,B ,⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭，所以AOB ∆的面积为()133022p,p ⨯=>， 解得2p = 故选C【点睛】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，属于基础题型第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）13.命题若220x y +=,则,x y 都为零的逆否命题是_______．【答案】若,x y 不全为零，则220x y +≠.【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以“若220x y +=,则,x y 都为零”的逆否命题是“若,x y 不全为零，则220x y +≠”，故答案为若,x y 不全为零，则220x y +≠.14.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，3813lg()3a a a =，则115a a 的值为______________. 【答案】100 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质，求得8a ，即可得115a a . 【详解】因为{}n a 是等比数列，故可得()338138a a a a =因为3813lg()3a a a =，故可得81lga =，解得810a =.故115a a ()28100a ==. 故答案为：100.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，属基础题.15.设集合S ＝{x ||2x -|3>}，T ＝{8x a x a <<+}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是____________．【答案】()3,1-- 【解析】 【分析】求解绝对值不等式可得集合S ，再根据S ∪T ＝R ，即可得参数的范围. 【详解】对集合S ：23x ->，解得集合()(),15,S =-∞-⋃+∞， 因为S ∪T ＝R ，故可得1,85a a -+ 解得()3,1a ∈--. 故答案为：()3,1--.【点睛】本题考查由集合之间的关系求参数范围的问题，涉及绝对值不等式的求解.16.过双曲线C ：22221x y a b-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .【答案】2 【解析】【详解】双曲线22221x y a b -=的右焦点为(,0)c .不妨设所作直线与双曲线的渐近线b y x a =平行，其方程为()b y x c a =-，代入22221x y a b -=求得点P 的横坐标为222a c x c +=，由2222a c a c+=，得2()410c c a a -+=，解之得2c a =+2c a =（舍去，因为离心率1ca>），故双曲线的离心率为2. 考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin c A =. （1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆，求+a b 的值. 【答案】（1）60；(2) 5. 【解析】 【分析】（1）由2sin c A =，利用正弦定理可得sin C =，结合C 是锐角可得结果；(2)由1sin 2ab C =6ab =，再利用余弦定理可得结果.【详解】（12sin c A =2sin sin A C A =,因为sin A 0≠，所以sin C =, 因为C 是锐角， 所以60C =.(2)由于1sin 2ab C =6ab ∴=， 又由于2222cos60c a b ab =+-()()227318a b ab a b =+-=+-，()225a b +=，所以5a b +=.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18.求适合下列条件的曲线的标准方程． （1）经过点15,34⎛⎫⎪⎝⎭，且一条渐近线方程为430x y +=的双曲线； （2）两个焦点坐标分别为()()2,0,2,0-，并且经过点5322⎛⎫- ⎪⎝⎭，的椭圆. 【答案】（1）221916x y -=； （2）221106x y +=.【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程，设出双曲线方程，待定系数即可求得； （2）根据椭圆的定义，以及已知条件，即可求得,,a b c .【详解】（1）因渐近线为4x ＋3y ＝0，故可设双曲线的方程为16x 2－9y 2＝k ，将15,34⎛⎫⎪⎝⎭代入得，k ＝225－81＝144. 代入①并整理得221916x y -=.故所求双曲线的标准方程为221916x y -=.（2）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为()222210x ya b a b+=>>.又因为椭圆过点5322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，不妨设其为P ，则12PF PF +==由椭圆的定义知2a =a =又因为2c =，所以2226b ac =-=， 因此，所求椭圆标准方程为221106x y += .【点睛】本题考查已知双曲线渐近线求双曲线方程，以及已知椭圆上一点及焦点求椭圆方程. 19.已知正项等比数列{}n a ，112a =，2a 与4a 的等比中项为18. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令n n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n S . 【答案】（1）12n n a =； （2）222nn +-. 【解析】 【分析】（1）根据基本量，列方程即可求得等比数列的公式，写出通项公式即可； （2）根据通项公式的特点，利用错位相减法求解数列的前n 项和.【详解】（1）因为正项等比数列{}n a ，所以0n a >，设公比为q ，则0q >. 又因为2a 与4a 的等比中项为18，所以318a =，即2118a q =，由112a =，得12q =，于是，数列{}n a 的通项公式为12n n a =.（2）由题可知，2n nn b =， 于是，231232222n n nS =++++… ① 2341112322222n n nS +=++++… ②由①-②，得23411111112222222n n nn S +=+++++-…111(1)221212n n n +-=--11122n n n +=--， 解得222n n n S +=-【点睛】本题考查由基本量计算等比数列的通项公式，以及利用错位相减法求解数列的前n 项和，属数列基础题.20.如图，港口B 在港口O 正东方120海里处，小岛C 在港口O 北偏东方向和港口B 北偏西方向上，一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东的OA 方向以每小时20海里的速度驶离港口O ，一艘快艇从港口B 出发，以每小时60海里的速度驶向小岛C ，在C 岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间需要1小时，问快艇驶离港口B 后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？【答案】3 【解析】试题分析：由图可知OB=120，BC=60.OC=3快艇从B 到C 需要1小时，然后装物资需要1小时，所以考察船已经走了两小时 设快艇从C 到A 需t 小时； 则OA="40+20t,CA=60t,"30AOC ∠=，由余弦定理可得：222(60)(4020)(603)2603(4020)cos30o t t t =++-⨯+1t =共3小时考点：本题考查余弦定理点评：将应用题的条件标出图上各个边长及角度，然后用余弦定理计算21.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据离心率为3，即3c a =，OAB 的面积为1，即，椭圆中列方程组进行求解；（Ⅱ）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.【详解】（Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，则.当时，直线的方程为.令，得，从而.直线的方程为.令，得，从而.所以. 当时，，所以. 综上，为定值.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力.【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.22.设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞. 【解析】【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
甘肃省2020学年高二数学上学期期末考试试题理
高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题（每小题4分，共10小题，总计40分，将正确选项填入答题栏） 1. 已知集合{}220A x x x =-->，则=A C R ( ) A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥2．已知实数m ，n 满足0m n +≥，则命题“若0mn ≥，则0m ≥且0n ≥”的逆否命题为( )A ．若0mn <，则0m ≥且0n ≥B ．若0mn ≥，则0m <或0n <C ．若0m ≥且0n ≥，则0mn ≥D ．若0m <或0n <，则0mn <3．抛物线 y x 42=的焦点到双曲线2213y x -= 的渐近线的距离是( )A.12 B. 2C. 14．如图，空间四边形ABCD 中，F E 、 分别是 CD BC 、的中点，则BD BC AB 2121++等于( ) A. B.FAC.AFD.FE5．若a 为实数,则“3=a ”是 “直线 032=++a y ax 与直线03)1(32=+-+-+a a y a x 互相平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．曲线192522=+y x 与)90(125922<<=-+-k ky k x 的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对7.在如图所示的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是11D C 的中点，则异面直线DE与AC 所成角的余弦值为（ ） A ．1053 B ．510 C ．55 D.10108.已知F 为抛物线x y 42=的焦点，P 是抛物线上的一个动点，点A 的坐标为)3,5(，则||||PF PA +的最小值为（ ）A ．5B ． 6 C. 7 D ．89.已知双曲线的两个焦点为)0,10(1-F ,)0,10(2F ,M 是此双曲线上的一点，且满足021=⋅MF MF ，122MF MF ⋅=则该双曲线的方程是（ ） A ．1922=-y x B ．1922=-y xC.17322=-y x D. 13722=-y x 10．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题（每题4分，共16分）11．已知向量)1,5,1(-=，)5,3,2(-=b ,且b k +与b a 3-互相垂直,则k 的值是________________． 12．过抛物线x y22= 的焦点作直线交抛物线于A 、B 两点，若5=AB ，则AB 的中点到y 轴的距离是__________.13．点),(y x M 与定点)0,4(F 的距离和它到直线L ：425=x 的距离的比是常数54，则M 的轨迹方程是________________．14. 椭圆36422=+y x 的弦被），（24 平分，则此弦所在直线方程为________________． 三、 解答题（写出必要的文字说明和解题步骤，共44分）15.（8分）设命题P:实数x 满足22430x ax a -+<）（0>a ；命题:q 实数x 满足()()320x x --≥；（1）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．16.（8分）已知长方体1111D C B A ABCD -中，2==AB AD ，11=AA ，E 为11C D 的中点，如图所示．（1）证明：EC B BD11//平面；（2）求直线1AD 与EC B 1平面所成角的正弦值．17.（8分）已知抛物线）（022>=P px y 过点),2(0y A ，且点A 到其准线的距离为4．（1）求抛物线的方程； （2）直线m x y l +=: 与抛物线交于两个不同的点P ,Q ，若OQ OP ⊥，求实数m 的值．18.(10分) 如图3，直三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ，31==AA AC ，60=∠ABC .(1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角B C A A --1的正切值;(3)求1B 到平面1A BC 的距离.19.（10分）椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率是22，点)1,0(P 在短轴CD 上，且1-=⋅ (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得PB PA OB OA ⋅+⋅λ为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.图3ABCA 1B 1C 1高二数学理科答案一、选择题B D ACD B D B A D 二、填空题11. 310612. 2 13.192522=+y x 14.082=-+y x 三、解答题15.（1）32<≤x （2）21<<a16.（1）可用空间向量法，找出面B1EC 的一个法向量，然后证明与BD1的方向向量垂直即可. （2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则：A （2,0,0），D1（0,0,1），B1（2,2,1），E （0,1, 1），C （0,2,0）找出平面B1EC 的一个法向量m=(-1,2,2),先计算方向向量和法向量的夹角，然后根据线面所成角定义求值，得1554. 17.（）x y 82=（）由⎩⎨⎧=+=xy m x y 82得0)82(22=+-+m x m x ，设),(11y x P ，),(22y x Q ，则m x x 2821-=+，221m x x =，822121=++=+m x x y y ，221212121)())((m x x m x x m x m x y y +++=++=，∵OQ OP ⊥，∴0822121=+=+m m y y x x ， ∴0=m 或8-=m ，经检验，当0=m 时，直线与抛物线交点中有一点与原点重合，不符合题意， 当8-=m 时0>∆，符合题意， 综上，实数m 的值为-8．18.(1)因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以A A AB 1⊥, 在ABC ∆中1AB =,3=AC , 60=∠ABC ,由正弦定理得 30=∠ACB .所以 90=∠BAC ,即AB AC ⊥，所以A ACC AB 1平面⊥,又因为A ACC C A 11平面⊂,所以1AB AC ⊥. （2）如图所示，作1AD A C ⊥交1A C 于D ，连接BD ，因为A ACC AB 1平面⊥,由三垂线定理可得1BD A C ⊥, 所以ADB ∠为所求角，在1Rt AAC ∆中，2663311=⨯=⋅=C A AC A A AD ，所以36261tan ===∠AD AB ADB19.(1)12422=+y x(2)当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为1+=kx y ，A ，B 的坐标分别为),(,,2211y x y x ）（ 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=124122y x kx y得0242122=-++kx x k ）（，0>∆ 所以，221214k k x x +-=+，221212k x x +-=. 从而[])1)(1(21212121--+++=⋅+⋅y y x x y y x x λλ221121)12(4-2-222--+--=+--+=λλλλkk k ）（所以，当1=λ时，322112-=--+--λλk 此时，3-=⋅+⋅λ为定值.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3， 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.。
甘肃省武威高二上期末数学理科试卷(2)(附参考答案解析)(最新修订)
2019-2020学年甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共计60分）1．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．2．（5分）过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成△ABF2，那么△ABF2的周长是（）A．2 B．C．D．13．（5分）某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是（）A．28、27、26 B．28、26、24 C．26、27、28 D．27、26、254．（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“全是女生”B．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”6．（5分）我校有3个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个文艺社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺社团的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知P是椭圆上的一点，若P到椭圆右准线的距离是，则点P到左焦点的距离是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e10．（5分）甲、乙、丙等6个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（）A．480 B．240 C．120 D．36011．（5分）某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A．7 B．10 C．9 D．812．（5分）甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）已知甲、乙、丙3类产品共1200件，且甲、乙、丙三类产品的数量之比为3：4：5，现采用分层抽样的方法抽取60件，则乙类产品抽取的件数是．化成十进制数为．14．（5分）二进制110011（2）15．（5分）用0，1，2，3，4，5，6可以组成个无重复数字的四位偶数．16．（5分）以双曲线﹣=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是．三、解答题（每小题10分，共计40分）17．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为1的直线l经过左焦点与椭圆C交于A、B两点，求弦AB的长．18．（10分）设p：方程x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0在R上恒成立，若￢p为真，p∨q为真，求实数m的取值范围．19．（10分）某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．20．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中： （1）求异面直线BC 1与AA 1所成的角的大小； （2）求三棱锥B 1﹣A 1C 1B 的体积； （3）求证：B 1D ⊥平面A 1C 1B ．2019-2020学年甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共计60分）1．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C．2．（5分）过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成△ABF2，那么△ABF2的周长是（）A．2 B．C．D．1【解答】解：椭圆4x2+2y2=1 即，∴a=，b=，c=．△ABF2的周长是（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=2，故选B．3．（5分）某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是（）A．28、27、26 B．28、26、24 C．26、27、28 D．27、26、25【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高一年级抽取的人数是560×=28人，高二年级抽取的人数是540×=27人，高三年级抽取的人数是520×=26人，故选：A．4．（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P=，故选：B．5．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“全是女生”B．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”【解答】解：从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件；“至少1名男生”与“至少有1名是女生”不互斥；“至少1名男生”与“全是男生”不互斥；“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件；故选：D6．（5分）我校有3个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个文艺社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺社团的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：我校有3个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个文艺社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，基本事件总数n=3×3=9，这两位同学参加同一个文艺社团包含的基本事件个数m=，∴这两位同学参加同一个文艺社团的概率为p==．故选：D．7．（5分）已知P是椭圆上的一点，若P到椭圆右准线的距离是，则点P到左焦点的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：因为P到椭圆右准线的距离是，所以P到椭圆右焦点的距离是，根据椭圆的定义可得：P到椭圆右焦点的距离+点P到左焦点的距离=2a=20，所以点P到左焦点的距离为．故选B．8．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B9．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；10．（5分）甲、乙、丙等6个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（）A．480 B．240 C．120 D．360【解答】解：根据题意，设6人中除甲乙丙之外的三人为A、B、C，甲、乙、丙等6个人排成一排照相，若甲、乙不在丙的同侧，则甲乙在丙的两侧，2=2种排法，先排甲、乙、丙三人，丙在中间，甲乙在两边，有A21=4种情况，3人排好后，有4个空位可用，在4个空位中任选1个，安排A，有C41=5种情况，4人排好后，有5个空位可用，在5个空位中任选1个，安排B，有C51=5种情况，5人排好后，有6个空位可用，在5个空位中任选1个，安排C，有C6则不同的排法共有2×4×5×6=240种；故选：B．11．（5分）某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A．7 B．10 C．9 D．8【解答】解：∵甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，∴，解得x=5，y=3，∴x+y=5+3=8．故选：D．12．（5分）甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：所有的坐法共有=6种，乙正好坐中间的坐法有=2种，故乙正好坐中间的概率为=，故乙不坐中间的概率是．故选：A．二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）已知甲、乙、丙3类产品共1200件，且甲、乙、丙三类产品的数量之比为3：4：5，现采用分层抽样的方法抽取60件，则乙类产品抽取的件数是20 ．【解答】解：∵甲、乙、丙三类产品，其数量之比为3：4：5，∴从中抽取120件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为60×=20，故答案为：20．14．（5分）二进制110011化成十进制数为51 ．（2）=1+1×2+0×22+0×23+1×24+1×25=51．【解答】解：110011（2）故答案为：51．15．（5分）用0，1，2，3，4，5，6可以组成420 个无重复数字的四位偶数．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、0在个位，在1，2，3，4，5，6这6个数字中任选3个，安排在前三个数位，3=120个四位偶数，有A6②、0不在个位，需要在2、4、6三个数字中任选1个，安排在个位，有3种情况，在除0和个位数字之外的5个数字中，任选1个，安排在首位，有5种情况，2=20种情况，在剩余的5个数字中任选2个，安排在中间两个数位，有A5则有3×5×20=300个四位偶数；则一共可以组成120+300=420个四位偶数；故答案为：420．16．（5分）以双曲线﹣=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是+=1 ．【解答】解：双曲线的顶点为（2，0）和（﹣2，0），焦点为（﹣4，0）和（4，0）．∴椭圆的焦点坐标是（2，0）和（﹣2，0），顶点为（﹣4，0）和（4，0）．∴椭圆方程为+=1．故答案为：+=1．三、解答题（每小题10分，共计40分）17．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为1的直线l经过左焦点与椭圆C交于A、B两点，求弦AB的长．【解答】解：（1）根据题意，椭圆C的短轴一个端点到右焦点的距离为，则有a=，又由椭圆C的离心率为，则有e==，则有c=，则b2=a2﹣c2=3﹣2=1，则椭圆的标准方程为：（2）由（1）可得：椭圆的标准方程为：，则其左焦点的坐标为（﹣，0），则直线l的方程为：则得，则有，，．18．（10分）设p：方程x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0在R上恒成立，若￢p为真，p∨q为真，求实数m的取值范围．【解答】解：∵¬P为真，P∨q为真∴P为假，q为真（2分）P为真命题，则，∴m＜﹣2或m＞2…（4分）∴P为假时，﹣2≤m≤2…①…（5分）若q为真命题，则…（7分）即1＜m ＜3…②…（8分）由①②可知m 的取值范围为1＜m ≤2 …（10分）19．（10分）某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，男生优秀人数为100×（0.01+0.02）×10=30人，女生优秀人数为100×（0.015+0.03）×10=45人． （Ⅱ）因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人，设两名男生为A 1，A 2，三名女生为B 1，B 2，B 3，则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}共10个，每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件C ：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件C 包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}共7个，所以，即选取的2人中至少有一名男生的概率为．20．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中：（1）求异面直线BC 1与AA 1所成的角的大小；（2）求三棱锥B 1﹣A 1C 1B 的体积；（3）求证：B 1D ⊥平面A 1C 1B ．【解答】解：（1）由于A 1A 和B 1B 平行且相等，故异面直线BC 1与AA 1所成的角的大小即为BB 1与BC 1城的角，故∠B 1BC 1（或其补角）为所求．再由正方体的性质可得△B 1BC 1为等腰直角三角形，故∠B 1BC 1=45°，即异面直线BC 1与AA 1所成的角的大小为45°．（2）三棱锥B1﹣A 1C 1B 的体积即 =••BB 1=×（）×1=．（3）证明：由正方体的性质可得，B 1D 在上底面A 1B 1C 1D 1内的射影为B 1D 1，且A 1C 1⊥B 1D 1． 由三垂线定理可得B 1D ⊥A 1C 1．同理可证，B 1D ⊥A 1B ．而A 1C 1和 A 1B 是平面A 1C 1B 内的两条相交直线，根据直线和平面垂直的判定定理，可得B 1D ⊥平面A 1C 1B ．。
甘肃省2020学年高二数学上学期期末考试试题理
第一学期期末考试高二（理科）数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题有且只有一个选项是正确的，请把答案涂在答题卡上)1.设命题:p x Q ∃∈ ， 2ln 2x x -< ，则p ⌝为（ ）A. x Q ∃∈，2ln 2x x -≥B. x Q ∀∈，2ln 2x x -<C. x Q ∀∈，2ln 2x x -≥D. x Q ∀∈，2ln 2x x -=2.原命题“若3x ≤- ，则0x < ”的逆否命题是（ ）A.若 3x <-,则0x ≤B.若3x >- ,则0x ≥C.若 0x <,则 3x ≤-D.若 0x ≥,则 3x >-3. {}n a 是首项11a = ，公差为3d = 的等差数列，如果2005n a = ，则序号n 等于（ ）A. 667B. 668C. 669D. 6704.“方程 22162x y m m+=-表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件是（ ） A. 12m << B.02m << C. 2m < D. 2m ≥5.若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最小值为 （ ）A. -1B. 0C. 3D. 96.抛物线214x y =-的准线方程是（ ） A.1x = B. 1x =- C. 116y =D. 116y =- 7.已知椭圆的焦点1(1,0)F - ，2(1,0)F ，P 是椭圆上一点，且12F F 是1PF ，2PF 等差中项，则椭圆的方程是（ ） A. 221169x y += B.22143x y += C.2211612x y += D. 22134x y +=8.已知{}n a 是等比数列，若11a = ，638a a = ，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则5T =( ) A.3116 B. 31 C.158D. 7 9.如图，长方体1111ABCD A B C D - 中，3AB = ，12BC BB == ，则异面直线1AC 和1B C 所成的角是（ ）A.30︒B. 45︒C.60︒D. 90︒10.已知点F 为抛物线 28y x =-的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在 抛物线上，且4AF = ，则PA PO +的最小值为（ ） A. 6 B.213242+ D. 511.已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+ ，若存在两项,m n a a 14m n a a a = ，则14m n+ 的最小值为（ ） A.32 B.53 C.256D.不存在 12.已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且 11()0PF OF OP +=uuu r uuu r uu u r g （O 为坐标原点），若122PF =uuu r r ，则椭圆的离心率为（ ） A.6-36-36-56-5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上）13.双曲线2214x y -= 的渐近线方程为________． 14.已知命题 2:430p x x ++≥，:q x z ∈ ，且“ p q ∧”与“非p ”同时为假命题，则x =________．15.过抛物线212y x =- 的焦点作直线l ，直线 l 交抛物线于,A B 两点，若线段AB 中 点的横坐标为-9 ，则AB = ________． 16.直线:0l x y -= 与椭圆2212x y += 相交,A B 两点，点C 是椭圆上的动点，则 ABC V 面积的最大值为________．三、解答题（本大题共70分，解答应写出必要分文字说明、演算步骤或证明过程，请把答案填在答题卡上）17. (本小题满分 10 分)求下列各曲线的标准方程(1)实轴长为12 ，离心率为23，焦点在y 轴上的椭圆； (2)抛物线的焦点是双曲线22169144x y -= 的右顶点．18. (本小题满分 12 分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足424S = ，763S = ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2n an n b a =+ ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19. (本小题满分 12 分)已知一个圆的圆心为坐标原点O ，半径为2 ，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线PP ' ，P ' 为垂足．（1）求线段PP ' 中点M 的轨迹方程；（2）已知直线20x y --= 与M 的轨迹相交于A 、B 两点，求OAB V 的面积．20. (本小题满分 12 分)如图，在长方体1111ABCD A B C D - 中，2AB = ，13AA = ，22AD =,P 为11C D 的中点，M 为BC 的中点．（1）证明：AM PM ⊥ ；（2）求AD 与平面AMP 所成角的正弦值；21. (本小题满分 12 分)如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示）， E 为VB 的中点．(1)求证： VD //平面EAC ；(2)求二面角A-VB-D 的余弦值．22. (本小题满分 12 分)设1F 、2F 分别是椭圆2214x y += 的左、右焦点． (1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PF PF =-uuu r uuu r g ，求点P 的坐标； (2)设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且 AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．。
甘肃省2020学年高二数学上学期期末考试试题文含解析
高二上学期期末考试 数学（文）试题一、选择题（每小题5分,共60分） 1.在△ABC 中，若A=π3，B=π4，，则AC=( )A.2【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理，化简得sin sin BC BAC A⋅=，即可求解.【详解】由正弦定理可得:BC sinA =AC sinB ,即有AC=BC?sinBsinA=πsin 4πsin 3【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中合理使用正弦定理的变形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知命题：“若2a >，则24a >”，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B 【解析】 【分析】写出逆命题、否命题、逆否命题,判断三个命题的真假即可. 【详解】若2a >,则24a >逆命题为: 若24a >,则2a >;解不等式24a >可得2a >或2a <-,所以该命题为假命题; 否命题为: 若2a ≤,则24a ≤,解不等式24a ≤可得22a -≤≤,所以该命题为假命题; 逆否命题为: 若24a ≤,则2a ≤,解不等式24a ≤可得22a -≤≤,所以该命题为真命题. 综上可知,正确命题为逆否命题,只有1个故选:B【点睛】本题考查了命题与逆命题、否命题、逆否命题的关系,命题真假的判断,属于基础题. 3.已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A. 138 B. 135C. 95D. 23【答案】C 【解析】 试题分析：∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=， ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．4.在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A.25B.35C.45D. 85【答案】A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．5.设x ∈R ，则“38x >”是“2x ” 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式38x >可得2x >， 求解绝对值不等式2x可得2x >或2x <-，据此可知：“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.在等比数列{}n a 中，若n a >0且3764a a =，则5a 的值为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D 【解析】试题分析：由等比数列性质可知，237564a a a ==，又因为0n a >，所以58a =，故选D.考点：等比数列的性质.7.若变量x,y 满足约束条件1{325x y x x y ≥-≥+≤则z=2x+y 的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】作出满足约束条件的可行域如图所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ，经过点A 时，z 取得最大．由得A (1,1)．∴z max ＝2×1＋1＝3.8.已知F 1、F 2为椭圆221259x y +=的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若2212F A F B +=，则|AB |= ( )A. 6B. 7C. 5D. 8【答案】D 【解析】 【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF 2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB 的长．【详解】椭圆22259x y +=1的a=5， 由题意的定义，可得，|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a ， 则三角形ABF 2的周长为4a=20， 若|F 2A|+|F 2B|=12， 则|AB|=20﹣12=8． 故答案为D【点睛】本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．9.已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A. 34yx B. 43y x =±C. 3y x =± D. 4y x =±【答案】B 【解析】根据题意,双曲线的方程为2219x y m-=，则其焦点在x 轴上，直线5x y +=与x 轴交点的坐标为()5,0， 则双曲线的焦点坐标为()5,0， 则有925m +=， 解可得，16m =，则双曲线的方程为：221916x y -=，其渐近线方程为：43y x =±， 故选B. 10.若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A. 6 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】【详解】因为直线()10,0x y a b a b+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此114(4)(+)5+59b a a b a b a b +=+≥+= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，以O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆的右焦点2F 作圆O 的切线，切点分别为,A B ，若四边形2F AOB 为正方形，则椭圆的离心率为( ) A.13B.3C.12D.2【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知圆的半径为b ,2OF c =,由正方形性质即可求得椭圆的离心率. 【详解】以O 为圆心,短半轴长为半径作圆O 则圆O 的半径为b ,且2OF c =四边形2F AOB 为正方形,由正方形性质可得2OF =即c =,椭圆中满足222a b c =+代入化简可得2232a c =所以2633c a ==故选:B【点睛】本题考查了椭圆的标准方程与简单的几何性质应用,椭圆离心率的求法,属于基础题.12.已知点F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点,点E 是该双曲线的左顶点,过F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于,?A B 两点,若AEB ∠是钝角,则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A. ()12,++∞B. ()1,12+C. ()2,+∞D.()212+, 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得为双曲线的通径，其长度为，因为,所以；则,即，即，即，解得.考点：双曲线的几何性质.二、填空题（每小题5分，共20分）13.命题“()00,12x R f x ∃∈<≤”的否定是________． 【答案】()1x R f x ∀∈≤，或()2f x > 【解析】 【分析】根据含存在量词的否定,即可得解. 【详解】由含有存在量词的否定,可得命题“()00,12x R f x ∃∈<≤”的否定为()1x R f x ∀∈≤，或()2f x > 故答案为: ()1x R f x ∀∈≤，或()2f x >【点睛】本题考查了含有存在量词命题的否定,属于基础题.14.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若3A π=，2cos b a B =，1c =，则ABC ∆的面积等于________．【解析】 【分析】把条件2cos b a B =用正弦定理转化为角的关系后结合A 角已知可求得B 角，从而也得到C 角，得出三角形是等边三角形，面积易求．【详解】∵2cos b a B =，∴sin 2sin cos B A B =，∴tan 2sin 2sin 3B B π===，∴3B π=，从而3C π=，即ABC ∆是等边三角形，2S ==【点睛】本题考查求三角形面积，考查正弦定理．解题关键是用正弦定理进行边角互化．对于一个等式中如果是三角形三边的齐次或三角正弦的齐次式，则可用正弦定理进行边角关系的互化，方便变形求解．15.曲线ln y a x =(0)a >在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a = .【答案】8 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到曲线在x=1处的切线的斜率，由直线方程的点斜式得到切线方程，求出切线在两坐标轴上的截距，由切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4列式求得a 的值． 【详解】由y =a ln x ，得ay x'=， 1x y a =∴'=又x =1时，y =0，∴曲线y =a ln x (a >0)在x =1处的切线方程为：y =ax −a . 当x =0时，y =−a .当y =0时，x =1.∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于1142a ⨯⨯=. 解得：a =8. 故答案为：8.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.16.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.”请问前三天走了______里. 【答案】336 【解析】 【分析】由等比数例前n 项和公式即可求解. 【详解】由题意得等比数列{}n a ，公比12q =，6378S =， ∴16112378112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，解得1192a =，∴33119212336112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-. 故答案为：336【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.三、解答题 （本题共6道小题,第17题12分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题10分 ,共70分）17.已知等差数列{}n a 为递增数列，其前三项和为3-，前三项的积为8 （1）求等差数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 是的前n 项和n S .【答案】(1) 37n a n =- (2) (311)2n n n S -= 【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >，根据题设条件，建立方程组，解方程组可得1a 和d 的值，进而求得等差数列{}n a 的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式即可求出数列{}n a 是的前n 项和n S .试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 0d >∵等差数列{}n a 的前三项的和为3-，前三项的积为8，∴()()111133328a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩，∴123a d =⎧⎨=-⎩或143a d =-⎧⎨=⎩，∵0d >，∴14,3a d =-= ∴37n a n =-；（2）∵37n a n =-，∴1374a =-=-，∴()()43731122n n n n n S -+--==.18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos c a b A -=. （1）求角B 的大小；（2）若2,a b ==c .【答案】（1）3π； （2）3. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理,将边化为角的表达式.集合正弦的和角公式,化简即可求得角B .（2）由余弦定理,代入2,a b ==即可求得c .【详解】（1）由已知及正弦定理,得2sin sin 2sin cos C A B A -=. ∵()C A B π=-+, ∴()2sinsin 2sin cos A B A B A +-=,化简得()sin 2cos 10A B ⋅-=∵()0,A π∈, ∴sin 0A ≠, ∴1cos 2B =. ∵0B π<<, ∴3B π=.（2）由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-．∵2,a b ==∴2742c c =+-, 即2230c c --=,解得3c =或1c =- (不合题意,舍去)． ∴3c =.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中应用,边角转化的应用,属于基础题.19.已知()()2366f x x a a x =-+-+. (1)解关于a 的不等式()10f >；(2)若不等式()f x b >的解集为()1,3-，求实数,a b 的值． 【答案】（1）{|33a a -<<+；（2）33a b ⎧=±⎪⎨=-⎪⎩【解析】【分析】(1)由f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，得a 2－6a －3<0，求解即可；（2）f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，由根与系数的关系求解即可.【详解】(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－<a <3＋∴原不等式的解集为{a |3－a <3＋(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于()61+3=3613=3a a b ⎧--⎪⎪⎨-⎪-⨯-⎪⎩解得33a b ⎧=±⎪⎨=-⎪⎩20.已知椭圆C 的长轴长为10，两焦点12,F F 的坐标分别为()3,0-和()3,0．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆C 上一点，2PF x ⊥轴，求12F PF ∆的面积．【答案】（1）2212516x y +=（2）485【解析】【分析】（1）根据椭圆的长轴即焦点坐标,可得,a c .由椭圆中满足222a b c =+,即可求得2b ,进而得椭圆的标准方程.（2）根据2PF x ⊥,可得P 点坐标,即可求得12F PF ∆的面积．【详解】（1）椭圆C 的长轴长为10,两焦点12,F F 的坐标分别为()3,0-和()3,0则210,3a c ==,且222a b c =+解得25,16a b == 所以椭圆的标准方程为2212516x y += （2）P 为椭圆C 上一点,2PF x ⊥轴所以点P 的横坐标为3x =,代入椭圆方程可求得点P 的纵坐标为165y =±不妨设点P 在x 轴上方,则163,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以121212F PF P S F F y ∆=⨯⨯ 161485562=⨯⨯= 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,椭圆的几何性质简单应用,焦点三角形面积求法,属于基础题.21.设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1；（2）y ＝x ＋7..【解析】【分析】（1）设,A B 两点坐标，代入抛物线方程 相减后可求得AB 的斜率；（2）由C 在M 处的切线与直线AB 平行，可求得切点M 坐标，设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，代入抛物线方程可得AB 中点为(2,2)N m +，AM ⊥BM 等价于12MN AB =，这样可求得m 值．【详解】解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，22121244x x y y ==，，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-. (2)由24x y =，得2x y '=. 设M (x 3，y 3)，由题设知312x =，解得x 3＝2，于是M (2，1)． 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入24x y =得x 2－4x －4m ＝0. 当Δ＝16(m ＋1)＞0，即m ＞－1时，1,2221x m =±+.从而12242(1)AB x x m =-=+.由题设知|AB |＝2|MN |，即42(1)2(1)m m +=+，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题时设直线方程方程为y ＝x ＋m 是解题关键．通过它与抛物线方程联立，可得AB 中点N 的横坐标，从而得MN ，而AM ⊥BM 等价于12MN AB =，因此可求得m ．本题解法中没有用到特殊方法，求切点坐标，求直线方程，求弦长等都是最基本的方法，务必牢固掌握．22.设函数()21 4.f x x x =+--（1）解不等式()0f x >；（2）若()34f x x m +-对一切实数x 均成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用零点分段法分别求出各段不等式的解集，取它们的交集即可；（2）首先利用绝对值三角不等式的性质的性质求得()34f x x +-的最小值，从而求得m 的取值范围． 试题解析：（1）当4x ≥时()21(4)50f x x x x =+--=+＞得 5x >--，所以，4x ≥时，不等式成立； 当142x -≤<时，214330f x x x x =++-=->（），得1x >，所以，14x <<时，不等式成立； 当12x <-时，()50f x x =-->，得 5x <--，所以， 5x <--成立． 综上，原不等式的解集为：{15}x x x <-或．（2）()34212421(28)9f x x x x x x +-=++-≥+--=，当且仅当142x -≤≤时，取等号， 所以，()34f x x +-的最小值为9，故9m <．考点：1、绝对值不等式的解法；2、绝对值三角不等式的性质． 【技巧点睛】形如x a x b c ≥－＋－(或c ≤)型的不等式主要方法为分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(](]()a a b b -∞+∞，，，，，(此处设a b <)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．。
甘肃省2020学年高二数学上学期期末考试试题理含解析 (3)
高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()RA B =（ ）A. ()1,3B. (]1,3C. [)3,+∞ D. ()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R的范围,最后根据交集的含义计算()RA B ⋂的结果.【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,RA =-∞-⋃+∞,又因为()1,B =+∞,所以()[)3,RA B =+∞.故选C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解.2.抛物线218y x =-的准线方程是（ ） A. 132x =- B. 12x =C. 2y =D. 4y =【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化成标准式，直接求解即可． 【详解】解：抛物线218y x =-的标准方程为：28x y ，可得4p =，抛物线218y x =-的准线方程是：2y =． 故选C ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题． 3.下列命题的说法错误的是（ ）A. 对于命题p ：∀x∈R，x 2+x+1＞0，则¬p：∃x 0∈R，x 02+x 0+1≤0． B. “x=1“是“x 2﹣3x+2=0“的充分不必要条件． C. “ac 2＜bc 2“是“a＜b“的必要不充分条件．D. 命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x 2﹣3x+2≠0”． 【答案】C 【解析】【详解】对于命题p :∀x ∈R ,x 2+x +1>0,则¬p : ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0，是真命题； “x =1”是“x 2−3x +2=0“的充分不必要条件，是真命题；若c =0时，不成立，是充分不必要条件，∴是假命题；命题“若x 2−3x +2=0,则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1,则x 2−3x +2≠0”，是真命题； 故选C.4.设α,β为两个不同的平面，m ,n 为两条不同的直线,则下列命题中正确的为（ ） A. 若//m n ,n ⊂α,则//m α B. 若//m α,n ⊂α,则//m n C. 若αβ⊥,m α⊂,则m β⊥ D. 若m β⊥m α⊂,则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据点线面位置关系，其中D 选项是面面垂直的判定定理，在具体物体中辨析剩余三个选项. 【详解】考虑在如图长方体111ABCD A B C D -中，//,AD BC BC ⊂平面ABCD ，但不能得出//AD 平面ABCD ，所以选项A 错误；//AD 平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，但不能得出1//AD BB ，所以选项B 错误；平面ABCD ⊥平面11BCC B ，11B C ⊂平面11BCC B ，但不能得出11B C ⊥平面ABCD ；其中D 选项是面面垂直的判定定理. 故选：D【点睛】此题考查线面平行与垂直的辨析，关键在于准确掌握基本定理，并应用定理进行推导及辨析.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244,16S S ==，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前9项和9T 为 ( ) A. 20 B. 80C. 166D. 180【答案】D 【解析】【详解】等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2=4,S 4=16，可得11244616a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得d =2,a 1=1,a n =2n −1，b n =a n +a n +1=4n .数列{b n }的前9和991041802T ⨯=⨯=. 本题选择D 选项.6.已知斐波那契数列的前七项为：1,1,2,3,5,8,13，大多数植物的花，其花瓣数按层从内向外都恰是斐波那契数．现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C 【解析】 【分析】一朵该种玫瑰花的花瓣数为33，计算斐波那契数列的前n 项和，观察前几项和为33即得． 【详解】由题设知，斐波那契数列的前6项和为20，前7项和为33，由此可推测该种玫瑰花最可能有7层， 故选：C ．【点睛】本题考查数列的前n 项和，掌握数列和的概念是解题基础． 7.若110a b <<,则下列不等式:①11a b ab <+;②|a|+b>0;③11a b a b->-;④lna 2>lnb 2中,正确的是( ) A. ①④ B. ②③C. ①③D. ②④【答案】C 【解析】【详解】先由<<0得到a 与b 的大小关系,再根据不等式的性质,对各个不等式进行逐一判断. 由<<0,可知b<a<0. ①中,a+b<0,ab>0,所以<0,>0. 故有<,即①正确.②中,∵b<a<0,∴-b>-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误. ③中,∵b<a<0,即0>a>b, 又∵<<0,∴->->0, ∴a ->b-,故③正确.④中,∵b<a<0,根据y=x 2在(-∞,0)上为单调递减函数,可得b 2>a 2>0,而y=lnx 在定义域上为增函数.∴lnb 2>lna 2,故④错,综上分析,②④错误,①③正确.8.（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是 A. (0,1][9,)+∞ B. 3][9,)+∞C. (0,1][4,)+∞D. 3][4,)+∞【答案】A 【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=即33m≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=，即≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，选A ．点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定,a b 的关系，求解时充分借助题设条件120AMB ∠=转化为tan 603ab≥=焦点位置进行逐一讨论．9.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. B.C.【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R == 344,2338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-==AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 22122122x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=62R ∴=，34466338V R ∴=π=π⨯=π，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．10.设等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若3333n n S n T n +=+，则使n na Zb ∈的n 的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，根据等差数列前n 项和的性质，得到21211231--==++n n n n a S b T n ，再由n na Zb ∈，得到121∈+Z n ，从而即可求出结果. 【详解】因为等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，所以1212112121()2()2n n n n n n n n n a a a na S n b b b nb T ----+===+， 又3333n n S n T n +=+，所以21213(21)336303151232132211---+++=====+-++++n n n n a S n n n b T n n n n ，为使nn a Z b ∈，只需121∈+Z n ，又n ∈+N ，所以1n +可能取的值为：2,3,4,6,12， 因此n 可能取的值为：1,2,3,5,11. 故选C【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的应用，熟记等差数列前n 项和的公式与性质即可，属于常考题型.11.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin cos()62A A π++=，4b c +=，则ABC ∆周长的取值范围是（ ） A. [6,8) B. [6,8] C. [4,6) D. (4,6]【答案】A【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得32sin A π+=（），结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得2163a bc =- ，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围．【详解】∵ sin 62A cos A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1222sinA sinA ∴+-=，可得：32sin A π+=（）， 40333A A ππππ∈+∈（，），（，），2 33A ππ∴+=，解得3A π=， ∵4b c +=，∴由余弦定理可得222222163a b c bccosA b c bc bc bc =+-=+--=-（），∵由4b c +=，b c +≥ ，得04bc ≤＜， ∴2416a ≤＜，即24a ≤＜．∴ABC 周长4[68L a b c a =++=+∈，） ．故选A ．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理及运用，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．12.已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )1 1C. 2【答案】B 【解析】 【分析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ的方程为y =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a-+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故1e ===，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．共20分.13.已知椭圆2212516x y +=与双曲线2215x y m -=有共同的焦点12,F F ,则m =_________【答案】 4 【解析】 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，再根据双曲线的焦距求m 的值.【详解】由题得椭圆的焦点为（-3,0）和（3,0）,所以m=4. 故答案为4【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14.若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝3x －4y 的最小值为________.【答案】1- 【解析】【分析】作出可行域，结合目标函数与可行域的关系，寻找满足条件的最值点即可 【详解】画出可行域如图阴影部分所示.由z ＝3x －4y ，得344z y x =-， 作出直线34y x =，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1，1)处时取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.故答案为1-【点睛】本题考查由可行域求目标函数最值，正确作图是解题关键，属于基础题15.双曲线22143y x -=的渐近线方程为____________________.【答案】233y x = 【解析】【详解】试题分析：由题，得2a =，3b =，∴双曲线22143y x -=的渐近线方程为233y x =． 考点：双曲线方程及几何性质．16.点,A B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120AFB ︒∠=，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则||dAB 的最大值为_______. 3【解析】 【分析】 过,,A B D作准线的垂线，垂足分别为,,N P M，则11()()22d MD AN BP AF BF ==+=+，在ABF ∆中寻找它们的关系，求出比值的最大值。
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甘肃省武威第五中学2020学年高二数学上学期期末考试试题考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分）1、“1x ≠”是“2320x x -+≠”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．若p q Λ是假命题，则（ ） A.p 是真命题，q 是假命题 B.p 、q 均为假命题 C.p 、q 至少有一个是假命题D.p 、q 至少有一个是真命题3、设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49D ．644、已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60°D ．60°或120°5、双曲线221169x y -=的渐近线方程为（ ）A. x y 916±= B. x y 169±= C. x y 43±= D. x y 34±= 6、椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．2 D ．37、在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-48、若实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≤132y x y x 则S=2x+y-1的最大值为 ( )A.6B.4C.3D.29、若抛物线y 2=2px 上一点P(2,y 0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )A.y 2=4xB.y 2=6xC.y 2=8xD.y 2=10x10、已知等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝0，a 11－a 4＝4，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 13＝( )A ．78B ．68C ．56D ．52 11、设a ，b∈R，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 2D ．2 6 12、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13、在ABC ∆中，1sin 3A =，cos B =1a =，则b =_________14、若等比数列{a n }满足a 1＋a 4＝10，a 2＋a 5＝20，则{a n }的前n 项和S n ＝______ 15、已知x ＞2，则y ＝21-+x x 的最小值是_________16、已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为_________三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、(本小题满分10分) 解下列不等式：（1）04422<-+-x x （2）322-<+-x x18、(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.19、(本小题满分12分) 在ABC ∆中，sin sin cos B A C =，其中A 、B 、C 是ABC∆的三个内角， 且ABC ∆最大边是12，最小角的正弦值是13.（1）判断ABC ∆的形状； （2）求ABC ∆的面积.20、(本小题满分12分) 某家具厂有方木料90m 3，木工板600m 3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m 3、木工板2m 3；生产每个书橱需要方木料0.2m 3，木工板1m 3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；怎样安排生产可以获利最大？21、(本小题满分12分) 等差数列{}n a 满足145=a ，207=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 证明数列{}n b 是等比数列.22、 (本小题满分12分) 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =，过(,0),(0,)A a B b -的直线到原点的距离是554. (1)求椭圆的方程；(2)已知直线1(0)y kx k =+≠交椭圆于不同的两点,E F 且,E F 都在以B 为圆心的圆上 ,求k 的值.2020学年第一学期武威五中高二年级数学试卷 答 案 一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、 14、109(2n－1)15、 4 16、11(3,)(,2)22---U三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）04422<-+-x x （2）322-<+-x x（1） 原不等式可化为：0222>+-x x 因为0424)2(2<-=⨯--=∆所以原不等式的解集为Ø …………5分（2）原不等式可化为：0322>+-x x 因为0322=--x x 的两根分别为11-=x 、232=x 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<3101x x x 或…………10分18、已知双曲线与椭圆125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.解：由于椭圆焦点为F(0,±4),离心率为e=45,所以双曲线的焦点为F(0,±4),离心 率为2,从而.所以求双曲线方程为: 221412y x -=…………12分 19、在ABC ∆中，sin sin cos B A C =，其中A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角， 且ABC ∆最大边是12，最小角的正弦值是13.（1）判断ABC ∆的形状； （2）求ABC ∆的面积.解：（1）由sin sin cos B A C =根据正弦定理和余弦定理，得2222a b c b a ab+-=⋅，得222b c a +=，故ABC ∆是直角三角形.---------6分（2）由（1）知12a =，设最小角为α，则1sin 3α=，故cos α=值），故ABC S ∆=1111sin cos 121222233bc a a αα=⋅=⋅⋅⋅⋅=.------12分 20、某家具厂有方木料90m 3，木工板600m 3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m 3、木工板2m 3；生产每个书橱需要方木料0.2m 3，木工板1m 3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；怎样安排生产可以获利最大？解：设生产书桌X 张，书橱Y 张，利润为Z 元，则约束条件为:⎪⎩⎪⎨⎧∈≤+≤+N y x y x y x ,6002902.01.0 则目标函数为：y x Z 12080+=作出不等式组所表示的平面区域，将y x Z 12080+=平移可知： 当生产100张书桌，400张书橱时利润最大为：5600040012010080=⨯+⨯=Z 元 --------12分21、等差数列{}n a 满足145=a ，207=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 证明数列{}n b 是等比数列.(Ⅰ) 解：数列{}n a 为等差数列，公差751() 3 2d a a ==－,12a =,所以13-=n a n . …5分(Ⅱ) 由22n n b S =－， 当2≥n 时，有1122n n b S --=－，可得n n n n n b S S b b 2)(211-=--=---.即113n n b b －＝. 所以{}n b 是等比数列. …………12分22、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率3e =，过(,0),(0,)A a B b -的直线到原点的距离是554.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线1(0)y kx k =+≠交椭圆于不同的两点,E F 且,E F 都在以B 为圆心的圆上 ,求k 的值. 【解析】（（1）∵ 3,c a=222a b c -= .∴ a = 2b ， …………………2分 ∵ 原点到直线AB ：1x y ab-=的距离2245d a b ==+. ∴ b = 2 ，∴ 故所求椭圆方程为 221164x y+= . …………………5分 （2）把2211164x yy kx =++=代入中消去y ，整理得22(14)8120k x kx ++-=.可知0∆>…………………7分设3344(,),(,),E x y F x y EF 的中点是00(,)M x y ，则340002241,1,21414x x k x y kx k k+-===+=++…………………9分 0021.BM y k x k+==- …………………10分 ∴0020,x ky k ++=即 224201414k k k k k -++=++.又 k 0 ，1 8.故所求k=…………………12分∴2k =。